Este documento trata sobre conceptos básicos de cinemática. Explica que el movimiento es relativo y depende del sistema de referencia elegido. Define conceptos como trayectoria, posición, desplazamiento y velocidad. También describe las unidades fundamentales del Sistema Internacional (metro, kilogramo, segundo) y cómo se representan y suman vectores.

1. CINEMÁTICA Física y química 1º Bachillerato Carmen Peña IES. Altaír

2. 01 L a s m a g n i t u d e s f í s i c a s  Medir una magnitud física es compararla con una cantidad de la misma magnitud que se ha establecido como unidad de referencia  El resultado de una medida es siempre un número seguido de una unidad M a g n i t u d e s i n t e n s i v a s y e x t e n s i v a s  Magnitud física extensiva es aquella que su valor depende de la porción de cuerpo considerada. Por ejemplo, el volumen o la masa  Magnitud física intensiva es aquella que su valor no cambia al considerar diversas porciones de un cuerpo. Por ejemplo, la temperatura o la densidad.  Las magnitudes físicas son propiedades relativas a los cuerpos cuyo valor puede establecerse de forma objetiva. La masa, la carga eléctrica o la velocidad son ejemplos de magnitudes físicas

3. 02 M a g n i t u d e s f í s i c a s f u n d a m e n t a l e s M a g n i t u d e s f í s i c a s d e r i v a d a s  Solo son necesarias tres magnitudes físicas fundamentales para el estudio de la mecánica: masa, longitud y tiempo  Sin embargo, al estudiar termodinámica, electricidad y fotometría es necesario introducir otras magnitudes físicas fundamentales : la temperatura, la intensidad de corriente, la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia  El resto de magnitudes físicas se denominan magnitudes físicas derivadas y se pueden expresar mediante fórmulas que relacionan las magnitudes fundamentales  Cualquier magnitud derivada se puede expresar como un producto de magnitudes fundamentales denominado ecuación de dimensiones  Para que una ley física sea correcta, es necesario que sea homogénea , es decir, que las ecuaciones dimensionales de sus dos miembros sean idénticas

4. 1 Unidades fundamentales y complementarias del S.I. Unidades fundamentales  El segundo (s) : Es la unidad de tiempo  El metro (m) : Es la unidad de longitud  El kilogramo (kg) : Es la unidad de masa  El amperio (A) : Es la unidad de intensidad de corriente eléctrica  El kelvin (K) : Es la unidad de temperatura termodinámica  La candela (cd) : Es la unidad de intensidad luminosa  El mol (mol) : Es la unidad de cantidad de sustancia Unidades complementarias  El radián (rad) : Es la unidad de ángulo plano  El estereorradián (sr) : Es la unidad de ángulo sólido

5. 12 Múltiplos decimales de las unidades del SI Divisores decimales de las unidades del SI MÚLTIPLOS Y DIVISORES DECIMALES tera (T) giga (G) mega (M) kilo (k) hecto (h) deca (da) deci (d) centi (c) mili (m) micro (  ) nano (n) pico (p) 10 12 10 9 10 6 10 3 10 2 10 1 10  1 10  2 10  3 10  6 10  9  

6. 13  Para que el manejo números muy grandes o muy pequeños sea más fácil, se emplea la denominada notación científica que consiste en escribir los números mediante una parte entera de una sola cifra, seguida de una parte decimal y una potencia de 10 con exponente entero, positivo o negativo según corresponda. Ejemplos: Carga eléctrica del electrón :  1,6 · 10  19 C Masa del electrón : 9,1·10  31 kg Velocidad de la luz en el vacío : 2,998 · 10 8 m s  1 Número de Avogadro : 6,022 · 10 23 mol  1  Las calculadoras científicas pueden operar con números en notación científica. Si el resultado de una operación es un número con más cifras que las disponibles en la pantalla, el resultado pasa automáticamente a notación científica

7. Magnitudes escalares y vectoriales  MAGNITUDES ESCALARES : son aquellas que quedan perfectamente determinadas por su número que expresa su medida y su unidad correspondiente que sirve para identificar a qué magnitud pertenece un valor numérico dado. Se llaman escalares porque se suelen representar mediante escalas numéricas. Ejemplo: el tiempo, la temperatura o la masa. C l a s i f i c a c i ó n d e m a g n i t u d e s f í s i c a s Magnitud física es todo aquello que se puede medir y según sus características se dividen en dos grandes grupos:  MAGNITUDES VECTORIALES: son aquellas que para definirlas completamente no basta con el número que expresa su medida, necesitamos indicar además una dirección y un sentido. Por esa razón se expresan mediante vectores. Ejemplo: la fuerza o la velocidad, ya que no quedan bien determinadas con solo un valor numérico; muchos móviles poseen el mismo valor numérico de la velocidad pero viajan en diferentes direcciones

8. Los vectores y sus características Podemos representar un vector respecto a los típicos ejes cartesianos (x,y si estamos en un plano o x,y,z si estamos en el espacio). En un plano, quedaría el vector representado por un par de números que son su proyección sobre cada uno de los ejes y reciben el nombre de COMPONENTES. L as COMPONENTES DE UN VECTOR se obtienen restando las coordenadas del extremo del vector (donde está la flecha) menos las del origen o punto de aplicación del vector. Para calcular el MÓDULO del vector basta con aplicar Pitágoras. Un vector es un segmento orientado que consta de los siguientes elementos:  Longitud o módulo , , representa la medida del vector y se expresa mediante un valor numérico. Se denomina vector unitario al que tiene módulo 1.  Dirección es la de la recta sobre la que se apoya el vector.Indica su inclinación.  Sentido , indicado por la flecha entre los dos posibles de cada dirección.  Origen o punto donde comienza el vector dirección módulo sentido

9. Los vectores se pueden sumar y restar. Sumar un vector es hallar otro vector llamado RESULTANTE que produzca los mismos efectos que los vectores sumados si actuasen simultáneamente. Para realizar la suma de vectores completa hay que hacerla numérica y gráficamente . Numéricamente se calcula el módulo del vector resultante, mientras que gráficamente se dibuja el vector resultante según su dirección y sentido, para realizar la suma de vectores correctamente se deben hacer ambas cosas. Para sumar varios vectores lo primero que hay que hacer es hacer coincidir sus orígenes. Si se trata de vectores paralelos entre si (igual dirección) puede ocurrir que: a)Vayan en el mismo sentido con lo que basta con sumar sus módulos. b)Vayan en sentidos contrarios, con lo cual sus efectos se oponen y por lo tanto se restan sus módulos y el vector resultante va en el sentido del mayor de ellos. y 5 2 1 5 x X Y   En x 5-1=4 luego la componente x es 4 En y 5-2=3 luego la componente y es 3 El módulo queda: =5 Los ángulos serán:

10. Así se observa que con vectores la resta es en realidad una suma en la que a uno de los vectores se le ha cambiado de sentido, al que lleva el signo menos delante. EL SIGNO DELANTE DE UN VECTOR INDICA SU SENTIDO, UN SIGNO MENOS DELANTE DEL VECTOR (es como multiplicarlo por –1 ) CAMBIA SU SENTIDO. - Si se trata de vectores perpendiculares entre si es fácil tanto la suma como la resta ya que se sigue LA REGLA DEL PARALELOGRAMO y el Teorema de Pitágoras para hacer los cálculos. - Si los vectores forman entre si un ángulo cualquiera se sigue empleando la regla del paralelogramo para hacer el dibujo pero para los cálculos hay que utilizar el Teorema del coseno (hay que tener en cuenta que el Teorema de Pitágoras es un caso particular del Teorema del coseno

11. Teorema del coseno: r 2 = a 2 + b 2 - 2.a.b.cos  como  = 180 º entonces cos  = -cos  Luego r 2 = a 2 +b 2 +2.a.b.cos  siendo  el ángulo entre los dos vectores Los más fácil es sumar por componentes ya que conociendo las componentes de los vectores que se quiere sumar resulta mucho más fácil ya que basta con sumar las componentes, componente a componente y el módulo del vector resultante se obtiene a partir de las componentes resultantes. Restar sería restar las componentes.  La suma de dos o más vectores es otro vector que se obtiene de forma geométrica mediante dos métodos posibles Método del paralelogramo : se sitúan dos vectores en un origen común. El vector resultante, se obtiene como la diagonal del paralelogramo formado por dos vectores dados. Método del polígono : se sitúan sucesivamente, el origen de un vector en el extremo del siguiente. El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del último

12. Medida de magnitudes físicas Si r es positivo , el vector resultante tiene el mismo sentido que el inicial Si r es negativo , el vector resultante tiene sentido contrario al inicial P R O D U C T O D E U N V E C T O R P O R U N N Ú M E R O  El producto de un vector por un número r , es otro vector de igual dirección, cuyo módulo es el producto del módulo primitivo por el número. El sentido depende del signo del número

13. VECTORES UNITARIOS Algo muy útil en Física son los llamados VECTORES UNITARIOS . . Es evidente que un vector unitario es aquel cuyo módulo es 1 pero ¿como se puede hacer que un vector sea unitario?. SE OBTIENE UN VECTOR UNITARIO DIVIDIENDO UN VECTOR ENTRE SU PROPIO MÓDULO. Entonces todo vector se puede representar como: -Su módulo, que indica su valor numérico. -Un vector unitario que indica la dirección. -Un signo (+ o -) que indica el sentido. por ejemplo 5 Si este vector a tiene, por ejemplo de componentes (3,4) su módulo es: El vector unitario sale de dividir a entre su modulo por lo tanto tiene de componentes (3/5, 4/5) que haciendo el módulo queda:

14. De todos los posibles vectores unitarios , en todas las posibles direcciones del espacio los que usarás con más frecuencia son los que se sitúan en los ejes cartesianos de referencia ya que sirven para identificar las componentes de un vector . El vector unitario en la dirección del eje x se llama i ,el que se sitúa sobre el eje y se llama j y el que se sitúa sobre el eje z se llama k.  Cualquier vector de un plano se puede escribir como suma de un conjunto de dos vectores { } de módulo unidad, perpendiculares entre sí, multiplicados por unos coeficientes numéricos: Si escribimos significa que este vector tiene como componentes sobre el eje x 5 , sobre el eje y 3 y sobre el eje z 2 o lo que es lo mismo que si colocamos su origen en el origen de coordenadas su extremo estaría en el punto (5,3,2) x z y

15. 09  Los coeficientes {a, b , c } se denominan coordenadas cartesianas del vector y se corresponden con sus proyecciones sobre los ejes cartesianos .  Los coeficientes {a, b} se denominan coordenadas cartesianas del vector y se corresponden con sus proyecciones sobre los ejes cartesianos.  Su módulo es: a b c    x y z x y O(0, 0 , 0) a b   Cualquier vector del espacio se puede escribir como suma de un conjunto de tres vectores { } de módulo unidad, perpendiculares entre sí, multiplicados por unos coeficientes numéricos:  Su módulo es :

16. EL MOVIMIENTO 1 Movimiento y sistemas de referencia Un cuerpo se mueve, si cambia su posición respecto a un punto de observación El viajero se equivoca al pensar que se mueve el vagón de enfrente. Al mirar al andén, comprueba que es su vagón el que se mueve El conductor está en reposo respecto al pasajero que transporta, pero está en movimiento respecto al peatón. Desde tierra el proyectil cae describiendo una parábola. Desde el avión cae en línea recta Si está en movimiento, es relativo  Si dicho punto está en reposo, el movimiento es absoluto 

17. La Cinemática es una parte de la Mecánica, que estudia el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen. Decimos que un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición en el espacio con respecto a un determinado SISTEMA DE REFERENCIA , que normalmente se considera fijo, y decimos que está en reposo si su posición respecto a dicho sistema de referencia no cambia. ¿Qué es un sistema de referencia? realmente siempre que realizamos cualquier medida la hacemos respecto a algo y decimos por ejemplo "desde donde yo estoy hasta la puerta hay 2 m" al decir esto nos estamos tomando a nosotros mismos como referencia. Entonces el reposo y el movimiento son conceptos relativos ya que dependen del sistema de referencia que tomemos, así una casa se encuentra en reposo respecto a nosotros y respecto a la Tierra que está en movimiento en torno al Sol, pero respecto al Sol estaría en movimiento junto con la Tierra y si vemos esta casa desde un tren en marcha parece que se mueve respecto a nosotros. PARA DESCRIBIR PERFECTAMENTE UN MOVIMIENTO HACE FALTA INDICAR RESPECTO A QUÉ SISTEMA DE REFERENCIA SE HAN REALIZADO LAS MEDIDAS.

18. Vector de posición y vector desplazamiento P 1 P 2 Se denomina Trayectoria al camino seguido por el móvil en su movimiento. Es escalar El espacio (S) que recorre un cuerpo en su movimiento se define como la longitud de la trayectoria recorrida y es también un escalar. Se mide en metros Los vectores de posición determinan las diferentes posiciones del movimiento podemos llamarlos r 1 y r 2 si consideramos las posiciones como posición 1 y posición 2. Son vectores que van desde el origen del sistema de referencia a la posición que se mide. El vector de posición de un móvil, es el vector con origen en O y extremo en P 1 . = Se representa por  X Y y x desplazamiento trayectoria vectores de posición

19. Se define vector desplazamiento como la distancia en línea recta entre dos posiciones inicial y final del recorrido. Se calcula restando los vectores de posición final e inicial. Se mide en metros Es vectorial. Coinciden desplazamiento y trayectoria cuando el movimiento es rectilíneo EL MOVIMIENTO DE CUALQUIER MÓVIL QUEDA PERFECTAMENTE DETERMINADO SI SE CONOCE COMO VARIAN LAS COMPONENTES DEL VECTOR DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO También coinciden cuando estudiamos desplazamientos muy pequeñitos , infinitesimales o diferenciales: En general, | |   s El vector (posición final menos posición inicial) se denomina vector desplazamiento. Su módulo representa la distancia entre dos posiciones que ocupa el cuerpo durante el movimiento. trayectoria

20. Ambos vehículos salen y llegan a la vez, pero no han viajado juntos. Tienen en común su velocidad media VELOCIDAD La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia . Sus unidades por tanto son: m/s cm/s o Km / h etc...  Magnitud velocidad media escalar:  Vector velocidad media:   Se define velocidad media como el cambio de posición de un cuerpo en un intervalo de tiempo: Rapidez: espacio recorrido por intervalo de tiempo

21. 4 Cuando  t  0 el vector desplazamiento se sitúa tangente a la trayectoria La velocidad instantánea es la que posee un móvil en un punto de su trayectoria Se representa por un vector tangente a la trayectoria, cuyo origen es el punto considerado, y cuyo sentido es el de avance del móvil La velocidad instantánea es el cambio de posición de un cuerpo en movimiento en cada instante. V - Lim  r - dr  t  t dt Cuando el cambio es diferencial el módulo (valor numérico) de dr es igual que dS V – dr - dS  dt dt =  t cuando  t  0 X Y

22. Física y Química 1º BACHILLERATO ACELERACIÓN La aceleración instantánea La aceleración media  B Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo . Sus unidades por tanto serán m/s 2 o Km/h 2 etc... Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay aceleración. =  t cuando  t  0 = =  t - t 2 - t 1 A A X Y X Y  

23. La aceleración Instantánea mide el cambio de velocidad en un instante determinado del movimiento: a - Lim  V - dV es también una magnitud vectorial  t  t dt Para conocer la aceleración en cada instante, necesitamos conocer intervalos de tiempo dt cada vez mas pequeños. La aceleración media estudia el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo . Es un vector con la misma dirección y sentido que el vector resultante de restar la velocidad inicial y final vectorialmente ,en cierto  t se define como : Se trata por tanto de una magnitud vectorial con la dirección y sentido de  . 1 2  = 2 – 1 y en esa misma dirección y sentido sale 1 - 2

24. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN Puesto que la velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto, cuyo sentido es el del movimiento, a partir de ella se podría obtener un vector unitario tangente a la trayectoria en cada punto y según el sentido del movimiento. Si usamos el sistema de referencia en función de la trayectoria podemos descomponer la aceleración en dos componentes: aceleración tangencial (a T ) : cambio del módulo de la velocidad respecto al tiempo aceleración normal (a N ): cambio de la dirección de la velocidad respecto al tiempo u N u T eje perpendicular al movimiento eje tangente al movimiento a T a N a trayectoria

25. LA ACELERACIÓN TANGENCIAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA EL CAMBIO DEL MÓDULO DE LA VELOCIDAD RESPECTO AL TIEMPO. Es la responsable del cambio de la magnitud velocidad, es decir, del módulo de la velocidad. Si a T = 0 el módulo de la velocidad es constante; es decir el movimiento es uniforme. En movimientos Uniformes donde la velocidad es constante en módulo no existe la aceleración tangencial. LA ACELERACIÓN NORMAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA EL CAMBIO DE DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD RESPECTO AL TIEMPO. a N – V 2 (m/s 2 )  R Se obtiene con la velocidad, en un instante dado, al cuadrado entre el radio de giro Existe siempre que el movimiento es curvilíneo. Es la responsable del cambio de dirección de la velocidad. Si el movimiento es rectilíneo esta componente se hace cero. O lo que es lo mismo si aN =0 la dirección del vector velocidad es constante, es decir, el movimiento es rectilíneo. a T – d V (m /s 2 )  dt Se obtiene derivando el módulo de la velocidad

26. 6 MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (MRU) En forma escalar: s = s 0 + v (t - t 0 )      Gráfica x-t Gráfica v-t      Como la trayectoria es recta, la velocidad no cambia en ningún momento de dirección y no hay aceleración normal. Como es un movimiento uniforme la velocidad no cambia de valor (módulo) por lo que tampoco existe aceleración tangencial. Luego este movimiento no tiene aceleración. Al ser la trayectoria rectilínea el desplazamiento ( r ) y la trayectoria (S) coinciden. Como la velocidad es constante la velocidad media y la instantánea coinciden. S=V.t Velocidad pendiente de la gráfica  t = - t - t 0  + (t - t 0 ) 200 600 1000 50 150 250 100 200 t (s) s (m) 4 50 150 250 100 200 t (s) v (m/s)

27. 2 7 Física y Química 1º BACHILLERATO MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA) Al ser un movimiento rectilíneo no tiene aceleración normal, pero la velocidad va cambiando en módulo (aceleramos o frenamos) y por lo tanto hay aceleración tangencial. Sustituyendo v por su valor resulta: S = S 0 + v 0 (t  t 0 ) + a (t  t 0 ) 2 La aceleración media coincide con la aceleración instantánea ya que la aceleración es constante  t (s) v (m/s) Gráfica v-t v t t 0 v 0  tg  a = t (s) v (m/s) Gráfica v-t v t t 0 v 0 La ecuación se transforma en:  t = v = v 0 + a (t - t 0 )  A =v 0 (t-t 0 ) + El área A bajo la gráfica velocidad-tiempo es el espacio recorrido 

28. Ecuación del movimiento uniformemente acelerado: S = V 0 .t + 1 . a.t 2 si hay espacio inicial S 0 se añade 2 Derivando se obtiene la velocidad V = dS V = V 0 + a. t dt ACELERACIÓN A FAVOR DEL MOVIMIENTO ACELERACIÓN EN CONTRA DEL MOVIMIENTO. (acelerar) (frenar) La aceleración es la pendiente de la gráfica velocidad –tiempo. El signo de la aceleración y de la velocidad depende del sistema de referencia que tomemos no de que el cuerpo acelere o frene. Si consideramos positivo el sentido de avance del cuerpo una aceleración es negativa si va en contra del avance del cuerpo y positiva si va a favor. Pero si el avance va en sentido negativo una aceleración positiva lo frenaría. Un cuerpo frena si su aceleración va en sentido contrario a la velocidad y acelera si ambas van en el mismo sentido. S (m) S 0 t (s) S (m) S 0 t (s) V (m/s) V 0 t (s) V (m/s) V 0 t (s)

29. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.mcu Al ser un movimiento uniforme el módulo de la velocidad es constante luego no hay aceleración tangencial. Su trayectoria es una circunferencia por lo que el desplazamiento y la trayectoria no coinciden. La velocidad va cambiando constantemente de dirección por lo que existe aceleración normal. Si la única aceleración que existe es la normal y la aceleración es constante, la aceleración media es igual que la instantánea en su única componente en este caso que es la aceleración normal. Ecuación del movimiento uniforme : S= V . t Si hay espacio inicial queda S = V . t + S 0 Aceleración normal o centrípeta a N – V 2  R Las gráficas de este movimiento serán las mismas que las de cualquier movimiento uniforme luego A PARTIR DE LAS GRÁFICAS S/t Y V / t NO ES POSIBLE DISTINGUIR EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME DEL CIRCULAR UNIFORME YA QUE NO NOS PERMITEN SABER LA TRAYECTORIA, SOLO INFORMAN DE LAS RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE LAS DIFERENTES MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO, PARA SABER LA TRAYECTORIA NECESITAMOS EL VECTOR DE POSICIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO Y REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE EJES DE REFERENCIA X,Y. Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad constante en módulo

30. 11 P 1 P 2  Magnitudes angulares   VELOCIDAD ANGULAR ω es el ángulo recorrido por unidad de tiempo. Como es lógico puede estudiar este cambio en un intervalo, velocidad angular media, o en un instante, velocidad angular instantánea.  s  s = R R R  = 1rad El vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria y normal al vector  El vector de posición cambia de dirección. Cumple que = R | |  Su trayectoria es una circunferencia de radio R   Si  s = R, se dice que el ángulo  mide un radián. Una circunferencia completa 360°  2  rad  Por definición  Se mide en rad (rad/s) ó bien 1 rpm = rad/s

31.  = cte (por ser R cte) V= ω .R La relación de estas dos magnitudes con la velocidad angular se puede determinar pensando que si el móvil da una vuelta completa recorre un ángulo de 2пrad y el tiempo que tardó en recorrerlo es el período T luego como la velocidad angular relaciona el ángulo recorrido con el tiempo empleado en recorrerlo :  = 2п T La ecuación del movimiento es:  Periodo T del movimiento, es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa y se mide en segundos  Frecuencia f del movimiento, es el número de vueltas que que tarda el móvil por unidad de tiempo. Es la inversa del período. Se mide en seg -1 que también se llaman Herzios (Hz)  El período y la frecuencia son inversos: Tiempo (s) número de vueltas T (periodo) 1 vuelta 1 segundo f (frecuencia) despejando T= 1 f

32. 13 EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA) t = 0 s t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad, lineal y angular, que varían de forma constante con el tiempo   0 = 0 rad/s  1 = 2 rad/s  2 = 4 rad/s  3 = 6 rad/s  4 = 8 rad/s  = 2 rad/s 2  = 2 rad/s 2  = 2 rad/s 2  = 2 rad/s 2  La ecuación del movimiento es :

33. 14 LA ACELERACIÓN EN LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS  Un móvil tiene aceleración si varía al menos algún factor (módulo o dirección) del vector velocidad  Sus componentes tangencial y normal se llaman intrínsecas, = +  t | | cuando  t  0 = está relacionada con la variación del módulo = está relacionada con la variación de la dirección de la velocidad P  Z Y X 

34. Movimientos circulares a N  0 y R = cte Movimiento rectilíneo uniforme a  = 0 Movimiento circular uniforme a  = 0 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado a T  0 Movimiento circular uniformemente acelerado a  = cte Movimiento rectilíneo acelerado a   cte Movimiento circular acelerado a   cte magnitud lineal= magnitud angular por radio S(espacio en metros)=  ( ángulo en rad ) .R V(velocidad)=  (velocidad angular ).R a T (aceleración tangencial) =  (aceleración angula). R Ecuación lineal del movimiento uniformemente acelerado: S = V 0 .t + 1 . a.t 2 2 Ecuación angular del movimiento uniformemente acelerado:  =  0 .t + 1 .  .t 2 2 Derivando se obtiene la velocidad V = dS V = V 0 + a. t dt Derivando se obtiene la velocidad  = d   =  0 +  . t dt  R = a T Movimientos rectilíneos a N = 0

35. 2 18 COMPOSICIÓN DE MRU EN LA MISMA DIRECCIÓN x 1 = x 01 + v 1x t x 2 = x 02 + v 2x t x 1 + x 2 = (x 01 + x 02 ) + (v 1x + v 2x ) t La suma es un MRU en la misma dirección Trayectoria La velocidad del niño al correr sobre la cinta, crece o decrece según el sentido elegido  El principio de superposición dice que si un objeto está sometido a la vez a dos o más movimientos, se cumple que:  O O  En este caso, su composición será: 

36. 19 COMPOSICIÓN DE MRU PERPENDICULARES x 0 y 0 y x Sean dos movimientos rectilíneos uniformes en las direcciones de los ejes X e Y con velocidades respectivas y   Si un móvil experimenta solo el primer movimiento:  Si un móvil experimenta solo el segundo movimiento:  Cuando experimenta la superposición de ambos:  El resultado es un MRU en la dirección determinada por: Y O X

37. Cuándo una partícula se encuentra sometida a dos movimientos simultáneos e independientes, el movimiento que realiza es un movimiento compuesto. Dicho de otro modo, hay movimientos en apariencia complejos que se pueden estudiar de forma mucho más simple como superposición de dos movimientos más sencillos. Entonces se habla de Composición de movimientos . El caso más corriente de composición de movimientos es el lanzamiento de proyectiles, ya sea vertical, horizontal u oblicuo. En primer lugar es necesario tener claro que al lanzar un proyectil lo que hacemos es dispararlo con una cierta velocidad inicial, desentendiéndonos inmediatamente de él y dejándolo a merced de la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra y le hace caer sometido a la aceleración de la gravedad, g=9,8 m/s 2 , que es vertical y hacia abajo. En todos los casos vamos a considerar despreciable la resistencia del aire. Debemos establecer en primer lugar un sistema de referencia que mantendremos siempre igual en todos los movimientos, el sistema de referencia más sencillo es aquel que sitúa EL EJE Y EN LA VERTICAL DEL PUNTO DE LANZAMIENTO Y EL EJE X EN EL SUELO. Los lanzamientos los vamos a clasificar según la dirección en que lanzamos (la dirección del vector velocidad inicial) en tiros: verticales, horizontales y oblicuos:

38. TIRO VERTICAL Tenemos dos movimientos, el debido a nuestro lanzamiento (hacia arriba o hacia abajo) y el de la gravedad que tira del cuerpo hacia abajo. Vamos a ver los vectores de posición que se obtienen cuando el tiro es hacia arriba y cuando es hacia abajo: Vectorialmente la aceleración de la gravedad queda: g = - 9,8 j m/s 2 con el sistema de referencia que hemos tomado. Si el cuerpo sube es frenado por la atracción gravitatoria terrestre que acaba por pararle y le hace caer (sube y luego baja). En todo momento la gravedad actúa hacia abajo y es la velocidad la que cambia de sentido (primero sube y luego baja). Como la aceleración de la gravedad es un valor constante estamos con un movimiento uniformemente acelerado y su ecuación de movimiento es : S = V 0 .t + 1 . a.t 2 2 Como la trayectoria es rectilínea el valor del desplazamiento y el espacio recorrido coinciden por lo que el vector de posición del móvil en cada instante es: r = ( h 0 + V 0 .t - 1 . g.t 2 ) j (m) 2 y la velocidad se saca derivando: V = (V 0 – g.t ) j m/s Y X h 0 V 0 h máxima V final = 0 g

39. X V 0 h 0 Y En este caso la velocidad inicial tiene diferente sentido ya que va hacia abajo y por lo tanto diferente signo: r = ( h 0 - V 0 .t - 1 . g.t 2 ) j (m) 2 y la velocidad se saca derivando: V = ( - V 0 – g.t ) j m/s La gravedad acelera en todo momento al movimiento. Si en lugar de lanzarlo hacia abajo lo dejamos caer la velocidad inicial es cero: r = ( h 0 - 1 . g.t 2 ) j (m) 2 y la velocidad se saca derivando: V = ( – g.t ) j m/s En los dos casos si se deriva la velocidad sale siempre la misma aceleración , la de la gravedad:

40. 21 ESTUDIO DEL TIRO HORIZONTAL Trayectorias descritas por la pelota según el sistema de referencia Para un observador en tierra, la trayectoria es parabólica Para un pasajero del avión, el movimiento es vertical y en caída libre Para el observador en caída libre, el móvil posee un MRU horizontal

41. La velocidad de lanzamiento es horizontal, el cuerpo queda sometido a dos movimientos simultáneos: SOBRE EL EJE X: (mru) un movimiento horizontal rectilíneo y uniforme debido a la velocidad de lanzamiento, ninguna aceleración actúa horizontalmente, este es el MOVIMIENTO DE AVANCE (si no hubiera ninguna otra acción sobre el cuerpo este seguiría indefinidamente en línea recta). SOBRE EL EJE Y : (mrua) un movimiento vertical rectilíneo y hacia abajo, sin velocidad inicial porque la velocidad inicial es horizontal y uniformemente acelerado (aceleración de la gravedad) debido a la atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo haciéndolo caer, MOVIMIENTO DE CAÍDA . El vector de posición tiene: componente x (m r u S= V. t avance del proyectil) componente y donde se mide la caida y por lo tanto las alturas (m ru a sin velocidad inicial S= S 0 + 1 . a.t 2 ) 2 r = (V 0 . t ) i + ( h 0 - 1 . g.t 2 ) j (m) 2 y la velocidad se saca derivando: V = (V 0 ) i +( -g.t ) j m/s X V 0 h 0 Y alcance r

42. ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal que recorre hasta llegar al suelo. En el suelo la altura es cero luego y=0 entonces: 0 = h 0 - 1 . g.t 2 2 sacando el valor de t es posible obtener el alcance X= V 0 . t La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo de cada, ES UNA TRAYECTORIA PARABÓLICA. X = V 0 . t Y = h 0 - 1 . g.t 2 2 X = t sustituyendo en y queda V 0 Y = h 0 - g . X 2 2 V 0 2 Ecuación de la trayectoria

43. 24 Física y Química 1º BACHILLERATO ESTUDIO DEL LANZAMIENTO OBLICUO Unas trayectorias muy comunes Son las descritas, por ejemplo, por el lanzamiento de distintos proyectiles disparados desde el suelo.  Dependen de la velocidad inicial de salida y del ángulo de lanzamiento 

44. Si el tiro es oblicuo hacia arriba el vector de posición entonces es: El vector de posición tiene: 1) componente x (m ru S = V. t avance del proyectil) 2)componente y donde se mide la caida y por lo tanto las alturas (m ru a S= S 0 + V 0 . t + 1 . a.t 2 ) 2 r = (V 0X . t ) i + ( h 0 + V 0Y . t - 1 . g.t 2 ) j (m) 2 y la velocidad se saca derivando: V = (V 0X ) i + ( V oY - g.t ) j m/s ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal que recorre hasta llegar al suelo. Al llegar al suelo la altura es cero luego Y =0. h 0 +V 0Y t- 1 gt 2 =0 2 Resolviendo la ecuación de segundo grado se saca el tiempo. El recorrido en horizontal es X y por tanto con el valor de tiempo obtenido se saca X que es el alcance: X= V 0X . t V oX = V 0 . cos  V 0Y = V 0 . sen  X V 0 Y alcance r h 0 V h máxima V 0x V 0y  V 0Y V 0X

45. La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo, ES UNA TRAYECTORIA PARABÓLICA X = V 0X . t Y = h 0 + V 0Y . t - 1 . g.t 2 2 X = t V 0X Y = h 0 + V 0Y . X - g . X 2 V 0X 2 V 0 2 Ecuación de la trayectoria La ALTURA MÁXIMA se obtiene teniendo en cuenta que en ese punto el vector velocidad resulta horizontal luego la componente y de la velocidad es cero. V oY - g.t = 0 de aquí sacamos el tiempo y para determinar la altura vamos a la componente Y del vector de posición que mide las diferentes alturas e introducimos el valor de tiempo obtenido : Y = h 0 + V 0Y . t - 1 . g.t 2 2

46. Para un tiro oblicuo hacia abajo: El vector de posición tiene 1)componente x (m r u S = V. t avance del proyectil) 2)componente y donde se mide la caida y por lo tanto las alturas (m ru a S= S 0 + V 0 . t + 1 . a.t 2 ) 2 r = (V 0X . t ) i + ( h 0 - V 0Y . t - 1 . g.t 2 ) j (m) 2 la velocidad se saca derivando: V = (V 0X ) i + ( - V oY - g.t ) j m/s Y = h 0 - V 0Y . X - g . X 2 V 0X 2 V 0 2 Ecuación de la trayectoria V 0 Y alcance r h 0 V 0x V 0y  V 0Y V 0X V 0