Valoración de la deuda y los recursos propios de

Valoración de la deuda y los recursos propios de
una empresa mediante opciones extensibles
Isabel Abínzano Javier F. Navas
Departamento de Empresa Instituto de Empresa y
Facultad de Económicas Universidad Pablo de Olavide
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Esta versión: Junio de 2003
Palabras clave: Riesgo de crédito, crisis financiera, reestructuración, opciones exten-sibles.
Clasificación JEL: G13, G32, G34.

Valoración de la deuda y los recursos propios de
una empresa mediante opciones extensibles
Junio de 2003
Resumen
Ante la presencia de dificultades financieras las empresas poseen diferentes
alternativas, entre las cuales se encuentra la reorganización. En este artículo valo-ramos
la deuda y los recursos propios de una empresa cuando ésta tiene la posibi-lidad
de llevar a cabo una reorganización de su estructura financiera. Las fórmulas
de valoración obtenidas se basan en el concepto de opción de compra extensible
propuesto por Longstaff (1990). A diferencia de otros modelos, este modelo per-mite
que la reorganización tenga un coste no nulo, al mismo tiempo que contempla
diferentes modalidades de estructura financiera, así como la posibilidad de que la
reorganización requiera de varias negociaciones.
Agradecemos a Manuel Moreno y a Santiago Forte sus útiles comentarios y sugerencias.
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1 Introducción
A lo largo de los dos últimos años, la desaceleración económica, el pinchazo de la bur-buja
tecnológica y la crisis bursátil han conducido a buen número de empresas hacia
problemas financieros. Según la definición de Ross et al. (1999), una empresa presenta
dificultades financieras cuando sus flujos de efectivo no son suficientes para satisfacer
las obligaciones actuales, tales como los créditos comerciales o los gastos por intere-ses,
y la empresa se ve obligada a tomar las medidas correspondientes. Cuando existen
problemas financieros, la empresa tiene a su alcance varias alternativas para resolver la
situación. La elección de la combinación de medidas adecuadas depende en gran medi-da
de las características de la empresa. Podemos clasificar estas medidas en operativas
y financieras.
Las medidas operativas son aquellas que persiguen la reorganización operativa o
funcional de la empresa. La reducción de plantilla, el cierre de plantas de producción y
el cambio de la dirección de la empresa son casos particulares de medidas operativas.
La reducción de plantilla llevada a cabo en Boeing en marzo de 2002 o la venta de
parte de los activos de Fiat en enero del mismo año para poder reducir su deuda son un
ejemplo de ellas.
Las medidas de reestructuración financiera son aquellas que pretenden, mediante
el acuerdo con los acreedores, modificar la estructura de vencimientos de la deuda y/o
reducir su valor nominal. Las empresas que no pueden cumplir con los pagos contrac-tualmente
pactados ante los acreedores o que toman la decisión de no hacer tales pagos,
tienen dos opciones básicas: la liquidación o la reorganización. La liquidación hace re-ferencia
al finiquito de una empresa como un negocio en marcha. Implica la venta de
los activos del negocio a su valor de rescate. Los fondos obtenidos, después de deducir
los costes de los procedimientos judiciales derivados de la liquidación, impuestos y
salarios, se distribuyen entre los acreedores en el orden de las prioridades establecidas
previamente. Como ejemplo podemos citar la empresa Alcodata, que afectada por la
crisis de la Nueva Economía, llevó a cabo su liquidación en el mes de enero de 2002.
La reorganización es la opción de mantener a la empresa como un negocio en marcha,
y consiste en una disminución (“quita”) de las deudas pendientes, en un aplazamiento
(“espera”) del pago de éstas , o bien en una combinación de ambas. Como ejemplo,
en mayo de 2002, la juguetera Jesmar ofrecía como alternativa la quita del 50% de la
deuda y el pago del resto en siete años.
Tanto la liquidación como la reorganización pueden realizarse negociando directa-mente
con los acreedores de la empresa, o bien por medio de un proceso dentro del
sistema concursal. Dicho proceso consiste en un procedimiento judicial que puede rea-lizarse
de manera voluntaria, cuando la empresa presenta una petición al respecto, o
involuntariamente, cuando los acreedores presentan dicho pedido. En el caso de la peti-ción
de quiebra voluntaria por parte de la empresa, puede deberse a que, en el caso
de empresas con una estructura de capital muy complicada, lograr acuerdos mediante
una negociación privada puede ser más difícil que mediante el proceso formal. Otro
motivo puede ser el conflicto de intereses entre los acreedores, el cual se ve acentuado
2

cuando éstos poseen información incompleta sobre las circunstancias de las dificultades
financieras. Esta falta de información hace menos probable el logro de negociaciones
privadas.
La existencia o no de la posibilidad de llevar a cabo una reorganización o varias,
deberá reflejarse en el valor de la empresa. Merton (1974) fue el primero en aplicar
la teoría de valoración de opciones desarrollada por Black y Scholes (1973) a la valo-ración
de deuda. Sin embargo, dicha aplicación no contempla la posibilidad de que la
empresa pueda llevar a cabo una reorganización. Leland (1994) estudia el efecto que
una reorganización tiene en el valor de la empresa, y observa cómo el valor de los re-cursos
propios de la empresa aumenta cuando se lleva a cabo una reorganización . Sin
embargo, no desarrolla una expresión que valore los recursos propios en función del
valor nominal y la fecha de vencimiento de la deuda. Anderson y Sundaresan (1996),
Mella-Barrall y Perraudin (1997), y Mella-Barral (1999), estudian la influencia del va-lor
nominal de la deuda y su vencimiento en el proceso dinámico de negociación previo
a la reorganización, pero tampoco desarrollan un modelo que valore la deuda o los re-cursos
propios de la empresa.
Como vemos, los estudios anteriores no tienen como propósito el desarrollar un
modelo de valoración en caso de que exista la posibilidad de reorganización. En la li-teratura
existen pocos trabajos que persiguen formular un modelo de valoración de los
recursos propios o de la deuda en caso de que pueda llevarse a cabo una reorganiza-ción
de la empresa. Franks y Torous (1989) estudian la reorganización de una empresa
considerando la opción del aplazamiento de la deuda como una opción de compra. Sin
embargo, dichos autores suponen que la deuda emitida para financiar la deuda inicial
ha de ser necesariamente mayor que ésta. Por su parte, Forte y Peña (2003), estudian
los efectos de la refinanciación de la deuda sobre el diferencial de crédito y sobre la
calificación de la deuda. Este artículo también impone una limitación, que consiste en
que no se permite que exista un coste de negociación, lo cual difiere significativamente
de la realidad. Dumitrescu (2002) sí que posibilita que la reorganización sea costosa.
Además, demuestra cómo el valor de los recursos propios de la empresa aumenta cuan-do
existe la posibilidad de llevar a cabo una reorganización. Sin embargo, sólo conside-ra
la posibilidad de que la empresa esté financiada por dos deudas, y que sólo la deuda
con vencimiento anterior se pueda refinanciar. Además, la expresión desarrollada sólo
permite analizar si la reorganización aumenta o disminuye el valor de los recursos pro-pios,
esto es, no permite calcular el valor de los recursos propios para una determinada
estructura de capital.
En este trabajo valoramos los recursos propios de una empresa en el caso de que
pueda llevar a cabo tanto una como varias reorganizaciones de su deuda, ya sea median-te
la petición formal de quiebra o mediante negociaciones privadas. Concretamente,
estudiamos el caso de que dicha reorganización consista en la emisión de nueva deuda
para financiar los pagos de la deuda pendiente, contemplando la posibilidad de ambos
tipos de reorganización, quita o espera, así como una combinación de ambas. De igual
modo, permitimos que dicha valoración no incluya restricciones sobre el valor nominal
de la deuda emitida ni sobre el coste de las negociaciones necesarias para llevar a cabo
3

la reorganización.
En la sección 2 se revisan los modelos de valoración existentes en la literatura. En la
sección 3 se presenta el modelo propuesto, tanto para una sola deuda como para varias
deudas, así como las posibles aplicaciones del mismo. En último lugar, en la sección 4,
se exponen las conclusiones derivadas de su desarrollo y aplicación.
2 Una introducción al problema de la reorganización
Franks y Torous (1989) estudian la reorganización de una empresa en el caso de que ésta
se acoja al capítulo 11 de la Reforma del Código de Quiebra de 1978 estadounidense
(Bankruptcy Reform Act). El objetivo general de este procedimiento es planificar la
reestructuración de la empresa previendo adecuadamente el reembolso a los acreedores.
La principal aportación de Franks y Torous (1989) consiste en que el aplazamiento
del pago de la deuda puede verse como el ejercicio de una opción de compra adquirida
por la empresa al acreedor en la fecha de vencimiento inicial. A continuación mostramos
el planteamiento.
Sea una empresa que tiene una deuda con valor nominal K y vencimiento en T.
Si no puede devolver su deuda en T, según el Capítulo 11 de esta ley, puede ejercer
la opción de aplazar el pago de la deuda hasta T0, con T0 T. Suponiendo que existe
información simétrica, el valor de los recursos propios en T es:
E(T) = m´ax{e(T),C(T)} (1)
donde e(T) es el valor de lor recursos propios si la empresa no se acoge al Capítulo 11
de la Reforma de la Ley de Quiebra de 1978, y C(T) es el valor de la opción a pagar el
valor nominal de la deuda, ajustado por intereses, en cualquier momento hasta T0.
Dicha opción a retrasar el pago es una opción americana, puesto que una vez en el
Capítulo 11, la empresa tiene derecho a resolver sus obligaciones en cualquier momen-to
hasta T0. El precio de ejercicio de la opción sube determinísticamente a lo largo del
tiempo. Así, cuanto más tiempo tarde la dirección en ejercer esta opción, más intereses
deberá pagar. Otro supuesto de Franks y Torous es que los costes directos de adminis-tración
derivados de la ampliación del pago de la deuda, proporcionales al valor de la
empresa, tienen lugar continuamente a lo largo del proceso de reorganización en lugar
de en un instante de tiempo concreto.
En un trabajo posterior, Franks y Torous (1994) encuentran que el valor de la opción
a retrasar el pago de la deuda es mayor cuanto más cercano esté el valor nominal de la
deuda del valor total de la empresa. El significado de este resultado es que cuanta más
importancia tenga la deuda en el pasivo de la empresa, el derecho a retrasar el pago de
la deuda va a ser más valioso.
A pesar de la importancia de sus aportaciones, Franks y Torous (1994) no desarro-llan
un modelo que valore los recursos propios de la empresa en caso de que exista la
posibilidad de llevar a cabo una reorganización. Además, suponen que el precio de ejer-
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cicio aumenta determinísticamente a lo largo del tiempo, sin contemplar la posibilidad
de que los acreedores ofrezcan una rebaja de la deuda con el fin de recuperar su dinero.
Forte y Peña (2003) analizan los efectos a largo plazo de la refinanciación de la deu-da
sobre los diferenciales de crédito y sobre la calificación de la deuda. Concretamente,
estudian la refinanciación de la deuda cuando ésta se hace mediante la emisión de nueva
deuda, que como hemos visto en la introducción, corresponde a un tipo particular de
reorganización. Los supuestos que realizan a lo largo de su trabajo son los siguientes:
1. Los mercados son perfectos.
2. La negociación es continua en el tiempo.
3. Existe un activo libre de riesgo con tipo de interés constante igual para prestamis-tas
que para prestatarios.
4. Cada individuo actúa como si pudiera vender o comprar tanto de cualquiera acti-vo
como desee sin afectar al precio de mercado.
5. Es posible tomar posiciones cortas.
6. Se cumple la Proposición I de Modigliani-Miller, esto es, el valor de la empresa
es independiente de su estructura de capital.
7. El valor de la empresa sigue el siguiente proceso de difusión:
dV = μVdt +sVdz (2)
donde μ es la tasa de rendimiento instantáneo esperado de V, s es la volatilidad
de este rendimiento, que se supone constante, y z es un movimiento Browniano
estándar.
Los autores parten de una proposición según la cual siempre que el valor de los
recursos propios sea mayor que cero, la deuda se va a poder financiar mediante la
emisión de nueva deuda con vencimiento mayor que el vencimiento de la deuda actual,
lo cual significa que se amplía el plazo de pago, permaneciendo constante el valor de los
recursos propios. Además, esta proposición establece la existencia de un nuevo valor
nominal positivo que permite a la empresa refinanciarse. Así mismo, demuestran que
el nuevo valor nominal tiene como cota inferior el valor nominal inicial capitalizado al
tipo de interés libre de riesgo, por lo que el valor nominal de la nueva deuda va a ser
siempre mayor que el valor nominal de la deuda inicial.
A pesar del interés de su trabajo, los resultados obtenidos por Forte y Peña están
limitados, ya que el modelo supone que el coste de reorganización es nulo y que el valor
nominal de la nueva deuda es siempre mayor que el valor nominal de la deuda inicial,
lo que difiere de la realidad, puesto que las negociaciones pueden tener un coste no nulo
y además, puede ocurrir que los acreedores ofrezcan una rebaja de la deuda con el fin
de recuperar su capital. A lo largo de la siguiente sección trataremos de cubrir dichas
limitaciones.
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3 Reorganización costosa con posible reducción de la
deuda
Como hemos señalado, pretendemos obtener un modelo que valore los recursos pro-pios
de una empresa cuando ésta tenga la posibilidad de reorganizarse mediante una o
varias negociaciones. En este modelo queremos contemplar el caso de que la empresa
esté financiada por uno o más tipos de deuda. Además, deseamos que el modelo no
imponga restricciones sobre el coste de reorganización ni sobre el valor nominal de
la nueva deuda, esto es, el coste de dichas negociaciones puede ser no nulo y el valor
nominal de la deuda aplazada puede ser inferior al valor nominal inicial. Antes de pasar
al desarrollo del modelo debemos hacer un supuesto.
Supuesto 1 La liquidación de la empresa tiene un coste, L, con L 0.
Cuando la liquidación tiene lugar, los acreedores reciben el control de la empresa
y dicha transferencia de control desde los accionistas hasta los acreedores puede tener
un coste positivo. La existencia del coste de liquidación justifica la posibilidad de que
los acreedores ofrezcan una rebaja de la deuda. Esto se debe a que en caso de que la
empresa se liquide en T, los acreedores recibirán VT −L, y en caso de que se reorganice,
recibirán VT −ST , donde VT es el valor de la empresa en T, y ST es el valor de los
recursos propios en T. Los acreedores aceptarán la reorganización de la empresa si se
cumple lo siguiente:
VT −ST VT −L (3)
esto es, si su valor en caso de reorganización es mayor o igual que lo recibido en caso de
liquidación. En caso contrario, los acreedores rechazarán la reorganización y forzarán
la liquidación de la empresa1.
3.1 Una sola deuda
Esta primera sección está dedicada a la valoración de los recursos propios de una em-presa
cuya deuda consiste en un único bono cupón-cero. Distinguiremos tres casos:
cuando no existe la posibilidad de reorganización, cuando existe la posibilidad de lle-var
a cabo una reorganización y cuando existe la posibilidad de llevar a cabo varias
reorganizaciones.
3.1.1 Sin posilibidad de reorganización
Sea una empresa cuya deuda está compuesta por un bono cupón-cero con valor nominal
K y vencimiento en T. Llamemos V al valor total de la empresa. Para valorar esta
empresa utilizaremos el trabajo realizado por Merton (1974).
1Agradecemos a Santiago Forte sus sugerencias sobre este punto.
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Merton (1974) desarrolla un modelo de valoración de deuda cuando existe riesgo
de impago. Como aplicación de dicho modelo, estudia el valor de los recursos propios
de una empresa cuya estructura de capital está formada por recursos propios y por
un único bono cupón-cero con valor nominal K y vencimiento en T. El valor de los
recursos propios en t, S(V, t), debe cumplir:
1
2
s2V2SVV +rVSV −rS+St = 0 (4)
sujeto a:
S(V,T) = m´ax(0,V −K) (5)
S(0, t) = 0 (6)
V −S(V, t)
V
1 (7)
donde r es el tipo de interés libre de riesgo.
Merton (1974) muestra que el valor de los recursos popios de una empresa con
recursos propios y una sola deuda que no paga cupones se puede calcular como una
opción de compra donde el activo subyacente es el valor de la empresa, el precio de
ejercicio es el valor nominal de la deuda, y la fecha de ejercicio de la opción es la fecha
de vencimiento de la deuda. De este modo, el valor actual de los recursos propios de
esta empresa, en el caso de que no exista la posibilidad de reorganización viene dado
por la fórmula de Black y Scholes (1973):
S(V,0) =VN(d1)−Ke−rTN(d2) (8)
con:
d1 =
K +(r+ s2
ln V
2 )T
s
p
T
(9)
d2 = d1−s
p
T (10)
En la Figura 1, podemos ver el valor de los recursos propios de una empresa para
distintos valores nominales de la deuda. Observamos que a mayor valor de la empresa,
mayor valor de los recursos propios. De igual manera, vemos cómo cuanto mayor es el
valor nominal de la deuda, menor es el valor de los recursos propios de la empresa.
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3.1.2 Con posibilidad de una reorganización
Consideremos ahora el caso de que la empresa en T, no pudiendo devolver la deuda con
valor norminal K y vencimiento en T, lleve a cabo una reorganización, posponiendo el
pago de la deuda hasta T0, con T0 T, momento en el que pagará K0. Esta reorganiza-ción
tendrá un coste A, con A 0. Como vemos, no es necesario que el valor nominal
de la nueva deuda sea mayor que el de la anterior. Esto se debe a que es posible que los
acreedores de la empresa prefieran cobrar una cantidad inferior a K que arriesgarse a
que la empresa se declare en suspensión de pagos y no cobrar nada.
Podemos estudiar este problema utilizando el concepto de opción de compra exten-sible
propuesto por Longstaff (1990). Una opción de compra extensible es una opción
de compra que puede ejercerse en su fecha de ejercicio, T, pero que al mismo tiempo
permite que su poseedor extienda el vencimiento de la opción hasta T0, con T0 T,
mediante el pago del coste de la extensión, A, con A 0. Así, vemos que podemos con-siderar
el valor de los recursos propios, S(V, t), como una opción de compra, extensible
sobre el valor de la empresa, V, con precios de ejercicio K, K0, vencimientos T, T0, y
coste de la extensión, A.
Longstaff (1990) desarrolló una fórmula para este tipo de opciones. Los supuestos
previos al desarrollo de esta fórmula son los mismos que aparecen en el trabajo de
Forte y Peña (2003). Los resultados obtenidos para las opciones extensibles son por
tanto aplicables al estudio de la reorganización de las empresas introducido por Forte y
Peña (2003).
Llamemos EC(V,K,K0,T,T0,A) al valor actual de una opción de compra extensible,
y C(V,K,T) al valor de una opción de compra europea ordinaria con precio de ejercicio
K y vencimiento en T. Con esta notación, el pago de la opción extensible en T es:
máx{0,C(VT ,K0,T0−T)−A,VT −K} (11)
Esta función de pagos permite al poseedor de la opción elegir el máximo de tres pagos
diferentes, en lugar de solamente dos, como ocurre en el caso de una opción de compra
simple. Estos tres pagos son el valor de no extenderla, el valor de extender la opción
mediante el pago de A, y el valor de ejercer la opción. También podemos escribir (11)
de la siguiente manera:
máx{máx{0,C(VT ,K0,T0−T)−A},máx{0,VT −K}} (12)
Expresando los pagos de esta forma, vemos que la función de pagos de una opción de
compra extensible es el máximo de dos pagos: el valor de una opción de compra sobre
otra opción de compra, esto es, el valor de una opción compuesta, y el valor de una
opción de compra simple.
Antes de pasar a la valoración de la opción de compra extensible y por tanto de
los recursos propios de una empresa en caso de reorganización, debemos analizar los
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factores que determinan su valor. Podemos distinguir tres situaciones diferentes (véase
la Figura 2):
- Si A 0, existe un valor crítico de V en T, I1, por debajo del cual la opción no
se extiende ni se ejerce, esto es, la opción expira sin valor. En el caso de una
empresa, significa que el valor de la empresa es tan bajo que no se reorganiza, no
se extiende el plazo de la deuda, sino que se procede a la liquidación.
- Existe otro valor crítico de V en T, I2, por encima del cual la opción no se ex-tiende
pero se ejerce, esto es, la empresa paga su deuda. En este caso no existe
reorganización.
- Si en T el valor de la empresa se encuentra entre estos dos valores, esto es, I1
V I2, la opción se extiende, es decir, la empresa se reorganiza, emitiendo deuda
con valor nominal K0 y vencimiento T0 y pagando un coste de reorganización
igual a A, con A 0.
El valor de I1 se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:
C(I1,K0,T0−T) = A (13)
Esto es, I1 es aquel valor de la empresa para el cual, el valor de la opción al extender el
pago de la deuda es igual al coste de llevar a cabo la reorganización. Además, se puede
demostrar que:
A I1 A+K0e−r(T0−T) (14)
y que:
A = 0)I1 = 0 (15)
Esto es, si el coste de reorganización es nulo, la empresa prefiere siempre reorganizarse
que llevar a cabo una liquidación.
De manera similar, el valor de I2 se obtiene resolviendo:
C(I2,K0,T0−T) = I2−K+A (16)
Además, tenemos que:
I1 K )K I2 ¥ (17)
y que:
A K−K0e−r(T0−T) )I2 = ¥ (18)
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Lo anterior significa que si el coste de la reorganización, A, es inferior a K−K0e−r(T0−T),
la empresa nunca paga la deuda en T, sino que extiende su vencimiento hasta T0.
Por lo tanto, los recursos propios de esta empresa, con una sola deuda y con la po-sibilidad
de llevar a cabo una reorganización, se pueden considerar como una opción
de compra extensible. Para valorarlos, utilizaremos la expresión ofrecida por Longstaff
(1990) para valorar opciones extensibles, lo cual nos conduce a la siguiente proposi-ción:
Proposición 1 El valor actual de los recursos propios de una empresa financiada con
un único bono cupón-cero, con valor nominal K y vencimiento en T, con la posibilidad
de llevar a cabo una reorganización mediante la emisión de un nuevo bono cupón-cero
con valor nominal K0 y vencimiento en T0, teniendo esta reorganización un coste A,
con A 0, viene dado por la siguiente expresión:
S(V,0) EC(V,K,K0,T,T0,A) =
=C(V,K,T)+VN(g1, g2,−¥, g3,r)
−K0e−rT0N(g1−
p
s2T, g2−
p
s2T,−¥, g3−
p
s2T0,r)
−VN(g1, g4)+Ke−rTN(g1−
p
s2T, g4−
p
s2T)
−Ae−rTN(g1−
p
s2T, g2−
p
s2T) (19)
con:
g1 =
ln(V/I2)+(r+s2/2)T
p
s2T
(20)
g2 =
ln(V/I1)+(r+s2/2)T)
p
s2T
(21)
g3 =
ln(V/K0)+(r+s2/2)T0
p
s2T0
(22)
g4 =
ln(V/K)+(r+s2/2)T
p
s2T
(23)
r =
r
T
T0 (24)
y donde N(a,b,c,d,r) es la función de distribución de una normal estándar bivariante
con coeficiente de correlación r para la región rectangular dada por [a,b]×[c,d], y
N(a,b) es la función de distribución de la normal estándar univariante en el intervalo
[a,b].
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El primer término de la expresión (19) corresponde al valor de una opción de com-pra
simple sobre V con precio de ejercicio K y fecha de ejercicio T, es decir, el valor de
los recursos propios de la empresa cuando no existe la posibilidad de reorganización.
La suma del resto de términos representa el valor del derecho a extender el vencimiento
de la opción o privilegio de extensión, es decir, el valor de la posibilidad de llevar a
cabo una reorganización. El privilegio de extensión, P, tiene un valor mayor o igual
que cero, por lo que el valor de los recursos propios de una empresa con posibilidad de
llevar a cabo una reorganización va a ser como mínimo el valor de los recursos propios
cuando no existe dicha posibilidad. Para valorar el privilegio de extensión utilizaremos
la siguiente expresión:
P = EC(V,K,K0,T,T0,A)−C(V,K,T) (25)
Chung y Johnson (1994) ofrecen una fórmula equivalente para valorar la opción de
compra extensible, que es la siguiente:
S(V,0) EC(V,K,T,K0,T0,A) =
=VN(d1(I2,T))−Ke−rTN(d2(I2,T))
+V[N2(−d1(I2,T),d1(K0,T0),−r)−N2(−d1(I1,T),d1(K0,T0),−r)]
−K0e−rT0 [N2(−d2(I2,T),d2(K0,T0),−r)−N2(−d2(I1,T),d2(K0,T0),−r)]
−Ae−rT [N(−d2(I2,T))−N(−d2(I1,T))] (26)
donde r =
q
T
T0 , y donde N(x) y N2(x,y,r) son respectivamente la probabilidad acumu-lada
de una normal univariante y de una normal bivariante con coeficiente de correlación
r, y con:
- d1(q, t) = ln(V/q)+(r+1/2s2)t
s
p
t
- d2(q, t) = d1−s
p
t
Esta ecuación es equivalente a la obtenida en Longstaff (1990) utilizando las siguientes
relaciones:
N(a,b) = N(b)−N(a) (27)
N(−a) = 1−N(a) (28)
N2(−a,b,r)+N2(a,b,−r) = N(b) (29)
N(a,b,c,d,r) = N2(b,d,r)−N2(a,d,r)−N2(b,c,r)+N2(a,c,r) (30)
N2(x,−¥,r) = 0 (31)
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La Figura 3 muestra el valor de la empresa en caso de que no exista la posibilidad
de reorganización y en caso de que sí que exista2. Vemos que en caso de que exista la
posibilidad de reorganización, el valor de los recursos propios de la empresa es mayor
que en caso de que no exista dicha posibilidad. Por lo tanto, vemos cómo el modelo
refleja los resultados obtenidos por Leland (1994) y Dumitrescu (2002), que afirman
que en caso de que exista la posibilidad de reorganización, el valor de los recursos
propios es mayor. Además, se observa que esta diferencia entre el valor de los recursos
propios sin y con posibilidad de reorganización es mayor para aquellos valores de la
empresa situados entre I1 e I2, puesto que es entonces cuando la empresa se reorganiza.
En la Figura 4 estudiamos la relación entre el coste de reorganización y los valores
I1 e I2. Podemos ver que cuanto mayor es el coste de reorganización, A, mayor es el
valor de la empresa a partir del cual la empresa refinancia su deuda, I1, y menor es el
valor de la empresa a partir del cual la empresa paga su deuda en lugar de refinanciarla,
I2, puesto que la reorganización es más costosa.
En la sección 2.1. hemos indicado que para Franks y Torous (1994) el valor de la
opción a retrasar el pago de la deuda es mayor cuanto más cerca esté el valor nominal
de la deuda del valor de la empresa. Como hemos visto anteriormente, el valor de la
opción a extender el vencimiento de la deuda consiste en la diferencia entre el valor
de los recursos propios de la empresa cuando existe la posibilidad de llevar a cabo una
reorganización y el valor de los recursos propios de la empresa cuando no existe dicha
posibilidad, es decir, en la diferencia entre el valor de una opción de compra extensible
y el valor de una opción de compra estándar. En la Figura 5 podemos ver cómo nuestro
modelo de valoración de los recursos propios es consistente con los resultados de Frank
y Torous (1984): el valor del derecho a extender el vencimiento de la deuda crece con
el valor nominal de ésta. De igual manera, podemos observar cómo el valor máximo
de la opción a extender el pago de la deuda se alcanza cuando el valor de la empresa
se encuentra entre los límites de extensión, I1 e I2, pues es entre dichos valores donde
tiene lugar la extensión del vencimiento de la deuda.
3.1.3 Con posibilidad de varias reorganizaciones
Consideremos una empresa con una sola deuda con vencimiento en T1 y valor nominal
K1 que puede refinanciar su deuda emitiendo nueva deuda, con valor nominal igual a
K2, vencimiento en T2, y con un coste de reorganización igual a A1, con A1 0. Una vez
en T2, si la empresa no puede hacer frente a la devolución de la deuda con nominal K2,
puede llevar a cabo una nueva reorganización, con coste A2, con A2 0, emitiendo nue-va
deuda con valor nominal K3 y vencimiento en T3, con T3 T2. Y así sucesivamente
hasta llegar a Tn−1, donde la empresa podrá refinanciar su deuda emitiendo deuda con
valor nominal Kn y vencimiento en Tn mediante el pago de An−1, con An−1 0. Para
valorar los recursos propios de la empresa en este caso necesitaremos una expresión
2Para el cálculo de la probabilidad acumulada de la distribución normal bivariante que aparece en las
expresiones (19) y (26), hemos utilizado la aproximación ofrecida por Curnow y Dunnett (1962), que
puede verse detenidamente en el Apéndice.
12

que recoja estas nuevas posibles extensiones del pago.
Siguiendo el esquema planteado en el apartado anterior, consideraremos el valor
de los recursos propios de la empresa como una opción de compra extensible n−1
veces, cuya fórmula de valoración se desarrolla en Chung y Johnson (1994). Se trata de
una opción con precios de ejercicio Ki, y vencimientos en Ti, con i = 1, . . . ,n, y coste
de extensión Ai, para i = 1, . . . ,n−1. Al igual que en el caso de la opción extensible
una sola vez, dependiendo del precio del activo subyacente en Ti, Vi, tendremos tres
situaciones diferentes:
- Si el valor de la empresa, Vi, es menor que un valor crítico Ii1
, la opción expirará
sin valor, esto es, la empresa no se reorganiza y lleva a cabo su liquidación.
- Si Vi es mayor que un valor crítico Ii2
, la opción se ejerce, esto es, la empresa
i2
satisface el i1
pago de la deuda.
- Si IVi I, la empresa paga Ai y la opción se extiende hasta Ti+1, esto es, la
i2
i1
empresa refinancia su deuda mediante la emisión de nueva deuda.
Para obtener los valores de Ie Idebemos resolver las siguientes ecuaciones3:
C(In−1
1 ,Kn,Tn−Tn−1) = An−1 (32)
ECn−i(Ii1
,Ki+1, . . . ,Kn,Ti+1−Ti, . . . ,Tn−Ti,Ai+1, . . . ,An−1) =
= Ai, i = 1,2, . . . ,n−2 (33)
C(In−1
2 ,Kn,Tn−Tn−1) = In−1
2 −Kn−1+An−1 (34)
ECn−i(Ii2
,Ki+1, . . . ,Kn,Ti+1−Ti, . . . ,Tn−Ti,Ai+1, . . . ,An−1) =
= Ii2
−Ki+Ai, i = 1,2, . . . ,n−2 (35)
donde ECn(V,K1, . . . ,Kn,T1, . . . ,Tn,A1, . . . ,An−1) es el valor de una opción de compra
extensible n−1 veces, con precio de ejercicio K1 en T1, precio de ejercicio Ki y coste
de extensión Ai, a pagar en Ti, con i = 2, . . . ,n.
Por tanto, para valorar los recursos propios de esta empresa con una única deuda,
y con la posibilidad de llevar a cabo varias reorganizaciones, los consideraremos como
una opción de compra extensible varias veces. Para valorarlos, podemos utilizar la fór-mula
de valoración para opciones extensibles varias veces dada por Chung y Johnson
(1994), lo cual nos lleva a la siguiente proposición:
3Ha sido necesaria la corrección de algunos errores. En el trabajo original de Chung y Johnson (1994)
las ecuaciones (33) y (35) incluyen como costes de extensión Ai,Ai+1, . . . ,An−1, que como hemos visto
anteriormente, serían los costes de extensión a incluir en una opción extensible n−i veces, y no en una
opción extensible n−i−1 veces, como es el caso.
13

Proposición 2 Los recursos propios de una empresa financiada con un único bono
cupón-cero, en caso de que sea posible llevar a cabo n−1 reorganizaciones, se pueden
considerar como una opción de compra extensible n−1 veces sobre el valor de la
empresa, V, con precios de ejercicio el valor nominal de la deuda inicial, K1, y los
valores nominales de las nuevas deudas, K2, K3, . . . , Kn, y fechas de ejercicio la fecha
de vencimiento de la deuda inicial, T1, y de las nuevas deudas, T2, T3, . . . , Tn, y costes de
extensión los costes de reorganización, A1, A2,. . . , An−1. Aplicando la fórmula obtenida
por Chung y Johnson (1994)4 para opciones de compra extensibles n−1 veces, es decir,
con n períodos, tenemos que la expresión para los recursos propios es la siguiente:
S(V,0) ECn(V,K1, . . . ,Kn,T1, . . . ,Tn,A1, . . . ,An−) =
1=VN(d1(I1
2 ,T1))−K1e−rT1N(d2(I1
2 ,T1))
+V

N2(d1(I1
1 ,T1),d1(I2
2 ,T2),r12)−N2(d1(I1
2 ,T1),d1(I2

2 ,T2),r12)
+. . .
+V

Nn(d1(I1
1 ,T1),d1(I2
1 ,T2), . . . ,d1(Kn,Tn),r12,r13, . . . ,rn−1,n)
2 ,T1),d1(I2
−Nn(d1(I1

2 ,T2), . . . ,d1(Kn,Tn),r12,r13, . . . ,rn−1,n)
−K2e−rT2

N2(d2(I1
1 ,T1),d2(I2
2 ,T2),r12)−N2(d2(I1
2 ,T1),d2(I2

2 ,T2),r12)
−. . .
−Kne−rTn

Nn(d2(I1
1 ,T1),d2(I2
1 ,T2), . . . ,d2(Kn,Tn),r12,r13, . . . ,rn−1,n)
−Nn(d2(I1
2 ,T1),d2(I2

2 ,T2), . . . ,d2(Kn,Tn),r12,r13, . . . ,rn−1,n)
−A1e−rT1

N(d2(I1
1 ,T1))−N(d2(I1

2 ,T1))
−A2e−rT2

N2(d2(I1
1 ,T1),d2(I2
1 ,T2),r12)−N2(d2(I1
2 ,T1),d2(I2

2 ,T2),r12)
−. . .
−An−1e−rTn−1

Nn−1(d2(I1
1 ,T1),d2(I2
1 ,T2), . . . ,d2(In−1
1 ,Tn−1),r12,r13, . . . ,rn−1,n)
−Nn−1(d2(I1
2 ,T1),d2(I2
2 ,T2), . . . ,d2(In−1

2 ,Tn−1),r12,r13, . . . ,rn−1,n)
(36)
donde Nn r
es la función de distribución de una variable aleatoria normal n-variante,
ri j = ±
Ti
Tj
, con i j, donde el signo viene dado por el producto de los signos que
preceden a d1 y/o d2, y:
d1(q, t) =
ln(V/q)+(r+1/2s2)t
s
p
t
d2(q, t) = d1−s
p
t
4Ha sido necesario corregir algunos errores en dicha fórmula puesto que los autores parten de
la siguiente equivalencia Nn(a1,a2, . . . ,an,ra) − Nn(b1,b2, . . . ,bn,rb) =Nn(−b1,−b2, . . . ,bn,−rb) −
Nn(−a1,−a2, . . . ,an,−ra), donde ra y rb son matrices de correlaciones.
14

Debemos darnos cuenta de que si n = 2, esta ecuación coincide con el caso de una
única posibilidad de reorganización, estudiado en la sección anterior.
En el caso de que la empresa tenga la posibilidad de llevar a cabo n−1 reorgani-zaciones,
el valor del privilegio de extensión, P, vendrá dado por la diferencia entre el
valor de los recursos propios cuando existe la posibilidad de n−1 reorganizaciones y
el valor de los recursos propios cuando no existe dicha posibilidad, esto es:
P = ECn(V,K1, . . . ,Kn,T1, . . . ,Tn,A1, . . . ,An−1)−C(V,K,T) (37)
Como aplicación, supongamos que una empresa con deuda con valor nominal K1 y
vencimiento en T1 acuerda de antemano con sus acreedores una ampliación del pago de
la deuda de forma que se pueda devolver K2 en T2 o, si no le es posible, pagar K3 en T3,
mediante el abono de A1 en T1 y A2 en T2, con A1 0 y A2 0. El valor de los recursos
propios de esta empresa vendrá dado por el valor de una opción de compra extensible
dos veces, con precios de ejercicio K1, K2 y K3, fechas de ejercicio T1, T2 y T3 y costes
de extensión A1 y A2.
En la Figura 6 representamos gráficamente el valor de los recursos propios de una
i2
i1
empresa que tiene la posibilidad de llevar a cabo dos reorganizaciones. Mostramos
también el valor de los recursos propios cuando la empresa puede llevar a cabo una
reorganización o ninguna. Observemos cómo el valor de los recursos propios es mayor
cuantas más posibilidades de reorganización existan. Además, la diferencia es mayor
para aquellos valores comprendidos entre los límites Ie I, puesto que cuando el valor
de la empresa se encuentra entre estos valores, es cuando se lleva a cabo la reorganiza-ción
de la empresa.
Por otro lado, en la Figura 7 estudiamos en primer lugar la relación existente entre
el coste de la primera reorganización, A1 y los límites en T1, esto es, I1
1 e I1
2 . Vemos
que cuanto mayor es A1, mayor es I1
1 . Esto se debe a que cuanto mayor sea el coste de
reorganizarse, mayor será el valor de la empresa a partir del cual ésta se reorganiza. Con
I1
2 sucede lo contrario. I1
2 disminuye al aumentar A1, esto es, cuanto mayor es A1, menor
es el valor de la empresa hasta el cual ésta se reorganiza, puesto que la reorganización
es más costosa. En la Figura 7 también podemos ver la relación entre el coste de la
segunda reorganización, A2, y los valores de I1
1 , I1
2 , I2
1 e I2
2 . Al igual que ocurría con A1,
Ii1
aumenta con A2. A mayor A2, mayor es Ii1
, esto es, mayor es el valor de la empresa
a partir del cual se lleva a cabo la reorganización. Y, de forma contraria, a mayor A2,
menor es el valor de Ii2
obtenido, esto es, cuanto más costosa sea la reorganización,
menor será el valor de la empresa a partir del cual ésta hace frente a sus deudas en lugar
de llevar a cabo la reorganización.
En la Figura 8 podemos ver el valor del derecho a retrasar el pago de la deuda
cuando la empresa tiene un sólo tipo de deuda y existe la posibilidad de llevar a cabo
dos reorganizaciones. Este valor lo hemos calculado restando al valor de los recursos
propios de esta empresa el valor que tendrían los recursos propios en caso de que no
pudiese llevar a cabo dos reorganizaciones. Al igual que en el caso de una única reor-ganización
posible, el valor de la opción a extender el pago de la deuda es mayor a
mayor valor nominal de la deuda. Además, podemos ver también que se cumple que el
15

i2
i1
valor máximo se encuentra para valores de la empresa comprendidos entre los límites
de extensión, Ie I.
3.2 Varias deudas
En esta sección estudiamos el valor de los recursos propios cuando la deuda de la
empresa está compuesta por varias deudas con diferentes vencimientos. En particular,
analizaremos el caso de que la empresa tenga una deuda a corto plazo y una deuda a
largo plazo.
En primer lugar, valoramos los recursos propios cuando no existe la posibilidad de
reorganización por parte de la empresa, y más tarde, cuando sí existe la posibilidad de
reorganización, bien mediante una única refinanciación de la deuda o mediante varias.
3.2.1 Sin posibilidad de reorganización
Sea una empresa con deuda a corto plazo con valor nominal K1 y vencimiento en T1, y
deuda a largo plazo con valor nominal K2 y vencimiento en T2, con T2 T1. Para valorar
los recursos propios de esta empresa seguiremos el esquema utilizado por Geske (1977)
y más tarde corregido por Geske y Johnson (1984).
Geske (1977) aplica la técnica de valoración de opciones compuestas a la valoración
de un bono con pago de cupones y riesgo de impago. Como caso particular de este
problema, se valoran los recursos propios de una empresa cuya deuda está compuesta
por dos bonos cupón-cero con valores nominales K1 y K2, y vencimientos en T1 y T2,
con T2 T1. En el desarrollo de la expresión, Geske utiliza la teoría de Rubinstein
(1976) para descontar flujos inciertos, que puede verse en el Apéndice B.
Aplicando dicha teoría, Geske y Johnson (1984) llegan a la siguiente expresión para
el valor de los recursos propios de la empresa:
1,h0
2,r)−K1e−rT1N(h0
S =VN2(h1,h2,r)−K2e−rT2N2(h0
1) (38)
donde:
h1 =
1 )+(r+s2/2)T1
s
ln(V/V
p
T1
(39)
h0
1 = h1−s
p
T1 (40)
h2 =
ln(V/K2)+(r+s2/2)T2
s
p
T2
(41)
h0
2 = h2−s
p
T2 (42)
r =
s
T1
T2
(43)
16

y donde V
1 es el valor crítico de la empresa para el cual existe quiebra en T1, es decir,
1 = K1+K1
aquel valor que satisface la ecuación V
2 . Para obtener K1
2 , debemos fijarnos
que en T2, si el valor de la empresa es mayor que el valor nominal de la deuda que
vence en esa fecha, esto es, si V2 K2, los acreedores recibirán el valor nominal de la
deuda, y los accionistas recibirán la diferencia entre el valor de la empresa y el valor
de la deuda. Si por el contrario el valor de la empresa en T2 es inferior al valor nominal
de la deuda, K2, los acreedores recibirán los activos de la empresa, V2, y los accionistas
no recibirán nada. En otras palabras, podemos decir que en T2 los accionistas reciben
m´ax(V2 −K2,0). Por lo tanto, siguiendo Merton (1974), podemos decir que en T1 los
accionistas poseen una opción de compra sobre el valor de la empresa en T1, con fecha
de ejercicio T2, y precio de ejercicio K2. De este modo, el valor en T1 de la deuda con
valor nominal K2, será igual al valor de la empresa en T1 menos el valor de los recursos
propios, esto es:
K1
2 =V1−C(V1,K2,T2−T1) =
=V1[1−N(a)]+K2e−r(T2−T1)N(b) (44)
donde:
a =
ln(V1/K2)+(r+ 1
2s2)(T2−T1)
s
p
T2−T1
(45)
b = a−s
p
T2−T1 (46)
Consideremos una empresa financiada con dos bonos cupón-cero. En la Figura 9
vemos el valor para los recursos propios obtenido mediante la aplicación de la expresión
(38). En la Figura 10 analizamos la influencia del valor nominal de la deuda a corto y a
largo plazo en el valor de los recursos propios de la empresa. Vemos que tanto para la
deuda a corto plazo como para la deuda a largo plazo se cumple que cuanto mayor es
el valor nominal de la deuda, menor es el valor de los recursos propios.
3.2.2 Con posibilidad de una o varias reorganizaciones
Consideremos ahora el caso de una empresa con varias deudas que tiene la posibilidad
de refinanciar una de sus deudas en caso de que llegado el vencimiento de dicha deu-da
no pueda hacer frente a su devolución. En esta sección trataremos de obtener una
expresión general que se pueda aplicar tanto para el caso de que la empresa tenga una
única posibilidad de reorganización como varias posibilidades.
Sea una empresa con dos deudas con valores nominales K1 y K2, y vencimientos T1
y T2. Sea K2 K(1)
2
y T2 T(1)
2
. Supongamos que la empresa, llegado T(1)
2
, si no puede
hacer frente al pago de K(1)
2
, tiene la posibilidad de refinanciar la deuda mediante la
emisión de nueva deuda con valor nominal K(2)
2
y vencimiento en T(2)
2
, con un coste
17

A(1), A(1) 0. Una vez en T(2)
2
, si la empresa no puede satisfacer K(2)
2
, puede llevar a
cabo una nueva reorganización, con coste A(2), con A(2) 0, emitiendo nueva deuda
con valor nominal K(3)
2
y vencimiento T(3)
2
, con T(3)
2 T(2)
2
. Y así sucesivamente hasta
llegar a T(n−1)
2
, donde la empresa podrá refinanciar su deuda emitiendo deuda con valor
nominal K(n)
2
y vencimiento en T(n)
2
, mediante el pago de A(n−1).
Para valorar los recursos propios de esta empresa seguiremos la teoría de Rubinstein
(1974), que puede analizarse detenidamente en el Apéndice B. Esta teoría supone que
todas las carteras de activos con idénticos pagos deben valer lo mismo. También supone
que si los inversores no están saciados, debe existir un conjunto de variables aleatorias,
{Z}, con factor de descuento positivo, de tal modo que todos los ativos puedan ser
valorados. Si llamamos X[s(t)] al flujo generado por un activo en t, el precio actual de
dicho activo viene dado por:
P0 =
¥å
t=1
Z
{s}
X[s(t)]Z[s(t)] (47)
t Z[s(t)]/p[s(t)], donde p[s(t)] es una medida de probabilidad, la expre-sión
Definiendo Z0
t
(47) åse puede escribir de la siguiente manera:
P0 =E[XtZ0
t ] (48)
Así, cualquier flujo incierto se puede valorar utilizando la esperanza. De este modo, el
valor actual de la deuda de la empresa vendrá dado por el valor esperado descontado
de los flujos que recibirán los acreedores de la empresa. Consideremos el vencimiento
de la primera deuda, T1. En caso de que en T1 no exista quiebra, el valor de la deuda
será K1, que los acreedores recibirán en ese momento, más el valor en T1 de la deuda
con vencimiento en T2, esto es, K1
2 . En caso de que en T1 exista quiebra, los acreedores
recibirán el valor de la empresa, V1. Llamemos V
1 al valor crítico de la empresa para el
1 = K1+K1
que existe quiebra en T1, es decir, aquel valor que satisface la ecuación V
2 .
De este modo, lo anterior se puede reflejar en la siguiente expresión:
B = E[V1Z01
1 ]+E[(K1
2 +K1)Z01
|V1 V
|V1 V
1 ] (49)
Para obtener el valor en T1 de la deuda con valor nominal K2, K1
2 , consideremos
los recursos propios de la empresa en T1, justo después de la devolución de la deu-da
con valor nominal K1. Conociendo las posibilidades de refinanciación de la deuda
con nominal K(1)
2
, podemos considerar que en T1 los accionistas poseen una opción de
compra extensible n−1 veces sobre el valor de la empresa en T1, V1, con precios de
ejercicio K(1)
2 ,K(2)
2 , . . . ,K(n)
2
, fechas de ejercicio T(1)
2 ,T(2)
2 , . . . ,T(n)
2
y costes de exten-sión
A(1),A(2), . . . ,A(n−1). Por lo tanto, el valor en T1 de la deuda con valor nominal K2
18

viene dado por la siguiente expresión:
K1
2 =V1−ECn(V1,K(1)
2 , . . . ,K(n)
2 ,T(1)
2 −T1, . . . ,T(n)
2 −T1,A(1), . . . ,A(n−1)) (50)
que se puede calcular aplicando la expresión (36)
Una vez conocida la expresión para K1
2 (V1), la sustituimos en la expresión (49). El
resultado ofrecido por dicha expresión dependerá de la relación estocástica entre Vt y
Z0
t .
Supuesto 2 Los cambios en el valor de la empresa siguen un paseo aleatorio esta-cionario,
el valor de la empresa, Vt , y la variable aleatoria Z0
t , son variables lognor-males
conjuntamente distribuidas para todo t, la empresa no paga dividendos, y los
inversores están de acuerdo sobre la varianza del logaritmo de los cambios en el valor
de la empresa.
t tal que Z0
t XtR−1
Podemos definir la variable aleatoria Z0
Ft
/E(Xt). DefiniendoWt
Vt/Vt−1, tenemos que:
E(WZ0
t ) = 1 (51)
t ) = R−1
E(Z0
Ft
(52)
Sea wt lnWt , y sea y lnZt . Puesto que hemos supuesto que Wt y Z0
t son variables
lognormales conjuntamente distribuidas, w e y serán variables normales conjuntamente
distribuidas con función de densidad conjunta f (w,y).
Aplicando las expresiones (51), (52), y los resultados (3) y (8) del Apéndice C,
podemos enunciar la siguiente proposición:
Proposición 3 El valor de los recursos propios de una empresa financiada con dos
deudas con valores nominales K1 y K2, y vencimiento en T1 y T2, y que tiene la posibili-dad
de llevar a cabo varias reorganizaciones mediante la refinanciación de la segunda
de sus deudas, viene dado por la siguiente expresión:
S =V −B (53)
con:
B =
Z ¥
−¥
Z ln(V
1 /V)
−¥
Vewey f (w,y)dwdy
+
Z ¥
−¥
Z ¥
ln(V
1 /V)
K1
2 ey f (w,y)dwdy+
Z ¥
−¥
Z ¥
ln(V
1 /V)
K1ey f (w,y)dwdy (54)
19

donde K1
2 viene dado por la expresión (50), para la que utilizamos las siguientes igual-dades:
d1(q, t) =
w+ln(V)−ln(q)+(r+1/2s2)t
s
p
t
(55)
d2(q, t) = d1(q, t)−s
p
t (56)
donde w lnWt .
Para ver la aplicación de el modelo, consideremos el caso de una empresa con dos
deudas con posibilidad de llevar a cabo una reorganización mediante la refinanciación
de la segunda de ellas. En la Figura 11 comparamos el valor de los recursos propios
de esta empresa cuando existe la posibilidad de llevar a cabo una reorganización y
cuando no existe dicha posibilidad. Para la obtención del valor de los recursos pro-pios
en caso de que exista la posibilidad de reorganización hemos utilizado el modelo
aquí propuesto, dado por (53). La implementación de dicha expresión requiere la uti-lización
de aproximaciones numéricas que originan formas gráficas menos exactas que
las obtenidas para el caso de una única deuda. Sin embargo, observamos que ésto no
impide que el modelo satisfaga los resultados de Leland (1994) y Dumitrescu (2002),
esto es, que el valor de los recursos propios de la empresa es mayor cuando existe la
posibilidad de llevar a cabo una reorganización.
En la Figura 12 analizamos la influencia del valor nominal de cada una de las deudas
sobre el valor de los recursos propios de la empresa. En el gráfico superior de dicha
figura se observa la influencia del valor de K1 y en el gráfico inferior se observa la
influencia del valor de K2. En ambos casos vemos que cuanto mayor es el valor nominal
de la deuda menor es el valor de los recursos propios de la empresa.
4 Conclusiones
En este trabajo hemos desarrollado un modelo de valoración de los recursos propios y
la deuda de una empresa en caso de que ésta pueda llevar a cabo la renegociación de su
deuda en situación de crisis financiera. En la literatura encontramos artículos que estu-dian
la reorganización de las empresas pero no ofrecen una expresión para los recursos
propios o la deuda de la empresa. Además, en dichos artículos no se contempla la posi-bilidad
de que los acreedores prefieran rebajar la deuda con el objetivo de recuperar su
capital, esto es, que el valor nominal de la nueva deuda pueda ser inferior al de la deuda
a refinanciar. Y, por otro lado, tampoco permiten que las negociaciones necesarias para
llevar a cabo la reorganización tengan un coste.
En este trabajo hemos logrado cubrir las limitaciones encontradas en dichos traba-jos.
Hemos considerado dos estructuras de deuda diferentes: empresas con un único
20

tipo de deuda, y empresas con dos tipos de deuda. Para ambos casos hemos contem-plado
tres situaciones: que la empresa no pueda llevar a cabo una reorganización, que
pueda lleva a cabo una única reorganización o que pueda llevar a cabo varias reorgani-zaciones.
En el caso de un único tipo de deuda, hemos utilizado el modelo de Merton
(1974) para valorar los recursos propios cuando no existe la posibilidad de reorgani-zación.
Cuando existe la posibilidad de una única reorganización, hemos aplicado el
concepto de opción extensible propuesto por Longstaff (1990) y para el caso de varias
reorganizaciones, hemos aplicado el concepto de opción extensible n veces desarrolla-do
por Chung y Johnson (1994). Cuando la deuda de la empresa está formada por dos
tipos de deuda diferentes y no existe la posibilidad de reorganización, hemos utilizado
el modelo de Geske y Johnson (1984). En el caso de que la empresa sí pueda refinanciar
una de sus deudas una o varias veces, hemos desarrollado una fórmula de valoración
para opciones compuestas extensibles varias veces.
Mediante la aplicación de las expresiones obtenidas hemos comprobado cómo el
modelo corrobora la evidencia empírica obtenida por Franks y Torous (1994), de-mostrando
que cuanto mayor es la importancia de la deuda en el pasivo de una empresa,
mayor es el valor de la opción a extender el vencimiento de la deuda. Por otra parte,
hemos visto cómo el modelo sostiene las conclusiones obtenidas por Leland (1994) y
Dumitrescu (2002), esto es, el valor de los recursos propios es mayor cuando existe la
posibilidad de llevar a cabo una reorganización. Además, hemos analizado la influencia
del coste de reorganización, obteniendo que cuanto mayor es dicho coste, menor es el
valor de los recursos propios, ya sea una empresa con un tipo de deuda o con varias
deudas, y ya exita una sola posibilidad de reorganización o varias. También hemos vis-to
que el valor a partir del cual la empresa se reorganiza es mayor cuanto mayor es el
coste de dicha reorganización.
21

Apéndice A: Aproximación de la función de distribución
de la distribución Normal Multivariante
En este trabajo hemos utilizado la aproximación propuesta por Curnow y Dunnett
(1962) para calcular el valor de la función de distribución de la normal multivariante.
Sea Nn la probabilidad acumulada de una distribución normal con n variables. Esto
es:
Nn(h1,h2, . . . ,hn;{ri j}) =
Z h1
−¥
Z h2
−¥
. . .
Z hn
−¥
f (x1,x2, . . . ,xn;{ri j})dx1 . . .dxn (1)
donde f es la función de densidad de dicha distribución normal y {ri j} es la matriz de
correlación de las variables Xi, con i, j = 1, . . . ,n. Estas variables Xi pueden generarse
a partir de n+1 variables estándar Z1,Z2, . . . ,Zn e Y, utilizando la siguiente transfor-mación:
Zi =
Xi−diY
(1−d2
)1
i 2
(2)
donde di = cov(Xi,Y).
En el caso de que la matriz de correlaciones tenga la estructura ri j = gi/g j, donde

, con i j, Curnow y Dunnett (1962) desarrollan una fórmula para la integral
(1), que la reduce de dimensión n a una de dimensión n/2 si n es par, o a (n−1)/2 si n
es impar. La expresión es la siguiente:
Nn(h1,h2, . . . ,hn;{ri j}) =
Z h2
−¥
N(h0
i;ri j2; i6= 1,2) f (y)dy (3)
1)Nn−2(h0
donde:
ri j2 =
ri j −ri2rj2
(1−ri2)1/2(1−rj2)1/2
h0
i =
hi−ri2y
(1−r2
i2)12
Para n = 2, (3) queda de la siguiente forma:
N2(h1,h2, ;{ri j}) =
Z h2
−¥
N

h1−g1y/g2
(1−g2
1/g2
2 )1/2

f (y)dy (4)
Para n = 3, (3) queda como sigue:
N3(h1,h2,h3;{ri j}) =
Z h2
−¥
N

h1−g1y/g2
(1−g2
1/g2
2 )1/2

N

h3−g2y/g3
(1−g2
2/g2
3 )1/2

f (y)dy (5)
22

y, para n = 4:
N4(h1,h2,h3,h4;{ri j}) =
=
Z h2
−¥
N

h3−g2y/g3
(1−g2
2/g2
3 )1/2
Z h0
4
−¥
N

h0
3−g03
z/g04
(1−g03
2/g04
2)1/2

f (z)dz

f (y)dy (6)
donde:
g0
i = (g2
i −g2
2 )1/2
h0
i =
hi−ri2y
(1−r2
i2)12
23

Apéndice B: Teoría de Rubinstein (1976) para descontar
flujos inciertos
Geske, en su trabajo de 1977, parte de la teoría expuesta por Rubinstein (1976) para
descontar flujos inciertos, que explicamos a continuación.
Supongamos que existen estados de la naturaleza tales que dada la revelación del
estado en cada fecha, el flujo de caja recibido por cada activo es conocido con certeza.
Sea s(t) el estado en la fecha t, con t = 0,1, . . . , X[s(t)] el dividendo proporcionado por
un activo en el estado s(t), y P[s(t)] el precio del activo en s(t). Los supuestos son los
siguientes:
(1) Se cumple la ley del precio único, esto es, si dos activos o dos carteras de activos,
producen los mismos flujos para cada estado futuro, sus precios actuales deben
ser iguales. Dado que no puede haber más activos linealmente independientes
que estados, debe existir un conjunto de variables aleatorias {Z[s(t)]}, el mismo
para todos los activos, tal que para cualquier activo se cumpla:
P0 = S¥
t=1Ss(t)Z[s(t)]X[s(t)] (1)
El número de variables aleatorias no será único a no ser que el número de activos
linealmente independientes iguale al número de estados. Definamos un activo
normalizado sin riesgo para una fecha t como aquel que paga un dividendo cierto
de X[s(t)] = 1 en t y de cero en cualquier otra fecha. Además, llamando R−1
Ft al precio actual del activo normalizado libre de riesgo en fecha t, tenemos que
R−1
= SZ[s(t)].
Ft
s(t)(2) Ceteris paribus, a mayor dividendo para cada estado, mayor valor actual del ac-tivo.
Lo cual significa que Z[s(t)] 0 8 s(t).
Rubinstein (1976), partiendo de los supuestos anteriores, llama p[s(t)] a la probabili-dad
en t = 0 de que el estado s(t) ocurra. Si definimos la variable aleatoria Z0[s(t)]
Z[s(t)]/p[s(t)], entonces se cumple que:
P0 = StE(XtZ0
t ) (2)
De este modo, podemos decir que cualquier flujo incierto puede valorarse aplicando la
esperanza.
24

Apéndice C: Propiedades de la normal bivariante
En la sección 3.2. hemos utilizado algunos resultados obtenidos para la distribución
normal bivariante. A continuación mostraremos cómo obtener dichos resultados.
Sean x e y variables aleatorias normales, con μx E(x), μy E(y), s2
x Var(x),
sy Var(y), r r(x,y). La función de densidad conjunta vine dada por la siguiente
expresión:
f (x,y) =
1
2p
q
s2
x s2
y (1−r2)
×e
− 1
2(1−r2)
h
(x−μx)2
s2
x
−2r (x−μx)(y−μy)
sxsy
+(y−μy)2
s2
y
i
(1)
y la función de densidad marginal de x ( y similarmente de y) es:
(2)
Los resultados utilizados en el artículo son los siguientes:
Lema 1
Z ¥
−¥
Z ¥
a
ey f (w,y)dwdy = eμy+1
2s2
y N

−a+μw
sw
+rsy

(3)
Demostración: Como sabemos, la función de densidad marginal de w , f (w), viene
dada por:
f (w)
Z ¥
−¥
f (w,y)dy =
1
sw
p
2p
e
h
− 1
2s2w
(w−μw)2
i
(4)
por lo tanto, podemos escribir lo siguiente:
Z ¥
a
ew f (w)dw = eμw+1/2s2w
Z ¥
a
1
sw
p
2p
e
− 1
2s2w
h
w−(μw+s2w
i2
dw (5)
)
Aplicando (5) al caso de y y sustituyendo a por −¥, podemos demostrar que se cumple
lo siguiente:
Z ¥
−¥
ey f (y|w)dy = eμy+r μy
μw
(w−μw)+12
(1−r2)s2
y (6)
y de este modo tenemos que:
Z ¥
−¥
Z ¥
a
ey f (w,y)dwdy =
Z ¥
a
Z ¥
f (w)
−¥
ey f (y|w)dy

dw =
25

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