determinacio deautovalores y autovectores final (1)

1. 1
3.1 Determinación de autovalores y autovectores
a. Planteamiento general del Problema
Sea A una matriz de tamaño “n×n” donde A es un operador lineal en los vectores
x y b tal que
A x = b (3.1)
donde x y b son vectores de tamaño “n×1”
Subfigura 3.1.1 Subfigura 3.1.2
Figura 3.1 Ilustración de un sistema lineal y Vectores.
Definición 3.1: Un vector propio de A es un vector v, tal que
A v = λ v (3.2)
donde λ es llamado el valor propio correspondiente. A solo cambia la longitud de
v, no su dirección.
Definición 3.2: Un valor propio de A es un escalar  , tal que es solución de la
ecuación: Det[A - λ*In] = 0 (3.3)
Interpretación Gráfica
A través de la figuras 3.2 y 3.3, veamos las diferencias de las ecuaciones 3.1 y
3.2.
Figura 3.2: Representa la ecuación 3.1, Ax=b.

2. 2
Si v es un vector propio de A, entonces solo su longitud cambia. Véase figura 3.3
y note que la longitud de nuestro vector esta simplemente escalada por una
variable λ, llamada valor propio:
Figura 3.3: Representa la ecuación 3.2, Av=λv.
Nota: Cuando tratamos con una matriz A, los vectores propios son los vectores
posibles más simples para trabajar.
Ejemplos:
1. Por inspección y entendimiento de vectores propios, encuentre los dos vectores
propios v1 y v2, de 







10
03
A . Asimismo, ¿cuáles son los valores propios
correspondientes, λ1 y λ2?
Solución: v1=( 1 0) v2=( 0 1) λ1=3 λ2=-1
Usando MATHEMATICA:
2. Muestre que los vectores, v1= (1 1) y v2=(-1 1) son vectores propios de
A, donde 








31
13
A . También encuentre los valores propios
correspondientes.

3. 3
Solución:
222 .
1
1
4
4
4
1
1
31
13
vAv 




 





 





 









y
111 .
1
1
2
2
2
1
1
31
13
vAv 


























λ1 = 4 λ2 = 2.
Usando MATHEMATICA:
b. Cálculo de los Valores y Vectores Propios
Cálculo de Valores Propios
Empezaremos con la ecuación 3.2 : Av = λv
Trabajemos de la siguiente manera mientras encontramos una manera explicita
de calcular λ.
A v = λ v A v – λ v = (A − λI) v = 0
En el paso previo, usamos el hecho de que λ v = λ I v donde I es la matriz
identidad.













1...00
...
0...10
0...01
1I
Por lo tanto, A−λ I es justo una matriz nueva.

4. 4
Ejemplo 3.1:
Dada la siguiente matriz, A, entonces podemos encontrar nuestra nueva matriz,
A−λI.







2221
1211
aa
aa
A , 











2221
1211
aa
aa
IA
Si (A − λ I) v = 0 para algún v ≠ 0, entonces A – λ I es no invertible. Esto quiere
decir: det(A – λ I) = 0 este determinante (el mostrado arriba) se vuelve una
expresión polinomial (de grado n). Véase el siguiente ejemplo para entender
mejor.
Ejemplo 3.2:
Empezando con la matriz A (mostrada a continuación), encontremos la expresión
polinomial, donde nuestros valores propios serán variables dependientes.









31
13
A , 











31
13
IA ¸
  086)1()3(det 222
 IA  C.S = {2; 4}
Ejemplo 3.3:
Empezando con la matriz A (mostrada a continuación), encontremos la expresión
polinomial, donde nuestros valores propios serán variables dependientes.







2221
1211
aa
aa
A ; 











2221
1211
aa
aa
IA
  0)(det 221112212211
2
 aaaaaaIA 
Si no lo han notado, calcular los valores propios de una matriz cuadrada A es
equivalente a calcular las raíces de:
Det (A−λI) = cn λn
+ cn−1 λn−1
+ … + c1 λ + c0 = 0

5. 5
Problema resuelto 3.1:
Para la siguiente matriz 








31
13
A y vector 






3
5
x , hallar A x. Trate de
resolverlos por los dos métodos diferentes: directamente y usando vectores
propios.
Solución:
a. Método Directo (usando la multiplicación básica de matrices)





















4
12
3
5
31
13
Ax
b. Vectores Propios (usando los vectores y valores propios que se encontraron
anteriormente para esta misma matriz)








1
1
1v 






1
1
2v 41  22 
Debemos representar x como la suma de sus vectores propios escalados. Para
este caso tenemos:
21 4vvx  


















1
1
4
1
1
3
5
)4()4( 2121 vvvvAAx j  
Por lo tanto tenemos: para 41  y 22 




























































4
12
1
3
.4
1
1
2
1
1
.4
1
1
2
1
1
.1Ax




























































4
12
2
6
.2
1
1
4
1
1
2.2
1
1
2
1
1
.2Ax
NÓTESE: que el método usando vectores propios NO requiere multiplicación
de matrices. Esto puede parecer mas complicado hasta ahora, pero, imagine que
A es de dimensiones muy grandes.

6. 6
Problemas Propuestos
Hallar los autovalores y autovectores de las siguientes matrices. Interprete
geométricamente los resultados.
1.  1A 







11
01
B














110
121
011
C
2.  2A 








11
10
B











110
101
011
B
3.  4A 








01
11
B














111
111
111
C