Lecciones 05 Esc. Sabática. Fe contra todo pronóstico.
El punto en el espacio.
1. República Bolivariana deVenezuela
Instituto Universitario Santiago Mariño
Sede Barcelona
Facultad de Arquitectura
Asignatura: Geometría Descriptiva
PROFESOR: BACHILLER:
PEDRO BELTRÁN ROMERO ARIADNE
BARCELONA, 29 DE OCTUBRE DE 2020
2. El punto es una idea, que data desde la antigüedad y que se utiliza para
representar un objeto ubicado en el espacio. Con esto podemos simplificar el
análisis para resolver cualquier situación física y geométrica.
El punto tiene posición en el espacio. Su representación mas cercana es el orificio
que deja un alfiler en una hoja de papel, pero, debemos tomar en cuenta que no
tiene grosor.
En el espacio hay infinitos puntos, los identificaremos con una letra mayúscula o
un número.
3. El PUNTO es una «figura
geométrica» adimensional: no
tiene longitud, área, volumen,
ni otro ángulo dimensional.
No es un objeto físico.
Describe una posición en el
espacio, determinada
respecto de un sistema de
coordenadas preestablecido.
A los puntos se les suele
nombrar con una letra
mayúscula: A, B, C, etc.
El concepto de punto como
ente geométrico surge en la
antigua concepción griega de
la geometría compilada en
Alejandría por Euclides en su
tratado Los Elementos, dando
una definición de punto
excluyente: «lo que no tiene
ninguna parte».
El punto también se utiliza en:
• Ortografía.
• Calificar exámenes (escala.
• Sitio-lugar (punto de
encuentro)
• Asunto de tratar un discurso
(pásame el tercer punto.
4. A los puntos se les suele nombrar con una
letra mayúscula:A, B, C, etc. (a las rectas
con letras minúsculas, y a los ángulos con
letras griegas).
La forma de representar un punto
mediante dos segmentos que se cortan
(una pequeña “cruz” +) presupone que el
punto es la intersección. Cuando se
representa con un pequeño círculo,
circunferencia u otra figura geométrica,
presupone que el punto es su centro.
5. Considerando las reglas básicas de proyecciones, si ubicamos un punto A ó B en el espacio con
respecto a los tres planos principales de un sistema de proyecciones ortogonales, obtendremos las
siguientes definiciones:
a) Cota : Es la distancia perpendicular del punto al plano horizontal.
b) Alejamiento : Es la distancia perpendicular del punto al plano frontal.
c) Apartamiento : Es la distancia perpendicular del punto al plano de perfil. Identifiquemos estos
términos en las proyecciones de un punto en el sistema del tercer cuadrante (ASA), en la figura
adjunta.
7. Un punto "A" del 1er. Cuadrante cuya cota es 45 mm., el 1er.
Apartamiento 30 mm., y el 2do., apartamiento de 10 mm., y
otro "B" (30;10;40(cota,1ºapartam.,2ºapartam.).
8. Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede
ser definida la proyección de un objeto sobre una superficie. En
todo sistema de proyección intervienen cuatro elementos
denominados.
a) Objeto.
Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto,
recta, plano, superficie, sólido, etc; en fin cualquier elemento
geométrico u objeto en sí.
b) Punto de observación.
Punto desde el cual se observa el objeto que se quiererepresentar. Es un punto cualquiera del espacio.
c) Superficie de proyección.
Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto.Generalmente es un plano; aunque también puede
ser una superficie esférica,cilíndrica, cónica, etc.
d) Rayos Proyectantes.
Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto conel punto de observación.La proyección (P') de
cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyección
9. Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:
En el sistema de coordenadas
cartesianas, se determina
mediante las distancias
ortogonales a los ejes principales,
que se indican con dos letras o
números: (x, y) en el plano; y con
tres en el espacio (x, y, z).
En coordenadas polares,
mediante su distancia al
centro y la medida
angular respecto del eje
de referencia: (r, θ).
10. En coordenadas
esféricas, mediante su
distancia al centro y la
medida angular respecto
de los ejes de referencia:
(r, θ, φ).
En coordenadas
cilíndricas, mediante
coordenadas radial,
acimutal y altura: (ρ, φ,
z).
También se pueden
emplear sistemas de
coordenadas elípticas,
parabólicas, esferoidales,
toridales, etc.
Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:
11. Postulados en geometría euclidiana
Por un punto pasan infinitas rectas y planos.
Dos puntos determinan una recta y sólo una.
Una recta contiene infinitos puntos.
Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.
El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.
Estos postulados se pueden generalizar para espacios de n
dimensiones.
Teoremas en geometría euclidiana
Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno.
12.
13. En geometría Euclídea y afín, la dirección de un subespacio es el espacio vectorial asociado a
ese subespacio.. En el caso de un subespacio de dimensión unidad (que es una línea) los
vectores de dirección son los vectores diferentes de cero de ese espacio vectorial.
L a dirección de una línea es el ángulo
horizontal agudo (<90°) que forma con
un meridiano de referencia,
generalmente se toma como tal una línea
Norte-Sur que puede estar definida por el
N geográfico o el N magnético.
Para efectos prácticos nuestro norte
siempre estará ubicado en la parte
superior del papel.
Siempre se expresa vista superior.
DIRECCIÓN
14. La elevación de cualquier vista ortogonal para la cual las líneas de mira son
horizontales y perpendiculares al plano de imagen. Puede ser proyectada de una
vista de planta, de otras vistas de elevación o de vistas inclinadas. Cualquier vista
proyectada de la vista de planta debe ser una vista de elevación.
Un plano de imagen a 90 grados con los planos horizontal y de perfil. La vista de
elevación es determinada por la proyección del objeto sobre este plano. Las
líneas de mira para este plano frontal son horizontales y por tanto
perpendiculares a él.
15.
16. La idea básica es representar la posición de un punto en el plano o en el espacio.
Fue Descartes el primero que utilizó el método de las coordenadas para indicar la
posición de un punto (en el plano o en el espacio), por eso se suele decir
coordenadas cartesianas. Descartes utilizó, para representar un punto en el plano,
dos rectas perpendiculares entre sí. La posición del punto se lograba midiendo sobre
los ejes las distancias al punto, de la manera que se puede ver en el dibujo.
17. El sistema de coordenadas cartesianas es una manera de identificar la posición de un punto
sobre un plano en relación a estas rectas perpendiculares llamados ejes. El eje horizontal
también se llama eje de X o, de abcisas y el eje vertical se llama eje deY o de ordenadas. El
punto de intersección de los ejes se llama origen de coordenadas. Sobre cada recta se
establece una recta numérica de manera que el valor 0 corresponde al punto origen, los
valores positivos corresponden a los puntos a la derecha del eje X o hacia arriba del ejeY, y los
valores negativos corresponden a los puntos a la izquierda del eje X o hacia abajo del ejeY.
Las coordenadas de un punto es un par ordenado (x,y) que identifica la posición que este se
encuentra con respecto a los ejes. La primera coordenada (x) o abscisa es la posición del
punto con respecto al eje horizontal o eje de x. La segunda coordenada u ordenada es la
posición del punto con respecto al eje vertical o eje de y.
El sistema de coordenadas cartesianas divide el plano en cuadro regiones llamaos
cuadrantes. Los cuadrantes nos ayuda a identificar rápidamente la posición de un punto:
18. El sistema de coordenadas cartesianas divide el
plano en cuadro regiones llamaos cuadrantes. Los
cuadrantes nos ayuda a identificar rápidamente la
posición de un punto:
En el primer cuadrante las coordenadas son ( +, +)
En el segundo cuadrante las coordenadas son ( -,
+)
En el tercer cuadrante las coordenadas son ( -, -)
En el cuarto cuadrante las coordenadas son ( +, -)
19. El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el
plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El
conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar
otros puntos.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema
cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta),
respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio),
perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado
origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan
abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa
habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y
se representa por la y.
20. El punto es la unidad más elemental que se puede representar. Un punto
queda definido por su proyección vertical (es decir, la proyección
espacial sobre el PV) y su proyección horizontal (la proyección del punto
sobre el PH). La proyección vertical se denomina comúnmente con una
letra minúscula más un apóstrofe (a’), mientras que la horizontal se
designa con la misma letra minúscula sin apóstrofe (a).
Un punto puede estar situado en cualquiera de los 4 Cuadrantes y eso
determinará su representación en Diédrico. En el siguiente gráfico
quedan explicados los conceptos que he definido hasta el momento:
Planos de proyección PH y PV, Línea deTierra LT, y puntos en los 4
cuadrantes.
21. 1.El punto A (representado por a’-a) está
situado en el 1er Cuadrante, porque su
proyección vertical está por encima de la LT y
su proyección horizontal por debajo ella.
2.El punto B (b’-b) tiene ambas proyecciones
por encima de la LT, por lo que se sitúa en el 2º
Cuadrante.
3.C (c’-c) se encuentra en el 3er cuadrante, ya
que la proyección vertical se encuentra por
debajo de la LT y la proyección horizontal por
encima de la misma.
4.Por último, el punto D (d’-d) está en el 4º
Cuadrante, lo que es identificable gracias a que
ambas proyecciones se encuentran por debajo
de la LT.
22. Es muy importante fijarte en la nomenclatura, porque, como ves, no representa lo mismo
la proyección vertical de un punto sobre la Línea deTierra que bajo ella.
Para que entiendas cómo funciona el sistema, te puedes imaginar que el Plano
Horizontal del Proyección se abate sobre elVertical, usando la Línea deTierra como eje
de giro. En ese caso, tu plano de trabajo es el PV.
Es lo que en la perspectiva he representado como arcos de circunferencia con flecha.
Fíjate en ese caso que, abatiendo el PH sobre el PV, la proyección horizontal del punto D
(d ) quedará representada en Diédrico por debajo de la LT y, a su vez, la proyección
vertical d’ también.
23. Nos dimos cuenta que el punto es uno de los entes fundamentales de la
geometría, junto con la recta y el plano, pues son considerados conceptos
primarios, es decir, que sólo es posible describirlos en relación con otros
elementos similares o parecidos.
También que el punto es la unidad más simple, irreductiblemente mínima, de la
comunicación visual, es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene
longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico
25. El punto (s.f) http://agora.pucp.edu.pe/~gabinete/dibujo/cap6-
1.htm#:~:text=a)%20Cota%20%3A%20Es%20la%20distancia,punto%20al%20pla
no%20de%20perfil.
Arq Gavilan Miguel Angel, ing. Beatriz Storani, Arq. Ruben Ñoroña (s.f) Recuperado
de
http://infofich.unl.edu.ar/upload/4b52bd0d43674081bbd261925c47e4876864e0ac.
pdf
Introducción al sistema dietrico: El punto (s.f) Recuperado de
https://www.10endibujo.com/el-punto-en-diedrico/
Gonzalo Ramírez Gómez 21 de Enero de 2011. Recuperado de
https://es2.slideshare.net/gonzaramirezg/resumen-descriptiva
26. GeometríaAnalítica/Sistema de Coordenadas Cartesianas/Plano Cartesiano (s.f)
recuperado de
https://es.wikibooks.org/wiki/Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica/Sistema_de_Co
ordenadas_Cartesianas/Plano_Cartesiano
CarlosAbreu, miércoles, 7 de noviembre de 2012, recuperado de
http://gemetriadescritiva.blogspot.com/2012/11/coordenadas-de-ejes-
cartesianos.html
Proyecciones cartesianas (s.f) recuperado de
https://es.scribd.com/document/316050345/Proyecciones-cartesianas
Localización de puntos (s.f) http://geodes7.blogspot.com/p/locali.html
