Daipos

1. APLICACIÓN DEL PROBLEMA DE MOCHILA
PARA LA COMPRA SEMANAL DE LA TIENDA
“LOS PANAS” RESUELTO CON PROGRAMACIÓN
DINÁMICA
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
• MENDOZA CHINCHAY
BORIS ALFONSO
• TALLEDO ZAPATA FABIAN
ALONSO
• VILAS TELLO EBER
FAURICIO
INTEGRANTES:

2. INTRODUCCIÓN
La investigación se enfoca en analizar y aplicar
el problema de la mochila en la tienda "Los
Panas" utilizando técnicas de programación
dinámica para maximizar la eficiencia en la
compra semanal. Se seleccionarán productos y
se encontrará la solución óptima utilizando
programación dinámica en función de la
capacidad de la mochila y el peso y valor de los
productos.

3. CAPÍTULO I
ASPECTOS DE LA
PROBLEMÁTICA

4. DESCRIPCION DE LA PROBLEMATICA
La tienda "Los Panas" tiene una gran variedad de productos a la venta, pero el presupuesto disponible para la
compra semanal es limitado, lo que hace que sea necesario seleccionar cuidadosamente los productos a adquirir.
Además, la capacidad de almacenamiento en casa también es limitada, por lo que es importante elegir los
productos de manera eficiente para aprovechar al máximo el espacio disponible.
El problema de selección de productos se puede abordar mediante la aplicación del problema de la mochila, que es
un problema clásico de optimización que se utiliza para seleccionar los objetos más valiosos dentro de un conjunto
dado de objetos, sujeto a una restricción de capacidad. En este caso, la restricción sería el presupuesto y la
capacidad de almacenamiento. La programación dinámica es una técnica de optimización que se utiliza para
resolver problemas de programación de decisiones a través de la descomposición del problema en subproblemas
más pequeños, y es aplicable para resolver este problema.
La idea de esta investigación es identificar cuales son los productos que se deben elegir para la compra semanal en
la tienda "Los Panas", utilizando el problema de la mochila y la programación dinámica, maximizando el valor de la
compra dentro del presupuesto y la capacidad de almacenamiento limitado.

5. JUSTIFICACION E IMPORTANCIA
El hecho de que la selección de los productos a adquirir en una tienda es un problema común que
afecta tanto a los compradores particulares como a las empresas. El hecho de poder elegir los
productos de manera eficiente y óptima, maximizando el valor de la compra dentro del
presupuesto y la capacidad de almacenamiento limitado, tiene un gran impacto en la economía de
los compradores y en la eficiencia de las empresas.
Además, el problema de la mochila es un problema clásico de optimización que tiene aplicaciones
en diferentes ámbitos, como la logística, la producción y la planificación de proyectos. Por lo tanto,
el estudio de este problema es relevante tanto desde el punto de vista teórico como práctico.
La aplicación de la programación dinámica para resolver este problema, permite encontrar una
solución óptima para el problema de la mochila, lo que puede tener un gran impacto en la toma de
decisiones de los compradores y en la eficiencia de las empresas.

6. Objetivo general:
Implementar una solución para seleccionar los
productos a adquirir en la tienda "Los Panas",
utilizando la técnica de programación dinámica y el
problema de la mochila, maximizando el valor de
la compra dentro del presupuesto y la capacidad
de almacenamiento limitado.
OBJETIVOS

7. OBJETIVOS
Objetivos específicos:
● Identificar los productos disponibles en la tienda "Los
Panas" y sus características (peso, valor).
● Aplicar el problema de la mochila mediante la
programación dinámica para seleccionar los productos
óptimos a adquirir.
● Validar la metodología mediante comparación con la
selección de productos realizada por los compradores.

8. DELIMITACION
La investigación se llevará a
cabo en la tienda "Los
Panas" ubicada en el distrito
de Castilla, Piura, Perú.
D. ESPACIAL D. TEMPORAL
La investigación se
llevará a cabo en el año
2023
D. ECONOMICA
La investigación se llevará a
cabo con un presupuesto
limitado, alineado a las
condiciones económicas de
los estudiantes que la están
desarrollando y los
integrantes solventaron
todos los gastos.

9. CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO

10. BASES TEÓRICAS
2.1

11. PROGRAMACIÓN DINÁMICA (PD)
La idea principal de la programación dinámica
(PD) es descomponer el problema en
subproblemas (más manejables). Los cálculos se
realizan entonces recursivamente donde la
solución óptima de un subproblema se utiliza
como dato de entrada al siguiente problema. La
solución para todo el problema está disponible
cuando se soluciona el último subproblema.

12. El modelo de la mochila tiene que ver clásicamente
con el hecho de determinar los artículos más valiosos
que un combatiente carga en una mochila. El
problema representa un modelo de asignación de
recursos general en el cual se utilizan recursos
limitados por varias actividades económicas. El
objetivo es maximizar el rendimiento total.
Modelo de la mochila/equipo de
vuelo/carga de contenedor

13. Maximizar 𝑧 = 𝑟1𝑚1 + 𝑟2𝑚1 + ⋯ + 𝑟𝑛𝑚𝑛
Sujeto a
𝑤1𝑚1 + 𝑤2𝑚2 + ⋯ + 𝑤𝑛𝑚𝑛 ≤ 𝑊
𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
La ecuación recursiva (hacia atrás) se desarrolla para el problema
general de asignar n artículos a una mochila con capacidad de
peso W. Sea 𝑚𝑖 la cantidad de unidades del artículo i en la
mochila, y defina 𝑟𝑖 y 𝑤𝑖 como el ingreso unitario y el peso del
artículo i. El problema general se representa como:

14. Los tres elementos del modelo son:
1. La etapa 𝑖 está representada por el artículo 𝑖, 𝑖 = 1,2,3, … 𝑛.
2. Las alternativas en la etapa 𝑖 son la cantidad de unidades del
articulo 𝑖, 𝑚1 = 0,1, … ,
𝑊
𝑤𝑖
, donde
𝑊
𝑤𝑖
es el mayor entero que es
menor o igual a
𝑊
𝑤𝑖
. Esta definición permite que la solución
distribuya algunos, ninguno, o todos los recursos 𝑊 a cualquiera de
los 𝑚 artículos. El rendimiento para 𝑚𝑖 es 𝑟𝑖𝑚𝑖.
3. El estado en la etapa 𝑖 está representado por 𝑥𝑖 , el peso total
asignado a las etapas (artículos) 𝑖, 𝑖 + 1, … , 𝑦 𝑛. Esta definición
reconoce que el límite de peso es la única restricción que liga a
todas las 𝑛 etapas.

15. Defina
𝑓𝑖 𝑥𝑖 = rendimiento máximo para las etapas
𝑖, 𝑖 + 1, 𝑦 𝑛, dado el estado 𝑥𝑖.
La manera más conveniente de construir la
ecuación recursiva es un procedimiento de
dos pasos:

16. 1. Exprese 𝑓𝑖 𝑥𝑖 como una función de
𝑓𝑖 𝑥𝑖+1 como sigue:

17. Exprese 𝑥𝑖+1 como una función de 𝑥𝑖 para asegurar la
consistencia con el lado izquierdo de la ecuación
recursiva. Por definición, 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1 = 𝑤𝑖𝑚𝑖 representa
el peso utilizado en la etapa 𝑖. Por lo tanto, 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑤𝑖𝑚1, y la ecuación recursiva apropiada se da como:

18. GLOSARIO DE TÉRMINOS
BÁSICOS
2.2

19. Es la medida de la masa de un objeto. Esta medida
es esencial en el problema de la mochila ya que es
una de las restricciones que se deben cumplir al
seleccionar los objetos a llevar en la mochila. El
peso de los objetos se utiliza para determinar
cuánto se puede cargar en la mochila sin
sobrepasar la capacidad.
PESO

20. Es la medida del precio de un objeto. El
valor de los objetos es otra medida
importante en el problema de la mochila ya
que se busca maximizar el valor total de los
objetos seleccionados dentro de las
restricciones de peso.
VALOR

21. Es la medida del límite de peso que se puede llevar
en una mochila. La capacidad de la mochila es una
restricción esencial en el problema de la mochila,
ya que no se pueden seleccionar objetos cuya
suma de pesos sobrepase la capacidad de la
mochila. La capacidad se utiliza para determinar el
límite máximo de peso que se puede cargar en la
mochila.
CAPACIDAD

22. La solución óptima se busca al resolver el
problema de la mochila y se determina mediante
la maximización del valor total de los objetos
seleccionados dentro de las restricciones de peso.
La solución óptima es la que cumple con las
restricciones y maximiza el valor.
SOLUCIÓN ÓPTIMA

23. Es una tabla utilizada para almacenar los
resultados intermedios de la programación
dinámica. La tabla se utiliza para almacenar los
resultados parciales de la programación dinámica,
que luego se utilizan para resolver el problema
completo.
TABLA DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA

24. Es una matriz utilizada para almacenar la decisión
de incluir o excluir un objeto de la solución óptima.
La matriz de decisión se utiliza para tomar
decisiones sobre los objetos a seleccionar para
llevar en la mochila. La matriz se utiliza para
registrar las decisiones tomadas y permitir un
seguimiento y análisis de las mismas.
MATRIZ DE DECISIÓN

25. CAPÍTULO III
RESULTADOS Y
DISCUSIÓN

26. RESULTADOS
Aceite 23 60
Arroz 92 168.5
Azúcar 92 177
Papas 69 51.75
Leche 46 73.2
Cebollas 69 16.7
𝐴𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑖 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑤𝑖 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑣𝑖
La investigación busca maximizar
el rendimiento total de la tienda
"Los Panas" mediante la selección
óptima de productos para
transportar en una moto furgón
con capacidad de 414 kg.
El propietario de la tienda ha establecido
unos requisitos mínimos para algunos
productos específicos: como mínimo 1
unidad de Arroz, Papas, Leche y Cebollas
y como mínimo 2 unidades de Aceite.

27. Solución salida entrada
Ecuación recursiva
Etapa 𝑛
Alternativa (𝑋𝑛
Estado 𝑆𝑛
Etapa N
𝑓𝑁 𝑋𝑁 = 𝑀𝑎𝑥{𝑉𝑁𝑋𝑁 + 𝑓𝑁+1
∗
𝑆𝑁+1
𝑓𝑁+1
∗
𝑆𝑁+1 = 0
𝑓𝑁 𝑋𝑁 = 𝑀𝑎𝑥{𝑉𝑁𝑋𝑁}
Etapa n
𝑓𝑛 𝑋𝑛 = 𝑀𝑎𝑥{𝑉
𝑛𝑋𝑛 + 𝑓𝑛+1
∗
𝑆𝑛+1
𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 − 𝑤𝑛𝑋𝑛
𝑓𝑛 𝑋𝑛 = 𝑀𝑎𝑥{𝑉
𝑛𝑋𝑛 + 𝑓𝑛+1
∗
𝑆𝑛 − 𝑤𝑛𝑋𝑛

28. Resolución del problema
con programación dinámica
Etapa 6
1 2
16.7 33.4
69 16.7 0 16.7 1
92 16.7 0 16.7 1
115 16.7 0 16.7 1
138 16.7 33.4 33.4 2
161 16.7 33.4 33.4 2
𝑆
𝑋 =
𝑓∗
𝑆 𝑋∗
𝑟 𝑋 =
𝑓 𝑆 = 𝑀𝑎𝑥 𝑣 𝑋 + 𝑓 𝑆 − 𝑊 𝑋 𝑓 𝑆 = 0
𝐴𝑃𝐴
𝑓 𝑆 = 𝑀𝑎𝑥 𝑣 𝑋
𝑓 𝑆 = 𝑀𝑎𝑥 1 . 0 𝑋
1 ≤ 𝑥 ≤
1 − ∗ 1 − ∗ 1 − 2 ∗ 0 − 2 ∗ 1 − 23 ∗ 2
1 ≤ 𝑥 ≤ 2
∗ 1 ≤ 𝑠 ≤ 1 − ∗ 1 − ∗ 1 − 2 ∗ 0 − 2 ∗ 1 − 23 ∗ 2
≤ 𝑠 ≤ 1 1
En la primera etapa de la
resolución del problema, se
comienza con el artículo 6, que
en este caso es el de las
cebollas.
Es importante mencionar que el
peso de cada saco de cebollas
es de 69 kilos y el ingreso que
genera su compra es de 16.70
soles.

29. Resolución del problema
con programación dinámica
Etapa 5
Para la etapa 5, se considera el
artículo de leche. El peso de una
caja de leche es de 46 kilos y el
ingreso generado al comprar
una caja es de 73.20 soles.
1 2 3
73.2 146.4 219.6
115 89.9 0 0 89.9 1
138 89.9 0 0 89.9 1
161 89.9 163.1 0 163.1 2
184 106.6 163.1 0 163.1 2
207 106.6 163.1 236.3 236.3 3
𝑆
𝑋 =
𝑓∗
𝑆 𝑋∗
𝑣 𝑋 =
𝑓 𝑆 = 𝑀𝑎𝑥 𝑣 𝑋 + 𝑓 𝑆 − 𝑊 𝑋
𝑓 𝑆 = 𝑀𝑎𝑥 3.20 𝑋 + 𝑓 𝑆 − 𝑋
𝐴𝑃𝐴
1 ≤ 𝑥 ≤
1 − ∗ 1 − ∗ 1 − 2 ∗ 0 − 2 ∗ 1 − 23 ∗ 2
1 ≤ 𝑥 ≤ 3
∗ 1 + ∗ 1 ≤ 𝑠 ≤ 1 − ∗ 1 − 2 ∗ 0 − 2 ∗ 1 − 23 ∗ 2
11 ≤ 𝑠 ≤ 20

30. Resolución del problema
con programación dinámica
Etapa 4
Para la etapa 4, se evalúa la
opción de comprar una o más
unidades de papas. Cada saco
de papas pesa 69 kilos y genera
un ingreso de 51.75 soles
1 2
51.75 103.5
184 141.65 0 141.65 1
207 141.65 0 141.65 1
230 214.85 0 214.85 1
253 214.85 193.4 214.85 1
276 288.05 193.4 288.05 1
𝑆
𝑋 =
𝑓∗
𝑆 𝑋∗
𝑣 𝑋 =
𝑓 𝑆 = 𝑀𝑎𝑥 𝑣 𝑋 + 𝑓 𝑆 − 𝑊 𝑋
𝑓 𝑆 = 𝑀𝑎𝑥 1. 𝑋 + 𝑓 𝑆 − 𝑋
𝐴𝑃𝐴
1 ≤ 𝑥 ≤
1 − ∗ 1 − ∗ 1 − 2 ∗ 0 − 2 ∗ 1 − 23 ∗ 2
1 ≤ 𝑥 ≤ 2
∗ 1 + ∗ 1 + ∗ 1 ≤ 𝑠 ≤ 1 − 2 ∗ 0 − 2 ∗ 1 − 23 ∗ 2
1 ≤ 𝑠 ≤ 2

31. Resolución del problema
con programación dinámica
Etapa 3
Para la etapa 3, se considera la
compra de azúcar. El peso del
saco de azúcar es de 92 kilos y
su ingreso generado al venderlo
sería de 177 soles.
0 1
0 177
184 141.65 0 141.65 0
207 141.65 0 141.65 0
230 214.85 0 214.85 0
253 214.85 0 214.85 0
276 288.05 318.65 318.65 1
𝑆
𝑋 =
𝑓∗
𝑆 𝑋∗
𝑣 𝑋 =
𝑓 𝑆 = 𝑀𝑎𝑥 𝑣 𝑋 + 𝑓 𝑆 − 𝑊 𝑋
𝑓 𝑆 = 𝑀𝑎𝑥 1 𝑋 + 𝑓 𝑆 − 2𝑋
𝐴𝑃𝐴 3
0 ≤ 𝑥 ≤
1 − ∗ 1 − ∗ 1 − ∗ 1 − 2 ∗ 1 − 23 ∗ 2
2
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
∗ 1 + ∗ 1 + ∗ 1 + 2 ∗ 0 ≤ 𝑠 ≤ 1 − 2 ∗ 1 − 23 ∗ 2
1 ≤ 𝑠 ≤ 2

32. Resolución del problema
con programación dinámica
Etapa 2
En la etapa 2, se analiza la
opción de incluir el producto
arroz en la compra semanal de
la tienda "Los Panas". Se
considera un peso de 92 kilos
por saco y un ingreso generado
de 168.5 soles.
1 2
168.5 337
276 310.15 0 310.15 1
299 310.15 0 310.15 1
322 383.35 0 383.35 1
345 383.35 0 383.35 1
368 487.15 478.65 487.15 1
𝑆2
𝑋2 =
𝑓
2
∗
𝑆2 𝑋2
∗
𝑣2𝑋2 =
𝑓2 𝑆2 = 𝑀𝑎𝑥 𝑣2 𝑋2 + 𝑓2 𝑆2 − 𝑊2𝑋2
𝑓2 𝑆2 = 𝑀𝑎𝑥 1 . 𝑋2 + 𝑓2 𝑆2 − 2𝑋2
𝐴𝑃𝐴 2
1 ≤ 𝑥2 ≤
1 − ∗ 1 − ∗ 1 − ∗ 1 − 2 ∗ 0 − 23 ∗ 2
2
1 ≤ 𝑥2 ≤ 2
∗ 1 + ∗ 1 + ∗ 1 + 2 ∗ 0 + 2 ∗ 1 ≤ 𝑠2 ≤ 1 − 23 ∗ 2
2 ≤ 𝑠2 ≤ 3

33. Resolución del problema
con programación dinámica
Etapa 1
Finalmente, llegamos a la etapa 1, donde el artículo en
cuestión es el aceite con un peso de 23 kilos por unidad
y un ingreso de 60 soles.
2 3 4 5 6
120 180 240 300 360
414 607.15 563.35 623.35 610.15 670.15 670.15 6
𝑠1 = 1
𝑆1
𝑋1 =
𝑓
1
∗
𝑆1
𝑋1
∗
𝑣 𝑋 =
𝑓
1 𝑆1 = 𝑀𝑎𝑥 𝑣1 𝑋1 + 𝑓
1 𝑆1 − 𝑊
1𝑋1
𝑓
1 𝑆1 = 𝑀𝑎𝑥 0 𝑋1 + 𝑓
1 𝑆1 − 23𝑋1
𝐴𝑃𝐴 1
2 ≤ 𝑥1 ≤
1 − ∗ 1 − ∗ 1 − ∗ 1 − 2 ∗ 0 − 2 ∗ 1
23
2 ≤ 𝑥1 ≤

34. 𝑋1
∗
Solución optima
𝑋2
∗
𝑋∗
𝑋∗
𝑋∗
𝑋∗
6 artículos de Aceite
1 artículo de Arroz
0 artículos de Azúcar
1 artículo de Papas
1 artículo de Leche
1 artículo de Cebollas
Ingreso = s/ 670.15
Los resultados muestran que la
aplicación de la programación
dinámica fue altamente efectiva
en maximizar el rendimiento
total de la tienda al
seleccionar una combinación
óptima de productos para
transportar en la moto furgón
con una capacidad de 414 kg.

35. CONCLUSIONES
RECOMENDACIONES

36. CONCLUSIONES
• La programación dinámica encontró la mejor combinación de productos para transportar en
la moto furgón con 414 kg de capacidad, maximizando el rendimiento de la tienda "Los
Panas" y cumpliendo con requerimientos mínimos y presupuesto semanal.
• La solución óptima incluyó 6 unidades de Aceite, 1 unidad de Arroz, 0 unidades de Azúcar, 1
unidad de Papas, 1 unidad de Leche y 1 unidad de Cebollas, cumpliendo restricciones como
el peso, presupuesto y requerimientos mínimos, y asegurando suficientes productos en
stock para los clientes.
• El algoritmo de programación dinámica utilizado demostró ser eficiente y efectivo en
encontrar la mejor combinación de productos para maximizar el rendimiento, cumplir con los
requerimientos establecidos y operar dentro del presupuesto disponible, logrando un ingreso
total de S/670.15.
• La programación dinámica es eficaz para optimizar la compra semanal en la tienda "Los
Panas" y maximizar rendimiento e ingresos. Es ampliamente utilizada en la industria y mejora
la eficiencia y rentabilidad de cualquier negocio.

37. • Se recomienda seguir utilizando la programación dinámica como herramienta para la
optimización de la compra semanal de la tienda "Los Panas". Esto permitirá continuar
maximizando el rendimiento y el ingreso obtenido, cumpliendo con las restricciones y
requerimientos establecidos.
• También se recomienda realizar un seguimiento periódico de los resultados obtenidos y
ajustar la solución óptima en caso de que haya cambios en las restricciones o
requerimientos. Esto garantizará que la tienda siempre esté operando de manera óptima.
• Además, se recomienda investigar otras técnicas de optimización y compararlas con la
programación dinámica para determinar si existen mejores opciones para la tienda "Los
Panas".
• Finalmente, se recomienda capacitar al personal de la tienda en el uso de la programación
dinámica y en la toma de decisiones basadas en los resultados obtenidos, para que
puedan contribuir en la optimización de la compra semanal y mejorar la eficiencia y
rentabilidad de la tienda.
RECOMENDACIONES

38. MUCHAS
GRACIAS