Presentacion sobre Transformador, inductancia mutua, convencion de puntos

1. República Bolivariana de Venezuela Universidad “Fermín Toro” Facultad de Ingeniería Cabudare – Estado Lara Transformadores y la Inductancia Mutua David E. Guerrero S. C.I.- 17.330.334 Circuitos Eléctricos II Junio de 2.011 1

2. Transformadores Se denomina transformador a una máquina eléctrica que permite aumentar o disminuir la tensión en un circuito eléctrico de corriente alterna, manteniendo la frecuencia. La potencia que ingresa al equipo, en el caso de un transformador ideal, esto es, sin pérdidas, es igual a la que se obtiene a la salida. Los transformadores son dispositivos basados en el fenómeno de la inducción electromagnética y están constituidos, en su forma más simple, por dos bobinas devanadas sobre un núcleo cerrado de hierro dulce o hierro silicio. Las bobinas o devanados se denominan primario y secundario según correspondan a la entrada o salida del sistema en cuestión, respectivamente. 2

3. Transformadores La bobina "primaria" recibe una tensión alterna que hará circular, por ella, una corriente alterna. Esta corriente inducirá un flujo magnético en el núcleo de hierro. Como el bobinado "secundario" está arrollado sobre el mismo núcleo de hierro, el flujo magnético circulará a través de las espiras de éste. Al haber un flujo magnético que atraviesa las espiras del "secundario" se generará por el alambre del secundario una tensión. Habría corriente si hubiera una carga (si el secundario estuviera conectado a una resistencia. La razón de la transformación de tensión entre el bobinado "PRIMARIO" y el "SECUNDARIO" depende del número de vueltas que tenga cada uno. 3

4. A + - + N1 N2 ~ V2 V1 - + -  Transformadores El Transformador Como: La dirección del flujo magnético puede determinarse aplicando la “regla de la mano derecha”. Representación esquemática del transformador. 4

5. Transformadores El Transformador Como el flujo(producido por el voltaje V1, aplicado al devanado primarioN1) está confinado al núcleo, de sección A, y será el mismo que atraviesa el devanadoN2, sobre la salida del trafo se inducirá un voltajeV2, el que puede determinarse como: Para determinar la polaridad de un trafo (la que estará relacionada con el sentido de arrollamiento entre ambos devanados) se usa la notación de un “punto”, para establecer que los terminales indicados tienenla misma polaridad en el mismo instante. 5

6. Transformadores El Transformador El primario y el secundario de un transformador tienen el mimo núcleo de hierro que asegura que el flujo a través de cada espira sea el mismo. Sea φel flujo del campo magnético a través de cada espira. Si la corriente en el primario i1 varía con el tiempo se produce en el secundario una fem inducida V2. Si cambiamos los papeles de modo que el secundario pase a ser primario y viceversa Dividiendo ambas expresiones, obtenemos la relación de transformación Por ejemplo si el secundario tiene N2=5N1 resulta que V2=5V1, y dicho transformador aumenta en el secundario la tensión del primario y se llama transformador elevador. Para que un transformador sea reductor deberá tener menos espiras en el secundario que en el primario. 6

7. Transformadores Ejemplo Una radio funciona con corriente de 9V y 360mA. Si el primario del transformador tiene 440 vueltas. ¿Cuántas hemos de ponerle al secundario? Transformamos una tensión en el primario de 220 voltios a 9 voltios en el secundario Si no hay pérdidas de energía. La potencia en el primario debe ser igual a la del secundario. 220·i1=9·360 por lo que i1= 14.7 mA 7

8. Transformadores Al aumentar la tensión disminuye la intensidad, este hecho es empleado para transportar la electricidad a grandes distancias reduciendo las pérdidas por efecto Joule. En una central eléctrica, el generador está conectado al primario de un transformador de elevación de tensión, mientras que las líneas de transporte de electricidad están conectadas al secundario. En el primario hay una intensidad alta, con un valor moderado de la tensión. En el secundario, la tensión se eleva hasta cerca de 500.000 V y por consiguiente, la corriente en el secundario se reduce en la misma proporción. Como las pérdidas por efecto Joule son proporcionales al cuadrado de la intensidad, al disminuir la intensidad en el secundario se reducen las pérdidas por calentamiento. En el otro extremo de la línea, debe utilizarse un transformador reductor para disminuir la tensión, de forma que podamos usar la electricidad de forma más cómoda y segura, y podamos disponer de una corriente de mayor intensidad. 8

9. M + + I2 I1 V2 V1 - - Transformadores Expresiones características Por lo general, el empleo de trafos está limitado a aplicaciones de CA, ya que los devanados primario y secundariose comportan como cortocircuitos para CC. Cuando se conecta una carga al devanado secundario, el voltaje sobre el devanado primario será: 9

10. Transformadores Expresiones características Por otra parte, el voltaje inducido en el devanado secundario podrá expresarse como: Así, la inductancia mutua puede interpretarse comoel efecto de inducir un voltaje en una bobina debido a la corriente que circula por la otra. En estado estable, un trafo puede representarse fasorialmente como: 10

11. En consecuencia, el máximo valor deMserá . Transformadores Expresiones características Para queW  0, se debe verificar que: Definiendo el “factor de acoplamiento”,k, como: Puede notarse que cuandok=0implicará queno existirá acoplamiento. Por el contrario, cuandok=1existirá un acoplamiento total entre el primario y el secundario del trafo. 11

12. En consecuencia, el máximo valor deMserá . Transformadores Expresiones características Para queW  0, se debe verificar que: Definiendo el “factor de acoplamiento”,k, como: Puede notarse que cuandok=0implicará queno existirá acoplamiento. Por el contrario, cuandok=1existirá un acoplamiento total entre el primario y el secundario del trafo. 12

13. Transformadores Transformador Ideal Es un modelo de transformador con coeficiente de acoplamiento igual a la unidad (k=1). Tiene que tener las reactancias primarias y secundarias muy grandes en comparación con las impedancias que se conectan a los terminales del trafo. En general, los trafos convencionales se pueden aproximar a un trafo idealen un rango de frecuencias. Algo parecido ocurre en transformadores con núcleo de hierro. En un trafo ideal se debe cumplir que: 13

14. 1: n + + I2 I1 V2 V1 - - ideal (k=1) Transformadores Transformador Ideal A la magnitud “n” se la conoce como “relación de vueltas” o “relación de transformación”. Así, las dos ecuaciones que caracteriza a un trafo ideal son: El símbolo de un transformador ideal es el siguiente: Un tranfo ideal no tiene pérdidas 14

15. Zf I2 + + 1:n I1 V2 Vf V1 Z2 - - ideal Transformadores Transformador Ideal Conectando una impedancia de carga a un trafo ideal, resulta el siguiente circuito: La impedancia vista en el primario del trafo será: 15

16. Comose consideró saliendo del terminal marcado con el punto, resulta que Transformadores Transformador Ideal Teniendo en cuenta que: En consecuencia: Por lo tanto, la impedancia de entrada vista desde la fuente Vf será: Se puede ajustar Zent con “n” 16

17. 17 Transformadores Transformador Ideal Ejemplo: Para el circuito mostrado se pide encontrar la potencia que se entrega a la carga sabiendo que: N1 = 1000N2 = 5000

18. 18 Transformadores Solución: Primero se encuentra la impedancia de entrada de el circuito sabiendo que: De esta manera se puede construir el equivalente Thévenin: Por tanto: y la potencia que entrega la fuente esta dada por: para esta potencia entregada 5.625 W se disipan en la resistencia interna de la fuente y los otros 5.625 W se entregan a la carga, esta condición para transferir la máxima potencia a la carga.

19. Inductancia Mutua Si por una bobina fluye una corriente que varía en el tiempo, se produce un flujo magnético y por ende un voltaje en esta. Si acercamos otra bobina observamos que las líneas de flujo inciden de manera que recíprocamente en esta se induce un voltaje y si existe trayectoria posible, también existirá una corriente. El voltaje que se induce en la segunda bobina es proporcional al cambio de la corriente de la primera bobina. Si relacionamos el voltaje inducido en la segunda bobina con la corriente circulante de la primera bobina, se establece un coeficiente llamado inductancia mutua 19

20. Inductancia Mutua Para comenzar nuestra descripción de dos bobinas acopladas, emplearemos la ley de Faraday, que puede establecer como sigue: El voltaje inducido en una bobina es proporcional a la razón con respecto al tiempo del cambio de flujo y el número de vueltas N, en la bobina. Las dos bobinas acopladas se muestran en la Figura 1. 20

21. 21 Inductancia Mutua Los componentes de flujo son: L1 Flujo en la bobina 1, que no se une con la bobina 2; este es producido por la corriente en la bobina 1 L2 Flujo en la bobina 2, que no se une con la bobina 1; este es producido por la corriente en la bobina 2 12 Flujo en la bobina 1 producido por la corriente en la bobina 2 21 Flujo en la bobina 2 producido por la corriente en la bobina 1 11=L1+21 Flujo en la bobina 1 producido por la corriente en la bobina 1 22=L2+12 Flujo en la bobina 2 producido por la corriente en la bobina 2 1 Flujo total en la bobina 1 2 Flujo total en la bobina 2

22. Inductancia Mutua A fin de escribir las ecuaciones que describen las bobinas acopladas, definimos los voltajes y corrientes usando la convención de signos pasivos en cada par de terminales. En forma matemática la ley de Faraday puede escribirse como: El flujo 1 será igual a 11, el flujo de la bobina 1 ocasionado por la corriente de la bobina 1, más o menos el flujo en la bobina 1 producido por la corriente de la bobina 2, es decir, Si la corriente de la bobina 2 es tal que los flujos se suman, entonces se usa el signo más; si la corriente de la bobina 2 es tal que los flujos se oponen uno al otro, se usa un signo menos. La ecuación para el voltaje puede escribirse como: 22

23. 23 Inductancia Mutua donde lasP son constantes (permeancias) que dependen de las trayectorias magnéticas tomadas por los componentes del flujo. La ecuación del voltaje puede escribirse como: De la física básica se sabe que 11 = N1i1P11 y 12 = N2i2P12 La constante N12P11 = L11 (la misma L que usamos antes) se llama ahora la auto inductancia, y la constante N1N2P12 = L12 se llama inductancia mutua. Por tanto Usando el mismo razonamiento anterior podemos escribir:

24. Si el medio a través del cual pasa el flujo magnético es lineal, entonces P12 = P21. De aquí, L12 = L21 = M. Por conveniencia, definamos L1 = L11 y L2 = L22. Entonces escribimos: 24 Inductancia Mutua Ahora necesitamos examinar los detalles físicos de las bobinas acopladas. En física básica aprendimos la regla de la mano derecha, la cual afirma que si giramos los dedos de nuestra mano derecha alrededor de la bobina en la dirección de la corriente, el flujo producido por la corriente está en la dirección de nuestro pulgar. A fin de indicar la relación física de las bobinas y, por consiguiente, simplificar la convención de signos para los términos mutuos, empleamos lo que comúnmente se llama la convención de punto.

25. Se colocan puntos al lado de cada bobina de modo que si entran corrientes en ambas terminales con puntos o salen de ambas terminales con puntos, los flujos producidos por esas corrientes se sumarán. Esto puede verse en la Figura 2. 25 Inductancia Mutua Cuando se escriben las ecuaciones para los voltajes terminales, los puntos se usan para definir el signo de los voltajes mutuamente inducidos. Si las corrientes i1(t) e i2(t) están ambas entrando o saliendo de los puntos, el signo del voltaje mutuo inducido M(di2/dt) será el mismo en una ecuación que el del voltaje autoinducido L1(di1/dt). Si una corriente entra a un punto y la otra sale de un punto, los términos del voltaje mutuo inducido y del voltaje autoinducido tendrán signos opuestos.

26. 26 Inductancia Mutua Ejemplo Determine el voltaje de salida Vo el circuito que se muestra en la Figura 5. Solución: La ecuación de la LKV para la malla 1 y 2 es: (2 + j4)I1 – j2I2 = 24|30º -j2I1 + (2 + j6 – j2)I2 = 0 Resolviendo las ecuaciones se obtiene: I2 = 2.68|3.43º A Vo = 2I2 = 5.36|3.43º V

27. Ejemplo de Inductancia Mutua El circuito acoplado de la figura 1 tiene un coeficiente de acoplamiento de 1 (es decir, k=1). Se desea determinar la energía almacenada en la bobinas mutuamente acopladas en el tiempo t=5ms. L1=2.653mH y L2=10.61mH. Figura 1 Figura 2 Solución: De los datos la inductancia mutua es: Figura 3 El circuito equivalente en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 3. 27

28. Las ecuaciones de malla para la red son: (2 + j1)I1 – j2I2 = 24|0º -j2I1 + (4 + j4)I2 = 0 Resolviendo las ecuaciones se obtiene: I1 = 9.41|-11.31º A I2 = 3.33|33.69º A Expresadas estas ecuaciones en el tiempo, son: i1(t) = 9.41cos(377t -11.31º) A i2(t) = 3.33cos(377t +33.69º) A A t=5ms, 377t = 1.885rad ó 108º por consiguiente: i1(5ms) = 9.41cos(108º -11.31º)= -1.1 A i2(5ms) = 3.33cos(108º +33.69º)=-2.61 A 28

29. Por lo tanto, la energía almacenada por las bobinas acopladas en t=5ms es: 29

30. Convención de Puntos La convención de punto nos permite esquematizar el circuito sin tener que preocuparnos por el sentido de los arrollamientos. Dada más de una bobina, se coloca un punto en algún terminal de cada una, de manera tal que si entran corrientes en ambas terminales con puntos (o salen), los flujos producidos por ambas corrientes se sumarán. Los puntos que aparecen en un extremo de cada bobina muestran la polaridad de la tensión y la corriente sobre el lado secundario del transformador. Si la tensión primaria es positiva en el extremo punteado de la bobina con respecto al extremo no punteado, entonces el voltaje secundario será también positivo en el extremo punteado. Las polaridades de tensión son las mismas con respecto al punteado en cada lado del núcleo. Si la intensidad primaria del transformador fluye hacia dentro del extremo punteado de la bobina primaria, la corriente secundaria fluirá hacia fuera del extremo punteado de la bobina secundaria. 30

31. Convención de Puntos Siguiendo esta convención, las bobinas acopladas presentadas previamente pueden esquematizarse de la siguiente manera: Regla general: si ambas corrientes entran (o salen) de los puntos, el signo del voltaje mutuo será el mismo que el del voltaje autoinducido. En otro caso, los signos serán opuestos. 31

32. Convención de Puntos Ejemplo Para este circuito se desea encontrar el voltajeVx: sabiendo que: 32

33. Convención de Puntos Solución: Se determinan las corrientes de malla I1 e I2 y se aplica LVK a cada malla.Con la correcta utilización de la convención de los puntos se pueden escribir las ecuaciones de malla: Resolviendo este sistema de ecuaciones de la forma: 33 Se obtiene: El voltaje buscado es igual a:

34. Charles, A. y Sadiku, M. Fundamentos De Circuitos Eléctricos - Sadiku - 3ra Edición. Consulta en línea: http://bacterio.uc3m.es/docencia/laboratorio /PIDocente_Electromagnetismo/guionesPDF/Transformadores.pdf. Fecha: 01/07/2011 Consulta en línea: http://www.frino.com.ar/transformador.htm. Fecha: 01/07/2011 Consulta en línea: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/acoplados/acoplados.htm. Fecha: 01/07/2011. Consulta en línea: http://www.unicrom.com/Tut_ transformador.asp. Fecha: 01/07/2011. Consulta en línea: http://www.ing.unp.edu.ar/electronica/asignaturas/ee016/apuntes/12/12.htm. Fecha: 01/07/2011 Consulta en línea: http://es.scribd.com/doc/54253241/01-El-transformador. Fecha: 01/07/2011 34 Referencia bibliográfica