Este documento presenta 6 ejercicios de ecuaciones diferenciales para un curso de Matemática IV. Los ejercicios incluyen encontrar ecuaciones diferenciales de circunferencias tangentes a una recta, analizar soluciones de valor inicial, graficar curvas integrales usando isoclinas, y resolver ecuaciones diferenciales mediante factores integrantes y cambios de variables para llevar ecuaciones a formas estándar como ecuaciones de Bernoulli.

1. Universidad Nacional de Ingenieria
Facultad de Ingenier´ Geol´gica Minera y Metal´ rgica
ıa o u
Semestre acad´mico 2012-I
e
[ Curso: Matem´tica IV
a ]
EJERCICIO N o 1
1. Halle la ecuaci´n diferencial de todas las circunferencias tangentes a la recta y = −x
o
2. Sea la ecuaci´n diferencial
o
dy
= y 1/3
dx
y(0) = 0
a) Diga si la funci´n
o 
0

x≤c
y=
 2
[ (x − c)]3/2
3
x>c
es soluci´n del problema de valor inicial. Justifique su respuesta.
o
b) Cuantas soluciones pasan por el punto (0, 0)
3. Sea la ecuaci´n diferencial
o
dy
= sen(x) + y 2
dx
Halle:
a) La regi´n donde se cumple el teorema de existencia y unicidad
o
b) La gr´fica de algunas curvas integrales utilizando el m´todo de las isoclinas
a e
4. Determine la soluci´n general de la siguiente ecuaci´n diferencial utilizando un factor integrante
o o
u(z) tal que z = y − xy 2
(2x − y 4 + yexy )(y − xy 2 ) + (x2 − xy 4 + exy )(y 2 ) dx+
(−4xy 3 + exy x)(y − xy 2 ) + (x2 − xy 4 + exy )(2xy − 1) dy = 0
5. Calcule la soluci´n utilizando un factor integrante
o
(x2 +y 2 )(2x2 +2xy+y 2 )(xdy+ydx)+(xy)(2x2 +2xy+y 2 )(xdy−ydx)+(xy)(x2 +y 2 )(xdy−ydx) = 0
6. Dada la siguiente ecuaci´n diferencial
o
y ′ − xy 2 + (2x − 1)y = x − 1
a) Mediante un cambio de variable lleve esta E.D a una ecuaci´n de Bernoulli.
o
b) Resuelva la ecuaci´n hallada en a).
o
Lunes, 28 de Marzo del 2012