Semana 9

1. Introducción a las diferenciales
Antiderivada o primitiva
Diferenciales
Varias notas para clase Ing. Xavier Silva
Calculo de Larson,
Calculo de Leithold

2. Antiderivadas o primitivas
• Escribir la solución general de una ecuación diferencial
• Usar la notación de la integral indefinida para las
antiderivadas o primitivas
• Utilizar las reglas de la integración básica para encontrar
antiderivadas
• Encontrar una solución particular de una ecuación
diferencial.
Antiderivadas o primitivas
Vamos a encontrar una función F cuya derivada es f(x)= 3x2,
por lo que se sabe de derivadas es posible afirmar que:
F(x)= x3 porque d/dx(x3)=3x2
La función F es una antiderivadas de f.

3. Definición de una antiderivada o primitiva
Se dice que una función es una antiderivada o
primitiva de f, en un intervalo I si F(x)=f(x) para
todo x en I.
Nótese que F es una antiderivada de f.
Para entender por que, observamos que
F1(x)=x3, F2(x)=x3-5 y F3(x)=x3+97
Son todas antiderivadas de f(x) =3x2. De hecho,
para cualquier constante C, la función dada x3+C
es una antiderivada de f.

4. Teorema Representación de antiderivadas o primitivas
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de
f en el intervalo I si y solo si G es de la forma G(x)= F(x) +C, para todo x en I,
donde C es una constante.
Demostracion
La prueba del teorema en un sentido es directiva. Esto es, si G(x)=F(x)+C,
F´(x)=f(x), y C es constante, entonces
G´(x) = d/dx[F(x)+C]= F´(x)+0=∫(x).
Para probar este teorema en otro sentido, se supone que G es una antiderivada
de f. Se define una función H tal que
H(x)=G(x)- F(x).
Para cualquiera dos puntos a y b (a<b) en el intervalo, H es continua dentro de
[a,b] y diferenciable dentro de (a,b). Mediante el teorema del valor medio
𝐻´(𝑐) =
𝐻 𝑏 − 𝐻(𝑎)
𝑏 − 𝑎
Para algún c en (a,b). Sin embargo H´( c)=0, por consiguiente H(a)=H(b). Dado que
a y b son puntos arbitrarios en el intervalo, se sabe que H es una función
constante C. Asi G(x)-F(x)=C y esto conlleva a que G(x)=F(x)+C.

5. Teorema
Si f(x) es una integral indefinida de la funcion g(x) en el
intervalo [a,b], entonces la función h(x) lo será también si y
solo si h(x)=g(x)+C, donde C es una constante arbitraria. Se
dice que C es una constante de integración.
Ahora demostramos:
Si h(x) +C, donde C es una contante, tenemos
dh(x)
dx
=
df(x)
dx
+
dC
dx
=
df(x)
dx
Por definicion, si h(x) es una integral indefinida de g(x),
tenemos
dh(x)
dx
= g(x).
Pero en ese caso
dh(x)
dx
= g(x) y f(x) es tambien una integral
indefinida de g(x).

6. Si h(x) y f(x) son integrales indefinidas de la
función g(x), tenemos que g(x) =
dh(x)
dx
y g(x) =
df(x)
dx
: consideremos ahora, la funcion m(x)=h(x)-
g(x).
Entonces m´(x)= h´(x)- f´(x) = g(x)-g(x)=0.
Podemos considerar que m´(x)=0, si y solo si m(x)
es una función constante. Es decir , m(x) = h(x)-
f(x)=C, o sea, h(x)=f(x)+C.

7. La integral indefinida de una función f(x) es el conjunto formado
por todas las primitivas de f(x) . Se representa de la siguiente
manera:
y se lee: integral de f(x) diferencial de x .
Por lo tanto, la integral indefinida de f(x) es:
donde F(x) es una primitiva de f(x) y C∈R .

8. Llamamos integral indefinida al conjunto de primitivas de una
función.
∫ f(x)dx=F(x)+C
Las propiedades de la integral indefinida son:
1.- La integral de una suma es la suma de las integrales.
∫[ f(x)+g(x)]dx= ∫ f(x)dx+ ∫ g(x)dx
2.- La integral de una resta es la resta de las integrales
∫[ f(x)-g(x)]dx= ∫f(x)dx- ∫ g(x)dx
3.- La integral de una constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función.
∫k. f(x)dx=k ∫ f(x)dx

9. Reglas de las integrales indefinidas simples
I. Integral de 0= ∫0dx=C
II. Integral del diferencial dx= ∫dx=x+C
III. Integral de una constante=∫k.dx=k ∫dx=kx+C
IV. Integral de una potencia :∫xndx=
xn+1
𝑛+1
+C cuando n es
diferente-1
V. Integral de la inversa de x= ∫
1
𝑥
dx=logx+C
VI. Integral de funciones exponenciales= ∫exdx= ex+C
=∫axdx=
ax
𝑙𝑛𝑎+C

10. Demostramos la propiedad de la suma
Sea p(x)=m(x)+n(x), donde m´(x) =g(x), n´(x)=h(x) y sea
f(x)=g(x)+h(x), asi que p´(x)=m´(x)+n´(x)=g(x)+h(x)=f(x), es
decir ∫f(x) dx=p(x)=m(x)+n(x).
Pero por definición de m(x) y n(x), tenemos ∫g(x)dx=m(x) y
∫h(x) dx=n(x)
Es decir ∫f(x)dx = ∫g(x) dx + ∫h(x)dx
O sea ∫[g(x) + h(x)]dx = ∫ g(x) dx + ∫ h(x)dx

12. Reglas de Integracion

14. Una ecuación que contiene derivadas o diferenciales recibe el
nombre de ecuación diferencial.
Algunas ecuaciones diferenciales son muy simples:
(I)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2x ; (II)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥2
3𝑦3; (III)
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2= 4x+3
El orden de una ecuación diferencial será el orden de la derivada
de mayor grado. Por lo tanto (I) y (II) son ecuaciones diferenciales
de primer orden, y (III) , de segundo. El tipo mas simple de
ecuación diferencial es una ecuación de primer orden de forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=f(x) (IV)
Para lo cual (I) es un ejemplo particular. Si escribimos (IV) con
diferenciales, tenemos
dy=f(x)dx. (V)
Otro tipo de ecuación diferencial de primer orden es la que tiene
la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑦)
(VI)

15. La ecuación (II) constituye el ejemplo especifico de una
ecuación de este tipo. Si (VI) se escribe con diferenciales,
tenemos h(y)dy=g(x)dx
Tanto en (V) como en (VII), el lado izquierdo solamente
incluye la variable y, y el derecho solo incluye la variable x.
Así las variables están separadas y decimos que se trata de
ecuaciones diferenciales con variables separables.
Considérese (V). Para resolver esta ecuación debemos hallar
todas las funciones G´ para las cuales y=G(x) tal que la
ecuación se satisfaga.
Así que si F es una antiderivada de f, todas las funciones G
estarán definidas por G(x)=F(x)+C, donde C es una constante
arbitraria. Es decir, si d(F(X)+ C)=f(x)dx, entonces lo que se
conoce como solución completa de (V) esta dada por y
=F(x)+C

16. La ecuación (VIII) representa una familia de funciones
dependientes de una constante arbitraria C. Esta se
denomina familia de un solo parámetro. Las gráficas de
estas funciones forman una familia de curvas
uniparametricas en el plano y por cualquier punto
particular (x1 y y1) pasa una sola curva de la familia.
Vamos demostrándolo, suponga que deseamos hallar la
solución de la ecuación diferencial dy=2x dx (IX)
El conjunto de todas las antiderivadas del primer miembro
de (IX) es (y+C1) y el conjunto de todas las antiderivadas de
2x es (x2+C2). Por lo tanto, se tiene
Y+C1=x2+C2
Como C2-C es una constante arbitraria si C2 y C1 son
arbitrarias, podemos sustituir C2 y C1 por C, y así obtenemos
Y=x2+C (X)

17. Que es la solución completa de la ecuación
diferencial dada
La ecuación (X) representa una familia de
funciones de un parámetro. En la grafica se
muestran la representación de las funciones
correspondientes a C=-4, C=-1, C=0, C=1y C=2

18. Considérese ahora (VII) que es h(y)dy=g(x)dx
Si anti diferenciamos en ambos lados de la
ecuación tenemos
∫h(y)=∫g(x) dx
Si H es una antiderivada de h y G lo es de g, la
solución completa de (VII) esta dada por
H(y)=G(x) dx

19. Hallar la solución completa de la ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥2
3𝑦3
Solución si la ecuación se escribe con diferenciales
tenemos 3𝑦3 dy= 2𝑥2 dx
Y las variables están separadas. Antidiferenciamos en
ambos lados la ecuación y obtenemos
∫ 3𝑦3 𝑑𝑦 =∫ 2𝑥2 dx
𝟑𝒚 𝟒
𝟒
=
2𝑥3
3
+
𝐶
12
9𝑦4= 8𝑥3 +C
Que es la solución completa
En (XI) la constante arbitraria se escribe como C/12 de
manera que cuando ambos lados de la ecuación se
multiplican por 12, la constante arbitraria se vuelve C.

20. Con frecuencia en problemas que implican
diferenciales, se busca obtener soluciones particulares
que cumplan ciertas condiciones llamadas condiciones
de frontera o bien, condiciones iniciales.
Por ejemplo si una ecuación diferencial de primer
orden, así como la condición de frontera que y=y1,
cuando x=x1, entonces, después de evaluar la solución
completa, si x y y que se encuentran en esta se
sustituyen por x1 y y 1, o sea, se determina un valor
especifico de C.
Cuando este valor de C se vuelve a sustituir en la
solución completa, se obtiene una solución particular.

21. Aplicando
Para encontrar la solución particular de la ecuación
diferencial dy=2x dx (IX) que satisfaga la condición
inicial de que y = 6 cuando x=2, sustituimos estos
valores en Y=x2+C y se despeja C, dando 6 =4 +C o
C=2. Si sustituimos este valor de C en Y=x2+C
obtenemos Y=x2+2 que es la solución particular que
buscamos.
La ecuación
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2= 4x+3 constituye un ejemplo de un
tipo particular de ecuación diferencial de segundo
orden.
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2= f(x) (XII)

22. Para resolverla necesitamos dos anti
diferenciaciones sucesivas y en la solución
completa se producen dos constantes arbitrarias.
Por lo tanto, la solución de XII representa una
familia de funciones de dos parámetros y sus
graficas forman una familia de curvas
biparametricas en el plano. El ejemplo muestra el
método para obtener la solución completa de una
ecuación de esta clase.

23. 𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2= 4x+3
Encontrar la solución completa de la ecuación diferencial.
Como
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2=
𝑑𝑦´
𝑑𝑥
, la ecuación dada puede escribirse como
𝑑𝑦´
𝑑𝑥
=4x+3
Así tenemos con diferenciales dy´=(4x+3)dx
Al anti diferenciar ∫dy´=∫(4x+3)dx
De lo cual se obtiene y´= 2𝑥2+3x+C1
Como y´=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, se hace esta sustitución en la ecuación anterior y se
obtiene
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=2𝑥2+3x+C1
Usando diferenciales se tiene
dy= (2𝑥2+3x+C1)dx
Antidiferenciando tenemos ∫dy=∫(2𝑥2+3x+C1)dx
y=
2
3
x3+3
2
x2+C1+C2 solución completa

25. Encontrar la solución de la ecuación diferencial y´´= 0
Cual es la función de x que al derivarla dos veces obtenemos 0 , buscando
encontramos y´= c . Porque (y´)´= 0
Por lo tanto la f(x) será igual a C1x+C2
y= Cx+C
Aquí están todas las rectas del plano que cortan al eje y
Por lo tanto la familia de funciones con dos parámetros que abarca esta
ecuación son todas las rectas del plano.
Pues están todas las pendientes, al constar de Cx.
Y también al tener c como el lugar donde corta el eje de las ordenadas, es decir
si c son todos los números reales, estarían todos los lugares en donde se corta
el eje de las y.

26. Encontrar la solución de la ecuación diferencial y´´= 2
Cual es la función de x que al derivarla dos veces obtenemos 2 , por lo que
determinamos que y´= 2x+C1 .
Por lo tanto la f(x) será igual a x2+Cx+C2
La representación gráfica de la primitiva será de un grupo de parábolas que
cortan hacia arriba por cuanto x esta elevada al cuadrado y es positiva.

27. Tenemos la ecuación y´=
𝒇/𝒙)
𝒈(𝒚)
La y’ esta despejada entonces procedemos a separar variables
Y´=
𝑓/𝑥)
𝑔(𝑦)
= g(y)y´=f(x)
Integramos respecto de x por ambos lados a fin de mantener la igualdad
න g(y)y´ = න𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Aquí vemos que y´dx=dy puesto que y´ multiplicada por dx es igual al diferencial de y, la y
es función de x y el diferencial de una función de x es la derivada por el diferencial de la
variable independiente.
Así tenemos ‫׬‬ g(y)dy = ‫׬‬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
G(y)=F(x)+C
Tenemos la solución de la ecuación integral.

28. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial y´-
𝑥
𝑦
=0
Despejamos y´=
𝑥
𝑦
Variables separadas y´y= x
Integramos ‫׬‬ y´y 𝑑𝑥 = ‫׬‬ 𝑥𝑑𝑥
නy´y 𝑑𝑥 = න𝑥𝑑𝑥
Aquí vemos que y´dx es igual a dy por lo tanto tenemos
නy´y 𝑑𝑥 = න𝑥𝑑𝑥
𝑦2
2
=
𝑥2
2
+C
𝑦2 = 2(
𝑥2
2
+C)
𝑦2 =
2𝑥2
2
+2 C
y2 = x2+C
y=+ 𝑥2 + 𝐶

29. Encontrar la solución de la ecuación diferencial y´=y
Cual es la función de x que al derivarla vuelve a ser ella misma, buscando
encontramos y=ex .
Aquí podemos ver que y´= ex
Hallemos la primitiva
Entonces
Integramos ‫׬‬ y´𝑑𝑥 = ‫׬‬ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑦2 = 𝑒 𝑥 +C
𝑦 = 𝑒 𝑥 +2 C
𝒚 = 𝒆 𝒙 + C
𝑦