Este documento presenta conceptos básicos de lógica formal. Define la lógica como la disciplina que ayuda a determinar si los razonamientos son válidos o no. Explica que la lógica está compuesta por conceptos, juicios y razonamientos. También introduce conceptos como proposiciones, tablas de verdad, funciones veritacionales y su reducción a conjunciones.

1. LÓGICA

2. • “…La lógica formal es algo más que una
tecnología: es la moral del pensamiento y del
discurso. Enseña el ejercicio de la honestidad
total, tanto en la expresión como en la
justificación. Para los que la han practicado,
supone un escudo contra la verborrea, el
sinsentido, la falta de responsabilidad en la
afirmación de enunciados, contra el
irracionalismo.” J.M. BOCHENSKI.

3. Definición
• Es la disciplina que ayuda a determinar si
los razonamientos son válidos o no. Parte
de un conjunto de informaciones para
deducir otra.

4. • Un capítulo importante de la lógica es la teoría de
las proposiciones.
• La teoría de las proposiciones comprende dos
ramas: la sintaxis y la semántica.
• LA SINTAXIS.- trata de la estructura y
conformación de proposiciones.
• LA SEMÁNTICA.- trata de los conceptos
relacionados con la interpretación de las
proposiciones, tales como veracidad, implicación
etc.

5. • Las operaciones de la mente son: concebir, juzgar
y razonar. Estas operaciones son procesos
temporales después de los cuales obtenemos
resultados.
Así el resultado de concebir es el concepto o
idea.
Así el resultado de juzgar es el juicio.
Así el resultado de razonar es el razonamiento.

6. • Un concepto o idea se expresa mediante la
palabra.
• El juicio se expresa mediante la
proposición.
• El razonamiento se expresa mediante el
discurso o argumentación.

7. • El pensamiento está constituido por: el concepto,
el juicio y el razonamiento.
• Ejemplos:
Concepto: Lógica
Juicio: La lógica es una ciencia
Razonamiento: Si se estudia, se sabe
Juan estudia
Luego, Juan sabe

8. Concepto de proposición
• Sentencias declarativas afirmativas del cual tiene
sentido afirmar que sea verdadera o que sea falsa
• Ejemplos:
La luna es cuadrada
La nieve es blanca
La matemática es una ciencia
no son objeto de estudio las sentencias
interrogativas y exclamativas

9. Los símbolos del lenguaje del
cálculo proposicional
• Variable proposicional.- letras latinas
minúsculas p,q,r,s,.... para indicar las
proposiciones (fórmulas atómicas) .
• Ejemplos:
– La luna es cuadrada: p
– La nieve es blanca: q

10. • CONECTIVOS LÓGICOS: Las fórmulas atómicas
pueden ser combinadas entre si, para representar tales
combinaciones usaremos los conectivos lógicos :
• Л: y , v: o , → : si...entonces , ↔ : si y solamente si , ~:
no
• Ejemplos:
• · La luna es cuadrada y la nieve es blanca. : p Л q
· La luna es cuadrada o la nieve es blanca. : p v q
· Si la luna es cuadrada entonces la nieve es blanca. :
p → q ( p es antecedente y q consecuente)
· La luna es cuadrada si y solamente si la nieve es blanca.
: p ↔ q
· La luna no es cuadrada. : ~p

11. • Cuantificador, es la palabra que indica
cantidad y modifica a un sustantivo que
presenta un conjunto referencial o
universal. Según el número de elementos
que considera del conjunto universal, el
cuantificador puede ser:

12. Tipo Sím
bolo
Uso Significado
Universal, si considera a todos los
elementos del conjunto universal, es
decir si todo valor que asume el sujeto
cumple lo indicado por la función
proposicional.
∀ ∀ x Є
U:
p(X)
“Para todo x que
pertenece a U se cumple
p(x)”
“Cualquier x de U,
cumple p(x)”
Existencial, si considera a algunos
elementos del conjunto universal, es
decir si por lo menos un valor que
asume el sujeto cumple lo indicado por
la función proposicional.
∃ ∃ X Є
U/
p(X)
“Existe x perteneciente
a U que cumple p(x)”
“Algún x de U cumple
p(x)”

13. Símbolos auxiliares:
• ( ), paréntesis que sirven para denotar el
alcance de los conectivos.
• Ejemplos:
Si la luna es cuadrada y la nieve es blanca,
entonces la luna no es cuadrada:
(p Л q)→ ~p

14. Función veritacional
• Es la función cuyos argumentos son
proposiciones: r = f(p,q)
• Existe una correspondencia entre los
valores de verdad de los argumentos de
una función veritacional y el valor o
valores de verdad de la función

15. Las tablas de verdad
• La lógica clásica es gobernada por tres
principios que pueden ser formulados
como sigue:
1. Principio de identidad. Todo objeto es
idéntico a si mismo.
2. Principio de contradicción. Dada dos
proposiciones contradictorias (una es
negación de la otra) una de ellas es falsa.

16. Las tablas de verdad
3. Principio del tercio excluido. Dadas dos
proposiciones contradictorias una de ellas
es verdadera.
De acuerdo a estos principios las
proposiciones simples son o verdaderas o
falsas, por eso se dice que la lógica clásica
es bivalente.

17. Las tablas de verdad
• Para determinar el valor de las
proposiciones compuestas (moleculares),
conociendo los valores de las
proposiciones simples (atómicas) que las
componen usaremos tablas de verdad

18. tabla de verdad de la negación
• ~p es verdadera (falsa) si y solamente si p es
falsa (verdadera).
p ~p
V F
F V

19. tabla de verdad de la conjunción
• La conjunción es verdadera si y solo si p, q son
verdaderos.
p q pЛq
V V V
V F F
F V F
F F F

20. tabla de verdad de la disyunción
• La disyunción es falso si y solo si p y q son
falsos.
p q pvq
V V V
V F V
F V V
F F F

21. tabla de verdad de la implicación
• La implicación es falsa si y solo si el
antecedente es verdadero y el consecuente
falso.
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V

22. tabla de verdad de la bicondicional
• La bicondicional es verdadera si y solo si sus
componentes son ambos verdaderos o ambos
falsos.
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V

23. Tabla de verdad de la disyunción
exclusiva
• Es la negación de p↔q se denota por p Δ q y su
tabla está dada por:
p q pΔ q
V V F
V F V
F V V
F F F

24. Función de Sheffer o de
incompatibilidad
• Es la negación de la conjunción se
denota por p│q y su tabla es:
p q p| q
V V F
V F V
F V V
F F V

25. Función de Nicod o de negación
conjunta
• Es la negación de la disyunción, se
denota por p↓q y la distribución de
valores de verdad está dada por:
p q p↓q
V V F
V F F
F V F
F F V

26. Ejercicios
• Determinar la distribución de valores de
cada una de las siguientes funciones
veritacionales:
a.f(p,q) = (p Л q) → (p v ~q)
b.f(p,q,r) = (p v q) → ((q v r) →(~q Л r))
c.f(p,q,r) = ((p → q) | (q↔r)) ↓ (~p v r)

27. Tautología
• Es una función veritacional cuyos valores
de verdad son todos verdaderos
cualesquiera que sean los valores de
verdad de los argumentos.
• Ejemplo:
f(p) = p v ~p

28. Contradicción
• Es una función veritacional cuyos valores
de verdad son todos falsos cualquiera que
sean los valores de verdad de los
argumentos.
• Ejemplo:
f(p) = p Л ~p

29. Contingencia
• Es una función veritacional cuyos valores
de verdad son unos verdaderos y otros
falsos.
• Ejemplo:
f(p,q) = p →q

30. Funciones veritacionales equivalentes
• Se dice que dos funciones veritacionales
son equivalentes si tienen la misma
distribución de valores de verdad.
• Ejemplo:
f(p,q,r) = p Л (q v r)
g(p,q,r) = (p Л q) v (p Л r)

31. Determinación de k fórmulas del número
posible de funciones veritacionales según el
nº de argumentos
• Funciones de una variable
p f1 f2 f3 f4
V V V F F
F V F V F

32. • f1(p) = p v ~p
• f2(p) = p
• f3(p) = ~p
• f4(p) = p Л ~p

33. Funciones de dos variables
p q f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9
f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16
V V V V V V V V V V F F F F F F F F
V F V V V V F F F F V V V V F F F F
F V V V F F V V F F V V F F V V F F
F F V F V F V F V F V F V F V F V F

34. • f1(p,q) =U(p,q)f9(p,q) = p|q
• f2(p,q) = p v q f10(p,q) = pΔ q
• f3(p,q) = q →p f11(p,q) = ~q
• f4(p,q) = p f12(p,q) = ~(p →q)
• f5(p,q) = p →q f13(p,q) = ~p
• f6(p,q) = q f14(p,q) = ~(q →p)
• f7(p,q) = p↔q f15(p,q) = ~(p v q)
• f (p,q) = p Л q f (p,q) = N(p,q)

35. Convención notacional
• Orden de procedencia.- Con los conectivos
lógicos ~, Л, v, →, ↔ se establece una
relación de procedencia en lo relativo a su
alcance
• El alcance del conectivo Л es mayor que el
alcance del conectivo ~

36. Convención notacional
• El alcance del conectivo v es mayor que el
alcance del conectivo Л
• El alcance del conectivo → es mayor que
el alcance del conectivo v
• El alcance del conectivo ↔ es mayor que
el alcance del conectivo v
• Los conectivos → y ↔ tienen el mismo
alcance

37. Ejemplos
1) ~p Л q = (~p )Л q
2) p Л ~q Л r = p Л ( ~q ) Л r
3) p Л q v r = (p Л q ) v r
4) ~p v q Л ~r = ( ~p ) v [q Л ( ~r )]
5) p v q → r = (p v q) → r
6) p v~qЛ~p → r vp = [p v(~q Л ~p)] → (r v p)
7) p → q ↔ r ambiguedad

38. Expresión de una función
veritacional por medio de otras
1) p Л q = ~(~p v ~q)
2) p v q = ~(~p Л ~q)
3) p → q = ~p v q
4) p → q = ~(p Л ~q)
5) p Л q = ~(p → ~q)
6) p v q = ~p → q
7) p ↔ q = ~(p Л ~q) Л ~(q Л ~p)

39. Ejercicio
• Expresar la función veritacional:
(p Л q) v (p v q)
en términos de la conjunción y negación
solución

40. Reducibilidad de funciones veritacionales de
más de dos argumentos
• N(f(p,q,r)) = 28
= 256
(p Л q) Л r = p Л (q Л r)

41. Teorema de Post
• Una función veritacional de cualquier
número de argumentos puede expresarse
en términos de la conjunción con el uso de
la negación
Prueba
Caso particular: Sea f una función
veritacional cuya distribución de valores
de verdad es la siguiente: VFVVFVVV

42. Regla
Para transformar una función veritacional
de cualquier número de argumentos en una
conjunción haciendo uso de la negación, se
procede de la siguiente manera:
1. Se determina la distribución de valores de
verdad de la función dada.

43. 2. Se niegan los argumentos
correspondientes a las F al arreglo de
valores argumentales relativo a cada F de
la distribución de valores de la función
dada.
3. Se unen mediante el conectivo lógico Л
los argumentos negados y no negados y
luego la conjunción así obtenida se niega.

44. 4. Las conjunciones negadas se unen
nuevamente con el conectivo Л, la función
resultante es la pedida
Excepción una tautología.
Ejemplo: Haciendo uso de la negación expresar
la función veritacional:
p⊃.q≡r:∣:q⊃∼r
como a) una conjunción b) una disyunción