Este documento trata sobre los fundamentos de la cimentación de máquinas. El objetivo principal es que los estudiantes aprendan los conocimientos básicos para el diseño estructural de cimentaciones de concreto armado y su análisis dinámico. Al finalizar el curso, los estudiantes podrán desarrollar proyectos de cimentación para cualquier máquina. Además, cubre temas como los tipos de suelos, materiales de cimentación y métodos de cálculo, diseño y construcción de cimientos.

1. CIMENTACION DE MAQUINAS
MC 572
OBJETIVO
Aprender los conocimientos básicos,
para el diseño estructural del concreto
armado, así como aprender la
metodología para el análisis dinámico, en
el diseño de una cimentación, para
máquinas de cualquier tipo.
Al finalizar la asignatura el alumno estará
en la capacidad de poder desarrollar
proyectos para fundaciones de cualquier
máquina.

2. Objetivos Específicos
 Conocer el manejo del Concreto armado
utilizarlo de acuerdo a la necesidad.
 Determinar la Resistencia del concreto, de
acuerdo a sus componentes.
 Determinar la Frecuencia de operación de
la máquina y frecuencia del sistema y
determinar la Resonancia.

3. Objetivo Específico
 Que el alumno:
 Conocerá los diferentes tipos de suelos, así
como las características de los materiales
de cimentación muy comunes.
 Conocerá los métodos para el cálculo, diseño y
construcción de cimientos en general.
 Aplicará los conocimientos de ingeniería
económica, para la selección, cambio o
instalación de maquinaria, procesos y
productos.

4. Historia del Cemento y
Concreto
Prehistoria:
Se utilizaron bloques de piedra
de gran tamaño y cuya
estabilidad dependía de su
colocación. (v.gr. Stonehenge
de Inglaterra).

5. Egipto:
Utilizaron ladrillos de barro o adobe
colocados y pegándolos con una
capa de arcilla del río Nilo con o sin
paja para crear una pared sólida de
barro seco. Este tipo de construcción
prevalece en climas desérticos donde
la lluvia es escasa. Este tipo de
construcción todavía se practica en
muchas partes del planeta.

6. Grecia y Roma:
Utilizaron la cal mezclada con
arena para hacer mortero en la isla
de Creta.
Los romanos mejoraron esta
técnica para lograr construcciones
de gran durabilidad como son el
Coliseo Romano y Panteón de
Roma así como un sin número de
construcciones por todo el
Imperio Romano.

7. Coliseo romano (Roma)

8. Los Griegos
Los Griegos, fueron los primeros
en percatarse de las propiedades
cementantes de los depósitos
volcánicos al ser mezclados con
cal y arena, que actualmente
conocemos como puzolanas ( un
pueblo cercano a la bahía de
Nápoles).

10. 1756:
John Smeaton, un ingeniero Inglés, encuentra las
proporciones para el cemento. Aparecen los primeros
concretos.
1796:
James Parker saca una patente para un cemento hidráulico
natural (Cemento de Parker o Cemento Romano).
Siglo XIX:
L. J. Vicat prepara una cal hidráulica al calcinar una mezcla de
creta y arcilla molida en forma de lodo (nace el método húmedo).
1800 - 1850:
Este periodo fue caracterizado por la aplicación de tres materiales:
el acero, el cristal y el concreto; que permitirían la industrialización
de la producción, la prefabricación, el rápido montaje y la pronta
recuperación de capital; todo esto en busca de una prosperidad
económica a través del libre mercado y en donde la competencia
era la fuerza motriz del progreso.

11. 1820:
Se asoció un entramado de barras de hierro con concreto
en ambas caras, se aplicó en una iglesia de Courbevoie,
Francia.
1824:
Joseph Aspdin obtiene la primera patente Británica
para producir Cemento Portland por medio de un
proceso de pasta (método húmedo).
1851:
En Londres nace el primer evento de carácter mundial
acerca de la construcción. Para conmemorar este evento,
se construye un edificio único en el que se albergara a
todas las naciones, tarea que es encomendada a Joseph
Pastón, quien haciendo uso de acero recubierto con
cristal crea "El Palacio de Cristal".

12. 1855:
Segundo evento mundial, con sede en París,
Francia, cuando se enfatiza el uso del concreto.
En este evento se rindió homenaje a los creadores
de prototipos; a los diseñadores de maquinaria y
muebles; y una parte sustantiva al diseño
industrial.
En Francia, se da las investigaciones y los
primeros productos de la técnica del concreto
armado,
1861:
El francés Coignet construye un solar con el
principio de entrampado de acero y cimbrado para
recibir el concreto.
1867:
Se crean las primeras losas con refuerzo metálico
dentro del concreto.

13. 1876:
El Ing. Mazas aplica por primera vez el cálculo de los elementos
de concreto, fundamentando las bases de las resistencias de
materiales.
1877:
Se funda la primera asociación para fijar especificaciones del
Cemento Portland en Alemania para controlar la calidad del
producto.
1886:
El primer horno rotatorio es utilizado para la producción de
Clinker.
1890:
Se introduce el yeso como retardante del fraguado y se utilizan
altas temperaturas para obtener silicatos con alto contenido de
óxido de calcio.

14. Siglo XX:
1900:
Las pruebas básicas del cemento son
estandarizadas.
1903:
Se comienzan a introducir las innovaciones
del concreto armado con nuevas técnicas,
métodos constructivos y cálculos.
Se mejora su uso y empleo más eficiente, se
crean industrias como: del concreto
premezclado

15. 1904:
Se funda la Institución Británica de
Estándares, se publica la primera
especificación del Cemento Portland por la
American Society for Testing Materials (A. S.
T. M.) y comienzan las investigaciones
sobre las propiedades del cemento en una
base científica y sistemática.
1908:
Se patenta el Cemento Aluminoso (Lafarge).

16. 1909:
Thomas Edison promueve una patente para
hornos rotatorios.
1930:
Agentes inclusores de aire son introducidos
para mejorar la resistencia del concreto al
daño por congelamiento.
1960:
Se patenta el Cemento Sulfoaluminoso
(Klein)

18. EL CONCRETO Y SUS
COMPONENTES
DEFINICION. Al concreto se le considera como
Una piedra artificial, que tiene determinadas propiedades
TIPOS DE CONCRETO.
1. CONCRETO LIVIANO.- Es el que se obtiene mezclando:
Agregados finos, cemento y agua.
2. CONCRETO SIMPLE.- Es aquella fundación que no
lleva acero de refuerzo; tanto el concreto liviano y simple,
la densidad es 2.3 ton/m3.
3. CONCRETO ARMADO.- Lleva acero de refuerzo y los
agregados presentes, tienen mayor concentración de
agregados gruesos.

19. Diferencias entre estos
concretos
 Tipos de Hormigón o Tipos de Concreto, en
general los hormigones o concretos se
clasifican por su uso:
 Hormigón Armado / Concreto estructural.
 Hormigón de Cimentación / concreto de
fundaciones.
 Hormigón de Soleras / Concreto de Base

20. HORMIGÓN
 El primer material y principal componente de las
estructuras de concreto armado; Fue inventado en
Roma hace más de 4000 años, es una mezcla de
cemento, arena, piedra y agua en medidas
proporcionales y establecidas de acuerdo al grado
de resistencia que se persigue.
 La propiedad más importante de esta mezcla es su
resistencia a la compresión (capacidad de un
material para resistir esfuerzos que tienden a
deformarlo), a la flexión (capacidad de un material
para resistir esfuerzos que tienden a deformarlo,
doblándolo), con la característica adicional de
poseer poca tracción; asimismo combinado con
refuerzos de acero adquiere propiedades anti
cortantes.

21. Componentes
 Como señalamos líneas arriba el concreto
esta compuesto de cemento como material
base, se emplea por lo general el cemento
Portland tipo 1; por su parte la arena debe
ser limpia sin materiales extraños que
pudieran afectar la resistencia del concreto.
 La arena más adecuada para preparar
concreto es la compuesta, la cual consta
de granos gruesos, medianos y finos, esta
característica se encuentra comúnmente en
la arena de los cerros y ríos.

22. Componentes del concreto
 Generalmente en el concreto se utiliza piedra
quebrada o chancada como se conoce
comúnmente (debido a que se produce en una
máquina llamada chancadora o trituradora); es
preferible emplear piedra de una sola medida, es
conveniente combinar entre piedra de 1” y de 1 ½
para estructuras normales y en el caso de vigas y
columnas (concreto estructural) es conveniente
emplear piedra de ¼ combinada con ½ o o un
agregado con tamaño máximo de 3/4″.
 Los diferentes tamaños de piedra se consideran en
la siguiente relación:

23. Concretos más comunes
 Los concretos más comunes son el empleado en
aceras de poco transito, contra pisos (falso piso) de
viviendas y para cimientos con una resistencia: 175
kg/cm2 (2,500 Ib/pulg2), la mezcla es equivalente a
un saco de cemento, 2 cajas de arenas, 4 cajas de
piedra quebrada o grava.
 Para el caso de estructuras de alto tránsito como
aceras o estructuras que soportan peso o gran
tensión como columnas, vigas y voladizos se
emplea un concreto con una resistencia de 210
kg/cm2 (3000 Ib/pulg2) a partir de un saco de
cemento, 2 cajas de arena, 2 cajas de piedra
quebrada o grava.

24. Preparación del Hormigón
 El concreto u hormigón se prepara en la
mezcladora o trompo mezclador (también
conocido como batidora); este debe mezclarse
durante tres minutos como mínimo.
 Debemos considerar de agregar la cantidad
justa de agua ya que un exceso de este
componente crea burbujas de aire que dan por
resultado un concreto poroso y de poca
resistencia (si fuera el caso se puede solucionar
empleando un vibrador de concreto).

25. Fraguado y Endurecimiento
del Concreto
 El proceso de endurecimiento (fraguado) del
concreto se debe a la combinación del agua con las
partículas de cemento las cuales reaccionan
hidratando sus componentes.
 Para obtener un concreto seco de alta calidad
es necesario controlar las condiciones de
hidratación y humedad, por ello es necesario para
completar el endurecimiento o fraguado mantener
humedo el concreto durante los primeros 7 días
del proceso de secado el cual en total tiene una
duración de aproximadamente 28 días, tiempo
necesario para obtener un endurecimiento natural y
lograr la calidad requerida.

26. Los cimientos que soportan máquinas de
funcionamiento discontinuo, llevarán siempre
acero de refuerzo.
CANTERAS.- Las canteras son los lugares donde se
extrae los agregados finos, puede ser Cerro y/o río ; para
explotarlos, se hace análisis para determinar el % de
sales (salitre), presente en los agregados, este elemento
es nocivo para el Cemento, presente el concreto, lo cual lo
degrada. Sí cumple con el requerimiento, se le extiende el
permiso de Explotación.
 ARENA.- Es un agregado fino, cuyo tamaño de grano
es menor que ¼”.

27. ARENA GRUESA.- Es un agregado que se le
utiliza para el concreto armado, se extrae de cerros.
 ARENA FINA.- Es un agregado que se utiliza para
lucidos, puede ser de cerro o río.
 PIEDARA CHANCADA.- Este agregado se obtiene
mediante las chancadoras de piedras cuyo tamaño
mayor que 3/8”, el tamaño de la piedara se obtiene
regulando la madíbula, lográndocede: ½”, ¾”, 1”, 1 ¼”, 1
½”, para seleccionarlo se hace uso de sarandas de
malla, su uso es mezclando con arena gruesa.
 ADHITIVOS.- Son materiales o preparados químicos,
que sirve para acelerar el fraguado en el concreto y
aumentar la impermeabilidad; se aplica en lugares
donde hay presencia de agua para lograr un rápido
fraguado.

28. PROPIEDADES DEL
CONCRETO ARMADO
Las propiedades más importantes que se deben tomar en
cuenta son:
 Pude darse cualquier forma, empleando un encofrado
 Soporta grandes esfuerzos a la compresión.
 Soporta bajos esfuerzos a la tracción, para lo cual se le
debe reforzar con acero.
 Adquiere su máxima resistencia después de 28 días
 Para cada obra se debe preparar probetas para
comprobar su resistencia.
 La resistencia se da en kg/ cm2.

29. PROPORCIONES Y MEZCLAS
Para lograr un buen fraguado se requiere:
 Un tiempo determinado en el mezclado.
 Una temperatura adecuada en el momento del hormigo-
nado.
 Presencia de agua.
 Proporción adecuada de los componentes, que intervienen
en el concreto armado, para lograr una resistencia
determinada.
 Los agregados deben ser limpios y buena calidad,
tamaño acorde con la resistencia del concreto que se
quiere obtener.

30. MATERIALES PARA EL CONCRETO
1. CEMENTO.- El cemento portland o natural, se
fabrica a base de materiales calcáreos, estos son
piedras que se calcinan en grandes hornos.
En nuestro medio existen varios fabricantes de
cementos, los más conocidos son los siguientes:
Cemento Andino Cemento Sol
Cemento Pacasmayo Cemento Chilca
Cemento Yurac.
Se despacha en bolsas, así como a granel; en este
caso lo usan compañías concreteras.

31. TIPOS DE CEMENTOS
 Grado 1.- Es un cemento Portland natural y es de uso
general, es decir para todo tipo obras civiles.
 Grado 2 .- Cemento portland modificado, se usa
cuando se desea bajar el calor de hidratación, en
grandes masa de concreto.
 Grado 3._ Cemento Portland de alta resistencia, se
usa para periodos cortos de fraguado.
 Grado 4.- Es un cemento de bajo calor de hidratación,
reduce las fisuras y el efecto de mal fraguado.

32. • Grado 5.-Cemento resistente a la acción de
sulfatos, se usa cuando el suelo contiene salitre como
alcálisis, este tipo de cemento se usa generalmente para
la construcción de pilotes para soportar los muelles.
 Grado 6.- Es un cemento con aire incorporado; en el
momento de fraguado, se forma burbujas, el resultado
es un concreto bien compacto.
 Nota : El cemento portland fragua más lento que el
cemento natural y es más resistente que el
convencional

33. AGREGADOS
Los agregados son los elementos que van mezclados con
el cemento y agua; su uso es fundamental por que de ello
dependerá la resistencia del concreto.
PROPORCIONES .- Se requiere una proporción
adecuada de los elementos que intervienen en el concreto,
para obtener una resistencia determinada.
 El periodo o tiempo de mezclado deberá ser mayor pble.
 Se debe evitar la pérdida de humedad del concreto.

34. Durante el fraguado
 Se debe agregar abundante agua
 Se deberá proteger para evitar formación de grietas.
 Cuando un concreto tiene poco agua, tiene mal acabado
debido a la poca fluencia.
 Bastante agua en la mezcla, obtendremos un concreto
bien acabado.
 Al día siguiente del hormigonado se deberá, echar
abundante agua, esto ayuda en el fraguado y permite
aumentar la resistencia del concreto, debido a la
liberación de energía y ganancia de humedad, lo cual se
puede percibir con el tacto.

35. CONSIDERACIONES GENERALES
 Al concreto se le considera como una piedra artificial,
cuyos componentes son:
 Cemento
 Piedra
 Arena
 Agua
 Aire
 Impurezas
 Arcilla
Los tres últimos elementos son difíciles de determinar.

36. ESTOS ELEMENTOS SE DIVIDEN EN
TRES PARTES
1. Elementos activos: Agua y cemento.
2. Elementos inertes: Piedra y arena.
3. E. perjudiciales: Aire atrapado e impurezas.
Los elementos activos intervienen en forma directa en
la resistencia del concreto.
El tamaño de la piedra influye en la densidad del
concreto.
El aire atrapado y las impurezas, son perjudiciales en
la resistencia y dosificación, del concreto armado.
Su resistencia se mide con muestras (probetas).

37. INFLUENCIA DEL AIRE ATRAPADO EN EL
CONCRETO
 El porcentaje de vacíos presentes en una masa de
concreto, estudiado por Road Research en el Laborato.
de Gran Bretaña; puedo apreciar que un % 5 de vacíos
o volumen de aire atrapado, la disminución de la
resistencia a la compresión es de 30 %, esto sugiere
una buena densificación, para no incumplir con este
requisito.
 La relación que se presenta en el gráfico, pone en
evidencia la importancia, de vibrar a la mezcla en el
momento del hormigonado, cubriendo todo los espacios
del encofrado.

38. RESISTENCIA A LA COMPRESION %
DEL CONCRETO - VACIOS %
Resistencia a la compresión en % Vacíos en %

39. ESTUDIOS DE FERET
 Este investigador que trato a los puentes y caminos en
el laboratorio, en el sur merd de Francia en 1896,
exponiendo la fórmula siguiente:
2
R = K [ C / ( C + a + I ) ]
R : Resistencia a la compresión
C : Volumen de cemento por m3 de hormigón
a : Volumen de agua por m3 de hormigón
I : Volumen de aire por m3 de hormigón
K : Constante dependiente de la edad del hormigón

40. INFLUENCIA DE VACIOS SOBRE LA
RESISTENCIA DEL CONCRETO
kg./ m3 vol kg./ m3 vol.
Piedra 1.257 480 l 1.190 455 l
Arena 650 260 648 248
Cemento 350 110 330 105
Agua 150 150 142 142
Aire - - - 50 5% va.
TOTAL 2432 1000 l 2310 1000 l
Ro = 0.179 K, I = 0 Rs = 0.125 K, I = 50
Rs / Ro = 0.125 / 0.179 = 0.698 == 69.8 %

41. ALGUNOS VALORES DE Rs/Ro
I Según Feret Según Besearch
3% 0.799 0.740
5% 0.698 0.640
10% 0.490 0.450

42. COMPORTAMIENTO DEL
CONCRETO
 El concreto tiene elevada resistencia a la
comprensión.
 El concreto tiene baja resistencia a la tracción, por
tal motivo se le refuerza con acero para tomar las
cargas de tracción.
 Si en la zona donde esta el bloque de concreto hay
presencia de salitre este se degrada, para
preservarlo se protege luciendo y puliendo con
cemento, la superficie expuesta al medio ambiente.
 Si el bloque de concreto esta en lugares de alto
transito pesado, se recomienda proteger las
esquinas con perfiles angulares de acero.

43. COEFICIENTE DE DILATACION
 El Coeficiente de dilatación del acero es: 0.0000065,
por cada grado F.
 El Coeficiente de dilatación del concreto varía de :
0.0000055 a 0.0000065, por cada grado F
 Esto es una de las características de suma
importancia, por que el concreto reforzado con
acero, se comporta como una unidad y cualquier
variación en la temperatura no altera
dimensionalmente el conjunto.
 Si fuese una viga bajo una carga considerable y por
casualidad estuviese expuesto al fuego, esto
colapsaría.

44. RESISTENCIA DEL CONCRETO A
LA COMPRESIÓN
 La resistencia del concreto depende de:
 La calidad del cemento.
 Calidad de los agregados.
 Cantidad de agua empleado
 De las impurezas que puede contener.
Si estimamos haber elegido materiales
adecuados,
dependerá de la proporción de agua con
relación al
cemento.

45. CANTIDAD DE AGUA/ SACO DE CEMENTO
INFLUYE EN LA RESITENCIA
 Si a dos muestras con los mismos materiales
preparado con: 28.39 y 22.71 litros de agua por saco
de cemento.
 Después de 28 días la resistencia a la rotura será de:
140 y 210 Kg/ cm2 respectivamente.
 El efecto del poder adherente del cemento, puede
compararse al de una goma o cola, si este contiene
mayor o menor cantidad de agua.
 Otro parámetro que nos permite medir la resistencia
es la granulometría de los materiales presentes,
tales como: La piedra, arena y proporción de los
vacíos.

46. PROPORCIONES DE LOS
AGREGADOS
 Las proporciones de los agregados se fijan en volumen
o peso, así por ejemplo:
 Una mezcla : 1:2:4 , se refiere a:
- Una parte de cemento
- Dos partes de agregados finos ( arena )
- Cuatro partes de agregados gruesos ( piedra )
La relación entre los agregados finos y gruesos esta por
el orden de 1:2.
- Un saco de cemento tiene 1 pie cúbico.
- Una carretilla puede llevar dos pies cúbicos.

47. UNA MEZCLA 1:2:4 EN VOLUMEN
Se obtiene mezclando:
 Un saco de cemento
 Una carretilla de arena
 Dos carretillas de piedra chancada.
Si se suprimen los agregados gruesos, la resistencia del
concreto disminuye considerablemente.
Así un concreto con: Un saco de cemento y una
parte de arena ( 1:1 )
Es menos resistente que un concreto formado por:
Un saco de cemento y 5 partes de piedra ( 1:0:5 ).

48. TAMAÑO DE PIEDRA CHANCADA
 El tamaño de piedra chancada en construcción no sobre
pasa de 2”, por lo general es de ½” a 1”.
 El tamaño máximo de agregados finos es ¼” que pasará
por la malla Nº 4, tiene cuatro espacios por pulgada /
lado , esdecir en una pulg. hay 16 aberturas, menor que
un ¼”, debido al espesor del alambre. En la malla Nº 50,
tiene 50 divisiones por pulg, esdecir 2500 aberturas.
 En la malla Nº 4 pasa de 70 a 85 % ( arena gruesa ).
 En la malla Nº 50 pasa de 15 a 30 % ( arena muy fina ).
 La humedad relativa influye en el % de paso de
agregados finos.

49. PROBETAS PARA ANALISIS DE
RESISTENCIA DEL CONCRETO
 Para las pruebas de resistencia del concreto, se prepara
probetas en moldes metálicos de 6” de diámetro por 12”
de alto, si el agregado grueso fuese de 1” a 2”, la
probeta debe ser de 8” de diámetro por 16 de alto.
 Según el reglamento americano (ACI) y el nacional: el
peso del concreto armado es de 2400 kg / m3, para el
concreto simple se considera 2.3 Ton /m3.
 El reglamento europeo, considera para el concreto 2.5
Ton. / m3. Esto debido a la limpieza de los agregados,
así como tamaños homogéneos de los agregados.
ACI : Asociación americana del concreto armado

50. RESISTENCIA ADMISIBLE DEL
CONCRETO SEGÚN LA ACI
Agua/saco cemento Resistencia Proporción
Galones litros fc kg./cm2 fc c:a:p
7.5 28.4 140 63 1:2:4
6.75 25.6 175 79 1:1.5:3
6.0 22.7 210 94.5 1:1:2
5.0 18.9 262 18 .. .. ..

51. ELABORACION DEL CONCRETO
 Obviamente el concreto se elabora de tres
maneras.
 Manualmente con la intervención de operarios.
 Con el apoyo de pequeñas mezcladoras, la que
lo alimentan de agregados los operarios.
 Compañías Concreteras, que venden el concreto
por metros cúbicos, transportado en trompos
giratorios, sus precios varían de acuerdo a la
resistencia ( se regula con la cantidad de agua)

52. REFUERZOS EN ELCONCRETO
ARMADO
 Al concreto armado se le refuerza, con barras de fierro
redondo corrugado o lizo, así como fierro de sección
cuadrada.
 Los fierros varían de ¼” a 1 ¼” de lado o diámetro.
 El momento de inercia es despreciable comparado a la
sección del concreto.
 El acero por si solo es incapaz de resistir la carga
 Si se utilizan perfiles de acero de un gran momento de
inercia, como canales, vigas H e I, para lo cual se
deberán considerar otros factores.

53. OBJETIVO DE USAR EL ACERO EN
EL CONCRETO
 El acero se aplica al concreto para reforzarlo el cual absorbe los
esfuerzos de atracción.
 Si son fierros redondos, pueden ser: lisos o corrugados; si son lisos
son menores que 3/8” y si son corrugados son mayores e igual que
3/8“ de diámetro.
 En el mercado se encuentran fierros lisos de: 4, 5, 6 mm de
diámetro, que se obtienen por trefilado.
 El acero corrugado, permite una buena adherencia al concreto y se
designa por octavos.
 SIDER PERU fabrica según la designación: Acero BAC E 42 ,
ASTM 615 y 432.
 Aceros Arequipa, fabrica según la designación : A 42 y ASTM A
615 – 84 grado 60.

54. DESIGNACION DEL ACERO DE
CONSTRUCCION
 Los dos fabricantes designan por números así: Nº : 3, 4,
5, 6, 7, 8 y 11.
 Limite de fluencia : fy = 42.2 kg./mm2 mínimo.
 Resis. a la tracción : fr = 63.3 kg./mm2 mínimo.
 Los fierros de construcción van amarrados y doblados
según el caso.
 Sí se requiere soldar deberá hacerse con electrodos
7018 ( supersito), cellocor; o también con electrodos
AWS : E 110.
 Se debe evitar usar otro tipo de electrodos .

55. MODULO DE ELASTICIDAD DEL
ACERO Y DEL CONCRETO
 El módulo de elasticidad es la relación entre el
esfuerzo y la deformación unitaria: Ec = fc/ Eu.
 Para el ACERO, existiendo diversidad y tipos, sin
embargo se considera aproximadamente constante:
Ea = 2000000 kg. / cm2.
 Para el CONCRETO, el módulo de elasticidad esta dado
1.5
por : Ec = 4270 W √ f'c
 Para: 2.3 ton/m3 , se aproxima : Ec = 15000 √ f'c

56. DESIGNACION
 W : ton / m3
 f'c : Resistencia máxima del concreto en kg / cm2
 Ea : Módulo de elasticidad del acero.
 Ec : Módulo de elasticidad del concreto.
 fc : Resistencia de trabajo del concreto ( en % ).
Para valor típico de la curva, por ejemplo 66% , un
concreto con resistencia f‘c = 210 kg./ cm2 →
fc = f'c x 0.66 = 210 x 0.66 = 140 kg. / cm2

57. FLEXION Y CORTE EN EL
CONCRETO ARMADO
CONSIDERACIONES:
 Una sección transversal se mantiene plana antes y
después de la deformación.
 El concreto y el acero obedecen a la ley de Hook.
 Las distancias y deformaciones, son proporcionales al
eje neutro.
 No se toma en cuenta el esfuerzo de tracción en el
concreto.
 Las tracciones debidas a la flexión, en un punto
cualquiera, depende de la deformación de dicho punto
 Los esfuerzos cortantes, son máximos en el eje neutro y
nulos en las fibras exteriores.

58. PRESENTACION
 v : Esfuerzo cortante kg. / cm2
 V : Esfuerzo cortante total kg.
 Me : Momento estático respecto al eje neutro
 I : Momento de inercia de la sección
 b : Ancho de la viga.
v = √ ( V Me ) / ( I b A )

59. EL ESFUERZO EN CUALQUIER PUNTO DE
LA SECCION TRANSVERSAL
 El esfuerzo en cualquier punto de la sección transversal
esta dado por:
 f = ( M y ) / I
 El máximo esfuerzo por flexión, se da en las fibras
exteriores y esta dado por:
 fmax. = ( Mc ) / I.
y : Distancia al eje
c : Distancia del eje neutro a la fibra exterior
M : Momento flector externo
I : Momento de inercia de la sección .

60. CASO TIPICO VIGA RECTANGULAR
 Una viga de sección rectangular que esta sometido a
una carga cualquiera, los momentos y los esfuerzos
máximos se manifiestan de la manera siguiente:
sección fmax.

61. VIGA APOYADA EN SUS
EXTREMOS
 Una viga de sección rectangular apoyada en sus
extremos, que soporta ciertas cargas, se analiza:
 ESTADO ELÁSTICO.
 El acero y el concreto, sometidos a un esfuerzo se
comporta elásticamente, cuya deformación en ambos es
aparentemente igual

62. DEFINICION
1 εs = fs / Es == fcl / Ec-------fs = fcl Es / Ec
2 n = Es / Ec : relación de módulo de elasticidad
6
3 Es = 2 x 10 kg./ cm2 Ec = 15000 √ f'c kg./ cm2
εs : Deformación en el acero
εc : Deformación en el concreto
fs : Esfuerzo en al acero
fc : Resistencia en el concreto
Ec : Módulo de elasticidad en concreto
Es : Módulo de elasticidad en el acero

63. AREA TRANSFORMADA
 La fuerza de tracción en el acero esta dado:
Es = As fs = As n fcl; n = Es/Ec
Esta ecuación se puede sustituir por una área
transformada -- A = As n
Area transformada
As ( n As) / 2 ( As n – As ) / 2 por lado

64. FORMULAS DE LA ACI
 Area del acero dentro del concreto : A = ( πd² ) / 4 .
 Y = h - y¯ n = Es / Ec
 Y = ( ( bxh ) / ( h/2 ) + ( n -1 ) As x d ) )
( bx h ) + ( n – 1 ) As
 y‘ = d - y¯
 Ic = ((bxh³)/12) + bxh ( y¯-h/2)² + (n-1)As ( d -y¯)

65. PARAMETROS DIMENSIONALES EN UNA
VIGA
 Esfuerzo de tracción en el concreto : fct =(My) / Ic.
 Esfuerzo de compresión en el concreto: fc = (My¯ ) / Ic.
 fc‫י‬ = ( M y‘ ) / Ic.
 Esfuerzo de tracción en el acero : fs = n fc‫י‬
As
 Eje neutro h d b y‘ y¯ y

66. PROBLEMA APLICACION
Una viga de 25 cm. de ancho, 60 cm. de alto y 55 cm. de
peralte efectivo, lleva 4 fierros de refuerzo Nº 6, resistencia
máxima del concreto 210 kg./m², fy= 42.2kg/cm², para un
momento de 4.5 ton-m. Se pide determinar:
a) La reistencia del concreto, b) Resitencia del acero
Solución : Es = 2000000 kg/cm², Ec = 15000√ 210 kg./cm².
n = Es / Ec = 9.
As = π d² / 4, As = ( π ( 0.75 x 2.54 )² x 4 ) / 4 = 11.4 cm².
y¯= (25x60) 30 + (9-1)x11.4x55 = 31.43 cm
( 25 x 60 ) + ( 9 – 1) x 11.4

67. CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA Y
DEMAS PARAMETROS
 Ic = ( bx h³ )/12 + (bxh)(y¯- h/2)² +(n-1)As (d - y¯)
 Ic = 503733.04 cm² cm².
 Esfuerzo de tracción del concreto : fct = My / Ic ; y = h - y¯
 Y = (60-31.43) = 28.57 cm.
 fct = ( 450000 x 28.57 ) / 503733.04 = 25.5224 kg./ cm²
 Esfuerzo de compresión ( Fc) = ( My )/ ( Ic )
Fc = ( ( 45000 x 31.43 )kg/cm² ) / 503733.04 cm² cm²
Fc = 28.07737 Kg / cm²

68. ESFUERZO DE TRACCION
EN EL ACERO
 El esfuerzo de tracción en el acero esta definido por (fs):
fs = n fc‫;י‬ y‘ = d - y¯ = 55 – 31.43 = 23.57 cm.
 Fc‫י‬ = My‘ / Ic = (450000 x 23.57) / 503733.04 = 21.05
Luego: fs = 9 x 21.055 kg / cm² = 180.502 Kg./ cm².
NOTA:Obviamente el juego de parámetros utilizados
corresponde a conocimientos básicos adquiridos, así
como a teoremas que anteceden a esta asignatura, la
cual lo utilizamos como herramientas.

69. EFECTO DE FLEXION EN VIGAS
METODO ELASTICO
 El método elástico, se utiliza para determinar los esfuerzos que
superan los límites de proporcionalidad.
 CONSIDERACIONES:
 Las secciones planas son planas después de la
deformación
 El concreto y el acero obedecen a la ley de Hooke.
 Las distancias y deformaciones, son proporcionales al eje
neutro.
 No se tiene en cuenta el esfuerzo de tracción en el concreto.
 Existe perfecta adherencia entre: Acero – Concreto.
 El acero de refuerzo soporta el 100% la carga de tracción.
 El área de la sección por encima del eje neutro trabaja a
compresión y por debajo trabaja esta sometido a tracción

70. ESQUEMA DE UNA VIGA SOMETIDO
A CARGAS DISTRIBUIDAS
 Acero de refuerzo soporta la tracción
 Area superior trabaja a compresión.
 b: Ancho de la viga
 d : peralte efectivo
 Kd

71. ESFUERZO DE DEFORMACION EN
EL CONCRETO ARMADO
 El concreto tiene baja resistencia en la zona de tracción,
por tal motivo se remplaza con acero de construcción.
 METODOS:
a b c d

72. PARAMETROS DE LA ACI
 A : Area que trabaja a compresión A = kd x b
 Kd : distancia de la fibra más comprimida a la línea
centroidal.
 d : Peralte efectivo.
 p : Peralte total
 j : Factor de palanca del par inferior.
 k : Factor de profundidad del eje neutro.
 P : Porcentaje de acero con respecto al área del
concreto.
 εc : Deformación en el concreto

73. PARAMETROS DE LA ACI
 ε s : Deformación en el acero.
 fs : Esfuerzo en acero.
 fc : Esfuerzo en el concreto
 T : Tensión en el acero
 1/3kd : Distancia de la fibra superior al punto de
aplicación de la fuerza de compresión.
 C : Resultante de la fuerza de compresión

74. EQUILIBRIO DE FUERZAS
 Se toma una fuerza promedio.
½ fc . Kd . b = fs As ß
Fuerzas de tracción = fuerzas de compresión
fc , fs, en Kg/ cm², b : cm, A : cm²

75. DETERMINACION DE LOS
PARAMETROS
 Fc : Esfuerzo de compresión en el concreto.
 Fs : Esfuerzo de tracción en el acero.
 As : Area del acero.
 b : Ancho de la viga.
 Kd.b : Area del concreto sometido a compresión.
 Hacemos equilibrio de fuerzas de la figura α.
jd = d - ⅓ kd = j = 1 - ⅓ k.
Es = fs / εs, Ec = fc / εc

76. DETERMINACION DEL
PARAMETRO K
 εc / εs = kd / ( d – kd ) = k / ( 1-k ) = εc / εs
 ( fc/ Ec ) / ( fs / Es ) = k / ( 1-K ) µ
 n = Es / Ec.
 K = 1 / ( 1 + fs / ( n fc )

77. PORCENTAJE DE ACERO EN UNA
SECCION DE CONCRETO
 Es importante determinar el porcentaje de acero,
presente en una sección de concreto armado, para ello
evaluamos en función de los parámetros conocidos.
 Se sabe que: ½ fc. Kd.b = fs . As. ß
 Según la ACI : P = As / bd ®.
 Luego ® en ß, se tiene :
½ fc . Kd. B = P bd fs, luego se optiene:
P = ( k fc ) / ( 2 fs ) α

78. OBTENCION DEL PERALTE
EFECTIVO d
 Se toma momentos en C.
 Mc = C. j.d ► ½ fc.k.j.b.d² ; Ms = As fs.j.d
 As = Ms / ( fs . j . d )
 De µ y α, se optiene: k =√2pn +(pn)² - pn.
 Así mismo Mc = Ms = k.b.d² = M
 Peralte efectivo : d = √ M / kb

79. AREA MÍNIMA DE ACERO DE
REFUERZO EN UNA VIGA
 El área de acero presente en la viga, calculada; se
compara con el área mínimo recomendado por la
Norma, la cual esta definido.
 Amin. = 0.005bd.
 El área de acero de refuerzo en una loza se considera
según la relación siguiente.
 Amin. = 0.00065bd
 Si no cumple estas condiciones, se debe recalcular las
dimensiones de peralte y ancho ya sea de la viga como
el peralte y ancho de la loza.

80. DISEÑO BALANCEADO
 Cuando las dimensiones porcentuales del concreto y el acero son
tales, que ambas alcanzan los máximos esfuerzos en un mismo
tiempos, se dice:
 Si hay menos acero requerido, se dice que la sección es sub
reforzado.
 Si hay más acero de refuerzo es sobre reforzado.
Ejemplo: Se tiene una viga de sección rectangular, lleva dos
Fierros de refuerzo nº 9, peralte de 0.40 m. y 0.30 m. de ancho,
Considere un momento M = 6.91 ton. M.
Resistencia máxima del concreto : 210 kg../ cm.²
Determine : a) El esfuerzo que absorverá el acero.
b) El ezfuerzo a la cual esta sometido el concreto.

81. SOLUCION
1.5
Ec = 4270 W √ f‘c; Para W = 2323 ton. fc = 211kg./cm²
Ec = 220000kg/cm², Es = 2039000 kg / cm²
n = Es/ Ec = 9.26.
As/ bd ► P = fs / bd, As = π ( 1.125)² ) / 4) / 30 x 40=
P = 0.010 .
K = √ 2 Pn + ( Pn )² - Pn = 0.357 = k
J = 1 – k / 3 = 0.831

83. RESULTADOS DE: fc y fs
 fs = M / ( As . J . d ) = 520 kg. / cm².
 Fc = ( fs . K ) / n ( 1 – k ) = 91.5 Kg. / cm²
 Otra forma de expresar el momento para que sea más
funcional es la siguiente:
 b
 M = 0.5 fc k d² b j = R b d²
 d
 R = 0.5 fc k j , Por rotación: d = 1.5 b

84. PROBLEMA DE APLICACION
 Calcular la eficiencia de una viga rectangular que tiene una luz
entre apoyos de 3 m. puede soportar un momento M = 34.56,
considere f'c = 211 kg/cm², fy = 2800 kg/cm² Kg/cm²; para el diseño
f'c = 0.45 fc.
 Solución :
 K = 1 / ( 1 + fs / n fc ), fs = 0.5 fy = 1400 kg / cm²
 J = 1 – k / 3 = 0.872, R = 0.5 fc. k. J
 n = Es / Ec = 9.2, fc = 0.45 x 211 = 95 kg/cm².
 Luego: k = 0.384, R = 0.5 ( 95 ) (0.384) ( 0.872 )= 0.016 ton/cm²
 Probando por rotación d / b = 1.5 → d = 1.5 b.
 M = R b d² = 0.016 b ( 1.5 )² . b³
 Para b = 45.8 = 46 cm .
 d = 1.5 x 46 = 69 cm. → M= 0.016 ( 1.5 )² b³ = 35 ton- m.

85. EL ACERO DE REFUERZO (As)
 As = Ms / ( fs . J .d ) = 34.56 / (1.4 x 0.872 x 70 ) =
40.5 cm². Si el acero de refuerzo fuese Nº 8 → A=5.06
cm². Luego el número de fierros de refuerzo es:
Nº fierros = 40.5 / 5.06 = 8.
 El porcentaje de acero: P = 40.5 / 70 x 46 = 0.0125 %.
Se puede seguir probando y probando, pero se
recomienda que: b =/= d , y d > b.
 Con esta aplicación se quiere recordar, que las cargas y
momentos que se apliquen a la viga, deben ser
absorvidas convenientemente, para lo cual se deberá
elegir correcatamente el peralte y ancho de la viga, así
como el correcto número de acero de refuerzo.

86. DEFORMACION Y CONSTANTES
ELASTICAS DE LOS SUELOS
 Para analizar los suelos, es importante tener presente, que el
esfuerzo en un punto del terreno esta compuesto por nueve (9)
variables.
 σx ‫זּ‬xy ‫זּ‬xz ‫זּ‬yx = ‫זּ‬xy
 ‫זּ‬yx σy ‫זּ‬yz ‫זּ‬zx = ‫זּ‬xz
 ‫זּ‬zx ‫זּ‬zy σz ‫זּ‬zy = ‫זּ‬yz
 σx σy σz : son los componentes normales de las fuerzas a lo largo
de los ejes: x, y, z.
 Las deformaciones lineales:εx, εy, εz.
 De acuerdo a la ley de Hooke se puede generalizar, para cuerpos
homogéneos, que:
 Los esfuerzos según los ejes principales , están definidos según las
constantes de Lamé y los esfuerzos cortantes en función de las
constantes de Poissón.

87. DEFINICION DE LAS COMPONENTES
NORMALES
 Las componentes normales están definidos por:
 σx = λe + 2 μ εx, σy = λe + 2 μ εy, σz = λe + 2 μ εz
 Son constantes elásticas de Lamé : λ , μ.
 ‫זּ‬yx = μ ∂xy, ‫זּ‬zx = μ ∂xz, ‫זּ‬zy = μ ∂ yz
 E = μ ( 3λ + 2 μ ) / ( λ + μ )
 λ =( ‫ע‬E) / (1 + ‫ע‬) (1-2‫ע‬ ), μ = E / 2 ( 1 + ‫ע‬ )
 ‫ע‬ : Relación de poisson.
 Estas consideraciones deberán tomarse en cuenta, para
determinar la capacidad permisible de carga del terreno

88. MODULO DE YUNG PARA
DIFERENTES TIPOS DE SUELOS
Tipo de suelo Módulo de Yung kg/cm²
 Arcilla plástica 310
 Arcilla limosa marrón 440
 Arcilla limosa con arena 2950
 Arena media húmeda 540
 Arena gris con grava 540
 Arena fina saturada 850
 Arena mediana 830
Tamaño de grano de arena
 1.25 1.5 450
 1.0 1.25 520
 0.6 0.8 620
 0.35 0.6 480
 0.3 0.35 480
 0.2 0.3 620

89. ESFUERZO CORTANTE ( v )
 Para materiales homogéneos y elásticos, el flujo
cortante horizontal, en una sección determinada de la
viga esta dado por :
v = ( V. A. Y ) / I b
 v : Esfuerzo cortante kg/cm²
 V : Carga transversal Kg.
 A : Area situada encima de la fibra cm²
 I : Momento de inercia
 b : Ancho de la viga
 Y : Distancia del borde hasta el eje neutro

90. ESFUERZO CORTANTE EN
LA VIGA
 Como el concreto no es elástico, para nuestro caso la
ecuación anterior debe modificarse.
 La falla ocurrirá, en los lugares donde se presenta, los
esfuerzos principales, como resultado de la combinación
de esfuerzos normales cortantes, de ai que se produce
una tensión diagonal.
 En el diagrama se puede notar que el esfuerzo cortante
se hace constante. d kd

91. FUERZA RESULTANTE DE
COMPRESION Y TRACCION EN LA
VIGA
 Si la viga esta apoyada en sus extremos, se presenta el
esfuerzo cortante, las fuerzas de corte en la zona de
compresión y tracción se definen como se muestra
d
ΔL
1/3 C O C + ΔC
J d V V y
T ΔT T + ΔT

92. DEFINICION DEL
ESFUERZO CORTANTE
 Σ My = 0, V ΔL = ΔT j d
V ΔL – ΔT j d = 0,→ ΔT = v ΔL b
V ΔL = v Δ L b j d, → v = V / b j d.
Según la ACI: v = V / b d kg/cm²
 El esfuerzo cortante calculado, esta en función del factor
de palanca, pero no tiene mucha influencia por ser un
valor cercano a uno, este hecho hace que la ACI no lo
tome en cuenta, para el cálculo del esfuerzo cortante

93. APLICACION
 Una viga de 20 cm. de ancho, peralte 60 cm. Luz entre
apoyos 6.0 m. carga distribuida de 30000 kg. Que
corresponde a la acción de máquinas. Calcular el
esfuerzo cortante crítico (v).
 Reacción en los apoyos: R = 30000/2 = 15000 kg.
 Carga por unidad de longitud : W = 30000/6 = 5000 kg.
 Según la ACI, la sección crítica, se toma a una distancia
de los apoyos, esto es :
 V = 15000 – 0.6 ( 5000 ) kg. = 12000 kg.
 El esfuerzo cortante v = V/ bd = 12000 / (20 x 70) →
 V = 8.57 kg / cm².
 Según las normas el esfuerzo cortante crítico, para el
concreto vc es 4.2 kg / cm², para el ejemplo el esfuerzo
cortante sobrante, lo toma los fierros de armaduras.
 v‘ = v – vc = 8.57 – 4.2 = 4.37 kg / cm²

94.  La Asociación Americana de la construcción, que se
dedica al estudio del concreto armado, ha buscado los
valores característicos, para el
esfuerzo cortante.
 La ACI llegó a la conclusión que el esfuerzo cortante
crítico ( vc ) esta definido por :
 Vc = 0.29 √ f‘c, para f‘c = 210 kg / cm² →
vc = 0.29 √ 210 = 4.2 kg / cm.
 Significa que si:
 v < vc significa que no requiere armaduras
 v mayor que vc, sí requiere armaduras.

95. DETERMINACION DE
ARMADURAS
 A las armaduras se le conoce también como: Estribos,
refuerzos transversales, colocados ya sea vertical o
inclinado. El exceso de esfuerzo cortante, es tomado por
las armaduras: v‘ = v – vc
W
w/2 w/2
vc
v‘ d a
v
l/2 ß

96. ESPACIO TEORICO QUE DEBE
LLEVAR ARMADURAS
 Por semejanza en los triángulos encontramos, el
espacio teóricamente que debe llevar armaduras ( a )
( l / 2 – d ) / ( l / 2 – d – a ) = v / vc →
( l / 2 – d ) vc = v ( l / 2 – d ) – vc →
 a = ( l / 2 - d ) ( v‘ / v ).
 Por ejemplo : Si v = 8 kg / cm², como vc = 4.2 kg / cm²
 → v‘ = v – vc = 8.00 – 4.2 = 3.8 kg./ cm².
 Así mismo sí L = 5.0 m, y = 30 cm → l / 2 = 2.5 m.
Luego a es:
 a = ( 250 – 30 ) ( 3.8 / 8 ) = 104.5 cm. Para cada lado

97. SEGÚN LA ACI ( t )
ESPACIO ENTRE ARMADURAS
 La instalación de armaduras en un tramo t de una viga
esta dado por: t = 2d + a.
 Para d = 30 cm. a = 104.5 cm. → t = 164.5 cm.
 ESPACIO ENTRE ARMADURAS S
 El espacio entre armaduras se calcula en base a las
consideraciones siguientes:
a) Smáx = d / 2
b) Smáx = ( Av ) / 0.0015 b
c) Smáx = ( Av fv ) / ( v‘ b )

98. DESIGNACION DE LAS VARIABLES
Av: V/ ( fv senθ )
Smáx: Espacio máximo entre armaduras
Av: Area transversal del acero
V: Carga cortante total
fv: Esfuerzo total del acero
θ: Angulo de inclinación del acero doblado
d: Peralte
b: Ancho de la viga

99. Donde :
Av = V / ( fv senθ )
Smáx: Espacio máximo entre armaduras
Av: Area transversal de refuerzo.
V: Carga cortante total
Fv: Esfuerzo de tensión en el acero de refuerzo
θ: Angulo de inclinación de las varillas dobladas
d: Peralte.
b: Ancho de la viga
Viga con acero de refuerzos