2. Índice
1. Introducción. Conceptos básicos. Interpretación
geométrica
2. Ecuaciones diferenciales de primer orden.
i. Definición
ii. Ecuaciones de variables separadas
iii. Ecuaciones homogéneas
iv. Ecuaciones diferenciales exactas
v. Ecuaciones lineales
3. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
3. Introducción
El concepto de derivada está relacionado con la variación que
experimenta una función al variar su posición inicial.
¿Existe algún proceso de la vida real que no implique un
cambio?
Velocidad v
Nivel
del
agua
h
Piedra en caída libre
y’’ = g = constante
Paracaidista
mv’ = mg – bv2
Salida de agua
h’ = – kh1/2
4. Conden-
sador
Desplaza-
miento
y
Fuerza
Electromotriz
Introducción
Masa oscilatoria en un resorte
my’’ + ky = 0
Deformación de una viga
EIyiv = f(x)
Péndulo
L ’’ + g sen = 0
Corriente I en un circuito RLC
LI’’ + RI’ + I/C = E’
Movimiento vibratorio
y’’ + 0
2y = cost, 0 =
Modelo depredador-presa de
Lotka-Volterra
y1’ = ay1 – by1y2
y2’ = ky1y2 – ly2
Resistencia
Inductor
5. Introducción
Todo proceso se puede modelar con una ecuación que está
relacionada con la derivada de una función. Esta ecuación que
contiene derivadas se llama ecuación diferencial.
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una o más
variables independientes, la función que depende de ellas y una
o más derivadas de esa función.
Ecuación diferencial ordinaria (una variable independiente)
Ecuación en derivadas parciales (más de una variable independiente)
Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona
una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las
funciones usualmente representan cantidades físicas, las
derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación
define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy
comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial
en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física,
la química, la economía, y la biología.
7. Ecuación Diferencial
Ordinaria
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es toda ecuación que
establece una relación entre una variable independiente x ,
una función suya y = f (x) y las derivadas de ésta: y’, y’’, etc.
Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la
máxima derivada que interviene en la ecuación.
Se llama grado de una ecuación diferencial ordinaria al grado
(exponente) de la máxima derivada que interviene en la
ecuación, salvo que se diga otra cosa.
8. Ecuación Diferencial
Ordinaria
Existen tres problemas en el estudio de las ecuaciones
diferenciales:
Comprobar que un haz de curvas es la solución de una
ecuación diferencial dada.
Hallar la ecuación diferencial correspondiente a un haz
de curvas.
Resolver una ecuación diferencial.
9. Interpretación geométrica de
la solución de una EDO
Resolver una ecuación diferencial es hallar la función y = f (x) que
la verifica.
Gráficamente, la solución de una EDO representa el haz de curvas
que satisface dicha ecuación.
La solución de una EDO depende de tantos parámetros como sea
su orden.
Ejemplo 1.1 Dada la EDO xy’+ y = 0, comprobar que y = C/x es su
solución e indicar qué representa.
12. Ejemplo f´(t)= 3 f(t) + t
Ó f´(x)=3 f(x) + x
dy/dx = 3y + x
XY´´ - 2Y´+5 = 0
2Y´´ = 5Y´+ 3Y´´´
Resolver la ecuación diferencial significa encontrar la función que
satisfaga la igualdad
13.
14. Interpretación geométrica de
la solución de una EDO
Ejemplo 1.2 Comprobar que y + e y = (x + C)e – x es la solución de la
EDO y + e y e –x + (1 + e y) y’= 0.
Ejemplo 1.3 Comprobar que
y = C1e x + C2e – x + e x (x 2 x)
es la solución de la EDO y’’ y = 4xe x e indicar qué representa.
Solución implícita
Solución explícita
17. EDO asociado a un haz de
curvas
Dada una función y = y (x) que depende de n parámetros Ci,
para hallar la EDO que verifica dicha función se deriva ésta
tantas veces como parámetros haya y se eliminan los mismos
en el sistema resultante.
Ejemplo 1.4 Hallar la ecuación diferencial cuya solución es e x
tgy = Ce x + x + 1.
Ejemplo 1.5 Hallar la ecuación diferencial que verifica la
función y = C1e x + C2xe x + x 2 + 3x + 5.
18. Clasificación de una EDO
Atendiendo a su orden de derivación:
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior al primero
Atendiendo a la forma de la ecuación diferencial, las EDO de
primer orden se clasifican en:
De variables separadas (o separables)
Homogéneas
Exactas. Reducibles a exactas (factor integrante)
Lineales. De Bernouilli
Etc.
Una EDO de primer orden puede estar expresada en forma implícita F
(x, y, y’) = 0 o explícita y’= f (x, y).
No se
estudiará en
este curso las
condiciones
para que una
EDO tenga
solución.
19. Ecuaciones de variables
separadas
Son todas las ecuaciones de la forma:
f (x) dx + g (y) dy = 0
Para resolverla basta con integrarla directamente.
Ejemplos:
1. cos(x) dx + y2 dy = 0
2. xy dx + (x2 + 1) (y2 + 1) dy = 0
20. Ecuaciones homogéneas
Una función f (x, y) es homogénea de grado k con respecto a x
e y si f (x, y) = k f (x, y).
Ejemplo: Comprobar que la función
es homogénea y hallar su grado.
Una EDO de primer orden y’ = f (x, y) es homogénea si la
función f (x, y) es homogénea de grado 0 con respecto a x e y.
xy
y
x
x
y
x
f 2
4
3
, 2
2
f (x, ux) = xk g(u).
21. Ecuaciones homogéneas
Si P(x, y) y Q(x, y) son funciones homogéneas de grado 0
respecto a x e y, la ED P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es
homogénea.
Para resolver una ED homogénea se hace el cambio de
variable y =ux y se obtiene una ED de variables
separadas.
Ejemplos:
1. (x + y) dx + x dy = 0
2. (x + 3y) dx + (y – x) dy = 0
22. Ecuaciones diferenciales
exactas
Se dice que P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es una ecuación
diferencial exacta si existe una función constante U(x, y)
cuya diferencial sea dicha ecuación: dU(x, y) = P(x, y) dx +
Q(x, y) dy
Es decir: U(x, y)/x = P(x, y) y U(x, y)/y = Q(x, y)
En tal caso, la función se llama función potencial de la
ecuación diferencial.
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si y
sólo si P y Q son funciones continuas y se verifica: P/y = Q/x
23. Ecuaciones diferenciales
exactas
Comprobar que las siguientes ecuaciones diferenciales son
exactas y resolverlas:
1. (2xy3 – 4x3y2) dx + (3x2y2 – 2x4y) dy = 0
2. (2x3 + 3y) dx + (3x + y – 4) dy = 0
24. Factor integrante
Supongamos que P dx + Q dy = 0 no es una ecuación
diferencial exacta, pero que al multiplicarla por cierta
función (x, y), la ecuación resultante P dx + Q dy = 0 sí
es exacta. La función recibe el nombre de factor
integrante de la ecuación diferencial dada.
Puesto que P dx + Q dy = 0 es una ecuación diferencial
exacta, se verifica:
y
P
x
Q
μ
x
μ
Q
y
μ
P
x
μQ
y
μP
25. Factor integrante
Por lo tanto, para obtener un factor integrante para una
ecuación diferencial no exacta P dx + Q dy = 0
habría que resolver la ecuación en derivadas parciales
siguiente:
En general, esta EDP es muy difícil de resolver, salvo en
algunos casos en los cuales se le impone alguna
condición a .
y
P
x
Q
μ
x
μ
Q
y
μ
P
26. Factor integrante
Si se le exige a que sea función sólo de x, entonces Q/y
= 0 y la EDP anterior se reduce a:
Al ser una función sólo de x, entonces ’también. Por lo
tanto: Q
P
Q
y
P
x
Q
μ
x
μ
Q y
x
La condición para que la ED P dx + Q dy = 0 posea un factor
integrante es que el cociente – (Q’x – P’y)/Q sea sólo función
de la variable x.
28. Factor integrante
xy
t
e
t
xy
yQ
xP
P
Q
y
x
t
e
t
y
x
xQ
yP
P
Q
y
x
t
e
t
y
x
Q
P
P
Q
y
t
e
t
y
P
P
Q
x
t
e
t
x
Q
P
Q
dt
t
y
x
dt
t
y
x
dt
t
y
x
dt
t
y
x
dt
t
y
x
,
Si
,
2
Si
,
Si
,
Si
,
Si
2
2
2
2
29. Factor integrante
1. Resolver la ecuación (x2 – y3 – x) dx + xy2 dy = 0
sabiendo que posee un factor integrante que es
función sólo de x.
2. Resolver la ecuación (exy2 – 8xy4 + y) dx – (exy +
4x2y3 + 2x) dy = 0 sabiendo que posee un factor
integrante que es función sólo de y.
3. Resolver la ecuación (4x2 – xy + y2) dx + (x2 – xy +
4y2) dy = 0 sabiendo que posee un factor
integrante que es función sólo de (x + y).
4. Resolver la ecuación (x2y3 + y) dx + (x – x3y2) dy = 0
sabiendo que posee un factor integrante que es
función sólo de xy.
30. Ecuaciones lineales
Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado en y
y en y’ es una ecuación diferencial lineal. Por lo tanto, tiene
la forma:
y’+ f (x) y = g (x)
Teorema: La solución de la ecuación diferencial lineal y’ + f (x) y =
g (x) es la función:
C
dx
x
g
e
e
y dx
x
f
dx
x
f
31. Ecuaciones lineales
Resolver las ecuaciones lineales siguientes:
i. y’– tg (x) y = 3e– sen(x)
ii. y’ + (2/x) y = ex
iii. y’– 3x2y = 6x2
iv. y’ + (1/x) y = sen(x)
Hay tres formas de resolver la ecuación diferencial lineal
y’+ f (x) y = g (x):
1. Mediante la fórmula del Teorema anterior
2. Multiplicando por el factor integrante
3. Aplicando el método de variación de constantes
dx
x
f
e
32. Ecuación de Bernouilli
Es toda ecuación diferencial de la forma:
y’+ f (x) y = g (x) yn
El cambio de variable y– (n–1) = t la transforma en una
ecuación diferencial lineal.
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial:
y’ – (1/x) y = –y2
33. Trayectorias Ortogonales
Sea y = f (x, C) un haz de curvas. Decimos que el haz de curvas y
= g (x, K) forma un haz de trayectorias isogonales de y = f (x, C) si
cada una de sus curvas corta a una curva de y = f (x, C) según un
ángulo constante.
y = f (x, C)
y = g (x, K)
Los haces de
trayectorias
isogonales más
comunes son
los de
trayectorias
ortogonales.
34. Trayectorias Ortogonales
Si las rectas: y = mx+n e
y = m’x+n’ son ortogonales,
entonces:
Para hallar el haz de
trayectorias ortogonales al
haz de curvas y = f (x, C),
basta hallar la ecuación
diferencial de dicho haz:
y’ = F (x)
y resolver la ecuación
diferencial de primer orden:
y = f (x, C)
y = g (x, K)
y = mx+n
y = m’x+n’)
m
m
1
'
x
F
y
1
1. Hallar las trayectorias
ortogonales del haz de parábolas
y = Cx2.
2. Hallar el haz de trayectorias
ortogonales a y = Ce x.
35. Ecuaciones diferenciales de
orden superior
Se dice que una EDO es de orden superior si su orden es
mayor que el primero.
Sólo veremos las EDO de orden superior lineales, que son
aquellas en las que tanto y como sus sucesivas derivadas: y’,
y’’, y’’’, … son de primer grado.
Podemos expresar la ecuación anterior como: P(D)(y) = f (x)
siendo P(D) un polinomio en D de grado n y D el operador
simbólico: D = d/dx
x
f
y
a
y
a
y
a
y
a
y
a n
n
n
n
0
1
2
1
(
1
(
an = 1
x
g
D
P
b
x
f
D
aP
x
g
b
x
f
a
D
P
36. Wronskiano
Dadas n funciones derivables de una variable independiente:
f1(x), f2(x), … , fn(x), se define el Wronskiano como el
determinante funcional:
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
n
n
n
n
n
n
1
(
1
(
1
(
2
1
2
1
2
1
W
37. Funciones linealmente
independientes
Teorema: Sean f1(x), f2(x), … , fn(x), n funciones derivables,
entonces f1(x), f2(x), … , fn(x) son linealmente independientes
si su wronskiano es no nulo, x .
Ejemplo: Comprobar que las funciones:
f1(x) = x2 1,
f2(x) = 3x2 + x + 1
f3(x) = x + 3
son linealmente independientes.
38. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Homogéneas
Una ecuación diferencial lineal P(D)(y) = f (x) se dice que es
homogénea o incompleta si f (x) = 0. Es decir, si es de la forma:
P(D)(y) = 0.
Teorema: Toda combinación lineal de soluciones linealmente
independientes de una EDLH es también solución de dicha
ecuación.
Por lo tanto, si y1, y2, …, yn son soluciones linealmente
independientes de la EDLH P(D)(y) = 0, también será solución la
función:
C1 y1 + C2 y2 + … + Cn yn
39. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Homogéneas
Teorema: Toda EDLH de orden n tiene exactamente n
soluciones linealmente independientes.
Definición: Se llama función característica de la EDLH
P(D)(y) = 0 a la ecuación polinómica P(r) = 0. Sus
soluciones se llaman soluciones características de la
ecuación diferencial correspondiente.
Teorema: Si r = a es solución característica entonces eax es
solución de la ecuación diferencia.
40. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Homogéneas
Dado que un polinomio de grado n puede admitir soluciones reales o
complejas, y éstas pueden ser simples o múltiples, se presentan
también cuatro tipos de soluciones de la EDLH.
41. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Homogéneas
1. Si r = a es solución característica simple, entonces
y = eax es solución de la EDLH.
2. Si r = a es solución característica de orden k,
entonces y = xieax, i = 0, 1, 2, k 1 son soluciones
linealmente independientes de la EDLH.
3. Si r = a ib es solución característica simple,
entonces y = eax (C1cos(bx) + C2sin(bx)) es solución
de la EDLH.
4. Si r = a ib es solución característica de orden k,
entonces la solución correspondiente de la EDLH
es:
1
1
2
2
1
0
1
1
2
2
1
0
sin
cos
k
k
k
k
ax
x
M
x
M
x
M
M
bx
x
C
x
C
x
C
C
bx
e
y
43. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Completas
Una ecuación diferencial lineal completa es una
ecuación diferencial de la forma
Supondremos que los coeficientes ai son constantes y
que ai = 1, por lo que dicha ecuación puede expresarse
en forma simbólica como P(D)(y) = f (x).
La solución de la ecuación diferencial que depende del
término independiente f (x) la llamaremos solución
particular de la ED.
0
siendo
0
1
2
1
(
1
(
x
f
x
f
y
a
y
a
y
a
y
a
y
a n
n
n
n
44. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Completas
Si llamamos yH a la solución de la ecuación diferencial
homogénea e yP a la solución particular de la ecuación
completa, es evidente que y = yH + yP es solución de la
ecuación completa puesto que
P(D)(yH + yP) = P(D)(yH) + P(D)(yP) = P(D)(yP) = f (x)
La función yH + yP se llama solución general de la ED.
Existen muchos métodos para hallar la solución particular de la
ED, cada uno de ellos con sus ventajas e inconvenientes.
45. Método de los coeficientes
indeterminados o de tanteo
Consiste en ensayar una solución particular de forma
semejante a la función f (x), pero de coeficientes
desconocidos que se calcularán al sustituir dicha función
en la ED propuesta.
Se distinguen diferentes casos en función de la función f
(x) del término independiente.
46. Método de los coeficientes
indeterminados o de tanteo
1. Si f (x) = eax P(x) siendo P(x) un polinomio de grado
n y a no es solución característica.
La solución particular es de la forma yP = eax Q(x)
siendo Q(x) un polinomio del mismo grado que
P(x) y coeficientes indeterminados.
2. Si f (x) = eax P(x) siendo P(x) un polinomio de grado
n y a es solución característica de orden k.
Se ensaya la misma solución que en el caso
anterior, pero multiplicada por xk, es decir:
yP = eax Q(x) xk
47. Método de los coeficientes
indeterminados o de tanteo
3. Si f (x) = eax sen(bx) o f (x) = eax cos(bx) y a+ib no
es solución característica.
Se ensaya la solución yP = eax (m cos(bx) + n
sen(bx)) siendo m y n coeficientes
indeterminados.
4. Si f (x) = eax sen(bx) o f (x) = eax cos(bx) y a+ib es
solución característica de orden k.
Se ensaya la misma solución que en el caso
anterior, pero multiplicada por xk, es decir:
yP = eax (m cos(bx) + n sen(bx)) xk
49. Método de variación de
constantes
El método de los coeficientes indeterminados, para el
cálculo de la solución particular de la ecuación
completa, tiene el inconveniente de que no es práctico
si el término independiente es el producto de tres o más
funciones, es el cociente de dos, no es una función
continua en , etc.
En esos casos es preferible aplicar el método de
variación de constantes.
Estudiaremos su aplicación a ED de segundo grado,
aunque el método es fácilmente extensible a ED de
orden superior.
50. Método de variación de
constantes
Sea la ED y’’ + ay’ + by = F(x) y supongamos que su solución
homogénea es yH = C1 f1(x) + C2 f2(x).
Suponiendo que los coeficientes C1 y C2 son funciones de x, la
derivada de esta función es
y’ = (C1’f1(x) + C1 f1’(x)) + (C2’f2(x) + C2 f2’(x)) = (C1 f1’(x) + C2 f2’(x))
+ (C1’f1(x) + C2’f2(x))
Si anulamos el segundo paréntesis entonces C1’f1(x) + C2’f2(x) =
0, con lo que sólo queda y’ = C1 f1’(x) + C2 f2’(x).
Derivamos nuevamente esta función y resulta …
51. Método de variación de
constantes
y’’ = (C1’f1’(x) + C1 f1’’(x)) + (C2’f2’(x) + C2 f2’’(x)) = (C1 f1’’(x) + C2
f2’’(x)) + (C1’f1’(x) + C2’f2’(x))
Si sustituimos las expresiones de y, y’ e y’’ en la ecuación dada,
puesto que y es solución de la ecuación homogénea, la suma de
los términos que no contienen Ci’ es nula, por lo que sólo queda
la ecuación C1’f1’(x) + C2’f2’(x) = F(x)
Resulta así el sistema:
C1’f1(x) + C2’f2(x) = 0
C1’f1’(x) + C2’f2’(x) = F(x)
52. Método de variación de
constantes
Resolvemos el sistema: C1’, C2’
Integramos las ecuaciones resultantes: C1, C2
Sustituimos C1 y C2 en la función homogénea: solución
general de la ED propuesta
Ejemplos: Resolver las siguientes ED:
1. y’’ + y = sec x
2. y’’ – 4y’ + 4y = e2x x cos x
53. La ecuación de Euler-Cauchy
Es una ecuación diferencial de coeficientes variables de
la forma:
Se reduce a una ecuación diferencial lineal de
coeficientes constante mediante el cambio de variable x
= et.
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial:
x2y’’ – xy’ + y = 6x + 5
x
f
y
x
a r
r
r
(
54. Curvas particulares de un haz
La solución de una ecuación diferencial representa el
haz de curvas que verifica dicha ecuación.
Si se imponen ciertas condiciones a ese haz se puede
obtener una curva particular del mismo.
Estas condiciones pueden ser dadas en puntos
específicos (xi, yi) por los que debe pasar la curva o en el
origen y (0), y’(0), etc.
En todo caso, el número de condiciones ha de coincidir
con el orden de la ED.
55. Curvas particulares de un haz
Hallar la curva que pasa por los puntos (0,0) y (1,2) y verifica
la ecuación diferencial:
y’’ – 3y’ + 2y = 4x – 8
Hallar la curva solución de la ecuación diferencial y’’ – 2y’ + 2y
= 2x2 que verifica las condiciones: y (0) = – 1, y’(0) = 1.
56. Bibliografía
Cálculo II. Sergio Falcón Santana. El Libro Técnico. Las
Palmas de Gran Canaria, 2001. ISBN: 84-95084-01-5
Cálculo y Geometría Analítica, Vol. 2, 3ª Ed. Larson,
R.E.; Hostetler, R .P. McGraw-Hill, Madrid, 1991.
ISBN:847615240X
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Vol. I (3º
Edición). Erwin Kreyszig. Limusa Wiley. ISBN: 968-18-
5310-5
