2.a.polígonos; triángulos.

Tema 2.a POLÍGONOS: TRIÁNGULOS .

1. POLÍGONOS.
1.1. Clasificación básica.

2. TRIÁNGULOS.
2.1. DEFINICIÓN. CONDICIONES DE EXISTENCIA.
2.1.1. Propiedades.

2.2. CLASIFICACIÓN.
2.2.1. En función de sus lados.
2.2.2. En función de sus ángulos.

2.3. ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO.
2.3.1. MEDIATRICES DE LOS LADOS. CIRCUNCENTRO. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.
2.3.2. BISECTRICES DE LOS ÁNGULOS. INCENTRO. CIRCUNFERENCIA INSCRITA.
2.3.3. ALTURAS DE UN TRIÁNGULO. ORTOCENTRO. TRIÁNGULO ÓRTICO.
2.3.4. MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO. BARICENTRO.

2.4. CONSTRUCCIÓN:
2.4.1. CUALQUIER TRIÁNGULO.
2.4.2. TRIÁNGULO EQUILÁTERO.
2.4.3. TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
2.4.4. TRIÁNGULO ISÓSCELES.

POLÍGONOS .

1. POLÍGONOS. Un polígono es una figura cerrada y plana compuesta por segmentos rectilíneos. A cada
uno de los segmentos los llamamos lados y se designan por una letra minúscula, siguiendo el orden
alfabético. A los extremos comunes a dos segmentos les llamamos vértices y se designan por una letra
mayúscula, siguiendo el orden alfabético. Otros elementos básicos son:

 Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. No tiene nada que ver
con horizontal ni vertical. Puede haber diagonales horizontales, verticales y oblicuas.
 Los ángulos interiores son los formados en el interior de un polígono entre dos lados
adyacentes.
 Los ángulos exteriores son los formados por un ángulo cualquiera y la prolongación de un lado
adyacente.
 El perímetro es la suma de las longitudes de sus lados.
 Equilátero: que tiene todos sus lados iguales.
 Equiángulo: Que tiene todos sus ángulos iguales
 Regular: polígono equilátero y equiángulo.
 Irregular: polígono que al menos tiene un ángulo o lado diferente.
 Centro: (sólo en los polígonos regulares). Punto que equidista de los vértices.
 Apotema: (sólo en los polígonos regulares). Perpendicular trazada desde el centro a cualquiera
de sus lados.
 Radio: (sólo en los polígonos regulares). Distancia del centro a los vértices.
 Ángulo en el centro: (sólo en los polígonos regulares). El que forman dos apotemas o radios
consecutivos.

 Polígono inscrito: Cuando un polígono tiene todos sus vértices en una circunferencia. Será un
polígono inscriptible.
 Polígono circunscrito: Cuando un polígono tiene todos sus lados tangentes a una circunferencia.
Será un polígono circunscriptible.
 Polígono convexo: Son aquellos en los que prolongando cualquier lado, éste no corta al
polígono. El lado separa el plano en dos semiplanos y el polígono solo se encuentre en uno de
ellos.
 Polígono cóncavo: Son los que, al prolongar uno de sus lados corta al polígono. Hay polígono
en los dos semiplanos que forma el lado.
 Polígono estrellado: Son los que tienen forma de estrella. Sus lados se cortan entre sí.

1.1. CLASIFICACIÓN: http://prezi.com/xfu6uukewd0j/poligonos/

1.2. Construcción: El número de datos necesarios para construir un polígono viene dado por la
fórmula: N = 2n – 3, siendo n el número de lados del polígono.

1.2.1. Se pueden construir empleando diferentes métodos según los datos que se conozcan:
 Casos directos: sólo es necesario articular de manera coherente los datos
aportados, colocándolos en el lugar necesario
 Por lugares geométricos: conociendo las propiedades de los elementos de los
polígonos, se utilizan los lugares geométricos para poder ubicarlos.
 Por aplicación de transformaciones geométricas: Homotecia, traslación,
simetría, giro..

2. TRIÁNGULOS. Muy importante

2.1. DEFINICIÓN. CONDICIONES DE EXISTENCIA. Un triángulo es un polígono de tres lados. Es el
más sencillo de los polígonos que podemos construir. http://es.scribd.com/doc/2368761/1-Triangulos-Nociones-
Basicas Un triángulo se nombra con tres letras mayúsculas (Normalmente A, B, y C) para los tres
vértices y las mismas pero minúsculas para los tres lados, de modo que el ángulo siempre esté
enfrentado al lado del mismo nombre. Así, los extremos del lado a, serán B y C. En un triángulo
rectángulo el ángulo recto se suele denominar A, por lo que la hipotenusa sería a. La base o lado
desigual de un triángulo isósceles también suele ser a.

2.1.1. Propiedades:

2.1.1.1. La suma de los ángulos internos vale 180º. Como consecuencia:
 Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso o recto.
 Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

2.1.1.2. Un lado de un triángulo es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor
que su diferencia.

2.1.1.3. En un triángulo, a mayor lado se opone siempre mayor ángulo. (sin modificar el
tamaño de los otros dos lados

2.2. CLASIFICACIÓN.

2.2.1. En función de sus lados:
 Equilátero: Lados y ángulos iguales.
 Isósceles: Sólo dos lados y dos ángulos iguales. El lado desigual se llama base.
 Escaleno: Sus tres lados y ángulos son distintos.

2.2.2. En función de sus ángulos:
 Rectángulo: Con un ángulo recto. El lado opuesto a ese ángulo se llama
hipotenusa y los que lo forman, catetos.
 Obtusángulo: Con un ángulo obtuso.
 Acutángulo: Con los tres ángulos agudos. Si los tres miden lo mismo se dirá que es
equiángulo (y resultará equilátero, porque sus lados también serán iguales).

2.3. ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO.

2.3.1. MEDIATRICES DE LOS LADOS. CIRCUNCENTRO. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA. Si
hacemos las tres mediatrices de cada lado, las tres se cortan en un único punto llamado
Circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
http://www.youtube.com/watch?v=lIBrPMWDHGY http://www.youtube.com/watch?v=BTWfpz8099s&feature=related

2.3.2. BISECTRICES DE LOS ÁNGULOS. INCENTRO. CIRCUNFERENCIA INSCRITA. Si hacemos
las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo, se cortan en un punto llamado
Incentro. El Incentro es el centro de una circunferencia inscrita al triángulo.
http://www.youtube.com/watch?v=Is2saKYQXaw http://www.youtube.com/watch?v=v_raemu0cCM&feature=related

2.3.3. ALTURAS DE UN TRIÁNGULO. ORTOCENTRO. TRIÁNGULO ÓRTICO. Las alturas son las
distancias desde cada vértice al lado opuesto, por lo tanto, serán siempre perpendiculares a los
lados. Las alturas se cortan en un punto común llamado Ortocentro. Se denomina triángulo
órtico al que tiene por vértices los pies de las alturas del triángulo considerado.
http://www.youtube.com/watch?v=GAIBLYSuCJY

2.3.4. MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO. BARICENTRO. Las medianas de un triángulo son las
distancias desde cada vértice al punto medio del lado opuesto. Su punto común se llama
Baricentro. El baricentro es el centro de gravedad del triángulo y dista de cada vértice las dos
terceras partes de su longitud correspondiente. http://www.youtube.com/watch?v=gzkCudiP6Pw

2.3.5. En cualquier triángulo, Baricentro, Ortocentro y Circuncentro están alineados, formando
la llamada recta de Euler

2.4. CONSTRUCCIÓN
. Se necesitará conocer tres datos. (2 x 3 – 3 = 3), aunque hay ocasiones en las que parece
que nos dan menos, puesto que los datos vienen implícitos en las características del triángulo.
(Por ejemplo, en un triángulo equilátero nos basta con que nos den un lado, puesto que
sabemos que los otros dos lados serán del mismo tamaño, y sus ángulos medirán todos 60º). La
única excepción sería que nos dieran los tres ángulos, puesto que las posibilidades resultarían
infinitas. En ocasiones hay más de una solución posible que cumpla con las condiciones de los
datos. Pag web con numerosos casos de ejercicios con triángulos:
http://trazoide.com/triangulos.html#circunferencias_relacionadas

2.4.1. CONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS ESCALENOS.

2.4.1.1. DADOS LOS TRES LADOS. http://www.youtube.com/watch?v=QsmFsl0kXM8

2.4.1.2. DADOS DOS LADOS Y EN ANGULO ADYACENTE O COMPRENDIDO.
http://www.youtube.com/watch?v=AuF_s-SF3Mo

2.4.1.3. DADOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO OPUESTO.
http://www.youtube.com/watch?v=_GBBDlRta3E

2.4.1.4. DADOS UN LADO Y DOS ÁNGULOS. http://www.youtube.com/watch?v=pMgp2FNHicI

2.4.1.5. DADOS UN ÁNGULO, EL LADO OPUESTO Y LA ALTURA SOBRE ÉL. Se utilizará el
arco capaz, como siempre que conocemos el lado opuesto a un ángulo dado. Tiene dos
soluciones. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=44#p65

2.4.1.6. DADOS UN ÁNGULO, EL LADO OPUESTO Y LA MEDIANA EN ÉL. Se utilizará el arco
capaz, como siempre que conocemos el lado opuesto a un ángulo dado. Tiene dos
soluciones. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=22

2.4.1.7. DADOS UN ÁNGULO Y LAS CIRCUNFERENCIAS INSCRITA Y CIRCUNSCRITA.
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=1738&start=0

2.4.1.8. DADOS UN ÁNGULO, EL LADO OPUESTO Y EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA
INSCRITA. Con el lado y el ángulo puedes construir el arco capaz que le corresponde,
que es a su vez la circunferencia circunscrita. Una vez construida conoces el radio de la
circunferencia circunscrita, el radio de la circunferencia inscrita y el ángulo C, que es el
ejercicio anterior.

2.4.1.9. DADOS UN LADO MÁS DOS ALTURAS QUE PARTEN DE SUS EXTREMOS. Se puede
hacer por arco capaz o usando una tangente http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=80
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=79
2.4.1.10. DADOS UN LADO, LA ALTURA Y LA MEDIANA.

2.4.1.11. DADAS LA MEDIANA, LA ALTURA Y LA BISECTRIZ DE UN MISMO LADO (a).
http://www.youtube.com/watch?v=3JTHBo_WYd8

2.4.1.12. DADAS LAS TRES MEDIANAS. http://www.youtube.com/watch?v=Dgrg9-MBmG8

2.4.1.13. CONOCIDO SU PERÍMETRO, UN ÁNGULO Y LA ALTURA QUE PARTE DE ESE
ÁNGULO. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=2096

2.4.1.14. DADO UN ÁNGULO, EL LADO OPUESTO Y LA DIFERENCIA DE LOS OTROS DOS.
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=6456#p6456

2.4.1.15. DADO SU PERÍMETRO Y SU SEMEJANZA CON OTRO DADO.

2.4.1.16. DADOS UN LADO, LA ALTURA SOBRE OTRO LADO Y LA MEDIANA DEL TERCERO.

2.4.2. TRIÁNGULO EQUILÁTERO. http://www.youtube.com/watch?v=FghDIBBHVW4&feature=related

2.4.2.1. TRIÁNGULO EQUILÁTERO DADO EL LADO. Nos basta con que nos den un lado,
puesto que sabemos que los otros dos lados serán del mismo tamaño, y sus ángulos
medirán todos 60º. http://www.youtube.com/watch?v=30oilQrk8no

2.4.2.2. TRIÁNGULO EQUILÁTERO DADA LA ALTURA.
http://www.youtube.com/watch?v=qOkweQ4Ochc

2.4.3. TRIÁNGULO RECTÁNGULO. La hipotenusa siempre será mayos que cualquiera de sus
catetos.

 TEOREMA DE PITÁGORAS. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos. http://www.youtube.com/watch?v=aLUXKHrvJuo&feature=related
Demostración muy intuitiva, teniendo en cuenta que estamos estudiando áreas:
http://www.youtube.com/watch?v=dlgGyDHBuEI&feature=related Algo de historia:
http://www.youtube.com/watch?v=XNgStxZ-ztc http://www.youtube.com/watch?v=wiBHcHcrma4

 TEOREMA DE LA ALTURA. La altura sobre la hipotenusa es media proporcional
entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. http://capmatematiquesub.blogspot.es/

 TEOREMA DEL CATETO. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y
su proyección sobre ella. http://www.youtube.com/watch?v=KewuYAPVG8M

2.4.3.1. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DADOS HIPOTENUSA Y LOS CATETOS. Igual que el
caso 4.4.1.1.

2.4.3.2. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DADOS LA HIPOTENUSA Y UN CATETO.
http://www.youtube.com/watch?v=bv1vVWfU4Yk

2.4.3.3. TRIÁNGULO RECTANGULO DADOS UN CATETO Y EL ÁNGULO ADYACENTE.
http://www.youtube.com/watch?v=DzfJPld3hB8

2.4.3.4. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DADOS UN CATETO Y EL ÁNGULO OPUESTO. Ver
fotocopias.

2.4.3.5. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DADOS LA HIPOTENUSA Y LA DIFERENCIA ENTRE LOS
CATETOS. Ver fotocopias. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=156&p=460#p460

2.4.3.6. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DADOS HIPOTENUSA Y LA SUMA DE LOS CATETOS.
Ver fotocopias. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=156&p=460#p460

2.4.3.7. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DADOS UN CATETO Y LA SUMA DE LA HIPOTENUSA
MAS EL OTRO CATETO. Ver fotocopias.

2.4.3.8. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DADOS UN CATETOS Y LA DIFERENCIA ENTRE LA
HIPOTENUSA Y EL OTRO CATETO. Ver fotocopias.

2.4.3.9. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DADOS LA HIPOTENUSA Y EL PIE DE LA BISECTRIZ.
http://www.youtube.com/watch?v=Xrhb_GHGz7Y

2.4.4. TRIÁNGULO ISÓSCELES.

2.4.4.1. TRIÁNGULO ISÓSCELES DADOS LA BASE Y LA ALTURA.
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=98&p=169#p166

2.4.4.2. TRIÁNGULO ISÓSCELES DADOS LA BASE Y EL ÁNGULO OPUESTO.
http://www.youtube.com/watch?v=a1sy2zmX8bw

2.4.4.3. TRIÁNGULO ISÓSCELES DADOS UN LADO IGUAL Y LA ALTURA DE LA BASE. Ver
fotocopias.

2.4.4.4. TRIÁNGULO ISÓSCELES DADOS EL ÁNGULO DESIGUAL Y LA SUMA DE LA BASE
MÁS LA ALTURA. Ver fotocopia. http://www.youtube.com/watch?v=RephOXv4vts

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