LÓGICA MATEMÁTICA

1. LOGICA MATEMATICA
PRESENTADO POR
KARLA VICTORIA ALFONSO ROJAS
INSTITUCION EDUCATIVA ALBERTO SANTOFIMIO
CAICEDO
MODALIDAD INGENERIA DE SISTEMAS
IBAGUE-TOLIMA
2017

2. LOGICA MATEMATICA
PRESENTADO POR
KARLA VICTORIA ALFONSO ROJAS
DOCENTE
FRANCISCO GONGORA TAFUR
INSTITUCION EDUCATIVA ALBERTO SANTOFIMIO
CAICEDO
MODALIDAD INGENERIA DE SISTEMAS
IBAGUE-TOLIMA
2017

3. LOGICA MATEMATICA
CONCEPTO DE LA GLOGICA MATEMATICA
Es la disciplina que estudia métodos de análisis & razonamiento;
utilizando el lenguaje de las matemáticas como lenguaje
analítico.
La lógica matemática nos ayuda a establecer criterios de
verdad, equivalente lógicas tales como el silogismo, hacer
demostraciones de teoremas que participan en el análisis de los
argumentos planteados. Dentro de la misma se complementa
también de la heurística para resolver problemas & es muy útil
en matemáticas.
Suele dividirse en cuatro subcampos; teoría de modelos, de la
demostración, teoría de conjuntos & teoría de los sistemas
formales en la relación con el modo en el que codifican
conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos,
números, demostraciones & computación.
EJEMPLOS
1. Si
A= {2, 4, 5,6}
B= {1, 2, 3, 4, 7, 9}
¿Cuántos elementos tiene (AUB)?
a)3 b)8 c)2
d)3 e) 10
2. efectuar
49/7+5-45/15-4*2
a)0 b)1 c)2

4. d)3 e)4
3. Si
A= {1, 2, 4, 5, 7, 8}
B= {2, 3, 5, 6, 8, 9}
¿Cuántos elementos tiene(A intersectado B)?
a)1 b)2 c)3
d)9 e) 12
4. al suma
4 7 _ 5 _
_ 9 2 1 5 +
8 _ 0 _ 7
Sumar las cifras que deben ir en las rayitas
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 26
5. En el siguiente grafico
J
1
5 4 k
2 3
6
Hallar: (A insertado B)
a) (1,5) b) (1, 2, 3, 4, 5, 6)
c) (3,6) d) (2,4) e) (1, 3, 5, 6,)

5. DEFINICION & CLASE DE PROPOSICIONES
Una proposición es una oración con valor referencial o
informativo, de la cual se puede predecir su veracidad o
falsedad, es decir, que se puede ser falsa o verdadera pero no
ambas a la vez.
La proposición es la expresión lingüística del razonamiento, que
se caracteriza por ser verdadera o falsa empíricamente, sin
ambigüedades.
Es cualquier agrupación de palabras o símbolos que tengan
sentido & de la que en un momento determinado se puede
asegurar si es verdadera o falsa.
EJEMPLOS
 Hoy es lunes (si es proposición ya que se puede verificar).
 Hablo & no hablo.
 Viene o no viene.
CLASES DE PROPOSICIONES
PROPOSICIONES SIMPLES
Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas
por negaciones (‘no’) términos de enlace como conjunciones
(‘’y’’), disyunciones (‘’o’’) o implicadas (‘’sí. . . entonces’’).
Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el
predicado, pero no entre oraciones.
EJEMPLOS
 La ballena es roja.
 La raíz cuadrada de 16 es 14.
 Gustavo es alto.
 Teresa va a la escuela.

6. PROPOSICIONES COMPUESTAS
Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si
está afectada por negaciones o términos de enlace entre
oraciones componentes.
EJEMPLOS
 La ballena no es roja.
 Gustavo no es alto.
 Teresa va a la escuela o María es inteligente.
 4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10.
CONECTIVOS LOGICAS EN PROPOSICIONES
COMPUESTAS
Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar
proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones).
Los operadores o conectores básicos son:
OPERADOR AND (Y)
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben
cumplir para que pueda obtener resultado verdadero. Si
símbolo es {Ù, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como
la multiplicación lógica:
EJEMPLOS
Sea el siguiente enunciado ‘’El coche enciende cuanto tiene
gasolina en el tanque y tiene corriente la batería’’
Sean:
P: El coche enciente
Q: tiene gasolina el tanque

7. R: Tiene corriente la batería
De tal manera que la representación del enunciado anterior
usando simbología lógica es como sigue:
P= q Ù r
Su tabla de verdad es como sigue:
q r P=q Ù r
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Donde.
1 = verdadero
0 = falso
En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene
gasolina, r=1 significa que la batería tiene corriente & p=q Ù
r=1 significa que el coche puede encender. Se puede

8. PROPOSICIONES CONDISIONALES
Es una proposición compuesta de la forma ‘’si p entonces q’’
donde p & q son proposiciones.
A la proposición ‘’p’’ le llamaremos antecedente & la
proposición ‘q’ le llamaremos consecuente, en algunos otros
contextos se llama ‘’si condicionales’’ en el cual el antecedente
es la condición que debe cumplirse, 6 el consecuente es la
consecuencia lógica que se deriva de la condición.
Considera la siguiente proposición ‘’si obtienes una A en lógica,
entonces te voy a comprar un Mustang amarillo’’. Esta parece
ser compuesta en dos oraciones más simples:
P: ‘’Obtienes una A en lógica’’, &
Q: ‘Te voy a comprar un Mustang amarillo
La proposición original quiere decir lo siguiente: si p es verdad,
entonces q es verdad, o, más simple, si p, entonces q. también
podemos escribir la frase como p implica q, & escribimos p – q.
Condicional
La condicional p→q, que se lee ‘’si p, entonces q’’ o ‘’p implica
q’’, se define con la siguiente tabla de verdad.
p q p-q
V V V
V F F
F V V
F F V
La flecha ‘’ → ‘’es el operador condicional, & en p-q la
proposición p es llamada antecedente, o hipótesis, & q es
llamada la consecuente, o conclusión.
EJEMPLOS

9. (Verdadera implica verdadera) es verdadera
Si p & q son verdaderas, entonces p→q es verdadera. Por
ejemplo:
Si 1+1=2 entonces el sol sale por el este.
Aquí p: ’’1+1=2’’& q: ‘’El sol sale por el este’’
Antes de seguir
Observa que las proposiciones p & q no tiene nada que ver
una con la otra. No estamos diciendo que el sol sale por el
este porque 1+1=2, simplemente que la proposición entera es
lógicamente verdadera.
EJEMPLO
( Falso implica cualquier cosa)
Si p es falso, entonces p→q es verdadera, no importa si q es
verdadera o no. Por ejemplo:
Si la luna es hecha de queso verde, entonces soy el rey de
Inglaterra.
Aquí p: "La luna es hecha de queso verde," que es falsa, y q:
"Soy el rey de Inglaterra." La proposición p→q es verdadera, si o
no el orador suele ser el rey de Inglaterra (o si, lo que es más,
aún hay un rey de Inglaterra).
Antes de seguir
"Si tuviera 1 millón de dólares estaría en Easy Street." "Sí claro,
y si mi abuela tuviera ruedas ella sería un autobús." El punto de
la réplica es que si la hipótesis es falsa, la implicación entera es
verdadera.
PROPOSICONES BICONDICIONALES

10. En la matemática & lógica, un bicodicional, (también llamado
equivalente o doble implicado, en ocasiones abreviado en
español como ssi), e una proposición de la forma <<p si & solo
si q>> Y se admite el bicondicional Sergio es verdadero en el
caso de que ambos componentes tengan el mismo valor
vertitativo. En otras palabras, que si p ocurre entonces también
ocurre q; & viceversa: si Q ocurre entonces también ocurre P.
Otra forma de expresar al bicondicional es decir que Q es una
condición necesaria & suficiente para P. también se conoce con
el nombre de coimplicaciones.
El valor verdad es un bicondicional <<p si solo si q>> es
verdadero cuando ambas proposiciones (p & q) tienen el mismo
valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o falsas
simultáneamente; de lo contario, es falso, es lógicamente
equivalente al par de afirmaciones <<si p, entonces q>> & <<si
q, entonces>>.escrito utilizando conectivas lógicas:
P→q= (p→q) ^ (q→p).
p q p-q
V V V
V F F
F V F
F F v
EJEMPLO
La tierra es cubica & solo si el sol es un planeta
P: ‘’la tierra es cubica’’: F q: ‘’el sol es un paneta’’: F
TAUTOLOGIA

11. Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera
para todas las asignaciones de valores de verdad para sus
proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no
puede depender de los valores de verdad de las proposiciones
que la forman, sino la forma en que están establecidas las
relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso.
EJEMPLO
AV- A
A - A AV- A
V F V
F V V
CONTRADICION
Se entiende por proposiciones contradictoria, o contradicción,
aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla
de verdad se valor siempre es F. dicho de otra forma, su valor
F no depende de los valores de verdad de proposiciones que la
forman, sino de la forma en que están establecidas las
relaciones sintácticas de unas con otra.
EJEMPLO
A^ - A
A - A A^ - A
V F F
F V F
EQUIVALENCIA

12. Las declaraciones p & q son lógicamente equivalentes si tienen
el mismo contenido lógico. Este es un concepto cinemático, dos
afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de
verdad en todos los modelos. Equivalencia lógica de p &q
algunas veces se expresa como p = q, Epq, o p→q. Sin embargo
estos símbolos también se usan para la equivalencia material;
su apropiada interpretación depende del contexto. Equivalencia
lógica es diferente a la equivalencia material, aunque ambos
conceptos estén estrechamente relacionados.
EJEMPLOS
Equivalencias lógicas que involucran declaraciones
condicionales：
1. p→q≡﹁p∨q
2. p→q≡﹁q→﹁p
3. p∨q≡﹁p→q
4. p∧q≡﹁(p→﹁q)
5. ﹁(p→q)≡p∧﹁q
6. (p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r)
7. (p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r)
8. (p→r)∧(q→r)≡(p∧q)→r
9. (p→r)∨(q→r)≡(p∨q)→r
Equivalencias lógicas que involucran bicondicionales：
1. p↔q≡(p→q)∧(q→p)
2. p↔q≡﹁p↔﹁q
3. p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁q)
4. ﹁(p↔q)≡p↔﹁q
1. Si lisa está en Francia, entonces ella está en Europa (en
símbolo f → e)

13. 2. si lisa no está en Europa, entonces ella no está Francia (en
símbolo ﹁e →﹁f)
LEYES NOTABLES EN LOGICA
1. Ley de doble negación: Dentro de un sistema de lógica
clásica, la doble negación, esto es, la negación de la
negación de una proposición p, es lógicamente
equivalente a p. Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p.
En lógica intuicionista, una proposición implica su doble
negación, pero no al revés. Esto marca una importante
diferencia entre la negación clásica e intuicionista.
Algebraicamente, la negación clásica es llamada
una involución de periodo dos.
Sin embargo, en lógica intuicionista, sí tenemos la
equivalencia entre ¬¬¬p y ¬p. Es más, en el caso
proposicional, una oración es demostrable de forma
clásica, si su doble negación es demostrable de manera
intuicionista. Este resultado es conocido como
el teorema de Glivenko.
2. Leyes de idempotencia: En matemática y lógica,
la impotencia es la propiedad para realizar una acción
determinada varias veces y aun así conseguir el mismo
resultado que se obtendría si se realizase una sola vez.
Un elemento que cumple esta propiedad es
un elemento impotente, o un impotente. De esta manera,
si un elemento al multiplicarse por sí mismo sucesivas
veces da él mismo, este elemento es impotente. Por
ejemplo, los dos únicos números reales que son
impotentes, para la operación producto (·), son 0 y 1.
(0·0=0,1·1=1).
3. Leyes asociativas: Las "Leyes asociativas" quieren decir
que no importa cómo agrupes los números (o sea, qué
calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)

14. 4. Leyes conmutativas: Las "leyes conmutativas" sólo
quieren decir que puedes intercambiar los números
cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va a
ser la misma.
a + b = b + a
a × b = b × a
5. Leyes distributivas: La "ley distributiva" es la MEJOR de
todas, pero hay que usarla con mucho cuidado Quiere
decir que la respuesta es la misma cuando:
 sumas varios números y el resultado
lo multiplicas por algo, o
 haces cada multiplicación por separado y
luego sumas los resultados
Así:
(a + b) × c = a × c + b × c
6. Leyes de De Morgan: En lógica proposicional y álgebra
de Boole, las leyes de De Morgan son un par de reglas
de transformación que son ambas reglas de
inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de
las conjunciones y disyunciones puramente en términos
de sí vía negación.

15. METODOS DE DEMOSTRACION
En matemáticas, una demostración o bien una prueba es un
argumento deductivo para asegurar la verdad de una
proposición matemática. En la argumentación se pueden usar
otras afirmaciones previamente establecidas, tales como
teoremas o bien las afirmaciones iniciales o axiomas.
En principio una demostración se puede rastrear hasta
afirmaciones generalmente aceptadas, conocidas como
axiomas. Las demostraciones son ejemplos de razonamiento
deductivo & se distinguen de argumentos inductivos o
empíricos; una demostración debe demostrar que una afirmación
es siempre verdadera (ocasionalmente al lista todos los casos
posibles & mostrar que es válida en cada uno), más que
enumerar muchos casos confirmatorios. Una afirmación no
probaba que se cree verdadera se conoce como conjetura.
La demostración emplea lógica pero normalmente incluye una
buena parte de lenguaje natural, el cual usualmente admite
alguna ambigüedad. De hecho, la gran mayoría de las
demostraciones en las matemáticas escritas puede ser
considerada como aplicaciones de lógica informal rigurosa.

16. TABLAS DE VERDAD
- Negación
- Conjunción
- Disyunción
- Condicional
- Bicondicional
p ﹁p
V F
F V
P Q P v Q
V V V
V F V
F V V
F F F
P Q P∧Q
V V V
V F F
F V F
F F F