Este documento explica los conceptos básicos de la geometría descriptiva, incluyendo las definiciones de proyección, sistema de proyección, tipos de proyecciones y sistemas de representación. En particular, se describe el sistema diédrico de representación, el cual utiliza dos planos de proyección ortogonales para representar objetos tridimensionales.

1. Universidad Fermín ToroUniversidad Fermín Toro
Vicerrectorado AcadémicoVicerrectorado Académico
Facultad de IngenieríaFacultad de Ingeniería
Elaborado por:Elaborado por:
Alberto Santeliz C.I. 20.889.071Alberto Santeliz C.I. 20.889.071
SAIA-CSAIA-C

2. ¿Qué es la Geometría Descriptiva?¿Qué es la Geometría Descriptiva?
Es la ciencia que busca representar los objetos tridimensionales sobre
una superficie plana o sea en 2 dimensiones.
La Geometría descriptiva proporciona los fundamentos, principios,
artificios para resolver y comunicar gráficamente los diferentes
elementos en el espacio (puntos, rectas, superficies planas o curvas,
sólidos o volúmenes), en doble proyección ortogonal.

3. ¿Qué es una Proyección?¿Qué es una Proyección?
Es el método que se utiliza para representar un objeto en una superficie.
Principios de la proyecciónPrincipios de la proyección
Es la imagen obtenida en una superficie (Generalmente plana) llamado
plano de proyección. Esta imagen resulta de la intersección con el plano
de proyección de las visuales que van del ojo del observador a los
diferentes puntos del objeto a representar
Observador
Proyección
Plano de
proyección
Visuales
Objeto
Teoría de la ProyecciónTeoría de la Proyección
En todo sistema de proyección intervienen cuatro
elementos denominados
a) Objeto. Es el objeto que se desea representar.
Puede ser un punto, recta, plano, superficie,
sólido, etc; en fin cualquier elemento geométrico ú
objeto en si.
b) Punto de observación. Punto desde el cual se
observa el objeto que se quiere representar. Es
un punto cualquiera del espacio.
c) Superficie de proyección. Es la superficie
sobre la cual se proyectará el objeto.
Generalmente es un plano; aunque también
puede ser una superficie esférica, cilíndrica,
cónica, etc.
d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que
unen los puntos del objeto con el punto de
observación. La proyección (P') de cualquier
punto (P) del objeto se obtiene interceptando su
proyectante con el plano de proyección.

4. Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual
puede ser definida la proyección de un objeto sobre una
superficie.
Principios de la proyecciónPrincipios de la proyección
Proyección
Plano de proyección
Visuales
Objeto
Observador
Visuales
Ortogonal
Proyección cilíndricaProyección cilíndrica
Oblicua
Proyección cónicaProyección cónica

5. Tipos de proyecciónTipos de proyección
CónicasCónicas
PerspectivasPerspectivas
De un punto de fuga
De dos punto de fuga
Dibujo de una perspectiva un
punto de fuga
Dibujo de una perspectiva dos
punto de fuga

6. Vistas múltiples
Tipos de proyecciónTipos de proyección
Sistemas de proyecciónSistemas de proyección
CilíndricasCilíndricas
Oblicuas
Axonométricas
Acotado
Ortogonales u Ortográfica
Dimétrica
Trimétrica
Isométrica
AéreaGabineteCaballera

7. Definición:Definición:
Sistemas de representaciónSistemas de representación
Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un
objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección.
Tipos de sistemas de representaciónTipos de sistemas de representación
Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un
objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección.
Sistema DiédricoSistema Diédrico Sistema de proyecciónSistema de proyección
AcotadoAcotado
Sistema deSistema de
representación enrepresentación en
perspectivaperspectiva
30º
30º30º
Isométrica
El término de diédirco
viene de la obtención de
una doble proyección
ortogonal, (la proyección
vertical y horizontal del
cualquier objeto).
Se aplica la proyección
horizontal pero utilizada
solamente en el plano de
proyección horizontal. Las
distancias de los
diferentes puntos al plano
horizontal se les llama
cota.
Nos permite mostrar en
un solo plano de
proyección las tres
dimensiones del objeto.
Se representa el objeto
tridimensionalmente y se
pueda aplicar tanto la
proyección cilíndrica como
la cónica

8. Selección de un sistema de representaciónSelección de un sistema de representación
Sistemas de representaciónSistemas de representación
Este depende a la conveniencia del campo de trabajo del ingeniero y la manera
de comunicación gráfica del objeto. Por ejemplo en el área de topografía, el
sistema acotado es utilizado para la elaboración de planos de curvas de niveles.
El sistema más utilizado por el ingeniero es el Diédrico, y se utiliza la
perspectiva como complemento de información del trabajo a desarrollar.
Es por ende que se utilizará para el desarrollo de esta unidad el sistema
diédrico como sistema de representación para la comunicación gráfica de los
diferentes elementos en el espacio en el campo de la ingeniería.
Sistema diédrico y cuadrantes espacialesSistema diédrico y cuadrantes espaciales
I
º
IIº
IIIº
IV
º
A
A
A
H
V
Semiplano
V. Superior
Semiplano
V. Inferior
Semiplano
H. anterior
Semiplano
H. posterior
LT PH
PV
DIEDROSRefiere los problemas
espaciales a dos
planos de proyección
perpendiculares entre
si. La intersección de
estos dos planos forma
la línea de tierra,
dividiendo el plano
vertical y el horizontal
en dos semiplanos,
formando cuatro
diedros o cuadrantes.

9. Vista de canto del
Sistema Diédrico
I BIS
II BIS
Vista en perspectiva del Sistema Diédrico
PH
PV
I BIS
II BIS
IºIIº
IVºIIIº
LT
Existen dos planos de
posición, el I Bisector que
divide al I y III diedro en
partes iguales y el IIº
Bisector que divide al II y al
IV diedro.
Los planos horizontales
y verticales son planos
de proyección y los
bisectores son solo
planos de posición.
Nota

10. Para representar un objeto en el espacio abatimos el plano horizontal
alrededor de la L.T.
Al ver la vista ortogonal del abatimiento, el Semiplano Horizontal
Posterior (SHP) se confunde con el SVI y el Semiplano Horizontal
Anterior (SHA) se confunde con el SVS
Teoría del giro
DIEDROS
A
A V
PV
A
A
H
V
PH
A
H
PH
A
A
H
VPV
SHP
S VS
SVI
SHA
L.T
.
SVS
SHP
SVI
SHA
SVS
SHA
SHP
SVI
A
A
H
V
A
A
H
V
SVS
SHP
SVI
SHA

11. Representación del Punto
DIEDROS
P
P
v
PV
P
h
PH
P
P
h
v
Los puntos se representan con letras Mayúscula
en el espacio, y en las proyecciones se le agrega
el superíndice para identificar la proyección
vertical y la proyección horizontal
Es el elemento geométrico mas
simple en el espacio
Determinación de un punto
mediante coordenadas
P ( 95, 60, 40)
P ( x, y, z )
PL
60
x
z
y
-y
-z
95
40
cota
vuelo
95 60
40
Origen
O= Origen de replanteo
de todo punto
X= Distancia del punto al
plano lateral o de perfil
Y= vuelo del punto
(distancia del punto del
plano vertical)
Z= Cota del punto
(distancia del punto al
plano horizontal
O
3.- Concepto del Punto

12. Signos de coordenadas y vista de canto
IºIIº
IVº
IIIº
Y-Y
Z
-Z
Eje: P (30,-30,-50)
30
50
El punto tiene coordenadas (+ ;
- ; -) esta en el III diedro.
Para el replanteo en vista de
canto la distancia en X no se
toma en cuenta
DIEDRO X Y Z
I + + +
II + - +
III + - -
IV + + -
P
P
h
P
V
Estos pueden determinarse en
una vista de canto. Los signos
dependen de la posición que se
encuentre el punto con
respecto a los diedros.
Vista de canto

13. Las posiciones fundamentales que
puede ocupar un punto en el espacio
son 13
3.2.- Alfabeto del punto. Representación espacial del punto en los
diferentes diedros.
A- En el I diedro
B- En el II diedro
C- En el III diedro
D- En el IV diedro
y
BB
B
B
h
v
DD
D
h
vD
O
A
h
V
A
B
h
V
B
C
V
C
h
D
D
h
V
B
v
AA
BB
CC DD
-y
z
-z
h
B
Vista de canto Vista EspacialDoble proyección
ortogonal

14. F- En el I diedro y I Bis.
G- En e III diedro y I Bis.
H- En el II diedro y II Bis.
I - En el IV diedro y II Bis.
II
I
h
vI
II BisII Bis
I
v
FF
HH
GG
II
y-y
z
-z
h
B
I
O
F
h
V
F
H
hv
G
v
h
G
I
hv
I(20;50;50)
Vista de canto Vista EspacialDoble proyección
ortogonal
3.2.- Alfabeto del punto. Representación espacial del punto en los
diferentes diedros.

15. J- En el SHA
K- En el SHP
L- En el SVS
M-En el SVI
N- En la LT
y
-y
z
-z
LL
JJNN
MM
KK
Nhv
M
J
J
M
v
v
h
h
O
h
J
hvv
J
v
K
h
K
L
L
v
h
v
M
M
h
NN
M (35;0;55)
N (120;0;0)
Vista de canto Vista EspacialDoble proyección
ortogonal
3.2.- Alfabeto del punto. Representación espacial del punto en los
diferentes diedros.

16. Un punto con respecto a otro puede referenciarse de dos manera:
3.3.- Posición del punto con respecto a otro
a) Por medio de coordenadas cartesianas (distancias: mas alto,
mas bajo).
b) Por coordenadas angulares (Orientación: norte, sur, este,
oeste; inclinación).
Ejemplo:
Dibujar las proyección horizontal, frontal y lateral de tres puntos A,B y C
cubicados en el primer diedro. El punto A tiene una cota de 4m un
alejamiento de 2m y un acotamiento de 3m. El punto B está ubicado 2m
al norte, 3m al este y 2m más abajo que A. El punto C está ubicado 1m
al sur, 1,5m al oeste y 1m mas abajo que A. Esc: 1:100.

17. La recta es el rastro que deja un punto sobre
el espacio cuando este se mueve en una
dirección y pendiente constante.
En el espacio la línea recta esta definida, bien
sea por dos puntos o un punto y una dirección.
Se acostumbra a denominar la recta con la letra
minúscula.
Concepto
O
A
V
h
A
B
h
V
B
A
AA
A
h
v
B
BB
B
h
v
representación de una recta dada por dos puntos
en el espacio (A y B)
Ejemplo:
r
rv
r h
r h
rv

18. Según la posición de la recta con respectos a los
planos de proyección (horizontal, vertical o frontal y de
perfil) esta pueden recibir diferentes denominaciones.
Tipos de rectas
De Pie AB
De Punta CD
Frontal EF
Paralela a la L.T. MN
Horizontal GH
Oblicua IJ
De Perfil KL
Recta de Pie (AB):
Es perpendicular al plano
horizontal
Recta de Punta (CD):
Es perpendicular al plano
vertical o También llamado
frontal
Recta frontal (EF):
Es paralelo al plano vertical
o también llamado frontal
Recta paralela a la L.T.
Es paralelo a la línea de
tierra
Recta Horizontal (GH):
Es paralelo al plano
horizontal
Recta oblicua (IJ):
No es paralela al PH, PV y
PL.
Recta de Perfil (LK):
Es paralela al plano lateral
o plano de perfil
N
M
N
N
v
h
M
M
v
F
E
F
F
v
h
E
E
v
hB
B
v
h
v
A
A
B
D
C
CD
D
v
hh
C
I
J
L
v
h
K
K
K
v
L
h
LL
v
J
h
J
H
G
H
H
v
h
G
G
v
h
h
v

19. N
M
N
N
v
h
M
M
v
F
E
F
F
v
h
E
E
v
hB
B
v
h
v
A
A
B
D
C
CD
D
v
hh
C
Representación en doble
proyección ortogonal
A
B
h
A
V
V
h
B
CD
h
C
V
h
D
E
v
h
E
F
v
h
F
N
v
M
v
h
M
h
N
G
v
h
G
H
v
h
H
J
v
h
J
I
v
h
I
h
K
K
v
h
L
L
v
I
J
L
v
h
K
K
K
v
L
h
LL
v
J
h
J
H
G
H
H
v
h
G
G
v
h
h
v

20. B
V
V
A
h
B
A
h
V
V
h
V
h
H
H
V
BB
AA
VV
HH
Trazas de la recta
h
B
La traza (o intersección) es el punto
de penetración de una recta en un
plano de proyección también se
denomina puntos trazas o puntos
notables de la recta.
B
V
A
h
V
A
h
V
V
V
h
H
H
V
Para que un punto
(como el punto traza)
pertenezca a la recta
debe tener su
proyección sobre la
proyección de la recta
Dibujamos la recta
dada ( por dos
puntos: A,B).
Traza Vertical
Se determina con la intersección de la
proyección horizontal con la línea de tierra
encontrando el punto V (Vh
=0) donde corta
con la proyección vertical.
Traza Horizontal
Se determina con la intersección de la
proyección vertical con la línea de tierra
encontrando el punto H (Hv
=0) donde corta
con la proyección horizontal.
Ejemplo:Ejemplo:

21. Distancia y verdadera magnitud de la recta
Cuando una recta es al menos paralela a uno de los proyección,
su distancia se puede ser determinada en la proyección de la
recta del plano de proyección al que es paralela.
Método del triángulo de
rebatimiento:
Consiste en dibujar el triángulo que se genera
en el espacio, resultante de la intersección de
la recta en el espacio con su proyección. Este
triángulo se dibuja en cualquiera de las
proyecciones que arroja la recta.
Cuando una recta es oblicua, su proyección sobre los planos
se acorta, por ende estas proyecciones no se encuentran en
verdadera magnitud. Por ello, existen diferentes métodos para
determinar su verdadera distancia en el espacio.
h
B
B
V
A
h
V
A
Ba´
AA
BB
VMAB
β
β
α
α
dv
dc
VMAB
dc
dv
Ba
ph AB
pvAB
h
B
B
V
A
h
V
A
β
α
dc
dv
VMABVMAB
Ba´
Ba
dc
dv

22. Distancia y verdadera magnitud de la recta
Método del triángulo de
rebatimiento:
h
B
B
V
A
h
V
A
Ba´
AA
BB
VMAB
β
β
α
α
dv
dc
VMAB
dc
dv
Ba
ph AB
pvAB
Para determinar la verdadera magnitud:
Se lleva sobre la proyección vertical de la recta AB una perpendicular
(BvBa´) la diferencia de vuelos entre los puntos de la recta, donde AvBa
´ es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra
β(beta) que es el ángulo que forma la recta con el plano vertical.
Se lleva sobre la proyección horizontal de la recta AB una
perpendicular (Bv
Ba) la diferencia de cotas entre los puntos de la recta,
donde Av
Ba es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se
encuentra α(alfa) que es el ángulo que forma la recta con el plano
vertical.
h
B
B
V
A
h
V
A
β
α
dc
dv
VMABVMAB
Ba´
Ba
dc
dv

23. Medir distancias sobre una recta
h
B
B
V
A
h
Ba´
AA
BB
VMAB
β
β
α
α
dc
VMAB
dc
dv
Ba
Cuando una recta es al menos paralela a uno de los proyección,
la distancia de cualquier punto ubicada sobre esta, puede ser
determinada en la proyección de la recta del plano de
proyección al que es paralela.
Cuando una recta es oblicua, fijamos un segmento conocido
(como AB) y determinamos su verdadera magnitud (Av
Ba´)
sobre el verdadero tamaño medimos la distancia que se desea
conocer, esta distancia corresponderá proporcionalmente a la
relación entre la proyección y verdadera magnitud
Ejemplo: medir sobre el segmento AB, desde A una distancia d(AC)
dv
CC
C
V
C
h
C
V
A
d

24. Ángulo de una recta
Una recta en el espacio forma generalmente un ángulo α (alfa)
con el plano horizontal y un ángulo β (beta) con el plano vertical
Se debe verificar que la suma de dichos ángulos tienen que estar
comprendida entre 0º y 90º
Ejemplos:Ejemplos: Recta de Pie (AB):
α=90º
β= 0º
Recta de Punta (CD):
Recta frontal (EF):
Recta paralela a la L.T.
α=0º
β= 90º
α=se mide en el P.V.
β= º
α=0º
β=0º
A
B
h
A
V
V
h
B
CD
h
C
V
h
D
E
v
h
E
F
v
h
F
N
v
M
v
h
M
h
N
α
N
M
N
N
v
h
M
M
v
F
E
F
F
v
h
E
E
v
hB
B
v
h
v
A
A
B
D
C
CD
D
v
hh
C
h
v

25. L
v
Ángulo de una recta
Ejemplos:Ejemplos:
Recta Horizontal (GH):
Recta oblicua (IJ):
Recta de Perfil (LK):
α=0º
β=se mide en el P.V.
Se determina por el método
de triángulo de rebatimiento
Se puede medir en un plano
lateral y los ángulos son
complementarios α y β
suman 90º
G
v
h
G
H
v
h
H
J
v
h
J
I
v
h
I
h
K
K
v
h
L
L
v
L
p
p
K
α
Vista de perfil o lateral
β
z
y
K
v
h
L
h
K
dv
dc
α=
50º
β=40º
dv
dc
Para problemas de rectas
de perfil casi siempre es
necesaria construir al lado
de la recta de perfil, una
vista auxiliar de perfil
(paralela al plano de perfil
para resolverlos, (donde la
recta se muestra en
verdadero tamaño). I
J
L
v
h
K
K
K
v
L
h
LL
v
J
h
J
H
G
H
H
v
h
G
G
v
h