CARATULA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS                                              (x1 , y1)                                         ...
PENDIENTE DE UNA RECTAPendiente, medida de la inclinación de una recta dada en un sistema de ejescartesianos.La pendiente ...
ÁNGULO DE DOS RECTAS                                                 2             1                     1                ...
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTOSi se tiene un segmento de extremos P1 = (x1 , y1) y P2 = (x2 , y2),y un punto P0 = (x0, y0) que...
ÁREA DE UN POLIGONO EN FUNCIÓN DE LAS                            COORDENADAS DE SUS VÉRTICES                              ...
ECUACIONES DE LA RECTAPasa Por El Origen y = mxPRINCIPAL y = mx + b“m“= pendiente y “b” =intersección con eje “y”.GENERAL ...
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.
   Las curvas cónicas son las secciones    producidas por un plano secante sobre una    superficie cónica de revolución  ...
   Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con    el eje de la superficie cónica, se producen las distintas    ...
FOCOSEl foco o los focos de una curva cónica son los puntos de tangencia del plano secante que    produce la cónica con la...
DETALLE 1                            En la                            circunferencia sólo                            hay u...
DETALLE 2                                    F            F                                F                F    PARÁBO LA...
VÉRTICES                       V2                  F´V1        F                                                  V       ...
VÉRTICES                F                V2                        V2           V2 F         V1     H IP É R B O L A
ELIPSE                             di                                 re                                 ct               ...
DIRECTRICES-PARÁBOLA           V                   V           F           d ir                              ect          ...
DIRECTRICES-HIPÉRBOLA                                             z                                   c   tri             ...
•    DEFINICIÓN DE ELIPSE.      Se denomina elipse a la curva cerrada y plana, que determinael lugar geométrico de los pun...
ELIPSE                                             c irc u n fe re n c ia p rin c ip a l                                  ...
La elipse tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto O, centro de lacurva.                                 ...
S                                                   e je re a l           M                                               ...
F1                             F2                                     2cDistancia focal: la distancia focal F1 F2 vale 2c....
P                         r1                    r2                  F1                            F2Radios vectores: son l...
c irc u n fe re n c ia p rin c ip a l                                                    O                                ...
c irc u n fe re n c ia fo c a l ´                                                                   c irc u n fe re n c ia...
Se llama diámetro de la elipse a cualquier cuerda que pase por su centro.                                          =      ...
RESUMEN                                                    c irc u n fe re n c ia p rin c ip a l                          ...
RECTAS TANGENTES                                                                               F´2Las proyecciones de los ...
DETERMINACIÓN DE LOS FOCOS CONOCIENDOSean MN yEJESejes de una elipse:  LOS ST losM                             NS         ...
CONSTRUCCIONES: MÉTODOS A MANO ALZADA                Método del jardinero (o de la cuerda):                -la cuerda mide...
CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE CONOCIENDO  LOS EJES: POR PUNTOS  Sean los ejes MN y ST:                                        ...
MÉTODO: POR AFINIDADSean los ejes MN y ST:      1.Se trazan dos circunferencias            B      cuyos diámetros sean igu...
CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE CONOCIENDO DOS DIÁMETROS CONJUGADOSSean AB y CD dos diámetrosconjugados de la elipse:           ...
DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LAPARÁBOLA
PARÁBOLA                                              d                                              d ire c triz         ...
PROPIEDADES•La parábola tiene un eje perpendicular a la directriz.                 d                                      ...
RECTAS TANGENTES                                                                                              tLa proyecci...
CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA CONOCIENDO   EL FOCO Y LA DIRECTRIZLos datos son: la directriz d, el eje e y el foco F:       ...
Flores
Flores
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Flores

258 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
258
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
2
Acciones
Compartido
0
Descargas
2
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Flores

  1. 1. CARATULA
  2. 2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS (x1 , y1) (x2 , y2)Sean A = (x1 , y1) y B = (x2 , y2) dospuntos cualquiera del plano. La distancia RECUERDA.entre los puntos dados se define así La ecuación de una recta está dada por: y= mx + bd= 2 2 x2 x1 ) y2 y1 )
  3. 3. PENDIENTE DE UNA RECTAPendiente, medida de la inclinación de una recta dada en un sistema de ejescartesianos.La pendiente de una recta es el aumento de la ordenada, y, cuando la abscisa, x,aumenta una unidad.La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación.Si , son dos puntos de la recta, la pendiente se ( x1 , y 1 ) ( x2 , y2 )obtiene del siguiente modo: y2 y1 m x2 x1Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales.Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a -1
  4. 4. ÁNGULO DE DOS RECTAS 2 1 1 2 1 2 tan tan 2 1 tan 2 tan 1 tan L1 L2 1 tan 2 * tan 1 m2 m1 tan 1 m 2 * m1m1 tan 1 pendient e de la primera rectam2 tan 2 pendient e de la segunda recta
  5. 5. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTOSi se tiene un segmento de extremos P1 = (x1 , y1) y P2 = (x2 , y2),y un punto P0 = (x0, y0) que divide al segmento En dos P1 P2segmentos iguales, tiene por coordenadas x1 x2 y1 y2 ,Es el punto medio de 2 2 P1 P2 P1 (x1 , y1) P0 (x0, y0) P2 (x2 , y2),
  6. 6. ÁREA DE UN POLIGONO EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES P3 (x3 , y3) P2 (x2 , y2), P1 (x1 , y1) M1 M3 M2Sean P1 (x1, y1), P2 (x2 , y2) y P3 (x3 , y3) los vértices de un triángulo. El área A enfunción de las coordenadas de los vértices viene dada por: 1 A x1 y 2 x2 y3 x 3 y1 x3 y 2 x 2 y1 x1 y 3 2
  7. 7. ECUACIONES DE LA RECTAPasa Por El Origen y = mxPRINCIPAL y = mx + b“m“= pendiente y “b” =intersección con eje “y”.GENERAL Ax + By + C = 0 Punto - Pendiente y – y1 = m(x – x1)DOS-PUNTOSSEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS
  8. 8. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.
  9. 9.  Las curvas cónicas son las secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de revolución Una superficie cónica de revolución es la generada por una recta que gira alrededor de un eje, e, fijo con el que se corta en un punto V
  10. 10.  Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con el eje de la superficie cónica, se producen las distintas curvas cónicas . Si el ángulo es mayor, igual o menor que el semiángulo del vértice de la superficie cónica, se producen, respectivamente, una elipse, una parábola o una hipérbola
  11. 11. FOCOSEl foco o los focos de una curva cónica son los puntos de tangencia del plano secante que produce la cónica con las esferas inscriptas al cono que sean, a la vez, tangentes al plano (teorema de Dandelín). Los focos son llamados puntos notables de las cónicas.La elipse y la hipérbola tienen dos focos.La circunferencia y la parábola sólo uno. F F F F F F E L IP S E PARÁBO LA H IP É R B O L A C IR C U N F E R E N C IA
  12. 12. DETALLE 1 En la circunferencia sólo hay un foco, que es el centro de la circunferencia F F´ FC IR C U N F E R E N C IA E L IP S E F´ F F En la elipse hay dos focos
  13. 13. DETALLE 2 F F F F PARÁBO LA H IP É R B O L AUn foco Dos focos
  14. 14. VÉRTICES V2 F´V1 F V F V F V2 E L IP S E F´ F PARÁBO LA
  15. 15. VÉRTICES F V2 V2 V2 F V1 H IP É R B O L A
  16. 16. ELIPSE di re ct r iz Se denomina directriz de una curva cónica a la recta de intersección del plano secante con el plano quedire F´ ct contiene a la circunferencia r iz F de tangencia entre el cono y la esfera que, siendo tangente al plano secante, está inscrita en la circunferencia cónica. di re La elipse y la hipérbola V2 ct tienen dos directrices, la r iz F parábola sólo una di re ct r iz
  17. 17. DIRECTRICES-PARÁBOLA V V F d ir ect r iz F PARÁBO LA
  18. 18. DIRECTRICES-HIPÉRBOLA z c tri F d ir e V2 V2 d ir e c t r iz z c tri d ir e V2 F V1 d ir e c t F r iz H IP É R B O L A
  19. 19. • DEFINICIÓN DE ELIPSE. Se denomina elipse a la curva cerrada y plana, que determinael lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma dedistancias a otros fijos F y F´ llamados focos, es constante e igualal eje mayor AB. Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica,corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice, la secciónque produce es una curva cerrada que recibe el nombre de elipse.
  20. 20. ELIPSE c irc u n fe re n c ia p rin c ip a l La elipse es una curva cerrada y plana, S lugar geométrico de los puntos que P cumplen con la r1 r2 condición de que lac irc u n fe re n c ia fo c a l ´ suma de distancias c irc u n fe re n c ia fo c a l M N a otros dos fijos F1 2b F1 F2 y F2, llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje T mayor MN de la 2c elipse. 2a Siempre se verifica que a2= b2 + c2
  21. 21. La elipse tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto O, centro de lacurva. OSimetría: la elipse también es simétrica respecto a los dos ejes y, por tanto,respecto del centro O.
  22. 22. S e je re a l M N 2b e je v irtu a l T 2aEjes: el eje mayor MN se le llama eje real y vale 2a y el eje menor ST es el ejevirtual y vale 2b.
  23. 23. F1 F2 2cDistancia focal: la distancia focal F1 F2 vale 2c. Los focos están siempre en el eje real
  24. 24. P r1 r2 F1 F2Radios vectores: son las rectas PF1 (r1) y PF2(r2) que unen cada punto de laelipse con los focos . La suma d estos dos segmentos es 2a
  25. 25. c irc u n fe re n c ia p rin c ip a l O 2aCircunferencia principal: es la que tiene por centro el de la elipse y el diámetro 2a
  26. 26. c irc u n fe re n c ia fo c a l ´ c irc u n fe re n c ia fo c a l F1 F2 2aCircunferencias focales: es la que tiene por centro los focos y radio 2a
  27. 27. Se llama diámetro de la elipse a cualquier cuerda que pase por su centro. = = ODiámetros conjugados: se llaman así a todo par de diámetros que cumplen conla condición de que cualquier recta secante paralela a uno de ellos queda divididaen dos partes iguales por el otro.
  28. 28. RESUMEN c irc u n fe re n c ia p rin c ip a l S P r1 = r2 c irc u n fe re n c ia fo c a l ´ c irc u n fe re n c ia fo c a l F1 e je re a l M N 2b = O F2 e je v irtu a l T 2c 2a
  29. 29. RECTAS TANGENTES F´2Las proyecciones de los focos sobre cualquier recta tangente a la elipsepertenecen a la circunferencia principal. t F´1 F``1 F``1 p c irc u n fe re n c ia fo c a l ´ c irc u n fe re n c ia fo c a l F1 O F2 c irc u n fe re n c ia p rin c ip a lEl punto simétrico de un foco respecto de cualquier recta tangente a la elipsepertenece a la circunferencia focal cuyo centro es el otro foco.
  30. 30. DETERMINACIÓN DE LOS FOCOS CONOCIENDOSean MN yEJESejes de una elipse: LOS ST losM NS T S • Se trazan ambos ejes perpendiculares entre sí a cortándose en su punto a medio.M F1 O F2 N •Se traza un arco de circunferencia con centro en uno de los extremos s del eje menor y radio el semieje mayor ON hasta cortar al eje MN en los puntos y F1 y F2 T que son los focos.
  31. 31. CONSTRUCCIONES: MÉTODOS A MANO ALZADA Método del jardinero (o de la cuerda): -la cuerda mide 2a Método del la tira de papel -En un cartón se señalan los semiejes.
  32. 32. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE CONOCIENDO LOS EJES: POR PUNTOS Sean los ejes MN y ST: •Se hallan los focos F1 y F2, como ya se ha explicado. S V •Se toma un punto A cualquiera del eje mayor, situado entre uno de los r1 focos y el centro, y con radio MA y M F1 A B C r2 F2 N centro en F1 se traza el arco 1 y con radio NA y centro F2 se traza el arco 2; estos dos arcos se cortan r1 r2 en el punto V de la elipse. TRepitiendo la misma operación con otros puntos B, C, etc., se van determinandopuntos de la elipse que posteriormente se unen a mano o con plantilla.
  33. 33. MÉTODO: POR AFINIDADSean los ejes MN y ST: 1.Se trazan dos circunferencias B cuyos diámetros sean iguales al eje mayor y al eje menor, S respectivamente. C 2.Se traza un radio cualquiera A que corte a las dos circunferencias en dos puntos A y B. 3.Por el punto A de intersección con la circunferencia menor se M N traza la recta paralela al eje mayor MN. 4.Por el punto B de intersección con la circunferencia mayor se traza la paralela al eje menor ST. 5.El punto C de intersección de las dos paralelas es un punto de T la elipse.Se repite la operación con tantosradios como se desee, determinadoasí diversos puntos de la elipse, queposteriormente se unen a mano ocon plantilla.
  34. 34. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE CONOCIENDO DOS DIÁMETROS CONJUGADOSSean AB y CD dos diámetrosconjugados de la elipse: T V 1.Se traza la circunferencia con diámetro AB y centro en el punto O. 2.Por el punto O se dibuja la C R perpendicular al diámetro AB que corta a la circunferencia en T. 3.Se toma un punto S cualquiera del diámetro AB, trazando por él la paralela a OT hasta cortar a la circunferencia en el punto V. S B A 4.Se trazan dos rectas paralelas: O una a OC por el punto S y otra a TC por el punto V; ambas se cortan en el punto R de la elipse. 5.Repitiendo la misma operación con otros puntos del diámetro AB D se van determinando puntos de la elipse, que posteriormente se unen con plantilla o a mano.Para mejor entendimiento diremos quecada punto de la elipse se obtiene porconstrucción de triángulos semejantesal OTC, como el SVR, etc.
  35. 35. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LAPARÁBOLA
  36. 36. PARÁBOLA d d ire c triz r PLa parábola es una curva plana, abierta y rde una rama. Se define como el lugargeométrico de los puntos del plano que F eequidistan de un punto fijo F llamo foco, yde una recta fija d llamada directriz
  37. 37. PROPIEDADES•La parábola tiene un eje perpendicular a la directriz. d d ire c triz•La parábola tiene un vértice V y un foco F situados en el eje. AEl vértice, como cualquier otro punto de la parábola, equidista de ladirectriz y del foco r P•Simetría: la parábola es simétrica respecto del eje. F´ r•Radios vectores: son las rectas PF y PF que unen un punto conel foco y con la directriz. V F eCircunferencia principal: es la recta tangente en el vértice; portanto tiene radio infinito.Circunferencia focal: es la propia directriz; por tanto tiene radioinfinito. B c .p rin c ip a l c .fo c a lü Parámetro 2p: es la longitud AB de la cuerda perpendicular aleje en el foco F.
  38. 38. RECTAS TANGENTES tLa proyección del foco sobre una tangente pertenece a lacircunferencia principal, es decir, a la tangente en el vértice. d d ire c trizLa directriz es el lugar geométrico de los puntossimétricos del foco F respecto de cada tangente PEl foco F equidista del punto de tangencia de una F´tangente y del punto donde esta corta al eje de laparábola FP = FC. r F´´ V F e C c .p rin c ip a l c .fo c a l
  39. 39. CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA CONOCIENDO EL FOCO Y LA DIRECTRIZLos datos son: la directriz d, el eje e y el foco F: d m d ire c triz •El vértice es el punto medio del segmento MF. •Se toma un punto cualquiera A del eje y se r P traza la recta m perpendicular al eje E r •Con centro en el foco F y radio AM se traza un arco que corta a la perpendicular m en M V A B F C D e los puntos P y P , puntos de la parábola. Se cumple que PF = PE Repitiendo la misma operación con otros puntos B; C; etc., se obtienen puntos que r unidos posteriormente a mano o con plantilla, P´ nos determinan la parábola. c .fo c a l

×