Este documento describe los pasos para desarrollar una ecuación que grafique cualquier polígono regular en el sistema de coordenadas polares. Primero se analiza un triángulo isósceles como base, luego se usan propiedades trigonométricas para obtener la ecuación de una recta y transformarla a coordenadas polares. Finalmente, se hace periódica la ecuación para graficar polígonos regulares de cualquier lado, y se explican algunas observaciones sobre la ecuación.

1. FABIAN IGNACIO PULGAR LOPEZ
Polígonos Regulares
Coordenadas Polares
Realizado en:
20/10/2012
Documento que demuestra todos los pasos que se siguieron para resolver el problema de graficar
cualquier polígono regular en el sistema de coordenadas polares.

2. Polígonos Regulares
20 de octubre de 2012
Introducción del Problema
El problema se postula: Desarrollar una ecuación que al aplicarla en el sistema de
coordenadas polares, de como resultado del grafico un polígono regular de lado L, que
tenga como valor máximo de la función r, y un ángulo de giro α, todas como constantes de
de la ecuación.
Desarrollo del Problema
Análisis de la pregunta: Como el problema postula que debemos desarrollar la ecuación
para graficar un polígono, debemos saber que un polígono posee líneas rectas que
cambian su ángulo según el numero de lados, por lo que podemos encontrar la primera
relación de la ecuación que queremos obtener. Además la forma del polígono hace que su
ecuación deba tener periodos en su función, ya que la ecuación de la recta deberá
repetirse según el número de lados del polígono.
Vamos a considerar un triangulo como base de todos los polígonos, este triangulo será
isósceles, ya que poseerá dos lados con el valor de r, y además el ángulo que debe
formarse a través de estas dos rectas debe ser de radianes dividido por el número de
lados.
Ahora, como ya tenemos este triangulo, podemos obtener el valor de la recta que es la
base del triangulo isósceles, dividamos el triangulo en dos y obtenemos que:
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Entonces, como tenemos ahora dos triángulos rectángulos, podemos obtener el valor de x
rápidamente con la propiedad del seno de un ángulo:
Y como x es la mitad del largo de la recta obtenemos que el largo total de la recta es:
Además para obtener el ángulo que falta:
Ahora podemos ver el triangulo con todos sus datos completados, esto nos servirá mucho
para lo siguiente del problema.
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Ocupando coordenadas rectangulares: Como anteriormente se realizó el proceso para
construir el triangulo que deseábamos, ahora este triangulo nos será muy útil, ocupemos
como base en el eje x un lado del triangulo de largo r, y nombramos a ese vértice como A.
Ahora a través de este grafico, debemos encontrar el valor del punto (x,y) para poder
realizar la ecuación de la recta y esa ecuación transformarla en su respectiva equivalente
en coordenadas polares. Tenemos dos incógnitas que encontrar primero: .
Estas incógnitas se resuelven a través de las propiedades de la trigonometría:
Obtengamos la variable
Pero:
Entonces:
4

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Pero:
Entonces:
Ahora obtengamos
Pero:
Entonces:
Ahora como ya tenemos las dos variables, encontremos los valores del punto (x,y):
Pero:
5

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Entonces:
Pero:
Entonces:
Ahora:
Como ya tenemos los valores del punto (x,y) procedemos a la ecuación de la recta que se
postula así entre dos puntos:
Nosotros en este caso elegiremos:
Entonces la ecuación queda:
6

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Utilizando propiedades antes vistas:
Ahora ya tenemos la ecuación representada por coordenadas rectangulares, a
continuación debemos transformarlas de acuerdo a esta manera:
Entonces la ecuación nos queda:
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Factorizamos por R y nos queda:
Pero:
Entonces:
Y despejamos R, en función de
Y esta es la ecuación base de la recta que forma al polígono, ahora hay que hacer que esto
ocurra en periodos de .
Si , entonces a través de la función parte entera, podemos realizar un
periodo:
Lo que se realizó acá se puede explicar como un número que va aumentando de acuerdo a
como aumente , con respecto a que es el máximo ángulo que puede tomar el valor de
, entonces si:
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Y ese factor nos sirve para eliminar el valor de , cuando , entonces, para que
podamos hacer periodos de , debemos reemplazar donde haya en la ecuación por:
Y en la ecuación nos quedaría:
Y el ángulo de giro solo afecta a , así que la ecuación que se pide quedaría como se
muestra a continuación:
Y esta es la ecuación de un polígono regular de lado L, con valor máximo de la función r, y
con un ángulo de giro α.
Observaciones:
- Esta ecuación sirve para
- Si , es variable, y se forma una espiral con la forma del polígono de lado
- Si , es variable, y se forma una figura con puntas.
- Si es decimal o irracional, se forma una figura no poligonal.
- Si = , es variable y se forma una sola figura no poligonal.
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Polígonos regulares:
Triangulo: Cuadrado: Pentágono: Hexágono:
10
5
5
5
5
10 5 5 10
4 2 2 4 6 8 10 10 5 5 10 5 5 10
5
5 5
5
10
Heptágono: 10
Octágono: Nonágono: 10
Decágono:
10
5
5 5 5
10 5 5 10
10 5 5 10 5 5 10
5 5 10
5
5
5
5
10
10
10
Espirales:
Triangular: Cuadrada: Pentagonal: Hexagonal:
20
20
20
20
10
10 10
10
20 10 10 20 30
20 10 10 20 30 20 10 10 20 30
10 10 20 30
10
10
10
10 20
20
20
20 30
Heptagonal: Octagonal: Nonagonal: Decagonal:
20 20 20
20
10 10
10 10
20 10 10 20 30
20 10 10 20 30 20 10 10 20 30 20 10 10 20 30
10
10 10
10
20
20 20
20
30 30
30
10

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Otras figuras:
Estrella: Pi: 10
Raíz de 2: 60
E: 10
40
5 5 5
20
10 5 5 10 60 40 20 20 40 60 10 5 5 10
5 5 10
20
5 5
5
40
10 60 10
Generatriz: Espiral desfasada: Estrella 6 puntas: Pasadizo:
150
30
0.03
20 100 5
0.02
10
50 0.01
10 5 5 10
30 20 10 10 20 30 40
0.03 0.02 0.01 0.01 0.02 0.03
10 100 50 50 100
0.01
5
20
50
0.02
30
0.03
100
Área y Perímetro de un polígono regular:
A través del modelo que se hizo para descubrir la ecuación para graficar polígonos
regulares podemos encontrar sus perímetros y áreas:
Ecuación con dependencia de r y L:
Tomemos de nuevo como base el triangulo que teníamos al comienzo:
Como ya vimos, es un triangulo isósceles; para el perímetro total de la figura basta
multiplicar la base de este triangulo por los lados de la figura:
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Ahora, para conseguir el área total de la figura, basta conseguir el área del triangulo y
multiplicarlo por el número de lados de la figura, pero sabemos que el área del triangulo
isósceles es:
Dividamos el triangulo en 2, para realizar los cálculos de una manera más simple:
Ahora como ya tenemos h, sólo nos falta reemplazar en la formula:
Y como esto es sólo el área del triangulo, el área de la figura es:
En efecto, si expresamos el área y el perímetro en función de la longitud de uno de sus
lados y la cantidad de lados que éste posee entonces debemos considerar que:
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Y ahora sólo se reemplaza en las ecuaciones que hicimos anteriormente:
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