El documento describe el plano cartesiano y sus componentes principales como los ejes x e y, el origen y los cuadrantes. Explica cómo usar coordenadas para ubicar puntos en el plano y representar funciones, distancias, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Finalmente, resume brevemente el estudio de las cónicas desde la perspectiva de la geometría analítica.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Barquisimeto-Estado Lara
MATEMATICA
Dominga Marina Rodríguez CI.7414745
Sección: PNFCI0100
Marzo-2021

2. Plano numérico
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de
un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de
coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la
elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.

4. El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés
René Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el
primero en utilizar este sistema de coordenadas
Partes del plano cartesiano
Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los
ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A
continuación, te explicamos cada uno.

5. Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se
interconectan en un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de
abscisa y ordenada.
Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y
se identifica con la letra “x”.
Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se
representa con la letra “y”

6. Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” y “y”, punto
al cual se le asigna el valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce
como punto cero (punto 0) n. Cada eje representa una escala numérica
que será positiva o negativa de acuerdo a su dirección respecto del origen.
Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es
segmento ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el segmento
descendente es negativo
Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las
dos rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de
estos cuadrantes.
Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I,
II, III y IV.

7. Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas.
Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva.
Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas.
Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el ordenada negativa.
También te puede interesar: Geometría analítica.
Coordenadas del plano cartesiano
Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el
plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje
“x” y otro valor al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera:
P (x, y), donde:
P = punto en el plano;
x = eje de la abscisa (horizontal);
y = eje de la ordenada (vertical).
Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una
línea perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la
llamaremos proyección (ortogonal) del punto P sobre el eje “x”
Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es
decir, una proyección del punto P sobre el eje “y”.
En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes, se refleja
un número (positivo o negativo). Esos números son las coordenadas.
Por ejemplo:

8. En este ejemplo, las coordenadas de los puntos en cada cuadrante son:
Cuadrante I, P (2, 3);
Cuadrante, P (-3, 1);
Cuadrante III, P (-3, -1) y
Cuadrante IV, P (3, -2).

9. Si lo que queremos es saber la ubicación de un punto a partir de unas
coordenadas previamente asignadas, entonces trazamos una línea
perpendicular desde el número indicado de la abscisa, y otra desde el
número de la ordenada. La intersección o cruce de ambas proyecciones
nos da la ubicación espacial del punto.
Por ejemplo:
En este ejemplo, P (3,4) nos da la ubicación precisa del punto en el
cuadrante I del plano. El 3 pertenece al eje de las abscisas y el 4
(segmento derecho) al eje de las ordenadas (segmento ascendente).
Funciones en un plano cartesiano
Una función representada como: f(x)=y es una operación para obtener de
un variable independiente (dominio) las variables dependientes (contra
dominio). Por ejemplo: f(x)=3x

10. Función de x Dominio Contra dominio
f(2)=3x 2 6
f(3)=3x 3 9
f(4)=3x 4 12
Relación del dominio y el contra dominio es biunívoca, lo que La significa
que tiene solo dos puntos correctos.
Para encontrar la función en un plano cartesiano se debe primero
tabular, o sea, ordenar los puntos en una tabla las parejas encontradas
para posicionarlas o ubicarlas después en el plano cartesiano.
X Y Coordenada
2 3 (2,3)
-4 2 (-4,2)
6 -1 (6,-1)

11. Distancia
La distancia entre dos puntos del espacio nucleído equivale a la longitud
del segmento de la recta que los une, expresado numéricamente. En
espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana,
el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento recto con
curvatura llamada geodésica.
En física, la distancia es una magnitud escalar, que se expresa
en unidades de longitud
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se
encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean
puntos, segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales.
En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del
segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz
del segmento.

12. Ecuaciones y trazados de circunferencias
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos
hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos).
Determinación de una circunferencia
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por
todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto,
llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una
circunferencia (la ecuación de la circunferencia).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro
del Plano Cartesiano) diremos que —para cualquier punto, P (x, y),

13. De una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r ─, la
ecuación ordinaria es
(X ─ a) 2
+ (y ─ b) 2
= r 2
¿Qué significa esto?
En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia
graficada con un centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y
con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos
“transformar” o expresar como una ecuación matemática.
Así la vemos
Así podemos expresarla
Donde:
(d) Distancia CP = r
y
Fórmula que elevada al cuadrado nos da
(x ─ a) 2
+ (y ─ b) 2
= r 2
También se usa como
(x ─ h) 2 + (y ─ k) 2 = r 2

14. Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de
cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un
radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a
las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b)
Parábolas
Si el corte lo hacemos, de forma oblicua al eje del cono pero paralela a la
generatriz del mismo obtenemos una parábola:
Si el plano corta oblicuamente al eje del cono y a todas sus generatrices,
sin pasar por el vértice, la sección que obtenemos es una elipse.
Elipses

15. Mantenemos la misma cartulina amarilla y la sección resultante en azul:
Si el plano corta oblicuamente al eje del cono y a todas sus generatrices,
sin pasar por el vértice, la sección que obtenemos es una elipse.
Mantenemos la misma cartulina amarilla y la sección resultante en azul:
Si el corte lo hacemos, de forma oblicua al eje del cono pero paralela a la
generatriz del mismo obtenemos una parábola:

16. Hipérbola
Si el plano corta a las generatrices en ambos lados del vértice del cono,
obtenemos una hipérbola.

17. Si te fijas en la figura siguiente, a las cónicas podemos clasificarlas
teniendo en cuenta el ángulo que forman el plano con el eje del cono
Si el plano es perpendicular al eje, tenemos una sección circular cuyo
contorno es la circunferencia.
Si el ángulo que forma el plano con la base es menor que el ángulo que
forma el plano con la generatriz, tenemos que la sección será una elipse.
Si el plano es paralelo a la generatriz tenemos la parábola.
Si el ángulo que forma el plano con la base es mayor del que forma con la
generatriz, tenemos la hipérbola.
Cuanto acabas de leer lo tienes representado a continuación:

18. LAS CÓNICAS DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Fueron los griegos quienes “inventaron” la geometría. La palabra
geometría significa medir la tierra.
La acción de medir la tierra la tenían que repetir cada vez que el río Nilo
se inundaba y borraba las señales y límites anteriores.
De esta práctica surgieron fórmulas de distintas figuras geométricas para
el cálculo de superficies y volúmenes.
Tiene que transcurrir mucho tiempo, hasta el siglo XVII en que René
Descartes aborda la resolución de problemas geométricos haciendo
aplicación del álgebra con la ayuda especial de las coordenadas
cartesianas.
Este es el comienzo del estudio de la geometría en el que para la
resolución de los problemas geométricos no sólo se necesitan regla y
compás sino que examinándolos, analizándolos, reducirlos a expresiones y
ecuaciones algebraicas para su inmediata resolución
A esta Geometría la conocemos como Geometría Analítica.
A continuación pasamos a estudiar separadamente cada una de las
superficies planas que hemos obtenido por la intersección de planos y
conos.

19. Las ecuaciones de cada cónica las mostramos en forma canónica o
reducida.
El significado de canónico lo aceptamos como lo que es propio de cada
figura.
También haremos mención de cada ecuación en su forma general.