1. FUNCIONES EXPONENCIALES
Y LOGARÍTMICAS

2. Definición de función.
• X Función f(x)

3. • Una función f es una regla
de correspondencia que asocia
a cada objeto x de un
conjunto llamado dominio un
valor único f (x) de un
segundo conjunto. El conjunto
de valores así obtenidos se
llama rango de la función.

4. • Notación funcional :
Se usa una sola letra como f o
g o
F para denominar una
función.
Entonces , f (x) que se lee “f de
x” o
“ f en x” , designa el valor que f

5. Las funciones Reales:
• Definición:
Se llama función real a toda
función D—IR, siendo D un
subconjunto de IR.

6. 1. Funciones exponenciales.
• Una función exponencial es una función cuya expresión es
y = ax
siendo la base a un número real positivo y distinto de 1.
• Distinguimos dos casos:
a >1 0 < a <1

7. Propiedades de f(x) = ax,
a>0, a diferente de uno:
• 1) Todas las gráficas intersecan en el
punto (0,1).
• 2) Todas las gráficas son continuas, sin
huecos o saltos.
• 3) El eje de x es la asíntota horizontal.
• 4) Si a > 1 (a, base), entonces ax aumenta
conforme aumenta x.
• 5) Si 0 < a < 1, entonces ax disminuye
conforme aumenta x.
• 6) La función f es una función uno a uno.
•

8. Propiedades de las funciones
exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son
diferentes de uno y x, y reales:
• 1) Leyes de los exponentes:
•

9. • 2) ax = ay si y sólo si x = y
• Para x diferente de cero, entonces
ax = bx si y sólo si a = b.
• Ejemplo para discusión: Usa las
propiedades para hallar el valor de x
en las siguientes ecuaciones:
•
• 1) 2x = 8
• 2) 10x = 100
• 3) 4 x - 3 = 8
• 4) 5 2 - x = 125

10. • Ejercicio de práctica: Halla el valor
de x:
•
• 1) 2x = 64
• 2) 27 x + 1 = 9

11. x
3
a >1 f(x) =  
2
x y
-4 0,2
-3 0,3
-2 0,44
-1 0,67
0 1
1 1,5
2 2,25
3 3,375
4 5,06

12. a >1 f(x) = 2x
x y
-4 0,0625
-3 0,125
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16

13. a >1 f(x) = 3x
x y
-4 0,012
-3 0,037
-2 0,11
-1 0,3
0 1
1 3
2 9
3 27
4 81

14. x
2
0 < a <1 f(x) =  
5
x y
-4 39,1
-3 15,625
-2 6,25
-1 2,5
0 1
1 0,4
2 0,16
3 0,064
4 0,0256

15. x
1
0 < a <1 f(x) =  
2
x y
-4 16
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 0,5
2 0,25
3 0,125
4 0,0625

16. x
2
0 < a <1 f(x) =  
3
x y
-4 5,06
-3 3,375
-2 2,25
-1 1,5
0 1
1 0,67
2 0,44
3 0,3
4 0,2

17. En general si a > 1
• Dominio: R
• Recorrido (0, +∞)
• Monotonía Estrictamente creciente
• Acotación Acotada inferiormente por 0
• Puntos de corte con los ejes Y → (0,1)
X → ninguno

18. En general si 0 < a < 1
• Dominio R
• Recorrido (0, +∞)
• Monotonía Estrictamente decreciente
• Acotación Acotada inferiormente por 0
• Puntos de corte con los ejes Y → (0,1)
X → ninguno

19. Función exponencial natural:
Es la función exponencial cuya base es igual a
“e”, donde e = 2.71828…La notación e para
este número fue dada por Leonhard Euler
(1727).
Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex
define a la función exponencial de base e.
f(x)
x ex 8
-2 0.14 7
6
-1 0.37 5
4
0 1 3
2
1 2.72 1
x
2 7.39
-2 -1 1 2 3
3 20.01

20. • El dominio es el conjunto de los números reales y
el rango es el conjunto de los números reales
positivos.
• La función f(x) = ex es una función exponencial
natural. Como 2<e<3, la gráfica de
• f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se
ilustra a continuación:

21. • En la simplificación de expresiones exponenciales
y en las ecuaciones exponenciales con
base e usamos las mismas propiedades de las
ecuaciones exponenciales con base b.
• Ejemplos: Simplifica.
•
•
• Ejemplo: Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1
•
• Práctica:
• 1) Simplifica: (e 3x + 1) /(e 2x – 5)
• 2) Halla el valor de x en e3x – 4 = e2x
•

22. Aplicaciones
• La función exponencial sirve para describir
cualquier proceso que evolucione de modo que
el aumento (o disminución) en un pequeño
intervalo de tiempo sea proporcional a lo que
había al comienzo del mismo.
• A continuación se ven tres aplicaciones:
 Crecimiento de poblaciones.
 Interés del dinero acumulado.
 Desintegración radioactiva.

23. Interés compuesto
En el interés compuesto los intereses producidos por un capital, Co
se van acumulando a éste, de tiempo en tiempo, para producir
nuevos intereses.
• Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se
acumulan al capital, se llaman periodos de capitalización o de
acumulación. Si son t años, r es el rédito anual (interés anual en
%) el capital final
• obtenido viene dado por la fórmula:
Si se consideran n periodos de tiempo, (n=12 si meses,
n=4 si trimestres, n=365 si días,...) la fórmula anterior
queda:

25. Crecimiento de poblaciones
• El crecimiento vegetativo de una población viene
dado por la diferencia entre nacimientos y
defunciones. Si inicialmente partimos de una
población Po, que tiene un índice de crecimiento i
(considerado en tanto por 1), al cabo de t años se
habrá convertido en

26. Desintegración radiactiva
• Las sustancias radiactivas se desintegran
con el paso del tiempo. La cantidad de una
cierta sustancia que va quedando a lo largo
del tiempo viene dada por:
La rapidez de desintegración de las sustancias
radiactivas se mide por el “periodo de
desintegración” que es el tiempo en que tarda en
reducirse a la mitad.

28. 2. Funciones logarítmicas.
• Definición de logaritmo
y = log a x ⇔ x = a y
• Una función logarítmica es una función cuya expresión es:
y = loga x
siendo la base a un número real positivo y distinto de 1.
• Distinguimos dos casos:
a >1 0 < a <1

29. a >1 f(x) = log2 x
x y
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
16 4

30. a >1 f(x) = log3 x
x y
1/27 -3
1/9 -2
1/3 -1
1 0
3 1
9 2
27 3

31. 0 < a <1 f(x) = log1 x
2
x y
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
16 -4

32. 0 < a <1 f(x) = log2 x
3
x y
8/27 3
4/9 2
2/3 1
1 0
3/2 -1
9/4 -2
27/8 -3

33. En general si a > 1
• Dominio (0, +∞)
• Recorrido R
• Monotonía Estrictamente creciente
• Acotación No está acotada
• Puntos de corte con los ejes Y → (1,0)
X → ninguno

34. En general si 0 < a < 1
• Dominio (0, +∞)
• Recorrido R
• Monotonía Estrictamente decreciente
• Acotación No está acotada
• Puntos de corte con los ejes Y → (1,0)
X → ninguno

35. a >1

36. 0 < a <1

37. 3. Logaritmo de un número.
• El logaritmo de un número, m, positivo, en base a, positiva y
distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la
base para obtener el número m dado:
log a m = z ⇔ m = a z
• Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y
se expresan por log en vez de log10 , es decir:
log10 m = log m
• Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y
se expresan por ln o L en vez de loge , es decir:
loge m = ln m = Lm

38. Ejemplos.
log3 81 = 4 porque 81 = 34
log 100 = 2 porque 100 = 102
log 3 9 = 4 porque 9 = ( 3) 4
1 1
log = −3 porque = 10 −3
1000 1000
−3
1
log1 8 = −3 porque 8= 
2
2
ln e = 1 porque e = e1

39. Calcular por la definición de logaritmo el valor de y :

40. Propiedades.
• El logaritmo de la unidad es cero: log a 1 = 0
• El logaritmo de la base es uno: log a a = 1
• Ejemplos : log 10 = 1 , ln e = 1
• El logaritmo de una potencia de la base es el exponente:
• Ejemplo
log a a x = x
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de sus factores:
loga (x ⋅ y ⋅ ... ⋅ z) = loga x + loga y + ... + loga z

41. Casos especiales:

42. Propiedades.
• El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo
menos el logaritmo del divisor:
x
log a   = log a x − log a y
y
 
• El logaritmo de una potencia es igual al exponente
multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia:
log a x y = y·log a x
• El logaritmo en base a de un número se transforma en el
logaritmo en otra base mediante:
logb x
log a x =
logb a

43. 4. Ecuaciones exponenciales.
• Una ecuación es exponencial cuando la incógnita
aparece en el exponente de una potencia.
• Nos podemos encontrar distintos tipos de
ecuaciones exponenciales:
- Ecuaciones reducibles a igualdad de potencias
de igual base.
- Ecuaciones resolubles por cambio de variable.

44. Ejemplos.
4·2 3x = 2048
Se busca una base común para todos los números que
aparecen: 2 3x
2 ·2
11
=2
Se opera: 22+3x = 211
Se igualan los exponentes: 2 + 3x = 11
3x = 9
Se resuelve:
x =3

45. Ejemplos.
3 x + 3 x −1 + 3 x −2 = 13
Se hace un cambio de variable: t = 3x −2
Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de
variable que vamos a realizar:
32 ·3x −2 + 3·3x −2 + 3x −2 = 13
Queda: 9t + 3t + t = 13
Se opera: 13t = 13 ⇒ t =1
Se deshace el cambio: 1 = 3x −2 ⇔ 30 = 3x −2
Se resuelve: x −2 = 0
x=2

46. Ejemplos.
9x + 18 = 11·3x
Se hace un cambio de variable: t = 3x
Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de
variable que vamos a realizar: ( )2 x
3 + 18 = 11·3x
(3 )
x 2
+ 18 = 11·3x
Queda: t2 + 18 = 11t ⇔ t2 − 11t + 18 = 0
Se resuelve: t1 = 2 t2 = 9
3x = 2 ⇒ x = log3 2
Se deshace el cambio:
3x = 9 ⇒ x =2

47. 5. Sistemas de ecuaciones exponenciales.
• Un sistema de ecuaciones es exponencial si al
menos una de sus ecuaciones es exponencial.
• Nos podemos encontrar distintos tipos de
sistemas de ecuaciones exponenciales:
- Sistemas en los que una o más ecuaciones son
reducibles a una igualdad de potencias con la
misma base.
- Sistemas en los que una o más ecuaciones son
resolubles por cambio de variable.

48. Ejemplos.
2x ·22 y = 32

23x 
= 16 
25 y 
Se reducen las igualdades a potencias de la misma base
2 x ·2y = 25 

23x : 25y = 24 

Se opera con las potencias:
2x +2y = 25 
23x −5y
=2 

4

⇒ x + 2y = 5 

3x − 5y = 4 
Se resuelve el sistema por alguno de los métodos conocidos:
x=3 y =1

49. Ejemplos.
3·5 x + 2·6 y +1 = 807 


15·5 x −1 − 6 y = 339 
Se hacen los cambios de variable: a = 5x −1 b = 6y
15a + 12b = 807 
3·(5·5 x −1) + 2·(6·6y ) = 807 
15·5 − 6 = 339
x −1 y



⇒
3·5a + 2·6b = 807 
15·a − b = 339 
 ⇒ 15a − b = 339 


Se resuelve el sistema (por reducción por ejemplo):
b = 36 a = 25
Se deshace el cambio de variable efectuado al principio:
a = 5x −1 b = 6y
25 = 5x −1 36 = 6y
x=3 6 =6
2 y y =2
5 =5
2 x −1
2 = x −1

50. 6. Ecuaciones logarítmicas.
• Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita
aparece afectada por un logaritmo.
• Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas
anteriormente de los logaritmos.
log a 1 = 0
log a a = 1
log a a x = x
log a (x·y·...·z) = log a x + log a y + ... + log a z
x
log a   = log a x − log a y
y
 
log a x y = y·log a x

51. Ejemplos.
2 log x – log (x-16) = 2
log x2 − log ( x − 16 ) = 2
 x2  x2
log   = log 100 ⇒ = 100
 x − 16  x − 16
100 ± 10000 − 4·1600
x2 − 100x + 1600 = 0 ⇒ x=
2
x1 = 80
100 ± 3600 100 ± 60
x= = =
2 2
x2 = 20
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.

52. Ejemplos.
log (x+1) = log (5x-13) – log (x-3)
 5x − 13 
log ( x + 1 ) = log  
 x −3 
5x − 13
x +1 =
x −3
⇒ x2 − 2x − 3 = 5x − 13 ⇒ x2 − 7x + 10 = 0
x1 = 5
7 ± 49 − 4·10 7± 9 7 ±3
x= = = =
2 2 2
x2 = 2
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que x2=2 no es
válida, ya que aparece el logaritmo de un número negativo
que no existe. Por tanto la única solución es x = 5.

53. Ejemplos.
log 2 + log(11 − x 2 )
=2
log(5 − x)
log 2 + log ( 11 − x2 ) = 2·log ( 5 − x )
( )
log 2·( 11 − x2 ) = log ( 5 − x )
2
22 − 2x2 = 25 + x2 − 10x ⇒ 3x2 − 10x + 3 = 0
x1 = 3
10 ± 100 − 4·3·3 10 ± 64 10 ± 8
x= = = =
2·3 6 6 1
x2 =
3
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.

54. 7. Sistemas de ecuaciones logarítmicas.
• Un sistema de ecuaciones es logarítmico si, por lo menos,
una de sus ecuaciones es logarítmica.
• Sistemas en los que una de las ecuaciones es logarítmica.
Se resuelven convirtiendo la ecuación logarítmica en
algebraica.
• Sistemas en los que las dos ecuaciones son logarítmicas.
Se pueden resolver por reducción o convirtiendo cada
ecuación logarítmica en algebraica. Para resolverlas
aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los
logaritmos.

55. Ejemplos.
 x + y = 22

log x − log y = 1
x + y = 22  x + y = 22
  x + y = 22
x
log = log 10 
⇒ x
= 10 
⇒ x = 10y 

y  y 
 
Resolviendo:
10y + y = 22 ⇒ y =2
x = 10y ⇒ x = 20
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.

56. Ejemplos.
log (x + y) + log (x − y) = log 33



 2x ·2y = 211
log ( (x + y)·(x − y) ) = log 33 ( (x + y)·(x − y) ) = 33


 ⇒ 
x + y = 11

 2x + y = 211 

x2 − y2 = 33


Resolviendo: ( 11 − y ) − y
2 2
= 33
 x = 11 − y
 121 + y2 − 22y − y2 = 33
−22y = −88 ⇒ y=4
x = 11 − y ⇒ x=7
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.

57. Ejemplos.
2log x − 3log y = 7

 log x + log y = 1
 x 2 x2 7
log x − log y = 7

2 3
log 3 = log 107 = 10 

 log ( x·y ) = log 10

⇒  y ⇒ y3 

 x·y = 10 10 
 x=
y 

Resolviendo:
100 100 1
y5
= 107 ⇒ y = 7 = 10 −5
5
10
⇒ y=
10
x.y = 10 ⇒ x = 100
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.

58. Ejemplos.
2log x − 3log y = 7

 log x + log y = 1
log x = 1 − log y
2 ( 1 − log y ) − 3log y = 7 ⇒ 2 − 2log y − 3log y = 7
−5log y = 5 ⇒ log y = −1 ⇒ y = 10 −1
1
y=
10
log x = 1 − log y ⇒ log x = 1 − ( −1 ) = 2 ⇒ x = 100
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.