olimpics

1. I
Sociedad de MflfrmftiVa dp Chile

2. MATEMÁTICAS Y OLIMPÍADAS
Dr. Oscar Barriga
Depto. de Matemáticas
Facultad de Ciências, Universidad de Chile
Dr. Víctor Cortes
Depto. de Matemáticas
Facultad de Ciências, Universidad de Chile
Universidad de Santiago de Chile
Dr. Gonzalo Riera
Facultad de Matemáticas
Pontifícia Universidad Católica de Chile
Auspicio: Sociedad de Matemática de Chile
A L a publicación de eote libro l.a sido p w ib lc p a c i u a I»
J L co lab o ració n de Fundación Andes.
Santiago, Chile
Dr. Sergio Plaza
Depto. de Matemáticas y Ciências de la Computación
1994

3. Presentación
Una de las situaciones más diííciles a que se ve enfrentado común-
mente un investigador en matemáticas es la de tratar de explicar su
labor profesional.
Las respuestas a esta interrogante a lo largo de la historia de la hu-
manidad han sido de la más variada índole: hay quienes plantean que
cultivan esta ciência por satisfacción personal, sin buscar sus aplicacio-
nes inmediatas; otros aseguran que, siendo la búsqueda de conocimiento
consustancial a la naturaleza humana y siendo la matemática lenguaje
universal, ésta debe cultivarse como contribución ai acervo cultural de la
humanidad, para permitir a los diversos pueblos comprender su propia
y particular realidad. También se estima necesario que todos los países,
especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas científicas
básicas para así poder lograr independizarse científica, tecnológica y
economicamente.
Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos.
se puede constatar que pese a ser la matemática la más común de las
ciências, en el sentido de que está presente y es utilizada por todos
en Ia vida cotidiana, ciertamente no es la ciência con mayor grado de
popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprcnsión, disgusto e
incluso miedo a la matemática.
Aún considerando estas dificultades, creeinos que no ha sido sufi­
cientemente difundido el muy relevante papel que juega nuestra disci­
plina en la formación integral de cada ciudadano: de manera privile­
giada, la m atem ática aporta a esta forinación capacitando a las pcrso-
nas para tom ar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas.
para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por cjeinplo
a través de desarrollar la capacidad de abstracción, de ensenar a rela­
cionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuición; en fin.
la m atem ática ayuda a desarrollar una mentalidad crítica y creativa.
Es entonces muy preocupante que sea la más desconocida de las
ciências para el ciudadano medio; es lo que nos atrevemos a llamar

4. el analfabetismo matemático, o. más generalmente, el analfabetism
C,enEsf
ite°es el compromiso que como Sociedad de Matemática de Chile
hemos asumido: el contribuir a la formacion mtegral de los cudadanos
chilenos dei próximo siglo. t
Para ello, y desde 1989, por primera vez en el pais una sociedad
científica, integrada por investigadores, organiza una olimpíada cientí-
fica para la educación media, la Olimp.ada Nacional de Matemat.cav
esta competencia anual, concebida como un lugar de encuentro, ha con-
jugado los esfuerzos de los distintos actores involucrados en el sistenii
educacional: los alumnos de educación media, sus profesores, los pro-
fesores de sus profesores (esto es, los matemáticos profesionales) v las
instituciones que los acogen'. sus colégios, el colégio de profesores. las
universidades, Conicyt y el Ministério de Educación.
Nuestros principales objetivos al lanzar estas Olimpíadas han sido
el de promover el interés por las Ciências Matemáticas en la juventud
de nuestro pais y el de sensibilizar a la sociedad en su conjunto sobre
la imperiosa necesidad de adoptar como nación la decisión política de
invertir en dcsarrollo científico.
El interés despertado por estas competencias entre los profesores
de educación media ha sido enorme y contagioso; reconocemos espe­
cialmente la abnegada labor de estos maestros, a quienes hemos visto
multiplicarse en tiempo y esfuerzo para mejor preparar a sus alumnos.
creando talleres, seminários y competcncias intercolegios, agilizando
y modernizando así la labor educativa; al mismo tiempo. los hcnit»
visto inquietos y preocupados de su propio perfeccionamiento y válo-
ran o mejor su propia labor, al interactuar con los investigadores; sin
su aporte, lo logrado no tendría el mismo valor.
Chile dedlrarf^ ” 1** teXt°* f* com >
t-éde la Sociedad de M atem ática de
nal C o lt t Í 1 u ?,atenaS * ÍnStrUCCÍÓn m atem ática, Internatk,
i S T S i i í f t r InStr ÍOn (K M I-C h ile ), ha querido
entre sus lectores; en breve h ^ e ^ mVeStlgac,on en matematica>
in v e rtir en ciência es c S Í r ^ r - d « « U - C h i*
Rubi Rodríguez Moreno
Presidente
Comité ICMI-Chile

5. índice
1 T e o r ia d e N ú m e ro s 1
1.1 D ivisibilidad en los núm eros e n te ro s ......................................... 1
1.1.1 M áxim o com ún d iv is o r ..................................................... 3
1.1.2 N úm eros c o p r í m o s ............................................................ 6
1.1.3 N úm eros p rim o s................................................................... 7
1.1.4 C o n g ru e n c ia s ....................................................................... 11
1.1.5 Ecuaciones d io fá n tic a s ..................................................... (3
1.2 Funciones aritm éticas y sucesiones............................................. 14
1.2.1 S u c e sio n e s.............................................................................. 19
1.3 P roblem as re su e ito s.......................................................................... 20
1.4 P ro b le m a s .............................................................................................27
2 In d u c c ió n M a te m á tic a 30
2.1 Progresiones y sucesiones............................................................... 33
2.1.1 Progrcsión g e o m é tr ic a .....................................................34
2.1.2 Progresión a ritm é tic a ........................................................ 35
2.2 V ariante dei principio de in d u c c ió n ..........................................36
2.2.1 Sucesiones de Fibonacci .................................................39
2.3 Problem as resu elto « ........................................................................... II
2.4 P ro b le m a s ............................................................................................. II
3 C o m b in a to r ia y B in o m io d e N e w to n 46
3.1 C o m b in a to r ia ..................................................................................... 47
3.2 B inom io de N e to to n .......................................................................... 57
3.3 Ka fórm ula d<* Polya .......................................................................60
3.4 Problem as re su e ito s...........................................................................66
3.5 P ro b le m a s ..............................................................................................69
• « •
III

6. 4 G e o m e tria y 'T V igonom etría
4.1 Conceptos básicos de G eo m etria..............................................73
4.1.1 Congruência de triâ n g u lo s ........................................... 74
4.1.2 S em ejan za..........................................................................75
4.1.3 C u a d rilá te ro s.........................................................................76
4.1.4 C ircu n feren cias.....................................................................77
4.1.5 Desigualdades en un triâ n g u lo ................................... $0
4.1.6 Construcciones g e o m é tric a s ...................................... 80
4.1.7 Problem as resueltos..............................................................82
4.2 P ro b le m a s........................................................................................ 91
4.3 T rig o n o m etria................................................................................. 99
4.3.1 Medida de un â n g u lo ...........................................................99
4.3.2 Definiciones b á sic a s........................................................99
4.3.3 Teoremas íu n d am en ta le s.............................................100
4.4 Problem as resu elto s...........................................................................103
4.5 Problem as de trig o n o m e tria ..........................................................105
5 A n á lisis 107
5.1 Números racionaJes .....................................................................107
5.1.1 Orden en los números racionales...................................109
5.2 Números r e a l e s ................................................................................. 111
5.2.1 Serie geom étrica.................................................................118
5.3 Aproximaciones ........................................................................... 120
5.3.1 Representación d e c im a l................................................120
5.3.2 Representación en base p, p > 1 ............................. 125
5.4 Problem as resu elto s........................................................................129
5.5 P ro b le m a s.........................................................................................133
6 P ro b le m a s 136

7. Capítulo 1
Teoria de Números
En e ste p rim o r c a p itu lo sup o n d rem o s que cl lector está fam iliarizado
con los n ú m ero s n a tu ra le s y los núm eros enteros. E stos conjuntos los
denotarem os por N y Z, respectivam entc.
T am bién asu m irem o s conocidas las operatorias de sum a (+ ) y pro-
ducto (•) cn esto s conjuntos. C-asi siem pre denotarem os por ab (en vez
de <
i • b) el p ro d u eto d e los núm eros « y b. A dem ás supondrem os que
se conocen las regias de orden “ < " en los núm eros enteros.
1.1 D iv isib ilid a d e n los n ú m e ro s e n te ro s
C onsiderem os a ,b € Z, con a ^ 0. D irem os que el núinero e n te io no
nulo a divide a b si ex iste un núm ero en tero c tal que b = a • c. Si «
divide a b lo d en o tarem o s p o r el sím bolo <i{6. Al núm ero entero « st'
le Hama un d iviso r d e b. T am bién se dice que b es un m últiplo de a. o
bien que a es un f a d o r de b.
E je m p lo 1. C lara m e n te 2|1S, pu esto que existe el núm ero 9 tal que
18 » 2 • 9. Es d ecir, 2 es un factor d e 18 ó 2 es un divisor de 18.
E je m p lo 2 . P ara to d o núm ero n a tu ra l n se cum ple que »10. E sto
es in m ed iato d e la propiedad de que to d o núm ero n a tu ra l, incluído el
cero, m ultiplicado por 0 es cero.
l-

8. E je m p lo 3. Es claro que 3|18, pero 3 no divide a 20. Sin embargo,
sabem os que el número 20 se puede escribir como:
20 = 3 • 6 + 2 .
Ksia propiedad cs generalizable a un par de núm eros enteros arbitrarios,
como lo indica el resultado siguiente.
T e o re m a 1.1 (A lg o ritm o de la D iv isió n )
Scan a, bÇ 2, con a > 0. Entonces cxistcn dos números enteros q,
r únicos lales que
b = q a + r , ( 1.1)
con 0 < r < a. A l número r en (1.1) se le llama el resto de la división
de b por a.
Kste teorem a nos dice que s i a > 0, entonces ab si y sólo si el resto
dc la división de 6 por a es cero.
A contimiación enumeramos algunas propiedades dc la división que
aplicarem os en íornia reiterada en estas notas.
P ro p ie d a d e s d e la d iv iaib ilid ad
i) Si a |6 y ba, entonces a » ±b.
ii) Si a b y c|</, entonces acbd.
iii) Si ab y 6|c, entonces a|c.
iv) Si a |6, o|c y u, v € 2, entonces a|(fru + cv).
Probarem os solamente la propiedad iv) y dejaxemos de ejercicio las
restantes. Si ab y ac entonces existen núm eros enteros k x y jb2 tales
que b = k<x y c a Jt2a. Luego + c r es delaform a
bu + cv » kiQu + t-jav (ku + itat?)a ,
lo cual significa que a|(frti + cr).

9. 1.1.1 M áxim o común divisor
El máximo coimín divisor entre do* números enteros a. Aes 1
1
1
1 número
entero d, que denotaremos por d ~ (a ;6). y que satisfarr Us siguiontes
propiedades:
i) ã > 0, rf]n y <tb.
ii) Si c € Z es tal que eja y c|6 entoi>ces c < d.
En otras palabras, el máximo común divisor (a: b) es un número que
divide a a y a 6, y si existe otro número que divide a a y 6 entonres
necesariamento tal número es menor o igual a d. El Ejemplo 2 prueba
que (»; 0) * 0 para todo n número entero.
E jem plo 4.
(12; 21) = 3 .
(943:414) = 23.
Dos preguntas surgen inmediatamente de Ia definición de máximo
común divisor:
i) ^Existe siempre el máximo cotnún divisor de un par de números
dados?
ii) ;.Es posible construir un algoritmo para calcularlo?
La respuesta a ambas pregunta» es afirmativa. La respuesta a la
priinera está basada en el siguiente principio:
Principio de ta B u ena O rdenación (P .B .O .)
Todo conjunto no racío S dt as meros tnteros no negativos
poset M
n menor elemenfo.
En otra* palabras, existe un elemento q en 5 tal que 9 < s, para lodo
elemento 3 en S.
En matemáticas lo« principio» no »e demuestran: su validez se
acepta sin dUcusión. Por otra parte. U» teoremas deben ser domos
tradox y para desarrollar una deinostración se pueden usar defínicio-
ne*. resultados prévios y principio». En este capítulo el único principio
stipue*U> Hera e| P H.O.

10. A conlim iación probarcm os cl signicnlc resultado, que se deduce de!
Principio de la Buena Ordcnación.
T eorem a 1.2 (P ropiedad A rquím ediana)
Si a y b son número.* enteros positivos entonces existe un numero
entero positivo n ta! que »a > b.
Supongamos que no existe tal número n, es decir, na < b para todo
entero positivo n. Nótese que a y b son números enteros positivos dados
y fijos. Construyamos el conjunto 5 siguiente:
Como hemos supuesto que b — na > 0 para todo entero positivo n, se
tiene que S es un conjunto no vactò dc números enteros positivos. Apli­
cando el Principio se obtiene que 5 posce un menor elemento. Lucgo
existe mo € Z tal que (6 —moo) < (ò —«o) para todo n entero positivo.
De esta última desigualdad se obtiene que n < mo para todo n entero
positivo, lo cual evidentemente cs falso, pues m0 + 1 > rn®. Ksta con-
tradicción se obtuvo por la suposición de que na < b para todo entero
positivo n. Por Io tanto el teorema ha sido probado.
Con respecto a ia segunda pregunta, una manera dc calcular (a; b)
es encontrar todos los divisores de a y de b y elegir el mayor divisor
común a ainbos números. Este método resulta ser muy engorroso para
números grandes. Un método más efira* es descrito en el séptimo libro
de la obra de Euclidcs Ia>
$ Elemíntos. Este algoritmo para el cálculo
dc (a; 6) se basa en el siguiente resultado:
L em a 1.1 Si b = qa + r, entonces (o; 6) « (a; r ) .
La demostración es inmediata de la definición de máximo común
divisor. Sean k — (a',b) y ( » (a:r) los máximos comunes divisores de
a, b y a, r, respectivamente.
Despejando r en la igualdad (i.l) se tiene que r * 6 - qa. Como
ka y A
r|6, se obtiene, por propiedad iv) de la división, que k tambien
divide a r y lucgo, por definición de (, k < t. Además ( es también un
divisor de 6 y. |>or definición de k. ( < k. Por lo tanto no queda otra
alternativa que k s (.

11. ►
I
Para calcular (o; 6) procedamos He la siguiente matiera: aplicando
el algoritmo de la división sucesjvãmente ohtciM*nx» la sifluienle cadona
de igualdades:
t, — «jr, • fl + r l . 0 < r , < a ,
a s • ' ”1 + r 2 • 0 < r 3 < r j ,
n S3 93 • r , + r 3 , 0 < r j < r j .
r , - 2
— q n ■ i + r , , 0 < r . < r * _ , ,
r n - i s í n + l ‘ r m + r » + l • r . + i - 0 .
Detenemos el proceso al encontrar el primer resto nulo. Esto siempre
sucede, puesto que el resto de una etapa es eslrictam entc menor que el
resto de la etapa anterior y r,, el primer resto, es estrictanicntr menor
que a. Aplicando el Lema LI se obtiene que
(a;6) = (a ;r,) = ( r ^ r 2) = * (r«.,;*-*) =* (r* ;0) = r„ .
Luego r„, cl último resto no nulo dei proceso, es el máximo común
divisor de a y b.
Ejeinplo 5. Calculemos (414; 943).
943 » 2 414 + 115
414 * 3 1 1 5 + 69
115 » 1 6 9 + 46
69 * 1 46 + 23
46 « 2 -23
Ei) este ejemplo, a * 414, 6 =* 943 y los correspondientes restos son
rj » 115, r2 * 69, r3 » 46, r4 = 23 y r , = 0. Luego (414; 943) « 23.
Este algoritmo m uestra también que para un par de números enteros
a, b existen o, 0 números enteros laJes que:
(a; b) » oa + 0b . (1.3)

12. IO
ii el Ejemplo 5 se obtienen o y 0 eliminando consecutivamente los
restos rj, r2, ... ,r„, empo/,ando por la penúltima igualdad:
23 t= 69 - 1 ■46
= 2 •69 - 115
* 2 ■<414 —3 - 115> —115
= 2-414 -7 -1 1 5
s 2 - 4 1 4 - 7 (9 4 3 -2 -4 1 4 )
* 16-414 - 7-943.
Es docir, o = 16 y & = —7.
Kste ejemplo muestra córno proceder para el caso en que a y b son
do* enteros cualesquiera, es decir, se empieza por la última igualdad de
la oadena on ( 1.2) y se continua imitando lo realizado en el ejemplo.
l‘n interesante ejercicio consiste en probar que el máximo comiin
divisor d * (a; b) está también determinado por las condiciones
i) d > 0, da y db.
li) Si r|fl y c|6 entonces cJ.
Para probar que estas condiciones (que no usan el concepto de orden
“ < ") son equivalentes a la definición de (o;è) dada anteriormente, se
aplica la propiedad (1.3) dei máximo común divisor.
1.1.2 Números coprimos
Diremos que los número* enteros no nulos a, h.o jí b, son relativamente
primof (o copnmoa) si no poseen divisores comunes diferentes de t.
K* inmrdinlo de las definicione* que a y b son coprimos si y sólo si
(u;b) ■ 1.
Ejem plo fl. Los números 18 y 35 son coprimos, mtentra* que 18 y 15
no lo son, puesto que 3 e* un divisor común.
En particular, por (1.3), si a y b son coprimos entonces existen dos
números rnteros a y (í tales que
ttQ + b0 *s 1 . <1-4)
Ahoia prol>aremos uu resultado frecuentemente empieado. y que
aplicarrino* en la próxima sección.

13. tem a 1.2 .V
»<
i » (a;6) es cl niárimo común divisor de a y b. tntonee*
esposiblt encontrar entcros r. s tales que a & rd. 6 = *d. con (r:s) = l.
Por definició» dc d se sabe qw él es un divisor positivo de <
i y b.
luc&oes posible encontrar un par de números r, s ta] que a = rd. 6 = sd.
S»r, s no fueran roprimos, tendrían un divisor coinún z > 1. Entonccs
zd seria un divisor coinún de a y 6. Como sd > dt se oblicnc una con*
tradicción con la hipótesis de que d es d máximo común divisor de ellos.
Se puede enumerar una gran cantidad de propiedades para este tipo
de números. Mencionamos solamente algunas >
-dejamos como ejervicios
sus demostraciones.
Propiedades. Seau n,ò dos números coprimos, y c € 2.
i) Si r|o y d|6. rntonces (c;d) « 1.
ii) Si a|4r, rntonces a(c.
iii) Si a|c v 6|c, entonces abje­
to) Si (a;c ) » 1. entonces (a;6e) * 1.
v) Si e|a, rntonces (6;e) ® 1.
1.1.3 N ú m e r o s p rim o s
Direinos que un número entero p > 1 es im número primo (o stmpk-
mrnlf primo) si sus únicos divisores son 1, —1, p y —p. Si un número
a > 1 no es primo diremos que o es un número compucsio.
En este texto trabajaremos con los primos positivos. Los primeros
primos son 2. 3, 5, 7»... y lo« primeros compucatos son 4. 6. 8, 9 ,...
Nótese q»K
*cl número 1 no e* primo ni compuesto.
Examinaremos una prt/piedad elemental de los primos que es de
mucha utiliriad.
Lema 1.3 Si p ts primo y p|a6. enlonexs pa ó pJ6; ts dtetr, si un
niímrrD primo (iiciifr oi produeto de dos números, <nfon«$ neccíartc-
mcnJe «7 debe dividir a uno de ellos (o a ambos).

14. La demostración cs sitnple, pucsto que si pa no hay nada más que
hacei. Si p no divide a a entonces (pia) — 1 (pucsto que p no posee
ningúi) divisor fwra de 1 y p), « decir a y />son coprimos. Aplicando
la propiedad ii) de la coprimalidad se obtiene que necesariamente p|6.
Ahora estamos en condiciones de describir ei resultado quizás más
importante de ia teoria de números:
T eorem a 1.3 (T eorem a Fundam ental de la A ritm ética [T.F.A.])
Sen n > 1 un número entero. Entonccs ezisttn primos puP i,--,P r y
números enteros positivos oj ..............a T tales que
« = & " pV , 0-5)
con p < Pi < ■" < Pr- Adcmás esta rtpnsenUtción (1.5), llamada
descomi>osición primaria de n, es única.
E jem plo 7. Claramente, si no se impone la condición /h < pi < *•• <
p,. tal reprosentación no es única. Por ejemplo, el número 12 posee las
doscomposiciones siguientes:
12 = 23•3
12 » 2 -3 -2
12 * 3 •2* ,
pero sólo la primera de éstas cumple la condición pi » 2 < pt « 3.
Para los números 112 y 165, sus descomposiciones primarias soo:
112 a 24 ■7 ,
165 * 3 - 5 1 1 .
La deinostración dei T.F.A. está basada en el P.B.O. Daremos un
exhozo de cila.
Como n > I, entonces hay sol&tnenle dos posibilidades para n:
i) » e» primo, y luego no hay nada más que hacer, cs decir,
pi « n, Oi m 1 y r * 1.
ii) « es compursto.

15. gn el segundo caso se tendría que w posee divisora distintos de I y n ,
Entonces llamanios p, al menor do los divisores do n, cl cual existe por
; el P.B.O.. pursU> que cl conjunto 5 definido |>or
»
[ $ » {c : c|«,c > 1}
f
cs un conjunto no vacío <le enteros |>ositivos.
Afirmación: p cs primo.
Si p no fucra primo, cntonccs pi poseería un divisor c > I, con c <
p,. Como c|p, y pi|n, cntonces c|» (propiedad iii) de la división), lo cual
contradice la miniinalidad dc p,, quedando demostrada la afirmación.
; Ahora bien, por dcfimción de divisor existe un número entcroni > 1
tal que
n = «j •pi .
Fijemos nuestra alención cn r*j. Hay dos posibilidades para él, ya des*
critasm i) y ü). Aplicando el misnto argumento sobre tjj, se obtiene que
existe pj tal que pilfij. con pj el menor divisor posible dc nj. Imitando
lo hecho para pi ohlenetnos que pj también cs primo. Luego
ti = iij Pi pj , con n* < ni < n .
Continuando esto método se obtirne, en algún instante, que n, cs primo,
pues en cada etapa «f < «r-i < •' ■< »2 < nx < n y n, no puede ser
| menor que 1.
Varias preguntas se pueden plantear para los primos. Algunas de
ellas son:
i) iEs la cantidad de primos infinita?
ii) /.Existe algún algoritmo para encontrarlos todos?
Empecemos con la priincra: La respuesta a tal prcgunU fue en­
contrada en cl libro IX de los Elementos de Euclidcs. El argumento
descrito allt es de una simplicidad asombrosa.
T eorem a 1.4 (E uclides)
l.a cantidad dt números primos cs infinita.

16. Para demostrar este teorema Kudides supuso que hay una cantidad
finita de números primos y logró construir oiro primo más a partir de
los anteriores. Examinemos esta construcción detalladamente.
Supongamos que p i.p j,... ,p„ son todos los primos posibles. Con­
sidere cl número entero q definido como q * p • pj •••p* + 1. Puesto
que q > p, para todo i = 1,2,. ..,n , se tiene que q no es primo, es
decir. del>e ser compuesto. Aplicando cl T.F.A. se obtiene que q posee
un divisor primo p, cl cual dobe ser uno de los p i,p 2, . .. ,p„. Es decir,
pq. Pcro además claramente p|(pt •pt •• pR). Aplicando ia propiedad
iv) de la división, p debe dividir al número (q - pi -pj •••p„) = 1 y, por
lo tanto, p s I, lo cual contradice la definición de primo. En resumen,
se ha probado la infinitud de los números primos.
Es interesantc hacer notar que si comentamos con p = 2. el primer
primo, esta construcción gencra los siguicntes números:
qi = 2 + l =* 3 ,
çj s 2 - 3 + 1 = 7 ,
<
7
3 * 2 •3 •5 4 1 * 31 ,
qA = 2 - 3 5 - 7 + 1 = 211,
qb = 2 - 3 * 5 - 7 - 1 1 + 1 =2311 ,
los cuales sou primos. Sin embargo, q«, (p, qg no lo »on. Uno de los
problemas no resueltos en teoria de números es determ inar si existe
una cantidad infinita de primos que se pueda gcncrar con cl algoritmo
anterior. Se conocen muy pocas maneras (muy difíciles de obtener) de
generar primos. En resumen, la respuesta a la segunda pregunta plan-
teada no se conoce y es muy probable que tal algoritmo no exista.
Una variación dei argumento de Euclidcs es el siguiente:
n i — 2
n2 = nj + 1
n3 = n» • n t + 1
n* « n3 • nj •n, + l
•
n* = *U_| • n*_a •••nj + 1

17. P roblem a. Probar que dos números cualesquiera seleccionados dei
Algoritmo «nlenor son coprimos, es decir, s i, ? entonces («,:«,) = 1.
Esta coiiHlriirción produce infinitos números nt coprimo* cnli*' sí y
ya que ellos no poseen ningún factor primo común, obtem-mm otra dè-
niostranon de que hay una cantidad infinita de primos. Para íinaluar
Mia seccion daremos un par de resultados acerca de la distribución de
los primos en Z.
Como ya hemos visto, lo« primeros primo* son 2, 3, 5, 7, II. 13,
17,... Denotemos por /»i al primer primo, pj al segundo primo. p± al
tercero y así sucesivamente. Kn otras palabras, p, = 2, p, * 3, p* « 5
y p„ será el n-ésim o primo. Luego, por notación. fh, < pn+l. FJ maor
númeiu primo conocido basta 1979 era 2,, T0‘ - 1.
Teoremn 1.5 Si pn denoto et » —étimo primo, enloncet
p» < 2a"
Kste resultado prueha que al menos hay (n + I) primos meiu»rr<tquc
2**. La dcmoslración e» una clara y •encilla aplicación dcl Principio de
lnducrión Malemática y la daremo« en el próximo capítulo.
Teorema 1.0 Hay infinitos números primu# dr la fnrma 4n i 3
La dcmoslración e* tina inmediata variante de la demostración dei
multado anterior y por conaiguiente la incluiremos cn el capitulo 2.
Bntre las conjeturas acerca de la distiibución de los nuincro» primos
que aún permaneceu sin respuesta mencionamos:
• Para cada n € N, ^liay sieinpiv un número primo entre n y 2n?
• iHay infmitoB primo« de la forma n* + 1?
1.1.4 Congruencias
Sean iri € N, y o ,6en 2. Se diceque a es con^rucnfc con b módulo rn si
(u - 6) os múltiplo de m. Si esto sucede k>denotaremos por el símbolo
a = A(m). es decir
a S b(m) si y sólo si m|(a - b) .

18. Kjem plo 8.
11 = 1(5) , pu«to que 11 - I= 1 0 « múltiplo de 5.
23 = 2(7) , puesio q u e 23 - 2 = 21 es múltiplo de 7.
Es inmediato dc la definictón dc congruência que d ia es refleja, «s
decir, para todo número entero a se tiene que a S o(m). Además es
claro que es simétrica, puesto que
o = A(*n) *í y *ólo ti b& a (m ).
A continuación daremos aJgunas propiedade* d« las congruencias.
Sus demostrarione* *on directa« dc la« propiedades dc la divisibilidad
y Ias dejainos dc ejercicio para el lector.
Propiedades dc la congruência
i) Si a s 0(m), entonces mfa.
ii) Si o B 6(m), entonces a y b posrcn ei miimo resto en la diviskSn
por m.
iii) Si mm 6(m) >
' <**cím)*entonces o■ c(m) (lYansitividad).
iv) Si a * 6(»n), entoncc» ( « t « ) « ( 4 + «)("») y (« •« )■ < * •«)(m )*
v) Si a m b(m), entonces m a*(m) para k entero positivo.
vi) Si p e* primo y a - 6 * U(p), entonccs a 5 0(p) ó b s 0(p).
Es importante observar que para un número m fijo no nulo y para un
entero t cualquicra, éste debe satisfacer una y aólo una de las níguientes
congruência«:
2 = 0(m), z s l(m ), z ~ 2(m), ...» z 2 m —l(m ).
Este hecho es consecuencia directa dei Algoritmo de la División y
es otra forma dc decir que cualquier número entero, al dividirlo por m,
IK»t*e resto 0 ó l ó 2 . . . ô ( m - l ) . En particular, si elegimos m = 2
esto nos asegura que lodo número entero es par (satisface z = 0(2)) o
impar (satisface z = 1(2)).

19. E jem plo 9. Consideremos la congruência módulo 3. es d rn r, m = 3.
Entonccs cuaiqiner número entero a cs dc ia forma o = 3*-, <!e Ja forma
a - 3* + I o dc la forma 0 = M + 2. Notemos que « s 2(3) cs lo miumo
que decir a s -1(3).
Para finalizar esta sección enunciamos dos teoremas accrca <le los
números primos que son útiles dc recordar. Sus demostrarionrs son
más complicadas y las omitiremos por ahora. En ei capitulo 3 daremos
una sencilla demostrarión dei primero de ellos.
T eorem a 1.7 (F e rm a t)
Considere p primo y a un número entero. Entonces
a9 2 o (p) .
K) siguiente teorema caracteriza los números primos.
T eorem a 1.8 (W ilson)
Sea n un numfro entero mayor que 1. Entonces
a cs primo si y sólo si (o —1)! = —1(a) .
1 .1 .5 Ecuacioncs diofánticas
Una ecuación en una o más incógnitas se dice diofántica si la ccuación
posee coeficientes que son números enteros. En particular, nos interesa
examinar ia ecuación diofántica, llamada ecuación diofántica lineal en
dos incógnitas,
ax + by = c , ( 1.6)
donde a, b, c son enteros dados, con a , 6 no simultaneamente nulos.
Diremos que im par de números enteros /o. I/o es solución de la ecuación
(1.6) si y sólo hí ax0 + h o * <
*
•
E jem plo 10. Consideremos* la ccuación diofántica 3r + 6y « 18. Cla­
ramente m 4, j/o m 1 es una solucióti, puesto que 3 •4 4 6 • 1 ® 18.
También los pare* - 6, 6 y 10, - 2 son solucione». Esto muextra que una
ecuación diofántica lineal no necesariaiiicnU* posee soluciones únicas.
Más aún. puede suceder que la ecuación no posea niuguna solución
en Z. Por ejemplo, la ecuación diofántica 2 r + 8p — 13 no puede tener

20. soluciones en los números enteros, puesto que e! lado izquierdo de Ia
ecuación es siem pre par.
En el próxim o teorem a formulamos un critério de solubilidad para
las ecuaciones diofánlicas dei tipo ( 1.6).
T e o re m a 1.9 Denotemos por d = (a; 6). La ecuación diofántica (1.6)
poser una sotución si y sólo si dc. Adem ds si Xq, Jto *n0 solución
particular de la ecuación enfonces todas las otras soluciones x , y están
dadas por:
x =2 x0+ oit , y = yo — i
para t un enfero arbitrano, donde b = a d y a = 0d.
Una consecuencia inm ediata de este teorem a es el caso particular
en que los coeficientes a, b de la ecuación son coprim os. En tal caso se
obtiene que si Xo, Jfo cs una solución particular de la ecuación, entonces
todas la* soluciones x, y están dadas por:
X S Xo + bt , y * yo - at ,
para lodo t € Z.
E je m p lo I I . Estudiemoe la ecuación diofántica
172x + 20y = 1000 .
Se puede calcular que (172; 20) a 4. Puesto que 4 divide a 1000, el teo­
rema garant iza que la ecuación |K>see solución en los número« entero*.
Además se tiene que
1000 - 500 ■172 + (-4 2 5 0 ) • 20 .
Por lo tanto, x ~ 500 e y » —
4250 es una solución de la ecuación. y
todas las soluciones son de la forma x « 500 + 5< e y » —4250 —43f.
1.2 Funciones aritm éticas y sucesiones
En prim era instancia definiremos el concepto de función y pond remos
énfasis en las Uamadas funciones aritm éticas.

21. Una función f <
it un conjnnfo A rn otro roajunto B es una rtgla
que atocia a cada eUmento del conjunto A un y solo un elemento del
conjunto B.
Usualmente se denota esta función por el símbolo
f : A — B .
Al conjunto A sc le llama el dominio de la función / . Al conjunto
dr todos los valores do la función (que en general es *01© una parte del
conjunto li) so le llama recorrido de la función. Se denota por f[a ) al
elemento de H <juc corresponde a a y se le llama la imagcn dr. «.
De esta definición sc deduce que una función queda determinada
completamente por su dominio y por la regia de asociación de cada
elemento <lc él. En particular, dos funciones son iguales si y solamente
si ellas poseen el mismo dominio y además el valor que ellas asignan a
cada elemento de tal conjunto es el mismo.
Usualmente, m ando d dominio de la función es el conjunto Z o tin
subconjunto de él (como por cjemplo N) se dice que la función es una
función arifmtfica.
Examinemos algunos ejemplos de tales “regias"* aritméticas.
E jem p lo 12. Función o.
Consideremos A = B = N. Definamos la siguiente regia: a cada
número natural n le asociamo* ta ssmo de f*s divtsores positicof.
Mediante esta regia se tiene que a 1 se le asocia 1. a 2 se le asocia 3,
a 3 se le asocia 4, a 4 se le atocia 7. a 5 se le asocia 6, a 6 se le asocia 12
y as/ sucesivamente. PuesUi que todo número natural posee una única
cantidad d r divisores, esta regia define una función. que se denota por
la letra grirga n (sigma) y cuyo dominio es N. Más precisamente.
< t : N - . N vV
ít(n ) = suma de k* divisores de n .
Es decir, a cada número natural n * 1 .2 ,... se le asocia <y(l),<r(2),...
dados por
<r(l) * I. *(2) « 3 . <r(3) « 4 ,
<t( |) j» 7 . < r(5 |* 6 . <r(6) * 12...

22. Claramente, por defmiciôn de primo se tiene que
<r(n) = n + 1 si y sólo si « es primo.
Ejem plo 13. Funciôn 4 dt Etder.
A lodo número n € N le asociamos la canlidad dc números positivos
coprimos a nque no sean mayores que n. IJamemos <
Pa tal regia. Cia*
ramenle, ella define una función aritmética, puesto que a cada número
natural se le asocia un único número que, en este caso. es tambien un
elemento de N.
Por cjemplo:
4(2) = 1, ^(3) = 2,
0(4> « *
2
, # 5 ) - 4 , * 6) * 2 ,...
Kn particular, lodo número menor que un priinoes relativamente primo
a él, obteniendose que
4(n) m n - 1si y sók> si n es primo.
A continuación veremos una mancra dc calcular ${n). Empecemos
con $(21). I«a canlidad dc enteros positivos menores o iguales a 21
es 21. Por otro lado. sabemos que 21 posre como divisores a I, 3,
7 y 21. Lucgo los múltiplos He ellos que no sobrepasan a 21 quedan
descaitados. Ad«má* la cantidad de estos múltiplos puede ser calculada
de la siguiente manera: llay tantos múltiplos dc 3 roíno 21/3 ■ 7, hay
tantos múltiplos de 7 como 21/7 « 3, etc. Es decir,
21 21 21
donde el último factor (que es 1) deite agregarse, puesto que 21 fue
sarado dos veres.
Aliora tratemos de aplicar cl mismo argumento a un número natural
n m p^q*, con p, q número* primos. Empecemos contando los múltiplos
de p y q.
pV
p
fV
9

23. 1.2. Funciones ãritm étic*s y sucesioncs 17
Pcro los m últiplos de pq son m últiplos de p y de q sim ultaneam ente. de
modo que están contados dos veces, por lo tanto
*(pV ) =
P 9 pq
V P 9 pq)
- " R ) H )-
La fórm ula para un núm ero n arbitrario se logra a partir de la
descomposición prim aria de rt.
T e o re m a 1 .1 0 5 í n = p x • p ja • • ts la descomposición primaria
de n, entonces
E je m p lo 14. Considerem os n = 660. Su descomposición prim aria está
dada por n = 22 • 3 •5 • 11. Aplicando el teorem a obtenemos que
4(660) = 660 ■( l - i ) ( l - j ) ( l - i ) ( l _ 1 ) ,
y calculando cada térm ino se obtiene que
^ceoo) = .6 0 ( i ) ( f ) ( i ) ( l f ) = ,60
ParA finalizar esta sccción darem os la fórmuta para un caso especial.
El m étodo usado en la dom ostración es interesante de recordar.
T e o re m a 1.11 .S
’í p e» un prim o y k cs un cniero positico, entorte
#(p‘) - /- /> * - ' ■
En efecto, es evidente que p no divide a n si y sólo si (n:p*) = I.
Además hay pk~l enteros entre 1 y pk que son diviaibles por f>. a *al>er:
p> 2/i, 3 pk~'p

24. Lm*go <
*
l conjunto {1, 2.... ,p*} rontiene exactamente p* —p*“*enteros
<|Up son co[)rÍm«s co» p*.
Una opcración nattiral entre funciones es la ilainada “composición".
Ivsla operación se define de la siguicnte manera: si tomamos dos fun­
cione», / y g, do tal manera que <
*
l recorrido de / csté contenido en ej
doiniuio dc g, entonccs podemos construir una nueva función, que se
deuoia |>or g « f , cuyo dominio es el de / , definida por la regia de que
a cada imagen mediante / se le aplica la regia de g.
Más precisamente, ui I) es cl conjunto dominio de / y a cs cualquier
demento de /), entonccs su imagen f(a) debe estar cn el dominio de
g: luego le aplicamos a /(a ) la regia que define a g%
cs decir, $(/(<•))•
('Uramcntc esta definición asegura que cl recorrido dc y * / es un sub­
conjunto dei recorrido de g.
En general g * f cs diferente de f* g . Más aún, es posible que la
priir.ora exista, mientras que la segunda no tenga sentido alguno. Exa­
minemos lo» siguientes ejcmplos.
Kjcmplo 15. Composición de a y ó-
I.m funcione* $ y tx definidas con anterioridad poseen como dominio
iodos los mímeros enteros no negativos y su» recorrido» «on subconjun­
to* d,, los números enteros. Luego podemos formar 4>
*<
r y tainbién
o . ç,, Calculemos algunos valore» de cilas. Por ejemplo:
m * W ) ) *(I) te 1
m ° ( m ) * * ( » » I
W ) ( 3 ) c *(*(3)) m °{2) m 3
m *(<►(4)) B *(2) “ 3
i f f . m ) * *(*«)> e *(3) * 4
<♦•*)(!) m m
*0 )
m 1
m m * ) ) m *(3) m 2
(4 «<r)(3) m M * ) ) • m m 2
m <M*(4)) m M V m 6
C
9 * * ( 6)) e *<4) m 6
Kxaminando ralas tal>la» se observa claramente que ^«<r es diferente
dr

25. 1.2.1 Sucesiones
En el capítulo de Análisis formalizaremos el concepto de número ra­
cional. Por ahora entenderemos por número racional una íracrión ron
numerador y denominador números enteros.
Una sucesión de números racionales es una funcióo cuyo domínio
es e) conjunto de los números naturalcs y su recorrido un subconjunto
de los números racionales. Eis costumbre denotar una succsión descri-
biendo el recorrido de ella de la mancra siguiente: o simple-
mente por {x,,}*. Es decir,
con x(n) = x , .
Luego x„ denota la imagen dei número natural n mediante la regia
definida por la función x.
Por ejcmplo. {x»}*, donde x , = l/n , representa la succsión de
números racionales {1,1/2,1/3,1/4,.
E jem plo 16. Progmioncs antmetiets.
Consideremos una succsión {xn}n, donde los elementos x„ se for-
inan de la mancra siguiente:
x0 m o, X| w o + d, Xj ■ a + 2d........x. ■ « + «d....
Entonccs se dice que los números x j,x j,... ,x . . . .. se cncuentran en
progrrjiión aritmética. Otra mancra de decir esto es que la diferencia
de doe términos consecutivos cualwquiera de la sucesión es constaute.
Por ejemplo, los números 3. A. 7, 9 ,... están en progresión aritmé­
tica. puealo que la diferencia de dos término» conwcutivoi es constante
c igual a 2. Kn este caso se tiene que a ■ 3 y d ■ 2.
E jem plo 17. Progrttoonts gramétrtea*.
En el caso cn que los númews dados por I* sucesión {xn}n se rigen
por ta ley de formación
x0s a, xi = ar, Xj * ar7........x . = a r* ,...
se dice que los números x ,,x 3................. se encuentran en progrts,ón
gtom(tnm es decir. si las razones x»+i/x» dedos términos consecutivos

26. dc la succaión aon iguales para todo n. A r = x n+i/x* se le llama la
rcíón dc Ia progresión.
Por ejemplo, los números 3, 9, 27, 8 1 ,... están en progresión geo­
métrica, puesto que x*+i /x , = 3. En este ejemplo a = 1 y r * 3. En
d capitulo 2 volveremos a estas progresiones.
E jem plo 18. Sttctswnts de Fibonaeci.
Consideremos la sucesión de números enteros {xs }„ definida como
sigue:
Tq = a. Xj = i. Xj * I | + ío,
*«+a = r«+i + x „ para n > 0.
Es decir. j n, el término n-ésimo. cs ta suma de los dos términos mme-
diatamente anteriores.
Por ejemplo, si o = 1 y b = 1 se obtiene la sucesión de Fibonacci
{1,1,2,3,5,8,13,...}. En k* próximos capítulos las estudiaremos con
más detención.
Una sucesión {xn}* puede tener uo recorrido finito, como en el caso
x* = (—1 ) Claramente « ta sucesión asocia a todo número natural
par el 1 y a todo impar el —1.
Las funciones aritméticas <r y 4 tamhién se pueden interpretar como
sucosione# de número« enteros, donde x» = <r(n) y x , = ^(n).
1.3 Problem as resueltos
Problem a 1.1 Encucntre el valor miarmo de la exprtsión t dada per
donde p, q son niímrros enttroê poiüitot.
Solución: l)ebÍdo a que la expreiión z et simétrica en p y q, podemos
suponcr sin pérdida de generalidad que p < q.
Aplicando el T.F.A. sabemos que existe un número entero k > I
lal que q m kp + r, donde r es un oúmero entero con 0 < r < p. Por lo
tanto i puede escribirse como sigue:
r ?

27. Claramente, el valor mínimo de z se obtienc cuando k = 1 y r = 0.
Luego q = l ’ p + 0 s p y entonccs el mínimo dc z se obtíene cuando
p = q y tal valor es 2.
P ro b lem a 1.2 Dtmucstre que el cuadrado de un número cntero cs dt
la forma 8». 8n + 1 u 8n + 4.
Solución: Llamamos z al número entero. z puede ser par o impar.
Probaremos que en cada uno dc estos casos se cumple la tesis.
Primer caso {z par):
Sea z = 2k, con k un número entero. Luego z2= 4k7. Para Jt* hay
dos posibilidades: que sea par o impar.
a) Si k2es par entonces k7= 2p, donde p es un entero, y por lo tanto
z7 = 4k 7« 8p, cumpliéndose lo pedido.
b) Si k2es impar entonccs k7= 2^ + 1, donde q es un número entero.
Luego z 2= 4k2= 4(2? + l) = 8ç + 4, obteniendose lo pedido.
Segundo caso (s impar):
En este caso z » 2r + 1, con r un número entero. Desarrollando el
cuadrado dei binomio se obtiene que z2 = 4(rJ + r) + 1 » 4r(r + 1) + 1.
Puesto que el produeto dc dos números enteros consecutivos es siempn*
par (excluyendo el caso cero) se concluye que r(r + 1) = 2m para algún
número entero m, obteoiéndose que z7= 8m + 1.
P ro b lem a 1.3 Pruebc que la ecuaeión
j 3■
+ 1991y3 = z*
poste infinitas soluciones x, y, z qut *on números enteros posiíhos.
Solución: Pensemos primero en encontrar una solución. Experimen­
temos con j = y = Entonces t debe satisfacer
x3 + 199U3 = i * .

28. de Io ruai se obtiene que x — 1992.
Entonce* el trio j 0 = 1992. *, = 1992. :* = 1992 es una solución de
ia ecuarión.
Claramente, si Jb es un número entero positivo y uo, wo, es un
trio solución de la ccuaciôn, entonces el trio £4uo< k*vo, k3W
t>es también
una solución. Como k es arbitrario. se ha encontrado una infinidad de
ellas.
P ro b lem a 1.4 Scan p y q cnítros positivos. Dtmut»tre que 2*+l = q7
implica que p « q s 3.
Solución: Notemos que encontrando q se obtienc ínmediatamente p
y que la igualdad puede ser escrita como 2* = (ç — O fa + 0 -
significa que (ç — 1) divide a 2f . Aplicando el Teorema Fundamental
de la Aritmética (T.F.A.) se obtiene que necesariamente (ç —1) es una
potência do 2. En resumcn, se ttene que {$ —1) « 2", con n < p, y por
lo tanto la igualdad se transforma en:
2P =• 2" ■(2" + 2) = T ■2 (2*"' + 1) * r +I •(2*_I + 1) .
De esta igualdad se deduer que (2*”1+ 1) debe ser una potência de 2
(por T.F.A.), y esto sucede si y solamente sin = 1. Por lo tanto q — 3
y P = 3.
P ro b lem a 1.5 Sea n un número entero moyor que 1. D em uestn que
4" + n4 no es primo.
Solución: Si n es par la expresión i = 4* + n 4 e» divisible por 2,
luego no es primo. Supongaroos que n * 2k + 1, con k un entero,
k > 1. Enlonces x = (22*+1)3+ (n*)*. Sumando 2nJ •2***1 se completa
el cuadrado dei binomio, es decir:
* + 2na • 22*41 - (2“ +l + n3)2 .
Despejando x en esta igualdad sc obtiene que:
z s (2**+l + nJ)2 - 2*f*+,,nJ
* « (2,è+l + n3)2- (2*f , n)*
x * (2***1 + »* - 2k+tn) • (2a**1+ nJ + 2*+ln)

29. Para finalizar basta con probar que las expreaiones entre parêntesis de
la derecha en la últim a igualdad son mayorcs que 1. Claram ente la
segunda expresión es m ayor que uno. Examinemos la prim era de eílas.
Supongam os ^que 2»+* + B* - 2*+ ,n = 1. Entonces se obtiene que
(n —2 ) + 22* = 1, lo cual se cumplc solamente si A
r = 0, lo cual, a su
vez, no está perm itido por hipótesis.
P ro b le m a 1.6 Determine todos los números enteros positivos que son
soluciones de la ecuación x3 —y3 = 602.
S o lu ció n : Algcbraicam ente sc tiene la descomposición
i 3 - y3 = (x - y)(x* + xy + y 1) .
Adeinás x —y < x* + xy + y2 si z , y son enteros positivos. Notemos que
la descom posición prim aria de 602 es 602 = 2 -7 -4 3 . Se dobe resolver,
entonces,
x - y = A ,
x 7 + x y + y 2 - B ,
donde A < fí. E xperim entando con los pares (A , /i) posiblcs —(1,602).
(2,301), (7,86) y (14,43)—se obtiene queel único que produce solucio­
nes enteras cs (2,301), a saber x » 11, y » 9.
P ro b le m a 1.7 fíl produeto d t ciertos tres números pares consecutivos
está dado por 8 S x x x x x 2 , donde cada x representa un digito. D eterm int
los dígitos faltantes.
S o lu ció n : Sc tiene que 88 • 108 < (n — 2)n(n + 2) = n3 — 4« < n3.
Como 440* < 88 • 10rt < 4503 = 91.125.000, cl núm ero n es superior o
igual a 442.
'IVes núm eros pares consecutivos term inan en una de las cinco for­
nias posibles: 0, 2, 4; ó 2, 4, 6; ó 4, 6, 8; ó 6, 8, 0; u 8, 0, 2; y la única
forma en que el últim o dígito dei produeto sca 2 cs 4, 6, 8. Resulta
entonces que los núm eros son 444, 446, 418, cuyo produeto es 88714752.
Los dígitos faltantes son, por tanto, 7, 1, 4, 7 y 5.

30. Problem a 1.8 Determinar para cváles números pnm os p se cumple
que 2p + p2 es primo.
Solución: Notemos que p — 2 y p = 3 producen los números 8 y 17,
compuesto en el primer caso y primo en el segundo. Basta considerar
entonces primos p > 2.
Consideremos congruência módulo 3. Sabemos que p debe satisfacer
una y sólo una de las congruencias siguientes:
p = 0(3), p s 1(3), p s —1(3).
Claramente, el primer caso sólo se puede dar si p = 3, puesto que de
otra manera p seria un número compuesto.
Aplicando las propiedades de congruência en cualquiera de los dos
casos restantes se obtiene que p7 s 1(3).
Por otro lado, como 2 5 -1(3) se obtiene V e (—1)*(3). Además
p es impar, luego 29s -1(3).
En resumen, 2* = -1(3) y p2 s 1(3). Aplicando las propiedades de
las cougruencias con respecto a la suma se obtiene finalmente que
(2P+ p2) «=0(3) .
Pero entonces (2* +P3) es siemprc divisible por 3 si p > 3. Luego el
único caso es p = 3.
Problem a 1.9 Probar que las expresiones
2x + 3y , 9x + 5j/ ,
son divisible* por 17 paro los mismos valores enteros x e y.
Solución: Llainemos w = 2x -+
3y, * * 9x + 5y a las expresiones dadas.
Se tieno que
4«p + z m I7(x + y) .
Luego 17 divide a (4tr + *). Además, si 17|4u>, entonces 17|u>, puesto
que (17; 4) * 1. Finalmente, es claro de la igualdad anterior que 17|u>
si y solamente si 17|;.

31. Problem a 1*10 Considcrt n £ N n * j
.. .. „ . ' ^ i’ y « numtro de primos que
átvtdcn o n. Prvbcr qvc n > 2*ÍH
K
Solución: Aplicando el T.F.A. se tienc que
-" rt* .
donde k es el numero de primo» que dividen &n, luego í(n) = Jt. Como
p» > 2 para todo t * 1, . . . , k, se tienc que
n •• pV £ 2o*-2“»•••2o*a 2ft,+
Luego
n >
Como cada a, > 1, se tiene que 2o- > 2', para todo 1 = 1 ,...,* . En
resumen,
n > 2°‘+,”+®
» > 2,+‘"+1 s 2* a 2,<") .
Problem a 1.11 Oeíermtnar forfo5/cs en/eroápcáififos n para/oi cua-
/es /a cípreíion 2" + I es divisible por 3.
Solución: Consideremos congruência módulo 3. Entonces
2 s -1(3) => 2" E (-1)"(3) =»2* + l s [(-1)” + 1](3) .
Luego, si n es impar, 2" + 1 s 0(3). Eis decir, 2" + 1 es divisible por 3
para todo n impar. Además» si n es par se obliene que 2" + 1 = 2(3).
Luego 2" + 1 no es nunca divisible por 3 si n rs par.
Problem a 1.12 Stan a yb números mtvroles tales que su máximo co-
mún divisor es d. Probar que hay exactamente d números dei conjunto
(a ,2a ,3a,. ..,( 6 - l)a,fei} que son divisibles por b.
Solución: Si d « (a;b) «»tonem da y db. Es decir, existen enteros r,»
tales que a = rd y b = sd, con (r;$) » 1. Luego rl conjunto en cuentión
puede dcscribirse como siguc:
{rrf.2rrf.3rrf........<6 - l) r r f .6rrf} = { k r d : k ~ 1.2........ 6) .

32. Al dividir rada número drl conjunto por 6 —sd, se obtiene resto cero
*i y solamenU* si s divide a k (notar que (r; j) = 1). Como b s sd, esto
sucede exactamente d vcces.
P ro b letn a 1.13 Ona succstón de números 01, 42,03, . . . es formada de
arutrdo a la »iguiente regia: at = 19, «j = 77, y
1• (L«i A
cm5 -----— , 9
1 > 2 .
*n-1
Calcule et término ai**j de esta suctsiô*.
Solución: Como ax jí 0 y «j 9É0, se tienequeo) + o j jí 1. Calculemos
los primeros términos de la sucesióo:
«3 *
1 —03 (a, + « » - ! )
®i «i<ij
_ „ 1 -«1
a» * ■
oj
a« « au ay s
Como cada término sólo depende de los dos inmediatAmculr anteriores,
se sigue que ella sr repite en aclos de cinco términos. Abora, como
1992 ■ 2(5), ne liene que a tn ■ «j ■ 77.
P roblem a 1.14 Pruebe que, part todo mmmero n a tu n ln £ 2,
. 1 1 1
no ts un n«mcn> entero.
Solución; Denotemos por y4(n) el coojuoto de tos primeros n números
naturales, rs decir
■^(n) B í li 2,3 ,..., n) ,
Podemos suponer que n e iu n número que se cncueatra entre 21y 2*+I
para algún / > 1. Es decir, n = 21+ k, con 0 < k < 2*. Luego los

33. números de la form a 2- , con m < /, « t i n eo dicho conjunto, y a d em »
ellos son d.v,sores de un número * si y sólo si en ía descomposición
prim aria de * aparece 2V
^P ara sum ar la exprcsión pedida se necesita calcular d mínimo co-
m ún m últiplo de los elementos dei conjunto /4(n). Este mínimo común
m últiplo es el m enor entero divisible por todo elemento de A{n). Itiego.
por el T .F.A ., él debe tener la forma 2'6, con b impar.
Sum ando obtenem os que
1
+Í+5 + " + í =? 4 -
Basta con probar que a no es divisible por 2. Rccscribiendo esta igual*
dad y m ultiplicándola por 2*6, te tieneque
2'6 2*6 . 2*6 2*6 2'6 2*6
2 3 2f V + 1 2*+ 2 2*+ k
Pucsto que 2lb es divisible por todos los números de /4(n), todas las
fracciones en el lado izquierrio de la últim a igualdad son números en-
terira. Adeinás, son números pares, pues la máxima potência de 2 que
purde aparecer en la descomposirión prim aria de cualquier número d d
conjunto /l(n ) (que son los denominadores de tales fracciones) es /.
Luego a debe ser impar.
1.4 P roblem as
1. IM crm ine todas las soluciones enteras de la ecuación
x , + 1 5 * = 2 * .
con a. b número* entero*.
2. Dem uestre que la fr*cción
21n + 4
Hn+3
es irreducible para todo número natural n.

34. ;j. Sran / , y. j enteros taW que x3+y3- * 3« múltiplo de 7. Pruebe
que uno de esos números c* múltiplo de 7.
•I. Determine d número de cuadrados perfectos que hay entre 40.000
y 6(0.000 que son múltiplos simultaneamente de 3« 4 y 5.
5. 'n entero de la forma V($b + 7), con a y b enteros no negativos,
n« puede ser una «uma de trea cuadrados.
6. a) Encontrar todos lo* números enteros positivos n para los
cuales 2a - I es divisible por 7.
b) Demostrar que no existen números enteros positivos n para
los cuales 2 " + l « divisible por 7.
7. Sea k uii entero positivo tal que e* uo cuadrado perfecto.
Demtieütre que | y (k + I) son cuadrados pcrfectos.
& Eih uenlre un método para encontrar números compuestos conse­
cutivos entre dos primos dados. Trate de determinar la cantidad
de estos números compuestos.
9. Números de Pitágotvs. Son trios de número» naturales (o,A,e)
tales que <
i2 f b1 ■ c*. Lo» números a, 6 *on llamados catetos y c
la hipotenusa. Obwj ve que si (o, 6,c) son números de Pitigora#,
entonce* lo mifcmo eu cierlo para (pa.pò.pr), para cada número
natural p. Muesire que uno de los catetos de (a.fc.c) debe aer un
número par y el otro un impar (se suponc que no tieoen faciore*
comunes), y ademA* necesariamente la hipotenusa debe ser impar.
Encuentie una forma de generar números de Pitágoras.
10. Encuentre números enteros a, b tales que
0’ + **» 1989 .
11. Se sabe que el número 2ry89 es el cuadrado de un número natural.
Encuentre los dígitos x e y.
12. Determinar si es primo el número t dado por
z = 10*1+ 1

35. 13. Probar que si n cs un número natural, entonces
{x + 1J*"*1 + = Olr1 + x + 1) -
14. S ean = 2*_l(2* —1), donde i es un entero positivo tal que 2* —1
es primo. Calcular el número de divisores de n.
15. Probar que para cuaiquier número natural n la expresión 1" +
2* + 3** + 4* es divisible por 5 si y sólo si n no es divisiblc por 4.
16. Calcular el máximo común divisor de k* números 10" —1 y 10m—
1, donde m y n son números enteros positivos.
17. Encuentre todos los pares de enteros positivos o, 6, tales que el
mínimo cvmún múltiplo de a y b sea igual a 80.
18. Sea p un número primo, eon p * 6*. P ru e b eq u e ac l/2 (p + l)
y 6 « l / 2(p - I).

36. C ap ítu lo 2
Inducción M a te m á tic a
El conjunto de los números naturales, N = { 1 ,2 ,3 ,...} , « un con­
junto dc cardinalidad infinita; es deor. posee una cantidad infinita de
elemento».
Un razonamiento intuitivamente scncillo para mostrar este becho es
el siguiente: dado n Ç N, el número n + 1 también pertenece a N, y asi
succsivamente. Este proceso de pasar de n a n + 1 es el que genera la
sucesión de infinitos números naturalcs. Este esquema de razonamiento,
conocido como Principio de Inducción Matemática, es quizás uno de
los proccdimientos más fundamentales de la matemática. Aunque por
razones históricas se le llama Principio, sí se puede demostrar a partir
dei Principio dei Buen Orden.
Como veremos, la inducción matemática es una técnica muy útil
para verificar conjeluras matemáticas, a las que se Itega por algún pro-
cediinienlo induetivo. Anles de eiiuticiarlo procederemos a examinar
con drtalle un cjrmplo dc una proposición matemática, establecida por
una sucesión de afirmaciones que dependen de n € N.
Consideremos la afirmación An siguiente:
An : la suma dr los ângulos interiores de un polígono convexo
de (« + 2) lados es igual a n *180°.
Para verificar si esta afirmación es verdadera, debemoA esludiarla
para cada n € N- £Cómo hacer esto?
No podemos pensar en hacer la verificación caso por caao, pue*
existen infinitos números naturales. Tampoco podemos probarla para

37. un numero limitado de casos, digamos los primcros 1.000 casos, pues la
afirmación podría dejar de ser ciert*, por ejemplo, para n = 1.001. Para
resolver esta cuestión aplicamos el Principio de Inducción Matemática
(el cuâl àún no hemos enunciado).
Verifiquemos la validez de nuestra afirmación para los primcros ca­
sos. Es claro que ella es válida para n = 1, pues en este c a » el polígono
Py es un triângulo, y de la geometria sabemos que la suma de los ângu­
los interiores de un triângulo es 180* * 1-180*. Para n * 2. el polígono
Pj es un cuadrilátero, el cual, dibujando una diagonal, se descompone
en dos triângulos. Como ya vimos que la afirmación era verdadera para
triângulos (caso n = 1), se tiene entonces que la suma de los ângulos
interiores de un cuadrilátero es I • 180* + 1 • 180* » 2 • 180*.
Para continuar vamos a svpontr que nuestra afirmación es válida
para n € N, arbitrario, pero fijo.
Para cl polígono Pm
+U e) cual tiene (n + 1) + 2 = n + 3 lados,
hacemos lo siguiente: tomamos tres vértices consecutivos, digamos a, b
y c, como m uestra la figura.
6 c
Trazamo» el segmento de recta que une a con c y de este modo des-
<omponemos /”
*+1en dos polígonos, a saber, un triângulo y un |»olígono
Pn dr n + 2 lados.
Aplicando lo ya demostrado para triângulo», y que la hipótesi* v*
válida para polígonos de n + 2 lado* (cs derir, para tenemo* qu*>
la suma de los ângulos interiores de un polígono de n + 3 lados es
I 180* + n • 180* * (n + 1) • 180*. coo k> cual queda probada nucs-
tra afirmación para el caso n +1 sttponitado rãhda la afirmación para n

38. A continuación enunciamos el Teoren,». llam adoPnncjp.o d . In-
ducción Matemática, que afirm» que lo que ae a « b a d e b o t o d
ejemplo anterior cs suficiente para a.vgurar que la propos,c.on A„ «
cierta para todo mimcro natural n.
Teorem a 2.1 5»ponSomos ?*f fucremos wíflW<rer la verdadde um
suceston «ff propojictonM mattmaticas **' ***
d a s , c o n s t i t u g e n u n a p r o p o s , c i ó n g e n e r a l A. S u p o n g a m o s a d e r n a s tpu:
a) Se putde demostrar que la primera proposition A t « válida.
b) Es posible demostrar la validez de la proposictón An+j a partir
dt ta hipôtesis de que la propostciân /t* ts rtrdadera para un
número natural n cualquitra. Es decir, si se supone que .4* ts
verdadera, enfonces se demuestra que An+i también lo ts.
Enfonces tanto la proposition A eomo tas proposiciones Am son todas
verdaderas.
Es importante observar que en matemática la demostraciôn por in*
ducción posée, en general, dos partes bien definida«. La primera fase
(que en general resulta ser la m ú complicada) cs estableccr una conje-
tura o, cn otras palabras, el resultado que se quiere probar. y a la cual
se liega mediante observaciones y experimentos sucesivos. La segunda,
y es aqui donde participa la Inducción Matemática, es la demostrarióo
de tal conjetura.
Antes de cotnen2ar con otro ejemplo concreto, daremos una breve
resena de uu ejemplo histórico que muestra que no sieinpre las con*
jeturas son correctas. El gran matemático francês Pierre de Fermat
(1601-1665) observé que los números de la forma Fn = 2** + 1, para
n = I, 2. 3 y 4, son números primos, y conjeturó que todos los números
de esta forma son primos. Eu esa época no existían computadores para
poder visualizarlos y examinarlos con mayor detención.
Para observar la magnitud de estos números. Uamados números de
Fermat, listamos a continuación algunos de elios. obviamente calculados
mediante un computador.

39. Fi = 22' + i 5
n = 2*a + 1 — 17
F* = 2** + 1 = 257
F* = 2* + 1 s 65537
n = 2^ + 1 = 4294967297
Fe = 2* + s
18446744073709551617
Fr = 23’ + 1 a
340282366920938463463374607431768211457
/■; * 22' + 1 *= 115792089237316195423570985008687907853
269984665640564039457584007913129639937
La roiijetura de Fermat no fue resudta sitio hasta 1732, ano cn qi*
d célebre m atem ático «tiizo Euler demmtró que d número
f- - 2” + 1 - 4.294.967.297
cs divisiblc por 641 y, por lo lanlo, no w primo. Ru m um rn. Ia con-
jetura do Fermat resultó »cr falsa. Más aún, F* no rs primo para
n « 18, 19,21.23.36....
SÍ»i embargo, cs interesante constatar que lo» número» de Fcrmai
f„ son relativamente primos entre sí, es decir. (Fm
Fm) s 1 si n / m.
lo ciial es otra prueba de que la canlidad de números primos r> infinita,
pues la rantidad de números dc Fermat es infinita.
2.1 P rogresion es y sucesiones
Kn esta sección traba jaremos con la« progresiones y stice^iono ya vistas
en e| capítulo anterior. En particular, dcduciremos v demcetrarrinos
las fórmulas |»aia suinar progresiones qne serán de gran utilwiad en

40. m próximo» capíluk». Ante* de comrnsw, arlararemo. una noUc*,
«omúii m inalrinÁlicâ.
|>a<iAuna íucwíói. {a.}«* d* núrmr», deooUmm* 1*íuma «u
0, + a3 + a, + ... + 0h mediante el símbolo Z (««matona):
53 o* = «i + a* + <
*3+ «« + ■+ *■ -
frei
2 .1 .1 P r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a
Kl objetivo r* enconirar una expresióo que represente I» sum a d«
progresióo geom étrica,es deeir. para todo natural » consideramo* ^
»unia <kl tipo
í?„ » a + + « í3 + •• • + «f* * * f J* 1 ♦ a ? Í O .
*■1
IV a mliirionar este problema procedemos «omo »ig»e:
Drdi)«-« iõn <tr una Jonnula para C ,.
l)cmo«1raci4n d«* ta validfi de la M pcm ón o b u o id t otediam«
inducckSn matemática.
Multiphrjindo Gmpor q, obteneroo*
q fímm «4 + aq* + •• • + •*" + « f“*‘ .
de donde Gm- q tim» «
*— « decir. (I - q)Gm» a(I —|^**).
('onio q # I, en la última igualdad *e poede dividir por (1 - f).
obteniéndo*e
1 - a**1
c- - - - r r r * M
Va homo* obtciiido uoa fórmula para <7*; probaremoft, por induc
ción. que « válida para uu núm rtv oM uril a ciuJqurrà.
a) Paia n * l, G « a(l r f ) « *-(l - —f)- Luego la fórmub
(2.1) e$ válida en csle caso.

41. b) StipoiiRAinos que la fórmula (2.1) es válida par* n.Eolonccs par*
(tn+i podemos hacer la siguiente maniputación algebraica:
C n+i = (a + 09+ -----f. o^*) + aq**1
= C + aq'*1 .
Aplicando la hipótesis de inducción para Cm, se liene que
G,+i = a ■— °— + a/*41
! - q
1- q
1- qm
**
s a • —■ ,
l - 9
Lucgo, por d Principio de Inducción Matemática, hemos probado
que parA cualquier n número natural
A I - «"*'
L q
<
?'so , •(2.2)
1
*
0 *“?
Por ejeinplo, s i u = l , g = 2 y n * 100, se obtiene G’100 = 2101 —1.
evit-ándose de este modo d cálculo de las 100 sumas involucrada*.
Por supuesto que la fórmula (2.2) ptiede ser aplicada para sutnas
que 110 necesariamontc comienccn desde cero. pues
"•-1 1_ .»41
iam reO isO
2.1.2 P rogresión aritm ética
Ahora trataremos do deducir y probar mediante inducción una expre-
skm que represente la suma de una progresión aritmética, es decir. para
todo natural n consideramos una suma dei tipo
A h * + (<* + <0 + (° + 2*0 + ••• + (* + nrf) .

42. foducción Matcmátic*
Para drdurir su fórmula aplicaremos el sigmente resultado:
£ * . = & + ! ! , (2.3)
UI
cs decir, la suma de los primeros n números naturales es n(n + l)/2, lo
cua] procedemos a probar. Claramente la proposidón es cierta para n =
I. Supongamos que (2.3) es cierU para un n arbitrario. Consideremos
ahora la suma de n + 1 elementos. Se tiene que
«
+
* * nfn +1)
E * - ( » + i) + E * = c -+ i)+ 2Lr J .
tal t«l
donde cn la última igualdad usamos la hipótesb de inducción. Sumando
los dos términos dei lado derecho se verifica la igualdad (2.3) para n + l.
Ahora es ininedíato que
£ ( a + ké) a È a + è W “ í" I)f° + ■
»•O tmQ k*0 ' £ '
2.2 Variante dei principio de inducción
FJ principio do jnduccióu matemática puede ser generalizado un poco
más. Por ejemplo:
St una succswn de proposicioncs A„A* + ... es dada, dondt s es olg«n
numero natural, y si
a) A, t* conocide o demostrada como ttrdadcra. y
b) para cada n mapor o tgual que », la cerdad de /4,+,,+j se siçue
por algún argumento matemático de ta verdad de A,+n,
intonct* tas afirmaciones /4,,/4>+i,... soa todas verdadems.
Eii otras palabras, d principiosigoe steodo válido para proposiciones
que pueden rinpezar a partir de un valor s en adelante. Nótese que
para s = 0 se ohtiene la versión dada en d Teorema 2.1. Por ejemplo,
aplicaremos esta versión para demostrar d sigiúente resultado:

43. G jcniplo 1. Para todo número natural n > 4. w! > 2*. donde n!
denota el número natural n! = 1•2 • 3 •••n.
hlegimos, en este caso, a = 4. Par* el priroer elemento, n = 4.
la aseveración cs inmediata. Supongamos que la desigualdad es cierta
para un n, » > 4. fijo pero arbitrário. Puesto que (n + 1)! =s (n + l)n!,
se dcduce, aplicando la hipótesis de inducción, que
(n + 1)! = (n + l)n! > (n + 1)2* > 2 - 2" = 2' +I ,
lo cual prvicba la desigualdad para todo n > 4.
Otra versión, dc mucha utilidad. como vereinos a continuación. es
la que reemplaza la condición b) dei Teorema 2.1 por la condición si*
guieiite:
b') Para cada n la verdad de la proposteión /4n+i f t dedwct * partir
de la valide: de las propoticionts Ak pora k = 1.2. . . . ,(n —l).
Esta versión tiene la ventaja de que se pueden suponer ciertas toda*
Ias proposiciones anteriores a n + 1 para demostrar la validez de la
proposinón .4n+|. Este segundo principio es equivalente a) Teorema
2. 1.
Como prometimos en el primer capítulo probarentos k* teoremas
1.5y 1.6, para lo cual aplicaremos* esta última versión dei principio de
indurción.
Kl Teorema 1.5 dei primer capítulo afirma que:
Si pn dtiioia tl n -isim o primo, tntonets pn < 2*“.
D em ostración. Claramente lo aseverado es cierto para n s 1. pue> 2
es el primer primo y es menor que 1.
Supongamos que la afimiación es cierta para 1.2.........V. Es decir.
iitie^l ra hipótesis do inducción es que
Pk < 2l* para todo k = 1.2........A .
donde, como hemos ronvenido. pt representa el fc-ésimo primo. Deh-
namos el mínicro <
/ = pi ■pi •••p. ~ 1. Como ya vimos en )a demov
Iración d<*l Teorema 1.4. ff no es divisiWc |»or ninguno dc k>
*» pritnc*

44. Pt•........... .. Luego, por el T.F.A., debe acr dividblc por un primo
mayor que pjV. Se deduce que el primo p,v+i. que es el primo inmedu-
tameute m&yor que p s. debe ser menor que q. Por lo Unto, apbcacdo
Ia hipótesis de inducción para cada k, k < A se tK »e:
j»n+i < í <23
'-2í I --■?" + 1 ■
Usando el hecho dc que 2* + 23+ •••+ 2S e* una progresión geométrica
do razón 2, se obtiene:
PN+l < 2
Luego el Principio de Inducción asegura que !a propicdad se cumple
para todo número natural n.
Evidentemente, esla estimación de la caotidad de primo« menores
que el número 2* no es muy precisa. Por ejemplo, para n = 3 el
Teorema 1.5 asegura que hay a lo menos tres números primos menor«
que 2* —256. pero sabemos que hay muchos mis.
Uno dc los primeros intentos imporlantes para hallar una respuesta
más exacta fue publicada en 1851 por el matemático ruso P. L. Cbeby-
shev, y afirma que Ia cantidad de números primos menores que un
número z es cercano al valor de *(logj)_> cuandp x es muy grande.
TaJ conjetura fue propuesta por Gauss en 1791 cuaodo teoía la edad
de M anos. Su demostración rigurosa fue finalmente provista por Ha*
damard <
10anos después.
Una pequena variadón en la demostración anterior nos permite pro-
bar que
Hay infinitos númtros prima* i t la forma 4n + 3.
Es decir, hay infinitos números primos en la progresión aritmética
*
1»
? + 3. Los números primos 3, 7, 11 y 19 son aJgunos de etlos y los
elementos 9 y 15 de tal progresión aritmética no son números primo».
D em ostración. La demostración consiste en tomar los primeros k
mimeros primosy construirei númeroq » 2J-3-5•■•/>*—]. Claramente,
como ya hemos visto, q es un número no divisible por ningún primo
menor o igual a />» y es de ia forma q =*4n + 3.

45. (4n + I )(4m + 1) « 4(4nm + n + n») + 1 ,
rl rual |K>wx» la niixina forma (notar que los casos 4n y 4n + 2 qtiedan
excluídos, por cuanto no representan números primo«). Lucgo nccesA-
iímxwwIc q dche tc»w*r como divisor a un número primo mayor que p»
de la forma 4n + 3.
2.2.1 Sucesiones de Fibonacci
En el capítulo anterior, sección 1.2.1, las definimos n general. Iá*
valores que axitmen están determinadas por sus dos ptimeroseWmenU*.
Tomemos el caso e» que xt = l»*i = 1. Es decir, {*•}•€« e» U sucesión
I í . . I.......
Aplicaremos cl Princípio de Inducrión. Eu efecto. para n e | « r
tim e j‘, - I y / j * I, por lo tanto (XjíXj) » !. Suponganto« ahora
<!»»• (x„:.r„+i) « 1. Si (Jm+i;*»*}) « d, eon d > l, eutonce». de
x* * xn+2 - x*+i, w «igue que d debe ser un fartor común de x„ y
/„+!■ lo <ual es una contradirción.
I.nogo (^rt+r.i-B+j) » l y. porei Principio de Inducción Matemática.
I<
t proposición e* válida jwira todo n € N .
Para la segunda parte denolenio> por P(n) la proposición que se
de**» dem ostrar v |K>r o = Teucmos que Xi = Xj = I < n , luego
P( I ) y P{2) son verdaderas».
definida por
x, * I , x , - I y j„ * + x .- j « ri £ 3 .
P ro p o sició n . Para todo n númeto natural se iene que;
i) x*. x„+i *on coprimos. e* decir. (x,; x„*i) » I:

46. Notemos ,{»c no podemos dclucir / > + 1) direeUmr.He dc
piicsto que si j„ < o* se sigtic que >
’ |>or 1
« lauto ^
j , + x._, < o * + o ,‘ = 2o".
Ahora, como 2o" = I o-+l. se concluye que xR+, < 5 o . Kor otra
parlo, si suponemos que />(!)....... /*(») son verdaderas, entonces para
Para que la demostración esté completa es necesario probar que
I + o < o 1, es decir, 1 + (j)* < (J)J, lo cual es inmediato.
Ejercicios de inducción
1. Pruebe que la desigualdad
es válida para todo n número natural.
2. Prucbequex^^+y*'*“1es divisiblepor x+jr par* todo n número
natural.
3. Considere la expresión Cn = 1+ 2*+ 3*+ •••+ n*. Encuentre una
'fórmula para C„ y pruébela por inducción.
4. Demuestre que paia todo número natural n
es divisible |Kjr p.
6. Deducir y probar las correspondientes fórmulas para la suma de
los priniero!» A' números pares e impares.
ti > 2 se tirne que
5. Prucbc que si p es un número primo,
donde

47. 2.3 Problem as resueltos
Problem a 2.1 Encucntre la suma S*. donde
S n =* I + 11 + 111 + ■■• + 11 .
n anos
Solución: Podemos recscribir S* como sigue:
S* » 1 + (I + 10) + (1 + 10+10*)+ + (1 + 10 + ••• + IO""1) .
Obsoivc que dentro de cada parêntesis aparece Ia suma de ios términos
de tina progresión geométrica, luego
Problem a 2.2 Prutbt que para cada n € N, n(n + l)(n + 2) es un
numtro dirtsible por 6.
0
Solución: Tenemoft que
esto efc, n(n + I) • 2 * ( I + 2 + ••• + n). Por lo tantu, n{n + I ) r*
diviRÍbte por 2. Por otra parte, se tiene que uno dc lo» tre# núnieru«
consecutivos «,»» + 1 ó n + 2, debe ser díviflible por 3. I)e e<to se sigue
que cl produeto n(n + l)(n + 2) cs divisiblc por 6.
= ^(10 + 10* + ■• -f 10" - n)
I0"+I - 10
Problem a 2.3 Pruebt que para rada n € IM
, 2*"- 3n - 1 t» tin númtro
divmble por 9.

48. Solución: Definamos /’(n) —22n—3n —1. Es inroediato que ^ ( l) = 0
y. puesto que 0 cs divisible por 9, la proposición cs cierta para n = 1.
Supongamos que ia proposición es verdadera para n = k, esto es,
asumamos que P{k) es divisible por 9.
Para n s ( - ^ l tenemos que
/> (* + !)_ /> (* ) = 2*<*+ ,,- 3 ( * + I ) - l - ( 2 J* - 3 i - l )
= 22* -23—3£ —1 —23
f
c+ 3k + 1
= 2a* - 3 - 3
= 3 •{2* —1)
Notemos que 23* - 1 = 4* - L» (3 + 1)* - 1• Aplicando ei teorema
dcl binomio de Ncwton se obtienc que
(3 + I)* - 1 * 3* + 3*-’ j + ■■ + 3 ^ jj + I - 1 =31-
Además P{k + !) - P(k) « 3 - 3 1 s 91. Luego se obtiene k) pedido,
pucsto que P(k + I) ss P(k) + 9/ y P(k) es divisible por 9.
Problem a 2.4 Prvebt que la ignaldad
1 1 1 . 1 1 1 . 1
n n + 1 2n —1 2 T 3 4 2n - 1
es cálida para todo n € N*
Solución: Definamos u, = £ + + •••+ Entonces
I I 1 1 1
U”+I “ t‘" “ 2n 2n + l " » ’ 2n + 2n + 1 '
Ahora. si definimos t>
B* 1 —| + | - J + •••+ 5^ . obteneme* que
- "■* ~ k + 2íT) •
De lo auterior, se deduce que tf*+i —t'a = u ,+j - u„.
Claramente Ia proposición cs cierta para n » 1. Supongamos que
es verdadera para rn € N. esto es, um = r m. Enlonces, de - u», »
tW i »e sigueque um+| = que es la proposición para m + 1.

49. 2.3 l*rohletnM rc*n<*/í<w ^
P ro b le m a 2.5 .Sr« la tw s tó n rfeJÍR)^ ^ m x {
*«♦1 a í « + '» -l pora n > 2. Pr*tU fi<
»
Ü*! B*«♦» •
*
■I
Solución: Primero. P«a n « ] *. ti«w que *, « *a - 1 » 2 - 1 * l
Por lo tanto, la i*ualdad e* válida para este ca».
Supongamo, que la iguaídad anterior « cim a para * > 2. V W »
a probar qur vgur s^nrlo válida para n + 1. & supo^amo« que
I
»
£ *•* “ I•
I B |
Para r»+ 1 término« #e liette la igualdad
■+l a
S *• * £ *• + A*l •
—
I <-l
Por lo tanto, apliiando la hipótCM* de inducctón. *e obtiene que la
afirmarión c* cierta paia n + Kn eferto:
■♦I
*«• * - l + x„+,
■ai
* (x.*, + J ,+}) - 1
* '«4) - 1•
Problem a 2.6 Sea {*,}. /a *nre.*ton defintd« <* «IproMtm* amltrwr
Sra o « (l + >/$)f2. Pntbe qut x, > o"-* pen todo n > 3.
Solución: La proposición es cierta para n = 3 y n = 4, pue» o < 2 -
x3, y claramente a 1 = (3 + /5)/2 < 3 » x4.
Supongamo* que a *”1 < x* para 3 < k < a. Cocno o = (1 + y/h)j2
cs solución de Ia ccuación xJ —x —1 = 0, se tieoe que o* * o + 1. Por
Io lanlo.
^»•1 _ . «-3 _ /_ . | .* “3 _ _>*í . .^-3
o * ô o s ( o r 1)a = o + o

50. ^ Jndacción MatcmÁtic*
Aplicando la hipotes» de inducrión obtenemos que
o n -a <J*B y a *'3 < * ■ -!•
y de esta última igualdad se signe que
o "“1 s* a n~7+ a *~9 < r H+ x ,-i * i
que corresponde a la proposición para n + I.
2.4 Problemas
1. Calcular la suma «iguiente:
(I 1000)+ (2-999) + ■
■ +(999 -2 )+ (1000-1).
2. Para cada n número natural considere la exprcsión 5» definida
por
5 , « I - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 4 • + ( - l ) “ n .
Calcule el v«lor de $i7 + 5 » —Sao.
3. Para cada n número natural se define el número 5(n) dado por
W - I + J + j + j + - + ; ■
Pruebc que pai« todo n número natural te tiene que
5(1) + 5(2) + 5(3) + ■••+ 5(n - 1) + n « n - 5 ( n ) .
4. Encueiilre el valor de
„ 1 2 n
10 + 10* + ’" + 10- '
5. Si j*+i * x* + 1/2 para k — 1,2,. ...r» - I y x» * 1, encuentre
X| + Tl + •*•+ Xn.
6. Kncuentrc lot valore» de n 6 N tale* que «a divide a p ,, donde
*» - r :., »yp
n * n!.

51. 7. Sea x 1 € K. Defina una sucesion 13,13___como sigue:
xn+i = x„ ( i„ + , n > 1 .
Pruebe que existe un único x, para el cual 0 < x . < *„+i < 1.
8. Pruebe que lo® números enteros de la forma
no son divisibles por 5, para todo entero n > 0.
9. Se* / una función con domínio y recorrido ei conjunto de los
números naturales. Pruebe que si
/(n + 1) > /(/(n ))
para todo número natural n, entonces /(n ) « n para cada n.
10. posible clegir 1983 entero* positivos, todo* menores o igtiale*
que 10*, de modo que no existait ire» términos consecutivos en
progresión aritmética? Justifique su respuesta
11. Sea / : N -» ft, definida recursivamente como sigue:
/ ( O - l . / ( n + l ) - 2 / ( n ) . n > l .
Encuentre la expresión de / .
12. Sea n uu número natural mayor o igual que 3. Pruebe que ns —
5n + lu es divisible por 5! .

52. C apítulo 3
C om binatoria y Binom io de
N ew ton
B á sic a m e n te , 1
« c o m b in a to ria es u n a p a rte d e U m a te m a tic a . q u e estu*
d ia lo» problem a* relativ o s a c u á n ta s c o m b iu c io n e i d ife re n te s sotne-
tid a * a d eterm in a d a» co n diciones —s e p u ed en fo rm a r co u o b je to s d ad o s.
S u rg e h isto ric a m e n te e n c! siglo X V I, a ra iz d ei p ro b le m a d e e n c o n tra r
la m e jo r e stra te g ia e n ito ju eg o d e a z a r, o d e o t n » p ro b le m a s r d acio­
nado«. E n d siglo X V II, d c a b a llero d e M eré p ro p u s o a su a m ig o , el
m a te m á tic o r a s c a i, u n p ro b lem a q u e in a rc ó d io k io d e !a c o m b in a to ria
co m o la conocem os hoy d ia . El p ro b le m a c ra d sig u ien te:
Problem a 1. Un campronclo dr coro o »eito e*in dos jugodort* da
como ganador alprimrro tn ganarttú pertid**. Si %
* dtbe in ttm m p ir
cl rampfonato evando uno dc lo» jngadorrs A« ganedo cinco vtet» y el
oiro cuatro vtets. jCómo debr dividirtt entrr eito$ ti pozo apostado?
E ra e v id e n te q u e la d iv isió n e n la ra só o b : 4 o o e r a ju s ta . No
e r a c la ro có n io h a c e r la d iv isió n e n e s te caso , oi m e n o s e n e l c a s o m ás
g e n e ra l e n q u e a u n ju g a d o r le q u e d a n r p a rtid a » h a r ta q u e g a n e , y al
o tro s partidA *.

53. 3 . 1 Combinatoria
DamtK* a («»Hi.marion Ia» regia* generales mãs simples de la com
biitaloria. llainadas rr^fa rfr «uma y rry/a de producto, a través de su
aplicacióij # ur» ejeniplo ilustrativo. Kl ejcmplo cs r| *iguk*nle:
Problem a 2. £De cuántas maneras se pueden escoger dos fichas de
dominó, de las 28 que hay, de forma que se pueda aplicar una a la otra
(es dccir, de modo que se encuenlre el mismo número de tantos en am­
bas fichas)?
En éste y otroa problemas se pueden dividir todas las combinaciones
estudiadas en varias clases, figurando cada rombinarión en una clase. y
sólo en una. Es claro que en tal caso el número total de combinaciones
rs igual a ia suma de los números de las combinaciones de iodas las
clases. Este resultado se llama regia de suma y suele enunrtarse como
sigue:
Kegla de Suína: Si cierto objeto A puede ser escogido de m manera«,
y otro objeto H puede ser escogido de n maneras. entonees hay m + n
mancras de escoger A o B.
Kn nuestro ejemplo, podemos comenzar por escoger una a una Ias
fichas. Esto se puede hacer de 28 manera*. Kn 7 casos la ficha será
doble, es decir, tendrá tantos 0-0. I -1, 2-2. 3-3, 4-4, 5- 5, 6*6. y en 21
casos será una ficha con dos números de tantos distintos. Así hemos
separado las combiuacioiies esludiadas en dos clases; sólo falta conocer
cuántas combinaciones hay en cada clase y sumar los dos números.
Para continuar con el ejemplo se debe ahora escoger la segunda
ficha. El número de combinaciones buscado será, en cada clase, e) nú­
mero de pareja» de fichas que cumplen las condiciones dei problema.
Para cllo utilizaremos la siguiente regia:
Regia de P roducto: Si el objeto A se puede escoger de rn maneras y
si, despue* de cada una de estas eleccioncs. el objeto ti se puede escoger
de n modos, la elección clel par {A, D) cn tl orden tndtrcdo se puede
efectuar de mn formas.

54. En ol ojcmplo, si la primera elccekm fue de la primera cUse, «
una ficha doble, la segunda ficha * puede « ^ ir de 6 maneras para qUe
resulte apiicabie a la anterior (por ejempk>, si en el pnmer paso fUç
elegida la ficha 1- 1, en el segundo se puede tomar una de las fichas 1-^
1-2, 1-3, 1-4. 1-5, 1-6). Segùn la régla de! producto hay 7 • 6 « 42
combinaciones ordenadas de la primera clase; pero como el orden ç*
irrelevante al enunciado dei problema, d primero de los números bus­
cados es j • 42 = 21. Si la primera efeccióo fue de la segunda clase,
la segunda ficha se puede elegir de 12 maneras (por ejrmplo, para U
ficha 3-5 servirân las fichas 0-3, 1-3, 2-3, 3 3, 3 4, 3- 6, 0-5, 1-5, 2-
5, 4-5, 5-5, 5-6). Por la régla de producto obtenetnos 21 • 12 » 252
partjatt ordenada* (« decir, la pareja 3-5. 4-5 aparece dos vece, a sa­
ber: (3-5, 4-5) y (4-5, 3-5)). El segundo número buscado es, entonce»,
1 • 252 = 126. Según la regia de suma, la solución dei problema r*
21 + 126 « 147. Hay 147 maneras de elegir dos fichas de dominó de
forma que se pueda aplicar una a la otra.
Cabe observar que la regia de sun»a y la regia de producto pueden
rnunciarse muy simplcmente en el contexto de la teoria de conjunto«,
a saber: “Si A y B son conjuntos disjuntos, la cardinalidad de A U B
rs la suma de las cardinalidade* de A y de £T. Por otra parte, “si A y
H son conjuntos rualaquiera, la cardinalidad d d producto cartesiano
A x li es cl producto de las cardinalidade» de A y de /f".
Eu el caso en que A y B son conjuntos coo una intersección no
varia, si A tiene m elementos, fí tieoe n, y hay k elementos comunes,
entonces la unión .4U fí tim e m + n - k elementos. Este enunciado, en
su forma más general, se llaina fórmula de tnclusiont» y exelu»ione$, y
se expresa en términos de combinatoría como sigue:
Supongamos que se tienen A' objetos, aigunos de los cuales poseen
las propiedade* 0 |,a ) ,...,a „ . Cada objeto puede, o bien poseer una
o varias de estas propiedades, o bien no poseer otnguna. Denotemos
por -V(o,Oj... a^) la rantidad de objetos que poseen las propiedades
Q„n/ t ... ,o* (y puede ser que algunos posean algunas otras tambiéo).
Si nos hace falta subrayar que se toman sólo los objetos que no poseen
cierta propiedad, indicamos ésta con un acento o "prima**. Por ejein-
plo, Ar(ft|Ojft^) es el número de objetos que poseen Us propiedades rti
y q2i pero no poseen Ia O
t4. El número de objetos que no poseen nin-

55. guna do las propiedades indicada* se designa por N {a a ... o^). Con
<*stas nolaciones se tienc:
Fórm ula de inclusiones y exclusiones
N ( a ',« i - 0 = N - N { a x) - N ( o , ) ----------S ( a n)
+ A'(OlOj) + A (q,o3) + -•■+ /V(ob. , q b)
-A f(0 |QJQ3) - A^QiQjO^)---------A(QH
_íQw
_iOn)
Un problema que permite ilustrar el uso de la fórmula es el siguiente:
Problem a 3. ^Por que razon ha sido rechazado como inexacto el in­
forme que sc cxhibe a continuación?
“En el curso estudian 45 escolares, de los cuales 25 sern ninos. 30 es­
colares tienen nolas de bueno y sobresaliente. entre ellos, 16 ninus. 28
alumnos practican el deporte, habiendo entre ellos 18 ninos y 17 esco­
lares que tienen notas de bueno y sobresaliente. 15 ninos tienen notas
d«* bueno y sobresaliente y al mismo tiempo practican el deporte.”
La razón de la inconsistência de los datos se hace aparente al tratar
de averiguar cuántas ninas no practican el deporte y obtienen a veces
nota« inferiores a bueno. Denotemos por oj la pertenencia al sexo mas­
culino, por a-j las buenas calificaciones y por 03 ia afición al deporte.
Las condiciones dei problema dicen entonces:
A (a,) = 25, * (« ,) = 30, iV(o3) = 28.
Af(«ifta) = A (qi«3) = 18. N (a3a 3) = 17,
^ ( 010203) * 15-
Pero según la fórmula dc inclusiones y exclusiones debe tenerse:
AÍVjqX ) « 45 - 25 - 30 - 28 + IG + 18 + 17 - 15 = - 2 .
Junto a las dos regias general« y a la fórmula de inclusiones y

56. e xM o t* * se tiene adem« un principio muy simple pero muy ^
llam&du principio de ios cosMeros (pigeon hole principie):
Principio de los Casillcroi
.v, dispont de n w M en» y h*9 repartir m oi>eto#
e» e/fe*, y * m > n, tntonce* en cualpuer* rtpcrttaón
kábrd un casiUero ?«e contiene el menos dos objetos.
Veamos enseguida un ejemplo:
Problem a 4. Pruebe que de un conjunto de- die* números distinto»
de dos dígitos (entre 1, 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9), « posible seJecdooar dos
subconjunto» cuyos elementos tienen igual suma.
Para resolver csUrproblema, aun sin saber euáles son los dkz ntúne-
ros, cabe notar que la suma máxima de los die* números es 90+91 +92+
• ••+ 99 » 949- La suma de un subconjunto de k» diez números debe
ubicarse entonces en «só dt los 945 cosilltros 1,2 ,3 ,4 ,..., 945. Asi,
basta averiguar cuántos subconjuntos tiene un conjunto de 10 objetos
cualesquiera, sin contar el subconjunto vacío, pues en nuestro caso oo
sabriamos haccr la suma. Que este número es 210- 1 = 1.023 sigue dei
problema que continúa. Como 1.023 > 945, nuestro problema actual
estará entonces resuelto.
Problema S. Dados k objetos distintos, ^cuántos conjuntos bay qoe
conteugan 0, 1, 2,..., 6 k objetos de eutre ellos?
Para resolver este problema basta darse cuenta de que si se ordecan
los k objetos en lugarrs 1 ,2 ,3 ,...,k, entonces définir un subconjunto
dei conjunto dado equivale a dar una sucesión de k ceros y/o unos: los
ceros indican los objetos que oo pertenecen y los uno« los objetos que
pcrtenecen «1 conjunto. Por ejemplo, si k » 5, entonccs (0,1,0,1,0)
denota el conjunto (2,4). Fiu&Jmente, por la regia de produeto, como
la primera elección se puede hacer de dos maneras (cero o uno), la se­
gunda de dos maneras, etc., la última de dos maneras, resulta que el
número de subconjuntos es 2-2 -• 2 = 2* (incluvendoel conjunto vaoo.
que corresponde a la elección (0.0,0........0)) En resumen. uo conjcato

57. de k objeto* tienc 2k subconjuntos.
A partir de las regias generates se poeden derivar diversas fórmulas
que resuelven problemas típicos de combinatoria. Conocíendo la solu-
ción dc estos problemas y combinando «Kre sí las fórmulas, es posible
resolver problemas de apariencia bastante compleja. Damos a conti-
nuación atgunos de estos resultados tipicos:
Variaciones con repetición. La solution del Problema 5 pasó por Ia
Solución dei siguiente: Se tienen objetos de dos tipos (digamos 0 y 1).
^Cuántos A
--tupios ordenados se pueden formar con objetos de k» dos
tipos? La sotución oblenida, basadaen Ia regia de produclo, fue 2*. En
general, sí se tienen objetos de n tipos (en cantklad ilimitada) y a partir
de ellos se forman todas las filas posible» de largo k, constdcrándolas
distintas si difieren en el tipo de objetos o si difieren en su orden, el
número total de tales vananonc* es. según la regia de produeto, n*.
El número descrito se designa por P* y se llama número de varia*
eionm con repftmón dc k objetou dt n hpos. Se tiene, pues,
F J - n * .
M ucstreo ordenado con reposición. Un enfoque bastante popular
para describir los problema« tipicos que bemos comeiizado a resolver es
el siguienle: Supongamo» que tenemus una caja que contiene n bola»
distinguibles entre sí, marcada* de 1 a ». Se procede a extrarr k bòlax
de esta raja bajo diferentes condiciones.
Las variaciones con repetición de k objetos de n tipos correspondeu,
en este nuevo contexto, aJ problema o coodkión siguiente: Se extrae
una bola de Ia caja y se anota su número. A cootinuación se devuelve
Ia bola a la caja. Enseguida se saca otra, se anota su número y se dc-
vuelve a la caja. Se repite este procedimiento k veces, obteniéndosc una
lista ordenada de números Oj, 02,.. .,a», doode at denota el número de
ia primera bola extraída, o» representa d número de la segunda, y así
sucesivamente, hasla a±. Cada una dc estas sucesiones se llama una
muestra ordenada con reposición (varíadón con repetición). El número

58. lotai dc inuustras ordenadas con reposición « , entonces,
V n
k = nk .
P roblem a 6. Los ciclistas ticnen aversión por los numero« cero (por­
que es ovalado) y ocho (porque así quedan las ruedas tras los acciden-
tes). ;Cuántos socios puede inscribir un club de ciclistas si a cada uno
debe entregarle una identificación de tres cifras, sin usar- 0 m 8.
Este problema pide encontrar el número de triples ordenado« de ob­
jetos de ocho tipos, a saber 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Observando que cada
identificación de tres cifras es una muestra ordenada con reposición,
obtenemos la respuesta V* = S3 = 512. EI club puede inscribir 512
socios. Nótese que si no fucran supersticiosos podnan mscribir 1.000
socios.
Variaciones sin repetición. Como antes, se tienen objetos de n tipos
(pero ahora sólo uno de cada tipo) y a partir de ellos se forman todas
las filas posibles de largo k, considerándolas distintas si difieren en el
tipo de objetos o si difieren en su orden. Como la elección dei prímer
objeto de la fila puede ser hecha de n maneras distintas, la elección dei
segundo objeto sólo de n - 1 maneras, la dei tercero de n - 2 maneras
y, finaJmeute, la dei jt-csimo objeto de n - (k - 1) « n - k + 1 maneras,
se obtiene de la regia de produeto que ei número total de variaciones
sin rtpelición de k objetos de n tipos, denotado V**, es
V? = n(n —1) ■••(n —I- + 1) .
En el contexto de la caja que contiene las n bolas numeradas de 1 a
n, la rondición es la misma de antes, saivo que la bola extraída en cada
etapa no se repone a la caja. Cada una de Ias sucesiones ai, a3, . .. ,a4l
tíene ahora k números distintos y se Ilama una mutstra ordenada stn
reposición. El número total de muestras ordenadas sin reposición es,
entonces.
V ^ n f n - l ) . - . ( « - * + ! ) .
Problem a 7. La Socicdad de Matemática de Chile tiene 205 socios
activos. Entre ellos se elige ia mesa dei Directorio. oompuesta por el

59. presidente. el Viro,»residente, ri SocreUrio y e| Tesorcro. ^De cuáatas
mancras |>uo<lc quedar compursU la m eu el próximo ano?
Como debe entenderse que una persona puede ocupar solamenie un
cargo, « te problema pcrtenece al tipo descrito como variaciones sin
fepetición de 4 objetos de 205 tipos, y el número pedido es
v ,305 = 205 •204 ■203 ■202 = 1.714.840.920 .
Perm utaciones. t/n caso especialmente interosante de variaciones sin
repetición de k objetos de n tipos es aquel en el cual k = n. En este caso
se tienen objetos de n tipos, uno solo de cada uno; esto es, n objetos
diferentes. Se trata de encontrar el número de maneras de poner lo» n
objetos en fila; en este caso, es claro que lo único que pued«> distinguir
una fila de otra es el orden. Dc acuerdo a lo recien visto, el número
total de variaciones sin repetición de n objetos de n tipos, liainadas
siniplcmente permutaciones dc n objetos distintos, es
Pn «= V* - n(n - IJ..-3 2- l =» n! .
Cabe notar que con la introducción dei símbolo n! paia el factorial de
n la expresión para V? * n(n - 1) •••(n —k + 1) puede e*cribir*e en
una forma algrbraicamente más simple (aunqtie más ineficiente para
los cálculos prácticos):
v* “ •
En el caso en que h a k, para qur esta expresión coincida <on la dc Pn
se debe convenir que
0! - 1 .
Sc recoinienda verificar que esla convenrión mejora todas las fórmu­
las que continúan, hnciéndolas válidas en caso* que de otra manera
deberían ser considerados aparte.
Problein* 8 . Kncuentre todas las ordenacione* posible* de las ire*
letras d, 6, c.

60. U rcspuesta es P3 - 3! = 1 •2 •3 * 6 y 1« ordenaciones son U*
siguientcs: abc. ocb, bac. bra, cab, cba. El orden e» que se han cscrilo las
sri* ordnwu iones se llama ordcn lexicográfico, y cs de tnurha utilidad
para oi«U'iiar Miresiones de símbolos cuando los símbolo» mismos tienen
algún urdcu nalural - -o algún orden preferido por razones propia* dei
problema cn discusión.
Antes de continuar la línea natural hacemo* un parêntesis para ín-
troducir las ptmivtaciones ctrcularts, cs decir, las variaciones sin re-
pctición de n objeto* distintos dispuestos no en una fila, sino en un
círculo. Si cada una de las n! permutaciones se enrolla en un círculo,
de ntanera que el inicio dé la fila quede junto al fina! de la tnisma, se
obtienen n! permutaciones cíclicas qvt no sen. todas distintas, pues se
pueden rotar j>ara hacer coincidir una con otras. Como hay n rotacio-
ues posibies, resultan (n —1)! grupos distintos, cada ut»o de los cuates
contiene n permutaciones dbtintas que sc deben ahora identificar. En
suma, cl número de permutaciones circulares de n objetos distinto«,
denotado por Cn, es
C . - ( n - l ) ! .
Permutaciones con repetlcíón. Se tienen objetos de k tipos diferen-
lc!«, |>ero no en cantidad ilimitada, ni tampoco uno solo de cada tipo.
En Ia situación inás general hay nj objetos dei primer tipo, nj objetos
dei segundo tipo....... n* objetos dei A-ésimo. En total, n « n(+ -• +ni
objetos. Las variaciones de estos n objetos, es decir las fitas de laigo
n formadas |>or los n objetos, llamadas permutaciones con npetición,
son menos de n!, pues muchas de las n! permutaciones son iguales entrr
sí debido a que hay objetos repetidos. Su número total >e denota por
n. y debe enlenderse que n * nj + •••+ n*.
Si se considera una de las permutacioiw» de tos n objetos, ios n(
objetos det primer tipo pueden ser permutados entre sí de n(! maneras,
sin cambiartoi dei conjunto de nt lugares que ocupati; independiente-
mrnte, se puede hacer lo mismo con los n2objetos dei segundo tipo de
r»j! maneras. y así succnivameute. Por la regia de produeto, los elemen­
tos de Ia perniutAcióu inkial *e pueden intercajnbiar de «,!«*!
maneraa, manteniendo aún esta primulación invariable. Como todo k
>

61. í om/unafori*
anterior es valido para cualquiera de las n! permutaciones. el conjunto
<te ellas se «-par* cn partes formadas por n,!n2! permutations
iguales cada una. Por consiguiente, el número dc perm utations con
^peliciones diferentes que se puede esenbir a partir de los elementos
dados es
V" _ »•
■
M
•«>....** ~
T | I “• •
Problem a 9. ^Cuántas palabras distintas se pueden formar con la*
letras de la palabra “Combarbalita”?
En el problema se tiene una letra C. una letra O. una letra St, dos
letras B, 1res letras <4, una letra /{, una letra L. una letra f, una letra
f y, en total, n * l + l + l + 2 + 3 + l + | + l f | « 1 2 leira». M
número tolal de palabras es entonces
12!
^f,m .2.3,1.i.i.i “ ]i i| 2! 3! lf l1p p ^ “ 39.916.$U0 .
En v foiilcxlo dc »iHe^froi, Im |>cmHiiiKÍo<m con rfpclición se iU
man ptnn tíla n o n t* di n bofa* t/infifijFuri/r* por grupo*. Paia aclarar v
análisis licclio, c<Hiutmmos un ejcm plocii rl contcxlo dc mui*»(ra*.
Con*idciem<w m 5, con tres bola* Manca* {ni ■ 3) y do» negra«
(n3 ■ 2). Lan 1Ucombinaciom** (qne vn este caso llainarenios confiju-
racionei) diferente* <|iie *c oblicncn *oii:
• • o o o o • ♦ o o o o • • o
• O • O O O♦ 0 • O 0 0 * 0 #
• o o + o O• 0 0 • 0 O 0 • •
• 0 0 0 *
Para coutar cn (ste cjemplo procedemos dc) modo siguicrilc: ya »a*
bemos que la cantidad dc [MTimitacioiies de 5 clemcnlos diMingmbk<
e* V, Notemos que |>Aia mia coníiguración rualquiera dc la !i*ta k*
3 eloineiilo* dc color hlanro j* |Hiedcu desordenar dc 3! mancra* sin

62. C o m b in tlo ri/,
c u t e r 1
» ™,fi,.n.rion M.WJ. 1W «*»' -1
« ” '* •> '« "« * ,
f,„ » l« iu « ila l 1« « n n iiM i* ii> o » m ** J r t m n U n i " « '
T o ,,* ,,» I. rooftgu,»cioci • • * » » ' E" IK*, 'C
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.1 l„ v M . s * • coin, bianco. U> ^ ,!™ > U r™ o. por b ,. k . y 4,.
rr.p ^ liv .m r.,1 » . C - « . o 1 » k e n « d i* ,,« » ,* • m o m ™ !.« ,™ * « ..
C o T » !» > » bol., *■>""" 3! f f r"’U^ C
1
,° “ f dlfc-
.-.»«r. cU-HI*». C ad. u i» * • c>*5 * p^m utae.ow ’* de 1 » b o l» b l.» CM
producr 1*a <rontbin«<i<**«
• fc, • *4A
j • fc« • *J *»• is • 6«fri
• fc, • 4»*4 •*«•*»*». fa • M <
P u rrto q«M
* Im b o l« b U nc». M rraM *d. no »on d b tin g u ib l« entre si
esljis 3! a f> tvm binarion« p«od»«n «cnipre U im am * configuracnin
• o • o 9 . Snm larm rotr *> tim e q«e bay 2? m anrras dc dtsordcnar
la* bola* n<*gra> »in cambi*r U coohgu*«o6o inicial.
Fa a»i coino «vnfiguracioc, »» U <on*idefam<* <omo una com-
biiiadoa. *c ir|>itc 3! • 2! t w « , J r n tm < n U cantidad t < u t »r b u m
debc u tis f a m I* ccuicion 3! • 2? • * » 5!, «* decir,
J L . L U J J . io .
* • 2 ! 3 2 1 - 2 1
Sigukiido I* mism* line» de drtirrollo k purde cWiK.ii la formula gc-
iti-ul quc y* IteriM
Mobtmido.
('um blnaciol»**. No sim uprr in tm w d orden en q u t »c dulribuyen
Km objrto« on una v*hw>Afi. C'aaAdo no in te rn « d o rd rn d e lo« d e
mcnio* « i U variatifa. «ino «oJamenie »• com podcido, *e die« que w
IralA d r tint remAfflarieji.
Sc tionm n objelm <1i»lmto* y * p aitir d r dlo* ac form an toda»
la* filftft pociblrt cU
> k o b jrto t. <lt*tingu*odoia» «otammtr* si contirnrn
o b j'lo a di»tiiit<*. jx io ik> ruando difteren wJo cii r o rd rn . T a in com-
biiiaciunr* v llama» e o m b iu ic to a f* J t k t * t n n o h jtto s , El niim rro de
o.la« ronibina« tones *e driMiU por (*) y *r llam a u n tb icn t im M o com -
im a to n a o e o tfic im tt b in o m ia l R tm I u (laro d rl co titrx to que d d *

63. teuer«' 0 < k < ». Si cada una d** las (")
en todos los ordenes posibles, y liay k de ,
variaciones sin repetición, cs decir
(*) C(>nibinack>!ics sc dispoiK*
ac ellos, resulta el núm ero <ie
(3.1)
En el contexto de m uestras se habla de maestreo sin orden y sin
reposición: en este caso no se devuelven las bolas a la caja ni tam poco
im porta el orden en que apareccn. Esto corresponde, por ejemplo, al
caso en que se ha tom ado un punado de n bolas y no una tras otra
basta com pletar k com o en cl m uestreo ordenado. As» pues, el número
de m uestras de k bolas entre n sin orden ni reposición es
dccardinalidad k que tiene un conjunto de cardinalidad n. Como heinos
visto que tal conjunto tiene 2" subconjuntos, cada uno de los cuales
tiene cardinalidad 0 ó 1 ó 2 .. .ó n, resulta que
En el libro de Vilenkin m encionado en las rcfcrcncias se encontrarán
muchos m ás problem as típicos y sus fórmulas. En lo que sigue se aclara
por qué el sím bolo com binatorio se llam a “coeficiente binomial”.
3.2 B inom io de N ew ton
Si x e tf son indeterm inados, entonces las polencias de x + jj con expo­
nente entero no negativo se pueden calcular en función de las polencias
de x y de y gracias a un teorem a llam ado teorema de! binomio de
C abe observar que éste es exactam ente el número de subconjuntos
Nevton. Ix,s c a « « de ex|>on«Ue 0. 1.2 v ■
>son muy bien conocidos. a

64. Combiiiàtorià
saber:
( x + i » r - i
(í+ lí)’ = * + ¥
(x + y)2 = xJ + 2xy + v*
(x + y)3 = j 3+ 3r’y + 3xy’ + y3
Se puede contprolwr que los codickntrs de los monomios que aparecoi
*n estos desarrollos son el inicio dei llamado triângulo ic Pascal
Aqui, para obtener cada una de las filas, ubicamos u n i a cada extremo,
y en cada uno de los sitios interiores colocamos la suma de los dos nú­
meros de la fila superior más cercanos a dicho sitio.
Dcbido simplemente a ia iey de distributividad dei produeto con
respecto a la suma, para desarrollar
se deben multiplicar ‘todos contra todos”, lo que producirá monomios
dei tipo x",jrH
~ 'y ,...,x m
~*yi t...,y n. F.l monomio x**“*y* aparecerá
mucha» vecea; de hecho, tantas veccs cuantas posibilidades hay de elegir
n - k veces la letra x y k veccs la letra y en el proccso de “todos contra
todos".
Para calcular de cuántas maneras se obtiene el monomio x"~*y*i
basta calcular de cuánta» maneras se puede» elegir los k factores (*+y)
entre los n que hay (para cxlracr de eilos la letra y). Hemo« visto que
1 1
I 2 I
1 3 3 1
(x + y)“ a (x + y){x + y) •••(x + y)
*-*** + ••• +
C
)

65. Varias consecuencias intw santc* tie„<- « U fórmula. Ilam ula /»r-
tnulc d<l binomio de iVeelon, entre dias:
Como ^ ^ letras y equivale a clegir las n —k letras x. dcbr
ten^rse que ykJ = („_*), lo que se verifica facilmente también de la
fórmula para el símbolo combinatorio (??).
Por otra parte, la relación que hay entre (x + y)*+1 y ( r + y)*—
algebraicamente (x + »)*+' = {z + j,)(j 4- y)*—genera una relación
entre los coeficientes binomiales ("+') para los distintos * y ( j) para los
suyos. Esta relación pucde obtenerse en términos de eombinatoria como
sigue: Si se tieneu n + 1 objetos y se marca uno de ellos, entonces los
("í*) su^ conÍur'^os de cardinalidad k quedan separados en dos partes
complementarias: los que contiencn el elemento marcado y lo* que no
lo contienen.
Los subconjuntos que contienen el elemento marcado son aqtiélk»
oblenidos adjuntando el elemento marcado a uu subconjunto de cardi­
nalidad fc- 1dei conjunto de n objetos no marcados. Hay (*",) dcéstos.
Por su parte, los subconjuntos que no contienen el elemento inarcado
son los subconjuntos de cardinalidad k dei conjunto de n demento* no
marcados. Hay de ellos. Así se obtienc. en «uma, que
Esta fórmula, junto con lo* heclios (j) ■ 1 b (j) para todo n.
permile oblener I» fila de coeficiente» do (x i- y)"+l a |»attir de la fila
de coeficientes de ( r + y)". ( onstiluye asi una deuu^l rat ión «le que lo*
elemento* de la* filas de| triângulo de Pascal, construido por la regia <le
"suniar lo* vecimw superiores**, son efectivamente lo* coeficiente» bim>-
miai«**.
Concluimos este capítulo mostrando una última técnica de contco.
f» problema lípico. que generaliza la forma de obtener las perm utacio
nes ciVliovs a paitir de las j»ennutacione» al contexto de uii grupo de
*inietria$ arhitiarin (|>eio finito).