Tema 12

1. Adaptación de libros del proyecto 2.0 de la editorial SM
1. Polígonos
Al unir sucesivamente varios segmentos se forma una línea a la que se llama poligonal y que puede
ser abierta o cerrada.
La zona interior que delimita una línea poligonal cerrada se llama polígono.
!Ten en cuenta
Según sus ángulos, los polígonos se pueden clasificar en:
• Convexos: todos sus ángulos interiores son convexos.
• Cóncavos: algún ángulo interior es cóncavo.
■ Suma de los ángulos de un polígono
Si en un triángulo cualquiera marcamos sus ángulos interiores, los recortamos y los colocamos de
for-ma consecutiva, observaremos que forman un ángulo llano.
La suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados
es: 180°·(n −2)
■ Polígonos regulares
Un polígono con los lados y los ángulos interiores iguales se llama polígono regular. Tiene los
siguientes elementos:
• Centro: punto que equidista de los vértices.
• Radio: cualquier segmento que une el centro con un vértice.
• Apotema: cualquier segmento que une el centro con el pun-
to medio de un lado.
• Ángulo central: cualquier ángulo determinado por dos ra-
dios.
Radio
Centro
En todo polígono regular podemos dibujar su circunferencia
circunscrita, cuyo centro es el centro del polígono y que pasa
por los vértices. En este caso, el polígono se llama polígono
inscrito.
Ángulo Apotema central
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3. Adaptación de libros del proyecto 2.0 de la editorial SM
2. Triángulos y cuadriláteros
■ Clasificación de los triángulos
Según sus ángulos
Rectángulo Acutángulo Obtusángulo
90º
1 ángulo recto 3 ángulos agudos 1 ángulo obtuso
Según sus lados
Equilátero Isósceles Escaleno
3 lados iguales 2 lados iguales Ningún lado igual
!Ten en cuenta
En un triángulo rectángulo, los
lados que forman el ángulo
recto se llaman catetos, y el
lado opuesto, hipotenusa.
Hipotenusa
Cateto
90º
Cateto
■ Clasificación de los cuadriláteros
Según el paralelismo de los lados, la clasificación es la siguiente.
Trapezoides Trapecios
Ningún par de lados paralelos 1 par de lados paralelos
Isósceles Rectángulo Escaleno
90º
Paralelogramos
2 pares de lados paralelos
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
4 lados iguales 4 ángulos rectos 4 lados iguales Lados no paralelos distintos
4 ángulos rectos Ningún ángulo recto
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3. Construcción de polígonos regulares
■ Conocido el radio de la
circunferencia circunscrita
Construimos de forma aproximada un hexágono
re-gular donde el radio de la circunferencia
circunscrita mide 1,5 centímetros.
1.º Dibujamos la circunferencia de 1,5 centímetros
de radio y trazamos un diámetro AB. Como
que-remos construir un hexágono, dividimos
AB en 6 partes iguales.
A
B
2.º Desde los extremos de AB y con su medida tra-
zamos dos arcos que se corten en un punto C.
A
C
B
3.º Unimos el punto C con la segunda división y
pro-longamos la recta hasta cortar la
circunferen-cia en P. El segmento AP es la
medida del lado del hexágono.
A
P
C
B
4.º Trazamos arcos consecutivos desde A y obte-
nemos los vértices del hexágono.
A
P
C
B
■ Conocido el lado del polígono
Construimos de forma aproximada un heptágono
regular cuyo lado mide 3 centímetros.
1.º Dibujamos el lado de 3 centímetros y trazamos su
mediatriz. Trazamos un arco con centro en A y
radio AB, que corta a la mediatriz en O.
O
A B
2.º Dibujamos la circunferencia con centro en O y
que pasa por A y B, y dividimos el segmento
OM en seis partes iguales.
O
A B
M
3.º Tomamos la medida de una parte y la trasla-
damos sobre la mediatriz tantas veces como sea
necesario para obtener tantas partes como lados
tiene el polígono que queremos construir.
7
O
A B
M
4.º Trazamos la circunferencia cuyo centro es el pun-
to 7, y sobre ella llevamos la medida del lado.
7
O
A B
M
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4. Criterios de igualdad de triángulos
Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales y los tres ángulos iguales.
!Ten en cuenta
Solo se pueden construir triángulos conocidos los
lados si la longitud de cada uno de ellos es menor
que la suma de las longitudes de los otros dos.
■ Criterio 1
Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales.
■ Criterio 2
Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
■ Criterio 3
Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los ángulos contiguos.
! Ten en cuenta
Por el criterio 2:
Dos triángulos rectángulos son
iguales si son iguales sus catetos.
2 cm 90
4 cm
4 cm
90
2 cm
5. Mediatrices de un triángulo
Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de cada uno de sus lados.
Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro.
Como todos los puntos de la mediatriz de un segmento están a la misma distancia de los extremos
del mismo, entonces el circuncentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo.
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
B
s
r
t
C
A C
4

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6. Bisectrices de un triángulo
Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de cada uno de sus ángulos interiores.
Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro.
Como todos los puntos de la bisectriz de un ángulo están a la misma distancia de los lados del mis-
mo, entonces el incentro está a la misma distancia de los tres lados.
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
r C
B I s
t A
7. Alturas de un triángulo
Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opues-
to o a su prolongación.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto que se llama ortocentro.
B
O
A C
8. Medianas de un triángulo
Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado
opuesto. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.
La distancia del baricentro al vértice es el doble que su distancia al punto medio del lado opuesto.
B
r
t
G
A
C
s
9. Simetrías en las figuras planas
Una figura tiene un eje de simetría cuando el eje (recta) divide a la figura en dos partes, una reflejo de
la otra.
Cuando una figura tiene n ejes de simetría, dos ejes contiguos forman un ángulo de .
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