Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones escalares y vectoriales, y las operaciones con vectores necesarias para estudiar los campos electromagnéticos. El docente explica la diferencia entre magnitudes escalares y vectoriales, y define campos escalares y vectoriales. También cubre sumas, restas, multiplicación por escalares, productos escalar y vectorial de vectores, y sus aplicaciones en física.

1. TEORIA DE CAMPOS
ELECTROMAGNÉTICOS
SESION 5 y 6:

2. Presentación del Docente:
JOSE EDUARDO TORRES VEGA
Coronel EP ( R )
Diplomado en Ciencia y Tecnología
Ingeniero Electrónico CIP
Maestro en Administración
PADE-ESAN en Logística
Diplomado en Seguridad y Salud Ocupacional
Docente Universitario a nivel pre grado y post grado
Consultoría y Asesoría en el Desarrollo de Servicios de
Telecomunicaciones y Telemática, Temas de Seguridad Integral
Elaboración de Estudio Teórico de Radiaciones No Ionizantes

3. Datos/Observaciones
Inicio
¿Quién de Ustedes, puede definir la diferencia entre
una integral de superficie y una integral de línea?
¿Quién de Ustedes, puede sustentar el empleo de
integrales para determinar la magnitud de energía de
un fenómeno macroscópico?

4. Datos/Observaciones
Utilidad
¿Qué Estudiante puede explicar los conceptos
desarrollados en la sesión anterior?
Presentación del Tema:
Fundamentos matemáticos para el estudio de los campos
electromagnéticos:

5. Datos/Observaciones
Logro de la Sesión:
Al finalizar la sesión de clases, el estudiante explica los conceptos de función
escalar y función vectorial; así como, las Operaciones con vectores en el
estudio de los campos electromagnéticos, mediante la presentación de
ejemplos que expresen la ocurrencia de un fenómeno físico macroscópico
en el que interviene la carga eléctrica en reposo y en movimiento.
Utilidad del tema:
¿Cuál es la utilidad que Ud. considera que tiene el desarrollo del tema
durante la sesión de clases?
Identificación por los alumnos de la Utilidad del tema a desarrollar:

6. Datos/Observaciones
El estudiante aplica los conceptos de función escalar y función
vectorial; así como, las Operaciones con vectores en el estudio de los
fenómenos físicos macroscópicos en los que intervienen las cargas
eléctricas en reposo y en movimiento
Exposición por el Docente, de la Utilidad del tema:

7. Datos/Observaciones
Contenido:
MAGNITUD ESCALAR:
CUALQUIER MAGNITUD MATEMÁTICA O FÍSICA QUE SE PUEDA REPRESENTAR SOLAMENTE POR UN NÚMERO REAL.
EJEMPLOS: LONGITUD, ÁREA, VOLUMEN, TEMPERATURA, ETC.
MAGNITUD VECTORIAL:
SON AQUELLAS ENTIDADES EN LAS QUE ADEMÁS DEL NÚMERO QUE LAS DETERMINA, SE REQUIERE CONOCER LA
DIRECCIÓN. EJEMPLOS: DESPLAZAMIENTO, FUERZA, ACELERACIÓN, ETC. EL ENTE MATEMÁTICO QUE REPRESENTA A
ESTAS MAGNITUDES SE LLAMA VECTOR .
UN FENÓMENO FÍSICO PUEDE DESCRIBIRSE CUANTITATIVAMENTE, EN TÉRMINOS DE CANTIDADES FÍSICAS.
LA DESCRIPCIÓN INVOLUCRA LA FORMA EN QUE LAS CANTIDADES FÍSICAS DEPENDEN DE SU POSICIÓN.
UNA FUNCIÓN PUNTUAL REPRESENTA UNA CANTIDAD FÍSICA EN CADA PUNTO CON DEPENDENCIA DE SU
POSICIÓN

8. Datos/Observaciones
 Dados dos conjuntos A y B no vacíos, se llama función f de A en B y se indica f= 𝐴 → 𝐵
 A toda relación de A en B en la que se verifica que a cada elemento perteneciente a A,
le corresponde un único elemento perteneciente a B.
 A es el dominio de la función y B es el conjunto de llegada.
 Una función real de una variable real o función escalar es aquella que tiene dominio y
co dominio constituido por subconjuntos de números reales.
FUNCIÓN

9. Datos/Observaciones
 Si las operaciones algebraicas sobre la variable independiente son racionales
(adición, sustracción, multiplicación, división o potenciación con exponente
entero), la función se llama algebraica racional. Si la variable está afectada por
una raíz o exponente fraccionario entonces se llama algebraica irracional.
 Si las operaciones algebraicas racionales son enteras (adición, sustracción,
multiplicación o potenciación con exponente natural), la función se llama
algebraica racional entera o función polinómica.
 Si la variable está dividiendo o es afectada por un exponente entero negativo, es
algebraica racional fraccionaria.

10. Datos/Observaciones
 Función Acotada: función f tal que para cualquier valor de x, -m ≤ f(x) ≤ m.
 Función Afín: f(x) = mx + n (donde m y n ≠ 0)
 Función Algebraica: expresiones algebraicas (suma, resta, multiplicación...) de
números y variables
 Función Compleja: f: S → C, donde C es el conjunto de los números complejos
 Función Continua: función cuya curva está formada por un trazo continuo sin saltos
 Función Constante: f(x) = m, donde m es constante
 Función Creciente: función f tal que f(x1) ≤ f(x2) para cualquier par de puntos x1 < x2
Otros tipos de funciones

11. Datos/Observaciones
 Función Cuadrática: f(x) = ax2 + bx + c
 Función Cúbica: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
 Función Decreciente: función f tal que f(x1) ≥ f(x2) para cualquier par de puntos x1 > x2
 Función Discontinua: función cuya curva está formada por un trazo con saltos
 Función Escalar: f: 𝑅𝑛
→ R
 Función Explícita: y = f(x)
 Función Exponencial: f(x) = 𝑒𝑥
 Función Identidad: f(x) = x
 Función Impar: f(-x) = -f(x)
 Función Implícita: y ≠ f(x)

12. Datos/Observaciones
 ES UNA FUNCION REAL DE VARIAS VARIABLES EN LA QUE A CADA PUNTO DE SU DOMINIO SE LE ASIGNA EL
VALOR QUE TOMA UNA DETERMINADA MAGNITUD ESCALAR SOBRE DICHO PUNTO.
 REPRESENTA LA DISTRIBUCIÓN ESPACIAL DE UNA MAGNITUD ESCALAR, ASOCIANDO UN VALOR A CADA
PUNTO DEL ESPACIO.
 UNA CONSTRUCCIÓN QUE CARACTERIZA LOS CAMPOS ESCALARES SON LAS SUPERFICIES
EQUIPOTENCIALES QUE SON LOS CONJUNTOS DE PUNTOS SOBRE LOS CUALES LA FUNCIÓN TOMA UN
MISMO VALOR.
CAMPO ESCALAR
ES LA ASIGNACIÓN A CADA PUNTO DEL ESPACIO, COMO BASE O SOPORTE DE UNA MAGNITUD, DEL VALOR DE
UNA FUNCIÓN UNÍVOCA DE PUNTO.
CAMPO

13. Datos/Observaciones
Ejemplo de Campo escalar
Valor de la presión atmosférica en un huracán
)
,
,
( z
y
x
p
p 

14. Datos/Observaciones
La temperatura, T, es un campo escalar
A cada punto (x,y,z) del espacio se le
asocia un número T(x,y,z).
Todos los puntos de la superficie marcada
por T = 20° (representada por una curva
para z = 0) están a la misma temperatura

15. Datos/Observaciones
Base cartesiana para la representación de vectores en 3D.
En Física a un vector de módulo uno se le denomina versor
Base ortonormal en el espacio 3D:
Tres vectores de módulo unidad que, además son perpendiculares entre sí.
La base formada por los vectores se le denomina base canónica.
Es la más utilizada usualmente, pero no la única

16. Datos/Observaciones
Componentes cartesianas de un vector
Proyecciones de un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano

17. Datos/Observaciones
Cosenos directores
En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector a los cosenos
de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base

18. Datos/Observaciones

19. Datos/Observaciones
En el intervalo (0,1)

20. Datos/Observaciones
CAMPO VECTORIAL

21. Datos/Observaciones
Ejemplo de Campo vectorial.
Velocidad del viento en un huracán

22. Datos/Observaciones
A cada punto x,y, asocio un vector cuya componente x mide sin(x) y la componente y, sin(y)

23. Datos/Observaciones
A cada punto del espacio se le asocia un vector 3D y se suele escribir o

24. Datos/Observaciones
La velocidad de los átomos en un cuerpo en rotación

25. Datos/Observaciones
Algebra vectorial Adición de dos vectores
Vector Componentes en un Sistema
de coordenadas particular
La suma de dos vectores es otro vector
Cuyas componentes en un sistema de coordenadas particular vienen dadas por la
suma de las componentes de los dos vectores en el mismo sistema de coordenadas

26. Datos/Observaciones
Propiedades de la Adición de dos vectores
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Las dos se siguen inmediatamente a partir de sus componentes
Se puede sumar los vectores en cualquier orden

27. Datos/Observaciones
Se dispone gráficamente de un vector a continuación del otro, es decir, el
origen de coincide con el extremo de
La suma y puede representarse

28. Datos/Observaciones
Vector Componentes en un sistema de
coordenadas particular
El resultado de multiplicar un vector por un escalar es otro vector
Cuyas componentes en un sistema de coordenadas particular vienen dadas por el
producto de las componentes por el escalar
Multiplicación de vectores

29. Datos/Observaciones
Se define de la misma manera que la adición,
pero en vez de sumar se restan las componentes
Sustracción de vectores

30. Datos/Observaciones
Dados dos vectores cualesquiera y se define el producto escalar
El producto escalar de dos vectores se representa poniendo un punto , ,entre los dos vectores
El resultado de esta operación es un escalar, es decir una cantidad que no tiene dirección.
La respuesta es la misma en todo conjunto de ejes
Al producto escalar también se le conoce como producto interno, escalar o punto
PRODUCTO ESCALAR

31. Datos/Observaciones
Definición geométrica del producto escalar
es el producto del módulo de por el módulo de por el coseno del ángulo que
forman
es el menor de los ángulos que forman los vectores

32. Datos/Observaciones
La proyección de un vector sobre la dirección del otro.
es el producto del módulo de por el módulo de por el coseno del ángulo que forman
es el menor de los ángulos que forman los vectores

33. Datos/Observaciones
Si el producto escalar de dos vectores es cero, y el módulo de los dos vectores es
distinto de cero, entonces los dos vectores son perpendiculares entre sí.
Sean dos vectores como los de la figura.
Si tomamos el origen de coordenadas en el origen de los vectores, se
puede calcular la distancia al cuadrado entre sus extremos como

34. Datos/Observaciones
La misma distancia puede obtenerse de manera geométrica a partir del teorema del coseno
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los
ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente
opuestos a estos ángulos entonces:

35. Datos/Observaciones
Trabajo
Flujo de un campo vectorial
Ley de Gauss para campos eléctricos
A student’s guide to Maxwell’s equations
Daniel Fleisch
Cambridge University Press
(New York, 2008)
Magnitudes físicas en las que interviene
el producto escalar de dos vectores
Trabajo
Flujo de un campo vectorial
Ley de Gauss para campos eléctricos
A student’s guide to Maxwell’s equations
Daniel Fleisch
Cambridge University Press
(New York, 2008)

36. Datos/Observaciones
Producto vectorial de vectores
Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto vectorial
como un nuevo vector
Cuyas componentes vienen dadas por

37. Datos/Observaciones
El resultado de esta operación es un vector, es decir una cantidad que sí tiene dirección.
Al producto vectorial también se le conoce como producto externo, o producto cruz
Dados dos vectores cualesquiera y se define el producto vectorial
como un nuevo vector
Cuyas componentes vienen dadas por
El producto vectorial de dos vectores se representa
poniendo una cruz, , o un ángulo, , entre los vectores

38. Datos/Observaciones
Módulo del vector producto vectorial
El módulo de es el producto del módulo de por el módulo de por el
seno del ángulo que forman
El módulo del vector producto vectorial coincide con el
área del paralelogramo definido por los dos vectores

39. Datos/Observaciones
Magnitudes físicas que se pueden definir
como el producto vectorial de dos vectores
Momento angular
Fuerza de Lorentz

40. Datos/Observaciones
Algunos Tips

41. Datos/Observaciones
El producto escalar de un vector por el producto vectorial de otros dos
El resultado es un escalar
Si los tres vectores vienen dados en
coordenadas cartesianas se calcula
Propiedad geométrica: el volumen del
paralelepípedo definido por estos tres vectores
es igual al valor absoluto de su producto mixto

42. El operador nabla
El símbolo representa un operador vectorial diferencial.
Recibe el nombre de “nabla” o “delta”
Indica que se va a tomar la derivada en las tres direcciones
espaciales sobre la magnitud en la cuál está actuando
En coordenadas cartesianas
Por si mismo, no significa nada. Necesita una magnitud sobre la que actuar.
“hungry for something to differentiate”

43. Datos/Observaciones
Cierre:
Conclusiones Generales
1. Básicamente los conceptos de magnitud escalar y vectorial se utilizan para
identificar y modelar los fenómenos de la naturaleza.
2. Las operaciones vectoriales permiten la estimación de valores instantáneos de
los efectos de un fenómeno