Resumen de espacios vectoriales

1. Tema 1
Espacios Vectoriales.
1.1. Definici´on de Espacio Vectorial
Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los n´umeros Naturales,
Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Definici´on 1.1.2. Sea R el conjunto de los n´umeros reales. Un espacio vectorial sobre
R consta de un conjunto no vac´ıo V , una ley de composici´on interna sobre V , ‘+’, y una
aplicaci´on de R × V en V , ‘·’, (ley externa), verificando las siguientes propiedades:
(1) (V, +) es un grupo abeliano, esto es, para todo u, v, w ∈ V ,
• (1.1) u + v = v + u. (Conmutativa).
• (1.2) u + (v + w) = (u + v) + w. (Asociativa).
• (1.3) Existe 0 ∈ V tal que para todo u ∈ V , 0 + u = u. (Elemento neutro).
• (1.4) Para todo u ∈ V , existe u ∈ V tal que u + u = 0 (opuesto de u).
(2) Para todo u, v ∈ V y para todo α, β ∈ R,
• (2.1) α · (u + v) = α · u + α · v.
• (2.2) (α + β) · u = α · u + β · u.
• (2.3) α · (β · u) = (α · β) · u.
• (2.4) 1 · u = u.
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2. Curso 2014/2015 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
Notas 1.1.3.
(1) Los elementos de V se denominar´an vectores y los de R escalares.
(2) El elemento u cuya existencia asegura (1.4) es ´unico y se notar´a por −u.
Ejemplos 1.1.4. Son espacios vectoriales sobre R:
M(n × m, R). (Conjunto de las matrices con coeficientes en R con n filas y m co-
lumnas).
Un conjunto con un ´unico elemento {0} es un espacio vectorial que llamaremos
espacio vectorial trivial.
El conjunto R[X] de los polinomios en X, de grado menor o igual que n, con coefi-
cientes en R es un espacio vectorial sobre R.
Proposici´on 1.1.5. Sea V un espacio vectorial sobre R. Para todo u, v ∈ V y todo
α, β ∈ R se verifica que:
(1) α · 0 = 0.
(2) 0 · u = 0.
(3) α · (u − v) = α · u − α · v.
(4) (α − β) · u = α · u − β · u.
(5) (−α) · u = −α · u.
Definici´on 1.1.6. Llamaremos espacio num´erico sobre R, de dimensi´on n, al conjunto:
Rn
= {(a1, . . . , an) | ai ∈ R, i = 1, . . . , n}
En Rn
definimos las siguientes operaciones:
(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn).
a · (a1, . . . , an) = (a · a1, . . . , a · an).
Nota 1.1.7. Los elementos de Rn
se denominan vectores y los notaremos por u, v, . . ..
Proposici´on 1.1.8. Rn
es un espacio vectorial sobre R.
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3. Grupos A y D Curso 2014/2015
1.2. Subespacios vectoriales
Definici´on 1.2.1. Sea V un espacio vectorial sobre R. Diremos que L ⊂ V (L = ∅) es un
subespacio vectorial (o una variedad lineal) de V sobre R si L, con las leyes de composici´on
interna y externa de V , es un espacio vectorial.
Proposici´on 1.2.2. L ⊂ V es subespacio vectorial de V si y s´olo si.
(a) ∀u, v ∈ L ⇒ u + v ∈ L.
(b) ∀u ∈ L, ∀α ∈ R ⇒ α · u ∈ L.
Condiciones que se pueden resumir en una sola:
∀α, β ∈ R , ∀u, v ∈ L ⇒ α · u + β · v ∈ L.
1.3. Dependencia lineal
Definici´on 1.3.1. Diremos que v ∈ V es combinaci´on lineal de v1, . . . , vn ∈ V si existen
α1, . . . , αn ∈ R tales que:
v = α1 · v1 + · · · + αn · vn
Ejemplos 1.3.2. .
(1) 0 es combinaci´on lineal de cualquier conjunto de vectores.
(2) u es combinaci´on lineal de cualquier conjunto que contenga a u.
(3) En R[x] todo polinomio de grado menor o igual a n es combinaci´on lineal de los
polinomios {1, x, x2
, . . . , xn
}.
Definici´on 1.3.3. Sea A ⊂ V . Se llama subespacio vectorial engendrado por A, y se
designa por L(A), al conjunto de todas las combinaciones lineales de un n´umero finito de
elementos de A. Si A = ∅, se define L(∅) = {0}.
Proposici´on 1.3.4. .
(1) L(A) es un subespacio vectorial de V .
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4. Curso 2014/2015 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
(2) L(A) ⊃ A.
(3) Si A ⊂ B ⇒ L(A) ⊂ L(B).
(4) Si A es un subespacio vectorial de V , entonces L(A) = A.
(5) L(L(A)) = L(A).
Definici´on 1.3.5. Diremos que V es un espacio vectorial de dimensi´on finita si existe un
n´umero finito de elementos de V , u1, . . . , un, tales que:
V = L(u1, . . . , un)
Un tal conjunto diremos que es un sistema de generadores de V .
Ejemplos 1.3.6. .
(1) Rn
es de dimensi´on finita.
(2) R[x] (polinomios en la indeterminada x con coeficientes en R) no es de dimensi´on
finita.
(3) El conjunto de los polinomios en la indeterminada x, de grado menor o igual que
n, con coeficientes en R, s´ı es un espacio vectorial de dimensi´on finita.
Definici´on 1.3.7. Sean u1, . . . , un ∈ V .
(1) u1, . . . , un son linealmente dependientes si existen α1, . . . , αn ∈ R ,no todos nulos,
tales que:
α1 · u1 + · · · + αn · un = 0
(2) u1, . . . , un son linealmente independientes si:
α1 · u1 + · · · + αn · un = 0 ⇒ α1 = · · · = αn = 0
Ejemplos 1.3.8. .
(1) Si 0 ∈ {u1, . . . , un}, entonces u1, . . . , un son linealmente dependientes
(2) Si a un conjunto de vectores linealmente dependientes se le a˜naden cualesquiera
otros vectores, resulta un conjunto de vectores linealmente dependientes.
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5. Grupos A y D Curso 2014/2015
(3) Cualquier subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independientes es
un conjunto de vectores linealmente independientes.
Proposici´on 1.3.9. Si v es combinaci´on lineal de v1, . . . , vn, entonces el conjunto {v, v1, . . . , vn}
es linealmente dependiente.
Demostraci´on:
Por hip´otesis existen α1, . . . , αn ∈ R tales que:
v = α1 · v1 + · · · + αn · vn
Entonces:
(−1)v + α1 · v1 + · · · + αn · vn = 0
y no todos los coeficientes son nulos, porque el primero es −1.
Proposici´on 1.3.10. Si los vectores v1, . . . , vn son linealmente dependientes, alguno de
ellos es combinaci´on lineal de los dem´as.
1.4. Bases y dimensi´on
Definici´on 1.4.1. Decimos que B = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V es una base de V si se verifica:
(1) V = L{u1, u2, . . . , un}. Esto es, {u1, u2, . . . , un} es un sistema de generadores
de V .
(2) {u1, u2, . . . , un} son linealmente independientes.
Ejemplo 1.4.2. {(1, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 1)} es una base de Rn
.
Teorema 1.4.3. Todo espacio vectorial de dimensi´on finita tiene una base.
Teorema 1.4.4. En un espacio vectorial de dimensi´on finita todas las bases tienen el
mismo n´umero de elementos.
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6. Curso 2014/2015 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
Definici´on 1.4.5. Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensi´on finita. Se llama
dimensi´on de V , dim(V ), al n´umero de elementos de cualquier base de V . Si V = {0},
convenimos en que tiene dimensi´on cero.
Ejemplo 1.4.6. dim(Rn
) = n.
Corolario 1.4.7. Sea V un espacio vectorial con dim(V ) = n.
(1) Todo conjunto de n vectores linealmente independiente es una base.
(2) Todo conjunto con m´as de n vectores es linealmente dependiente.
(3) Todo sistema de generadores de V tiene al menos n elementos.
(4) Todo sistema de generadores con n elementos es una base.
(5) Todo subespacio de V es de dimensi´on finita y tiene dimensi´on menor o igual
que n.
(6) Toda base de un subespacio de V puede ampliarse a una base de V .
Teorema 1.4.8. Si B = {u1, . . . , un} es una base de V , entonces para cada v ∈ V existe
un ´unico (α1, . . . , αn) ∈ Rn
tal que:
v = α1 · u1 + · · · + αn · un
Este elemento de Rn
se denomina coordenadas de v respecto de B y lo notaremos por:
vB = (α1, . . . , αn)
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7. Grupos A y D Curso 2014/2015
1.5. Ejercicios resueltos
1.- El vector (2, 1, −3) es combinaci´on lineal de los vectores (1, −1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0),
ya que existen α1, α2, α3 ∈ R tales que:
(2, 1, −3) = α1(1, −1, 1) + α2(1, 0, 0) + α3(1, 1, 0) = (α1 + α2 + α3, −α1 + α3, α1)
de donde se obtiene el sistema:



α1 + α2 + α3 = 2
−α1 + α3 = 1
α1 = −3
cuya soluci´on es α1 = −3, α2 = 7, α3 = −2. Por tanto, existen α1, α2, α3 ∈ R tales
que: (2, 1, −3) = −3(1, −1, 1) + 7(1, 0, 0) − 2(1, 1, 0).
2.- En el espacio vectorial R3
, los vectores (1, −1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0) son linealmente
independientes, ya que la ´unica forma de expresar el vector nulo como combinaci´on
lineal de los tres es con todos los escalares iguales a cero. Es decir, si:
α1(1, −1, 1) + α2(1, 0, 0) + α3(1, 1, 0) = (α1 + α2 + α3, −α1 + α3, α1) = (0, 0, 0)
se obtiene el sistema:



α1 + α2 + α3 = 0
−α1 + α3 = 0
α1 = 0
que es compatible determinado y cuya
´unica soluci´on es la trivial α1 = α2 = α3 = 0, luego los tres vectores son linealmente
independientes.
3.- El conjunto de vectores (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) forman una base de R3
.
Tenemos que comprobar que esos vectores son linealmente independientes y que
forman un sistema de generadores de R3
.
En primer lugar, son linealmente independientes ya que si disponemos esos vectores
en forma matricial, resulta : A =




1 0 0
1 1 0
1 1 1



 y se verifica que rango(A) = 3, por lo
que los tres vectores que conforman la matriz son linealmente independientes.
Por ´ultimo, comprobamos que constituyen un sistema de generadores de R3
: Para
comprobarlo, se escribe el vector (a, b, c) ∈ R3
como combinaci´on lineal de los tres:
(a, b, c) = α1(1, 1, 1) + α2(0, 1, 1) + α3(0, 0, 1) = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
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8. Curso 2014/2015 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)



α1 = a
α1 + α2 = b
α1 + α2 + α3 = c
⇐⇒




1 0 0
1 1 0
1 1 1








α1
α2
α3



 =




a
b
c




Es un sistema lineal con variables α1, α2, α3 y t´erminos independientes a, b, c. La
matriz del sistema tiene rango 3 como se vio anteriormente y coincide con el rango
de la matriz ampliada, por lo que el sistema tiene soluci´on ´unica. Esa soluci´on es el
conjunto de escalares que nos permite escribir la combinaci´on lineal.
4.- El conjunto A = {(x, y) ∈ R2
: x + y = 1} no es un subespacio vectorial de R2
ya
que (0, 0) /∈ A.
5.- El conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3
: x + y + z = 0} es un subespacio vectorial de R3
.
Para comprobarlo, aplicamos la condici´on necesaria y suficiente de subespacio vec-
torial:
∀u, v ∈ A, ∀α, β ∈ R : αu + βv ∈ A.
Si u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ∈ A, entonces u1 + u2 + u3 = 0, v1 + v2 + v3 = 0,
por lo que:
αu + βbfv = α(u1, u2, u3) + β(v1, v2, v3) = (αu1 + βv1, αu2 + βv2, αu3 + βv3).
Para que αu, βv ∈ A se debe cumplir:
αu1 + βv1 + αu2 + βv2 + αu3 + βv3 = 0, en efecto:
αu1 +βv1 +αu2 +βv2 +αu3 +βv3 = α(u1 +u2 +u3)+β(v1 +v2 +v3) = α·0+β·0 = 0,
∀α, β ∈ R, por tanto, A es un subespacio vectorial de R3
.
6.- El conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3
: x · y = 0} no es un subespacio vectorial de R3
.
A pesar de que (0, 0, 0) ∈ A, comprobaremos con un contraejemplo que no se verifica
la condici´on necesaria y suficiente de subespacio vectorial.
Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1) ∈ A dado que, en ambos casos x · y = 1 · 0 =
0 · 1 = 0, pero u + v = (1, 1, 2) /∈ A, pues x · y = 1 · 1 = 1 = 0.
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9. Grupos A y D Curso 2014/2015
7.- Sea el subespacio A ∈ R3
, generado por los vectores u = (1, 0, 1) y v = (1, 1, 1), es
decir A = (1, 0, 1), (1, 1, 1) . Determinar una base, unas ecuaciones param´etricas y
unas ecuaciones impl´ıcitas de A.
a) A = u, v = (1, 0, 1), (1, 1, 1) .
Los vectores que generan el subespacio son linealmente independientes, ya que
rg




1 1
0 1
1 1



 = 2, por lo que forman una base de A y dim(A) = 2.
b) Ecuaciones param´etricas: escribimos un vector gen´erico x = (x, y, z) ∈ A como
combinaci´on lineal de los vectores de la base:
(x, y, z) = λ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1) = (λ + µ, µ, λ + µ)
de d´onde obtenemos las ecuaciones param´etricas.



x = λ + µ
y = µ
z = λ + µ
λ, µ ∈ R.
Aparecen dos par´ametros igual a la dimensi´on de A.
c) Para las ecuaciones impl´ıcitas consideramos que ∀(x, y, z) ∈ A, los vectores
(x, y, z), (1, 0, 1), (1, 1, 1) son linealmente dependientes y que el rango de la ma-
triz que forman debe coincidir con la dimensi´on de A:
rg




x 1 1
y 0 1
z 1 1



 = 2 ⇐⇒
x 1 1
y 0 1
z 1 1
= 0 ⇐⇒ z − x = 0
Luego el subespacio A tiene una ecuaci´on impl´ıcita
A = {(x, y, z) ∈ R3
: z − x = 0}.
8.- Calcular la dimensi´on, una base, unas ecuaciones impl´ıcitas y unas ecuaciones pa-
ram´etricas del subespacio de R3
: A = {(x, y, z) ∈ R3
: x+y +z = 0, −x+y +z = 0}
a) Comenzamos con las ecuaciones impl´ıcitas. El rango de la matriz del sistema
formado por las ecuaciones que definen a A es dos:
rg


1 1 1
−1 1 1

 = 2
por lo que las dos ecuaciones que definen A son un par de ecuaciones impl´ıcitas.
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10. Curso 2014/2015 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
b) Para obtener las ecuaciones param´etricas de A resolvemos el sistema:



x + y + z = 0
−x + y + x = 0
.
Dado que el rango de la matriz del sistema es 2, como se vio anteriormente,
y que un menor principal de la matriz es
1 1
−1 1
, le damos a la variable z el
valor de un par´ametro, z = λ y resolvemos el sistema:



x + y = −λ
−x + y = −λ
que
tiene por soluci´on: x = 0, y = −λ, z = λ, que son las ecuaciones param´etricas
del subespacio A.
c) Para obtener una base de A usamos las ecuaciones param´etricas:
∀(x, y, z) ∈ A : (x, y, z) = (0, −λ, λ) = λ(0, −1, 1),
por lo que cualquier vector de A est´a generado por (0, −1, 1) que es una base
de A. Por tanto, la dimensi´on de A es 1.
1.6. Ejercicios Propuestos
1.- Hallar t ∈ R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado
por los vectores u = (1, 2, 3), v = (1, 3, −1).
2.- Determinar a y b para que el vector (1, 4, a, b) sea combinaci´on lineal de (1, 2, −1, −2)
y de (0, 1, 2, 1).
3.- Demostrar que los vectores u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (0, 1, 1) forman una
base de (R3
, +, ·), y encontrar las coordenadas de los vectores de la base can´onica
respecto de dicha base.
4.- Determinar qu´e conjuntos son subespacios vectoriales de (R3
. + .·):
A = {(x, y, z) : x − y + z = 0}, B = {(x, y, z) : x + 2y + z = 1},
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11. Grupos A y D Curso 2014/2015
C = {(x, y, z) : x − y = 0, x − z = 0, }, D = {(x, y, z) : x − y + z = 0, y + z = 1},
E = {(x, y, z) : x = 0, y = z}, F = {(x, y, z) : x · y = 0}
5.- Demostrar que el conjunto E = {(a, 0, b, a) , a, b ∈ R } es un subespacio vectorial de
(R4
, +, ·). En caso afirmativo, h´allese una base del mismos.
6.- Calcular una base, unas ecuaciones param´etricas, unas ecuaciones impl´ıcitas y la
dimensi´on de los siguientes subespacios vectoriales:
a) H1 = (1, 0, 1), (−1, 1, 0)
b) H2 = (1, 1, 1), (−1, 0, 1), (0, 1, 2)
c) H3 = {(x, y, z) ∈ R3
: x = y − z
d) H4 = {(x, y, z) ∈ R3
: x + y + z = 0, x − 2z = 0
7.- Sea P3[x] el Espacio vectorial de los polinomios en la indeterminada x de grado
menor o igual que 3.
Probar que si p(x) es un polinomio de grado 3, entonces p(x), p (x), p (x), p (x)
es una base.
T´omese p(x) = x3
− 3x, y h´allense las coordenadas de q(x) = x3
+ x − 2 respecto de
dicha base.
8.- Sean los conjuntos:
F[x] = p(x) ∈ P3[x] : p(0) + p (0) = 0 , G[x] = p(x) ∈ P3[x] : p (x) = 0 .
Demostrar que F[x] y G[x] son subespacios vectoriales de P3[x], y encontrar sendas
bases para cada uno de ellos.
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12. Curso 2014/2015 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
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