Presentaciòn de F

1. Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM
La función de transferencia de
sistemas lineales
México D.F. a 21 de Agosto de 2006

2. La función de transferencia
L [ c(t )] c (t ) = salida
Función de transferencia =
L [ r (t )] r (t ) = entrada
con condiciones iniciales cero
La función de transferencia:
La función de transferencia de un sistema se define como la
transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de
Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
•Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales
lineales invariantes en el tiempo.
•Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema.
•Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo
de entrada
•No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema

3. La función de transferencia
Ejemplos de funciones de transferencia:
R
1.- Circuito RL i (t )
Utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:
v (t ) L
di
v(t ) = Ri (t ) + L
dt
Figura 1. Circuito RL
Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:
V ( s ) = RI ( s ) + LsI ( s )
la relación corriente voltaje en Laplace, queda:
1
I (s) R
=
V ( s) L s + 1
R

4. La función de transferencia
2.- Sistema masa amortiguador resorte
Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:
d2y dy k
m 2 + b + ky (t ) = r (t )
dt dt
donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa, b
k es la constante del resorte, y (t ) es el desplazamiento y r (t )
es la fuerza aplicada. Su transformada de Laplace es:
m
( ) ( )
M s 2Y ( s ) − sy (0 + ) − y ' (0 + ) + b sY ( s ) − y (0 + ) + KY ( s ) = R( s ) y(t)
y ' (0+ ) = 0, y (0+ ) = 0, r(t)
considerando: Figura 1. Sistema masa
Amortiguador resorte.
Ms 2Y ( s ) + bsY ( s ) + KY ( s ) = R ( s )
Y ( s) 1
La función de transferencia es: =
R ( s ) Ms 2 + bs + K

5. La función de transferencia
2b.- Sistema masa amortiguador resorte con desplazamiento inicial
Considérese ahora que existe un desplazamiento inicial y0 . Entonces para
conservar la condición una entrada una salida se hace r (t ) = 0
( ) ( )
M s 2Y ( s ) − sy (0 + ) − y ' (0 + ) + b sY ( s ) − y (0 + ) + KY ( s ) = R( s )
condiciones iniciales r (t ) = 0, y ' (0+ ) = 0, y (0+ ) = y0 ,
La función de transferencia es:
Ahora el desplazamiento
y0 ( Ms + b) solo depende de la
Y (s) = posición inicial y los
Ms 2 + bs + K
parámetros del sistema.

6. La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Tipo de Elemento Ecuación
Símbolo
elemento físico representativa
I di i L
Inductancia v21 = L
n eléctrica dt v1 v2
d
u Resorte 1 df
c traslacional v21 = f f
k dt
t
v1 v2
a
n Resorte 1 dT ω1
c ω21 = ω2
rotacional
i
k dt
T1 T2
a

7. La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Capacitancia dv i
i = C 21
eléctrica dt v1 v2
C
C
dv
a f =m f m
p Masa dt
v
a
c
i dω Tω
Inercia T= j
t dt j
a
n p2
c Capacitancia dp21
fluídica q21 = C f q1 p1 q2
i dt
a Cf
Capacitancia dT q
térmica
q = Ct T Ct
dt

8. La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Resistencia 1 i
i = v21
eléctrica R v1 R v2
R
f b
e f
s Amortiguador f = bv
v21
i traslacional
s
T T
t Amortiguador T = bω 21
e rotacional ω1
b ω2
n
c
i Resistencia 1
fluídica q= p21 q
a Rf p1
Rf p2
1 q
Resistencia q = T21
térmica T1 T2
Rt Rt

9. Diagramas de bloques
La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite
representar las relaciones de un sistema por medios
diagramáticos.
Diagrama a bloques
Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y
unidireccionales que representan la función de transferencia de las
variables de interés.
Consideraciones:
• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales
de un sistema.
• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente
al desempeño total del sistema.
• No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).
• El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.

10. Diagramas de bloques
Elementos de un diagrama a bloques
Función de
Variable Variable
transferencia
de entrada de salida
G (s )
Flecha:
Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la dirección
del flujo de señales.
Bloque:
Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para
producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en
los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.

11. Diagramas de bloques
Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado
R (s ) E (s ) C (s )
+ G (s )
-
punto de bifurcación
punto de suma B (s )
H (s )
B( s)
Función de transferencia en lazo abierto = G ( s) H ( s)
E (s)
C (s)
Función de transferencia trayectoria directa = G( s)
E (s)
C (s) G ( s)
Función de transferencia lazo cerrado =
R( s) 1 + G ( s) H ( s)

12. Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en serie
R (s ) D (s ) C (s ) R (s ) C (s )
G1 ( s ) G2 ( s ) G1 ( s )G2 ( s )
Por elementos en paralelo
G1 ( s )
R (s ) C (s )
+ R (s ) C (s )
+ G1 ( s ) + G2 ( s )
G1 ( s )

13. Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en lazo cerrado
R (s ) E (s ) C (s )
+ G (s ) R (s ) C (s )
- G ( s)
B (s ) 1 + G( s) H ( s)
H (s )
La simplificación de un diagrama de bloques complicado se
realiza mediante alguna combinación de las tres formas básicas
para reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de bloques
utilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.

14. Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente
B
A AG AG − B A
A− AG − B
G G G
+ +
- -
B B
1 B
G
G
A AG A AG
G G
AG AG
G

15. Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente
A AG A AG
G G
A 1 A
G
A B
A 1 B
+ G1
- + G2 G1
G2 -
G2