ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS DE CORRIENTE ABIERTA: Teorema de Malla y Principio de Superposición.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”
FACULTAD DE INGENIERIA
CABUDARE – ESTADO LARA
ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS DE CORRIENTE ABIERTA:
Teorema de Malla y Principio de Superposición
MARIYULY CAMARGO COLINA
C.I 16.951.818
DAVID ELIEZER GUERRERO
C.I. 17.330.334
ALFONSO CASTILLO
C.I. 19.849.727
ARGENIS PINTO
C.I 11.646.863
FEBRERO, 12 DE 2.011

2. La abreviatura AC significa corriente alterna. Esta se podría referir a
cualquier tipo de alternancia, pero el tipo específico de forma de onda alterna
que se presenta con más frecuencia en el análisis de circuitos es la senoide. Y
una de las tareas más importantes del análisis de circuitos es determinar la
respuesta de estado estacionario forzada por una excitación senoidal después
de que la respuesta natural desaparece. Por consiguiente, de acuerdo con la
práctica común, diremos que un circuito de corriente alterna es un circuito
lineal estable que opera con excitación.
Los circuitos de corriente alterna han sido por mucho tiempo el sustento
diario de la ingeniería eléctrica y electrónica en la distribución de energía,
iluminación, productos de consumo y sistemas industriales. Además, la
comprensión de los conceptos de los circuitos de corriente alterna es un
prerrequisito esencial para miles de temas que van desde dispositivos
electrónicos y la maquinaria rotatoria hasta el control automático, las
comunicaciones y el procesamiento de señales.
Por lo tanto, nuestro estudio de los circuitos de corriente alterna tiene
tanto aplicaciones inmediatas como subsecuentes. Fundamentalmente, el
análisis de circuitos de corriente alterna incluye las intimidantes tareas de
formular ecuaciones diferenciales para los circuitos y luego calcular las
soluciones particulares con excitaciones senoidales. Sin embargo, trabajaremos
con técnicas más convenientes que reducen los problemas de circuitos de
corriente alterna a manipulaciones algebraicas relativamente simples.
2

3. ANALISIS DE CORRIENTE DE MALLA Y VOLTAJE DE NODO
El análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia sigue el mismo
procedimiento que se utiliza en los circuitos resistivos; sin embargo, se emplean
impedancias y fasores en lugar de resistencias y funciones en el tiempo. Como
la ley de Ohm puede usarse en el dominio de la frecuencia, se emplea la
relación V = ZI para los elementos pasivos y se procede con las técnicas del
voltaje de nodo y la corriente de malla.
1.- Ejemplo de análisis de Malla:
En la siguiente figura aparece un circuito con ������=10rad/s, L =0.5H y
C=10mF. Determinar el voltaje de nodo v en su forma senoidal estable cuando
el voltaje de la fuente es Vf =10 cos(������t)V.
Solución:
El circuito tiene una fuente dependiente entre dos nodos, por lo que se
identifica un supernodo como se muestra en la figura, donde también aparece
la impedancia de cada elemento en forma fasorial.
Vf
3

4. Así, la impedancia del inductor es ZL = j������������ = ������5
De igual forma, la impedancia del capacitor es:
1 10
������������ = = = −������10
������������������ ������
1 1
Primero, se nota que Y1 = = . Ahora se desea conjuntar las dos
������1 100
admitancias en paralelo para que R2 y C den una admitancia Y2 como se
muestra a continuación:
Entonces obtenemos
1 1 1 ������ 1
Y2 = + = + = (1 + ������)
������2 ������������ 10 10 10
Y3 puede obtenerse de la resistencia y la inductancia en serie como:
1
Y3 = ������3
Donde Z3 = R3 + ZL = 5 + 5j
Por lo tanto, se tiene
1 1
Y3 = = (5 − ������5)
5+������ 5 50
Aplicando la LCK en el supernodo de la figura del circuito anterior,
Y1 (V - Vf) + Y2V + Y3 (V + 10I)= 0
4

5. Además, se denota:
I = Y1 (Vf - V)
Sustituyendo la ecuación
I = Y1 (Vf - V) en la Y1 (V - Vf) + Y2V + Y3 (V + 10I) = 0
se obtiene
Y1 (V - Vf) + Y2V + Y3 [V + 10Y1 (V - Vf)]= 0
Reordenando,
(Y1 + Y2 +Y3 – 10Y1Y3)V = (Y1 – 10Y1Y3) Vf
En consecuencia,
������1 − 10 ������1 ������3 ������������
V=
������1 + ������2 + ������3 − 10 ������1 ������3
Dado que,
Vf = 20 ∠������º
se obtiene
1 1
− 5−������ 5 10 1−(1−������ ) 10������
10 50
V= 1 1 = 1 =
+ (1+������ ) (2+������ ) 2+������
10 10 10
Por tanto, se tiene
������������
������ = ������������������( ������������������ + ������������, ������°) ������
������
5

6. 2.- Ejemplo de análisis de Malla:
Determinar la corriente en estado estable i1, cuando la fuente de voltaje
es Vf = 10 2 cos ( ������t + 45°) V y la fuente de corriente es if = 3cos ������������ A en el
circuito de la figura. En esta figura aparece la impedancia en ohms para cada
elemento a la ������ especificada.
+
Vf
-
Solución:
Primero se transforman las fuentes independientes a la forma fasorial. La
fuente de voltaje es
Vf = 10 2∠45° = 10(1 + ������)
Y la fuente de corriente es
If = 3∠0°
Se observa que la corriente conecta a las dos mallas y produce una ecuación
restrictiva
I2 –I1 = If
Creando una supermalla alrededor de la periferia de las dos mallas, se escribe
una ecuación de la LVK, obteniendo
I1Z1 + I2 (Z2 + Z3) = Vf
I1Z1 + (If + I1) (Z1 + Z3) = Vf
(Z1 + Z2 + Z3)I1 = Vf – (Z2 + Z3) If
������������ − ( ������2 + ������3 )������������
I1 = ������1 +������2 +������3
Sustituyendo las impedancias y las Fuentes
6

7. 10+������ 10 − 2−������ 2 3
I1 = = 2 + ������2 = 8,25∠76°
2
En consecuencia, el resultado es
i1 = ������, ������������ ������������������ ������������ + ������������° ������
3.- Ejemplo de análisis de Malla:
Determinar la corriente senoidal de estado estable i1 en el circuito de la
figura cuando v 10 2 cos (������t 45)V y ������= 100 rad/s. Además, L= 30 mH y
C = 5 mF.
Solución:
Primero se transforma el voltaje de la fuente a su forma fasorial
Vf = 10 2∠45° = 10 + 10������
Ahora se definen las dos corrientes de mallas como i1 e i2, como se muestran a
continuación:
7

8. Puesto que la frecuencia de la fuente es ������ = 100 ������������������/������, se determina que la
inductancia tiene una impedancia de
1 1
������������ = = = −������2
������������������ 1
������ 2
Entonces se pueden resumir las corrientes fasoriales del circuito y la impedancia
de cada elemento dibujando el circuito en términos de fasores. Ahora pueden
escribirse las ecuaciones de la LVK para cada malla, obteniendo:
Malla 1: (3 + j3) I1 – j3 I2 = Vf
Malla 2: (3 – j3) I1 – (j3 – j2) I2 = 0
Despejando I1 con la regla de Cramer, se tiene:
10 + ������ 10 ������
I1 = ∆
Donde el determinante es:
∆ = 3 + ������3 ������ + ������3 3 − ������3 = 6 + 12������
En consecuencia,
10������ −10
I1 = 6 + 12������
Prosiguiendo, se obtiene:
10 (������ −1) 10( 2∠135°
I1 = = = 1,05∠71,6°
6 (1 + 1������ ) 6( 5∠63,4°)
Entonces, la respuesta de estado estable en el tiempo es:
i1 = 1,05 cos (100t + 71,6º) A
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9. EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
En los circuitos lineales con más de una fuente independiente, la
propiedad de la linealidad hace posible el análisis de estos circuitos sumando
las respuestas debidas a cada fuente por separado esto quiere decir que la
respuesta general de un circuito que contiene varias fuentes es la suma de
las repuestas a cada fuente individual, eliminando las otras fuentes.
Esto se conoce como el principio de superposición, en donde las
fuentes de corrientes se eliminan o son fijadas en cero, reemplazándolas con
circuitos abiertos y las fuentes de voltaje se sustituyen con circuitos
cerrados.
En cuanto a el poder total disipado por un elemento de un circuito
lineal en general no es la suma de los poderes por separado debidos a
cada fuente. Esto se debe a que la potencia es una función no lineal de
las variables de circuito corriente y voltaje. El uso de la superposición está
limitado a cálculo de corrientes y voltajes en circuitos lineales.
La superposición es una poderosa herramienta que nos permite
resolver corrientes y voltajes en circuitos lineales que contienen varias
fuentes al añadir superponer voltajes y corrientes componentes.
En relación con lo antes expuesto este principio se aplica a los
circuitos lineales de CA de la misma manera que se aplican que los
circuitos CD.
9

10. En los circuitos en estado estable AC que contienen fuentes múltiples
con la misma frecuencia, no puede calcularse la potencia superponiendo las
potencias debido a las fuentes se encuentran por separado. Esto finalmente
se aplica a todas la forma de potencia: instantánea, media reactiva o
compleja. La superposición puede utilizarse para obtener corriente voltajes
pero no para fuentes con la misma frecuencia estos componentes deben
superponerse antes de calcular la frecuencia.
En otras palabras este teorema rige la potencia promedio cuando las
fuentes son de frecuencia distintas. De esta forma para calcular la potencia
promedio P en estado estable ac de un circuito excitado por fuentes en
dos o más frecuencias en donde se calcula la frecuencia promedio para cada
frecuencia separadamente y luego se agrega . De igual forma de se puede
obtener la potencia reactiva Q cuando las fuentes son de frecuencias distintas.
Cuando los fasores pueden superponerse (w1 = w2), no puede aplicar
lo mismo con P y Q y cuando los fasores no puedan superponerse (w1≠w2),
esto quiere decir que el teorema funciona para P y q
La superposición, en el caso de fuentes que operan a 2 o más
frecuencias se aplica solo a respuestas en el tiempo. No se pueden superponer
las respuestas fasoriales. Esto quiere decir que la respuesta total se debe
obtenerse sumando las repuestas individuales en el dominio del tiempo.
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11. 1.- Ejemplo utilizando el teorema del principio de Superposición
Usando el principio determinar la corriente de estado estable i en el
circuito de la figura.
R1= 5Ω vf = 10 cos 10 t v
C=10 mf if =3A
R2= 10 Ω
L= 1,5 H
5 Ω 1,5 H
I1
+
10 mf 10 Ω
-
3A
10 cos 10 t V
SE RESOLVERA EL EJERCICIO PASO A PASO
Paso 1: Se cambian las fuentes independientes a FUENTES fasoriales
(polar), siempre y cuando trabajen en diferentes frecuencias para que pueda
cumplir el teorema de superposición.
Para la fuente de voltaje trabaja = 10 rad/s.
Representado de la forma fasorial o (polar ) ������������ = 10 ˂ 0˚
En el caso de la fuente de corriente directa por lo tanto el valor de =o
rad/s. representado en la forma fasorial o polar if= 3 ˂ 0˚
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12. Paso 2: Ahora se le realiza el cambio de los elementos del circuito
identificando el dominio de la frecuencia usando impedancia y fasores. Para
ello se utilizaron las siguientes formulas:
Fórmula para las resistencias
Sustituyendo las formulas Z1= 5 Ω
Y lo mismo ocurre la resistencia de R= 10 Ω = z= 10 Ω
Z1= 5 Ω
Fórmula para el inductor o la bobina
Sustituyendo las formulas Z= j *10 rad/s * 1,5 H = j 15 Ω
Z2== j 15 Ω
Fórmula para el capacitor
������
Sustituyendo las formulas Z= ������������������ = -j 10 Ω
������∗������������ ∗������������������������
������
Z3= - j 10 Ω
Después de haber convirtiendo las fuentes de corriente, fuentes de voltaje
en su representación fasorial y los elementos del circuitos a impedancia y
fasores, se muestra el dibujo con los cambios realizados en el paso 1 y paso 2 .
5 Ω
j 15 Ω
j10 Ω
10 Ω
+ 3 ˂ 0˚
10 ˂ 0˚
-
12

13. Paso 3: Eliminación de fuente de corriente
Se elimina la fuente de corriente ya que trabaja de forma individual y
se sustituye por un circuito abierto a través del resistencia de 10 Ω. Es por
ello que se utiliza la fuente de voltaje para obtener la intensidad de
corriente I1.
En el circuito se observa que la impedancia del capacitador y la
impedancia de la resistencia se encuentran en paralelo se obtiene la
impedancia equivalente
−������ 10Ω∗ Z4
Zeq34= = 5 (1-j)
������ 10Ω+ Z4
Ahora se calcula la intensidad de corriente I1. Utilizando la siguiente
formula.
������������ ������������∠������° ������������
������1 = = = ∠ − ������������°
������������+������������������+������������������������������ ������+������������������+(������−������������) ������������������
∴ La corriente en el dominio del tiempo tiene como resultado utilizando la
fuente de voltaje es:
0.71cos10 45
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14. Paso 4: Eliminación de la fuente de voltaje
Al desactivar la fuente de de voltaje ocurre un corto circuito, esto con
lleva a colocar en cero la fuente de voltaje y por eso ocurre el corto. En
cuanto a la impedancia del capacitador se convierte en un circuito abierto
1
porque = ∞. Sin embargo la impedancia del inductor o bobina se
������������������
convierte en corto circuito. A continuación se muestra la figura
Se procede a calcular la intensidad de corriente 2
10
������2 = − ∗ 3 = −2������
10Ω + 5Ω
Por tanto, usando el principio de superposición, la corriente total de estado
estable
It 0.71cos10t 452A
14

15. 2.- Ejemplo del principio de Superposición
Determinar la potencia promedio adsorbida por la resistencia en la
figura:
Paso 1: Se convierten las fuentes y los elementos del circuito de forma
fasorial
������ = 4 ������������������/������
������ = 2 ������������������/������
j8Ω
1Ω √2∠20° A rms
3√2∠0° V
+
-
1
-j ������
2
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16. Paso 2: Elimínanos la fuente de corriente
Paso 3: Elimínanos la fuente de voltaje
j4Ω
I1
√2∠20° A
1Ω
rms
-j 1Ω
Ahora debemos calcular sus respuestas individuales de circuitos
fasoriales distintos.
������ 15 2
I1= 2∠20° = 1.40∠27.6° ������ ������������������
1+������ 15 2
Calculo de la potencia en ������ = 4 ������������
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17. ������1 = ������������ ������ ������1 2
= ������ ������1 2
= 1 ∗ 1.40 2
= 1.96 ������
Para ������ = 2 ������������ ������������������������������������������������������ ������������ ������������������������������ ������������:
3 2∠0
������2 = = 1.34 ∠ − 71.6° ������ ������������������
1 + ������3
Para el cálculo de la potencia:
������2 = ������ ������2 2
= 1 ∗ 1.34 2 =1.80 W
La potencia promedio absorbida por la resistencia es:
1.96 +1.80 = 3.76 W
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