1) El documento presenta tres ejemplos de espacios vectoriales: Rn, el espacio de los polinomios de grado ≤ 2 (P2), y el conjunto G de polinomios de grado exactamente 3. Rn y P2 cumplen las propiedades de un espacio vectorial, mientras que G no lo es debido a que la suma de dos elementos puede dar como resultado un polinomio de grado distinto a 3.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
Bachiller:
Jorge Carico
C.I:26237150
Marzo 2017

2. Ejemplo de espacios vectoriales
1) El espacio , formado por los vectores de n componentes (x1, . . .,xn) es un espacio vectorial real, en el
que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual. n ℜ Se puede
comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . .,0).
No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el
resultado no se mantendrá dentro de ). ℜn
2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales: P2 ={ ax2 + bx + c : a,
b, c ∈ ℜ } Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento
de P2 ; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de
P2. Veámoslo: Suma: ( ax2 + bx + c ) + ( a’x2 + b’x + c’ ) = (a+a’) x2 • + (b+b’) x + (c+c’) que pertenece a P2.
Producto por un escalar real: λ∈ℜ , λ(ax + bx + c) = λax2 • + λbx + λc que pertenece a P2. Se puede
comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0 0 K No es
un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un
polinomio complejo que no pertenece a P2.
3) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales. No es
un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el
resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios
p = x3 +x2 +x+1 , q = –x3 +x2 +x+1
Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2 +2x+2 que no pertenece a G (su grado no es
3).

3. Ejercicio 1
Problema 1: Sea V = {a} el conjunto con el único elemento
“a”. Determinar si V es un Espacio Vectorial sobre los reales
con las operaciones de adición y multiplicación por un escalar
definidas por:
+: a + a = a
x: a = a R
Solución:

4. Ejercicio 2
Sea el conjunto A = {(x,y) | x,y R} y las operaciones de adición y multiplicación por un escalar definidas
por:
Determinar si A tiene estructura de Espacio Vectorial.

5. Ejercicio 3
Sea el conjunto F = (x,y) x 0; y 0; x, y R , el campo de los reales
y la adición y multiplicación por un escalar definidas por:

6. Solución

7. Combinación lineal
Combinación lineal de vectores. Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector se dice
que es una combinación lineal de y . Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector
que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.
Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector se dice que es
una combinación lineal de y .
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que
tengan distinta dirección.

8. Esta combinación lineal es única.
Dados los vectores ,hallar el vector combinación lineal
El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores

9. Ejercicio 1
1) Comprobar que el vector u(3, 9) es combinación lineal del vector v(1, 3)

10. Ejercicio 3
Sea el conjunto A = {u,v,w}, donde u = (2,1) , v = (2,4) y w = (5,4). Representar
al vector w como combinación lineal de los vectores u y v .

11. Dependencia lineal
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay
una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos
los coeficientes de la combinación lineal.
Ejercicio 1
Dado B = {(1,1,3) , (3,5,5) , (2,1,8)}.
(0,0,0) = α(1,1,3) + β(3,5,5) + γ(2,1,8)
(0,0,0) = (α,α,3α) + (3β,5β,5β) + (2γ,γ,8γ)
(0,0,0) = (α+3β+2γ , α+5β+γ , 3α+5β+8γ)
α+3β+2γ = 0
α+5β+γ = 0
3α+5β+8γ = 0

12. Э ∞ soluciones
Como existen infinitas soluciones, entonces B es linealmente dependiente (LD).
Ejercicio 2
1. Dado D = {2t2+t+1 , 3t2+t-5 , t+13}
(0,0,0) = α(2t2+t+1) + β(3t2+t-5) + γ(t+13)
(0,0,0) = (2αt2+αt+α) + (3βt2+βt-5β) + (γt+13γ)
(0,0,0) = (α-5β+13γ , αt+βt+γt , 2αt2+3βt2)
α-5β+13γ = 0
α+β+γ = 0
2α+3β = 0
Э ∞ soluciones
Como existen infinitas soluciones, entonces D es linealmente dependiente (LD).

13. Ejercicio 3
Dado A = {2-3t+2t2 , -1+2t-2t2 , 3-4t+2t2}.
(0,0,0) = α(2-3t+2t2) + β(-1+2t-2t2) + γ(3-4t+2t2)
(0,0,0) = (2α-3αt+2αt2) + (-β+2βt-2βt2) + (3γ-4γt+2γt2)
(0,0,0) = (2α-β+3γ , -3αt+2βt-4γt , 2αt2-2βt2+2γt2)
2α-β+3γ = 0
-3α+2β-4γ = 0
2α-2β+2γ = 0
Э ∞ soluciones
Como existen infinitas soluciones, entonces A es linealmente dependiente.

14. Independencia lineal
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser
escrito con una combinación lineal de los restantes.
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no
son proporcionales
Ejercicio 1
Dado B = {(1,-1,2,1,5) , (2,1,0,1,3) , (0,1,-2,1,1)}
(0,0,0,0,0) = α(1,-1,2,1,5) + β(2,1,0,1,3) + γ(0,1,-2,1,1)
(0,0,0,0,0) = (α,-α,2α,α,5α) + (2β,β,0,β,3β) + (0,γ,-2γ,γ,γ)
(0,0,0,0,0) = (α+2β , -α+β+γ , 2α-2γ , α+β+γ , 5α+3β+γ)
α+2β = 0
-α+β+γ = 0
2α-2γ = 0
α+β+γ = 0
5α+3β+γ= 0

15. Como existe única solución (la trivial), entonces B es linealmente independiente.
Ejercicio 2
Dado C = {(1-t)3 , (1-t)2 , (1-t)}.
(0,0,0) = α(1-3t+3t2-t3) + β(1-2t+t2) + γ(1-t)
(0,0,0) = (α-3αt+3αt2-αt3) + (β-2βt+βt2) + (γ-γt)
(0,0,0) = (α+β+γ , -3αt-2βt-γt , 3αt2+βt2, -αt3)
α+β+γ = 0
-3α-2β-γ = 0
3α+β = 0
-α = 0

16. Como existe única solución (la trivial), entonces C es linealmente independiente (LI).
Ejercicio 3
Dado A = {2t2+t , t2+3 , t}.
(0,0,0) = α(2t2+t) + β(t2+3) + γ(t)
(0,0,0) = (2αt2+αt) + (βt2+3β) + (γt)
(0,0,0) = (3β , αt+γt , 2αt2+βt2)
3β = 0
α+γ = 0
2α+β = 0

17. Base y dimensión de un espacio vectorial
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL: Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que son capaces de
generar cualquier vector de dicho espacio. En nuestro estudio del plano, una base estará formada por dos vectores
linealmente independientes. La dimensión de un espacio coincide además con los dos cardinales siguientes: El máximo
número de vectores linealmente independientes de dicho espacio.
Espacio nulo de una matriz
El espacio columna de una matriz A de m x n, se escribe Col A, es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las
columnas de A.
Ejemplo 1: La ecuación x + 2y +3z = 0 viene de la matriz de 1 por 3 A = [1 2 3]. Esta ecuación da lugar a un plano que
atraviesa el origen. Este plano es un subespacio de R3 . Es el espacio nulo de A. Las soluciones de x + 2y +3z = 6 también
forman un plano, pero no un subespacio.
Ejemplo 2: Describa el espacio nulo de A =
Solución Aplicar la eliminación a las ecuaciones lineales Ax = 0:

18. Solución: La ecuación Ax = 0 sólo tiene la solución cero x = 0. El espacio nulo es Z, que
contiene un único punto, x = 0, perteneciente a R2 . Para ilustrarlo utilizamos la eliminación:
Rango de una matriz
El rango de una matriz Es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. Utilizando
esta definición se puede calcular usando el método de Gauss.
Ejercicio 1

19. Ejercicio 2
Calcular por el método de Gauss el rango de la matriz siguiente:

20. Conclusión
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la
matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les
llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación
por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones
se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes
de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un
concepto importante es el de dimensión.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se
remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La
primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo
XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis
funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis
funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los
espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones
de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los
espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

21. Bibliografía
Ejemplo de espacio vectoriales http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales1.pdf
Ejercicios de espacios vectoriales
https://onedrive.live.com/view.aspx?cid=ae7e225b32b869b0&id=documents&resid=AE7E225B32B869B0%21
456&app=WordPdf&authkey=AIXsFifFK-hUVCQ&
Combinación lineal
www.vitutor.com/geo/vec/b_3.html
Ejercicios de combinación lineal
http://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/vectores_plano/teoria/combinacion_lineal.html
Dependencia lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal
Ejercicios de dependencia lineal
https://es.slideshare.net/algebralineal/ejercicios-resueltos-de-dependencia-e-independencia-lineal
Espacio nulo de una matriz
mit.ocw.universia.net/18.06/f02/study-materials/sec3-2.pdf
Ejercicios de espacio nulo de una matriz
http://mit.ocw.universia.net/18.06/f02/study-materials/sec3-2.pdf
Rango de una matriz
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.html
Ejercicios de rango de una matriz
http://www.vitutor.com/algebra/matrices/r_e.html