La elipse es una curva cerrada y plana determinada por los puntos cuyas distancias a dos focos fijos suman una constante. Tiene dos ejes perpendiculares, uno mayor que pasa por los focos y otro menor. Existen varios métodos geométricos para construir una elipse conociendo sus ejes o diámetros conjugados.

2. CARATULA

3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
(x1 , y1)
(x2 , y2)
Sean A = (x1 , y1) y B = (x2 , y2) dos
puntos cualquiera del plano. La distancia RECUERDA.
entre los puntos dados se define así La ecuación de una recta está dada
por: y= mx + b
d=
2 2
x2 x1 ) y2 y1 )

4. PENDIENTE DE UNA RECTA
Pendiente, medida de la inclinación de una recta dada en un sistema de ejes
cartesianos.
La pendiente de una recta es el aumento de la ordenada, y, cuando la abscisa, x,
aumenta una unidad.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación.
Si , son dos puntos de la recta, la pendiente se
( x1 , y 1 ) ( x2 , y2 )
obtiene del siguiente modo:
y2 y1
m
x2 x1
Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales.
Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a -1

5. ÁNGULO DE DOS RECTAS
2 1
1 2 1
2 tan tan 2 1
tan 2
tan 1
tan
L1 L2 1 tan 2
* tan 1
m2 m1
tan
1 m 2 * m1
m1 tan 1
pendient e de la primera recta
m2 tan 2
pendient e de la segunda recta

6. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Si se tiene un segmento de extremos P1 = (x1 , y1) y P2 = (x2 , y2),
y un punto P0 = (x0, y0) que divide al segmento En dos
P1 P2
segmentos iguales, tiene por coordenadas x1 x2 y1 y2
,
Es el punto medio de 2 2
P1 P2
P1
(x1 , y1)
P0
(x0, y0)
P2
(x2 , y2),

7. ÁREA DE UN POLIGONO EN FUNCIÓN DE LAS
COORDENADAS DE SUS VÉRTICES
P3 (x3 , y3)
P2 (x2 , y2),
P1
(x1 , y1)
M1 M3 M2
Sean P1 (x1, y1), P2 (x2 , y2) y P3 (x3 , y3) los vértices de un triángulo. El área A en
función de las coordenadas de los vértices viene dada por:
1
A x1 y 2 x2 y3 x 3 y1 x3 y 2 x 2 y1 x1 y 3
2

8. ECUACIONES DE LA RECTA
Pasa Por El Origen y = mx
PRINCIPAL y = mx + b
“m“= pendiente y “b” =intersección con eje “y”.
GENERAL Ax + By + C = 0
Punto - Pendiente y – y1 = m(x – x1)
DOS-PUNTOS
SEGMENTARIA, CANÓNICA
O FORMA DE LOS INTERCEPTOS

9. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.

10.  Las curvas cónicas son las secciones
producidas por un plano secante sobre una
superficie cónica de revolución
Una superficie cónica de revolución es la generada por una recta
que gira alrededor de un eje, e, fijo con el que se corta en un punto
V

11.  Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con
el eje de la superficie cónica, se producen las distintas
curvas cónicas .
Si el ángulo es mayor, igual o menor que el semiángulo del vértice de
la superficie cónica, se producen, respectivamente, una elipse, una
parábola o una hipérbola

12. FOCOS
El foco o los focos de una curva cónica son los puntos de tangencia del plano secante que
produce la cónica con las esferas inscriptas al cono que sean, a la vez, tangentes al
plano (teorema de Dandelín). Los focos son llamados puntos notables de las cónicas.
La elipse y la hipérbola tienen dos focos.
La circunferencia y la parábola sólo uno.
F
F
F F F
F
E L IP S E PARÁBO LA H IP É R B O L A
C IR C U N F E R E N C IA

13. DETALLE 1
En la
circunferencia sólo
hay un foco, que
es el centro de la
circunferencia
F F´
F
C IR C U N F E R E N C IA
E L IP S E F´
F
F En la elipse hay
dos focos

14. DETALLE 2
F
F
F
F
PARÁBO LA H IP É R B O L A
Un foco Dos focos

15. VÉRTICES
V2
F´
V1
F
V
F V
F
V2
E L IP S E F´
F
PARÁBO LA

16. VÉRTICES
F
V2
V2
V2 F V1
H IP É R B O L A

17. ELIPSE
di
re
ct
r iz
Se denomina directriz de
una curva cónica a la recta
de intersección del plano
secante con el plano que
di
re
F´
ct
contiene a la circunferencia
r iz
F de tangencia entre el cono
y la esfera que, siendo
tangente al plano secante,
está inscrita en la
circunferencia cónica.
di
re La elipse y la hipérbola
V2
ct
tienen dos directrices, la
r iz
F parábola sólo una
di
re
ct
r iz

18. DIRECTRICES-PARÁBOLA
V
V
F d ir
ect
r iz
F
PARÁBO LA

19. DIRECTRICES-HIPÉRBOLA
z
c tri
F d ir e
V2
V2
d ir e c t
r iz
z
c tri
d ir e
V2
F V1
d ir e c t
F r iz
H IP É R B O L A

20. • DEFINICIÓN DE ELIPSE.
Se denomina elipse a la curva cerrada y plana, que determina
el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a otros fijos F y F´ llamados focos, es constante e igual
al eje mayor AB.
Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica,
corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice, la sección
que produce es una curva cerrada que recibe el nombre de elipse.

21. ELIPSE
c irc u n fe re n c ia p rin c ip a l La elipse es una curva
cerrada y plana,
S lugar geométrico de
los puntos que
P
cumplen con la
r1 r2
condición de que la
c irc u n fe re n c ia fo c a l ´
suma de distancias
c irc u n fe re n c ia fo c a l
M N a otros dos fijos F1
2b
F1 F2 y F2, llamados focos,
es constante e igual
a 2a, siendo 2a la
longitud del eje
T mayor MN de la
2c elipse.
2a
Siempre se verifica que a2= b2
+ c2

22. La elipse tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto O, centro de la
curva.
O
Simetría: la elipse también es simétrica respecto a los dos ejes y, por tanto,
respecto del centro O.

23. S
e je re a l
M N
2b
e je v irtu a l
T
2a
Ejes: el eje mayor MN se le llama eje real y vale 2a y el eje menor ST es el eje
virtual y vale 2b.

24. F1 F2
2c
Distancia focal: la distancia focal F1 F2 vale 2c. Los focos están siempre en el eje real

25. P
r1 r2
F1 F2
Radios vectores: son las rectas PF1 (r1) y PF2(r2) que unen cada punto de la
elipse con los focos . La suma d estos dos segmentos es 2a

26. c irc u n fe re n c ia p rin c ip a l
O
2a
Circunferencia principal: es la que tiene por centro el de la elipse y el diámetro 2a

27. c irc u n fe re n c ia fo c a l ´
c irc u n fe re n c ia fo c a l
F1 F2
2a
Circunferencias focales: es la que tiene por centro los focos y radio 2a

28. Se llama diámetro de la elipse a cualquier cuerda que pase por su centro.
=
= O
Diámetros conjugados: se llaman así a todo par de diámetros que cumplen con
la condición de que cualquier recta secante paralela a uno de ellos queda dividida
en dos partes iguales por el otro.

29. RESUMEN
c irc u n fe re n c ia p rin c ip a l
S
P
r1 = r2
c irc u n fe re n c ia fo c a l ´
c irc u n fe re n c ia fo c a l
F1 e je re a l
M N
2b
= O F2
e je v irtu a l
T
2c
2a

30. RECTAS TANGENTES F´2
Las proyecciones de los focos sobre cualquier recta tangente a la elipse
pertenecen a la circunferencia principal.
t
F´1
F``1
F``1
p
c irc u n fe re n c ia fo c a l ´
c irc u n fe re n c ia fo c a l
F1 O F2
c irc u n fe re n c ia p rin c ip a l
El punto simétrico de un foco respecto de cualquier recta tangente a la elipse
pertenece a la circunferencia focal cuyo centro es el otro foco.

31. DETERMINACIÓN DE LOS FOCOS CONOCIENDO
Sean MN yEJESejes de una elipse:
LOS ST los
M N
S T
S • Se trazan ambos ejes
perpendiculares entre sí
a cortándose en su punto
a
medio.
M F1 O F2
N
•Se traza un arco de
circunferencia con centro en
uno de los extremos s del eje
menor y radio el semieje
mayor ON hasta cortar al eje
MN en los puntos y F1 y F2
T que son los focos.

32. CONSTRUCCIONES: MÉTODOS A MANO ALZADA
Método del jardinero (o de la cuerda):
-la cuerda mide 2a
Método del la tira de papel
-En un cartón se señalan los semiejes.

33. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE CONOCIENDO
LOS EJES: POR PUNTOS
Sean los ejes MN y ST:
•Se hallan los focos F1 y F2, como ya
se ha explicado.
S
V •Se toma un punto A cualquiera del
eje mayor, situado entre uno de los
r1
focos y el centro, y con radio MA y
M F1
A B C r2 F2
N centro en F1 se traza el arco 1 y
con radio NA y centro F2 se traza
el arco 2; estos dos arcos se cortan
r1 r2
en el punto V de la elipse.
T
Repitiendo la misma operación con otros puntos B, C, etc., se van determinando
puntos de la elipse que posteriormente se unen a mano o con plantilla.

34. MÉTODO: POR AFINIDAD
Sean los ejes MN y ST:
1.Se trazan dos circunferencias B
cuyos diámetros sean iguales al
eje mayor y al eje menor, S
respectivamente.
C
2.Se traza un radio cualquiera A
que corte a las dos
circunferencias en dos puntos A
y B.
3.Por el punto A de intersección
con la circunferencia menor se M N
traza la recta paralela al eje
mayor MN.
4.Por el punto B de intersección
con la circunferencia mayor se
traza la paralela al eje menor
ST.
5.El punto C de intersección de
las dos paralelas es un punto de T
la elipse.
Se repite la operación con tantos
radios como se desee, determinado
así diversos puntos de la elipse, que
posteriormente se unen a mano o
con plantilla.

35. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE
CONOCIENDO DOS DIÁMETROS
CONJUGADOS
Sean AB y CD dos diámetros
conjugados de la elipse:
T V
1.Se traza la circunferencia con
diámetro AB y centro en el punto
O.
2.Por el punto O se dibuja la
C R
perpendicular al diámetro AB que
corta a la circunferencia en T.
3.Se toma un punto S cualquiera
del diámetro AB, trazando por él
la paralela a OT hasta cortar a la
circunferencia en el punto V. S B
A
4.Se trazan dos rectas paralelas:
O
una a OC por el punto S y otra a
TC por el punto V; ambas se
cortan en el punto R de la elipse.
5.Repitiendo la misma operación
con otros puntos del diámetro AB
D
se van determinando puntos de
la elipse, que posteriormente se
unen con plantilla o a mano.
Para mejor entendimiento diremos que
cada punto de la elipse se obtiene por
construcción de triángulos semejantes
al OTC, como el SVR, etc.

36. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LA
PARÁBOLA

37. PARÁBOLA
d
d ire c triz
r P
La parábola es una curva plana, abierta y
r
de una rama. Se define como el lugar
geométrico de los puntos del plano que F e
equidistan de un punto fijo F llamo foco, y
de una recta fija d llamada directriz

38. PROPIEDADES
•La parábola tiene un eje perpendicular a la directriz. d
d ire c triz
•La parábola tiene un vértice V y un foco F situados en el eje.
A
El vértice, como cualquier otro punto de la parábola, equidista de la
directriz y del foco
r P
•Simetría: la parábola es simétrica respecto del eje. F´
r
•Radios vectores: son las rectas PF y PF que unen un punto con
el foco y con la directriz.
V F e
Circunferencia principal: es la recta tangente en el vértice; por
tanto tiene radio infinito.
Circunferencia focal: es la propia directriz; por tanto tiene radio
infinito.
B
c .p rin c ip a l
c .fo c a l
ü Parámetro 2p: es la longitud AB de la cuerda perpendicular al
eje en el foco F.

39. RECTAS TANGENTES t
La proyección del foco sobre una tangente pertenece a la
circunferencia principal, es decir, a la tangente en el vértice. d
d ire c triz
La directriz es el lugar geométrico de los puntos
simétricos del foco F respecto de cada tangente
P
El foco F equidista del punto de tangencia de una
F´
tangente y del punto donde esta corta al eje de la
parábola FP = FC.
r
F´´
V F e
C
c .p rin c ip a l
c .fo c a l

40. CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA CONOCIENDO
EL FOCO Y LA DIRECTRIZ
Los datos son: la directriz d, el eje e y el foco F:
d
m
d ire c triz
•El vértice es el punto medio del segmento MF.
•Se toma un punto cualquiera A del eje y se r P
traza la recta m perpendicular al eje E
r
•Con centro en el foco F y radio AM se traza
un arco que corta a la perpendicular m en
M V A B F C D e
los puntos P y P , puntos de la parábola. Se
cumple que PF = PE
Repitiendo la misma operación con otros
puntos B; C; etc., se obtienen puntos que r
unidos posteriormente a mano o con plantilla, P´
nos determinan la parábola.
c .fo c a l