HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

1. La posición de Platón,
frente a la Matemática.
Martha Cecilia Clavijo Riveros
Diana Yasmín Hernández B.

2. 1
¿ Quién era Platón?
Visión epistemológica
consecuente
4
Poliedros regulares
Tabla de contenido.
2
Obras
5
3
Conocer en Platón
4
1

3. 1- ¿ Quién era Platón?
Imagen tomada
de:rafael_laescueladeatenas_detalle_platon.jpg
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(Atenas, 427 - 347 a. C.) Filósofo griego.
Platón fue uno de los más grandes pensadores de la civilización
Platón se llamaba en realidad Aristocles.
Pertenecía a una familia noble.
Proclamado discípulo de Sócrates, aceptó su filosofía y su forma
dialéctica de debate

4. 2- Obras:
PERÍODO OBRAS
PERÍODO SOCRÁTICO
(399 – 389 a C.)
“Apología de Sócrates”. “Critón o el deber del
ciudadano”. “Laques” sobre el valor.
“Cármides”, sobre la templanza. “Lisis”, sobre
la amistad. “Eutrifón”, sobre la piedad. “Ion”,
sobre la poesía como don divino.
“Protágoras”, sobre la posibilidad de enseñar
la virtud
PERÍODO DE TRANSICIÓN
(388 – 385 a C.)
“Gorgias”, sobre la retórica y la justicia.
“Menón”, enseñanza de la virtud y la
inmortalidad. “Cratilo”, significado de las
palabras. “Hipias mayor”, la Belleza. “Hipias
minor”, la verdad y la mentira. “Eutidemo”,
sobre la erística sofista. “Menexeno”, parodia
de oraciones fúnebres.

5. PERÍODO DE
MADUREZ
(385 – 369 a C.)
“El Banquete”, sobre el
amor. “El Fedón”,
sobre la inmortalidad
del alma. “La
República”, sobre la
constitución del
estado justo. “El
Fedro”, alma, amor y
Belleza.
PERÍODO
CRÍTICO
(369 – 361 a C.)
“Parménides”, crítica a la Teoría
de las Ideas. “Teetetos”,
búsqueda del conocimiento.
Y la trilogía de la que no
escribiría el último libro, y
donde el protagonista es el
extranjero de Elea: “El
sofista”, “El político” y ¿”El
filósofo”?.
ÚLTIMO
PERÍODO
(361 – 347 a C.)
“El Filebo”, sobre el
constituciones,el placer y el
bien. “El Timeo”, sobre
cosmología. “El Critias”, sobre
la historia de Atenas. ”Las
Leyes”, tres ancianos de Atenas,
Esparta y Creta hablan sobre
sus constituciones.

6. La academia La República
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(personajeshistoricos.com)

7. Formas generales de conocimiento.

8. 3- CONOCER EN PLATÓN
Haciendo referencia a la filosofía griega clásica con Sócrates, Platón, Aristóteles quienes
consideran que el conocimiento pueda darse. El conocimiento es y puede ser adquirido; el
conocimiento en sí es, pero queda fuera de nosotros.
Una vez aceptado que el conocimiento se pueda dar, la pregunta siguiente es sobre el
“cómo”, y aquí las soluciones son diversas, interesantísimas para nuestros estudios
específicos en didáctica de la matemática. Desde aquí tenemos el innatismo, por ejemplo
el anamnesis de Platón, para citar el caso típico. Entre los aprioristas, debemos distinguir
entre quienes consideran como criterio de conocimiento la intuición o la evidencia; aquí
podemos encontrar Platón y su noesis, que precede la del conocimiento lógico racional.
(D’Amore, Fandiño-Pinilla y Iori, 2013, pp. 86–87)
Anamnesis “el saber como un recordar”
(D'Amore,2018)

9. CONOCER EN PLATÓN
La importancia del gran filósofo ateniense, está en el enfoque que determinó en el desarrollo y
exposición de las matemáticas y el estudio de sus objetos. El énfasis en las cantidades
inconmensurables, la referencia a los "números en sí mismos, desvinculados de las cosas
sensibles y tangibles" preludian la clarificación del concepto de número entendido no sólo
como cardinalidad de una colección de objetos, sino como clase de clases; en definitiva,
Platón profundiza en el análisis del concepto matemático ya iniciado en la época de Pitágoras
y efectivamente puesto en discusión con el pensamiento eleático.
El proceso de abstracción del mundo sensible al universo matemático debe más a Platón de lo
que comúnmente se admite; sólo en esta perspectiva histórica es posible entender cómo se
puede llegar, poco después, a la sorprendente obra de Euclides.
(D'Amore y Sbaragli, 2017)

10. CONOCER EN PLATÓN
Según Platón, las ideas viven en el mundo hiperuránico. Este mundo
incluye las almas de los seres humanos que, en el momento del nacimiento,
emigran al cuerpo del niño no nacido y aumentan, con la vida, su
conocimiento, para volver, al final del paréntesis vital, al hiperuranio. El
alma, al momento de vivir en un cuerpo, olvida su origen, pero quedan
rastros de su existencia perfecta; de ahí Platón deriva el lema "conocer
es recordar": el ser humano no aprende, pero su alma recuerda de su
existencia anterior, perfecta como una idea.
De esta convicción, Platón escribe en los diálogos y hace que Sócrates
realice "experimentos" demostrativos en este sentido, uno de los cuales
hemos visto: el esclavo de Menón "recuerda" propiedades geométricas que
le parecen excluidas sólo por instigación adecuada de Sócrates.
(D'Amore y Sbaragli, 2017)

11. 4- Visión epistemológica consecuente
Teorías Realistas
Concepción platónica de los objetos matemáticos
(D’Amore, 2001)

12. Supuestos ontológicos de la semántica realista a las Matemáticas:
visión platónica de los objetos matemáticos
Aquí objetos, nociones, estructuras entre otras, tienen una existencia real que no
depende del ser humano, en la medida en que pertenecen a un dominio ideal;
“conocer” desde un punto de vista matemático significa descubrir entes y sus
relaciones en tal dominio.
Implica un absolutismo del conocimiento matemático en cuanto sistema de
verdades seguras, eternas, no modificables por la experiencia humana, dado que
la preceden o, al menos, le son extrañas e independientes.
Posiciones de este tipo, aunque con diferentes matices, fueron sostenidas por
Frege, Rusell, Cantor, Bernays, Gödel, …; y hallaron violentas críticas [el
convencionalismo de Wittgentsein y el casi empíricismo de Lakatos: véanse Ernest
(1991) y Speranza (1997)].
(D’Amore, 2001)

13. Algunos objetos matemáticos, en la obra de Platón.
Platón se ocupó directa y personalmente de las matemáticas. Se le
atribuye, por ejemplo, una fórmula para hallar los triples pitagóricos.
Otro resultado que probablemente se remonta
a Platón es la resolución del problema
de la duplicación del cubo.
También fue Platón quien observó que sólo hay cinco poliedros regulares,
hoy llamados "platónicos", en los que todas las caras son polígonos regulares
congruentes entre sí y todos los ángulos son congruentes.
(D'Amore y Sbaragli, 2017)
Imagen tomada de:
triple+pitagoras.png (372×196)
(bp.blogspot.com)
Imagen tomada de: 01 Würfelverdoppelung-
Platon-Animation - Duplicación del cubo -
Wikipedia, la enciclopedia libre
Imagen tomada de D'Amore,
B., y Sbaragli, S. (2017). Las
matemáticas y su historia. Vol.
I. Página 192

14. 5. Poliedros regulares
La divina proporción (De divina proportione) de Luca Pacioli. Dibujos atribuidos a Leonardo da Vinci (Imagen tomada de D'Amore y Sbaragli, 2017)
Nuestro estudio del mundo y nuestra aspiración de asemejarnos lo máximo posible a la divinidad están
determinados por la matemática. De ahí que Platón acuda al lenguaje y a las imágenes geométricas –como los
poliedros– para ofrecer una explicación de cómo el mundo físico llegó a ser lo que es y cómo ese orden se
mantiene.

15. Poliedros regulares
En su diálogo Timeo, escrito hacia el año 360, Platón asocia el tetraedro, el octaedro, el cubo y el
icosaedro, respectivamente, con los que entonces se consideraban los cuatro elementos
fundamentales: fuego, aire, tierra y agua. En cambio, el dodecaedro se asoció a la imagen de todo
el cosmos, realizando la llamada quintaesencia. Escribe:
"A la tierra le damos la forma cúbica: pues, de los cuatro elementos, es el más inmóvil y el
más maleable. De las formas restantes, al agua le daremos la más difícil de mover, al fuego la
más móvil, y al aire la intermedia. Así, al fuego le asignaremos el menor volumen, al agua el
mayor y al aire el medio. Y al fuego la superficie más angulosa, al agua la menor, y al aire la
intermedia" (Timeo, 55-56).
Ciertamente, Platón no es el primero en meditar sobre los elementos fundamentales de la naturaleza,
pero la novedad que aporta es la siguiente: las figuras de la geometría y del número son el origen
de las cosas, de los cielos y del tiempo; el principio armónico que está en la base de la teoría de
los cuatro cuerpos es, pues, la proporción y el principio geométrico generador es el triángulo.
(D'Amore y Sbaragli, 2017)

16. Los astrónomos que le precedieron se contentaron con anotar las posiciones de los planetas, mientras que
Kepler aspiraba a una teoría general que explicara y no sólo revelara los datos de las observaciones. Su
respuesta a la pregunta de por qué los planetas eran 6 (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus, Mercurio)
es sencilla: 5 son los poliedros regulares, por lo que tomados como límites tridimensionales concéntricos, dan
lugar a 6 espacios, contando también el límite esférico extremo que corresponde al cielo de las estrellas fijas.
Así, su modelo también resuelve el problema de las dimensiones de las órbitas.
En su primera obra Mysterium cosmographicum, Kepler afirma que Dios, al crear el Universo, tuvo en
cuenta los cinco poliedros regulares. Fijó, de acuerdo con las dimensiones de estos poliedros, el número de
los cielos, sus proporciones y las relaciones entre sus movimientos.
(D'Amore y Sbaragli, 2017)
Imagen tomada de: http://www.juntadeandalucia.es
La regularidad racional y la fría belleza de los
sólidos platónicos, como ya hemos visto, no dejaron
indiferente ni siquiera al gran astrónomo y
matemático Johan Kepler (1571-1630) que, además
de concebir y estudiar los llamados sólidos
estelares, propuso un intento de atribuir las
regularidades del sistema planetario a las
propiedades de los sólidos platónicos.

17. Pero, ¿por qué sólo hay 5 poliedros regulares o sólidos platónicos?
Existen únicamente cinco polígonos regulares; ello debido a la posibilidad de construcción de sus ángulos
sólidos que admiten triángulos equiláteros cuyos ángulos interiores miden 60°; hay entonces tres caso; o
cuadrados, sólo hay un caso, el de 3 caras; o bien pentágonos, cuyos ángulos internos miden 108°; sólo
hay un caso, el de 3 caras (3 ×108°<360°), porque si cuatro caras confluyeran en un mismo vértice la
suma de estos ángulos superaría los 360°; más allá de los pentágonos regulares, no se puede ir; por
ejemplo, no se pueden admitir los hexágonos regulares cuyos ángulos internos miden 120°; de hecho,
ya 3 ×120° alcanzan ese límite de 360°, que hay que excluir;
tampoco podemos proceder porque los ángulos internos de los polígonos regulares de más de 6 lados
son mayores de 120° y por tanto no es posible pensar en 3 o más caras que compitan en un vértice.
(D'Amore y Sbaragli, 2017)
Regularidad:
 Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
 En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
 Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
 Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
 Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.

18. Referencias
D’Amore, A. (2018). Puntualizaciones y reflexiones sobre
algunos conceptos específicos y centrales en la teoría
semiótico cultural de la objetivación. PNA, 12(2), 97-127.
D’Amore B. (2001). Una contribución al debate sobre
conceptos y objetos matemáticos. Uno. [Barcelona,
España]. 27, 51-76.
D'Amore, B., y Sbaragli, S. (2017). Las matemáticas y su
historia. Vol. I. Desde los orígenes hasta el milagro
griego. Prefacio de Umberto Bottazzini. Bari: Dédalo.
Páginas: 180-194.
Imagen tomada de:
https://atlantisforschung.de/images/Platon_10.jpg

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