Algebra i unidad 1

IES ESTANISLAO MALDONES PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA
ÁLGEBRA I - Prof. Lucía Micaela Cuello Año Lectivo 2014
Unidad Nº 1 Página 1
UNIDAD Nº 1: NOCIONES DE LÓGICA
1. Importancia del uso de la Lógica
La Lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y
técnicas determina si un argumento es válido.
La Lógica es ampliamente aplicada en la Filosofía, la Computación, la Física, las Ciencias
Naturales, las Ciencias Sociales, la Matemática y en la vida cotidiana, ciertamente se usa en forma
constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
En Filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener
diferentes interpretaciones, sin embargo la Lógica permite saber el significado correcto. En
Computación para verificar si son o no correctos los programas. En Física y en Ciencias Naturales para
sacar conclusiones de experimentos. En Ciencias Sociales para resolver varias cuestiones analíticas.
En Matemática para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser aplicados en
investigaciones.
En general la Lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un
procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado un ama de casa tiene que
realizar cierto procedimiento lógico que le permita hacer dicha tarea. Si una persona desea pintar una
pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura,
o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya
tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de
derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la Lógica.
La Lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca
se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos
conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o
simplemente utilización de los mismos.
Es importante mencionar que en las demostraciones, donde la Matemática hace uso de la
Lógica, no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser más largo o más corto
dependiendo de las reglas de inferencia y equivalencias que se seleccione, pero definitivamente se
deberá llegar al resultado. Para comprender claramente este proceso es que se debe prestar atención y
estudiar los temas tratados en esta unidad.
2. Proposición
La proposición es un elemento fundamental de la Lógica. Una proposición o enunciado es una
oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Es decir, proposición es toda oración
declarativa. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición
propiamente dicha.
Ejemplos: m: Lava el auto, por favor
n: Juan ama la música
o: Hola, ¿cómo estas?
p: -21 + 18 = 3
q: El calor dilata los cuerpos
r: x > y - 6
s: La música es amada por Juan
t: María toca el piano
De las oraciones m y o, no se puede decir si son verdaderas o falsas, por lo que no son
proposiciones, si son proposiciones las expresiones n, p, q, r, s y t.
Las expresiones n y s son diferentes desde el punto de vista gramatical, pero ambas tienen el
mismo significado por lo que se consideran como la misma proposición. Se dice entonces que
proposición es el significado de cada oración declarativa.

3. Conectivos lógicos y operaciones proposicionales
A partir de proposiciones simples es posible generar proposiciones compuestas.
Proposición compuesta: proposición formada por varias proposiciones simples.
Ejemplo: n y t: Juan ama la música y María toca el piano
Donde: n: Juan ama la música
t: María toca el piano
Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas, es
decir se puede operar con proposiciones, y según sean tales operaciones se utilizan ciertos símbolos,
llamados conectivos lógicos, esto se presenta a continuación.
Conectivo Operación asociada Notación simbólica Significado
 Negación p “No p” o “no es cierto p”
 Conjunción qp  “p y q” o “p también q”
 Exclusión qp  “Ni p ni q” o “no se cumple p ni q”
 Disyunción qp  “p ó q”
 Alternativa qp “O bien p o bien q”
 Implicación qp  “p implica q” o “si p, entonces q”
 Doble implicación qp  “p si y solo si q”
Las operaciones entre proposiciones se definen en el sentido siguiente: dadas una o dos
proposiciones, cuyos valores de verdad se conocen, se trata de caracterizar la proposición resultante a
través de su valor de verdad.
I. Negación
La negación de la proposición p es la proposición p (no p). Se trata de una operación unitaria,
pues a partir de una proposición se obtiene otra. La tabla de valores de verdad es:
Ejemplo: p : todos los números son pares (Falso)
p : no todo número es par (Resulta Verdadero)
II. Conjunción
La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición qp  (p y q). La tabla de valores de
verdad es:
Ejemplo: p : 3 es un número impar (Verdadero)
q : 2 es un número primo (Verdadero)
qp  : 3 es un número impar y 2 es un número primo
(Resulta Verdadero)
III. Exclusión
La exclusión de las proposiciones p y q es la proposición qp  (ni p ni q). La tabla de valores de
verdad es:
Ejemplo: p: 1/3 es un número entero (Falso)
q : 1/3 es un número natural (Falso)
qp  : ni 1/3 es un número entero ni es número natural
(Resulta Verdadero)
p p
V
F
F
V
p q qp 
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
p q qp 
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V

IV. Disyunción
La disyunción de las proposiciones p y q es la proposición qp  (p ó q). La tabla de valores de
verdad es:
Ejemplo: p : una resta de números naturales no siempre tiene
solución natural (Verdadero)
q : una resta de números naturales resulta siempre
positiva (Falso)
qp  : una resta de números naturales no siempre tiene
solución natural o resulta siempre positiva
(Resulta verdadero)
V. Alternativa
Esta operación se conoce también con el nombre de Diferencia simétrica, es la disyunción
excluyente de las proposiciones p y q, es la proposición qp (o bien p o bien q). La tabla de valores de
verdad es:
Ejemplo: p: un triángulo equilátero tiene los tres lados iguales
(Verdadero)
q : un triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales
(Verdadero)
qp : un triángulo equilátero tiene los tres lados iguales ó
bien tiene los tres ángulos iguales (Resulta Falso)
VI. Implicación o condicional
La implicación de las proposiciones p y q es la proposición qp  (si p, entonces q). La tabla de
valores de verdad es:
Ejemplo: p : 16 es un número par (Verdadero)
q : 16 es divisible en 2 (Verdadero)
qp  : Si 16 es un número par, entonces es divisible en 2
o bien qp  : 16 es un número par implica que 16 es
divisible en 2 (Resulta Verdadero)
En la implicación qp  , la proposición p recibe el nombre de antecedente y la proposición
q se llama consecuente.
VII. Doble Implicación o bicondicional
El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición qp  (p si y sólo si q). La tabla de
valores de verdad es:
Ejemplo: p : el 125 es múltiplo de 5 (Verdadero)
q : el 125 es divisible en 5 (Verdadero)
qp  : el 125 es múltiplo de 5 si y sólo si es divisible en 5
(Resulta Verdadero)
p q qp 
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
p q qp 
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
p q qp 
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
p q qp
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F

4. Condiciones necesarias y suficientes
Considerando la tabla de valores de verdad de la implicación, se ve que hay tres casos en que
qp  es V, y entre ellos hay uno en que p es V, en el que resulta q V. Es obvio que se hace referencia
al primer renglón de la tabla, y se tiene que si qp  y p son V, entonces q es V. Se dice entonces que
el antecedente p es condición suficiente para el consecuente q.
Por el contrario si p es F, nada se puede decir de q, puesto que puede ser V o F.
Por otra parte, cuando qp  es V, si q es V, entonces p puede ser V o F y si q es F, entonces p
es F; más para que p sea V se necesita que q lo sea. Se dice entonces q es condición necesaria para p.
Resumiendo, si qp  es V, entonces p es condición suficiente para q y q es condición
necesaria para p.
Ejemplo: la siguiente implicación es V:
“si el triángulo

abc es equilátero, entonces es isósceles”
p: el triángulo

abc es equilátero
q: el triángulo

abc es isósceles
p es condición suficiente para q, es decir que un triángulo sea equilátero es condición suficiente
para decir que es isósceles.
q es condición necesaria para p, es decir que un triángulo sea isósceles es necesario para que
sea equilátero.
Si tenemos en cuenta que la doble implicación qp  es equivalente a    pqqp  , si
ambas implicaciones son verdaderas se puede decir que el antecedente p es condición necesaria y
suficiente para el consecuente q.
Ejemplo: p: el triángulo

abc es equilátero
q: el triángulo

abc es equiángulo
qp  : El triángulo

abc es equilátero si y sólo si es equiángulo
Es decir que para que un triángulo sea equiángulo es condición necesaria y suficiente que sea
equilátero.
5. Implicaciones asociadas
Sea la proposición qp  , a la que se llama condicional directo, en conexión con el se
presentan otros tres condicionales que resultan de permutaciones o negaciones del antecedente y
consecuente del condicional directo:
pq  condicional recíproco
qp  condicional contrario
pq  condicional contrarecíproco
Las cuatro implicaciones se llaman conjungadas, en el siguiente esquema se muestra la relación
que las vincula:
qp  pq 
qp  pq 
Contrarios Contrarecíprocos
Recíprocos
Recíprocos
a
b c
a
b c
Contrarios

6. Tablas de verdad
Las tablas de verdad de las proposiciones compuestas son importantes, puesto que dan
información muy útil, presentan el valor de verdad de la proposición compuesta para todos los casos
que se pueden presentar teniendo en cuenta los valores de verdad de las proposiciones simples que la
componen. Es necesario prestar mucha atención en su construcción.
Lo primero es determinar la cantidad de casos que se pueden presentar combinado los valores
de verdad de las proposiciones simples, es decir la cantidad de filas que tiene la tabla, esto se calcula
con la expresión n
2 , donde n es la cantidad de proposiciones simples que forman la proposición
compuesta de la que se va a hacer la tabla.
Luego se indican los valores de verdad de las proposiciones simples, para la primera
proposición se divide la cantidad de filas en dos y se asigna a la primera mitad el valor V y a la segunda
mitad el valor F. Para la segunda proposición se divide la cantidad de filas en 4 y se asigna al primer
cuarto el valor V, al segundo cuarto el valor F, al tercer cuarto el valor V y al último cuarto el valor F.
Para la tercera proposición se divide la cantidad de filas en 8 y se asigna al primer octavo el valor V, al
segundo octavo el valor F, al tercer octavo el valor V, ... , al último octavo el valor F. Para la cuarta
proposición se divide en 16, para la quinta en 32, etc, hasta la última proposición en la que los valores V
y F se alternan de uno en uno.
Lego se analiza cada uno de los términos que componen la proposición compuesta aplicando
las reglas de verdad de las operaciones que relacionan a las proposiciones.
Ejemplo: Sea la siguiente proposición compuesta:       qpsppr 
En esta composición intervienen 4 proposiciones simples, entonces la tabla de verdad tiene
1624
 filas. La tabla de verdad se presenta a continuación.
p Q r s r pr  sp     sppr  q qp        qpsppr 
V V V V F F V V F F V
V V V F F F F F F F V
V V F V V V V F F F V
V V F F V V F V F F V
V F V V F F V V V V V
V F V F F F F F V V V
V F F V V V V F V V V
V F F F V V F V V V V
F V V V F F F F F V F
F V V F F F F F F V F
F V F V V F F F F V F
F V F F V F F F F V F
F F V V F F F F V V V
F F V F F F F F V V V
F F F V V F F F V V V
F F F F V F F F V V V
Se muestra otra forma de presentar una tabla de verdad de una proposición compuesta. El
ejmeplo anterior, también se puede hacer de esta forma.

1 2 4 3 7 6 5
p q r s       qpsppr 
V V V V F F V V V F F
V V V F F F F F V F F
V V F V V V F V V F F
V V F F V V V F V F F
V F V V F F V V V V V
V F V F F F F F V V V
V F F V V V F V V V V
V F F F V V V F V V V
F V V V F F F F F V F
F V V F F F F F F V F
F V F V V F F F F V F
F V F F V F F F F V F
F F V V F F F F V V V
F F V F F F F F V V V
F F F V V F F F V V V
F F F F V F F F V V V
7. Tautología
Tautología es aquella proposición compuesta que es verdadera para todas las composiciones de
valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.
Ejemplo:    rpqp  es una tautología, la tabla de valores de verdad es la siguiente:
p q r qp  r rp     rpqp 
V V V V F V V
V V F V V V V
V F V F F V V
V F F F V V V
F V V F F F V
F V F F V V V
F F V F F F V
F F F F V V V
8. Contradicción
Contradicción es aquella proposición compuesta que es falsa para todas las composiciones de
valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.
Ejemplo:    qpqp  es una contradicción, la tabla de valores de verdad es la
siguiente:
p q p q qp  qp     qpqp 
V V F F F V F
V F F V V F F
F V V F F V F
F F V V F V F

9. Contingencia
Contingencia es aquella proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falsa en
los otros casos de las composiciones de valores de verdad de las proposiciones simples que la
componen
Ejemplo:    qpqp  es una contingencia, la tabla de valores de verdad es la siguiente:
p q qp  qp   qp     qpqp 
V V V V F F
V F F V F F
F V F V F F
F F F F V V
10.Proposiciones equivalentes
Dos proposiciones simples son equivalentes cuando tienen el mismo valor de verdad.
Dos proposiciones compuestas son equivalentes cuando en la tabla de verdad la columna final
tiene los mismos valores de verdad.
Ejemplo: las proposiciones qp  y  qp  son equivalentes, las tablas de valores de
verdad son las siguientes:
p q qp  p Q p q qp   qp 
V V V V V F F F V
V F V V F F V F V
F V V F V V F F V
F F F F F V V V F
Simbolización:     qpqp 
También se puede expresar como     qpqp 
11.Leyes lógicas
En las tautologías sucede que para todas las composiciones de valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen, el resultado de la proposición compuesta es siempre
verdadero, por ello es que las tautologías son muy importantes, ya que se consideran leyes, que se
utilizan para realizar demostraciones.
A continuación se mencionan como ejemplo algunas leyes lógicas:
1.- Doble negación:   pp 
2.- Leyes de idempotencia: pppa )
pppb )
3.- Leyes conmutativas: pqqpdisyunciónladea :)
pqqpconjunciónladeb :)
4.- Leyes asociativas:    rqprqpdisyunciónladea :)
   rqprqpconjunciónladeb :)
5.- Leyes distributivas:
     rqrprqp
disyunciónladerespectoconjunciónladea

:)
     rqrprqp
conjunciónladerespectodisyunciónladeb

:)
6.- Leyes de Morgan:   qpqpa )
  qpqpb )

12.Razonamiento deductivo
Un razonamiento es un conjunto de proposiciones donde una de ellas se pretende que esté
basada o se siga de las otras.
La proposición afirmada basándose en las otras se denomina Conclusión.
Las proposiciones que son el soporte o evidencia para la conclusión se denominan Premisas.
La estructura de un razonamiento es
Conclusión
emisas

 Pr Pueden ser 1, 2, 3, … ó n
Una sola
En todo razonamiento se tiene las llamadas expresiones derivativas, son las que sirven para
ubicar la conclusión, las más usuales son:
- Antes de la conclusión: luego, por lo tanto, por consiguiente, en consecuencia, por
esa razón, entonces, etc.
- Después de la conclusión: dado que, puesto que, ya que, pues, debido a que,
porque, se deduce de, etc.
Ejemplo: El número h no es par o es divisible en 2. Si h es múltiplo de 4, entonces es par. Por lo
tanto si h es múltiplo de 4, entonces es divisible en 2.
La expresión derivativa es: Por lo tanto
La conclusión es: si h es múltiplo de 4, entonces es divisible en 2
Se tienen dos premisas, ellas son: El número h no es par o es divisible en 2
Si h es múltiplo de 4, entonces es par
La validez de los razonamientos no depende de su contenido, sino de su forma, es decir que un
razonamiento es válido cuando su forma es válida.
La forma de un razonamiento es válida cuando no es posible deducir de premisas verdaderas
una conclusión falsa.
La afirmación premisas verdaderas obliga a que todas las premisas sean verdaderas, ya que
existiendo al menos una falsa, todo el conjunto de premisas se transforma en falso.
De lo expresado anteriormente se deduce que un razonamiento es inválido cuando su forma es
inválida, esto significa que partiendo de premisas verdaderas se llega a una conclusión falsa.
Cuando se simboliza un razonamiento utilizando proposiciones y conectivos se dice que se ha
obtenido la forma proposicional del razonamiento. Para analizar la validez de un razonamiento se debe
expresarlo en forma proposicional.
Ejemplo: La forma proposiconal del razonamiento planteado anteriormente es la siguiente:
p: el número h es par
q: el número h es divisible en 2
r: el número h es múltiplo de 4
13.Métodos de demostración
A continuación se presentan dos métodos para demostrar la validez de un razonamiento, en los
dos casos se trabaja con el razonamiento proposicional. Para una buena comprensión se considera un
razonamiento proposicional general expresado a continuación:
CPn
P
P
P
n /.
.3
.2
.1
3
2
1

I. Tabla de valores de verdad del condicional asociado
Un razonamiento proposicional es válido si, el condicional que tiene como antecedente la
conjunción de las premisas y como consecuente la conclusión, es una tautología. Este condicional se
llama condicional asociado y tiene la forma   CPPPP n  321 .
qrpr
qp


/.2
.1

Los pasos de este método son los siguientes:
1. Dado el razonamiento identificar premisas y conclusión
2. Expresar el razonamiento proposicional
3. Construir el condicional asociado
4. Hacer la tabla de valores de verdad del condicional asociado
Ejemplo: Se analizará la validez del razonamiento planteado anteriormente.
El primer paso y segundo se realizaron anteriormente.
El condicional asociado es )()]()[( qrprqp 
La tabla de valores de verdad de este condicional es la siguiente:
p q r p qp  pr     prqp  qr  )()]()[( qrprqp 
V V V F V V V V V
V V F F V V V V V
V F V F F V F V V
V F F F F V F V V
F V V V V F F F V
F V F V V V V V V
F F V V V F F F V
F F F V V V V V V
Como resulta tautología el razonamiento es válido.
Este método se complica cuando un razonamiento tiene varias proposiciones simples, porque la
cantidad de filas de la tabla depende de la cantidad de proposiciones simples, por ejemplo si el
razonamiento tiene 5 proposiciones simples la tabla tiene 32 filas, con lo que la tabla resulta extensa y
complicada de realizar.
II. Demostración directa
Este método consiste en trabajar con las premisas, transformarlas aplicando las leyes lógicas
con el fin de llegar a la conclusión.
Para facilitar la aplicación se expresan a las leyes lógicas como reglas de inferencia o como
equivalencias, esto se presenta en el cuadro desarrollado a continuación, las leyes expresadas en ese
cuadro son ejemplos, no las únicas.
Las reglas de inferencia corresponden a las leyes expresadas con condicionales y las
equivalencias a las leyes expresadas con bicondicionales.
Simbolización Regla de Inferencia Equivalencia
Definición de Disyunción  qpqp 
 qp
qp


Definición de Condicional qpqp 
qp
qp


Ley de
Modus Ponens (M.P.)
   qpqp 
q
p
qp 
Ley de
Modus Tollens (M.T.)
   pqqp 
p
q
qp




Ejemplo: Se demostrará la validez del razonamiento planteado anteriormente.
14.Funciones proporcionales
El símbolo  xP es la presentación de un predicado o propiedad relativos al objeto
indeterminado x, perteneciente a cierto universo o conjunto. Si nos referimos a los números enteros y
estamos interesados en la propiedad de ser par, entonces la traducción de  xP consiste en x es par, y
se escribe  xP : x es par.
Es claro que el enunciado “x es par” no es una proposición, ya que a menos que se especifique a
x no podemos decir nada acerca de su verdad o falsedad. Ocurre sin embargo, que para cada
asignación dada al sujeto x dicho enunciado es una proposición. A expresiones de este tipo se las llama
funciones proporcionales.
Definición: función proporcional en una variable o indeterminada x, es toda oración en la que
figura x como sujeto u objeto directo, la cual se convierte en proposición para cada especificación de x.
En nuestro ejemplo resultan proposiciones como: P(-5): -5 es par (Falso)
P(6): 6 es par (Verdadero)
Se presentan también funciones proporcionales en dos variables o indeterminadas. Sea por
ejemplo P(x, y): x es divisor de y. Lo mismo que en el caso anterior, si x e y son enteros, P(x, y) no es
proporción, ya que no podemos afirmar la verdad o falsedad de la expresión. Mas para cada
particularización de valores se tiene una proposición, por ejemplo: P(-2, 6): -2 es divisor de 6 (V)
P(3, 34): 3 es divisor de 34 (F)
15.Cuantificación
A partir de las funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante
un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos :x y
x , llamados cuantificadores universal y existencial en x respectivamente. Con estos cuantificadores
se obtienen las siguientes expresiones: Para todo x, se verifica  xP se denota mediante:  xPx :
Existe x, tal que se verifica  xP se denota por:  xPx
Corresponden a una función proposicional  xP cuantificada universalmente en el primer caso, y
existencialmente en el segundo. Una función proposicional cuantificada adquiere el carácter de
proposición. En efecto retomando el primer ejemplo, si decimos  xPx : , es decir “todos los números
enteros son pares”, es claro que hemos enunciado una proposición general y relativa a todos los
números enteros, cuyo valor de verdad es falso. Si cuantificamos existencialmente la misma función
proposicional se tiene  xPx , es decir “existen enteros que son pares”, el valor de verdad es
Verdadero. El cuantificador existencial se refiere a por lo menos un x.
Es obvio que una función proposicional cuantificada universalmente es verdadera sólo si son
verdaderas todas las proposiciones particulares asociadas a ella. Para asegurar la verdad de una
función cuantificada existencialmente, es suficiente que sea verdadera algunas de las proposiciones
asociadas a la función de proposicional.
hipotéticoSilogismo.3,2.4
lcondicionadeDefinición.1.3
/.2
.1
qr
qp
qrpr
qp




Del trabajo realizado en las premisas,
aplicando las leyes lógicas, se pudo
llegar a la conclusión, por ello el
razonamiento es válido.

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