En este documento se describe el punto como una de las figuras geométricas fundamentales junto con la recta y el plano. Un punto no tiene dimensiones y representa una posición en el espacio determinada por un sistema de coordenadas. Se explican diversos métodos para representar gráficamente un punto y calcular su posición en el espacio, incluyendo el uso de cotas, alejamientos y coordenadas cartesianas.

1. PARTICIPANTE: LORIANNYS SEMIAO
C.I. 28512341
DOCENTE: PROF. MSc. PEDRO BELTRÁN.
TEMA
EL PUNTO EN EL ESPACIO
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN: BARCELONA
CARRERA: ARQUITECTURA
ASIGNATURA: GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

2. INTRODUCCIÓN
La geometría, viene a constituir una rama de las matemáticas que se ocupan de figuras, líneas y
formas, a su vez tiene muchas aplicaciones prácticas en el campo de la arquitectura.
De tal modo, que resulta esencial para el diseño arquitectónico, tanto en un sentido práctico (tales
como el cálculo de carga segmentos de una estructura) y en consideraciones estéticas (tales como simetría
de un edificio o escala con su entorno).
Desde esta perspectiva, el punto es una figura geométrica adimensional: no tiene longitud, área,
volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio,
determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas, de esta forma, en geometría, el punto
es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano, son considerados conceptos primarios, es
decir, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos.

3. Además de ello, el punto se representa gráficamente en un sistema de coordenadas,
pudiendo determinar su distancia en el espacio a dos planos de proyección conociendo su cota,.
Alejamiento y Apartamiento.
Asimismo, se puede conocer la distancia de un punto en el espacio a dos planos de
proyección conociendo: Dirección y Elevación.
De este modo, las coordenadas cartesianas, permiten la proyección de un punto en los
diferentes diedros o cuadrantes.
Dentro del contexto de la arquitectura clásica se tiene un orden arquitectónico que afecta el
proyecto de un edificio, dándole sus características y lenguaje determinado y un estilo histórico. Esto
comprende un conjunto de elementos previamente definidos que al relacionarse entre sí y de una
manera coherente dan una armonía, unidad y proporción a un edificio según los preceptos básicos de
belleza.
Es importante, señalar que la geometría en la Arquitectura nace en Grecia y Roma.

4. En la geometría es uno de sus entes fundamentales, junto
con la recta y el plano, pues son considerados conceptos
primarios, es decir, que sólo es posible describirlos en
relación con otros elementos similares o parecidos.
EL PUNTO
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en
otro. Las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P en el espacio son los números en los cuales los
planos perpendiculares atraviesan y cortan los ejes.
Ubicación de un punto en el espacio
La determinación de un punto en el espacio se puede realizar por medio de un sistema de coordenadas que
consta de tres rectas, usualmente perpendiculares dos a dos, que concurren en un punto (origen) de modo
similar a las líneas que confluyen en un rincón de una habitación normal. Es usual también designar a estas
rectas con los nombres de: eje x, eje y, eje z. En cada uno de estos ejes se define un sistema de
coordenadas abscisas cuyas unidades de medida son congruentes, a menos que se advierta lo contrario.

5. Para localizar un punto (x, y, z) en R3 podemos hacerlo primero ubicando su proyección en el plano xy, este
es el punto (x, y 0) y luego subir o bajar este punto z unidades, según el signo de z. En el dibujo mostramos
la representación del punto (1, 3, 2).
la proyección de un punto no determina la posición del punto en el espacio y para establecer la posición de
este punto, conociendo su proyección, so necesitan condiciones suplementarias. Por ejemplo, se conoce la
proyección rectangular de un punto sobro el plano horizontal de proyección y so indica con marcación
numérica la distancia de este punto al plano; el plano de proyección se considera corno «plano de nivel do
referencia», y la marcación numérica se cuenta positiva si el punto en el espacio se encuentra encima del
plano de nivel de referencia y, negativa, si el punto se encuentra debajo de este plano. En esto se basa el
método de proyecciones con marcaciones numérica.

6. ¿Cómo se representa gráficamente un punto?
El punto es la unidad más elemental que se puede representar. Un punto queda definido por su proyección
vertical (es decir, la proyección espacial sobre el PV) y su proyección horizontal (la proyección del punto
sobre el PH). La proyección vertical se denomina comúnmente con una letra minúscula más un apóstrofe
(a’), mientras que la horizontal se designa con la misma letra minúscula sin apóstrofe (a).
Un punto puede estar situado en cualquiera de los 4 Cuadrantes y eso determinará su representación en
Diédrico. En el siguiente gráfico quedan explicados los conceptos que he definido hasta el momento: Planos
de proyección PH y PV, Línea de Tierra LT, y puntos en los 4 cuadrantes.

8. Obtención de la proyección de un punto
La proyección sobre el Plano Vertical se llama alzado, La proyección sobre el Plano Horizontal se llama planta. La
proyección sobre el Plano Perfil se llama perfil derecho.

9. Todo punto tiene dos proyecciones que están unidas mediante una línea de referencia,
perpendicular a la Línea de Tierra (LT) y se cortan en ella.
Proyección de un punto
Los puntos pueden situarse en cualquier parte del espacio, aunque en este ejemplo,
trabajaremos con un punto situado en el primer cuadrante de proyección, definido por el
Plano Vertical (PV) y el Plano Horizontal (PH), ayudado del Plano de Perfil (PP), según lo
recogido en el apartado Proyecciones.

10. Cota
Es la distancia del punto a proyectar (punto A) al plano horizontal. Podemos entender que es la
“altura” del punto sobre el PH.
Esto implica que la cota será la medida existente entre la proyección vertical del punto a’ y la
Línea de Tierra (LT).
La posición de un punto con respecto a los planos de proyección se puede definir atendiendo a estos dos
valores:
Será positiva si se encuentra por encima del PH.
Será negativa si se encuentra por debajo del PH.

11. Alejamiento
De la misma forma, el alejamiento es la distancia del punto A al plano vertical. Lo que implica que
será la distancia de la LT a la proyección horizontal del punto (a”).
Será positiva si se encuentra por delante del PV.
Será negativa si se encuentra por detrás del PV.

12. Desviación.
En el caso de trabajar con tres planos de proyecciones, a la distancia que hay desde el punto al
plano de perfil se le denomina

14. La distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la longitud del segmento de
la recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los
definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto» entre dos puntos es un
segmento recto con curvatura llamada geodésica.
Distancia
Distancia de un punto en el espacio a dos planos de proyección, conociendo:
Dirección y elevación.
Si conocemos cuál es la orientación del plano de proyección, es bastante sencillo calcular cuál es la
relación entre las longitudes proyectadas y las reales.
Supongamos que conocemos el vector director (normal) del plano de proyección. Llamemos 𝑛⃗⃗ a
este vector, y 𝜋 al plano de proyección

15. Obviamente conocemos la dirección y magnitud de los tres vectores que representan
las direcciones de los ejes de coordenadas. Llamaremos a estos tres vectores 𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗, 𝑒⃗ 𝑦⃗ y
𝑒𝑧
⃗⃗⃗⃗. Al ser los vectores directores de los ejes de coordenadas, éstos son unitarios. Esto es:
|𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗| = |𝑒⃗ 𝑦⃗| = |𝑒𝑧| = 1
Si lo que queremos conocer es cuál es la magnitud que van a tener los objetos al
proyectarse, lo que debemos averiguar son las longitudes proyectadas (sobre el plano de
proyección de los vectores 𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗, 𝑒⃗ 𝑦⃗ y 𝑒𝑧⃗⃗⃗⃗.
A la proyección de los vectores 𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗, 𝑒⃗ 𝑦⃗ y 𝑒𝑧 sobre el plano de proyección. Las longitudes proyectadas
se pueden calcular fácilmente a partir del ángulo que forma cada uno de los ejes con respecto al plano.
Tomemos como ejemplo el eje 𝑥. Si llamamos α𝑥 al ángulo que forma el eje 𝑥 con el plano de proyección,
entonces:|𝑒⃗⃗⃗𝑥𝑝⃗⃗⃗⃗| = |𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗| · 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑥).
El ángulo 𝛼𝑥 es el complementario del ángulo 𝛽𝑥 cuyo valor se puede calcular, a su
vez, fácilmente a partir de los vectores 𝑛⃗⃗ y 𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗ empleando el producto e

16. la proyección de un punto en el sistema diédrico dependerá de su altura sobre el plano horizontal, a la
que se llama cota, y de la distancia al plano vertical, a la que se llama alejamiento.

17. En los planos de proyección, se designa con la letra H, al horizontal, el otro, es designado con la letra
V, es vertical y este último es llamado plano frontal (vertical) de proyección. Los planos V y H forman el
sistema V, II. La línea de intersección de los planos de proyección se llama eje de proyección (línea- de
tierra). El eje de proyección divide a cada uno do los planos V y II con dos semiplenos. Para este eje
aceptaremos la designación x o la denotación- con forma de quebrado VIH.

18. PUNTOS SITUADO EN LOS CUADRANTES.
Punto A, situado en el primer cuadrante primer octante. Cota positiva. Alejamiento positivo. L acota
será menor que el alejamiento.
Punto B situado en el plano bisector. Cota igual al alejamiento, ambos positivos
Punto C situado en el primer cuadrante segundo octante. Cota y alejamiento positivos. L acota será mayor
que el alejamiento.
Como puede observarse al abatir los planos, la proyección segunda de los puntos queda por encima de la
línea de tierra y la primera por debajo. En consecuencia los puntos situados en el primer cuadrante su cota
siempre estará por encima de la línea de tierra y el alejamiento por debajo, y ambos serán positivos.
Punto D situado en el segundo cuadrante tercer octante. Cota positiva. Alejamiento negativo. Ambas
proyecciones por encima de la línea de tierra.
Punto E situado en el segundo bisector. Cota igual al alejamiento.

20. Posición por ejes de coordenadas
Podemos definir cualquier punto dando tres coordenadas en la forma: (X, Y, Z), que se
corresponden con X=desviación, Y=alejamiento y Z=cota, pudiendo tener valores positivos o
negativos.
El posicionamiento respecto a los signos se hará conforme al abatimiento que vimos en la lección
anterior.

21. Los planos de proyección de los que nos valemos generalmente son 3: planta, alzado y perfil.
Una vez que se han proyectado sobre cada unos de ellos las vistas ortogonales del objeto, se
giran hasta hacerlos coincidir los tres en un mismo plano.
Distancia de un punto en el espacio a dos planos de proyección.
Sistema de Proyección Diédrica, también denominado sistema de Doble Proyección Ortogonal,
este sistema de proyección, se basa en definir la proyección ortogonal de los objetos, en forma
simultánea, sobre dos planos principales de proyección, perpendiculares entre sí. Se obtienen
dos proyecciones ortogonales , por medio de las cuales se puede concebir la forma
tridimensional del mismo.

22. En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales
a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres
en el espacio (x, y, z).
Determinación geométrica
Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:
En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (u, φ, z).
En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de
referencia: (r, θ).
También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales, etc.
En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de
referencia: (r, θ, φ).

23. En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes
ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional
(análogamente se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las
coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho
punto {OA}, sobre un eje determinado:
Sistema de coordenadas
cartesianas
sobre un eje determinado:
Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x
está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector (i) tal que:
El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto
sobre el eje x.

24. Sistema de coordenadas
cartesianas

25. Podemos localizar cualquier punto, y definir su proyección directa, si describimos su posición
con respecto a los tres ejes X,Y, Z .
El origen: se sitúa en el vértice (O) del triedro. A partir de él el sentido puede ser positivo o
negativo.
El ancho: el eje X (coordenada desplazamiento) se extiende con su parte positiva hacia la
derecha, a partir de O
El alto: el eje Z (coordenada altura o cota), sentido positivo hacia arriba, a partir de O.
La profundidad: eje Y (coordenada de alejamiento), sentido positivo hacia la derecha, a partir de
O.
Representación de puntos en el sistema
cartesiano
Por esto mismo el tipo de proyección utilizado en el dibujo técnico son las proyecciones de tipo
“ortogonal” (derivado de ortho=recto) la cual consiste en la inclusión de dos o más planos
paralelos u oblicuos que definen las dimensiones reales de los objetos y se convierten en
«vistas» que luego se traspasan a escala en el plano. Este sistema se basa en una
representación del espacio 3D mediante los ejes cartesianos X, Y y Z junto a un punto de origen,
representado en una vista bidimensional llamada «isométrica»:

26. Sobre cada eje axonométrica se coloca la coordenada correspondiente (sobre el eje X la
coordenada X, etc.)
Por cada punto determinado en un eje se trazan paralelas a los otros ejes (por la coordenada
del eje X se dibujan paralelas a los ejes Z e Y).
La intersección de dos paralelas determina la proyección secundaria del punto (paralelas a los
ejes X y al Y determinan la proyección secundaria a).
Las paralelas trazada desde las proyecciones secundarias (a cada eje restante) determinan en
su intersección la proyección directa del punto (las paralelas dibujadas por las proyecciones
secundarias a y a' (a los ejes Z e Y respectivamente) determinan la proyección directa A).

28. En la proyección ortogonal la esencia de este se base en dos planos base: uno horizontal (PH) y el
otro vertical (PV), los cuales se intersectan formando un ángulo recto. Al girarse en 90° el plano
vertical hacia el horizontal obtenemos una representación bidimensional de estos planos limitados
por la línea de corte entre ambos, o también llamada “línea de tierra”. Este sistema se denomina
diédrico o de los dos diedros o planos.

29. Sobre estos dos planos ortogonales se representan los objetos que se encuentran dentro del
espacio. Esta representación corresponderá a la proyección de la forma del objeto sobre cada plano
mediante proyecciones perpendiculares respecto al plano en cual se proyecta. En la siguiente figura
vemos la representación de un punto en ambos planos de proyección:

30. Se pueden usar coordenadas cartesianas para localizar puntos en 3 dimensiones como en este
ejemplo:
El punto (−4,−4,5) se indica en coordenadas cartesianas tridimensionales.

31. Sistema de coordenadas polares.
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la
distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el
eje y la recta que pasa por ambos puntos.
TIPOS DE SISTEMA DE
COORDENADAS
Sistema de coordenadas cartesianas.
Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el
origen. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el
punto y el origen sobre cada uno de los ejes.
Coordenadas cilíndricas.
Generalización del sistema de coordenadas polares plano, al que se añade un tercer eje de
referencia perpendicular a los otros dos.
Coordenadas esféricas.
Sistema de coordenadas formado por dos ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el
origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos, los
ángulos que es necesario girar sucesivamente, en planos mutuamente perpendiculares, el eje
inicial para alcanzar la posición del punto.

32. El sistema de coordenadas, se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo
tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de
coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al
que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos.
Además, su aplicación es muy importante en la arquitectura e ingeniería, para la medición de terrenos se
usan las coordenadas para fijar puntos, distribuir mejor los espacios.

33. Esta representado por cuatro cuadrantes el sistema Diédrico. En el primer cuadrante un punto
A tiene sus dos proyecciones ortogonales A1 A2 sobre el plano horizontal y vertical
respectivamente. Al girar el plano vertical en sentido contrario a las agujas del reloj, la
proyección A2 vertical del punto A queda sobre la línea de tierra mientras que la horizontal A1
queda por debajo de ésta, como se ve en el dibujo de la derecha.
En el segundo cuadrante B con sus dos proyecciones horizontal y vertical B1 B2,
respectivamente, se transforman mediante el giro del plano vertical en B1 B2, ambas sobre la
línea de tierra, como se observa en el dibujo de la derecha.
Proyección de un punto en los diferentes diedros o cuadrantes y
sus deducciones
En el tercer cuadrante C, podemos observar que al girar el plano vertical, la proyección vertical
del punto C2 pasa a estar por debajo de la línea de tierra mientras que la proyección sobre el
plano horizontal C1 queda por encima de la línea de tierra, conforme al dibujo de la derecha.

34. Un punto D en el cuarto cuadrante con sus dos proyecciones horizontal y vertical D1 D2,
respectivamente, tenemos que mediante el giro del plano vertical se transforman en 2 puntos
alineados sobre una vertical por debajo de la línea de tierra, conforme aparecen el dibujo de la
derecha.

35. Son las regiones o cuadrantes en el que se divide a los planos principales de proyección (PV) y
(PH).
Por lo tanto, el plano va a estar dividido por cuatro regiones.
CUADRANTES
O DIEDROS

36. CONCLUSIÓN
De igual modo, los cálculos geométricos se usan para garantizar la seguridad en la elaboración de
una estructura, ya que se realizan cálculos para determinar la carga de peso sobre la base del edificio, y la
rejilla formada por rectángulos más pequeños se utiliza para distribuir el peso de manera uniforme para
asegurar la integridad estructural del edificio. Incluso en estructuras de construcciones residenciales, los
cálculos geométricos se usan para determinar los elementos de soporte de carga, como vigas del piso y
preocupaciones prácticas como la pendiente de la cubierta.
Cabe señalar, que la importancia de la geometría en la arquitectura, se debe a que se utiliza para
calcular el espacio, ángulos y distancias, que tienen un interés inmediato para el diseño arquitectónico, a su
vez el arte utiliza la geometría para lo que tiene que ver con la profundidad espacial.
La geometría es utilizada, para lograr espacios eficaces, belleza, armonía, simetría y relación entre
los espacios.

37. Video. https://www.youtube.com/watch?v=aaSrjfMyq1Y
ANEXOS
Video. https://www.youtube.com/watch?v=ByzOshyWv-w
Video. https://www.youtube.com/watch?v=qW9WjR_N8y4

38. BIBLIOGRAFIA
Dibujo Técnico. Proyecciones de punto. https://ibiguridt.wordpress.com/temas/sistemas-de-
representacion/proyecciones-del-punto/
Aula fácil. https://www.aulafacil.com/cursos/dibujo-lineal-bachillerato/dibujo-tecnico-1-de-
bachillerato/sistema-diedrico-representacion-del-punto-l18868
Oropeza, Francis. https://es.slideshare.net/auraoropeza/ubicacin-de-un-punto-en-el-espacio. Educación,
publicado en 04 de noviembre de 2013. 27- 10- 2020.
Introducción al Sistema Diédrico. El punto. https://www.10endibujo.com/el-punto-en-diedrico/. 27-10-2020.
Dibujo Técnico. http://dibujotecnico.ramondelaguila.com/diedrico/punto.htm. 27- 10- 2020.
Dibujo Técnico. Metodo de Proyección Ortogunal. https://www.mvblog.cl/apuntes/dibujo/dibujo-tecnico-
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39. Pérez G., Alberto M. GEOMETRÍA DESCRIPTIVA. Disponible en:
http://www.saber.ula.ve/bitstream/handle/123456789/33652/geometria_descriptiva.pdf?sequence=1&isAllo
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Wikipedia, la Enciclopedia Libre. El punto geometría. Disponible en:
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)#:~:text=Un%20punto%20puede%20determinarse
%20con,x%2C%20y%2C%20z). 2020, 10- 26.
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https://saia.psm.edu.ve/pluginfile.php?file=%2F1165730%2Fmod_resource%2Fcontent%2F1%2FPUNTO
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