Este documento describe las distribuciones de probabilidad binomial y normal. Explica que la distribución binomial modela experimentos con dos resultados posibles (éxito/fracaso) y probabilidad constante, mientras que la distribución normal describe fenómenos continuos. Proporciona fórmulas para calcular la probabilidad de resultados en la distribución binomial y tablas de valores para la distribución normal estándar N(0,1).

1. Tema: Distribuciones de Probabilidad
2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Y DISTRIBUCIÓN NORMAL

2. Apuntes: Triángulo de Tartaglia o de Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
7 6 15 20 15 6 1
….
Este triángulo está formado por los números combinatorios

3. Distribución Binomial. Definición
Un experimento aleatorio que tiene las siguientes características sigue el modelo de
una distribución binomial:
• En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el
suceso A, que se llama éxito, y su contrario Ac, al que se llama
fracaso.
• El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos en las pruebas anteriores.
• La probabilidad del suceso A es constante; por tanto, no varía de una
prueba a otra. Se representa por p la probabilidad de A, y por q = 1 – p
la probabilidad de Ac .
La variable X, que representa el número de éxitos obtenidos en n pruebas, se denomina
variable aleatoria binomial.
Esta variable es discreta, ya que si se realizan n pruebas se podrán obtener 0, 1, 2, …,
n éxitos.
Una distribución binomial se caracteriza por los parámetros número de pruebas
realizadas, n, y probabilidad del suceso “éxito”, p, y se representa por B(n, p).
Ejemplos

4. Distribución binomial: función de probabilidad
1
Éxito: A = "obtener un 6" p(A) =
Fenómeno aleatorio: 6
lanzar un dado
5
Fracaso: A = "no obtener un 6" p(A) =
6
Si realizamos n = 10 pruebas, la probabilidad de obtener r = 3 éxitos es:
1357
B=A∩A∩A∩A∩A∩A∩A∩A∩A∩A P(B) =    
6 6
10 
Formas de obtener 3 éxitos: = 3 



 
10 1 3
  7
   5

p(obtener 3 éxitos) = p(X = 3) = 3 .   
   .
6
  
   6

5. Distribución binomial: función de probabilidad
X = "número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10 , 1/6)
Función de probabilidad:
r 10 - r
 1 
10  5
p(X = r) =   
. . 
r  6
 6 
Tabla de valores de B(10, 1/6) Gráfica de la función de probabilidad
0,35
r p(X = r)
0 0,161505583
1 0,323011166 0,28 p(x)
2 0,290710049
3 0,155045360 0,21
4 0,054265876
5 0,013023810
0,14
6 0,002170635
7 0,000248073
8 0,000018605 0,07
9 0,000000827
10 0,000000017 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6. Distribución Binomial: media y varianza
En una variable aleatoria binomial B (n , p)
Media: μ=np
Varianza: σ 2 =n pq
Desviación típica: σ = n p q
Ejemplo.- X = "número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10 , 1/6)
Media = 10 · 1/6 = 10/6
Varianza = 10 · 1/6 · 5/6 = 50/36
Desviación típica = √50 / 6

8. Variable aleatoria de la Distribución Normal N(µ, σ)
Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de
media µ y desviación típica σ, y se designa por N(µ, σ) si se
cumplen las siguientes condiciones.
1.ª La variable puede tomar cualquier valor real, es decir, x ∈(–∞, +∞).
2.ª La función de densidad, que es la expresión en términos de
ecuación matemática de la función de Gauss, es:
2
 x-µ 
1 -1 
 σ 

f(x) =
σ 2π
e 2  

9. Características de la función de densidad de la N(µ, σ )
2
 
1 - 1  x-µ  1 )
f(x) = e 2 σ 
  (µ,
σ 2π σ 2π
Y Área bajo la curva:
1 unidad
I' I
X
y=0
µ−σ µ+σ
x=µ
Campo de existencia = (– ∞,+ ∞)
Creciente Decreciente

10. Familia de distribuciones normales

11. Familia de distribuciones normales

12. Distribución normal estándar N(0, 1)
De las infinitas distribuciones N(µ, σ) tiene especial interés la distribución
N(0, 1), es decir, aquella que tiene por media el valor cero (µ = 0) y por
desviación típica la unidad (σ = 1). Se le designa como variable Z.
Y
Características de la distribución N(0,1):
1 - 1 t2
1. Función de densidad: f(t) =
2π
e 2
a
∫
1 X
2. Probabilidad: 1 − t2
P( Z ≤ a) = e 2
dt a
2π 0
−∞

13. Tablas de la normal N(0, 1)
x
∫
1
1 − t2
F ( x) = P( Z ≤ x) = e 2
dt
2π
−∞
x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

14. Manejo de tablas
x 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517
Y
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 X
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 1,23
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082
P(Z ≤ 1,23) = 0,8907

15. Manejo de tablas
x 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517
Y
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 X
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708
–1,23 1,23
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082
P(Z ≤ –1,23) =1 – P(Z ≤ 1,23) = 1 – 0,8907 = 0,1093

16. Manejo de tablas
x 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517
Y
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 X
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708
1,01 1,23
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082
P(1,01 ≤ Z ≤ 1,23) = P(Z ≤ 1,23) – P(Z ≤ 1,01) =
= 0,8907– 0,8438 = 0,1469

17. Manejo de tablas
x 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517
Y
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 X
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708
–1,23 –1,01 1,01 1,23
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082
P(–1,23 ≤ Z ≤ –1,01) = P(1,01 ≤ Z ≤ 1,23) =
= P(Z ≤ 1,23) – P(Z ≤ 1,01)0,8907– 0,8438 = 0,1469
=

18. Manejo de tablas
x 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517
Y
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 X
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 –1,23 1,01
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082
P(–1,23 ≤ Z ≤ 1,01) = P(Z ≤ 1,01) – P(Z ≤ –1,23) =
= P(Z ≤ 1,01) – (1 – P(Z ≤ 1,23)) 0,8907– 1+ 0,8438 = 0,7345
=

19. Apuntes: Algunas probabilidades bajo la N(µ, σ )
Y
X
µ – 3σ µ – 2σ µ – σ µ+σ µ + 2σ µ + 3σ
0,683
0,954
0,997

20. Apuntes: Tipificación de la variable N(µ, σ )
Dada una variable aleatoria X que sea N(µ, σ)
Con el cambio de variable Z = (X - µ)/ σ
Se consigue una variable aleatoria Z que es N (0 , 1)
Se dice que Z es la variable tipo o tipificada.
Pasar el problema a esta variable nos permite poder resolverlo consultando la
tabla N (0 , 1)
Ejemplo.- Sea X una N(5 , 0,4). Calcular P (X ≤ 5,8)
Variable tipificada: Z = (X – 5)/ 0,4
Entonces: P (X ≤ 5,8)= P [(X – 5)/ 0,4 ≤ (5,8 – 5)/ 0,4] = P (Z ≤ 2)
Buscamos en la tabla N (0 , 1): P (Z ≤ 2) =0,9772