1. Valores y Vectores Propios
Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM
1 de abril de 2009
´Indice
9.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
9.2. Determinaci´on de los valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
9.3. El teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
9.4. Multiplicidad algebraica de un valor propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
9.5. Espacios Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
9.6. Multiplicidad geom´etrica de un valor propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
9.1. Definiciones
Definici´on
Sea A una matriz cuadrada, un n´umero real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor
caracter´ıstico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x tal que:
Ax = λx
Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicaci´on por A el vector resultante mantiene
su direcci´on, posiblemente s´olo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x se llama vector propio o
eigenvector asociado al valor propio λ.
Ejemplo
Para la matriz A indique cu´ales vectores son vectores propios.
A =
1 2
2 1
v1 =
1
1
, v2 =
2
3
, v3 =
−1
1
, v4 =
0
2
Soluci´on
Debemos multiplicar cada vector por la matriz A y ver si el vector resultante es un m´ultiplo escalar del vector.
Av1 =
1 2
2 1
1
1
=
3
3
= 3
1
1
v1 s´ı es vector propio de A asociado al valor propio 3.
Av2 =
1 2
2 1
2
3
=
8
7
= k
2
3
v2 no es vector propio de A.
Av3 =
1 2
2 1
−1
1
=
1
−1
= −1
−1
1

2. v3 s´ı es vector propio de A asociado al valor propio -1.
Av4 =
1 2
2 1
0
2
=
4
2
= k
0
2
v4 no es vector propio de A.
Ejercicio 1
Cu´ales son vectores propios a la matriz
A =




−33
2
51
2
27
2
−83
4
121
4
57
4
57
4 −75
4 −27
4






−3
−3
2

 ,


−1
2
−5

 ,


4
2
2

 ,


6
8
−6

 ,


1
−1
4

 ,


0
1
−1


Ejemplo
El vector
v =


2
4
−4


es un vector propio de la matriz
A =


5 0 3
16
5 1 18
5
−2 0 −2


Determine el valor propio al cual est´a asociado.
Soluci´on
Determinemos Av: 

5 0 3
16
5 1 18
5
−2 0 −2




2
4
−4

 =


−2
−4
4

 = −1


2
4
−4


Por tanto, v est´a asociado al valor propio λ = −1 de la matriz A.
Ejercicio 2
Los vectores 

−3
−2
1

 ,


1
2
−2

 ,


0
6
0

 ,


9
6
−3


s´ı son vectores propios de la matriz
A =


5 0 3
16
5 1 18
5
−2 0 −2

 .
Determine los valores propios a los cuales est´an asociados.
2

3. 9.2. Determinaci´on de los valores propios
Sea λo un valor propio de la matriz cuadrada A, as´ı existe un vector diferente cero de xo tal que:
Axo = λoxo = λo In xo
Por tanto:
Axo − λoInxo = (A − λoIn) xo = 0
Si B = A − λoIn lo anterior significa que el sistema homog´eneo n × n
Bx = 0
tiene adem´as de la soluci´on trivial otra soluci´on (x = xo = 0). Por consiguiente, no tiene soluci´on ´unica. Y
por tanto, el determinante de la matriz B debe ser cero:
det(B) = det (A − λoIn) = 0.
Resumiendo:
Todo valor propio λo debe ser ra´ız del polinomio caracter´ıstico asociado a A:
pA(λ) = det (A − λIn) (1)
y un vector propio asociado al valor propio λ debe ser soluci´on al sistema homog´eneo:
(A − λIn) x = 0 (2)
Ejemplo
Determine los valores y los vectores propios correspondientes de las matrices:
A1 =
1 2
2 1
, A2 =
1 1
0 1
, A3 =
1 2
−1 2
Soluci´on
Para A1:
pA(λ) = det (A − λI2) = det
1 2
2 1
− λ
1 0
0 1
pA1
(λ) = det
1 2
2 1
−
λ 0
0 λ
= det
1 − λ 2
2 1 − λ
pA1
(λ) =
1 − λ 2
2 1 − λ
= (1 − λ)2
− 4
pA1
(λ) = λ2
− 2λ − 3 = (λ − 3) (λ + 1)
Por tanto, los ´unicos valores propios de A1 son λ1 = 3 y λ2 = −1.
Vector propio para λ1 = 3
Debe ser soluci´on al sistema homog´eneo:
(A1 − λI2) x = 0
Es decir:
1 2
2 1
− (3)
1 0
0 1
x = 0
3

4. Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:
1 − 3 2
2 1 − 3
x = 0 →
−2 2 0
2 −2 0
→
1 −1 0
0 0 0
Convirtiendo en ecuaci´on y poniendo en la notaci´on vectorial:
x − y = 0 → x = y →
x
y
= y
1
1
Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:
y
1
1
es un vector propio asociado a λ1 = 3; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para
y = 1:
1
1
Vector propio para λ2 = −1
Debe ser soluci´on al sistema homog´eneo:
(A1 − λI2) x = 0
Es decir:
1 2
2 1
− (−1)
1 0
0 1
x = 0
Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:
1 + 1 2
2 1 + 1
x = 0 →
2 2 0
2 2 0
→
1 1 0
0 0 0
Convirtiendo en ecuaci´on y poniendo en la notaci´on vectorial:
x + y = 0 → x = −y →
x
y
= y
−1
1
Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:
y
−1
1
es un vector propio asociado a λ2 = −1; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para
y = 1:
−1
1
Para la matriz A2:
pA2
(λ) = det
1 1
0 1
−
λ 0
0 λ
= det
1 − λ 1
0 1 − λ
pA2
(λ) =
1 − λ 1
0 1 − λ
= (1 − λ)2
4

5. Por tanto, el ´unico valor propio de A2 es λ1 = 1.
Vector propio para λ1 = 1
Debe ser soluci´on al sistema homog´eneo:
(A2 − λI2) x = 0
Es decir:
1 1
0 1
− (1)
1 0
0 1
x = 0
Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:
1 − 1 1
0 1 − 1
x = 0 →
0 1 0
0 0 0
→
0 1 0
0 0 0
Convirtiendo en ecuaci´on y poniendo en la notaci´on vectorial:
y = 0 →
x
y
= x
1
0
Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:
x
1
0
es un vector propio asociado a λ1 = 1; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para
y = 1:
1
0
Para la matriz A3:
pA3
(λ) = det
1 2
−1 2
−
λ 0
0 λ
= det
1 − λ 2
−1 2 − λ
El polinomio caracter´ıstico queda:
pA3
(t) = t2
− 3 t + 4
Como este polinomio tiene ra´ıces complejas, A3 no tiene valores ni vectores propios⋄
Ejercicio 3
Determine el polinomio caracter´ıstico, los valores propios, y vectores propios asociados a la matriz:
A =




−1
2
7
4 −9
4
−5
4
11
8 −5
8
−15
4 −63
8
17
8




9.3. El teorema del factor
De los cursos b´asicos de ecuaciones algebraicas es importante recordar el teorema del factor:
Teorema 9.1
Sea p(x) un polinomio. Un n´umero c es ra´ız del polinomio p(x), es decir p(x = c) = 0 si y s´olo si
x − c divide a p(x). Es decir, al hacer la divisi´on de p(x) entre x − c el residuo es cero.
5

6. De hecho, p(c) es precisamente el residuo de la divisi´on de p(x) entre x − c. Y este residuo puede calcularse
por medio de un proceso elemental conocido como divisi´on sint´etica:
an an−1 · · · a1 a0 c
− c · an · · · · ·
an an−1 + c · an · · · p(c)
9.4. Multiplicidad algebraica de un valor propio
Definici´on
Sea A una matriz cuadrada y λo un valor propio. Como hemos visto λ debe ser ra´ız del polinomio caracter´ıstico
de A pA(λ) as´ı:
(λ − λo) | pA(λ)
Al mayor exponente m que cumple
pA(λ) = (λ − λo)m
q(λ)
le llamaremos la multiplicidad algebraica de λo.
Ejercicio 4
Determine la multiplicidad algebraica de cada uno de los vectores propios de la matriz
A =


5 −5 −2
−3 −2 3
7 −5 −4


9.5. Espacios Invariantes
Teorema 9.2
Sea A una matriz cuadrada y λ un escalar cualquiera entonces
{x ∈ Rn
|Ax = λx}
es un subespacio lineal de Rn.
Demostraci´on
1. No es vac´ıo pues: A0 = 0 = λ0. Es decir, 0 es un elemento del conjunto.
2. Si Ax1 = λx1 y Ax2 = λx2:
A (x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = λx1 + λx2 = λ (x1 + x2)
Es decir, que si x1 y x2 son elementos del conjunto, la suma de ellos tambi´en es un vector en el conjunto
al cumplir la propiedad que define al conjunto.
3. Si Ax1 = λx1:
A (cx1) = cAx1 = cλx1 = λ (cx1)
Es decir, que si un vector x1 pertence al conjunto y c es un escalar cualquiera, entonces, el vector cx1
tambi´en pertenece al conjunto al cumplir la propiedad.
6

7. Por tanto, el conjunto dado es un espacio lineal⋄
Observe que en la afirmaci´on del teorema anterior no se requiere que el escalar λ sea un valor propio. Sin
embargo, el conjunto anterior es diferente de {0} s´olo cuando el valor λ es efectivamente un valor propio.
Ejercicio 5
Demuestre que si V es un espacio lineal y posee al menos un vector diferente del vector cero,
entonces la dimensi´on es mayor que 1.
Sugerencia. Tome el vector que no es cero, y forme un conjunto s´olo con ´el: muestre que el conjunto
es linealmente independiente.
9.6. Multiplicidad geom´etrica de un valor propio
Definici´on
Por el resultado anterior: Siendo λo un valor propio el anterior conjunto es un espacio lineal diferente de {0}
as´ı tiene dimensi´on mayor que cero: la dimensi´on del espacio anterior se llamar´a multiplicidad geom´etrica del
valor propio λo.
Teorema 9.3
La dimensi´on geom´etrica de un valor propio es menor o igual que la dimensi´on algebraica.
Ejemplo
Determine la dimensi´on y una base para el espacio propio asociado a λ = −3 para la matriz:
A =




−1
2
7
4 −9
4
−5
4
11
8 −5
8
−15
4 −63
8
17
8




Soluci´on
El espacio propio de un valor λ es el conjunto de soluciones al sistema homog´eneo:
(A − λI) x = 0
En este caso queda:
[A − (−3)I|0] =


5/2 7/4 −9/4 0
−5/4 35/8 −5/8 0
−15/4 −63/8 41/8 0


Despu´es de eliminaci´on gaussiana obtenemos:


1 0 −2/3 0
0 1 −1/3 0
0 0 0 0


Como s´olo hay una variable libre, entonces la dimensi´on geom´etrica del espacio propio de λ = −3 es 1. Y una
base es: 




2/3
1/3
1





7

8. Como se trabaja en R3, el espacio propio es una l´ınea que pasa por el origen y que tiene direcci´on <
2/3, 1/3, 1 >′ por consiguiente tiene ecuaciones sim´etricas:
x − 0
2/3
=
y − 0
1/3
=
z − 0
1
⋄
Ejercicio 6
Determine la dimensi´on y una base para el espacio propio asociado a λ = −2 para la matriz:
A =


5 −5 −2
−3 −2 3
7 −5 −4


En este ejemplo debido a estar en ℜ3 los espacios deber´ıan ser {0}, l´ıneas, planos o todo ℜ3: ¿Cu´al
caso aplica? En caso de ser posible, encuentre la(s) ecuaciones correspondientes.
Teorema 9.4
Si los vectores v1, v2, . . . , vk son vectores propios asociados a valores propios diferentes entonces el
conjunto formado por ellos es linealmente independiente.
Demostraci´on
Llamemos λi al valor propio al cual est´a asociado el vector vi. Supongamos que el conjunto de vectores
es linealmente dependiente. Puesto que ning´un vector propio puede ser el vector cero , de esta suposici´on
deducimos entonces que un vector vi debe ser combinaci´on lineal de los anteriores. Escojamos aqu´el que tiene
el menor ´ındice posible, digamos j , as´ı: vj es combinaci´on lineal de los vectores v1,. . . ,vj−1 y ning´un vector
vi es combinaci´on lineal de los anteriores para i = 2, 3, . . . , j − 1. Tenemos
vj = c1v1 + c2v2 + · · · + cj−1vj−1
Multiplicando por A, y utilizando que cada v es vector propio, obtenemos
λjvj = c1λ1v1 + · · · + cj−1λj−1vj−1
Si multiplicamos la primera de estas ecuaciones por λj y se la restamos a la segunda obtenemos:
0 = c1 (λ1 − λj) v1 + · · · + cj−1 (λj−1 − λj) vj−1
Como el conjunto formado por los vectores v1,. . . ,vj−1 es linealmente independiente , al no ser un vector
combinaci´on de los restantes , se deduce que todos los coeficientes de esta ´ultima ecuaci´on deben ser cero:
ci (λi − λj) = 0 para i = 1, . . . , j − 1
Como los valores propios son diferentes entre si: λi − λj = 0. As´ı son los ci = 0 para i = 1, . . . , j − 1. As´ı la
f´ormula inincial de este teorema queda:
vj = 0v1 + · · · + 0vj−1 = 0
Pero esto es imposible pues ning´un vector propio es el vector cero. Esta contradicci´on afirma que el conjunto
formado por los vectores es linealmente independiente⋄
Ejercicio 7
Investigue c´omo se obtienen los valores y vectores propios en una calculadora avanzada. Docum´ente-
se de cu´al es el formato en el cual se presentan los resultados.
8