Capítulo 7. El Punto, la recta y el plano

1
PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
Capítulo 7. El punto, la recta y el plano
Estos conceptos, así como sus manifestaciones analíticas y
geométricas son esenciales en el estudio de diversas ramas de
las matemáticas y de la física, como es el caso de Álgebra
Lineal, Cálculo Vectorial, Estática, Cinemática y Dinámica. Y
también en diferentes temas de las ingenierías.
EL PUNTO
Su manifestación geométrica es a través de sus coordenadas
en un sistema de referencia o vectorialmente por un vector de
posición; no requiere propiamente de una definición y su
comprensión es básicamente intuitiva. Las coordenadas del
punto coinciden con las componentes del vector de posición
que lo representa.
Distancia entre dos puntos. Sean dos puntos
   1 1 1 2 2 2, , , ,A x y z y B x y z en el espacio 3
. La distancia entre
ellos es igual al módulo o magnitud del vector AB que se
expresa analítica y gráficamente como:
A
z
x
b a
O
a
b
y
B

2
     
2 2 2
1 2 1 2 1 2AB b a x x y y z z       
b a a b  
Ejemplo. Calcular la distancia entre los puntos
   3,0,6 4, 5, 7A y B  
Ejemplo. Dados los puntos    2, 4, 8 4,6,3A y B  , calcular las
coordenadas del punto C si está en la dirección del vector AB,
en el punto medio de la recta que une estos dos puntos.

3
LA RECTA
Tiene su conceptualización intuitiva y se manifiesta en el
espacio de alguna de las siguientes formas: uno de sus puntos y
su dirección con un vector; si se conocen dos de sus puntos; en
la intersección de dos planos no paralelos. Es una sucesión
infinita de puntos situados en una misma dirección.
Representación vectorial de la recta
Una ecuación vectorial que representa a una recta " "
considera un vector de posición cuyo extremo se mueve a lo
largo de la recta. Es necesario un punto de la recta o su vector
de posición y un vector conocido como vector director de " "
que es paralelo a ella.
Sea un punto  0 0 0 0, ,P x y z , su vector de posición  0 0 0 0, ,P x y z y
un vector paralelo, que es su vector director  , ,u a b c . Sea
otro punto  , ,R x y z ; sus coordenadas pueden obtenerse
mediante la suma del vector de posición 0p , más otro vector
con la misma dirección del vector director u y con la magnitud
requerida para llegar al punto R que se expresa evidentemente
z
x
0P
u
y
0P
O

4
como un segmento del vector director, utilizando un escalar 
llamado parámetro que afecta al vector director, aumentando
o disminuyendo su valor y puede cambiar su dirección.
Entonces, la ecuación vectorial de la recta " " está dada por:
   0 0 0, , , , ;r x y z a b c   
o bien,
 0 0 0, , ;r x a y b z c       
Representación paramétrica de la recta
En forma paramétrica se acude a la ecuación antes obtenida y
se hace uso de la igualdad de vectores. Así:
     0 0 0 0 0 0, , , , , ,r x a y b z c x y z x a y b z c             
de donde las ecuaciones paramétricas son:
0
0
0
;
x x a
y y b
z z c

 

 

   
  
No hay una sola ecuación vectorial para una recta ya que
depende de un punto 0P . Por ello la representación
paramétrica no es única.
z
x
0P
u
y
0p
O
r
u
R

5
Ejemplo. Obtener una ecuación vectorial, así como sus
correspondientes ecuaciones paramétricas, de la recta " " que
contiene al punto  3, 5, 8P y que es paralela al vector
5 6v i j k
  
   . Graficar.
Ejemplo. Obtener una ecuación vectorial y las
correspondientes ecuaciones paramétricas de la recta " " que
pasa por los puntos    3, 4, 5 2, 8,7P y Q  .

6
Representación cartesiana de la recta
Se utilizan dos formas: la simétrica y la general.
Forma simétrica. Si en las ecuaciones paramétricas se despeja
al parámetro y se realizan las igualdades correspondientes, se
obtiene la forma simétrica de las ecuaciones de la recta.
0
0
0
0
0
0
;
x x
ax x a
y y
y y b
b
z z c
z z
c


  




 

     
   

0 0 0
:
x x y y z z
a b c
  
  
Si se conoce un punto de la recta y un vector paralelo a ella, es
muy sencillo representar su ecuación en forma simétrica.
Como se verá más adelante, son dos planos que al cortarse,
definen a la recta cuya ecuación es la forma simétrica.
Ejemplo. Obtener las ecuaciones en forma simétrica de la recta
" " dada por las ecuaciones paramétricas siguientes:

7
2 3
: 5 ;
8 4
x t
y t t
z t
  

  
  
Cuando una de las componentes del vector director es cero
significa que es paralelo al plano coordenado en cuyo nombre
no aparece la variable correspondiente a la componente nula.
Ejemplo. Obtener las ecuaciones cartesianas en forma
simétrica de la recta que pasa por los puntos
   3,2, 9 4,2,7y  . Graficar la recta.

8
Nota. Si dos componentes del vector director son nulas,
entonces este vector es paralelo al eje de la componente no
nula.
Ejemplo. Determinar las ecuaciones paramétricas y las
cartesianas en forma simétrica de la recta " " que pasa por el
punto  0,4, 3P  y que es paralela al eje de las abscisas.

9
Forma general. La forma general de las ecuaciones cartesianas
de una recta se expresa con dos siguientes ecuaciones que,
como se verá más adelante, son dos planos, cuya intersección
es la recta cuyos puntos satisfacen las dos ecuaciones:
1 1 1 1
2 2 2 2
0
:
0
Ax B y C z D
A x B y C z D
   

   
Si en ellas se obtienen dos puntos que las satisfagan, con ellos
se determina el vector y, con este y uno de los puntos se llega
a las ecuaciones cartesianas de la recta en forma simétrica.
Ejemplo. Sea la recta dada en forma general por las
ecuaciones:
9 3 1 0
:
4 2 3 0
x y z
x y z
   

   
Obtener unas ecuaciones cartesianas de la recta " " en forma
simétrica.

10
RELACIONES ENTRE LA RECTA Y EL PUNTO
Distancia entre un punto y una recta
DEFINICIÓN. La distancia entre un punto y una recta es la
mínima distancia entre ambos y se mide sobre la perpendicular
a la recta desde el punto.
Para calcular la distancia se utiliza un punto cualquiera de la
recta, su distancia de este al punto en estudio y el vector
director de " ".
Q
d
P
q p
p
q
R u
x
z
y
Q
d 0
90

11
En el triángulo PQR, donde " "P es un punto de la recta, el
cateto QR es la distancia requerida. Los vectores de posición
de P y Q son, respectivamente, p y q. Su diferencia es el
vector q p es la hipotenusa del triángulo PQR. Con respecto al
ángulo" " :
d q p sen 
Se multiplica y divide por el módulo del vector u y se llega a:
q p u sen
d
u


Por una expresión que define al módulo del producto cruz:
 
 q p u
q p u sen q p u d
u

 
     
Ejemplo. Calcular la distancia entre el punto  2, 3,7Q  y la
recta " " de ecuaciones:
7 2
3
4 2
y z
x
 
  

12
Nota. De la expresión paramétrica de la ecuación de la recta,
0
0
0
:
x x a
y y b
z z c



 

 
  
también se obtiene un punto y un vector director de la misma.
Con el vector paralelo  1, 4, 2u  y el punto  3,7, 2P  , la
expresión paramétrica de la recta sería:
3
: 7 4
2 2
x
y
z



 

 
   
Ejemplo. Para el ejercicio anterior, determinar las coordenadas
del punto " "R en el cual toca a la recta la mínima distancia del
punto  2, 3,7Q  .
Solución.
Las componentes del segmento dirigido que va desde un punto
cualquiera de la recta, en este caso,  3,7, 2P  y el punto del
cual se requería la distancia, es decir,  2, 3,7Q  , se pueden
escribir como:
     2, 3, 7 3 , 7 4 , 2 2 1 , 10 4 , 9 2PQ PQ                  
Este segmento debe ser perpendicular a la recta por lo que es
perpendicular al vector director u. Por lo que se debe cumplir
que su producto punto debe ser cero ya que involucra al
coseno. Entonces,
0PQ u PQ u   
   1 , 10 4 , 9 2 1, 4, 2 0 1 40 16 18 4 0                   
23
21 23 0
21
       

13
Se sustituye este valor en la expresión paramétrica de la recta
y,
 
23
3
21
1.90
23
7 4 2.62 1.90, 2.62, 4.19
21
4.19
23
2 2
21
x
x
y y R
z
z
  
    
  
   
        
      
     
  
RELACIONES ENTRE RECTA Y RECTA
Ángulo entre dos rectas
DEFINICIÓN. El ángulo entre dos rectas equivale al ángulo entre
sus vectores directores, esto es:
cos
u v
ang
u v



donde u y v son los vectores directores de las dos rectas.
Esta definición parte del producto escalar o punto en términos
de los módulos y el coseno que forman las direcciones.
El ángulo entre dos rectas, con excepción de cuando su valor
es cero lo que quiere decir que son paralelas o cuando es 0
90
si son perpendiculares, tiene dos valores, agudo y obtuso,
ambos suplementarios. Cuando el valor de
u v
u v

es positivo se
trata del ángulo agudo y cuando es negativo, corresponde al
ángulo obtuso.

14
Ejemplo. Calcular el ángulo obtuso entre las rectas dadas por:
1 2
2 3 0 3 2 5
: :
1 1 22 4 0
x y z x y z
y
x y
     
  
   
Intersección entre dos rectas y ángulo entre ellas
Otra forma de estudiar el ángulo entre dos rectas es imponer la
condición de que se corten y no como antes que sólo bastaba
con resolver la expresión dada, obtenida del producto escalar.
Ejemplo. Calcular el punto de intersección y, de cortarse,
graficar y obtener el ángulo agudo de intersección entre las
rectas dadas por:

15
1 2
2 3
6 6 1
: 3 2 :
1 5 3
4 2
x s
x y z
y s y
z s
 
  
    
  
Solución. Primero se verá si se cortan y para ello se determinan
los valores de los parámetros " " " "s y t . Se igualan los valores
de la abscisa y la ordenada en ambas rectas, como sigue:
 
2 3
2 3 6 3 4 1
6
x s
s t s t
x t
 
       
 
 
3 2
3 2 6 5 2 5 3 2
6 5
y s
s t s t
y t
 
      
 
Se resuelve el sistema y se llega a:
 
 
1 5 15 5 20 1
17 17
12 1 2 5 3
s t s
s
ts t
      
    
     
Se sustituyen en la igualdad de las cotas y si resulta una
igualdad quiere decir que las rectas se cortan. Así,
   4 2 1 3 4 2 1 1 3 1 2 2 sí se cortans t             
El punto de intersección es:
2 3 5 6 5
3 2 1 o bien, 6 5 1
4 2 2 1 3 2
x s x x t x
y s y y t y
z s z z t z
     
       
      
Y entonces, el ángulo entre ellas es, considerando sus
respectivos vectores directores    1 23, 2, 2 1, 5, 3u y u    ,
se calcula como:
   1 2
1 2
3, 2, 2 1, 5, 3
cos cos
17 35
u u
ang ang
u u
 
  
  
  01
cos cos 0.041 87.65
595
ang ang      
La gráfica es la siguiente:

16
Condiciones de perpendicularidad, paralelismo y coincidencia
Considérese el siguiente teorema cuya demostración se omite
por ser consecuencia de definiciones anteriores y propiedades
ya vistas de los vectores:
TEOREMA. Sean las rectas 1 2y cuyos vectores directores
son 1 2u y u respectivamente. Entonces se cumple que:
1 2)i y son perpendiculares sí y sólo si 1 2 0u u  .
1 2)ii y son paralelas si 1 2 1 2; ; 0 o si 0u u u u      
1 2)iii y son la misma recta expresada de dos maneras
diferentes.
También se dice que son coincidentes si son paralelas y
además un punto cualquiera de 1
pertenece también a 2
.
1
2 3
: 3 2
4 2
x s
y s
z s
 

 
  
x
y
z
 5,1, 2
 6,6, 1
 2, 3, 4
2
6 6 1
:
1 5 3
x y z  
 

0
87.65 

17
Ejemplo. Determinar si las siguientes rectas son
perpendiculares, paralelas o coincidentes:
1 2
1 4 7
: : 5 4
1 2 3
4 3
x
x y z
y y
z




   
     
   
Ejemplo. Determinar si las rectas 1 2y son perpendiculares,
paralelas o coincidentes:
 1 2
1
: 5 3 ; : 2 3 , 4 9 , 2 6 ;
4 2
x
y y r
z

     

  

        
   

18
Distancia entre dos rectas
DEFINICIÓN. La distancia entre dos rectas equivale a la mínima
distancia entre ellas, medida sobre la perpendicular común a
ambas. Si se cortan, la distancia entre ellas es nula.
La distancia " "d entre las rectas 1 2y se muestra como la
mínima distancia entre ellas medida sobre la dirección
perpendicular a ambas, que puede obtenerse del vector 1 2u u .
Se consideran dos puntos " " " "P y Q en las rectas. Entonces
la distancia requerida es igual al módulo de la proyección del
vector q p en la dirección del vector 1 2u u . Dicho de otra
forma, la distancia pedida es igual al valor absoluto de la
componente escalar del vector q p en la dirección del vector
1 2u u . Esto es,
1u
P
q p
2u
1
2
Q
q
O
p
0
90
0
90
1 2u u
d
x
z
y

19
  1 2
1 2
q p u u
d
u u
  


Si las rectas son paralelas esta expresión conduce a una
indeterminación y, en este caso es mejor obtener la distancia
entre un punto de una recta y la otra recta.
Ejemplo. Calcular la distancia entre las rectas L y M y hacer
una gráfica que incluya esa distancia. Obtener las
coordenadas de los puntos de las rectas donde se presenta la
distancia entre ellas, así como las componentes del segmento
que define la distancia y verificar que es igual a la distancia
mínima entre ellas:
3
2 2 3
: : 2 2
7 9 2
5
x t
x y z
L y M y t
z t
 
   
     
   
Solución. Las ecuaciones de las rectas se pueden escribir
como:
2 2 3 3 2 5
: :
7 9 2 1 2 1
x y z x y z
L y M
      
    
 
de donde:
 
 
 
 
vector de posición de un punto de la recta : 2, 2, 3
vector de posición de un punto de la recta : 3, 2, 5
vector paralelo a la recta : 7, 9, 2
vector paralelo a la recta : 1, 2,1
p L p
q M q
u L u
v M v
    
  
 
  
Para calcular la distancia entre las rectas se utiliza la expresión:

20
   q p u v
d
u v
  


Entonces:
     3, 2, 5 2, 2, 3 5, 0, 8q p       
7 9 2 13 5 23
1 2 1
i j k
u v i j k
  
  
    

     
2 2 2
13 5 23 26.89u v     
           5, 0, 8 13, 5, 23 119q p u v q p u v            
Luego,
119
4.43 unidades de longitud
26.89
d d  
Para calcular la dirección de la perpendicular a ambas y cuyas
componentes se denotan con  , ,a b c , se parte del hecho de
que esta dirección es perpendicular a ellas y entonces, para
obtener dichas componentes, se resuelve el siguiente sistema:
     , , 7, 9, 2 0 7 9 2 0 1a b c a b c     
     , , 1, 2,1 0 2 0 2a b c a b c      
 2 2 2 2 2 2
4.425 19.58 3a b c a b c      
De  2 se tiene que 2a b c  y este resultado se sustituye en
   1 3y , de donde:
 7 2 9 2 0 14 7 9 2 0b c b c b c b c        

21
23
23 5 0
5
b c c b    
 
2 2 2 2 2 2 2
2 19.58 4 4 19.58b c b c b bc c b c         
2 2
5 4 2 19.58b bc c   
Se sustituye en esta expresión el valor de
23
5
c b y se llega a:
2
2 223 23 723
5 4 2 19.58 19.58 0.823
5 5 25
b b b b b b
   
         
   
   
23
0.823 3.79 2 0.823 3.79 2.14
5
c c y a a       
El módulo de esta dirección  2.14, 0.823, 3.79 equivale a la
distancia mínima entre las rectas. Así, se obtiene:
     
2 2 22 2 2
2.14 0.823 3.79 4.43d a b c d d         
Si    1 1 1 2 2 2, , , ,A x y z y B x y z son los puntos donde el segmento
de la distancia mínima entre las rectas L y M las corta, para
calcularlos se considera que el segmento AB es perpendicular
a los vectores directores u y v de las rectas. Entonces,
     2 1 2 1 2 1, , ; 7, 9, 2 ; 1, 2,1AB x x y y z z u v      
     2 1 2 1 2 10 7 9 2 0AB u x x y y z z        
 2 1 2 1 2 17 7 9 9 2 2 0 1x x y y z z      
 2 1 2 1 2 10 2 2 0 2AB v x x y y z z        
Se sustituyen en    1 2y las ecuaciones paramétricas
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
2 7 3
: 2 9 : 2 2
3 2 5
x t x t
L y t y M y t
z t z t
     
 
      
      

22
y se llega a:
           2 1 2 1 2 17 3 7 2 7 9 2 2 9 2 9 2 5 2 3 2 0t t t t t t               
2 1 2 1 2 121 7 14 49 18 18 18 81 10 2 6 4 0t t t t t t            
 2 19 134 51 0 3t t    
         2 1 2 1 2 13 2 7 2 2 2 2 2 9 5 3 2 0t t t t t t               
2 1 2 1 2 13 2 7 4 4 4 18 5 3 2 0t t t t t t            
 2 16 9 13 0 4t t   
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones    3 4y :
2 1 2 1
1
2 1 2 1
9 134 51 0 54 804 306 0
723 423
6 9 13 0 54 81 117 0
t t t t
t
t t t t
       
   
     
1 2
1
1 2
2
1 2
2.095 0.044
0.585
: 3.265 : 4.088
3.044
1.83 1.956
x x
t
A y y A y
t
z z
   
  
   
      
 
 
2.095, 3.265, 1.83
0.044, 4.088,1.956
A
B



El módulo de AB equivale a la distancia mínima entre las
rectas:
     
2 2 2
0.044 2.095 4.088 3.265 1.956 1.83d       
     
2 2 2
2.139 0.823 3.786 4.43d d      
La gráfica de este problema se presenta en la siguiente figura:

23
Ejemplo. Calcular la distancia entre las rectas:
5 3 4 01 2 4
: :
1 3 5 4 2 6 0
x y zx y z
L y M
x y z
     
  
     
z
x
y
 3, 2, 5
 1,6,1
 5,7, 1
 2, 2, 3  
 7, 9, 2u 
 1, 2,1v  
4.43d 
M
L
A
B

24
EL PLANO
Un plano es un elemento que solamente cuenta con dos
dimensiones y que contiene un número infinito de puntos y
rectas. Es interesante cómo puede quedar definido un plano,
geométrica y vectorialmente, a través de:
- Un punto del plano y dos vectores directores de dos rectas
pertenecientes a él.
- Tres puntos no alineados del plano.
- Una recta contenida en el plano y un punto del mismo que
no pertenezca a la recta.
- Dos rectas que se cortan y que pertenecen al plano.
- Dos rectas paralelas que pertenecen al plano.
- Un punto del plano y un vector perpendicular al plano.
Representación vectorial del plano
La ecuación vectorial se relaciona con el movimiento del
vector de posición de un punto cuyo extremo lo traza. Para
establecerla es necesario partir del vector de posición y
expresarlo en términos de la suma de dos vectores cuyas
direcciones sean paralelas a dos determinados vectores
directores paralelos al plano, pero no paralelos entre sí, cuya

25
adición inicia en el extremo del vector de posición de un
determinado punto del plano. Considérese la siguiente figura:
De acuerdo con los datos de la figura, la ecuación vectorial del
plano es entonces:
r p u v   
Dado que se pueden considerar diferentes vectores directores
y cualquier punto de apoyo del plano, son infinidad de
ecuaciones vectoriales las que pueden representar un plano en
el espacio 3
. El plano tiene extensión infinita y en su ecuación
vectorial intervienen dos parámetros a diferencia de la
ecuación de la recta en la que hay uno solo.
Ejemplo. Determinar la ecuación vectorial del plano que
contiene a los siguientes puntos:
     2, 4, 5 ; 5, 2, 4 ; 1,6, 3P Q R   
O
z
y
x
v
u
R
Q
P
v
u
r
p


26
REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DEL PLANO
Así como en la recta se utiliza la igualdad entre vectores para
obtener sus ecuaciones paramétricas, lo mismo sucede en el
caso del plano. Véase esto en el siguiente ejercicio que
establece la representación vectorial y paramétrica del plano
si se considera que el plano contiene a una recta y a un punto
dados:
Ejemplo. Obtener las ecuaciones vectorial y paramétricas del
plano que contiene al punto  2,6, 3P  y a la recta de
ecuaciones:
5 4
: 2
2 3
y z
x
 
  


27
REPRESENTACIÓN CARTESIANA DEL PLANO
La ecuación cartesiana del plano se puede obtener eliminando
los parámetros en las ecuaciones paramétricas. Pero resulta
más conveniente acudir a una de las formas para establecer su
ecuación que es la de utilizar un punto del plano y un vector
perpendicular a él. Cabe decir que al vector perpendicular se
le denomina también vector normal al plano.
Considérese el plano  de la siguiente figura:

28
Sea el punto P del plano, cuyo vector de posición es
 0 0 0, ,p x y z , el cual, junto con  , ,r x y z que es el vector de
posición de un punto cualquiera R del plano, definen al vector
r p del plano. Es evidente que este vector r p es
perpendicular al vector N que es normal al plano, lo que
significa que el producto escalar de ambos es nulo, es decir,
que:
  0r p N  
Esta es la ecuación normal del plano y si se sustituyen los
vectores que en ella aparecen con sus respectivas
componentes y se realiza el producto escalar o punto, se
obtiene:
       0 0 00 , , , , , , 0r p N x y z x y z A B C        
   0 0 0, , , , 0x x y y z z A B C     
     0 0 0 0A x x B y y C z z      
O
z
y
x
N
R
P
r
p
0
90
r p

 
 
 
0 0 0
, ,
, ,
, ,
r x y z
p x y z
N A B C




29
0 0 0 0Ax Ax By By Cz Cz      
0 0 0 0Ax By Cz Ax By Cz      
Se hace 0 0 0D Ax By Cz    y se llega la ecuación cartesiana
del plano que es:
0Ax By Cz D   
Cuando la recta está en su forma cartesiana, los coeficientes
de , ,x y z son las componentes del vector normal al plano.
Ejemplo. Determinar la ecuación cartesiana del plano  de dos
formas: eliminando los parámetros y a través de la ecuación
normal.
2 2
: 2 2 3 ; ,
1 4
x
y
z
 
    
 
  

   
   

30
Cuando en la ecuación cartesiana del plano
0Ax By Cz D    , 0D  , esto significa que el plano pasa por
el origen.
y
x
z

31
Si uno de los coeficientes , ,A B C es nulo el plano es  a un
plano coordenado y su vector normal es a un plano
coordenado.
Si dos de los coeficientes , ,A B C son nulos, el plano es a un
plano coordenado y su vector normal es a un eje
coordenado.
y
x
z
y
z
x

32
Si los tres coeficientes , ,A B C son nulos, no hay vector normal y
en consecuencia no existe plano.
RELACIONES ENTRE EL PLANO Y EL PUNTO
Distancia de un punto a un plano
Esta distancia es la menor y se mide en la recta perpendicular
al plano que pasa por el punto.
P pertenece al plano y R es del cual se desea calcular su
distancia al plano. De ambos puntos sus vectores de posición
con un determinado sistema son p y r y definen al vector
r p .
La distancia " "d de R al plano es igual al módulo de la
proyección del vector r p en la dirección del vector N.
También esta distancia " "d equivale al valor absoluto de la

y
N
R
x
P
p
r
r p
0
90
O
d
y

33
componente escalar de r p en la dirección de N. Esto se
expresa como:
 r p N
d
N
 

Ejemplo. Obtener la distancia entre el punto  2, 3, 5R    y el
plano de ecuación : 4 6 12 0x y z     .
RELACIONES ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA
Plano y recta pueden ser paralelos, puede estar la recta
contenida en el plano o tienen un solo punto de corte. Las
siguientes condiciones definen la perpendicularidad, el
paralelismo y la continencia entre plano y recta.

34
Condiciones de perpendicularidad, paralelismo y continencia
TEOREMA. Sean N un vector normal al plano  y u un vector
director de la recta . Entonces:
 ) ; 0 o bien 0i N u N u         
) 0ii N u s  
) 0 y un punto de pertenece a está contenida eniii N u    
Intersección entre un plano y una recta
Recta y plano tienen diferentes formas de expresión; luego hay
diferentes caminos para resolver el sistema de sus ecuaciones
y determinar el punto de corte. Resulta más conveniente
trabajar con la ecuación cartesiana del plano y las ecuaciones
paramétricas de la recta pues al sustituir esta en aquellas se
llega a una ecuación con una incógnita.
C
z
x
 y

35
Plano y recta paralelos
Plano y recta perpendiculares
C
z
x
 y
N u    0N u    
N
u
0
90
0N u s  
z
x
 y
uN
0
90

36
El plano contiene a la recta
Ejemplo. Determinar, si se cortan, el punto de intersección del
plano y la recta cuyas ecuaciones son, respectivamente:
3
: 2 2 4 8 0 : 7 6 ;
5 2
x
x y z y y
z

  

  

       
  
0 contiene aN u   
z
x

y
u
N
0
90

37
Ejemplo. Determinar, si se cortan, las coordenadas del punto de
intersección del plano y la recta cuyas ecuaciones son,
respectivamente:
3 2 3
: 2 3 4 12 0 :
13 2 8
x y z
x y z y
  
     

Solución. Primero se obtienen las ecuaciones paramétricas de
la recta y se llega a:
3 13
2 2 ;
3 8
x
y
z

 

  

  
  
Se sustituyen estas ecuaciones en la ecuación cartesiana del
plano y se obtiene:
     2 3 13 3 2 2 4 3 8 12 0         
6 26 6 6 12 32 12 0 0 0            
No se genera una ecuación que conduzca a un valor del
parámetro por lo que esto significa que la recta está contenida
en el plano y por ello todos los puntos de la recta constituyen su
intersección con el plano.
Para verificar esto bastaría con ver que el punto de la recta
 3, 2, 3P  pertenece al plano y que el vector paralelo a la
recta, esto es,  13, 2, 8u   y el vector  2, 3, 4N  , normal al
plano, son perpendiculares.
     2 3 3 2 4 3 12 0 0 0      
   
  0
13, 2, 8 2, 3, 4
cos cos
237 29
cos 0 90
u N
ang ang
u N
ang u N
 
 
 
  
    
Luego la intersección entre la recta y el plano es la recta
misma.

38
Ejemplo. Determinar, si existe, el punto de intersección entre el
plano de ecuación : 2 5 10 0x y z     y la recta cuyas
ecuaciones paramétricas son:
1 3
6 2 ;
7 4
x
y
z

 

  

  
   
Solución. Se sustituyen los valores de las variables , ,x y z de las
ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación
cartesiana del plano y,
     2 1 3 5 6 2 7 4 10 0          
2 6 30 10 7 4 10 0 0 49 0 49              
Pero 0 49 que es una incongruencia y por lo tanto plano y
recta no se cortan, no tienen puntos en común, luego son
paralelos.
Esto se comprueba verificando que, el producto escalar del
vector  2, 5,1N   normal al plano y el vector  3, 2, 4u 
paralelo a la recta, es nulo. Así,
   2, 5,1 3, 2, 4 0 0N u N u       
Y efectivamente, el plano y la recta son paralelos.
Ejemplo. Determinar si son perpendiculares el plano y la recta
cuyas ecuaciones son, respectivamente:
 
 
2 8 0 110 10
: 6 8 0 :
3 3 4 3 12 0 2
x y z
x y z y
x y z

    
     
   

39
ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
En términos generales, salvo que sean paralelos, dadas sus
dimensiones infinitas, invariablemente habrá un punto donde la
recta corte al plano y es por ello que resulta conveniente
evaluar tanto el punto donde se cortan como el ángulo bajo el
cual lo hacen, que se definirá enseguida, utilizando para ello el
vector director de la recta y el vector normal al plano dado.
Para ello, considérese la siguiente definición:
DEFINICIÓN. El ángulo que forman una recta " " y un plano " "
es el ángulo formado por la recta y su proyección ortogonal
sobre el plano.
Al respecto, se tiene la siguiente gráfica:

40
Este ángulo es el complemento del ángulo agudo que forman
el vector u director de la recta con el vector N normal del
plano. Por la trigonometría se tiene que:
0
90 cossen      
Por lo que el ángulo requerido se obtiene a partir de:
N u
angsen
N u



Ejemplo. Determinar el ángulo que forman el plano
: 2 3 1 0x y z     y la recta dada por:
3 3 0
:
2 1 0
x y z
x y z
   

   
N  u



41
Ejemplo. Determinar el ángulo formado por el plano : 1x  y
la recta de ecuaciones:
2
:
3 3 0
y
x z


 
Hacer una gráfica aproximada señalando el ángulo requerido.
Solución. El plano 1x  es paralelo al plano coordenado Y Z y la
recta está definida por la intersección de dos planos
expresados en su forma general cartesiana, de los cuales es
necesario definir sus vectores normales, cuyo producto
vectorial es un vector paralelo a la recta, esto es, un vector
director de la misma. Entonces, un vector normal al plano dado
está dado por  1, 0, 0N  y un vector paralelo a la recta dada
se calcula de la siguiente forma:
 
 
0,1, 0
0 1 0 3 3
3, 0, 3
3 0 3
i j kv
u v w i k
w
  
 
      
 

   1, 0, 0 3, 0, 3
1 12
N u
angsen angsen
N u
 
  
  
03 1
30
212
angsen angsen  
  
      
 
En la gráfica es fácil observar la intersección de la recta dada
con el plano que es paralelo al plano coordenado Y Z.

42
Ejemplo. Determinar si el plano y la recta cuyas ecuaciones son
las siguientes se cortan, el plano contiene a la recta o son
perpendiculares. De cortarse, determinar el punto en el que lo
hacen y el ángulo que forman.
5 2
: 4 2 8 0 ; : 4 3
6 4
x t
x y z y t
z t

 

     
  
z
y
x
2
:
3 3 0
y
x z


 
: 1x 
0
30

43
RELACIONES ENTRE PLANO Y PLANO
Dos planos son paralelos o se cortan. Se habla de coincidentes
si son dos planos paralelos y un punto de uno de ellos satisface
la ecuación del otro, pero en realidad se trata del mismo plano.
Ángulo entre dos planos
Sean dos planos y  . El ángulo entre los planos es el
mismo que el que forman sus respectivos vectores normales.




N
N

44
De acuerdo con la geometría, existe un teorema que establece
el ángulo entre dos vectores mediante la expresión siguiente:
cos
N N
ang
N N
 
 



Esta fórmula conduce a establecer las siguientes condiciones
entre planos:
Condiciones de perpendicularidad, paralelismo
y coincidencia entre planos
TEOREMA. Sean los planos y  y sean sus vectores
normales N N  respectivamente. Entonces se cumple que:
) 0
0
) ; ó 0
0
; ó 0
) son coincidentes
Y un punto de también pertenece a
i N N
ii N N N N s
N N N N
iii y
 
   
   
 

  



 
 
   

   

 
   
 


N
N





45
Perpendicularidad: 0N N      
Paralelismo:
0
; ó 0N N N N s   

  


   



N
N
0
90 


N
N

46
Ejemplo. Obtener la ecuación en forma cartesiana del plano 
que es paralelo al plano : 2 3 7 9 0x y z     y que contiene
al punto de intersección de las rectas dadas por:
1 2
2 5 14 2
: 3 3 : 1 4
4 2 8
x x
y y y
z z
 
 
 
    
 
    
      

47
Ahora se verá cómo determinar las ecuaciones de la recta de
intersección entre dos planos dados, en sus diferentes
manifestaciones.
Recta intersección entre planos
Dos planos que no son paralelos o coincidentes (mismo plano)
es evidente que se cortan en una recta.
Ejemplo. Dadas las siguientes ecuaciones de dos planos,
obtener las ecuaciones de la recta de su intersección en
forma general, simétrica, vectorial y paramétrica:
1 2: 2 0 : 2 3 3 0x y z y x y z        
1
2
 recta de intersección

48
Distancia entre dos planos paralelos
Dos planos se cortan o son paralelos (o son coincidentes como
algunos expresan). Si son paralelos la distancia entre ellos es
siempre la misma ya que se mide sobre la perpendicular
común. Para calcularla se toma un punto de uno de los planos
y se utiliza la expresión para la distancia de un punto a un
plano, esto es,
 r p N
d
N
 

donde  vectorP p pertenece al plano,  vectorR r es del cual
se desea calcular su distancia al plano y N es normal al plano.

49
Ejemplo. Calcular la distancia entre los planos:
1 2
1 2 3
: 2 ; , : 6 12 2 8 0
2 3
x
y y x y z
z
 
     

  

         
  

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