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TEMA 1. ALGEBRA VECTORIAL Y
TEORÍA DE CAMPOS.
¨ Fundamentos Físicos de la Ingeniería I

Índice
1. Repaso de Álgebra Vectorial.
2. Momento de un vector.
3. Introducción a la teoría de campos.
1. Campos escalares.
2. Campos vectoriales.

1. Repaso de algebra vectorial.
¨ MAGNITUDES FÍSICAS: Propiedad física de un cuerpo susceptible de ser
cuantificada objetivamente mediante un proceso de medición.
¨ Tipos de Magnitudes:
¤ Escalares: se expresan mediante un número real y su unidad correspondiente.
Ejemplos: masa, energía, potencia, temperatura …
¤ Vectoriales: se expresan mediante un número real y una dirección y sentido.
Ejemplos: fuerza, velocidad, campo eléctrico,
¨ Vector: segmento orientado en el espacio que nos sirve para representar
magnitudes vectoriales. Viene definido por:
¤ Origen o punto de aplicación
¤ Módulo
¤ Dirección
¤ Sentido
OA =longitud del segmento
O
A
V = OA = V
!"
=OA
! "
!!
Punto de aplicación
Sentido
Dirección
Módulo

¨ Tipos de vectores:
¤ Libres: su punto de aplicación es cualquiera del espacio. Ej. Momento de un
par de fuerzas
¤ Vector deslizante: Su punto de aplicación es cualquiera de su recta soporte.
Ej. Fuerzas que actúan sobre un sólido, velocidad angular.
¤ Vector fijo: Están asociados a un punto específico del espacio. Ej. Velocidad
del aire, campo eléctrico, campo gravitatorio.
A A
A
A (Ax, Ay, Az)
A (Ax, Ay, Az) P (Px, Py, Pz)
A
A
A
P
A
P A (Ax, Ay, Az) P (Px, Py, Pz)

Componentes cartesianas de un vector.
¨ Consideremos un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio, Oxyz y los
versores i, j k asociados al sistema.
¨ Las componentes de un vector V, Vx , Vy , Vz , quedan determinadas por las
proyecciones del vector sobre los ejes coordenados.
A =Vx i + Vy j + Vz k
o bien V (Vx , Vy , Vz)
Vx
⋅ i
Vy
⋅ j
Vz
⋅ k
V

Componentes cartesianas de un vector.
¨ Las componentes de un vector V, cuyo origen tiene coordenadas (x1, y1, z1) y el
extremo (x2, y2, x2), serán
Vx = x2-x1, Vy = y2-y1, Vz = z2-z1
¨ Módulo es
¨ Cosenos directores (cosenos de los
ángulos que forma el vector con los
ejes coordenados)
2 2 2
x y z
V V V V V
= = + +
cos x
V
V
α = cos y
V
V
β = cos z
V
V
γ =

Operaciones con vectores:
A
B
+
C = A+ B

¨ Producto de un vector por un escalar.
¤ A: vector
¤ α: escalar
¨ Vector unitario o versor: vector de módulo unidad.
¤ Sea A un vector cuyo módulo es |A|(magnitud escalar)
Si multiplicamos el vector A por el inverso de su módulo, obtenemos un vector
unitario (módulo 1) en la dirección del vector A
α ⋅ A (α<1)
α ⋅ A (α>1)
A
α ⋅ A
α ⋅ A A
α ⋅ A = α ⋅ A
Mismo sentido que A si α>0 y sentido contrario si α<0
A
! = eA
"#
"
=
1
A
A

Ejercicio
¨ Dados los vectores a = 4 i – 10 j + 3 k; b = 0 i + 6 j + 10 k; c = 8 i + 3
j – 14 k. Calcular:
¤ a) vector suma de los tres: coordenadas, módulo y cosenos
directores
¤ b) producto escalar de a por b
¤ c) Ángulo que forman b y c
¤ d)Producto vectorial de b x c. ¿Qué representa la resultante?
¤ e) Producto mixto a. (b x c) ¿Qué representa?

Vector función de un escalar
¨ Cuando las componentes de un vector A son funciones de una o más variables
independientes, diremos que el vector A es función del escalar/escalares.
¤ A = Ax (t) i + Ay (t) j + Az (t) k = A (t)
¨ Considerando invariable el origen O del vector, su extremo variará al variar el
escalar.
O
P
P’
A(t) ΔA
A(t+Δt)= A(t) +ΔA
t P A(t)
t +Δt P’ A(t+Δt)=A(t) +ΔA
ΔA = PP’ = ΔAx i + ΔAy j + ΔAz k
Importante: |ΔA| ≠ Δ|A|

Ejercicio
¨ Calcular la función derivada del vector
A t
( )= 4 ⋅t ⋅sint
( )i + 9⋅ 5⋅t2
− 8
( )j+ ln t
( )
( )k
dA t
( )
dt
= 4 ⋅sint + 4 ⋅t ⋅cost
( )i + 90⋅t
( )j+
1
t
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ k

Índice
1. Repaso de Álgebra Vectorial.
2. Momento de un vector deslizante.
3. Introducción a la teoría de campos.
1. Superficies Equiescalares y Líneas de Nivel
2. Gradiente de un campo escalar
1. Líneas de Campo.
2. Circulación de un campo vectorial.
3. Campos conservativos. Función potencial.

2.1. Momento de vector respecto a un punto
¨ Se define el momento de un vector deslizante F
con respecto a un punto O del espacio como:
siendo P un punto cualquiera de la recta de acción
del vector F.
¨ De la definición de momento se deduce que éste es
perpendicular al plano formado por OP y F.
¨ Este momento es independiente de la posición de F
sobre su recta de acción:
¨ Si d es la distancia del punto O a la recta de acción
del vector, el módulo del vector momento es:
= ×
O
M OP F
= ⋅
O
M d F
F
F
P
P’
O
d
MO
OP
OP’
( )
= × = + × = × + × = ×
O
M OP' F OP PP' F OP F PP' F OP F

2.2. Cambio del punto de referencia del momento.
¨ El momento de un vector respecto a un punto P depende del punto P elegido.
¨ Por lo general, MO´ ≠ MO
2. Momento de un vector deslizante deslizante.
( )
′ ′ ′ ′ ′
= × = + × = × + × = + ×
O O
M O P F O O OP F O O F OP F M O O F
P
F
O´
O
MO´
MO
′ ′
= + ×
O O
M M O O F
Ecuación del cambio del punto de
referencia del momento.

2.3. Momento de vector respecto a un eje
¨ Se define el momento del vector F con respecto
a un eje en la dirección del versor e como la
proyección sobre el eje del momento del vector
respecto a un punto cualquiera del eje.
¨ La proyección sobre el eje del momento es igual
sea cual sea el punto del eje elegido.
¨ El momento de un vector con respecto a un eje
solo será nulo cuando la recta de acción del
vector corte al eje o cuando sean paralelos.
( )
e
M = ⋅ = × ⋅
O
M e OP F e

x −1
2
=
y − 4
3
= z +1
¨ Ejercicio 1: Dado el vector deslizante F = 3 i + 4 j +k, aplicado en el
punto P (2, 2, 1), calcular:
1. Su momento respecto al punto Q(1, 4, -1),
2. Momento respecto al eje

¨ Para un sistema de vectores deslizantes se define:
¨ Resultante general del sistema: vector libre suma de las fuerzas que
conforman el sistema. R.
¨ Momento general resultante del sistema respecto a un punto O: vector
suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto a O: MO
¨ O es el centro de reducción del sistema.
¨ Con R y MO queda definido el sistema de vectores.
¨ R y MO no tienen que ser perpendiculares.
i
= ∑ i
R F
Fi
P2
F2
F1
P1
Pi
( )
i
i i
= = ×
∑ ∑
O O,i i
M M OP F
O
R
MO
2.4. Sistemas de vectores deslizantes

¨ Para un sistema de vectores deslizantes, R es independiente del centro de
reducción (O), pero MO depende el punto O elegido.
¨ Dos sistemas de fuerzas son equivalentes cuando producen el mismo efecto
exterior al aplicarse sobre un mismo cuerpo.
Fi
P2
F2
F1
P1
Pi
O
R
MO
( )
i
i
= × =
∑
O´ i
M O´P F
( )
( )
i
i
= + × =
∑ i
OÓ OP F
( ) ( )
= × + ×
∑ ∑ i
i i
i i
OÓ F OP F
i
= × +
∑ i O
OÓ F M
= + ×
O´ O
M M OÓ R Ecuación del cambio del punto de referencia
del momento del sistema.
O’
R
MO’
Sistemas equivalentes:
- Misma resultante R
- Mismo momento en cualquier punto P MP

3. TEORÍA DE CAMPOS.
https://www.ngdc.noaa.gov/geomag/WMM/image.shtml

Índice
1. Concepto de Campo.
4. Resumen

¨ Sea una región del espacio donde se define una función tal que haga
corresponder a cada punto del espacio el valor de una cierta magnitud física
(función de punto), decimos entonces, que esa región del espacio constituye un
CAMPO.
¨ Tipos de campos
¨ Escalares: Si la naturaleza de la magnitud es escalar
U = U (x, y, z)
Ejemplos: Temperatura, presión, densidad, …
¨ Vectoriales: Si la naturaleza de la magnitud es vectorial
Ejemplos: campo de velocidades dentro de un fluido,
campo eléctrico, campo gravitatorio,
campo magnético…
1. Concepto de campo.
( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , , ,
x y z A x y z A x y z A x y z
x y z
= + +
A i j k

¨ Implica una interacción o una alteración del medio
¨ Tipos de campos según la magnitud (según dependencia con otras variables):
¨ Campo uniforme: aquel en el que la magnitud física que representa no
varía con las coordenadas espaciales siendo su valor igual en todos los
puntos
¨ Campo no uniforme: aquel en el que la magnitud física que representa
varía con la posición.
¨ Campo estacionario: aquel en el que la magnitud física que representa es
independiente del tiempo.
¨ Campo no estacionario: aquel en el que la magnitud física que representa
varía con el tiempo.
1. Concepto de campo.

Índice
1. Superficies Equiescalares y Líneas de Nivel
2. Gradiente de un campo escalar
4. Resumen

¨ Los campos escalares se representan mediante SUPERFICIES EQUIESCALARES.
¨ Superficies equiescalares: lugar geométrico de los puntos del espacio en los que la
magnitud física escalar definida U=U(x,y,z)toma el mismo valor.
U(x,y,z,t)=cte
¨ En dos dimensiones, líneas equiescalares.
¨ Las superficies equiescalares, o las líneas equiescalares, nunca se pueden cortar
en el espacio.

¨ Vector gradiente de U=U(x,y,z): aquel cuyas componentes son las derivadas
parciales de la función escalar que define el campo.
¨ Propiedades:
¨ representa la dirección de máxima variación de la magnitud escalar que
define el campo en las proximidades de un punto, sentido el de su
crecimiento y módulo la variación de U por unidad de longitud.
¨ es siempre perpendicular a las superficies equiescalares de dicho campo.
2. Campos escalares. Gradiente
Gradp =
!
∇p =
∂p
∂x
,
∂p
∂y
,
∂p
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
!
∇p Q
( )=
dp
dn
Q
( )⋅un
"!
"
Q
( )

¨ Ejercicio 1: calcular el gradiente de la función escalar:
2. Campos escalares. Gradiente
2
( , , )
U x y z x y xyz
= −

¨ La derivada direccional de p: proyección del vector gradiente en una dirección
determinada
2. Campos escalares. Derivada direccional
dp
dl
= ∇
!"
p⋅ul
!"

Índice
1. Líneas de Campo.
2. Flujo
3. Divergencia
4. integral de línea. Circulación de un campo vectorial.
5. Rotacional
6. Teorema de Stokes
7. Campos conservativos. Función potencial.
4. Resumen

¨ Los campos vectoriales se representan mediante Líneas de campo, de fuerza o
vectoriales.
¨ Líneas de campo: líneas tangentes al vector campo en todos sus puntos.
¨ Propiedades:
¨ El módulo del campo en un determinado punto viene determinado por la
densidad de líneas de campo en el mismo.
¨ Según el sentido de las líneas de campo, se dice que un punto es un sumidero
si en él las líneas de campo entran y fuente si, por el contrario, emergen.
S F
Sumidero
Fuente
d
λ
= ⋅
A r d dx dx dx
r = i + j + k
( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z
dx dy dz
A x y z A x y z A x y z
= =

3. Campos vectoriales. Divergencia
8.02T Electricity and Magnetism. Spring 2005. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu.
Representa el número neto de líneas de campo que atraviesan
una superficie S por unidad de volumen encerrado
Caracteriza las zonas de un campo vectorial que son fuente o
sumidero de campo
∇⋅
!
F =
∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z

3. Campos vectoriales. Rotacional
8.02T Electricity and Magnetism. Spring 2005. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu.
Si F (x,y,z) es un campo vectorial derivable, el rotacional de F
(rot F) viene dado por:
Proporciona información sobre las “fuentes vectoriales” del
campo en cada punto. P. ej. si rot F es nulo, esto nos
permite saber que F no tiene fuentes vectoriales.
∇ ×
!
F = rotE =
i
!
j
!
k
!
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Fx
Fy
Fz
=
∂Fz
∂y
−
∂Fy
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ i
!
+
∂Fx
∂z
−
∂Fz
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ j
!
+
∂Fy
∂x
−
∂Fx
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ k
!

¨ Circulación de un campo vectorial a lo largo de la curva γ entre los puntos A
y B:
¨ dr: desplazamiento infinitesimal sobre la curva
¨ Por lo general, la circulación depende de los puntos extremos, y del camino por el
que se calcule.
¨ Si el vector A es una fuerza, la circulación representa el trabajo que realiza.
¨ Si se invierte el sentido, cambia el signo
¨ Si la curva es cerrada
3. Campos vectoriales. Circulación
( )
d d d d
B B
B
A x y z
A A
C A x A y A z
γ = ⋅ = + +
∫ ∫
A r
A
B
A
dr
B A
A B
C C
γ γ
= −
A⋅dr
γ
!
∫

¨ Ejercicio 2. Calcular la circulación del vector campo A, entre los puntos P1 y P2, a
través de la curva γ
3. Campos vectoriales. Circulación
P1
P2
A
dr
yz xy x
+
A = i j + k
2
y x
z x
γ
⎧ =
⎨
=
⎩
( )
( )
1
2
0,0,0
1,1,1
P
P
=
=

Flujo de un campo vectorial a través de una superficie.
Representa el número de líneas de campo que atraviesan una superficie determinada
¨ Consideremos un campo vectorial A y un elemento de superficie ds ; al ser
infinitesimal podremos considerar que A es constante en todo el elemento.
¨ Se define el flujo elemental del campo A a través del
elemento ds como:
¨ El flujo del campo A a través de una superficie S será:
3. Campos vectoriales. Flujo
ds
ds
r ds
r
A
r
dΦ =
!
Α⋅d
!
s
A
ds
ds’
q
dΦ =
!
Α⋅d
!
s = A⋅ds ⋅cosθ = A⋅ds'
ds
ds
ds
A
A
A
Φ =
!
Α⋅d
!
s
s
∫

Flujo de un campo vectorial a través de una superficie.
•Φ>0: las líneas salen de la superficie (fuente)
•Φ<0: las líneas entran en la superficie (sumidero)
Si la superficie es cerrada:
El flujo es aditivo.
3. Campos vectoriales. Flujo
S
C
s
d
! F
r
∫
=
Φ
S
s
d
F
!
!
·
·
S
F ds
Φ = ∫
! !
"
S = S1 + S2 ⇒ φS = A
!
"
⋅dS
! "
!
S
∫ = φS1 +φS2 ds
ds
ds
A
A
A
S1
S2

¨ Campo potencial o conservativo: cuando su circulación a lo largo de cualquier
camino cerrado es cero.
¨ Consecuencia: la circulación entre dos puntos es independiente del camino por la
que se calcule.
¨ Estos campos vectoriales provienen del gradiente de una función escalar de punto
llamada función potencial
¨ Superficie equipotencial: lugar geométrico de los puntos del espacio en los que el
potencial es igual a uno dado.
¨ Condición necesaria y suficiente para que un campo sea potencial:
⇒ C = A!dr
g
!
∫ = 0
= −
A ∇U ⇒ C1,2
= A!dr
1
2
∫ = −∇U!dr
1
2
∫ = −dU
1
2
∫ = U1
−U2
− = −∫
2
2 1
1
·
U U d
A r
y
x
A
A
y x
∂
∂
=
∂ ∂
x z
A A
z x
∂ ∂
=
∂ ∂
y z
A A
z y
∂ ∂
=
∂ ∂
Para todo camino cerrado

¨ Ejercicio 3: Comprobar que el siguiente campo es conservativo y calcular su
función potencial.
¨ Hállese la circulación de este campo vectorial, entre el origen y el punto (1,2,3)
mediante la función potencial.
( 1) ( 1) ( 1)
yz xz xy
+ + + +
A = i j + k

Campo Solenoidal (incompresible o de divergencia nula)
S
C
s
d
! F
r
· 0
S
S F ds
∀ ⇒ =
∫
! !
"
Teorema de Gauss-Green-Ostrogradsky,
Intuitivamente se puede concebir como la suma de todas las fuentes menos la
suma de todos los sumideros da el flujo de salida neto de una región.
Para cualquier superficie de control cerrada, el flujo neto total a través de S es
igual a cero.
No hay fuentes escalares del campo. Las líneas de campo no nacen ni mueren
en ningún punto sino que se cierran sobre sí mismas
!
F d
!
s
S
"
∫ = ∇⋅
!
F dV
V
∫

4. Resumen
2. Campos escalares. Magnitud escalar. Función continua en el
espacio con un valor único en cada punto. Temperatura, presión
3. Campos vectoriales. Magnitud vectorial (módulo, dirección y
sentido) en cada punto del espacio. Campo eléctrico, gravitatorio,
magnético, …
4. Operadores – Gradiente, divergencia, rotacional
5. Circulación, Flujo

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