2. MATRICES Y DETERMINANTES
El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y
manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos
matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo,
las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las
matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por
supuesto, el álgebra. Para obtener información sobre la historia del álgebra de matrices
recomendamos
En esta presentación se explicara algunos tipos de matrices, analizaremos las principales
operaciones con matrices y daremos algunas aplicaciones del álgebra de matrices. Para
completar el estudio sobre este tema, recomendamos la lectura de los temas relacionados
con determinantes, matriz inversa y sistemas de ecuaciones lineales.
3. Definición de matriz:
Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y
columnas. Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la
matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la
columna.
Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se
puede representar de la forma siguiente: A = (aij)m x n.
Si el número de filas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden n.
5. Matriz Cuadrada:
Es aquella que tiene igual número n de filas que de columnas (n=m), En ese caso se dice que la
matriz es de orden n. Por ejemplo, la matriz
1 3 -2
A= 0 -3 3
4 5 1
Denotaremos el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n por . Mn Así, en el
ejemplo anterior A∈ M3.
Los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada son aquellos que están situados
en la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha. En otras
palabras, la diagonal principal de una matriz A=( aij ) está compuesta por los elementos , a11,
a22,…..ann, En el ejemplo anterior la diagonal principal está compuesta por los elementos: a11=
1, a22 =-3, a33 = 1.
6. Matriz Nula:
Una matriz es nula si todos sus elementos son iguales a cero. En el siguiente ejemplo se muestra la
matriz nula de orden 3×2.
0 0
O = 0 0
0 0
la matriz nula, respecto a la adición y multiplicación de matrices, juega un papel similar al número
cero respecto a la adición y multiplicación de números reales.
Matriz Diagonal:
Una matriz cuadrada, A=(aij ), es diagonal si aij=0, para i ≠ j . Es decir, si todos los elementos
situados fuera de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es diagonal:
2 0 0
D= 0 6 0
0 0 -3
7. Matriz Unidad:
Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son todos 1. A continuación mostramos la
matriz unidad de orden 2.
I = 1 0
0 1
La matriz unidad, respecto a la multiplicación de matrices, juega un papel similar al número 1
respecto a la multiplicación de números reales.
Matriz triangular:
Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo (o por encima) de la
diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es triangular:
2 3 9
T= 0 4 1
0 0 3
Este tipo de matrices también se conoce como matriz escalonada. En algunos casos se hace la
distinción entre las matrices triangulares superiores o inferiores en dependencia de los elementos
nulos de la matriz; los que están por debajo o por encima de la diagonal principal.
8. Matriz invertible:
Una matriz cuadrada A es invertible si existe una matriz, que denotaremos por A-1, que cumple
A· A-1= A-1·A = I, donde I es la matriz unidad. En ese caso se dice que A-1 es la inversa de A .
Por ejemplo, la matriz:
Su inversa es:
Ya que:
9. Matriz traspuesta:
La traspuesta de una matriz A = (aij ) ∈ Mmxn, es la matriz At=(aij ) ∈ Mmxn que se obtiene a partir
de la matriz A al intercambiar las filas por las columnas (o viceversa).
La traspuesta de la matriz
Propiedades:
Dada una matriz, siempre existe la traspuesta y además es única Propiedades:
(AT )T = A
(A + B)T= AT + BT
(λA)T = λ AT , con λ ∈ R
(A·B)T = BT · AT
(A-1)T= (AT)-1
10. Matriz simétrica:
Es una matriz igual a su traspuesta: A es simétrica ⇔ AT = A
Un ejemplo de matriz simétrica es el siguiente:
Las matrices simétricas tienen ese nombre debido a que presentan simetría respecto a la diagonal
principal.
Matriz antisimétrica:
Es una matriz igual a la opuesta de su traspuesta. En otras palabras, A es antisimétrica ⇔ AT = −A.
11. Matriz ortogonal:
Es aquella cuya traspuesta es igual a su inversa. Es decir, es aquella que multiplicada por su
traspuesta da como resultado la matriz unidad.
A es ortogonal ⇔ A·AT = I ⇔ AT = A−1
La siguiente matriz de funciones es ortogonal:
Para comprobarlo es suficiente con aplicar la definición y tener en cuenta que
sen2 x + cos2 x = 1
Las matrices ortogonales de orden 2 son de la forma:
12. OPERACIONES CON MATRICES
Suma y resta de matrices:
Para sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si
una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto
para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en
las matrices. Ejemplo:
Las matrices A y B son de orden 3×2,
13. Producto o multiplicación de matrices:
Dos matrices se pueden multiplicar sólo cuando el número de columna de la primera matriz sea
igual al número de filas de la segunda. En ese caso se dice que las matrices son enlazadas.
En el siguiente ejemplo podemos ver además cuál es el orden de la matriz producto.
14. Definición de la función determinante:
El determinante es una herramienta matemática se puede encontrar o extraer un determinante
únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas y columnas), y es un
numero real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la suma de los productos elementales
de la matriz.
El orden de un determinante viene dado por el número de filas y columnas que tenga. Existen
diferentes métodos para resolverlos, que veremos a continuación
Determinantes de primer orden:
El determinante de una matriz de primer orden se define simplemente como el elemento de la
matriz.
Por ejemplo, si A=[3] , entonces det(A)= 3 , [a11]=a11
15. Determinantes de segundo orden:
Una matriz de orden 2x2 está dada por la diferencia de los productos de las dos diagonales de la
matriz.
Ejemplo:
Determinantes de tercer orden:
Para resolver determinantes de tercer orden aplicaremos dos procesos que se como:
La Regla de Sarrus
Método de la Estrella
16. Regla de Sarrus:
La regla de Sarrus es de fácil memorización para calcular el determinante de una matriz de 3x3.
Lleva este nombre en honor a su inventor el matemático francés Pierre Frederic Sarrus.
Ahora consideremos la siguiente matriz:
Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:
1) Aumentamos las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de esta matriz y asi ahora
quedaran cinco columnas.
17. 2) Sumamos el producto de las diagonales descendientes, y restamos el producto de las diagonales
ascendiente estas son:
(a11x a22 a33) + (a12 x a23x a31) + (a13 x a21 xa32) – (a12 x a21 x a33) – (a11 x a23 x a32) –(a13 x
a22 x a31)
Método de la estrella:
Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las
diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.
Ejemplo:
18. DETERMINANTES DE CUALQUIER ORDEN:
Método de Gauss:
Determinante de una matriz triangular: Si A es una matriz triangular de orden n, entonces su
determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal, es decir; detA = a11 x a22 x
a33xann.
Se conoce como método de Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando la
propiedad de estos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo
valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un
determinante de una matriz triangular, caso que es fácil usando las propiedades de los
determinantes.
Para conseguir triangulizar el determinante se puede aplicar las siguientes operaciones:
1.- Permutar dos filas o columnas.
2.- Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
3.- Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
20. Aplicaciones de las determinantes
Regla de Cramer:
Es un teorema del algebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos
de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), Si A x = b es un
sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, x = ( x 1 , … , x n ) es el vector
columna de las incógnitas y b es el vector columna de los términos independiente
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma
Se representa matricialmente :
21. Bibliografias
Proyecto e-Math 16
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
Juan Alberto Rodríguez Velázquez (jrodriguezvel@uoc.edu), Cristina Steegmann Pascual.
(csteegmann@uoc.edu), Ángel Alejandro Juan Pérez
(ajuanp@uoc.edu).
webgrafia
•http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/determinantes_api/propiedades_de_los_dt
erminantes.htm
•http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap4/cap4s2.html
• http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm
