Descripción detallada/Geometría plana/Triangulo/Polígono y Cuadriláteros(Semejanza y Congruencia)/Relaciones metricas de un triangulo/Angulo/Circunferencia

1. INTEGRANTES
• APELLIDOSY NOMBRE: CURSO: N1
• BERNABE RAMOS CARLOS.
• QUIROZ BORBOR ANTONIO.
• RAMIREZ RIOFRIO JAIRO.
• CASTILLO RIOFRIO MIGUEL.

2. Geometría plana

3. Rectas en el plano
• Dos rectas en el plano pueden ser perpendiculares, paralelas u oblicuas. En el
caso de las rectas perpendiculares u oblicuas que tienen un punto en común P,
se las denomina rectas secantes.
• Recta perpendicular

4. Las propiedades de la perpendicularidad entre
rectas son:
▪Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera. (Simétrica). (L1 ḻ L2)
=>(L2 ḻ L1)
• Si dos rectas al intersecarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares.
• Los lados de un ángulo recto y sus semirrectas opuestas, determinan rectas
perpendiculares.

5. Rectas paralelas
• Las propiedades del paralelismo entre rectas son:
• Toda recta es paralela a sí misma. (Reflexiva). L ‖ L
• Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera. (Simétrica). (L1 ‖
L2)=> (L2 ‖ L1)
• Si una recta es paralela a otra, y ésta a su vez paralela a una tercera, la primera
es paralela a la tercera. (Transitiva). [(L1 ‖ L2) ^ (L2 ‖ L3)]=> (L1 ‖ L3)
• Todas las rectas paralelas tienen la misma dirección.

6. Rectas oblicuas

7. Ángulos
• Al intersecar dos rectas en el plano se forman cuatro ángulos. De ellos, son
ángulos opuestos por el vértice aquellos que poseen sólo el vértice en
común y no son consecutivos.

8. Ángulos en rectas secantes.
• Se denominan ángulos externos a los ángulos que están en la región externa a las
rectas L1 y L2. De esta manera, son externos los ángulos 1, 2, 7 y 8.
• Se denominan ángulos internos a los ángulos que están en la región interna a las
rectas L1 y L2. De esta manera, son internos los ángulos 3, 4, 5 y 6.
• Se denominan ángulos correspondientes a los ángulos no consecutivos que están
en el mismo semiplano determinado por la recta secante L3. Uno de los ángulos
es interno y el otro externo. De esta manera, son correspondientes los pares de
ángulos 15, 26, 37, 48.
• Se denominan ángulos alternos externos a los ángulos que están ubicados
externamente con respecto a las rectas L1 y L2, y en distintos semiplanos
determinados por la recta secante L3. De esta manera, son alternos externos los
pares de ángulos 17 y 28.

9. • Se denominan ángulos alternos internos a los ángulos que están ubicados
internamente con respecto a las rectas L1 y L2, y en distintos semiplanos
determinados por la recta secante L3. De esta manera, son alternos internos los
pares de ángulos 35 y 46.
• Se denominan ángulos conjugados (o contrarios) externos a los ángulos externos
que están ubicados en el mismo semiplano respecto a la recta secante. De esta
manera, son conjugados externos los pares de ángulos 18 y 27.
• Se denominan ángulos conjugados (o contrarios) internos a los ángulos internos
que están ubicados en el mismo semiplano respecto a la recta secante. De esta
manera, son conjugados internos los pares de ángulos 36 y 45.

10. Propiedades
▪ Las medidas de los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
▪ Si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces los otros dos ángulos
alternos internos también lo son.
▪ Los ángulos internos a un mismo lado de la recta secante a dos rectas paralelas, son
suplementarios.
▪ Los ángulos externos a un mismo lado de la recta secante a dos rectas paralelas, son
suplementarios.
▪ Toda recta secante a dos rectas paralelas forma ángulos alternos externos
congruentes.
▪ Toda recta secante a dos rectas paralelas forma ángulos alternos internos
congruentes.

11. Teorema de thales
Así, en la figura anterior, las rectas AA', BB', CC' y DD' son paralelas, entonces el
teorema de Thales nos dice que las longitudes de los segmentos en uno de los
lados son proporcionales a las longitudes de los segmentos correspondientes en el
lado opuesto. Matemáticamente, esta relación de proporcionalidad entre las
longitudes de los segmentos de recta se expresaría como:

12. Corolario delTeorema deThales
• Si los lados de un ángulo o sus prolongaciones se intersecan con un haz de
rectas paralelas, los segmentos correspondientes que se determinan en los
lados del ángulo son proporcionales.

13. • Teorema de pitagoras:
En un triangulo rectángulo, la suma de sus cuadrados de las longitudes de sus
catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa
●Ley de senos
●Ley de coseno

14. Triangulo
• Un triángulo en geometría plana, es un polígono de tres segmentos que determinan tres
puntos del plano no colineales. Los puntos comunes a cada par de segmentos se
denominan vértices del triángulo1 y los segmentos son los lados del triángulo.
• Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes de ángulos exteriores,2
tres lados y tres vértices entre otros elementos.
• Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre
menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se
denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se
llama triángulo geodésico.

15. CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS
• Los polígonos se clasifican según su forma, según el número de sus lados, y según da medida de sus lados y ángulos internos .
• Según su forma los polígonos pueden ser convexos y cóncavos.
• POLÍGONO CONVEXO: Cuando ninguno de sus ángulos internos mide más de 180°.
• POLÍGONO CÓNCAVO: Si alguno de sus ángulos es mayor de 180°.
• NOTA: Si al trazar las diagonales de un polígono todas están contenidas en él, el polígono es convexo, pero si tiene al menos una
diagonal por fuera el polígono es cóncavo.
• Los polígonos según la medida de sus de sus lados y ángulos interno se clasifican en Polígonos irregulares
y Polígonos regulares:
• POLÍGONO IRREGULAR: Se le llama polígono irregular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores no
son iguales entre sí. Los polígonos irregulares no tienen todos sus lados iguales. Sus vértices no están
inscritos en una circunferencia. Estos polígonos irregulares tienen la ventaja de que no se necesita un
compás para construirlos como es el caso de los polígonos regulares, sólo se necesita una regla para
conectar los puntos para formar el polígono irregular con lados diferentes pero un punto no puede
conectarse más de dos puntos porque sino se estaría formando dos polígonos juntos o continuos.
• POLÍGONO REGULAR: Es un polígono en el cual todos sus lados y ángulos tienen la misma medida. Los
polígonos regulares reciben un nombre especial según el número de sus lados.

16. CLASIFICACION DE LOSTRIANGULOS
• Atendiendo a la medida de sus lados, los triángulos se dividen en:
• a)Triángulo equilátero. Es el que tiene sus tres lados y sus tres ángulos iguales.
b)Triángulo isósceles. Es el que tiene dos lados iguales y los ángulos opuestos a dichos lados, también son iguales.
c)Triángulo escaleno. Es el que tiene sus tres lados y sus tres ángulos diferentes.

17. CLASIFICACION SEGÚN SUS ANGULOS
• Atendiendo a los ángulos pueden ser:
• a)Triángulo rectángulo. Es el que tiene un ángulo recto. Sus lados reciben nombres especiales:
• Catetos. Son los lados que forman el ángulo recto.
• Hipotenusa. Es el lado opuesto al ángulo recto.
• b)Triángulo acutángulo. Es el que tiene los tres ángulos agudos.

18. • c)Triángulo obtusángulo. Es el que tiene un ángulo obtuso.
Cuando conoces la longitud del perímetro de un triángulo, puedes darle el valor a cada uno de sus lados sabiendo
que la suma de los tres valores debe ser igual al perímetro dado.
Ejemplo: Si te dicen que el perímetro de un triángulo es igual a 15 cm, que obtengas la medida de cada uno de los
lados del triángulo, lo primero que tienes que hacer es decidir qué tipo de triángulo será, y considerando las
características de ese triángulo, dividir la longitud entre sus lados.

19. Puntos y Líneas de unTriangulo
• Puntos y Líneas Fundamentales delTriángulo
• 1. MEDIANA.- Es el segmento que tiene por extremos un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto.
• Cualquier triángulo tendrá 3 medianas: AP, BQ y CR, o ma , mb , mc, respectivamente.
• El triángulo PQR, formado, uniendo los puntos medios de los lados del ABC, se conoce como triángulo mediano o complementario. Las 3 medianas
de un triángulo se intersecan en un único punto G llamado BARICENTRO que es el punto de cruce de las medianas y es el centro de gravedad del
triángulo.
• 2. BISECTRIZ INTERNA.- Es la línea que partiendo del vértice divide a un ángulo en 2 iguales.
• Existen 3 bisectrices internas: AD, BE y CF, óVA,Vb,Vc, respectivamente.
• El INCENTRO (G), es el punto de cruce de las bisectrices y además es el centro del círculo inscrito.
• El punto * esta ubicado siempre en la parte interior de cualquier triángulo.
• 3. ALTURA.- Es la perpendicular trazada desde un vértice hacia el lado opuesto o a su prolongación.
• Cualquier triángulo tiene alturas: AL, BM, CN ó ha, hb, hc, respectivamente.
• El LMN, formado uniendo los pies de las alturas, se denominan triángulo órtico o pedal.
• Las alturas se intersecan en un único punto H llamado ORTOCENTRO, punto que está ubicado al interior del triángulo si este es acutángulo y en el
exterior del mismo si este es obtusángulo, es este caso el ortocentro se determina prolongando las alturas.
• 4. BASE.- Es cualquier lado de un triángulo, por lo tanto todo triángulo tiene 3 bases. En el caso del triángulo isósceles se acostumbra llamar base al
lado congruente.
• 5. MEDIATRIZ.- Es la recta perpendicular levantada en el punto medio de un lado cualquiera del triángulo, por lo tanto tiene 3 mediatrices: PO, QO y
RO.
• 6. BISECTRIZ EXTERNA DE UNTRIÁNGULO.- Es el segmento que tiene por extremos un vértice cualquiera del triángulo y el punto de intersección
de la bisectriz de ese ángulo externo con la prolongación del correspondiente lado opuesto.
• Según el postulado del paralelismo se tiene que, los triángulos: escálenos tienen 3 bisectrices externas; los isósceles tienen 2 bisectrices externas y
los equiláteros no tienen bisectrices externas.

20. TEOREMAS
Teorema I
En toda clase de triángulos la suma de sus ángulos es igual a 180º
Fórmula
mA+mB+mC=180º
Teorema II
En un ángulo formado por dos bisectrices internas de un triangulo es igual a 90º más la mitad del ángulo no bisecado
Fórmula:
X=90º+B/2
Teorema III
El ángulo formado por dos bisectrices externas de un triángulo es igual a 90º disminuido en la mitad del ángulo interno en el tercer
vértice
Fórmula:
X=90-A/2
Teorema IV
El ángulo formado por las bisectrices internas y externas de vértices diferentes de un triángulo es igual a la mitad de la medida del
ángulo interno en el tercer vértice
Fórmula:
X=mB/2
Teorema V
El ángulo formado por las bisectrices internas y la altura del mismo vértice de un triángulo es igual a la semidiferencia de las medianas
de los ángulos internos en los otros dos vértices
Fórmula:
X= A-C/2
Teorema VI
La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360º
Fórmula:
A+B+C+D=360º

21. RECTASY PUNTOS NOTABLES
a)Mediana. Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
Hay tres medianas que corresponden una a cada lado. Se les designa con la letra “m” y un subíndice que indica el lado.
El punto donde se cortan las tres medianas se llama baricentro.

22. UNTRIANGULOTIENETRES MEDIDAS
b)Altura. Es la perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto o a su prolongación.
c) Bisectriz. Es la recta que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior (divide al ángulo en dos ángulos iguales).

23. RELACIONES METRICAS
EN UNTRIANGULO
RECTANGULO

24. Para el estudio de las relaciones métricas entre los elementos de los triángulos es
indispensable saber el concepto de proyección.
PROYECCIÓN
Proyección de un punto
La proyección de un punto P sobre una
recta , es el pié de perpendicular
bajada desde P, se llama proyectante.
l P
PP
P
P
l
Proyección de un segmento AB sobre una rectal
La proyección del segmento sobre la recta es el segmento
cuyos extremos son las proyecciones de los extremos A y B sobre
l
l
AB
I I
A B

25. l l
A B
A
B
I
A
I
B I
BI
A
Se lee: es la proyección
del segmento AB sobre la recte l
I I
A B

26. E
F
l l l
H
G
M
J
I
F I
G
I
M
I
H
I
EF : Proyección de EF
sobre I
I I
H G : proyección de HG
Sobre l
I
M : es la
Proyección de MJ
sobre l

27. Ejemplo:
AH : es la proyección de AB
sobre AC
HC : es la proyección de BC
sobre AC
Ejemplo:
AN : es la proyección de AM sobre AC
NC : es la proyección de MC sobre AC
BM : es la proyección de AB sobre BC
MC : es la proyección de AC sobre BC

28. RELACIONES MÉTRICAS: Al trazar la altura »h» en el triángulo rectángulo BAC quedan
proyectados los dos catetos sobre la hipotenusa. Las proyecciones de los catetos b y c
son m y n respectivamente. Se cumple los siguientes teoremas:
1.Teorema de la altura relativa.
El cuadrado de la altura relativa a la
hipotenusa es igual al producto de
las proyecciones de los catetos sobre
la hipotenusa.
2
.h m n
2.Teorema de los catetos.
El cuadrado de un cateto es igual
al producto de la hipotenusa por
la proyección del cateto sobre
la hipotenusa.
2
.c a n 2
.b a m
3.Teorema de Pitágoras.
2 2 2
a b c 
En un triángulo rectángulo también se cumple:
. .b c a h 2 2 2
1 1 1
b c h
 

29. Ejemplos:
1.Encuentra la altura.
Desarrollo:
Primero hallamos AB por Pitágoras.
     
2 2 2
50 48AB 
   
2 2
50 48 AB 
AB = 14 cm
Hallando h por : . .bc a h
( 14 ) ( 48 ) = 50 h
H = 13,44 cm
2.Encuentra la altura.
Desarrollo:
Aplicando Pitágoras:

30.    
2 2
3 2 3AB  
Aplicando: . .bc a h
  3 2 3 15h
15AB 
6 15
15
h cm
3.Encuentra «x»
Desarrollo:
Aplicando: 2
.c a n
2
4 20x  
80x 
16 5x   4 5x cm

31. 4.Halla el valor de «x»
Desarrollo:
Aplicando:
2
.c a n
2
7 16x  
7 16x  
4 7x cm
5.En un triángulo rectángulo ABC, un cateto
es 7 cm menor que el otro cateto y la
hipotenusa mide 8 cm mas que el cateto
menor. Encuentra el perímetro del triángulo
Desarrollo:
x
x -7
x +1
   
2 2 2
1 7x x x   
2 2 2
2 1 14 49x x x x x     
2
16 48 0x x  
Resolviendo: X = 12 y 4

32. el valor de x es 12 , para 4 no cumple.
Los lados del triángulo son: 5,12 y 13
Perímetro : 30cm
6.Hallar el perímetro de un triángulo
rectángulo, si la altura relativa a la
hipotenusa mide 12 cm, y la diferencia
de las medidas de sus proyecciones
ortogonales de sus catetos sobre la
hipotenusa mide 7 cm.
Desarrollo:
A
B
C
H
12
a
c
b
m n
1) Por dato:
m – n = 7 m = n + 7
2) 2
h mn
144 = ( n + 7 ) ( n )
2
7 144 0n n  
( n + 16 ) ( n – 9 ) = 0 n = 9
Por lo tanto: m = 16
3) Hallando los lados del triángulo:
b = m + n b = 25
2
c mb
C = 4.5 = 20
2
16 25c  
2
a b n  2
25 9a  
a = 15
Perímetro : 25 + 20 + 15 = 60 cm

33. RELACIONES MÉTRICAS EN UNTRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
Teorema de Euclides:
1.En un triángulo acutángulo, el cuadrado del
lado opuesto a un ángulo, es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados , menos
el doble del producto de uno de ellos por la
proyección del otro sobre el anterior.
2 2 2
2a b c bm  
2 2 2
2c a b bn  

34. 2.En un triángulo obtusángulo se
cumple que el cuadrado del lado
opuesto a un ángulo obtuso es
igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos lados, más el doble
del producto de uno de ellos por
la proyección del otro sobre el
anterior.
2 2 2
2a b c bm  

35. Teorema de la mediana
En todo triángulo, la suma de los
cuadrados de los lados es igual
a dos veces el cuadrado de la
mediana relativa al tercer lado
más la mitad del cuadrado del
tercer lado.
2
2 2
2
2
b
a c m  

36. Teorema de la proyección de la mediana.
La diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual doble
producto del tercer lado por la proyección de la mediana sobre el tercer
lado.
2 2
2a c bn 

37. Teorema de la bisectriz interior
En todo triángulo, el cuadrado del
segmento bisectriz interior es igual
al producto de los lados que forman
el vértice del cual se traza la bisectriz
menos el producto de los segmentos
que determina la bisectriz sobre el
lado opuesto.
 
2
. .BM a c m n 

38. Ejemplos diversos:
1.Dos lados de un triángulo ABC miden
AB = 14 cm y AC = 18 cm. halla el lado BC
sabiendo que su proyección sobre el
lado AB = 1cm.
Desarrollo:
A
C
BH
18
14
x
1
Aplicando:
13
      
2 22
18 14 2 14 13x   
2
324 196 364x   
2
520 364x  
2
156x  4 37x 
2. De la figura, halla x

39. Desarrollo:
a
aP
h1
h2
h2
x/2x/2
Q
R
x/2
h1
2
1 2
2
x
h h
 
 
 
En el triángulo BPR:
En el triángulo AQH:
1

40.    
2
1 4
2
x
h
 
  
 
 
2
1 2h x 2
   
2
2 9
2
x
h
 
  
 
 
2
2
9
2
h x 3
Multiplicando 2 y 3:
 
2 2
1 2 9h h x
22
2
9
2
x
x
  
  
   
4
2
9
16
x
x
2
9 16x  
X =3 x 4
X = 12

41. CONGRUENCIAY
SEMEJANZA DETRIANGULO

42. Congruencia
• .
 Dos figuras son congruentes cuando
tienen la misma forma y tamaño, es decir,
si al colocarlas una sobre otra son
coincidentes en toda su extensión.

43. • .
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

44. Criterios de congruencia

45. Triángulos congruentes
• Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus partes
correspondientes son congruentes.
A
B C
D
E F
ABC  DEF

46. Definición: Dos triángulos ABC y DEF son
correspondientes si:
• Sus lados correspondientes son congruentes.
• Sus ángulos correspondiente son congruentes.
• En la figura
A
DFACEFBCEDAB 
B
C
E
F D
a 

a


47. POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son
respectivamente congruentes con los de otro, entonces los
triángulos son congruentes.
• Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son
congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de
otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
• Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son
respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos
de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
• Criterio LLA: Si el lado más largo del triangulo, junto con otro
lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo
son congruentes con los del otro triangulo, entonces los triángulos
son congruentes.

48. Postulado LLL
• Si los lados de un triángulo son congruentes con los lados
de un segundo triángulo, entonces los triángulos son
congruentes.
A
B C
D
E F
ABC  DEF

49. Postulado ALA
• Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son
congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro
triángulo, los triángulos son congruentes.
A
B
C
D
E
ABC  CDE

50. Postulado AAL
• Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son
congruentes con dos ángulos y el lado no incluido de otro
triángulo, los triángulos son congruentes.
A
B C
D
E
ABC  EFD
F

51. Postulado LAL
• Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son
congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro
triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.
A
B
C D
E
ABC  DEF
F

52. EJEMPLOS
• Ejemplos:
• 1) En la figura, se tiene un triángulo ABC isósceles ( AC = BC) y se ha
dividido su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles triángulos son congruentes?

53. • 2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han construido las figuras
que están a sus lados copiándolo varias veces y colocándolo en diferentes
posiciones.
• Analiza los ángulos que son congruentes en las distintas posiciones. ¿Podrías
deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras?

55. 55
SEMEJANZA
DETRIÁNGULOS

56. Semejanza
• Dos figuras que tienen la misma forma, aun
con diferentes dimensiones, se llaman
semejantes.
• Dos figuras son semejantes si sus ángulos
correspondientes son iguales y sus lados
correspondientes proporcionales.
• Los elementos que se corresponden (puntos,
segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.

57. • Dos figuras del plano
son semejantes si los
cocientes de de los
segmentos
determinados por
pares cualesquiera de
puntos
correspondientes son
iguales.
ML
M'L'
es la razón de semejanza

58. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los
ángulos iguales.
El cociente
a b c
k
a' b' c'
  
se llama razón de semejanza.

59. 59
Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
Multiplica cada uno de los lados por 3.
Los lados del triángulo se han triplicado.
4m
5m
6m
A
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R

60. 60
Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3
LADOS HOMÓLOGOS : AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a, podemos afirmar que la
altura relativa a su lado homólogo PR mide 3a.
Además:
Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo ABC se
triplica en el triángulo PQR.

61. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
POSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza.
Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientes
congruentes, entonces el tercero también será congruente y los
triángulos son semejantes”.
Criterio LAL de semejanza.
Teorema: “ Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo
congruente comprendido entre lados proporcionales”.
Criterio LLL de semejanza.
Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son
proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".

62. A´
B´C’
A
B
C
I. Primer criterio AA
• Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes
entre sí.
a´
a
´

´

Es decir: Si a  a´ ,   ´ de lo anterior se deduce que   ´
Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

63. Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
65 25
65
¡SI!
Por que al tener dos de sus
ángulos congruentes,
cumplen con el criterio AA

64. II. Segundo criterio LLL
• Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son
semejantes entre sí.
A´
B´C’
A
B
C
a
a´
El cociente obtenido de
comparar los lados
homólogos entre sí recibe
el nombre de razón de
semejanza.
Es decir:
a
a´ =
b
b´ =
c
c´ =K
b b´
c
c´
Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

65. Ejemplo
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
A
B
C
P
Q
R
1,5
3,5
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados
son proporcionales
1,5
3
= =
3,5
7
5
10
Efectivamente , así es, ya que los
productos “cruzados” son iguales
1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
3,5 • 10 = 7 • 5 = 35
Por lo tantoTriángulos ABC y PQR son semejantes por
criterio LLL

66. III.Tercer criterio LAL
• Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí.
A´
B´C’
A
BC
Es decir:
a
a´
a
a´
= c
c´
c
c´
y a = a´
a
a´
Entonces D ABC semejante a D A´B´C´

67. Ejemplo
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
A
B
C
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son
proporcionales
3
9
= 4
12
Efectivamente así es, ya
que los productos
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por
estos dos lados son
congruentes?
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente, porque, tal
como se señala en el
dibujo, ambos son rectos

68. Ejercicio
• Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza.
• a) 8 cm, 10 cm, 12 cm
b) 52 cm, 65 cm, 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados
homólogos son proporcionales
Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razón de
semejanza se calcula una de
las razones
65 : 10 = 6,5
52
8
= 65
10
= 78
12
= 6,5
Efectivamente, al calcular los
productos “cruzados”,
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 •10 = 8 • 65 = 520
65 • 12 = 10 •78 = 780

69. Ejercicio
• Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer
una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?.
Luego, debe ocurrir:
3
4
5
x
y
z
Entonces: X= 3· 3 = 9
= 9
Y = 4 · 3 =12
12 =
Z = 5 · 3 = 15
=15
La razón de
semejanza es 3
Representamos la situación
=
X
3
=
Y
4
Z
5
=
3
1
=3
Escala de
ampliación
X
3
= 3
Y
4
=3
Z
5
=3

70. Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo
miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?.
50
30
40
12
16
20
30
12
= 40
16
50
20
=
Para calcular la razón de
semejanza se calcula una de
las razones
50 : 20 = 2,5
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
“cruzados”
30x16=480 y 40x12=480
además
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados
homólogos son proporcionales

71. CIRCUNFERENCIASY
CÍRCULOS

72. DEFINICIONES BASICAS
Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que
equidistan de un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El
punto centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia se
nombra con la letra del centro y un radio.
Es decir, la circunferencia es cerrada porque forma un ciclo, vuelve
sobre sí misma, y es plana porque todos sus puntos están en un
mismo plano.

73. El círculo es la superficie del plano limitada por la
circunferencia. Es decir, está formado por todos los
puntos de la circunferencia y todos los puntos
interiores a ella. Ángulos de circunferencias y círculos
Ángulo central dibujo.

74. ANGULOS DE CIRCULOSY
CIRCUNFERENCIAS
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son
dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

75. EL ángulo inscrito tiene su vértice esta en la circunferencia y sus lados son
secantes en ellas. Mide la mitad del arco que abarca.

76. El vértice de ángulo semi-inscrito está en la circunferencia, un lado secante y el
otro tangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca.

77. Ángulo interior. Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las
prolongaciones de sus lados.

78. Ángulo exterior. Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de
sus ángulos
son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos
son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella
Líneas y puntos fundamentales de la circunferencia y círculo

79. Polígonos y
Cuadriláteros.
Definiciones básicas de polígonos y cuadriláteros.
Clasificación de los cuadriláteros.
Líneas y puntos fundamentales.
Teoremas fundamentales de los cuadriláteros.
Cuerpos geométricos.

80. Definiciones básicas de polígonos y
cuadriláteros.
• Polígonos.
En geometría, un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita
de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano. Estos segmentos son
llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El polígono es el
caso bidimensional del politopo.
• Cuadriláteros.
En geometría plana, un cuadrilátero o tetrágono es un polígono de cuatro lados y cuatro vértices
La palabra "cuadrilátero" procede de dos palabras latinas quadri, que significa cuatro, y latus, que
significa lado.
Los cuadriláteros según su forma se dividen en complejos y simples, y estos a su vez se dividen en
cóncavos y convexos, y estos a su vez pueden estar o no inscritos o circunscritos.

81. Clasificación de los cuadriláteros.
• Paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos.
• Cuadrado: todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son
rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre si, tiene una
circunferencia inscritas y otra circunscrita.
Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados, sus longitudes y sus
ángulos interiores:
• Rombo: todos sus lados son iguales, cada par de ángulos agudos y
obtusos son opuestos, sus diagonales son distintas y perpendiculares
entre sí, son bisectrices, tiene una circunferencia inscrita.

82. • Rectángulos: us lados opuestos son iguales dos a dos y los paralelos,
todos sus ángulos interiores son rectos, sus dos diagonales son iguales
pero no son perpendiculares entre si y tiene una circunferencia
circunscrita.
• Romboide: sus lados opuestos son iguales dos a dos, cada par de
ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus dos diagonales son de
distinta longitud y no son perpendiculares entre sí.
• Trapecios: En geometría, se llama trapecio a un cuadrilátero que tiene
dos lados no consecutivos paralelos llamados bases del trapecio, y el
segmento perpendicular entre las dos bases y su propia longitud son
llamadas altura del trapecio.
• Trapezoides: En geometría euclídea plana, un trapezoide es un
cuadrilátero convexo sin lados paralelos.

83. Líneas y puntos fundamentales.
• Línea poligonal.-Una línea poligonal está formada por varios segmentos consecutivos. Las líneas
poligonales pueden ser abiertas o cerradas. Polígono.- Es la región de plano limitada por una línea poligonal
cerrada.
• Lado.- Es cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal que limita al polígono.
• Vértice.- Son los puntos donde se cortan los lados.
• Ángulo.- La región de plano comprendida entre dos lados al cortarse en un punto llamado vértice.
• Diagonal.- Son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
Cualquier polígono tiene el mismo número de lados, ángulos y vértices.
Perímetro.- Es la suma de las longitudes de sus lados. O lo que es lo mismo, la medida de la línea poligonal
cerrada que lo comprende.

84. Teoremas fundamentales.
• Teorema de Arquímedes-Faure.Teorema de Ptolomeo.
Sea el cuadrilátero inscrito de lados a, b, c, d; de diagonales perpendiculares que al
intersecarse determinan los segmentos m, n en uno de ellos y p, q en el otro, R radio
de la circunferencia circunscrita. En tal caso son válidas las igualdades:
a2 + c2 = b2 + d2 = 4r2 m2 + n2 + p2 + q2 = ar2
• Teorema de Ptolomeo.
En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia, la suma de los productos de los
pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.

85. Cuerpos geométricos.
Un sólido o cuerpo geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones
(largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un
volumen.