Simple class lesson about AC circuits for theoretical Electromagnetism (Universidad Nacional de Rosario, 2014). Time and phasorial resolution, mean power, resonating condition

1. Circuito RLC en serie
Javier García Molleja
Física I / Física II / Física III
El circuito a analizar es un RLC con todos los elementos en serie. Existen datos
conocidos, tales como la resistencia, R = 8 Ω, la capacidad, C = 150 µF, la inductancia,
L = 30 mH y la frecuencia, ν = 50 Hz. A partir de este dato es conocida la frecuencia
angular, puesto que ω = 2πν = 100π = 314, 16 rad/s.
Además, la tensión eléctrica de la fuente también es un valor conocido: E(t) = E0 cos ωt
V, con una amplitud E0 =
√
2100 = 45, 83 V y sin desfase (δ = 0o
). Es decir, la alimen-
tación es en corriente alterna. En la gura 1 se presenta esquemáticamente el circuito de
estudio con sus elementos más relevantes. Hay que mencionar que aunque la disposición
requerida sea esta, al ser un circuito en serie es independiente el elemento de la posición
que ocupe.
Figura 1: Esquema del circuito RLC en serie.
1

2. 1. La corriente en el circuito en forma compleja e ins-
tantánea
La corriente alterna tiene que seguir una forma similar a la de la tensión, por lo que
se plantea la siguiente expresión para describir la corriente:
I(t) = I0 cos(ωt + ϕ),
donde ϕ indica el desfase con respecto a la tensión que entrega la fuente. Evidentemente,
I0 será la amplitud de esta corriente y la frecuencia ω es la misma que la de la tensión.
Este circuito sigue vericando la ley de Ohm, aunque modicada en cierta manera:
E(t) = ZI(t),
donde Z es la impedancia, la dicultad de la corriente a pasar por los elementos del
circuito. Es decir, en un sistema de alterna no es solo la resistencia, sino la impedancia. Por
consiguiente, dividiendo la tensión por la impedancia se conocerá la corriente: I(t) = E(t)
Z
.
La tensión entregada por la fuente se consume en todo el circuito, se da entonces la
conservación de la energía. Por tanto, la energía que entrega la fuente ha de consumirse
en las caídas de tensión en los tres elementos del circuito. Esto queda matemáticamente
como:
E(t) = VL(t) + VR(t) + VC(t).
El solenoide almacena energía magnética y la caída de tensión en este elemento se
expresa como:
VL(t) = L
dI(t)
dt
.
La resistencia se encarga de disipar la energía por efectos térmicos y la caída de tensión
en ella es igual a:
VR(t) = RI(t).
Finalmente, el condensador almacena la energía entregada de forma eléctrica, por lo
que a partir de la expresión de la capacidad se conoce la caída de tensión en este elemento:
C =
Q
V
I(t) = C
dVC(t)
dt
VC(t) =
1
C
I(t) dt.
Combinando todo esto, se tiene la expresión de conservación de la energía como
E(t) = L
dI(t)
dt
+ RI(t) +
1
C
I(t) dt
2

3. E0 cos ωt = −ωLI0 sen(ωt + ϕ) + RI0 cos(ωt + ϕ) +
1
ωC
I0 sen(ωt + ϕ).
Si consideramos el valor Q(t) y su derivada primera I(t) y la segunda, identicamos
esta expresión como una ecuación diferencial de segundo orden. Si está tabulada puede
determinarse el valor de las dos incógnitas I0 y ϕ.
Pero es posible enfocar de otra manera el problema para llegar a la solución más rápida
y sencillamente.
Esto se consigue cambiando la fuente dada del problema por otra hipotética, de igual
amplitud y frecuencia pero desfasada 90o
con respecto a la dada:
E (t) = E0 cos(ωt + 90o
) = E0 sen ωt.
Podemos volver a la ecuación que relacionaba la tensión entregada por la fuente y
las caídas de tensión en los distintos elementos, postulando además que la intensidad de
corriente, por coherencia, debe ser
I (t) = I0 cos(ωt + ϕ + 90o
) = I0 sen(ωt + ϕ).
Esto da en la ecuación de conservación de la energía lo siguiente:
E0 sen ωt = ωLI0 cos(ωt + ϕ) + RI0 sen(ωt + ϕ) −
1
ωC
I0 cos(ωt + ϕ).
Ahora bien, podemos multiplicar toda esta expresión por la unidad imaginaria j =√
−1 y sumarlo con la expresión de conservación anterior a la que llegamos. Haciendo estas
operaciones podemos relacionar el resultado con la denominada representación de Euler
que combina expresiones sinusoidales con exponenciales imaginarias: A2
r + A2
i
2
ejθ
=
Ar cos θ + jAi sen θ. Según esto, podemos reducir la suma de expresiones con la notación
de Euler:
E0ejωt
= jωLI0ej(ωt+ϕ)
+ RI0ej(ωt+ϕ)
+
1
jωC
ej(ωt+ϕ)
,
el elemento ejωt
es el factor común a ambos miembros, por lo que puede simplicarse. De
esta manera el circuito está descrito en la representación fasorial. No hay que olvidar que
si se quiere pasar de fasor a magnitud instantánea hay que añadir el factor simplicado.
Mientras tanto, la expresión es:
E0 = jωLI0ejϕ
+ RI0ejϕ
+
1
jωC
I0ejϕ
Con esta expresión debemos calcular entonces el fasor corriente ˜I = I0ejϕ
, así que
debemos resolver el valor del módulo y de la fase.
Para el módulo tenemos que
I0 =
E0
R + jωL + 1
jωC
,
3

4. el denominador por identicación a la ley de Ohm general es el módulo de la impedancia:
Z = R+j(XL−XC). Podemos denir entonces como reactancia los elementos imaginarios.
Es más, la reactancia tendrá componentes inductivas (XL = ωL = 9, 42 Ω) y capacitivas
(XC = 1
ωC
= 21, 22 Ω). Por consiguiente,
|Z| = R2 + (XL − XC)2 = 14, 26 Ω
Por lo tanto, la corriente será
I0 =
E0
|Z|
= 3, 21 A.
Para determinar la fase volvemos a centrarnos en la impedancia. La resolución se
puede determinar con el diagrama fasorial que separa componentes imaginarias y reales:
δ = arc tg
XL − XC
R
= −55, 86o
.
Así que, como la fuente de tensión carece de desfase, la fase de la corriente será (siguiendo
las propiedades de los exponentes en un cociente)
ϕ = 0 − δ = 55, 86o
.
Finalmente, el fasor corriente se obtiene al combinar ambos resultados
˜I = 3, 21ej55,86o
A.
Si queremos conocer la expresión de la corriente en representación instantánea no
hay que olvidar que la corriente es una magnitud real y que habíamos simplicado la
componente de la frecuencia.
I(t) = [˜I] = I0 cos(ωt + ϕ) = 3, 21 cos(100πt + 55, 86o
) A.
2. Diagrama fasorial del circuito
Un diagrama fasorial se obtiene a partir de la representación de los fasores en un plano
complejo. Esto algunas veces se conoce como la representación de Fresnel. Con los datos
ya conocidos es bastante fácil representar los fasores de manera polar (puesto que sabemos
el módulo y la fase) en este plano complejo de un eje real y otro imaginario.
Antes de todo, es sabido que la caída de tensión en la resistencia posee la misma fase
que la corriente ˜I, así que
˜VR = R˜I = RI0ejϕ
= 25, 68ej55,86o
V.
El uso de fasores nos permite corroborar las fases de la señal en el solenoide y en
el condensador. De esto, se obtiene que la fase de la caída de tensión en el solenoide se
4

5. adelanta 90o
a la fase de la señal de la corriente, mientras que la caída de tensión en el
condensador tiene una fase retrasada 90o
con respecto a la corriente:
˜VL = jωL˜I = ej90o
ωLI0ejϕ
= ωLI0ej(ϕ+90o)
= 30, 25e145,86o
V,
˜VC =
1
jωC
˜I = ej270o 1
ωC
I0ejϕ
=
I0
ωC
ej(ϕ+270o)
= 68, 12ej295,86o
V.
Figura 2: Diagrama fasorial. ˜VR se identica en rojo, ˜VL en azul, ˜VC en amarillo oscuro y
˜E. En negro se identica la diferencia entre tensiones.
En la gura 2 se desarrolla todo el diagrama fasorial. Como dijimos previamente, por
la ley de conservación de la energía la suma de las caídas de tensión debe ser igual que la
tensión entregada por la fuente. Podemos llevar a cabo dicha demostración a partir del
diagrama fasorial. Se empieza por los valores de ˜VL y ˜VC, que poseen la misma dirección,
pero diferente sentido. Es decir, son colineales. Por consiguiente, restando los módulos
sabemos el valor y el sentido que toma el fasor diferencia: |˜VL − ˜VC| = 37, 87 V. Como el
módulo de ˜VC es mayor, ambos tendrán el mismo sentido.
Una vez hecho esto se congura un nuevo sistema de coordenadas provisional creado
por ˜VR y |˜VL− ˜VC|, que las consideraremos a ambas caídas de tensión como las proyecciones
5

6. de otro vector. Con el teorema de Pitágoras (se puede aplicar, ya que ambos ejes son
normales por el desfase entre la tensión en la resistencia y en el condensador) sabremos
la magnitud de la hipotenusa, que no es otra cosa que E0 :
E0 = |˜VR|2 + |˜VL − ˜VC|2 = 25, 682 + 37, 872 ≈
√
2094 ≈
√
2100 V.
Debido a errores de redondeo no se obtiene el valor exacto. Un cálculo más detallado
puede conrmarlo. Teniendo ya a E0 se puede determinar además la fase para representar
el fasor de la fuente de tensión. Tomemos como origen de fases el vector ˜VR y el sentido
positivo el que se dirige hacia |˜VL − ˜VC|:
δ = arc tg
|˜VL − ˜VC|
˜VR
= arc tg
37, 87
25, 68
= 55, 86o
.
Esto es respecto ˜VR, luego si cambiamos de ejes de coordenadas a los clásicos eje real y
eje imaginario se tiene que este valor es el origen de la coordenada de fase (parte positiva
del eje real y sentido positivo el sentido contrario a las agujas del reloj), por lo que δ = 0o
,
tal y como se nos dio en los datos del problema, que la fuente no está desfasada (o que
ella es la referencia de desfase): ˜E = E0ejδ
=
√
2100ej0o
V.
3. Potencia media suministrada por la fuente
La potencia es simplemente el producto de la corriente por la tensión aplicada:
P(t) = I(t) · E(t) = I0E0 cos (ωt + ϕ) cos ωt.
Sin embargo, conocer la potencia instantánea no da mucha información. Es tradición
por tanto que se indique la potencia media que la fuente entrega al sistema, por lo que
habrá que promediar dicha expresión en un ciclo de tiempo, T = 1
ν
= 0, 02 s. Para poder
operar de manera sencilla debemos recordar una regla trigonométrica que habla sobre el
producto de cosenos:
cos a cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a − b)] .
6

7. Con esto se puede determinar el valor medio de la potencia:
¯P =
1
T
T
0
P(t) dt
=
I0E0
T
T
0
cos (ωt + ϕ) cos ωt dt
=
I0E0
2T
T
0
[cos(2ωt + ϕ) + cos ϕ] dt
=
I0E0
2T
1
2ω
sen(2ωt + ϕ)
T
0
+ cos ϕt]T
0
=
I0E0
2T
cos ϕT
=
I0E0
2
cos ϕ.
Por consiguiente, tomando que I0 = 3, 21 A y E =
√
2100 V, junto con un desfase de
la corriente de ϕ = 55, 86o
la potencia media tendrá un valor de ¯P = 41, 27 W.
4. Frecuencia de resonancia
La resonancia del circuito RLC se da cuando el módulo del fasor de corriente sea
máximo, o sea, que
I0 =
E0
|Z|
sea máximo. Esto, por supuesto, se consigue cuando el módulo de la impedancia alcance
un valor mínimo (la energía de la fuente está impuesta, por lo que la tensión que emite
es un dato conocido). Si observamos la expresión del módulo de la impedancia
|Z| = R2 + ωL −
1
ωC
2
determinamos que la resonancia se dará cuando la reactancia X sea un valor nulo. Dicho
de otra manera, la resonancia se dará cuando la impedancia solo tenga componente real y
no imaginaria. Esto se logra aplicando una determinada frecuencia al circuito, procedente
de la fuente: la frecuencia de resonancia.
Podemos saber cuál es su expresión a partir de la condición de que la reactancia ha
7

8. de anularse:
X =0
XL − XC =0
ωrL −
1
ωrC
=0
ωrL =
1
ωrC
ω2
r LC =1
ω2
r =
1
LC
ωr =
1
√
LC
.
Con los datos de inductancia y capacidad conocidos se puede determinar que la fre-
cuencia de resonancia vale ωr = 471, 40 rad/s. Esto es desde un concepto angular, pero
se puede relacionar con la cíclica: νr = ωr
2π
= 75, 03 Hz.
Cuando la fuente opere con mencionada frecuencia los retardos del condensador y del
solenoide se compensarán, por lo que |Z| = 8 Ω y δ = 0o
, así la impedancia será mínima e
igual a su parte real (a la resistencia) y no presentará desfase respecto a la fase de la fuente
de tensión, conllevando que la corriente tampoco esté desfasada. Además, si usamos una
fuente con igual amplitud en tensión (Er =
√
2100 V) la corriente tendrá un valor en su
módulo de 5,73 A.
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