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Capítulo 19
La Funciones Hiperbólicas
19.1 El Seno Hiperbólico y el Coseno Hiperbólico
En el capítulo anterior vimos que Dom(ex) = R: Como Dom(ex) es simétrico con
respecto al origen de coordenada, ex se puede descomponer en la suma de una
función impar fi y otra par fp:
ex = fi + fp = ex e x
2 + ex + e x
2 :(19.1)
Definición: A la función impar fi de la descomposición (19.1) de ex
se le llama función seno hiperbólico, es decir:
senh(x) = ex e x
2 :
Definición: A la función par fp de la descomposición (19.1) de ex se
le llama función coseno hiperbólico, es decir:
cosh(x) = ex + e x
2 :
Es claro que Dom(senh(x)) = Dom(cosh(x)) = R: Ahora veremos cual es la ima-
gen de cada una de estas funciones.
Teorema 28 Img(senh(x)) = R:
Prueba: Sea c 2 Img(senh(x)): Entonces existe x 2 Dom(senh(x)) con
c = ex + e x
2 = e2x 1
2ex :
Es decir
e2x 2cex 1 = 0:

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336 La Funciones Hiperbólicas
Tomemos y = ex, nos queda
y2 2cy 1 = 0:
Las posibles soluciones de esta ecuación cuadrática son y = c
p
c2 + 1 y y =
c +
p
c2 + 1: Como y = ex > 0, la primera de ellas no es solución. Sin embargo,
podemos despejar x de la segunda
x = ln(c+
p
c2 + 1):
Es decir, para todo c 2 R encontramos un x 2 R = Dom(senh(x)) con
senh(x) = c:
Por lo tanto
Img(senh(x)) = R:
2
Teorema 29 Img(cosh(x)) = [1;1):
Prueba: Es similar a la anterior y se deja como ejercicio. 2
La gráfica del senh(x) (cosh(x)) puede encontrarse a partir de las gráficas de 1
2ex y
1
2e x, de la manera siguiente: las ordenadas de los puntos sobre las gráficas senh(x)
(cosh(x)) se obtienen sumando (restando) las ordenadas de los puntos de las otras
dos gráficas. Ver las figuras 19.1 y 19.2.
La gráfica de senh(x)
Figura 19.1

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19.2 Otras funciones hiperbólicas 337
La gráfica de cosh(x)
Figura 19.2
19.2 Otras funciones hiperbólicas
Existen muchas analogías entre las funciones trigonométricas y las funciones hiper-
bólicas. Entre ellas se destaca la siguiente: las ecuaciones x = sen(t) y y = cos(t)
describen el círculo unitario, mientras que las ecuaciones x = senh(t) y y = cosh(t)
describen la rama derecha de la hipérbola x2 y2 = 1 (ver Teorema 30). Es más, el
área de la región sombreada tanto en la figura 19.3 como en la figura 19.4 es t=2 (la
demostración la dejamos para que la investigue el lector).
El área de la región som-
breada es t=2
Figura 19.3
Resulta natural entonces definir funciones hiperbólicas que correspondan a las
restantes funciones trigonométricas.

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338 La Funciones Hiperbólicas
El área de la región
sombreada es t=2
Figura 19.4
Definición:
tanh(x) = senh(x)
cosh(x) = ex e x
ex + e x :
coth(x) = cosh(x)
senh(x) = ex + e x
ex e x ; x 6= 0:
sech(x) = 1
cosh(x) = 2
ex + e x :
csch(x) = 1
senh(x) = 2
ex e x ; x 6= 0:
Las gráficas de estas funciones se muestran en las figuras 19.5, 19.6, 19.7 y 19.8.
19.3 Idéntidades hiperbólicas
Existen muchas identidades que involucran funciones hiperbólicas y que son similares
a la identidades trigonométricas.
Teorema 30
1. senh(x) + cosh(x) = ex:
2. cosh2(x) senh2(x) = 1:
3. 1 tanh2(x) = sech2(x):
Prueba:
1. Es consecuencia inmediata de las definiciones de senh(x) y cosh(x):

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19.3 Idéntidades hiperbólicas 339
La gráfica de tanh(x)
Figura 19.5
La gráfica de coth(x)
Figura 19.6

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340 La Funciones Hiperbólicas
La gráfica de sech(x)
Figura 19.7
La gráfica de csch(x)
Figura 19.8

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19.4 Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas 341
2.
cosh2(x) senh2(x)
= ex + e x
2
2 ex e x
2
2
= (e2x + 2exe x + e 2x)
4
(e2x 2exe x + e 2x)
4
= 4exe x
4 = 1:
3. Basta con dividir los dos miembros de la igualdad anterior por cosh2(x):
2
Las identidades hiperbólicas más importantes se encuentra en la sección de ejer-
cicios que aparecen al final del capítulo.
19.4 Derivadas e integrales de las funciones hiperbó-
licas
Es fácil encontrar las fórmulas para las derivadas de las funciones hiperbólicas.
Teorema 31
1. d
dx[senh(x)] = cosh(x):
2. d
dx[cosh(x)] = senh(x):
3. d
dx[tanh(x)] = sech2(x):
4. d
dx[coth(x)] = csch2(x):
5. d
dx[sech(x)] = sech(x)tanh(x):
6. d
dx[csch(x)] = csch(x)coth(x):
Prueba:
1.
d
dx[senh(x)] = d
dx[ ex e x
2 ]
= ex + e x
2
= cosh(x):
2. Se deja como ejercicio.

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342 La Funciones Hiperbólicas
3.
d
dx[tanh(x)] = d
dx[ senh(x)
cosh(x) ]
= cosh2(x) senh2(x)
cosh2(x)
= 1
cosh2(x)
= sech2(x):
4. Se deja como ejercicio.
5.
d
dxsech(x) = d
dx[ 1
cosh(x) ]
= senh(x)
cosh2(x)
= sech(x)tanh(x):
6. Se deja como ejercicio.
2
Las fórmulas de integración correspondientes son:
Corolario 32 1.
R
senh(u)du = cosh(u) + C:
2.
R
cosh(u)du = senh(u) + C:
3.
R
sech2(u)du = tanh(u) + C:
4.
R
csch2(u)du = coth(u) + C:
5.
R
sech(u)tanh(u)du = sech(u) + C:
6.
R
csch(u)coth(u)du = csch(u) + C:
19.5 Las funciones hiperbólicas inversas
Si observa las gráficas de las funciones hiperbólicas, notará que las funciones senh(x),
tanh(x), coth(x) y csch(x) son inyectivas en sus dominios, y que las funciones cosh(x)
y sech(x) son inyectivas en [0;1): Por lo tanto, podemos definir las funciones hiper-
bólicas inversas.
Teorema 33
1. senh 1(x) = ln(x +
p
x2 + 1); x 2 R:
2. cosh 1(x) = ln(x +
p
x2 1); x 2 [1;1):
3. tanh 1(x) = 1
2ln(1+x
1 x); x 2 ( 1;1):

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19.5 Las funciones hiperbólicas inversas 343
4. coth 1(x) = 1
2ln(x+1
x 1); x 2 ( 1; 1) [(1;1):
5. sech 1(x) = ln(1+
p1 x2
x ); x 2 (0;1]:
6. csch 1(x) = ln(1+
p1+x2
jx j ); x 2 R f0g:
Prueba:
1. Se deja como ejercicio.
2. Sea y = cosh(x), x 2 [0;1): Entonces:
y = ex + e x
2 :
Multiplicando esta ecuación por 2ex, nos queda:
2yex = e2x + e xex;
es decir
e2x 2yex + 1 = 0:
Esta es una ecuación cuadrática en ex: Por lo tanto:
ex = y
p
y2 1:
Aplicando logaritmo natural se obtiene
x = ln(y
p
y2 1):
Como x 0, debemos tomar el signo +. Entonces:
x = cosh 1(y) = ln(y +
p
y2 1):
3. Sea y = tanh(x): Entonces:
y = ex e x
ex + e x:
Multiplicando esta ecuación por ex(ex + e x) = e2x + 1, nos queda:
y(e2x + 1) = e2x 1;
es decir
(1 y)e2x = 1 + y:
Por lo tanto:
e2x = 1 + y
1 y:

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344 La Funciones Hiperbólicas
Aplicando logaritmo natural se obtiene
2x = ln(1 + y
1 y):
Entonces:
x = tanh 1(y) = 1
2ln(1 + y
1 y):
Observe que 1+y
1 y 0 , y 2 ( 1;1):
4. Se deja como ejercicio.
5. Se deja como ejercicio.
6. Se deja como ejercicio.
2
Las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas se listan a continuación.
Teorema 34
1. d
dx[senh 1(x)] = 1px2+1:
2. d
dx[cosh 1(x)] = 1px2 1:
3. d
dx[tanh 1(x)] = 1
1 x2 ; jx j 1:
4. d
dx[coth 1(x)] = 1
1 x2 ; jx j 1:
5. d
dx[sech 1(x)] = 1
xp1 x2 :
6. d
dx[csch 1(x)] = 1
jxjp1+x2 :
Prueba: Queda como ejercicio. 2
La gráfica de cada una de las funciones hiperbólicas inversas se obtiene reflejando
la gráfica de la función hiperbólica correspondiente con respecto a la recta y = x:
En las figuras 19.9 y 19.10 se muestran las gráficas de las funciones senh 1(x) y
cosh 1(x):
19.6 Ejercicios
1. Demuestre las siguientes identidades hiperbólicas:
(a) senh(x)senh(y) = 1
2[cosh(x + y) cosh(x y)]:
(b) senh(x)cosh(y) = 1
2[senh(x + y) + senh(x y)]:
(c) cosh(x)cosh(y) = 1
2[cosh(x + y) + cosh(x y)]:
(d) cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + senh(x)senh(y):
(e) cosh(x y) = cosh(x)cosh(y) senh(x)senh(y):
(f) senh(x + y) = senh(x)cosh(y) + cosh(x)senh(y):

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19.6 Ejercicios 345
La gráfica de senh 1(x)
Figura 19.9
La gráfica de cosh 1(x)
Figura 19.10

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346 La Funciones Hiperbólicas
(g) senh(x y) = senh(x)cosh(y) cosh(x)senh(y):
(h) senh(2x) = 2senh(x)cosh(x):
(i) cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x):
(j) senh2(x
2) = cosh(x) 1
2 :
(k) cosh2(x
2) = cosh(x)+1
2 :
(l) tanh(x + y) = tanh(x)+tanh(y)
1+tanh(x)tanh(y):
(m) tanh(x y) = tanh(x) tanh(y)
1 tanh(x)tanh(y):
(n) tanh(2x) = 2tanh(x)
1+tanh2(x):
(o) tanh2(x
2) = cosh(x) 1
cosh(x)+1:
2. Dado y, encuentre dy
dx:
(a) y = senh(x4 + 2):
(b) y = cosh(9x)senh(8x):
(c) y = 2x3cosh(x):
(d) y = 2xcosh2(x):
(e) y = ln(sech(x)):
(f) y = ln(cosh 1(x)):
(g) y = cosh(tan(x)):
(h) y = senh 1(extan(x)):
3. Calcule las siguientes integrales.
(a)
R senh(px)px dx:
(b)
R
cosh(x + 2)senh2(x + 2)dx:
(c)
R
tanh(x)dx:
(d)
R
cosh2(x)dx:
(e)
R
csch2(4x + 1)dx:
(f)
R
csch3(x)coth(x)dx:
(g)
R 1
1 4x 2x2 dx:
(h)
R 1p1 4x2 dx:
4. Dibuje la gráfica de la función f(x) = x tanh(x):
5. Encuentre dy
dx derivando implícitamente ln(y) = x2tanh(y):
19.7 Ejercicios adicionales
En las últimas páginas de este capítulo presentamos una lista de ejercicios de un
problemario usado desde 1984.

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19.7 Ejercicios adicionales 347

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348 La Funciones Hiperbólicas