1. Definiciones

2. Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva ¿Qué es la Geometría Descriptiva? Es la ciencia que busca representar los objetos tridimensionales sobre una superficie plana o sea en 2 dimensiones. La Geometría descriptiva proporciona los fundamentos, principios, artificios para resolver y comunicar gráficamente los diferentes elementos en el espacio (puntos, rectas, superficies planas o curvas, sólidos o volúmenes), en doble proyección ortogonal. Concepto

4. Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyección de un objeto sobre una superficie. Principios de la proyección Proyección Plano de proyección Visuales Objeto Observador Visuales Ortogonal Proyección cilíndrica Oblicua Proyección cónica Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva 1.- Teoría De la Proyección

5. Tipos de proyección Perspectivas De un punto de fuga De dos punto de fuga Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva 1.- Teoría De la Proyección

6. Vistas múltiples Tipos de proyección Sistemas de proyección Cilíndricas Oblicuas Axonométricas Acotado Ortogonales u Ortográfica Dimétrica Trimétrica Isométrica Aérea Gabinete Caballera Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva Sistema de proyección

7. Definición: Sistemas de representación Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección. Tipos de sistemas de representación Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección. Sistema Diédrico Sistema de proyección Acotado Sistema de representación en perspectiva El término de diédirco viene de la obtención de una doble proyección ortogonal, (la proyección vertical y horizontal del cualquier objeto). Se aplica la proyección horizontal pero utilizada solamente en el plano de proyección horizontal. Las distancias de los diferentes puntos al plano horizontal se les llama cota. Nos permite mostrar en un solo plano de proyección las tres dimensiones del objeto. Se representa el objeto tridimensionalmente y se pueda aplicar tanto la proyección cilíndrica como la cónica Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva 2.- Sistema de representación 30º 30º 30º Isométrica

8. Selección de un sistema de representación Sistemas de representación Este depende a la conveniencia del campo de trabajo del ingeniero y la manera de comunicación gráfica del objeto. Por ejemplo en el área de topografía, el sistema acotado es utilizado para la elaboración de planos de curvas de niveles. El sistema más utilizado por el ingeniero es el Diédrico, y se utiliza la perspectiva como complemento de información del trabajo a desarrollar. Es por ende que se utilizará para el desarrollo de esta unidad el sistema diédrico como sistema de representación para la comunicación gráfica de los diferentes elementos en el espacio en el campo de la ingeniería. Sistema diédrico y cuadrantes espaciales Refiere los problemas espaciales a dos planos de proyección perpendiculares entre si. La intersección de estos dos planos forma la línea de tierra, dividiendo el plano vertical y el horizontal en dos semiplanos, formando cuatro diedros o cuadrantes. Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva 2.- Sistema de representación Iº IIº IIIº IVº A A A H V Semiplano V. Superior Semiplano V. Inferior Semiplano H. anterior Semiplano H. posterior LT PH PV DIEDROS

9. Vista de canto del Sistema Diédrico Existen dos planos de posición, el I Bisector que divide al I y III diedro en partes iguales y el IIº Bisector que divide al II y al IV diedro. Los planos horizontales y verticales son planos de proyección y los bisectores son solo planos de posición. Nota Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva I BIS II BIS Vista en perspectiva del Sistema Diédrico PH PV I BIS II BIS Iº IIº IVº IIIº LT 2.- Sistema de representación

10. Para representar un objeto en el espacio abatimos el plano horizontal alrededor de la L.T. Al ver la vista ortogonal del abatimiento, el Semiplano Horizontal Posterior (SHP) se confunde con el SVI y el Semiplano Horizontal Anterior (SHA) se confunde con el SVS Teoría del giro Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva DIEDROS A A V PV A A H V PH A H PH A A H V PV SHP S VS SVI SHA L.T. SVS SHP SVI SHA SVS SHA SHP SVI A A H V A A H V SVS SHP SVI SHA 2.- Sistema de representación

11. Representación del Punto DIEDROS P P v PV P h PH P P h v Los puntos se representan con letras Mayúscula en el espacio, y en las proyecciones se le agrega el superíndice para identificar la proyección vertical y la proyección horizontal Es el elemento geométrico mas simple en el espacio Determinación de un punto mediante coordenadas P ( 95, 60, 40) P ( x, y, z ) PL 60 x z y -y -z 95 40 cota vuelo 95 60 40 Origen O= Origen de replanteo de todo punto X= Distancia del punto al plano lateral o de perfil Y= vuelo del punto (distancia del punto del plano vertical) Z= Cota del punto (distancia del punto al plano horizontal O 3.- Concepto del Punto Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva 3.- El Punto

12. Signos de coordenadas y vista de canto Iº IIº IVº IIIº Y -Y Z -Z Eje: P (30,-30,-50) 30 50 El punto tiene coordenadas (+ ; - ; -) esta en el III diedro. Para el replanteo en vista de canto la distancia en X no se toma en cuenta P P h P V Estos pueden determinarse en una vista de canto. Los signos dependen de la posición que se encuentre el punto con respecto a los diedros. Vista de canto Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva 3.- El Punto

13. Las posiciones fundamentales que puede ocupar un punto en el espacio son 13 3.2.- Alfabeto del punto. Representación espacial del punto en los diferentes diedros. A- En el I diedro B- En el II diedro C- En el III diedro D- En el IV diedro Vista de canto Vista Espacial Doble proyección ortogonal Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva y B B B h v D D h v D O A h V A B h V B C V C h D D h V B v A B C D -y z -z h B 3.- El Punto

14. F- En el I diedro y I Bis. G- En e III diedro y I Bis. H- En el II diedro y II Bis. I - En el IV diedro y II Bis. I(20;50;50) Vista de canto Vista Espacial Doble proyección ortogonal Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva 3.2.- Alfabeto del punto. Representación espacial del punto en los diferentes diedros. I I h v I II Bis I v F H G I y -y z -z h B I O F h V F H hv G v h G I hv 3.- El Punto

15. J- En el SHA K- En el SHP L- En el SVS M-En el SVI N- En la LT y M (35;0;55) N (120;0;0) Vista de canto Vista Espacial Doble proyección ortogonal Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva 3.2.- Alfabeto del punto. Representación espacial del punto en los diferentes diedros. -y z -z L J N M K N hv M J J M v v h h O h J hv v J v K h K L L v h v M M h N 3.- El Punto

17. La recta es el rastro que deja un punto sobre el espacio cuando este se mueve en una dirección y pendiente constante. En el espacio la línea recta esta definida, bien sea por dos puntos o un punto y una dirección. Se acostumbra a denominar la recta con la letra minúscula. Concepto O A V B h V B A A A h v B B B h v representación de una recta dada por dos puntos en el espacio (A y B) Ejemplo: r Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva h A r v r h r h r v 4.- La recta

18. Según la posición de la recta con respectos a los planos de proyección (horizontal, vertical o frontal y de perfil) esta pueden recibir diferentes denominaciones. Tipos de rectas De Pie AB De Punta CD Frontal EF Paralela a la L.T. MN Horizontal GH Oblicua IJ De Perfil KL Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva Recta de Pie (AB): Es perpendicular al plano horizontal Recta de Punta (CD): Es perpendicular al plano vertical o También llamado frontal Recta frontal (EF): Es paralelo al plano vertical o también llamado frontal Recta paralela a la L.T. Es paralelo a la línea de tierra Recta Horizontal (GH): Es paralelo al plano horizontal Recta oblicua (IJ): No es paralela al PH, PV y PL. Recta de Perfil (LK): Es paralela al plano lateral o plano de perfil N M N N v h M M v F E F F v h E E v h B B v h v A A B D C CD D v h h C I J L v h K K K v L h L v J h J H G H H v h G G v h h v 4.- La recta

19. Representación en doble proyección ortogonal Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva N M N N v h M M v F E F F v h E E v h B B v h v A A B D C CD D v h h C A B h A V V h B CD h C V h D E v h E F v h F N v M v h M h N G v h G H v h H J v h J I v h I h K K v h L L v I J L v h K K K v L h L v J h J H G H H v h G G v h h v 4.- La recta

20. Trazas de la recta La traza (o intersección) es el punto de penetración de una recta en un plano de proyección también se denomina puntos trazas o puntos notables de la recta. Para que un punto (como el punto traza) pertenezca a la recta debe tener su proyección sobre la proyección de la recta Dibujamos la recta dada ( por dos puntos: A,B). Traza Vertical Se determina con la intersección de la proyección horizontal con la línea de tierra encontrando el punto V (V h =0) donde corta con la proyección vertical. Traza Horizontal Se determina con la intersección de la proyección vertical con la línea de tierra encontrando el punto H (H v =0) donde corta con la proyección horizontal. Ejemplo: Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva B V V A h B A h V V h V h H H V B A V H h B B V A h V A h V V V h H H V 4.- La recta

21. Distancia y verdadera magnitud de la recta Cuando una recta es al menos paralela a uno de los proyección, su distancia se puede ser determinada en la proyección de la recta del plano de proyección al que es paralela. Método del triángulo de rebatimiento: Consiste en dibujar el triángulo que se genera en el espacio, resultante de la intersección de la recta en el espacio con su proyección. Este triángulo se dibuja en cualquiera de las proyecciones que arroja la recta. Cuando una recta es oblicua, su proyección sobre los planos se acorta, por ende estas proyecciones no se encuentran en verdadera magnitud. Por ello, existen diferentes métodos para determinar su verdadera distancia en el espacio. Ba´ A B β β α α dv dc dc dv Ba Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva h B B V A h V A VM AB VM AB ph AB pv AB h B B V A h V A β α dc dv VM AB VM AB Ba´ Ba dc dv 4.- La recta

22. Distancia y verdadera magnitud de la recta Método del triángulo de rebatimiento: Ba´ A B β β α α dv dc dc dv Ba Para determinar la verdadera magnitud: Se lleva sobre la proyección vertical de la recta AB una perpendicular (B v Ba´) la diferencia de vuelos entre los puntos de la recta, donde A v Ba´ es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra β (beta) que es el ángulo que forma la recta con el plano vertical. Se lleva sobre la proyección horizontal de la recta AB una perpendicular (B v Ba) la diferencia de cotas entre los puntos de la recta, donde A v Ba es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra α (alfa) que es el ángulo que forma la recta con el plano vertical. Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva h B B V A h V A VM AB VM AB ph AB pv AB h B B V A h V A β α dc dv VM AB VM AB Ba´ Ba dc dv 4.- La recta

23. Medir distancias sobre una recta Ba´ A B β β α α dc dc dv Ba Cuando una recta es al menos paralela a uno de los proyección, la distancia de cualquier punto ubicada sobre esta, puede ser determinada en la proyección de la recta del plano de proyección al que es paralela. Cuando una recta es oblicua, fijamos un segmento conocido (como AB) y determinamos su verdadera magnitud (A v Ba´) sobre el verdadero tamaño medimos la distancia que se desea conocer, esta distancia corresponderá proporcionalmente a la relación entre la proyección y verdadera magnitud Ejemplo: medir sobre el segmento AB, desde A una distancia d(AC) dv C C d Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva h B B V A h VM AB VM AB C V C h V A 4.- La recta

24. Ángulo de una recta Una recta en el espacio forma generalmente un ángulo α (alfa) con el plano horizontal y un ángulo β (beta) con el plano vertical Se debe verificar que la suma de dichos ángulos tienen que estar comprendida entre 0º y 90º Ejemplos: Recta de Pie (AB): α =90º β = 0º Recta de Punta (CD): Recta frontal (EF): Recta paralela a la L.T. α =0º β = 90º α =se mide en el P.V. β = º α =0º β =0º α Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva A B h A V V h B CD h C V h D E v h E F v h F N v M v h M h N N M N N v h M M v F E F F v h E E v h B B v h v A A B D C CD D v h h C h v 4.- La recta

25. Ángulo de una recta Ejemplos: Recta Horizontal (GH): Recta oblicua (IJ): Recta de Perfil (LK): α =0º β =se mide en el P.V. Se determina por el método de triángulo de rebatimiento Se puede medir en un plano lateral y los ángulos son complementarios α y β suman 90º α Vista de perfil o lateral β z y dv dc α = 50º β = 40º dv dc Para problemas de rectas de perfil casi siempre es necesaria construir al lado de la recta de perfil, una vista auxiliar de perfil (paralela al plano de perfil para resolverlos, (donde la recta se muestra en verdadero tamaño). Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva L v G v h G H v h H J v h J I v h I h K K v h L L v L p p K K v h L h K I J L v h K K K v L h L v J h J H G H H v h G G v h 4.- La recta

26. Construcción de una recta, mediante un Punto y una dirección, (conociendo sus ángulos α y β por medio de triángulos de rebatimiento). Cuando la recta no es paralela a los planos de proyección se recurre al triangulo de rebatimiento para determinar las proyecciones de esta Dado el punto “A” se desea conocer las proyecciones de una recta dada por el segmento AB que forma un ángulo α y β con los planos de proyección. Se obtiene con el método de triangulo de rebatimiento pero empezando a dibujar en un lugar arbitrario la hipotenusa que es el segmento AB (distancia conocida en V.T.). Para obtener las proyecciones (PV y PH) dibujamos los catetos adyacentes que estarán determinada por los ángulos α y β . Y para determinar la distancia de la PH y la PV se traza desde “B” perpendiculares a estas, quedando genera con PV dv y con PH dc. Teniendo generada la PH y PV del segmento AB y sus dv y dc, se procede a colocar las proyecciones de estas en doble proyección ortogonal con respecto al punto “A” Hay varias soluciones del problema cuando B tiene mayor cota o menor cota, mayor vuelo o menor vuelo, o si B este a la izquierda del punto A. Otra solución PH de AB Otra solución PV de AB < cota q´ A > cota q´A < vuelo q´ A > vuelo q´A Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva 4.- La recta

27. Construcción de una recta, mediante un Punto y una dirección, Conociendo la Proyección Horizontal (P.H.) de una recta (AB) y el ángulo α (ángulo con el mismo plano cuya proyección se conoce), ¿construir la recta sabiendo que pasa por “A”.? La P.V. del segmento AB se obtiene con el método de triangulo de rebatimiento, el problema se resuelve en determinar la diferencia de cota, para ello utilizamos la proyección horizontal en el cual se traza el ángulo α dado y trazando una perpendicular desde la P.H. del segmento AB y con la intersección de la hipotenusa o segmento en verdadera magnitud queda generada la dc (diferencia de cotas de los dos puntos. Determinada dc, se procede a dibujar la proyección desde A v Datos: Solución: Determinamos dc? mediante la P.H. de AB conociendo α Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva h B B V A h V A A B α dc pv AB dc 4.- La recta

28. dv Construcción de una recta, mediante un Punto y una dirección, Conociendo la Proyección Horizontal (P.H.) de una recta (AB), y el ángulo que forme con el plano vertical ( β ). determinar la proyección vertical de ella, y que pase por el punto “A”. Datos: Solución: Determinamos dv? mediante la P.H. de AB conociendo β La P.V. del segmento AB se obtiene con el método de triangulo de rebatimiento. El problema se resuelve en dibujar un triángulo arbitrario conociendo el ángulo β delimitado con el cateto opuesto que será la dv de AB, quedando generada así la P.V. de segmento AB. Luego se coloca este segmento (PV) en la proyección vertical de la recta desde A v . A B β dv Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva h B B V A h V A pv AB 4.- La recta

29. Construcción de una recta, mediante un Punto y una dirección, Si conocemos la proyección vertical (PV) y el ángulo β el problema es similar al ejemplo primero anterior. Si conocemos la proyección vertical (PV) y el ángulo α el problema es similar al ejemplo segundo anterior. dv A B β dv PH ? dv ? PH Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva h B B V A h V A pv AB h B B V A h V A A B α dc pv AB dc 4.- La recta

30. Orientación y pendiente de una recta Es el ángulo que forma la proyección horizontal de una recta con el eje coordendao Norte-Sur, Este ángulo siempre se mide en el plano de proyección horizontal y será en un ángulo menor a 90º Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva Orientación de una recta con respecto a un punto Ejemplo: Dado el punto A trazar una recta AB desde el punto A con una orientación N 66º E. 4.- La recta

31. Orientación y pendiente de una recta Es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta en el espacio con el plano horizontal de proyección. Se proyectará en verdadera magnitud en un plano vertical paralelo a la recta. Unidad Nº 2 Geometría Descriptiva Pendiente de una recta con respecto a un punto La pendiente se puede denotar en ángulos o en porcentaje. Para determinar la pendiente en porcentaje desde un punto extremo de la recta se mide 100 unidades y lleva una perpendicular con respecto a esta, el cateto opuesto al ángulo determina el valor de la pendiente en base al 100%. En ambos casos se debe tomar en cuenta lo siguiente: si la recta asciende con respecto a la línea de tierra a partir del punto determinado para medir dicho ángullo. Es negativa (-), si desciende o se acerca a la línea de tierra. Pendiente determinado por ángulo Pendiente determinado por porcentaje Pendiente Positiva (+) Pendiente Negativa (-) 4.- La recta

32. Unidad Nº 2 Representación del punto y la recta en el sistema diédrico Ejercicios propuestos 1- Dada la recta “m” por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide proyecciones de la recta “a” el tipo de recta, trazas y verdadera magnitud del segmento AB. 5. Dado el punto C( 30; 15; 40): a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60° con el Plano Horizontal de proyección y mide 50 mm. Tomar la alternativa de mayor vuelo y mayor cota para la representación del punto D. b) Hallar las trazas. Práctica Nº 4 Representación de la recta en el Sistema Diédrico

34. Unidad Nº 2 Representación del punto y la recta en el sistema diédrico Ejercicios propuestos Rectas en posiciones notables Dada la recta “m” por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide proyecciones de la recta “a” el tipo de recta y trazas y verdadera magnitud del segmento AB. Primero hallamos las proyecciones de los puntos A y B. (en la perspectiva se ve claramente que es una recta frontal). La recta es paralela a PV. La extensión de la proyección vertical hasta la línea de tierra ayuda a determinar el punto de penetración (traza) de la recta AB al plano horizontal que es el punto Q h , no existe traza vertical por que la recta es paralela al PV. La verdadera magnitud de la recta se puede verificar directamente sobre la proyección de la recta. Solución de ejercicios. 1 – Práctica Nº4 Representación de la recta en el Sistema Diédrico A v B v A h B h Q v Q h A h A v H h H v B v B h VM AB

35. Unidad Nº 2 Representación del punto y la recta en el sistema diédrico Ejercicios propuestos Rectas en posiciones notables Solución de ejercicios. 2 – Práctica Nº4 Dado el punto C( 30; 15; 40): a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60° con el Plano Horizontal de proyección y mide 50 mm. Tomar la alternativa de mayor vuelo y mayor cota para la representación del punto D. b) Hallar las trazas. Representación de la recta en el Sistema Diédrico

36. Unidad Nº 2 Representación del punto y la recta en el sistema diédrico Ejercicios propuestos Rectas en posiciones notables Solución de ejercicios. 1 – Práctica Nº5 1 – Dada una mina de cobre: a) Representar en doble proyección ortogonal la boca de un túnel de la mina dada por la recta &quot;r&quot; [A (100;40;20) y B(70;28;8)]. b) Determine el punto &quot;V&quot; y &quot;H&quot; (trazas de la recta AB con los planos de proyección) donde se encuentra las estaciones de trabajo del túnel AB. c) Representar la proyección del túnel HC que desciende por el suelo extensión de la recta &quot;r&quot; que mide 45 mt. d) Determinar la ubicación de otra estación de trabajo que se encuentra en el punto D emplazada en la mitad del tramo CH. e) A partir de la estación ubicada en el punto D construir un segundo túnel que va hasta el mineral que se encuentra en el punto E ubicado a 50 mt, este túnel es una recta de punta y E tiene mayor vuelo que D Determinar los ángulos y verdadera magnitud de los segmentos AH y DE. Representación de la recta en el Sistema Diédrico

37. Unidad Nº 2 Representación del punto y la recta en el sistema diédrico Ejercicios propuestos Rectas en posiciones notables Solución de ejercicios. 2 – Práctica Nº5 2- Se desea perforar un túnel en una montaña para llegar a una mina de carbón partiendo del punto A (25;10;35) la boca del túnel, extendiéndose hasta B (65; ? ; 10). a) Determinar las proyecciones del segmento AB sabiendo que forma 30º con el plano horizontal y que el punto &quot;B&quot; tiene mayor vuelo que el punto A. b) Hallar el punto de penetración del túnel &quot;H&quot; (con el plano horizontal) (Punto donde se encuentra el carbón). c) sobre el tramo AB, Construir un segundo túnel a partir del punto &quot;P&quot; que se encuentra a 25 mt del punto &quot;A&quot; denominado PQ para ventilar al primero (AB), sabiendo que forma 90º con el plano horizontal y 0º con el plano vertical, este túnel mide 30 mt. que es la distancia hasta Q, don se ventila en la superficie. d) Determinar el Angulo b de AH. Representación de la recta en el Sistema Diédrico

38. Estudio de las superficies plana Material de apoyo para la construcción de cuerpos en el espacio Unidad Nº2

40. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Al igual que la recta, el plano recibe un nombre según la posición que tengan con respecto a los planos de proyección, (por ejemplo Ω ) . Es conveniente conocer sus trazas o rectas características que las estudiaremos más adelante. Tipos de planos Tipos de planos a) Plano oblicuo V Ω H Ω b) Plano paralelo a la Línea de Tierra V Ω H Ω Ω V Ω H Ω Tiene una posición accidental con respecto a los planos de proyección Sus trazas son paralelas a la L. T. El Plano V Ω H Ω Ω

41. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Tipos de planos Tipos de planos c) Plano horizontal d) Plano frontal V Ω Ω H Ω H Ω Ω V Ω Es paralelo al PH (Plano de Proyección Horizontal) Es paralelo al PV (Plano de Proyección Vertical) El Plano

42. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Tipos de planos Tipos de planos e) Plano d canto o Proyectante Vertical f) Plano Vertical o Proyectante Horizontal V Ω Ω H Ω H Ω V Ω Es Perpendicular al PV (Plano Vertical) Es Perpendicular al PH (Plano Horizontal) Ω H Ω V Ω H Ω V Ω El Plano

43. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Tipos de planos Tipos de planos g) Plano d perfil h) Plano 1 er Bisector H Ω V Ω Es paralelo al plano de perfil Ω H Ω V Ω HV Ω i) Plano 2 do Bisector Sus trazas se encuentran en la Línea de Tierra B A HV Ω HV Ω El Plano B hv h B A h A V A h A V

45. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Formas de determinar un plano Representación de un plano c) Planos determinado por 3 puntos no alineados e) Planos dado por sus trazas V Ω H Ω d) Planos determinado por 2 rectas paralelas El Plano Ω B A C A h A v B h B v C v C h Ω A C B r A h A v B h B v C v C h V Ω H Ω Ω r h r v

46. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Como determinar las trazas de un plano. Como determinar las trazas de un plano Dado una plano β por 2 rectas paralelas (a y b) se pide determinar sus trazas. β a b Para obtener la traza de un plano se deben conseguir 2 puntos de esta. Para obtener la traza Vert. Se consiguen las trazas verticales de 2 rectas del plano. Para obtener la traza Horiz. Se consiguen las trazas horizontales de las 2 rectas del plano. V β H β V β V β H β V β a b a b El Plano a v b v a h b h a v b v a h a v b h b v 1 v 2 v a h b h 4 h 3 h 1 v 2 v 4 h 3 h

47. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Puntos y rectas del plano Puntos y rectas del plano a b Todo plano tienen infinitas rectas y puntos que lo conforman. Por ello es importante saber como representar un punto o una recta cualquiera contenida en si. P Para que un punto tal como P pase por un plano ab es condición de que sea de una recta (“c”) perteneciente al plano. Se conoce el plano ab y la proyección vertical de P, determinar su proyección horizontal sabiendo que esta en el plano ab. Para que P este en el plano tiene que estar en “c” que es una recta del plano Toda recta para que pertenezca a un plano debe pasar por 2 puntos de ese plano c El Plano a h a v b h b v P v a h a v b h b v P v P h c v c h

48. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Rectas características Rectas Características Es un recta horizontal (h) que se encuentra contenida en el plano h v es paralela a la L.T. y h h a la traza Horizontal. Recta Horizontal (h) de un plano Se les llama rectas características de un plano a todas las rectas horizontales y frontales de este Recta Frontal (f) de un plano h Es un recta frontal (f) que se encuentra contenida en el plano f h es paralela a la L.T. y f v a la traza Horizontal. V β H β f El Plano V β H β h v h h f v h v h h f h f v f h

49. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Rectas características Rectas Características Es perpendicular a la traza horizontal al igual que todas las rectas horizontales del plano Determina el ángulo ( α ) que forma dicho plano con el plano horizontal. Para obtener α en verdadera amplitud se determina por el método de triangulo de rebatimiento sobre la PH. Recta de máxima pendiente Recta máxima inclinación dc V β H β dc α B Es perpendicular a la traza vertical al igual que todas las rectas frontales del plano. Determina el ángulo ( β ) que forma dicho plano con el P.V. Para obtener β en verdadera amplitud se determina por el método de triangulo de rebatimiento sobre la PV. El Plano p h p v B v B h A v A h p v p h p i v i h i A A h A v B B h B v α β C v C h dv dc D C D v D h V β H β β dv dv D h D v C h C v D

50. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Ángulos del plano Ángulos del plano α = ángulo que forma el plano con el PH β = ángulo que forma el plano con el PV α β α + β = 180º Cuando el plano es perpendicular al PH y PV α + β = 90º Cuando el plano pasa o es paralelo a la LT α + β > 90º y<180 Casos restantes (los ángulos se determinan con rectas de máxima pendiente e inclinación) α β El Plano β =90º α =90º PH PV

51. Ejercicios propuestos Determinar las trazas del Plano δ definido por dos rectas paralelas. a {K(20;25;10) L(30;05;25)}, b {M(35;15;15)}. Ejercicios propuestos Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Esquema espacial El Plano

52. Ejercicios propuestos Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Esquema espacial Ejercicios propuestos Dado un Plano  {X(10; 0; 0), H(80; 70; 0) y V(80; 0; 40)} Se pide: a) Determinar las proyecciones de los Puntos I, J, K, que pertenecen al plano mediante una recta cualquiera, horizontal y frontal, respectivamente. I(30; 10; ?), J(35; ?; 10), K(40; 15; ?); b) Hallar la recta horizontal de Cota 20, del plano y hallar la Frontal de Vuelo 25 del plano El Plano

53. Ejercicios propuestos Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Esquema espacial Ejercicios propuestos Dado un Plano  {X(10; 0; 0), H(80; 70; 0) y V(80; 0; 40)} Se pide: a) Determinar las proyecciones de los Puntos I, J, K, que pertenecen al plano mediante una recta cualquiera, horizontal y frontal, respectivamente. I(30; 10; ?), J(35; ?; 10), K(40; 15; ?); b) Hallar la recta horizontal de Cota 20, del plano y hallar la Frontal de Vuelo 25 del plano El Plano

55. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Construcciones geométricas en método directo Construcciones geométricas en métodos directo 1.Se dan: A (20;35;25) y B (45;25;??). Se pide: Halle las proyecciones de un pentágono regular contenido en un plano Horizontal , donde AB es un lado del polígono. Tomar la solución de mayor vuelo. Halle las trazas del plano. 2.Se pide determinar las proyecciones de un hexágono regular ABCDEF contenido en un plano De Perfil que pasa por el punto A (45;40;15), sabiendo que el lado AB es una recta De Pié y mide 20 mm (B mayor cota que A). Tomar la solución de menor vuelo. Dibuje las trazas del plano. Es la obtención de la proyección de los cuerpos en el espacio directamente sobre los planos de proyección, esto se logra cuando estos tienen posiciones características, sus partes son paralelas o perpendiculares a los planos de proyección. El Plano

56. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Construcciones geométricas en método directo Construcciones geométricas en métodos directo 3.Se da el punto A (40;00;25). Determine las proyecciones de un triángulo rectángulo ABC contenido en un plano Paralelo a la Línea de Tierra . El lado AB es un segmento paralelo al plano vertical y mide 35 mm. El segmento BC es De Perfil y mide 40 mm. Dibujar las trazas del plano. 4.Se dan los puntos: M (40;20;30) y N (60;40;05). Se pide determinar las proyecciones de un triángulo MNP contenido en un plano Proyectante Horizontal , donde MN y MP tienen igual longitud. El lado MP es una recta Horizontal (P a la derecha de M). Halle las trazas del plano. El Plano

57. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Construcciones geométricas en método directo Construcciones geométricas en métodos indirecto Se utiliza la formación de sistemas auxiliares de planos de proyección, empleando un nuevo plano de proyección como una vista auxiliar. Una vista auxiliar primaria se obtiene por la proyección sobre un plano que es perpendicular a uno de los 3 principales. Una vista auxiliar secundaria se obtiene por la proyección sobre un plano auxiliar primario. Para este método es importante tener claro que la distancia de un punto en el espacio a un plano de proyección, se proyecta en los planos adyacentes perpendicularmente. Método por cambio de plano. PV PH H-3 LT H 3 d d H 3 Representación de un plano auxiliar primario o línea de giro “perpendicular a un plano horizontal”: d V 3 Representación de un plano auxiliar primario o línea de giro “perpendicular a un plano vertical”: PV Plano V-3 A A d El Plano A v A h A 3 A v A 3 A h A v A 3 A h A v A h A 3

58. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Construcciones geométricas en método directo Construcciones geométricas en métodos indirecto A veces conviene cambiar los planos sucesivamente hasta obtener la posición deseada. Si construimos un plano auxiliar secundario, se toman las coordenadas de la pareja inmediata anterior. Método por cambio de plano. 3 4 d d H 3 d V 3 d d PV PH H-3 A PV Plano V-3 A 3 4 3-4 LT Plano 3-4 El Plano A v A 3 A h A v A 3 A h A 4 A 4 A v A h A v A h A 3 A 3 A 4

59. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Construcciones geométricas en método directo Construcciones geométricas en métodos indirecto Obtención de una recta en verdadero tamaño Método por cambio de plano. Se logra a través de la obtención de un nuevo plano de proyección auxiliar paralelo a una de las proyecciones del segmento de la recta. PV PH H 3 H 3 A B LT Obtención de una recta perpendicular al plano de proyección Se debe proyectar como punto, es decir que sea perpendicular a un plano de proyección y paralelo al otro. Pasos: a) Primero se proyecta un plano auxiliar primario paralelo a la recta obteniendo su verdadera magnitud. b) luego, se proyecta un plano auxiliar secundario perpendicular a la recta; donde se obtendrá la proyección como punto. H 3 VM AB VM AB El Plano A v A h A v A 3 A h B h B 3 A 3 B v B h B 3 B v A v A 3 A h B h B 3 B v A 4 B 4 3 4

60. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Construcciones geométricas en método directo Construcciones geométricas en métodos indirecto Obtención de un plano perpendicular al plano de proyección Método por cambio de plano. Para obtener un plano auxiliar de proyección perpendicular a una plano (o superficie plana), se debe trazar un plano auxiliar o línea de giro perpendicular a una recta característica (o traza) del plano dado. H-3 El Plano

61. Unidad Nº2 Estudio de superficies planas Construcciones geométricas en método directo Construcciones geométricas en métodos indirecto Método por cambio de plano. Si no tenemos las trazas se pueden determinar o sino, se determina con un recta característica del plano. Obtención de un plano perpendicular al plano de proyección h El Plano h v h h

62. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Construcciones geométricas en método directo Construcciones geométricas en métodos indirecto Obtención de un plano en verdadero tamaño Método por cambio de plano. Se logra a través de la construcción de un plano auxiliar paralelo al plano dado a) Si el plano no es proyectante, Se obtiene el plano como borde a través de un plano auxiliar primario b) Cuando el plano se muestre como borde, utilizamos un plano auxiliar paralelo a este, obteniendo una proyección paralela al plano dado (obteniendo la forma en verdadero tamaño). Pasos: El Plano

63. Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Se da:  1(20; 00; 00); 2(80; 00; 64); 3(90; 45; 00)  y los puntos A(55; ?; 25) y C(85; ?; 40). Se pide: Construir por cambio de plano un cuadrado ABCD. AC diagonal del cuadrado. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Datos del problema Proyectamos el plano dado como borde a través de un plano de proyección auxiliar perpendicular a una recta característica del plano dado Con un nuevo plano auxiliar paralelo al plano  visto como borde conseguimos la diagonal del cuadrado en verdadero tamaño perteneciente a  Por construcción geométrica elaboramos el cuadrado consiguiendo sus vértices faltantes Conseguimos las proyecciones faltantes; primero en el plano como borde, y las distancias de la línea de giro 3-4 a los puntos 4 se determina las cotas del cuadrado faltante Los vuelos de los puntos del cuadrado ubicados en el plano horizontal, corresponde a las distancias que se encuentran entre la línea de giro V-3 al plano vista como borde de cada punto respectivamente Esquema espacial  v  h El Plano

64. Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Dado el plano   1( 70; 00; 00), 2( 10; 60; 00) y 3( 70; 00; 30)  y el punto O( 40; ??; 40), centro del pentágono. Determine las proyecciones de un pentágono A B C D E, contenido en  , inscrito en una circunferencia de radio = 25 mm. O A es recta de pié. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas Esquema espacial El Plano

65. Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Se da el plano  1(20; 00; 00); 2(80; 00; 64); 3(90; 45; 00)  y los puntos A(55; ?; 25) y D(85; ?; 40). Se pide: Construir por cambio de plano un hexágono ABCDEF. AD diagonal del hexágono. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas  h  v Esquema espacial El Plano

66. Esquema espacial  v  h Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Dado el plano   1( 50; 08; 30); 2( 80; 36; 30) y 3( 80; 08; 60)  . Determine las proyecciones de un cuadrado A B C D, contenido en  , dando los vértices A( 80; 25; ??) y B ( 57; 31; ??). Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas El Plano

67. Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Se da:  1(90; 45; 00); 2(30; 00; 60); 3(30; 00; 00)  y la recta m  A(55; ?; 25); B(75; ?; 30  Se pide: Construir por cambio de plano las proyecciones de un pentágono ABCDE contenido en el plano  . AB lado del pentágono. Unidad Nº 2 Estudio de superficies planas El Plano

68. Estudio de las posiciones relativas espaciales Material de apoyo para la construcción de cuerpos en el espacio Unidad Nº2

69. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Posiciones relativas espaciales 1 - Paralelismo 2 - Perpendicularidad 3 - Intersección En todos los sistemas de proyección cilíndrica el paralelismo se conserva como propiedad proyectiva Dos rectas que están en el espacio paralelas, sus proyecciones también se ven representadas paralelamente. Paralelismo Son las situaciones creadas en la interacción de diferentes elementos geométricos en el espacio tales como: rectas, rectas y planos, planos y rectas o planos y planos. las situaciones mas características creadas entre los elementos antes mencionados son: Paralelismo entre rectas y rectas A v A B h B r PV PH C v C D h D a Paralelismo B h A h D h C h A v B v D v C v v r r h v a a h

70. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Toda recta paralela a un plano ha de ser paralela a una recta perteneciente al plano Recta paralela a un plano Por ejemplo determinar la proyección horizontal de la recta “a”. sabiendo que es paralela al plano ABC. En caso que ninguno de los segmentos del plano no sean paralela a la proyección vertical podemos determinarla. “ a” es paralela a “r”. A v A B h B r PV PH C v C D h D a B h A h D h C h A v B v D v C v

71. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Dados por dos rectas que se cortan Casos particulares entre dos planos paralelos Paralelismo entre planos y planos Es condición suficiente de que existan dos direcciones de rectas de un plano, las cuales sean paralelas a un segundo plano Dados por dos rectas paralelas El plano resultante debe ser paralelo a ellos y además a una recta de dirección arbitraria del plano dado.

72. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Plano paralelo a otro dado por sus trazas por un punto cualquiera Es condición suficiente saber que dos planos paralelos tienen sus rectas características paralelas y también sus trazas Plano paralelo a otro paralelo a la línea de tierra Casos particulares entre dos planos paralelos Paralelismo entre planos y planos Trazar un plano β paralelo a α y q´ pase por “P”. El ejercicio se resuelve en una vista de perfil P P h P h P p P v P v H β V β β V α H α α P.P.

73. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Perpendicularidad entre dos rectas que se cortan Casos particulares Perpendicularidad Han de tener un punto en común donde forma un ángulo recto. Se evidencia en proyección en el segmento donde se muestra en verdadera magnitud. En este sistema de proyección cilíndrica el ángulo por lo general no goza de la propiedad proyectiva y solo se manifiesta en ciertas ocasiones. El ángulo recto no se proyecta como tal a menos que unos de los lados sea paralelo al plano de proyección, caso palpable en las rectas horizontales y frontales, donde se proyecta como ángulo recto en la proyección que se ve en verdadera magnitud.

74. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Perpendicularidad Perpendicularidad entre dos rectas que se cruzan Aún cuando las proyecciones se cruzan estas son ortogonales o perpendiculares entre si. Perpendicularidad entre dos rectas que se cortan Cuando tenemos 2 rectas y una de ellas es horizontal la perpendicularidad se manifiesta en el plano horizontal, donde el segmento esta en verdadera magnitud. Y si es una recta frontal la perpendicularidad se manifiesta en el plano vertical.

75. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Perpendicularidad Recta perpendicular a un plano Cuando tenemos un plano determinado por una recta horizontal y una frontal del plano (h y f) es fácil levantar una recta “p” perpendicular al plano, ya que p v es perpendicular a f v y p h es perpendicular a h h . Por ende, las proyecciones de una recta perpendicular a un plano también es perpendicular a sus trazas. Dada una recta “a” por el punto “B” trazar un plano perpendicular a esta recta. El plano lo podemos definir mediante una recta frontal y horizontal que sean perpendicular a “a” y pasará por “B”. Para determinar sus trazas basta con determinar la traza V de la recta “h”. Plano perpendicular a una recta v r r h r

76. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Perpendicularidad Se da el plano α y una recta “m”, trazar un plano β que pase por “m” y sea perpendicular al plano α . Para ello debe existir por lo menos una recta del plano β que sea perpendicular al plano α . Basta tomar sobre la recta “m” un punto “A” y por el trazar una recta perpendicular al plano α el plano mp es perpendicular al plano. Plano perpendicular a otro plano Para que un plano ( β ) sea perpendicular a otro dado ( α ) debe contener otra recta que sea perpendicular a éste. En línea general, se traza una recta “p” perpendicular a β . p α β V α H α α m m

77. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Perpendicularidad Continuación V α H α El resultado, aunque el nuevo plano buscado β sus trazas principales se encuentran en el segundo diedro en el espacio al intersectarse estas superficies forman perpendicularidad α α β β H β V β

78. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Perpendicularidad Plano perpendicular a otro plano dado por sus trazas Cuando ambos planos están dados por sus trazas en casos particulares se pueden determinar si son o no perpendiculares entre si. Perpendicularidad entre: Plano Oblicuo y Un Plano proyectante Planos proyectantes horizontales Planos proyectantes verticales V α H α α V β H β β V α H α H β V β α β β α V α H α V β H β

79. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Perpendicularidad Plano perpendicular a otro plano dado por sus trazas Otros casos: Perpendicularidad entre: Planos paralelos a la línea de tierra Plano vertical con uno horizontal Plano horizontal con un plano de perfil V α H α V β β α α β V β H α V α H α H β V β Z Y α β p p α β

80. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Intersección Intersección entre una recta y un plano. Es el punto común (I) entre la recta y el plano. Para poder determinar el punto de intersección se puede suponer que detrás de la recta “r” existe otra recta “t” (recta tapada) que esta tapada por la recta “r”, teniendo las mismas proyecciones verticales de la recta “r”, perteneciente al plano a intersectar, determinando la proyección t h por medio de los puntos 1 y 2. Existen varios métodos para determinar la intersección entre recta y plano (por cambio de plano, inclusión de la recta en un plano proyectante y por método de la recta tapada); el cual, se puede seleccionar cualquiera de estos métodos en donde convenga visualizar y representar la forma mas fácil las intersecciones de los elementos geométricos en el espacio. Intersección entre una recta y un plano, (por método de la recta tapada). r I β v 1 1 h v 2 2 h

81. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Intersección Intersección entre una recta y un plano dado por sus trazas . Si utilizamos el mismo método de la recta tapada se procede de forma similar al caso anterior. r=recta dada y t=recta tapada. Sabiendo que la intersección de la recta con el plano esta sobre la proyección de la recta, la recta tapada busca en ubicar una recta que contenga una proyección de la recta y que este contenida en el plano, pudiendo visualizar donde se corta en la proyección donde no esta contenida con la recta dada. v 1 1 h v 2 2 h I I h v I r r v = t v h r t h t

82. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Intersección Intersección entre una recta de perfil con un plano Una forma de ver la intersección es colocar el plano como borde a través de cambio de plano donde podemos ver el punto de intersección. Para determinar el punto común de intersección entre un plano y una recta, se debe proyectar este plano sobre un plano de proyección perpendicular a el y la recta proyectarla sobre esta vista como borde del plano. El punto común será el punto de intersección Intersección entre una recta con un plano proyectante El punto de intersección se obtiene de inmediato en la proyección de la recta con el plano donde forma perpendicularidad con un plano de proyección.

83. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Intersección Intersección entre dos planos Por concepto se sabe que la intersección de dos planos es una línea recta, para conocer esta línea recta es necesario conocer dos puntos de ella. ( i = X Y). Para determinar la intersección ( i ) por el método de la recta tapada, se necesita hallar las intersección de dos rectas de un mismo plano ( α ) con respecto a rectas del otro plano ( β ), por ejemplo, tomamos la recta tapada “t” contenida en EF del plano α determinada por los puntos 1y2 encontrando el primer punto de intersección X, luego tomamos la recta tapada “m” contenida en FD del plano β determinada por los puntos 3Y4 encontrando el segundo punto de intersección Y. XY determinan la recta “i”. β α X Y i

84. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Intersección Intersección entre dos planos (por método cambio de plano). Para hallar la recta de intersección “i” de dos planos se necesita la utilización de dos planos se necesita la utilización de planos auxiliares de proyección. En el plano donde se proyecta como borde se obtendrá la intersección.

85. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Intersección Visibilidad entre dos planos. Como los planos en el espacio se consideran opacos, se deben determinar las partes vistas y oculta de ambos planos en cada una de las proyecciones. Las líneas visibles se dibuja con trazo grueso de forma continua Las líneas invisibles se dibujan con trazo grueso pero segmentado Las líneas visibles serán las que tengan mayor altura, esto se puede determinar en la proyección vertical, por ejemplo el segmento BC y AC tienen mayor altura que las rectas del otro plano. Por lo tanto en la proyección horizontal AC y BC serán visibles hasta la intersección con el otro plano luego pasan a ser invisibles ya que se intersectan, salvo a que el plano no se tape con el otro. Visibilidad en la proyección horizontal Las líneas visibles serán las que estén mas cercas al observador, para esto se observará en la proyección horizontal y se verán las líneas que tengan mayor vuelo con respecto a las del otro plano, en caso que halla dudas, se pueden determinar 2 puntos donde se intersecten los dos planos en la proyección horizontal como 1 y 2, y 3 y 4, para ver cual tiene mayor cota. (2 y 4 tienen mayor cota que 1 y 3, por lo en el punto2 y 4 están mas cerca al observador que en 1 y 3 que pertenecen al otro plano. También se puede hacer el mismo procedimiento de forma inversa pero en la proyección vertical para determinar la visibilidad en la proyección horizontal.. Visibilidad en la proyección vertical

86. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Intersección Intersección entre dos planos dados por sus trazas La recta de intersección (i) se consigue o queda determinada en la intersecciones de las trazas de los 2 planos dados, un punto en el plano horizontal y el otro en el plano vertical, uniendo las proyecciones homónimas verticales y horizontales de los dos puntos queda formada “i”. Intersección de dos planos oblicuos Casos de intersecciones Intersección de un plano oblicuo con uno proyectante Intersección de dos planos proyectantes V α H α V β H β V α H α V β H β V α H α H β V β β α β α β α i i i v i i h v i i h v i i h

87. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Intersección Intersección entre dos planos dados por sus trazas Casos de intersecciones Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra Intersección de un plano frontal y un plano horizontal Intersección de un plano horizontal con un plano de perfil Z Y β α V α H α H β V β α β α V β H α V α H α V β α β i i i β p p v i i h v i i h i h v i

88. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Menor distancia entre elementos en el espacio Menor distancias entre 2 puntos La menor distancia entre 2 puntos en el espacio es una línea recta. Si la recta no es paralela a los planos de proyección se puede utilizar el método de triángulo de rebatimiento o cambio de plano para determinar su magnitud. Menor distancia de un punto a una recta La menor distancia entre un punto y una recta en el espacio resulta de una perpendicular a estos, que se visualiza en la proyección de la recta donde se ve en verdadera magnitud. En caso que la recta no sea paralela a los planos de proyección utilizamos un plano auxiliar de proyección para ver su proyección en verdadero tamaño y la del punto para ver su ubicación, para así trazar la perpendicular desde el punto.

89. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Menor distancia entre elementos en el espacio Menor distancias de un punto a un plano Para determinar la menor distancia de un punto (A) a un plano ( α ). Se lleva una perpendicular del punto al plano. Para ello se necesita determinar la intersección de la recta perpendicular (r) con el plano. La recta que queda genera desde el punto dado (A) al plano donde se encuentra el punto “I” es la menor distancia entre estos dos elementos. v 1 1 h v 2 2 h I I h v I r r v = t v h r t h t A A h v A α

90. Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espaciales Ángulos Ángulos entre dos rectas Después de haber estudiado los elementos geométricos antes vistos rectas y planos con sus posiciones relativas espaciales en los casos de perpendicularidad el ángulo resultante es de 90 º. Cuando estos elementos son formados con un ángulo diferente a 90º y/o no se visualiza la propiedad proyectiva se debe determinar el ángulo donde se manifieste en V.M. Cuando dos rectas se cruzan (tal como “f” y “r”) se debe tomar sobre una de ella (un punto tal como “I”), pasando una recta paralela a una de estas (“f1”). Se determina el ángulo α que forman en “I”. Cuando se cortan dos rectas en el espacio se generan 4 ángulos que por lo general son 2 ángulos agudos y 2 ángulos obtusos sumando 360 grados los cuatros. Para tomar la lectura de α se toma el valor del ángulo agudo. En el caso cuando las dos rectas son paralelas al mismo plano de proyección los ángulos que se forman se visualizan directamente. En verdadera amplitud, tomando el ángulo agudo para expresar su valor. Ángulos α α - 180º f B A B r D C A C v v v A h C h D h α α - 180º f 1 B A B r α C D C A I v v v C h A h D h B h

91. Ángulos Ángulos entre dos rectas En el caso para determinar el ángulo entre dos rectas cuando estas son oblicuas, el ángulo entre estas no se visualiza en verdadera amplitud para ello se debe utilizar un método auxiliar. Para determinar el ángulo se parte del principio que dos rectas que se cortan generan un plano ilimitado. Para observar el ángulo se debe colocar las rectas que la generan el plano en verdadera magnitud (V.M.). Para convertir el plano limitado en ilimitado se adopta una tercera recta que corte con las dos rectas en cuestión conformando un polígono de forma triangular en el espacio. La tercera recta trazada es una recta paralela a los planos de proyección (“f” en este caso) seleccionada para facilitar la operación por las ventajas notables que representa. Como siguiente paso se procede a determinar la V.M. del plano limitado ABD. Visualizándose el ángulo en el vértice “A” punto de intersección original de las dos rectas que se cortan (m y n). Para representar la V.M. en este caso se utilizó el método auxiliar triángulo de rebatimiento determinando la V.M. de los lados AD y AC construyendo la verdadera forma y tamaño de ACD construyendo la V.M. a partir de la recta “f” definida por CD en la proyección vertical donde “f” se ve en f A D C α α - 180º B m n Ángulos

92. Ángulos Ángulos entre recta y planos Para obtener el valor del ángulo formado por una recta “r” y un plano “ Ω ” se traza desde un punto (“A”) cualquiera sobre la recta “r” en cuestión una perpendicular (“p”) al plano (“ Ω ”). Se determinan las intersecciones de las rectas r y p con el plano Ω en cuestión, genera un triángulo rectángulo, donde los ángulos restantes α y ө son complementarios. Si este triángulo no se visualiza en verdadera magnitud (V.M.) se debe emplear un método auxiliar para verlo en (V.M.). Existe otra forma de medir el ángulo desde un punto arbitrario (“A”) ubicado sobre la recta (“r”) se pasa una recta perpendicular (“p”) al plano en cuestión. El ángulo pedido es ө el complemento de α o sea α = 90- ө . α p r i ө A B I Ω α Ángulos

93. Ángulos Ángulos entre 2 planos Existen diferentes procedimientos que podemos utilizar para determinar el ángulo entre dos planos, el cual emplearemos el procedimiento que nos aporte una solución más sencilla. Desde un punto cualquiera como “A” se traza una perpendicular “p” al plano “ α ” y “ β ”. Y desde los puntos de intersección (I y J) se determinan las intersecciones m y n, rectas perpendiculares a la traza común de los planos, formando un cuadrilátero AIKJ en los cuales dos de sus lados forman 90º y con los dos restante forman habrán de sumar 180º sabiendo que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es de 360º Entonces, se deduce también que el ángulo que forman las perpendiculares p y r es igual al ángulo entre los planos “ α ” y “ β ”. El ángulo “ α ” es el suplemento β =180 ( α = 180- β ). Para simplificar la solución de esta manera teniendo ya representada las perpendiculares “p” y “r” desde el punto “A” hacia los planos “ α ” y “ β ”. Se procede a trazar un plano horizontal “ ∑ ” que corte a las dos perpendiculares en “B” y “C” generando una recta horizontal “h” común a estas. “h” se ve en verdadera magnitud en su proyección horizontal, delimitada por “B” y “C”, luego se coloca en verdadera magnitud los lados “AB” y “BC” para visualizar el ángulo “ β ” y el suplemento que es el ángulo “ α ”. β α i β α α p r I J K A Ángulos

96. Ángulos Ángulos entre 2 planos En el mismo orden de ideas, para determinar el ángulo entre los dos planos se puede representar la verdadera magnitud del cuadrilátero AIJK para este ejemplo determinado por el método auxiliar cambio de plano. El ángulo entre los dos planos se encuentra en el vértice “K” en V.M. Otro método: β α i β α α p r I J K A Ángulos

97. Sólidos Material de apoyo para la construcción de cuerpos en el espacio Unidad Nº2 Material de apoyo para la construcción de cuerpos en el espacio Comunicación gráfica Primera Edición - 2010

98. Unidad Nº 2 Representación de Sólidos Concepto de Sólidos Los sólidos o también llamados cuerpos en el espacio, se encuentran definidos o limitados por varias superficies bidimensionales, dando lugar así al origen de figuras tridimensionales. Clasificación de los sólidos Los sólidos se clasifican según sus propiedades internas o según la superficie que los envuelve. Subdividiendose en dos grupos: poliedros y cuerpos redondos. Poliedros Son todos aquellos sólidos que tienen todas sus caras planas Cuerpos Redondos Poliedros S ó l i d o s Sólidos

99. Unidad Nº 2 Representación de Sólidos El prisma El prisma esta formado por una serie de caras laterales que se cortan entre si. Esta superficie lateral formada por las caras y arista longitudinales paralelas entre si, es cortada por dos planos que generan las bases del prisma. Si los planos secantes son perpendiculares a las aristas laterales, el prisma que resulta es recto. Las caras laterales son siempre cuadriláteros. Las caras básicas limitadas por las aristas básicas, pueden ser polígonos regulares o no. En el primer caso se denomina regular. La altura de un prisma es la perpendicular común a su base. Se denomina paralelepípedo rectángulo a recto de base rectangular. Poliedros Radiales La pirámide Es un sólido que tiene un vértice al que convergen las aristas longitudinales y una base. Se genera deslizando una recta, que mantiene un extremo fijo al que concurren en el vértice, formando caras triangulare, apoyadas estas caras por los lados de una forma poligonal cerrada. Prisma de base hexagonal Prisma de base cuadrada Pirámide de base hexagonal Pirámide de base cuadrada Sólidos

100. Unidad Nº 2 Representación de Sólidos Los Poliedros Radiales (variaciones) Rectos: Cuando la base es perpendicular al eje o altura del sólido. Oblicuos: Cuando la base no es perpendicular al eje o altura del sólido al igual que sus aristas. Con la base regular o irregular Regular: Puede ser un polígono regular. Irregular: Puede ser una figura cerrada que no presenta regularidad geométrica entre si. Rectos y Oblicuos. Poliedros radiales truncados Pirámide truncada: Puede ser recta u oblicua. Tiene como condición que las aristas longitudinales converjan en un punto. Prisma Truncado: Tienen como condición que las arista longitudinales permanezcan paralelas entre si. Etc.: Derivados, (Prismatoide, cuña). Los Prismas y las Pirámides pueden ser: Sólidos Pirámides Prismas Con la base regular o irregular Rectos y Oblicuos. Poliedros radiales truncados

101. Unidad Nº 2 Representación de Sólidos Poliedro Regulares Llamamos poliedros regulares a los cuerpos geométricos tridimensionales que están limitados por caras planas conformados por polígonos, aristas, ángulos, etc. iguales entre si. El número de poliedros regulares posibles existentes son cincos, el cual se describen a continuación: Sólidos

105. Ejercicio Pirámide en posición accidental Unidad Nº 2 Representación de Sólidos Dado el segmento de recta AC {A( 140; 68; 00) C(80; 68; 35)} Se piden las proyecciones y visibilidad de un Pirámide recta de base cuadrada ABCD. El segmento AC es diagonal de la base y recta de máxima pendiente del plano que la contiene. La altura del sólido es 90. Sólidos

106. Ejercicio Tetraedro en posición accidental Unidad Nº 2 Representación de Sólidos Hallar las proyecciones de un Tetraedro regular ABCD, cuya base ABC se encuentra apoyada en un plano de proyectante vertical: A(78;12;35) C (49;41;59) Sólidos