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![Es necesario romper, con todos los medios, la idea preconcebida, y fuertemente arraigada en
nuestra sociedad, proveniente con probabilidad de bloqueos iniciales en la niñez de muchos,
de que la matemática es necesariamente aburrida, abstrusa, inútil, inhumana y muy dificil.
TENDENCIAS EN LOS CONTENIDOS
Las mismas tendencias generales apuntadas en ]a sección 3 sugieren de forma natural unas
cuantas reformas en los contenidos de los programas que, con más o menos empuje, y en
algunos casos de forma experimental y tentativo, se van introduciendo.
¿Un desplazamiento hacia la matemática discreta?
La matemática del siglo XIX y la del XX ha sido predominantemente la matemática del conti-
nuo en la que el análisis, por su potencia y repercusión en las aplicaciones técnicas, ha jugado
un papel predominante.
El advenimiento de los ordenadores, con su inmensa capacidad de cálculo, con su enorme
rapidez, versatilidad, potencia de representación gráfica, posibilidades para la modelización
sin pasar por la formulación matemática de corte clásico... ha abierto multitud de campos
diversos, con origen no ya en la física, como los desarrollos de siglos anteriores, sino en otras
muchas ciencias, tales como la economía, las ciencias de la organización, biología... cuyos
problemas resultaban opacos, en parte por las enormes masas de información que había que
tratar hasta llegar a dar con las intuiciones matemáticas valiosas que pudieran conducir a pro-
cesos de resolución de los difíciles problemas propuestos en estos campos.
Por otra parte, el acento en los algoritmos discretos, usados en las ciencias de la computación,
en la informática, así como en la modelización de diversos fenómenos mediante el ordena-
dor, ha dado lugar a un traslado de énfasis en la matemática actual hacia la matemática dis-
creta. Ciertas porciones de ella son suficientemente elementales como para poder formar parte
con éxito de un programa inicial de matemática. La combinatoria clásica, así como los aspec-
tos modernos de ella, tales como la teoría de grafos o la geometría combinatoria, podrían ser
considerados como candidatos adecuados. La teoría elemental de números, que nunca llegó
a desaparecerde los programas en algunos países, podría ser otro.
Se han realizado intentos por introducir estos elementos y otros semejantes pertenecientes a
la matemática discreta en la enseñanza matemática inicial. Sucede que esto parece ser sólo
posible a expensas de otras porciones de la matemática con más raigambre, de las que no se
ve bien cómo se puede prescindir. Aunque parece bastante obvio que el sabor de la matemá-
tica del futuro será bastante diferente del actual por razón de la presencia del ordenador, aún
no se ve bien claro cómo esto va a plasmarse en los contenidos de la enseñanza primaria y
secundaria.
Impactos en los contenidos de los métodos modernos de cálculo
Hasta hace no mucho tiempo era frecuente en nuestras escuelas elementales dedicar una gran
energía y largo tiempo a rutinas tales como la división de un número de seis cifras por otro de
cuatro. O a la extracción a mano de la raíz cuadrada de un número de seis cifras con tres cifras
decimales exactas. O, en cursos superiores, al manejo con destreza y rapidez de las tablas de
logaritmos con su intrincado laberinto de interpolaciones. Hoy la presencia de la calculadora
de bolsillo ha conseguido que casi todos estemos de acuerdo en que esa energía y ese tiempo
están mejor empleados en otros menesteres. Tales operaciones son muy interesantes como
algoritmos inteligentes y profundos pero como destrezas rutinarias son superfluos.
SIGMA Nº 1920
Miguel de Guzmán Ozámiz](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma19-201109174649/85/Revista-sigma-19-20-320.jpg)
![Esta afirmación no se acepta universalmente; la Matemática, se dice, no es una ciencia expe-
rimental, sus hipótesis de trabajo no son refutables, y los objetos de los que trata no existen,
en realidad. Pero, no, la investigación matemática de esos objetos virtuales de los que trata la
Matemática es en todo análoga a la de las ciencias experimentales. Hay conjeturas, callejo-
nes sin salida, experimentos virtuales. Aunque, por supuesto, lo que se logra con todo esto, sí
que es bien distinto: es inevitable e irrefutable.(6)
La Matemática requiere un rigor definitivo,
un engarce sin fisuras en el edificio del conocimiento matemático.
La Matemática es además el lenguaje de la ciencia. La ciencia, en sentencia provocativa, es
conocimiento expresado en matemáticas; eso decía Kant, por ejemplo. Una exageración, de
acuerdo, pero de una verdad. Un lenguaje que permite un rigor en el análisis de indudable
eficacia.(7)
Y es el lenguaje de la tecnología y las comunicaciones. Un lenguaje indispensable
en el mundo moderno, en este mundo que se está dando en llamar la era de la información
y/o de la comunicación.
Steiner, uno de los grandes críticos literarios anglosajones, de esos que se atreven a proponer
un canon literario universal, comentaba recientemente (en una visita a España) que un 90%
de la comunicación actual usa lenguaje matemático y que es necesario, indispensable, supe-
rar la tradicional barrera que separa los lenguajes literario, digamos, y científico (es decir,
matemático). Amén. Días después, Molina Foix, se hacía eco de esas declaraciones de Steiner,
y contraponía el lenguaje matemático al lenguaje articulado (¿?), de lo que cabría deducir que
el lenguaje matemático es inarticulado o desarticulado. Una de cal y otra de arena.
Y, finalmente (¿?), los matemáticos gustan de considerar su actividad como un arte. Y no les
falta razón. Oscar Tusquets, el famoso arquitecto catalán, en su magnífico Dios lo ve lo plan-
tea así:
¡Qué cercano está el proceso de creación científica del artístico! Artistas y científicos comparti-
mos no sólo el proceso sino también muchas ambiciones: la ambición de universalidad, de
belleza, de coherencia, de rigor, de alcanzar la elegancia y concisión de una fórmula matemá-
tica [...] Nos sentimos muy cercanos, pero mientras los científicos generan certezas perecede-
ras, los artistas intentamos comunicar [...] dudas eternas.(8)
3. Así que la Matemática es muchas cosas. Una ciencia, un arte, un lenguaje,(9)
y por ende,
una forma de pensar. Demasiadas cosas. Una realidad confusa.
Y creo que es importante insistir en la necesidad de respetar todas esas realidades. Cada cuál
pondrá el énfasis en lo que más le atraiga o le interese, pero sin excluir otros puntos de vista,
porque todos son enriquecedores.
Los que gusten del uso de las matemáticas como lenguaje para describir el mundo y entender
no deben olvidar que los modelos son falsificaciones de la realidad (como afirmaba Turing) o
que:
La realidad no es una metáfora que construimos a partir de las matemáticas, las matemáticas son
una de las metáforas que usamos para referirnos a la realidad.(10)
Ni los amantes de la matemática especulativa o pura encaramarse a la Torre de Marfil como
pedía Weil:(11)
El matemático seguirá su camino en la seguridad de que podrá saciar su sed en las mismas fuen-
tes del conocimiento, convencido de que éstas no cesarán de fluir, puras y abundantes, mien-
tras que los demás habrán de recurrir a las aguas cenagosas de una sórdida realidad. Si se le
reprochase al matemático la soberbia de su actitud, si se le reclamase su colaboración, si se le
demandase porque se recluye en los altos glaciares a los que nadie, salvo los de su clase, le pue-
den seguir, él contestará, con Jacobi: Por el honor del espíritu humano.
SIGMA Nº 1928
José Luis Fernández Pérez](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma19-201109174649/85/Revista-sigma-19-27-320.jpg)
![PROBLEMA.- En una determinada zona han caído 50 litros por metro cuadrado de agua de
forma uniforme.
a) En un almacén rectangular de 20x30 metros se ha quedado todo el agua en la terraza
superior del mismo. Calcula el peso y el volumen del agua caída, así como la altura
que alcanzará la misma.
b) En el parking de un centro comercial que tiene forma rectangular de 300x400 metros
se recoge todo el agua en un estanque cuadrado de 20 metros de lado y 10 metros de
profundidad. ¿Habrá espacio suficiente? Si falta, ¿qué cantidad de agua se desbordará?
c) El estanque, una vez lleno, se desagua por un tubo redondo de 20 cm. de radio, por
el que el agua sale a 5 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse?
• IPC (muy elevado este año: un 4% hasta finales de octubre): para aplicación de porcenta-
jes. Utilizando la lista de subidas del IPC en los 25 o 30 últimos años (que aparecen en los
medios de comunicación o en sus libros de otras asignaturas) podemos contestar a pregun-
tas o comentarios sobre si ha subido el precio de las viviendas o de los coches, a cuánto
vender en pesetas constantes, o aquello que dicen los abuelos: "qué caro es todo, esto a mí
me costaba 2 pts.". Por ejemplo, hace 30 años el periódico costaba 1.80 pts., ¿era más caro
o más barato que ahora?
II.- GRADUAR SUS "GAFAS MATEMÁTICAS"
En este apartado con un título peculiar queremos referirnos a que una de nuestras tareas fun-
damentales que tenemos que realizar en la enseñanza es lograr una graduación personalizada
para cada uno de nuestros alumn@s de unas 'gafas' invisibles y alojadas en el cerebro que les
permitan percibir las matemáticas que hay a su alrededor y actuar en consecuencia.
• Una primera actividad que yo realizo de forma recurrente durante bastantes años es pedir-
les que imaginen un mundo sin números y que lo plasmen por escrito. Algunas respuestas
son:
"Un mundo sin números sería una locura continua [...] No se sabrían las dosis de algunos medicamentos
y no se sabría cada cuántas horas hay que tomarlo. No se sabría la tensión de cada uno ni los latidos de
tu corazón. No tendríamos ni DNI y la cartilla de la Seguridad Social [...] Sería todo un caos".
"Este apartado es un poco difícil, ya que nosotros, los humanos, utilizamos los números para casi todo, casi
que sin ellos no podemos vivir [...]Un día sin números sería como vivir en la Prehistoria [...] Sin los núme-
ros no existiría ninguno de los inventos que tenemos: teléfono, ordenadores, televisores, coches,... No ima-
gino un mundo así"
"Un mundo sin números sería como un mundo sin letras. ¿Con qué pagaríamos?, ¿Cómo sabríamos la
hora?, ¿Y cuándo nacimos? Esos son algunos de los problemas que acarrearía un mundo sin números. (...)
Así que no sé lo que podría ser un mundo sin números; ¡ sería la ruina total!".
Estas son algunas de las redacciones. Pero es interesante destacar que el conjunto de las mis-
mas muestran algunas características destacadas:
Septiembre 2001 • Iraila 2001 45
Matemáticas cotidianas
• Actualización de precios de años atrás.
– INDICE DE PRECIOS AL CONSUMO –](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma19-201109174649/85/Revista-sigma-19-44-320.jpg)
![las diversas variables que hay que tener en cuenta en las investigaciones...., y, poco a poco,
el tema se introdujo... y fue conocido por los especialistas de la educación matemática. Pero
seguía sin ser parte de los currículos.
En 1980, en el IV-ICMI celebrado en Berkeley, que fue el gran congreso internacional, hubo
un gran grupo de trabajo sobre el tema de la resolución de problemas. La idea era la de inte-
resar al público (profesorado) de todos los países del mundo, para que el tema fuera más
tenido en cuenta en los currículos. Ese workshop (taller) fue dirigido por personas de
Inglaterra, con la ayuda de personas de varios países.
En el siguiente ICMI, en Australia-84, hubo de nuevo un working-group (grupo de trabajo) muy
importante, de manera que, a través de todo el mundo, se habló de este tema como un tema de
interés para el nivel escolar...., porque anteriormente, al inicio, cuando Polya escribía sus traba-
jos, sólo era escuchado por los matemáticos y esas ideas se aplicaban a nivel universitario.
Ahora, poco a poco, está llegando a su introducción a nivel escolar. En) 1980, -tomaré el
ejemplo más conocido aunque no es el único-, el NCTM (National Council of Teachers of
Mathematics), que es una gran organización de profesores de Matemática de EEUU, publicó
algo muy importante, que se llama "Agenda for Action", un plan para actuar en educación
matemática, con recomendaciones para la matemática escolar de los años 80.
La primera recomendación que apareció, creo que la primera de seis, era que "la resolución
de problemas debe ser el objetivo principal, en inglés "focus, de la enseñanza de la
Matemática en la década de los 80"; entonces, hace veinte años ya se hablaba como objetivo
principal de "introducir ese tema en los currículos", al menos, en América del Norte.
Al mismo tiempo también existían trabajos en Europa, en Inglaterra había mucha gente traba-
jando sobre este tema, en Francia, estaba Glaiser, bien conocido, que trabajaba sobre el tema.
En España tabién hay gente trabajando, aunque debe ser un poco más tarde, en los años 80.
Por lo tanto, se puede observar que el movimiento crece y, a nivel internacional, se habla más
del tema. Al final, en los EEUU, porque estoy tomando mis ejemplos en 1989, aparecieron los
"Standards........", creo que muchos de ustedes conocen la traducción al español que fue
hecha por la sociedad Thales, "Estándares curriculares.....". Ahora tendrán que recomenzar
porque hay una nueva edición, pero [la edición traducida] es la de 1989.
De nuevo no son un programa, son estándares (modelos). Estándares significa "normas de cali-
dad de un currículo" y, entonces, ese documento proponía normas de calidad de un currículo
de Matemáticas. Había temas como: Números, Algebra, Geometría, etc. y estaba el tema de
resolución de problemas, como yo digo..... un "supertema". La idea era que en el documento
se presenta la resolución de problemas como un supertema que viene a integrar todo. Es la
línea roja que pasa alrededor, y a través, de los temas de Aritmética, Algebra, Geometría,
Análisis de datos, etc. Es un tema que se encuentra en cualquier lugar del currículo y sirve
para unificar. Esta era la idea y, la misma idea, se encuentra ahora en los programas de otros
países del mundo.
Podemos ver entonces, que la resolución de problemas no es nueva e incluso, a nivel escolar,
hace más o menos veinte años que se habla de esto y lo curioso es que tenemos la impresión
que, en realidad, en las escuelas, es un tema poco implantado..., que hay mucho más que
hacer sobre este tema.
Desde el punto de vista teórico, la gente está de acuerdo en que, resolver problemas, es una
buena actividad, pero hay algo que falta para que esté bien implantado..., lo vamos a ver
más tarde. Ahora, para terminar esta sección, lo que yo pretendo señalar es que hay nuevos
Septiembre 2001 • Iraila 2001 53
Tendencias actuales de la resolución de problemas](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma19-201109174649/85/Revista-sigma-19-52-320.jpg)
![factores que vienen a reforzar la actualidad e importancia de este tema que, en lugar de dis-
minuir, está aumentando cada día. Estoy dando solamente cuatro razones, pero hay muchas
más..., será suficiente, eso espero, para convencerles.
En la actualidad está muy en vigor la perspectiva socio-constructivista. En muchos países del
mundo, en congresos de investigadores, ahora se habla de socio-constructivismo; anterior-
mente se hablaba [sólo] de constructivismo. La idea es que cada persona construye sus cono-
cimientos, constructivismo en un cierto sentido. El socio-constructivismo insiste sobre el
hecho que, cuando se aprenden cosas, no sólo hay actividad cognitiva sino que también la
interacción con otras personas ayuda mucho, es un factor de ayuda y que acelera el apren-
dizaje. La discusión con otra gente, el trabajo en equipo, la interacción social, son factores
importantes. Se habla de Vigostsky, se habla de varios autores. Tomando esta tendencia
actual en cuenta, una de las consecuencias es que la resolución de problemas tomará más
importancia porque, cuando los alumnos van a resolver problemas, será una gran oportuni-
dad para trabajar en equipos (grupos), para descubrir o resolver problemas juntos, será una
oportunidad de oro para aplicar esa idea, mucho mejor que cuando hacen ejercicios indivi-
duales de Algebra, por ejemplo. En la parte de resolución de problemas es donde todo esto
se puede ver más fácilmente.
Una segunda razón, para decir que la resolución de problemas tiene una importancia cada
vez más grande, es que es un objetivo para la educación en el nuevo milenio. Al comienzo
de esta semana, en Auckland (Nueva Zelanda), asistí a una conferencia en la que tres de los
conferenciantes hablaron del siguiente tema: pasamos a un nuevo milenio con mucha nueva
tecnología...etc,etc, ¿cuáles serán los conocimientos y habilidades de base en educación?,
¿cuáles son las habilidades que un alumno, que va a vivir en el nuevo siglo, va a tener?.....Y
tres personas diferentes de tres países distintos hablaron de ese tema y todos decían, más o
menos, la misma idea: "que vamos hacia un mundo más y más complejo y cada joven, que
es estudiante hoy en día, va a vivir en un mundo donde se va a enfrentar a situaciones más y
más complejas, incluso con la tecnología. La tecnología estará a su servicio pero tendrán que
resolver muchos problemas en el sentido propio" , y todos insistían que, en la formación que
vamos a dar a nuestros alumnos para que puedan vivir bien en el próximo milenio, la resolu-
ción de problemas será un instrumento magnífico para darles oportunidades de desarrollar
habilidades intelectuales, habilidades de autonomía, de pensamiento, estrategias,... para que
aprendan a enfrentarse a situaciones complejas, como las que tendrán en el mundo que
viene. Profundizando en este aspecto se puede también ver que intensificar la resolución de
problemas vale la pena porque, a través de ella, podemos hacer mucho más para cumplir los
objetivos de la educación matemática del próximo siglo.
Otro motivo - no sé si esto vale en España o en esta parte, porque supongo que tienen sus
currículos locales aquí -, es que hay muchos países en este momento donde están redefi-
niendo los currículos escolares. Es el caso de Quebec. No estamos contentos porque el minis-
tro va a imponernos un currículo de inmediato...., dice que es urgente y no se puede esperar
más, los profesores no están listos pero no importa...., hay que empezar,... etc., etc. La nueva
moda es la moda de las competencias y, anteriormente, nuestros currículos estaban definidos
de manera tradicional con conocimientos, habilidades, actividades a desarrollar; ahora hay
que hacer todo con competencias pero competencias definidas de una cierta manera.
Nosotros utilizamos una definición francesa, pero hay muchas otras...., más o menos la idea
es la siguiente: hay que definir el currículo con una lista de competencias. Una competencia
significa una capacidad, Los expertos dicen de movilizar recursos cognitivos (conocimientos,
habilidades, cosas que hemos aprendido) y aplicarlas en un contexto real. La idea es que, a
través de esas competencias, el gobierno quiere asegurarse que, no solamente los alumnos
aprenden cosas, sino que pueden aplicarlas en situaciones reales y, de esta manera, insisten
SIGMA Nº 1954
Claude Gaulin](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma19-201109174649/85/Revista-sigma-19-53-320.jpg)
![en hablar de competencias. No es nuevo, anteriormente hablábamos de objetivos un poco
específicos y de objetivos a largo plazo. Entre estos últimos están las competencias, insistimos
mucho más en la idea de aprender para que sea aplicable y para que, además, lo sea en diver-
sos contextos. Es la idea de resolución de problemas: aprender a resolver problemas es apren-
der a enfrentarse a situaciones nuevas, donde no se sabe como resolver el problema, hay que
pensar y hay que utilizar estrategias diversas para resolverlo. Es análogo..... y, a través de ese
argumento, se puede, yo no voy a hacerlo, llegar a la idea que, gracias a enfatizar más la reso-
lución de problemas, podemos probablemente llegar más fácilmente a la adquisición de las
competencias.
El cuarto argumento que cito es que los estándares americanos: la edición del 89 fue revi-
sada, hubo una consulta durante 2 ó 3 años. Mucha gente fue consultada, profesores, padres,
matemáticos, didactas, pedagogos, etc. y, poco a poco decidieron cómo modificar los están-
dares [los que fueron traducidos al castellano]. En abril del 2000 han publicado una nueva
edición que ahora se llama "Principles and Standards for School Mathematics" y es accesible
en la web [es la web del NCTM: www. nctm.org]. Es un documento con posibilidad de ir, de
viajar a través de una red de información. Ya pueden pensar que el futuro en muchos países
tendremos, probablemente, currículos de Matemáticas definidos (elaborados y presentados)
por hipermedia. Esto significa que no solamente habrá texto, imágenes, vídeos, etc. Por ejem-
plo, si se habla de socio-constructivismo en el texto, haciendo un "clic", se obtienen expli-
caciones. Si queremos ver una aplicación en el aula, "clic", y aparecerá un pequeño vídeo y
se observa [en] el vídeo como el profesor está tratando de aplicar las cosas. O se quieren
obtener ejemplos de problemas para estimular tal habilidad, "clic", se obtienen ejem-
plos,....etc,etc.
Es por lo que vale la pena consultar [la página web del NCTM] para darnos una idea de los
currículos que tendremos en el futuro. De todas maneras aquí tenemos los nuevos estándares
[libro], es un resumen, porque el documento en papel es enorme. La edición electrónica es
mucho más fácil de consultar.
Lo que importa ahora es que, en lugar de muchos documentos, hay un solo documento y hay
seis principios, por ejemplo, un principio que se llama de "Tecnología", el de "Evaluación", el
de "Igualdad", etc..., hay principios y hay diez estándares. Antes había nueve, incluso la
"Resolución de Problemas".
Antes teníamos: Números, Álgebra, Geometría, Análisis de Datos, Medida, Resolución de
Problemas, Conexiones, Comunicación, Razonamiento,..., había nueve. Ahora distinguen dos
tipos de estándares: ESTÁNDARES DE CONTENIDO y ESTÁNDARES DE PROCESOS. Y la
resolución de problemas aparece en los estándares de procesos, lo que tiene mucho sentido,
y entonces la resolución de problemas aparece aquí, Razonamiento y Prueba
(Demostración)..., ahora hay mucho más sobre pruebas (demostraciones), lo que faltaba en la
edición anterior, Comunicación, Conexiones....., y hay un nuevo estandar que se llama
"Representación", el uso de varios tipos de representaciones en Matemáticas.
¿Cuál es la idea?, Hay una idea estratégica de mostrar que el contenido es importante, pero
los procesos también, más o menos igual. Habían pensado incluir un nuevo contenido,
"Matemática Discreta", hubo mucha discusión y hasta el último momento se pensaba que
habría seis estándares de contenido con el de Matemática Discreta, (un poco sobre grafos,
combinatoria,...etc). Al final decidieron no incluir Matemática Discreta, sino hubiera habido
un desequilibrio 6 contra 5 y, por motivos estratégicos, un poco políticos, decidieron poner
5/5, para mostrar que las normas de calidad, hay cinco sobre procesos y cinco sobre conte-
nidos, y el mensaje es que, en los currículos que vamos a construir a partir de eso, hay que
observar ese equilibrio.
Septiembre 2001 • Iraila 2001 55
Tendencias actuales de la resolución de problemas](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma19-201109174649/85/Revista-sigma-19-54-320.jpg)
![resolución de problemas, que la gente quería seguir la moda sin saber lo que significaba y que,
mucha gente, decía que seguía la moda, pero hablaban de varias cosas, no sabían en que con-
sistía la moda. Entonces, yo había dado una conferencia en Tenerife, en el 85 ó 86, y alguien
preparó un resumen que fue publicado en la revista "Números". Voy a repetir algunas ideas
que mencioné ya entonces, y vamos a ver algunas interpretaciones que se encontraban en
América y en otros países sobre la resolución de problemas. Recuerden lo que dije antes....,
que en el año 80 en América del Norte hubo un documento, en el que la primera recomen-
dación era que la resolución de problemas debe ser el objetivo principal de la próxima década
en la enseñanza de la matemática escolar.
¿Cómo era interpretado esto? Yo investigué ese tema en el 82-83 y había encontrado al menos
seis interpretaciones, muy comunes. Por ejemplo, había gente que decía: Ah!,... sí! .., sí! , yo
enseño Aritmética, Álgebra, yo doy la teoría y, al final del capítulo, hay algo que se llama pro-
blemas. Entonces lo que quieren decir es que ahora vamos a dar más importancia a esa sec-
ción al final del capítulo. Sección que contenía principalmente ejercicios, no problemas
genuinos. Este fue el modo como el mensaje fue entendido por ciertas personas, ya que el
mensaje no era claro y es fácil consultar los textos de la época y ver que, yo creo de una
manera intencional, eran escritos de manera vaga y un poco ambigua, para que toda la gente
se sintiera capaz de aplicarlos.
Otros profesores, y había muchos, decían: sí, sí,.... yo entiendo....., citaban a Polya.....
Entonces la idea es que ahora, cuando voy a enseñar, de vez en cuando, yo tendré que dar a
mis alumnos problemas genuinos, yo utilizo muchos ejercicios...., demasiados..., yo voy a
introducir algunos problemas de vez en cuando.. y eso es lo que significa dar más
importancia a la resolución de problemas. Antes había muy pocos problemas y ahora habrá
más. Es fácil verificar que había gente escribiendo artículos o cartas y explicando que eso era
la interpretación de la recomendación.
Otros, en Quebec había muchos, que decían.... sí.... sí, enfatizar la resolución de problemas
ahora..., ahora significa que, al final, en lugar de dar problemas abstractos vamos a dar
muchos más problemas reales, realistas, de la realidad de la vida de cada día. Y entendieron
la recomendación en este sentido. Al final nos dice el NCTM, terminar [con] los problemas
abstractos, muchos más de la vida cotidiana, entendieron la recomendación de esta manera y
para ellos esto era lo esencial olvidando el resto. Toda esa gente tenía un objetivo común: "es
que enseñar para la resolución de problemas significa que hay que enseñar la manera que
nuestros alumnos, al final, sean capaces de resolver problemas, problemas genuinos, no
importa que sean matemáticos o de la vida real o problemas del final del capítulo...., que son
más o menos problemas verbales, en inglés word-problems, que son ejercicios muchas veces
o problemas reales".
Otras personas, que habían escuchado a investigadores o habían leído a Polya, interpretaron
la misma recomendación de otra manera diciendo: "enfatizar la resolución de problemas en
nuestra enseñanza significa ahora que vamos a enseñar estrategias de resolución de proble-
mas, porque sin estrategias los alumnos no saben como resolver problemas, entonces, como
hay varias estrategias, vamos a enseñarlas con muchos ejemplos. Eso era muy popular, hay
libros enteros en el mercado que circulan ahora también, todos son libros donde el contenido
es "Cómo aprender tal estrategia", tal otra, etc. y el énfasis está, casi completamente en este
tema y, claro, que la persona que piensa así, piensa que es una manera evidente de mejorar
la enseñanza de la Matemática y de aplicar la recomendación de enfatizar la resolución de
problemas.
Hay otros que, también, conocían el modelo de Polya. No sé si hay mucha gente que conoce
el famoso modelo de Polya.... Cuatro etapas al enfrentarse a un problema:
Septiembre 2001 • Iraila 2001 57
Tendencias actuales de la resolución de problemas](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma19-201109174649/85/Revista-sigma-19-56-320.jpg)
![Puesto que < 1
el método converge linealmente, y (asintóticamente) en cada iteración el error se divide
por 4.
3.3. Métodos analíticos. Con el nacimiento del cálculo infinitesimal surgen nuevas herra-
mientas para el cálculo de . La fórmula de Wallis (como la de Vieta) si bien dan una expre-
sión cerrada para , no son muy útiles para su cálculo. El primer avance serio se produce con
el descubrimiento por James Gregory de la serie de potencias para la función arctan:
arctan x = x – + – + ..., ͉x͉ < 1.
La serie converge absolutamente para ͉x͉ < 1, y condicionalmente para x = ±1. Dando valo-
res particulares a x podemos obtener fórmulas para . La convergencia de la serie será más
rápida cuanto más pequeño sea x. Abraham Sharp calculó 71 cifras usando x = 2 – ͌3 = 0,
267949.
Hay toda una colección de fórmulas que permiten aproximar mediante la serie de Gregory
usando valores pequeños de x, lo que acelera la convergencia del método. Algunas de ellas
se han usado para calcular millones de cifras de . A continuación presento las más eficien-
tes para el cálculo. Con el fin de simplificar la escritura, usaremos la notación
[x] = arctan .
= [2] + [3] Euler
= [2] + [5] + [8] Daze
= 2 [3] + [7] Clausen
= 4 [5] - [239] Machin
= 8 [10] - [239] + 4 [515] Klingestierra
= 12 [18] + 8 [57] - 5 [239] Gauss
Son conocidas como fórmulas tipo Machin. La más sencilla es la de Euler
(3) = arctan 1 = arctan + arctan .
Hay dos maneras de probarla. Una analítica usando la fórmula para la tangente de una suma,
y otra geométrica, que se expone a continuación. En la siguiente figura, el triángulo ABC es
rectángulo en B e isósceles.
Por lo tanto el ángulo A mide /4 radianes, mientras que
␣ = arctan y  = arctan .
Las fórmulas más eficientes, en función del número de términos que se debe evaluar son la de
Machin, la de Klingestierra y la de Gauss. En la práctica es habitual realizar los cálculos con
dos de ellas como comprobación. Las de Machin y Klingestierra tienen la ventaja de que las
series [5] y [10]
Rn
4
1
x
4
1
2
1
2
1
3
1
3
4
x3
3
x5
5
x7
7
SIGMA Nº 50120
Julián Aguirre](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma19-201109174649/85/Revista-sigma-19-117-320.jpg)
![FIGURA 3. Demostración geométrica de la igualdad (3)
son de cálculo casi inmediato en base decimal. Sin embargo la de Gauss, cuando se utiliza
junto con la serie de Euler (2), es más eficiente, pues
x = ˛ S = =
y
x = ˛ S = =
Desde un punto de vista práctico, esto quiere decir que basta con calcular los términos de la
serie [18], ya que los de la serie [57] se obtienen multiplicando por potencias negativas de 10
(lo que implica un desplazamiento a la derecha de las cifras decimales).
Los términos de la serie se calculan de manera sucesiva de forma recurrente:
a1 = 1, a2 = S a1 , a3 = S a2 ,..., an+1 = S an ,...
3.4. La media aritmético-geométrica de Gauss. La media aritméticogeométrica fue descu-
bierta por Lagrange, y redescubierta por Gauss a la edad de 14 años. Nueve años más tarde
publicó un artículo exponiendo muchas de sus propiedades.
Sean a > b números reales. Las medias aritmética y geométrica son respectivamente
, ͌ab.
Geométricamente, si a y b son los lados de un rectángulo, la media aritmética de a y b es el
lado de un cuadrado con el mismo perímetro que el rectángulo original, mientras que la geo-
métrica es el lado de un cuadrado con la misma área. Llamamos a1 a la media aritmética de
a y b y b1 a su media geométrica. Definimos de manera recurrente una sucesión
an+1 = , bn+1 = ͌an bn .
Es fácil comprobar que {an} es una sucesión decreciente, {bn} creciente y que ambas conver-
gen a un mismo límite, la media aritmético-geométrica de a y b, que denotamos por M(a, b).
La convergencia de las sucesiones es además cuadrática. Definimos
cn
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= an
2
– bn
2
.
Septiembre 2001 • Iraila 2001 121
Todo sobre
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![Matematika hasieratik dago munduaren azalpen bati lotuta. Dela zeruen deskripabena dela
Lurrarena, biak izan ziren antzinako zibil izazioen helburu eta zenbakiak eta geometria arazo
praktikoetarako erabili ziren. Kalkulu infinitesimalaren sorrerak ate ugari ireki zituen, feno-
meno naturalez arduratzen diren zientzietan matematizazio handia eraginez. Benetan harri-
garria da errealitate konplexua abstrakzio mota erraz samar batera bideratu izana eta kalku-
luak aurresaten duena errealitatearekin bat etortzea hain modu zehatzean. Eugene Wigner fisi-
kariak oso ezagun egin den artikulu bat argitaratu zuen 1960an, Matematikaren arrazoitu ezi-
neko eraginkortasuna naturaren zientzietan(9)
izenburupean, eta hau irakur daiteke bertan:
“matematikaren izugarrizko erabilgarritasuna naturaren zientzietan [fisika barne, jakina] mis-
terioaren mugan dago eta ez du azalpen arrazionalik" eta "matematikaren hizkera fisikaren
legeen formulazioetara egokitzearen miraria opari liluragarria da, ez dugu ulertzen eta ez
dugu merezi". Baina hor dago, badakigu zelan erabili eta zer egin dezakegun berarekin, arra-
kastaren zergatia magikoa dirudien arren.
Gutxi-asko, denek onartzen diote matematikari aipatu berri dudan erabilera hori. Baina eza-
gutzen ez dutenek uste izaten dute, eguneroko bizitzan matematika elementalak duen prakti-
kotasuna alde batera utzita, aplikazio interesgarri bakarrak naturaren zientzietako eredu
horiek direla. Horregatik bestelako erabilerak aukeratu ditut aurkezpen honetarako: medi-
kuntzaren irudiak eta finantzen mundua.
Esaten da hitzaldi matematiko guztietan teorema bat sartu behar dela. Ez dut hutsik egingo eta
teorema bat erakutsiko dizuet. Ez da oso teorema ezaguna, baina neuri ederra iruditzen zait,
matematikan ere edertasunaren inguruko iritziak beti pertsonalak direla onartuta, jakina.
Bohemian jaio eta Vienan lan egin zuen Johann Radon matematikariari zor diogu, 1917an
argitaratu zen, eta honela dio: planoan definiturikofuntzio bat lerrozuzen guztien gainean
egindako integralen bitartez erabat berreskuratzen da. Matematikariok dugun berbaera berezi
honek jokoz kanpo utziko zuen bat baino gehiago, esandakoa ulertu ezinik. Adibide erraz bat
emango dut jarraipena ulertzeko nahikoa izango delakoan.
Demagun multzo bat dugula planoan eta zenbait zulo dituela barrual dean, irudian ikusten
den bezala. Egin dezagun lerro zuzen bat eta neur dezagun multzoa ebakitzean ematen duen
luzera; gero gauza bera egingo dugu beste zuzen guztiekin. Radonen teoremaren bertsio
berezi baten arabera luzera holien guztien zerrenda ematen badizkigute barruko zuloen forma
eta kokalekua erabat zehaz dezakegu.
Emaitza teoriko polit bat dugu, baina zertarako balio lezake? Allan Cormack fisikari hegoafri-
karrak, 1963 eta 1964an argitaratu zituen lan batzuetan, ikustezina ikusteko erabiltzea propo-
satu zuen, giza gorputzaren barruko irudiak lortzeko, alegia. Gorputzaren sekzio batek aipa-
turiko multzoaren antza du baina konplikatuagoa da. X izpiak lerro zuzenetan hedatzen direla
kontuan hartuz batetik, eta intentsitate-galera ibilitako bidearen luzeraren eta medioaren den-
tsitatearen proportzionala dela bestetik, kalkulu matematiko batek erakusten du norabide
batean sarrerako eta irteerako intentsitateak neurtuz, norabide horren gaineko dentsitatearen
integrala neurtuta dugula. Irudiko adibidearen kasuan dentsitatearen balio bi bakarrik hartu
ditugu, bat multzoan eta bestea zuloetan, horregatik zen nahikoa luzera ezagutzea. Giza gor-
putzaren ebaketarako dentsitatea aldakorra da, baina Cormacken metodoa erabilita Radonen
teoremak dentsitatearen funtziorako eskatzen dituen integralak lor daitezke gorputza ebaki eta
barruan "sartu" gabe. Ematen du Radonen inbertsio formula ezartzea baino ez dugula behar
dentsitatearen funtzioa berregiteko, hau da, gorputzaren barrualdea "ikusteko".
Baina mundu errealeko matematikak ezaugarri berezia du: kalkulagarria izan behar du.
Oztopo bat dugu Radonen teorema erabiltzeko, ezin ditugula lerro guztien gaineko neurriak
SIGMA Nº 19164
2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma19-201109174649/85/Revista-sigma-19-159-320.jpg)
![Septiembre 2001 • Iraila 2001 165
Lección inaugural del curso académico 2000-2001
Desde el principio la matemática aparece ligada a una explicación del mundo, tanto la des-
cripción de los cielos como la de la Tierra son objetivo de las civilizaciones antiguas y los
números y la geometría se usan con fines prácticos. La creación del cálculo infinitesimal abrió
muchas puertas y las ciencias que se ocupan de los fenómenos naturales sufrieron una fuerte
matematización. Resulta ciertamente sorprendente que una realidad compleja se haya podido
reducir a una forma de abstracción relativamente sencilla y que las predicciones de ésta se
ajusten tan bien a la realidad. El físico Eugene Wigner publicó en 1960 un artículo que se ha
hecho famoso, titulado La irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales(9)
,
en el que se puede leer: "la enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales
[incluyendo la física, por supuesto] es algo que bordea lo misterioso y para la que no hay
explicación racional" y "el milagro de la adecuación del lenguaje de las matemáticas a la for-
mulación de las leyes de la física es un maravilloso regalo que ni entendemos ni merecemos".
Pero ciertamente está ahí, sabemos cómo usarla y qué podemos hacer con ella, aunque la
razón de su éxito parezca mágica.
De un modo u otro, todos parecen aceptar esta aplicación de la matemática. Pero quienes no
la conocen tienden a creer que, dejando aparte el uso de la matemática elemental en la vida
cotidiana, todas las aplicaciones interesantes se reducen a estos modelos para las ciencias de
la naturaleza. Por ello he elegido otro tipo de aplicaciones para esta presentación: las imáge-
nes médicas y el mundo de las finanzas.
Solemos decir que en todas las charlas matemáticas debe presentarse un teorema y voy a apro-
vechar la ocasión. No es un teorema muy conocido, aunque a mí me parece precioso, lo que
no deja de ser un apreciación personal, como todo lo que se refiere a cuestiones de belleza,
también en matemáticas. El resultado se debe a Johann Radon, un matemático nacido en
Bohemia y que trabajó en Viena. Se publicó en 1917 y dice que una función del plano se
puede recuperar a partir de sus integrales sobre todas las rectas. Me temo que hemos entrado
en uno de los peligros de la matemática: su lenguaje. Algunos, quizá muchos, de los oyentes
no comprenderán el significado de los términos utilizados. Voy a dar una versión más senci-
lla que nos servirá para entender lo suficiente para seguir adelante.
Supongamos que tenemos un conjunto plano con algunos agujeros en su interior como en la
figura (ver página siguiente). Dibujamos una línea recta y medimos la longitud de su corte con
el conjunto y hacemos lo mismo con todas las rectas. Una versión particular del teorema de
Radon diría que si nos dan la lista de todas esas longitudes podemos reconstruir exactamente
la forma y situación precisa de los agujeros.
Tenemos un bonito resultado teórico, ¿para qué podría servir? El físico sudafricano Allan
Cormack publicó en 1963 y 1964 sendos trabajos en los que proponía usarlo para ver lo invi-
sible, imágenes internas del cuerpo humano. Una sección del cuerpo se parece al conjunto
mencionado pero es más complicada. Teniendo en cuenta que los rayos X se propagan en
línea recta y pierden intensidad proporcionalmente al camino recorrido y a la densidad del
medio, una cuenta matemática muestra que midiendo la intensidad de entrada y salida en una
dirección podemos calcular la integral de la densidad en esa dirección. En el ejemplo de la
figura hemos considerado sólo dos densidades, la del conjunto y la de los agujeros, por eso
bastaba saber la longitud de corte. Para la sección del cuerpo humano la densidad es varia-
ble, pero con el método de Cormack podemos conseguir los datos que el teorema de Radon
necesita para la función de densidad sin cortar ni "entrar" dentro del cuerpo. Parece que sólo
haría falta aplicar la fórmula de inversión de Radon para recomponer esa función de densi-
dad, es decir, para "ver" el interior del cuerpo.
Pero las matemáticas del mundo real tienen características especiales, necesitan ser calcula-
bles. Tenemos un inconveniente para utilizar el teorema de Radon: no podemos medir a lo](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma19-201109174649/85/Revista-sigma-19-160-320.jpg)
![Septiembre 2001 • Iraila 2001 173
Lección inaugural del curso académico 2000-2001
Dice Salomon Bochner a propósito de Gauss15
:
"En matemáticas, el siglo XIX llegó en realidad algo más tarde [de 1801], cuando Gauss
se vio 'motivado" a suministrar cuatro demostraciones diferentes para el aserto de que
cualquier polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Se
cuenta que el anciano Lagrange quedó sorprendido por esta actitud; desde su punto de
vista siglo XVIII, lo adecuado era proponer una sola prueba, que fuera satisfactoria, y a
partir de ahí seguir con algo diferente".
¿Cuál era el motivo de Gauss para semejante actitud? Simplemente la necesidad de entender,
que es una de las razones que mueve a los matemáticos y a los demás científicos. No es lo
mismo saber que entender y en esta diferencia se encuentran temas de estudio. Aunque un
resultado se conozca, encontrando una nueva prueba se puede entender mejor, se le pueden
descubrir nuevas relaciones y la propia prueba puede dar luz para tratar otros casos. Nunca
se puede afirmar que una cuestión está cerrada del todo y no va a servir para producir más.
Es una primera fuente de trabajo.
Goldbach observó que todo número entero parecía poderse escribir siempre como suma de
tres números primos (recuerdo que llamamos "primo" al número que no tiene más divisores
que él mismo y la unidad) y, por tanto, dos deberían bastar para conseguir los números pares.
Trató de demostrarlo pero no pudo. En una carta a Euler de 1742 le propuso el problema y
hasta hoy nadie ha sido capaz de dar una prueba. Es uno de los famosos problemas abiertos
que he mencionado antes. Éste permite una formulación sencilla, que se comprende sin com-
plicados conceptos matemáticos, pero circulan entre los especialistas otros muchos problemas
abiertos en todos los campos de la matemática. Se inventan problemas nuevos cada día, apa-
recen ante cualquiera que se haga preguntas. La respuesta puede a veces llegar tan rápida-
mente que ni siquiera merecerá ser mencionado como problema, otras veces vendrá después
de mucho trabajo, y en algunas ocasiones acabará proponiéndose la pregunta en un artículo,
un libro o una conferencia, y otros matemáticos tendrán un nuevo tema para pensar.
Veamos una tercera situación. La transformada de Fourier es un objeto con muchas aplica-
ciones potenciales, pero tiene un inconveniente, no es calculable. Como habitualmente se
hace, un primer paso fue proponer una versión discreta en la que el cálculo de integrales se
reemplaza por la resolución de sistemas lineales (que sólo requiere operaciones elementales).
Pero seguía habiendo un inconveniente, los sistemas eran tan grandes que incluso los orde-
nadores no podían ofrecer respuestas en tiempo real. En 1965, J. Cooley y J. Tukey presen-
taron el algoritmo de la transformada rápida de Fourier, que 'hizo pasar a industrias enteras
de lentas a rápidas de la noche a la mañana". ¿Por qué no se descubrió antes? Porque es un
Goldbacheck Euleri bidalitako
eskutitza](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma19-201109174649/85/Revista-sigma-19-168-320.jpg)
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- 2. 1 INDICE PRESENTACIÓN / AURKEZPENA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I CONGRESO DE MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 TENDENCIAS ACTUALES DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA D. Miguel de Guzmán Ozámiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ALGUNAS REFLEXIONES SOBRE EL AÑO MUNDIAL DE LAS MATEMÁTICAS D. José Luis Fernández Pérez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 MATHEMA AÑO 2000 D. Rafael Pérez Gómez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 MATEMÁTICAS COTIDIANAS D. Fernando Corbalán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 TENDENCIAS ACTUALES DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS D. Claude Gaulin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 GEOMETRÍA PARA CIUDADANOS TRIDIMENSIONALES D. Claudi Alsina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ARTÍCULOS 71 EL MUNDO DE LAS CAJAS Dna . Inés Sanz Lerma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS IES de Fadura (Getxo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 EL MUS “TXIKI” Y OTROS JUEGOS CON LA BARAJA NUMÉRICA: UNA PROPUESTA INTERDISCIPLINAR PARA TRABAJAR LOS NÚMEROS EN EL SEGUNDO CICLO DE PRIMARIA D. Modesto Arrieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 TODO LO QUE SIEMPRE QUISISTE SABER SOBRE D. Julián Aguirre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 PROBLEMAS 131 V CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 ACTOS ACADÉMICOS 147 ¿ES POSIBLE UNA SOCIEDAD CULTA SIN MATEMÁTICAS? : Lección Inaugural del Curso Académico 2000 - 2001 D. Javier Duoandikoetxea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
- 3. 3 PRESENTACIÓN Estamos en losalbores de un año mítico, el 2001, inicio de siglo y de milenio. Atrás quedó el año 2000, declarado “Año Mundial de las Matemáticas”. El año 2000 supuso un gran desafío para la comunidad matemática de todo el mundo. La mayoría de los países, asociaciones, universidades, etc. organizaron diversos acontecimientos para celebrar tan singular evento. Nuestra Comunidad también quiso aportar su “granito de arena”. Entre las muchas manifesta- ciones, se celebró en Bilbao, a finales de año, el I Congreso de Educación Matemática. Esta revista, recoge algunas de las ponencias que fueron presentadas en dicho congreso. Desde aquí queremos agradecer tanto a los conferenciantes como a los asistentes el maravi- lloso ambiente que se generó esos días. AURKEZPENA Urte mitikoaren hasieran gaude, 2001.na mendearen eta milenioaren hasiera. Atzean gelditu egin da 2000. “Matematika Mundu urte”. 2000ko urtea, mundu osoko matematika komunitaterako herronka itzela suposatu zen. Herrialde, elkarte, eta unibertzitate gehiengoak ekitaldi bereziak antolatu zituzten gertakizun berezi hau ospatzeko. Gure elkartea ere, bere haren garautxoa ekarri nahi zuen. Bilbon, beste hainbeste manifesta- peen artean, urtearen amaieran, “Matematika Hezkuntza I Kongresua” ospatu egin zen. Aldizkari honek lehen aipatutako I. Kongresuan aurkeztutako hainbat txosten biltzen ditu. Hemendik eskertu nahi genuke bai hitzlarieri baita ere etorleei egun horietan sortutako giro ederragatik.
- 4. 4 I CONGRESO DEMATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN Bilbao, 14, 15 y 16 de Diciembre de 2000 El Departamento de Educación, Universidades e Investigación decidió promover la celebra- ción del I Congreso de Matemáticas en la Educación a finales del año 2000. En este encuentro participaron expertos sobre el tema, tanto del ámbito estatal como de la pro- pia Comunidad Autónoma. Dicha reunión supuso la posibilidad de una ampliación del conocimiento matemático y una ayuda en la com- prensión del panorama actual de la enseñanza de las matemáticas. Los objetivos que se persiguieron en dicho congreso fueron: 1. Reflexionar y debatir sobre los principales enfoques y experiencias en la enseñanza de las matemáticas. 2. Ofrecer un espacio de encuentro e intercambio de experiencias entre los distintos paricipantes. 3. Popularizar y divulgar el papel de las matemáticas en la enseñanza actual, insistiendo en su vertiente de aplicación cotidiana, aplicación para el futuro y apli- cación lúdica. El Congreso contó , entre otros, con la participación de: D. Miguel de Guzmán, D. José Luis Fernández Pérez, D. Rafael Pérez, D. Claude Gaulin, D. Claudi Alsina, Dña. Margarita Miñón, D. Luis Pereda, D. Carlos Gallego, D. Jesús Mª Goñi, Mª Jesús Pérez, D. José Antonio López, D. José Colera, Dña. Mª Jesús Luelmo, D. José Ramón Vizmanos, D. Fernando Corbalán, Dña. Fidela Velázquez, Dña. Xaro Nonmedeu, Dña. Marta Berini, Dña. María Gaspar, D. Agustín Quintana, D. Juan Madrigal, D. Floreal Gracia, D. Antón Alboniga, D.J. Ramón Cenigaonaindia, D. José Luis Malaina, D. Ángel Ramírez. A todos ellos y ellas queremos agradecer su colaboración. Así como a los componentes del Comité Científico, nos referimos a D. Miguel de Guzmán (como presidente del Comité), D. Jesús de la Cal, D. Jesús Mª Goñi, Dña. Margarita Miñón y D. Javier Duoandikoetxea. Por último, queremos mostrar nuestra gratitud a todas y todos los asistentes; su ilusión fue pal- pable, y esto nos empuja a realizar más eventos en esta línea.
- 5. Septiembre 2001 •Iraila 2001 5 Tendencias actuales de la Educación Matemática TENDENCIAS ACTUALES DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA D. Miguel de Guzmán Ozámiz (*) INTRODUCCIÓN Este artículo viene a ser una refundición y actualización del que escribí hace unos años con el título Tendencias innovadoras en Educación Matemática. Muchos de los artículos citados en el presente artículo se pueden encontrar en mi página en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense a la que se llega con la siguiente dirección: http://www.mdeguzman.net INDICE 1.- UNA SITUACIÓN DE CAMBIO EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA 2.- TENDENCIAS GENERALES ACTUALES 3.- CAMBIOS EN LOS PRINCIPIOS METODOLÓGICOS ACONSEJABLES 4.- TENDENCIAS EN LOS CONTENIDOS 5.- DESIDERATA 1.- UNA SITUACIÓN DE CAMBIO EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA Los últimos cuarenta años han sido escenario de cambios muy profundos en la enseñanza de las matemáticas. Por los esfuerzos que la comunidad internacional de expertos en educación matemática sigue realizando por encontrar moldes adecuados está claro que vivimos aún actualmente una situación de experimentación y cambio. El movimiento de renovación de los años 60 y 70 hacia la matemática moderna trajo consigo una honda transformación de la enseñanza, tanto en su talante profundo como en los conte- nidos nuevos con él introducidos. Entre las principales características del movimiento y los efectos por él producidos se pueden contar los siguientes: - Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas áreas, especialmente en álgebra. - Se pretendió profundizar en el rigor lógico, en la comprensión, contraponiendo ésta a los aspectos operativos y manipulativos. - Esto último condujo de forma natural al énfasis en la fundamentación a través de las nocio- nes iniciales de la teoría de conjuntos y en el cultivo del álgebra, donde el rigor es fácilmente alcanzable. - La geometría elemental y la intuición espacial sufrió un gran detrimento. La geometría es, en efecto, mucho más difícil de fundamentar rigurosamente. (*) Universidad Complutense de Madrid. Presidente del Comité Científico del Congreso.
- 6. - Con respectoa las actividades fomentadas, la consecuencia natural fue el vaciamiento de problemas interesantes, en los que la geometría elemental tanto abunda, y su sustitución por ejercicios muy cercanos a la mera tautología y reconocimiento de nombres, que es, en buena parte, lo que el álgebra puede ofrecer a este nivel elemental. En los años 70 se empezó a percibir que muchos de los cambios introducidos no habían resul- tado muy acertados. Con la sustitución de la geometría por el álgebra la matemática elemen- tal se vació rápidamente de contenidos y de problemas interesantes. La patente carencia de intuición espacial fue otra de las desastrosas consecuencias del alejamiento de la geometría de nuestros programas, defecto que hoy se puede percibir muy claramente en las personas que realizaron su formación en aquellos años. Se puede decir que los inconvenientes surgidos con la introducción de la llamada matemática moderna superaron con mucho las cuestionables ventajas que se había pensado conseguir, como el rigor en la fundamentación, la compren- sión de las estructuras matemáticas, la modernidad y el acercamiento a la matemática con- temporánea... Los años 70 y 80 presentaron una discusión, en muchos casos vehemente y apasionada, sobre los valores y contravalores de las tendencias que se iban haciendo paso, y luego una búsqueda intensa de formas más adecuadas de afrontar los nuevos retos de la enseñanza matemática por parte de la comunidad matemática internacional. En la actualidad parece claro que en la comunidad matemática se va produciendo un cambio profundo, al menos en lo que a la valoración que en ella se hace de la educación matemá- tica. Es en este aspecto muy significativo que en la nueva clasificación de campos y materias que en el año 2000 ha presentado la American Mathematical Society para su uso en las Mathematical Reviews se haya introducido por primera vez una campo titulado Mathematical Education (97-XX) con el mismo rango que, por ejemplo, Differential Geometry (53-XX) Por otra parte es obvio en los países más avanzados matemáticamente el interés creciente de muchos matemáticos profesionales por los problemas que plantea actualmente la educación matemática de los diferentes niveles, incluído el nivel universitario. En artículos escritos muy recientemente por matemáticos prestigiosos la educación matemática figura en lugar promi- nente como uno de los que hay que considerar con prioridad si pretendemos tener un desa- rrollo sano de la comunidad matemática. Pueden verse los artículos de: M. Gromov (1998) y P.A. Griffiths, que figuran en mi página web. Con ello parece que un problema muy enraizado en la comunidad matemática, el de la leja- nía de los matemáticos respecto de los problemas de la enseñanza al que me he referido en una conferencia en el ICME de Sevilla (1996), parece que se va encauzando hacia una posible solución. SIGMA Nº 196 Miguel de Guzmán Ozámiz Al inicio del Congreso, de dcha. a izda.: D. Javier Duoandikoetxea, Ilmo. Inaxio Oliveri (Consejero de Educación), Dña. Nekane Aguirre (Directora de Innovación Educativa) y D. Miguel de Guzmán.
- 7. Algunos problemas dela enseñanza de la matemática en España En nuestro país hay problemas de la educación matemática que son especialmente serios. Atañen a todos los niveles de la educación matemática. Con motivo del comienzo del 2000 Año Mundial de las Matemáticas se celebró en el Congreso de Diputados una jornada matemática para tratar de que el país entero se hiciera consciente de la importancia de la matemática en la cultura actual y de los problemas que su enseñanza a todos los niveles conlleva. Amplia información sobre los aspectos dedicados a la educación matemática en esta reunión se pueden ver en mi página. El más grave en lo que se refiere a la educación primaria estriba, a mi parecer, en las pocas oportunidades que el sistema de formación inicial de profesores les de una preparación ade- cuada para su tarea futura de iniciar a los niños y niñas correctamente en la matemática. En un artículo reciente que se puede ver aquí he expresado esta opinión en detalle. La educación secundaria y universitaria tienen también sus problemas específicos más serios que se detallan en otro artículo publicado recientemente. Algunos de estos problemas los venimos arrastrando desde ya hace tiempo, como se puede ver en la descripción del año 1983 de los que entonces se podían detectar (Revista de Occidente, 1983). Otros son más bien recientes y tienen que ver con la extensión de la edu- cación secundaria hasta los 16 años que hace unos años se hizo en nuestro país. Un docu- mento interesante en este aspecto es el que surgió, tras una reunión en la Real Academia de Ciencias celebrada en 1998, en la que participaron un buen número de las organizaciones matemáticas de nuestro país. Este documento se puede leer en mi página. Algunos de los problemas que en nuestro país tienen lugar en el empalme de la educación matemática preuniversitaria con la universitaria no son específicos nuestros sino más bien muy extendidos, como se puede ver en el artículo que aquí se presenta. Berlin, ICM 98. En algunas de las universidades del país se están tratando de poner en marcha mecanismos especiales para afrontar este problema. Los esfuerzos realizados en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense se pueden ver en el material distribuído a los alumnos que entran en la Facultad como soporte de un curso especial titulado Laboratorio de Matemáticas. TENDENCIAS GENERALES ACTUALES Una consideración de fondo. ¿Qué es la actividad matemática? La filosofia prevalente sobre lo que la actividad matemática representa tiene un fuerte influjo, más efectivo a veces de lo que aparenta, sobre las actitudes profundas respecto de la ense- ñanza matemática. La reforma hacia la matemática moderna tuvo lugar en pleno auge de la corriente formalista (Bourbaki) en matemáticas. No es aventurado pensar a priori en una rela- ción causa-efecto y, de hecho, alguna de las personas especialmente influyentes en el movi- miento didáctico de los años 60, como Dieudonné, fueron importantes miembros del grupo Bourbaki. En los últimos 20 años, especialmente a partir de la publicación de la tesis docto- ral de I. Lakatos (1976), Proofs and refutations, se han producido cambios bastante profundos en el campo de las ideas acerca de lo que verdaderamente es el quehacer matemático. La actividad científica en general es una exploración de ciertas estructuras de la realidad, entendida ésta en sentido amplio, como realidad fisica o mental. La actividad matemática se enfrenta con un cierto tipo de estructuras que se prestan a unos modos peculiares de trata- miento, que incluyen: Septiembre 2001 • Iraila 2001 7 Tendencias actuales de la Educación Matemática
- 8. a) una simbolizaciónadecuada, que permite presentar eficazmente, desde el punto de vista operativo, las entidades que maneja; b) una manipulación racional rigurosa, que compele al asenso de aquellos que se adhie- ren a las convenciones iniciales de partida; c) un dominio efectivo de la realidad a la que se dirige, primero racional, del modelo mental que se construye, y luego, si se pretende, de la realidad exterior modelada. La antigua definición de la matemática como ciencia del número y de la extensión, no es incompatible en absoluto con la aquí propuesta, sino que corresponde a un estadio de la matemática en que el enfrentamiento con la realidad se había plasmado en dos aspectos fun- damentales, la complejidad proveniente de la multiplicidad (lo que da origen al número, a la aritmética) y la complejidad que procede del espacio (lo que da lugar a la geometría, estudio de la extensión). Más adelante el mismo espíritu matemático se habría de enfrentar con: • la complejidad del símbolo (álgebra); • la complejidad del cambio y de la causalidad determinística (cálculo); • la complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrola- ble (probabilidad, estadística); • complejidad de la estructura formal del pensamiento (lógica matemática)... Filosofía de la matemática y educación matemática La filosofía de la matemática de la segunda mitad del siglo 20 ha dejado de preocuparse tan insistentemente como en la primera mitad del siglo sobre los problemas de fundamentación de la matemática, especialmente tras los resultados de Gödel a comienzos de los años 30, para enfocar su atención en el carácter cuasiempírico de la actividad matemática (I. Lakatos), así como en los aspectos relativos a la historicidad e inmersión de la matemática en la cultura de la sociedad en la que se origina (R. L. Wilder), considerando la matemática como un sub- sistema cultural con características en gran parte comunes a otros sistemas semejantes. Tales cambios en lo hondo del entender y del sentir mismo de los matemáticos sobre su propio que- hacer vienen provocando, de forma más o menos consciente, fluctuaciones importantes en las consideraciones sobre lo que la enseñanza matemática debe ser. Una reflexión más detallada sobre este tema se puede encontrar en mi artículo Matemáticas y estructura de la naturaleza. Continuo apoyo en la intuición directa de lo concreto. Apoyo permanente en lo real En los años 80 hubo un reconocimiento general de que se había exagerado considerablemente en las tendencias hacia la matemática moderna en lo que respecta al énfasis en la estructura abstracta de la matemática. Es necesario cuidar y cultivar la intuición en general, la manipu- lación operativa del espacio y de los mismos símbolos. Es preciso no abandonar la compren- sión e inteligencia de lo que se hace, por supuesto, pero no debemos permitir que este esfuerzo por entender deje pasar a segundo plano los contenidos intuitivos de nuestra mente en su acercamiento a los objetos matemáticos. Si la matemática es una ciencia que participa mucho más de lo que hasta ahora se pensaba del carácter de empírica, sobre todo en su inven- ción, que es mucho más interesante que su construcción formal, es necesario que la inmer- sión en ella se realice teniendo en cuenta mucho más intensamente la experiencia y la mani- pulación de los objetos de los que surge. La formalización rigurosa de las experiencias inicia- les corresponde a un estadio posterior. A cada fase de desarrollo mental, como a cada etapa histórica o a cada nivel científico, le corresponde su propio rigor. SIGMA Nº 198 Miguel de Guzmán Ozámiz
- 9. Para entender estainteracción fecunda entre la realidad y la matemática es necesario acudir, por una parte, a la propia historia de la matemática, que nos desvela ese proceso de emer- gencia de nuestra matemática en el tiempo, y por otra parte, a las aplicaciones de la mate- mática, que nos hacen patentes la fecundidad y potencia de esta ciencia. Con ello se hace obvio cómo la matemática ha procedido de forma muy semejante a las otras ciencias, por aproximaciones sucesivas, por experimentos, por tentativas, unas veces fructuosas, otras esté- riles, hasta que va alcanzando una forma más madura, aunque siempre perfectible. Nuestra enseñanza ideal debería tratar de reflejar este carácter profundamente humano de la mate- mática, ganando con ello en asequibilidad, dinamismo, interés y atractivo. Los procesos del pensamiento matemático. El centro de la educación matemática Una de las tendencias generales más difundidas hoy consiste en el hincapié en la transmisión de los procesos de pensamiento propios de la matemática, más bien que en la mera transfe- rencia de contenidos. La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la psicología cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de resolución de problemas. Por otra parte, existe la conciencia, cada vez más acusada, de la rapidez con la que, por razo- nes muy diversas, se va haciendo necesario traspasar la prioridad de la enseñanza de unos contenidos a otros. En la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la que nos encontramos, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo más valioso que podemos proporcionar a nues- tros jóvenes. En nuestro mundo científico e intelectual tan rápidamente mutante vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente se convierten en lo que Whitehead llamó ideas inertes, ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas, capaces de abordar los problemas del presente. En esta dirección se encauzan los intensos esfuerzos por transmitir estrategias heurísticas ade- cuadas para la resolución de problemas en general, por estimular la resolución autónoma de ver- daderos problemas, más bien que la mera transmisión de recetas adecuadas en cada materia. Atención a los nuevos instrumentos proporcionados por los avances tecnológicos: la utiliza- ción de los programas de cálculo simbólico La aparición de herramientas tan poderosas como la calculadora y el ordenador actuales está comenzando a influir fuertemente en los intentos por orientar nuestra educación matemática primaria y secundaria y terciaria adecuadamente, de forma que se aprovechen al máximo de tales instrumentos. Es claro que, por diversas circunstancias tales como coste, inercia, nove- dad, impreparación de profesores, hostilidad de algunos... aún no se ha logrado encontrar moldes plenamente satisfactorios. Este es uno de los retos importantes del momento presente. Ya desde ahora se puede presentir que nuestra forma de enseñanza y sus mismos contenidos tienen que experimentar drásticas reformas. El acento habrá que ponerlo, también por esta razón, en la comprensión de los procesos matemáticos más bien que en la ejecución de cier- tas rutinas que en nuestra situación actual ocupan todavía gran parte de la energía de nues- tros alumnos, con el consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo que en ello emplean. Lo verdaderamente importante vendrá a ser su preparación para el diálogo inteligente con las herramientas que ya existen, de las que algunos ya disponen y otros van a disponer en un futuro que ya casi es presente. Una discusión en detalle de las posibles formas de proceder en lo que se refiere a la utiliza- ción de los programas de cálculo simbólico se puede ver en Vela Mayor. Los riesgos de la Septiembre 2001 • Iraila 2001 9 Tendencias actuales de la Educación Matemática
- 10. utilización del ordenadoren la enseñanza han sido explorados en el artículo (Riesgos) que aquí se puede ver. Una visión más reciente de estos problemas se puede encontrar en una exposición reciente (Mosaico). Atención a los nuevos instrumentos proporcionados por los avances tecnológicos: la utiliza- ción de Internet en la educación matemática. Internet es un instrumento muy versátil que admite diferentes usos matemáticos que ya se van aprendiendo a manejar adecuadamente. Una exposición de algunos de ellos relacionados con la información rica y variada que a través de la red se puede proporcionar a los estudiantes, así como la interacción que facilita entre todos los miembros de la comunidad educativa se puede encontrar en la exposición que se puede ver aquí (Mosaico). Conciencia de la importancia de la motivación Una preocupación general que se observa en el ambiente conduce a la búsqueda de la moti- vación del alumno desde un punto de vista más amplio, que no se limite al posible interés intrínseco de la matemática y de sus aplicaciones. Se trata de hacer patentes los impactos mutuos que la evolución de la cultura, la historia, los desarrollos de la sociedad, por una parte, y la matemática, por otra, se han proporcionado. Cada vez va siendo más patente la enorme importancia que los elementos afectivos que invo- lucran a toda la persona pueden tener incluso en la vida de la mente en su ocupación con la matemática. Es claro que una gran parte de los fracasos matemáticos de muchos de nuestros estudiantes tienen su origen en un posicionamiento inicial afectivo totalmente destructivo de sus propias potencialidades en este campo, que es provocado, en muchos casos, por la ina- decuada introducción por parte de sus maestros. Por eso se intenta también, a través de diver- sos medios, que los estudiantes perciban el sentimiento estético, el placer lúdico que la mate- mática es capaz de proporcionar, a fin de involucrarlos en ella de un modo más hondamente personal y humano. En nuestro ambiente contemporáneo, con una fuerte tendencia hacia la deshumanización de la ciencia, a la despersonalización producida por nuestra cultura computarizada, es cada vez más necesario un saber humanizado en que el hombre y la máquina ocupen cada uno el lugar que le corresponde. La educación matemática adecuada puede contribuir eficazmente en esta importante tarea. CAMBIOS EN LOS PRINCIPIOS METODOLÓGICOS ACONSEJABLES A la vista de estas tendencias generales apuntadas en la sección anterior se pueden señalar unos cuantos principios metodológicos que podrían guiar apropiadamente nuestra enseñanza. Hacia la adquisición de los procesos típicos del pensamiento matemático. La inculturación a través del aprendizaje activo. El papel de la historia en la educación matemática. ¿Cómo debería tener lugar el proceso de aprendizaje matemático a cualquier nivel? De una forma semejante a la que el hombre ha seguido en su creación de las ideas matemáticas, de modo parecido al que el matemático activo utiliza al enfrentarse con el problema de mate- matización de la parcela de la realidad de la que se ocupa. Se trata, en primer lugar, de ponernos en contacto con la realidad matematizable que ha dado lugar a los conceptos matemáticos que queremos explorar con nuestros alumnos. Para ello debe- ríamos conocer a fondo el contexto histórico que enmarca estos conceptos adecuadamente. ¿Por SIGMA Nº 1910 Miguel de Guzmán Ozámiz
- 11. qué razones lacomunidad matemática se ocupó con ahínco en un cierto momento de este tema y lo hizo el verdadero centro de su exploración tal vez por un período de siglos? Es extraordina- riamente útil tratar de mirar la situación con la que ellos se enfrentaron con la mirada perpleja con que la contemplaron ínicialmente. La visión del tema que se nos brinda en muchos de nuestros libros de texto se parece en demasiadas ocasiones a una novela policiaca que aparece ya destri- pada desde el principio por haber comenzado contando el final. Contada de otra forma más razo- nable podría ser verdaderamente apasionante. Normalmente la historia nos proporciona una magnífica guía para enmarcar los diferentes temas, los problemas de los que han surgido los conceptos importantes de la materia, nos da luces para entender la razón que ha conducido al hombre para ocuparse de ellos con interés. Si conocemos la evolución de las ideas de las que pretendemos ocuparnos, sabremos perfec- tamente el lugar que ocupan en las distintas consecuencias, aplicaciones interesantes que de ellas han podido surgir, la situación reciente de las teorías que de ellas han derivado... La modelización matemática de la realidad En otras ocasiones el acercamiento inicial se puede hacer a través del intento directo de una modelización de la realidad en la que el profesor sabe que han de aparecer las estructuras matemáticas en cuestión. Se puede acudir para ello a las otras ciencias que hacen uso de las matemáticas, a circunstancias de la realidad cotidiana o bien a la presentación de juegos tra- tables matemáticamente, de los que en más de una ocasión a lo largo de la historia han sur- gido ideas matemáticas de gran profundidad, como veremos más adelante. Puestos con nuestros estudiantes delante de las situaciones-problema en las que tuvo lugar la gestación de las ideas con las que queremos ocupamos, deberemos tratar de estimular su bús- queda autónoma, su propio descubrimiento paulatino de estructuras matemáticas sencillas, de problemas interesantes relacionados con tales situaciones que surgen de modo natural. Es claro que no podemos esperar que nuestros alumnos descubran en un par de semanas lo que la humanidad elaboró tal vez a lo largo de varios siglos de trabajo intenso de mentes muy brillantes. Pero es cierto que la búsqueda con guía, sin aniquilar el placer de descubrir, es un objetivo alcanzable en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, así como la detección de técnicas concretas, de estrategias útiles de pensamiento en el campo en cuestión y de su transmisión a los estudiantes. La teoría, así concebida, resulta llena de sentido, plenamente motivada y mucho más fácil- mente asimilable. Su aplicación a la resolución de los problemas, que en un principio apare- cían como objetivos inalcanzables, puede llegar a ser una verdadera fuente de satisfacción y placer intelectual, de asombro ante el poder del pensamiento matemático eficaz y de una fuerte atracción hacia la matemática. La heurística ("problem solving") en la enseñanza de la matemática La enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más invocado para poner en práctica el principio general de aprendizaje activo y de inculturación mencio- nados anteriormente. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir en lo posible de una manera sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas. Tengo un verdadero problema cuando me encuentro en una situación desde la que quiero llegar a otra, unas veces bien conocida, otras un tanto confusamente perfilada, y no conozco el camino que me puede llevar de una a otra. Nuestros libros de texto están, por lo general, repletos de meros ejercicios y carentes de verdaderos problemas. La apariencia exterior puede Septiembre 2001 • Iraila 2001 11 Tendencias actuales de la Educación Matemática
- 12. ser engañosa. Tambiénen un ejercicio se expone una situación y se pide que se llegue a otra: Escribir el coeficiente de x7 en el desarrollo de (1 +x)32 . Pero si esta actividad, que fue un ver- dadero problema para los algebristas del siglo XVI, se encuentra, como suele suceder, al final de una sección sobre el binomio de Newton, no constituye ya ningún reto notable. El alumno tiene los caminos bien marcados. Si no es capaz de resolver un problema semejante, ya sabe que lo que tiene que hacer es aprenderse la lección primero. La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los contenidos matemáticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamiento eficaces. Se trata de considerar como lo más importante: • que el alumno manipule los objetos matemáticos; • que active su propia capacidad mental; • que ejercite su creatividad; • que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo consciente- mente; • que, a ser posible, haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su tra- bajo mental; • que adquiera confianza en sí mismo; • que se divierta con su propia actividad mental; • que se prepare así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida coti- diana; • que se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia. ¿Cuáles son las ventajas de este tipo de enseñanza? ¿Por qué esforzarse para conseguir tales objetivos? He aquí unas cuantas razones interesantes: • porque es lo mejor que podemos proporcionar a nuestros jóvenes: capacidad autó- noma para resolver sus propios problemas; • porque el mundo evoluciona muy rápidamente: los procesos efectivos de adaptación a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra cultura no se hacen obsoletos; • porque el trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satisfactorio, autorrealizador y creativo; • porque muchos de los hábitos que así se consolidan tienen un valor universal, no limi- tado al mundo de las matemáticas; • porque es aplicable a todas las edades. ¿En qué consiste la novedad? ¿No se ha enseñado siempre a resolver problemas en nuestras clase de matemáticas? Posiblemente los buenos profesores de todos los tiempos han utilizado de forma espontánea los métodos que ahora se propugnan. Pero lo que tradicionalmente se ha venido haciendo por una buena parte de nuestros profesores se puede resumir en las siguientes fases: -exposición de contenidos - ejemplos - ejercicios sencillos- -ejercicios más complicados - ¿problemas? SIGMA Nº 1912 Miguel de Guzmán Ozámiz
- 13. La forma depresentación de un tema matemático basada en el espíritu de la resolución de problemas debería proceder más o menos del siguiente modo: • propuesta de la situación problema de la que surge el tema (basada en la historia, apli- caciones, modelos, juegos...) • manipulación autónoma por los estudiantes • familiarización con la situación y sus dificultades • elaboración de estrategias posibles • ensayos diversos por los estudiantes • herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados) • elección de estrategias • ataque y resolución de los problemas • recorrido crítico (reflexión sobre el proceso) • afianzamiento formalizado (si conviene) • generalización • nuevos problemas • posibles transferencias de resultados, de métodos, de ideas... En todo el proceso el eje principal ha de ser la propia actividad dirigida con tino por el pro- fesor, colocando al alumno en situación de participar, sin aniquilar el placer de ir descu- briendo por sí mismo lo que los grandes matemáticos han logrado con tanto esfuerzo. Las ven- tajas del procedimiento bien llevado son claras: actividad contra pasividad, motivación con- tra aburrimiento, adquisición de procesos válidos contra rígidas rutinas inmotivadas que se pierden en el olvido.... En mi opinión el método de enseñanza por resolución de problemas presenta algunas dificul- tades que no parecen aún satisfactoriamente resueltas en la mente de algunos profesores y mucho menos en la forma práctica de llevarlo a cabo. Se trata de armonizar adecuadamente las dos componentes que lo integran, la componente heurística, es decir, la atención a los pro- cesos de pensamiento, y los contenidos específicos del pensamiento matemático. A mi parecer existe en la literatura actual una buena cantidad de obras excelentes cuya aten- ción primordial se centra en los aspectos heurísticos, puestos en práctica sobre contextos diversos, unos más puramente lúdicos, otros con sabor más matemático. Algunas de estas obras cumplen a la perfección, en mi opinión, su cometido de transmitir el espíritu propio de la actitud de resolución de problemas y de confirmar en quien se adentra en ellas las actitu- des adecuadas para la ocupación con este tipo de actividad. Sin embargo, creo que aún no han surgido intentos serios y sostenidos por producir obras que efectivamente apliquen el espí- ritu de la resolución de problemas a la transmisión de aquellos contenidos de la matemática de los diversos niveles que en la actualidad pensamos que deben estar presentes en nuestra educación. Lo que suele suceder a aquellos profesores genuinamente convencidos de la bondad de los objetivos relativos a la transmisión de los procesos de pensamiento es que viven una especie de esquizofrenia, tal vez por falta de modelos adecuados, entre los dos polos alrededor de los que gira su enseñanza, los contenidos y los procesos. Los viernes ponen el énfasis en los pro- cesos de pensamiento, alrededor de situaciones que nada tienen que ver con los programas de su materia, y los demás días de la semana se dedican con sus alumnos a machacar bien Septiembre 2001 • Iraila 2001 13 Tendencias actuales de la Educación Matemática
- 14. los contenidos quehay que cubrir, sin acordarse para nada de lo que el viernes pasado prac- ticaron. Sería muy necesario que surgieran modelos, aunque fueran parciales, que integraran en un todo armonioso ambos aspectos de nuestra educación matemática. De todos modos, probablemente se puede afirmar que quien está plenamente imbuído en ese espíritu de la resolución de problemas se enfrentará de una manera mucho más adecuada a la tarea de transmitir competentemente los contenidos de su programa. Para ayudar a los profesores de matemáticas en la preparación necesaria para la enseñanza de la matemática a través de la resolución de problemas he escrito una obra de la que se puede ver aquí el prólogo, índice y capítulo 0. (Para pensar mejor). Sobre el papel de la historia en el proceso de formación del matemático A mi parecer, un cierto conocimiento de la historia de la matemática, debería formar parte indispensable del bagaje de conocimientos del matemático en general y del profesor de cual- quier nivel, primario, secundario o terciario, en particular. Y, en el caso de este último, no sólo con la intención de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseñanza, sino pri- mariamente porque la historía le puede proporcionar una visión verdaderamente humana de la ciencia y de la matemática, de lo cual suele estar también el matemático muy necesitado. La visión histórica transforma meros hechos y destrezas sin alma en porciones de conoci- miento buscadas ansiosamente y en muchas ocasiones con genuina pasión por hombres de carne y hueso que se alegraron inmensamente cuando por primera vez dieron con ellas. Cuántos de esos teoremas, que en nuestros días de estudiantes nos han aparecido como ver- dades que salen de la oscuridad y se dirigen hacia la nada, han cambiado de aspecto para nosotros al adquirir un perfecto sentido dentro de la teoría, después de haberla estudiado más a fondo, incluído su contexto histórico y biográfico. La perspectiva histórica nos acerca a la matemática como ciencia humana, no endiosada, a veces penosamente reptante y en ocasiones falible, pero capaz también de corregir sus erro- res. Nos aproxima a las interesantes personalidades de los hombres que han ayudado a impul- sarlas a lo largo de muchos siglos, por motivaciones muy distintas. Desde el punto de vista del conocimiento más profundo de la propia matemática, la historia nos proporciona un cuadro en el que los elementos aparecen en su verdadera perspectiva, lo que redunda en un gran enriquecimiento tanto para el matemático técnico, como para el que enseña. Si cada porción de conocimiento matemático de nuestros libros de texto llevara escrito el número de un siglo al que se le pudiera asignar con alguna aproximación, veríamos saltar locamente los números, a veces dentro de la misma página o del mismo párrafo. Conjuntos, números naturales, sistemas de numeración, números racionales, reales, comple- jos, ... decenas de siglos de distancia hacia atrás, hacia adelante, otra vez hacia atrás, vertigi- nosamente. No se trata de que tengamos que hacer conscientes a nuestros alumnos de tal cir- cunstancia. El orden lógico no es necesariamente el orden histórico, ni tampoco el orden didáctico coincide con ninguno de los dos. Pero el profesor debería saber cómo han ocurrido las cosas, para: • comprender mejor las dificultades del hombre genérico, de la humanidad, en la ela- boración de las ideas matemáticas, y a través de ello las de sus propios alumnos; • entender mejor la ilación de las ideas, de los motivos y variaciones de la sinfonía mate- mática; • utilizar este saber como una sana guía para su propia pedagogía. SIGMA Nº 1914 Miguel de Guzmán Ozámiz
- 15. El conocimiento dela historia proporciona una visión dinámica de la evolución de la mate- mática. Se puede barruntar la motivación de las ideas y desarrollos en el inicio. Ahí es donde se pueden buscar las ideas originales en toda su sencillez y originalidad, todavía con su sen- tido de aventura, que muchas veces se hace desaparecer en los textos secundarios. Como dice muy acertadamente O. Toeplitz: Con respecto a todos los temas básicos del cálculo infinitesimal...teorema del valor medio, serie de Taylor,... nunca se suscita la cuestión ¿Por qué así precisamente? o ¿Cómo se llegó a ello? Y sin embargo, todas estas cuestiones han tenido que ser en algún tiempo objetivos de una intensa búsqueda, respuestas a preguntas candentes... Si volviéramos a los orígenes de estas ideas, perderían esa apariencia de muerte y de hechos disecados y volverían a tomar una vida fresca y pujante. Tal visión dinámica nos capacitaría para muchas tareas interesantes en nuestro trabajo educa- tivo: • posibilidad de extrapolación hacia el futuro; • inmersión creativa en las dificultades del pasado; • comprobación de lo tortuoso de los caminos de la invención, con la percepción de la ambigüedad, obscuridad, confusión iniciales, a media luz, esculpiendo torsos incon- clusos... Por otra parte, el conocimiento de la historia de la matemática y de la biografía de sus crea- dores más importantes nos hace plenamente conscientes del carácter profundamente histó- rico, es decir, dependiente del momento y de las circunstancias sociales, ambientales, prejui- cios del momento, ... así como de los mutuos y fuertes impactos que la cultura en general, la filosofía, la matemática, la tecnología, las diversas ciencias han ejercido unas sobre otras. Aspecto este último del que los mismos matemáticos enfrascados en su quehacer técnico no suelen ser muy conscientes, por la forma misma en que la matemática suele ser presentada, como si fuera inmune a los avatares de la historia. Desgraciadamente, tanto para el estudiante que desea sumergirse en la investigación mate- mática como para el que quiere dedicarse a sus aplicaciones a la enseñanza, la historia de la matemática suele estar totalmente ausente de la formación universitaria en nuestro país. A mi parecer sería extraordinariamente conveniente que las diversas materias que enseñamos se beneficiaran de la visión histórica, como he dicho arriba, y que a todos nuestros estudiantes se les proporcionara siquiera un breve panorama global del desarrollo histórico de la ciencia que les va a ocupar toda su vida. Mientras llega una situación razonable yo me atrevería a aconsejar: • la lectura atenta de algunos de los numerosos y excelentes tratados de historia que van apareciendo en castellano (Boyer, Kline, Colette, Grattan-Guinness...); • acudir, para los temas del interés particular de cada uno, a las fuentes originales, espe- cialmente de los clásicos; • leer las biografías de los grandes matemáticos, al menos en la forma sucinta en que aparecen en el Dictionary of Scientific Biography. Sobre la utilización de la historia en la educación matemática El valor del conocimiento histórico no consiste en tener una batería de historietas y anécdo- tas curiosas para entretener a nuestros alumnos a fin de hacer un alto en el camino. Septiembre 2001 • Iraila 2001 15 Tendencias actuales de la Educación Matemática
- 16. La historia sepuede y se debe utilizar, por ejemplo, para entender y hacer comprender una idea difícil del modo más adecuado. Quien no tenga la más mínima idea de las vueltas y revueltas que el pensamiento matemático ha recorrido hasta dar, pongamos por caso, con la noción rigurosamente formalizada del número complejo, se sentirá tal vez justificado para introducir en su enseñanza los números complejos como el conjunto de los pares de núme- ros reales entre los cuales se establecen las siguientes operaciones... Quien sepa que ni Euler ni Gauss, con ser quienes eran, llegaron a dar ese rigor a los núme- ros complejos y que a pesar de ello pudieron hacer cosas maravillosas relacionadas con ellos, se preguntará muy seriamente acerca de la conveniencia de tratar de introducir los complejos en la estructura cristalizada antinatural y dificil de tragar, que sólo después de varios siglos de trabajo llegaron a tener. Los diferentes métodos del pensamiento matemático, tales como la inducción, el pensamiento algebraico, la geometría analítica, el cálculo infinitesimal, la topología la probabilidad,... han surgido en circunstancias históricas muy interesantes y muy peculiares, frecuentemente en la mente de pensadores muy singulares, cuyos méritos, no ya por justicia, sino por ejemplaridad, es muy útil resaltar. La historia debería ser un potente auxiliar para objetivos tales como: • hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas en matemáticas; • enmarcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto con su motivación, precedentes; • señalar los problemas abiertos de cada época, su evolución, la situación en la que se encuentran actualmente; • apuntar las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias, en cuya inte- racción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes. Sobre diversos temas de la historia y sobre la utilización de la historia en la educación mate- mática a diversos niveles se pueden consultar los siguientes artículos: Los pitagóricos, Apolonio, Panorama Labor e ICME (Quebec, 1992), que figuran en mi página web. Modelización y aplicaciones en la educación matemática Existe en la actualidad una fuerte corriente en educación matemática que sostiene con fuerza la necesidad de que el aprendizaje de las matemáticas no se realice explorando las construc- ciones matemáticas en si mismas, en las diferentes formas en que han cristalizado a lo largo de los siglos, sino en continuo contacto con las situaciones del mundo real que les dieron y les siguen dando su motivación y vitalidad. Tal corriente está en plena consonancia con las ideas antes desarrolladas y parece como un corolario natural de ellas. La matemática, como hemos visto, se origina como un intento por explorar, en su peculiar modo, las diferentes estructuras complejas que se prestan a ello. La creación del matemático se realiza espontáneamente en este intento por dominar aspectos matematizables de la realidad. La educación matemática debería tener por finalidad principal la inculturación, tratando de incorporar en ese espíritu matemático a los más jóvenes de nues- tra sociedad. Parece obvio gue si nos limitáramos en nuestra educación a una mera presentación de los resultados que constituyen el edificio puramente teórico que se ha desarrollado en tal intento, dejando a un lado sus orígenes en los problemas que la realidad presenta y sus aplicaciones SIGMA Nº 1916 Miguel de Guzmán Ozámiz
- 17. para resolver talesproblemas, estaríamos ocultando una parte muy interesante y sustancial de lo que la matemática verdaderamente es. Aparte de que estaríamos con ello prescindiendo del gran poder motivador que la modelización y las aplicaciones poseen. El papel del juego en la educación matemática La actividad matemática ha tenido desde siempre una componente lúdica que ha sido la que ha dado lugar a una buena parte de las creacciones más interesantes que en ella han surgido. El juego, tal como el historiador J. Huizinga lo analiza en su obra “Homo ludens”, presenta unas cuantas características peculiares: • es una actividad libre, en el sentido de la paideia griega, es decir, una actividad que se ejercita por sí misma, no por el provecho que de ella se pueda derivar; • tiene una cierta función en el desarrollo del hombre; el cachorro humano, como el ani- mal, juega y se prepara con ello para la vida; también el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de liberación, de evasión, de relajación; • el juego no es broma; el peor revientajuegos es el que no se toma en serio su juego; • el juego, como la obra de arte, produce placer a través de su contemplación y de su ejecución; • el juego se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio; • existen ciertos elementos de tensión en él, cuya liberación y catarsis causan gran pla- cer; • el juego da origen a lazos especiales entre quienes lo practIcan; • a través de sus reglas el juego crea un nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo y armonía. Un breve análisis de lo que representa la actividad matemática basta para permitirnos com- probar que muchos de estos rasgos están bien presentes en ella. La matemática, por su natu- raleza misma, es también juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el científico, instrumental, filosófico, que juntos hacen de la actividad matemática uno de los verdaderos ejes de nuestra cultura. Si el juego y la matemática, en su propia naturaleza, tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto que también participan de las mismas características en lo que respecta a su pro- pia práctica. Esto es especialmente interesante cuando nos preguntamos por los métodos más adecuados para transmitir a nuestros alumnos el profundo interés y el entusiasmo que las matemáticas pueden generar y para proporcionar una primera familiarización con los proce- sos usuales de la actividad matemática. Un juego comienza con la introducción de una serie de reglas, un cierto número de objetos o piezas, cuya función en el juego viene definida por tales reglas, exactamente de la misma forma en que se puede proceder en el establecimiento de una teoría matemática por defini- ción implícita: Se nos dan tres sistemas de objetos. Los del primer sistema los llamaremos pun- tos, los del segundo rectas... (Hilbert, Grundlagen der Geometrie). Quien se introduce en la práctica de un juego debe adquirir una cierta familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas con otras al modo como el novicio en matemáticas compara y hace interactuar los primeros elementos de la teoría unos con otros. Estos son los ejercicios elementales de un juego o de una teoría matemática. Septiembre 2001 • Iraila 2001 17 Tendencias actuales de la Educación Matemática
- 18. Quien desea avanzaren el dominio del juego va adquiriendo unas pocas técnicas simples que, en circunstancias que aparecen repetidas a menudo, conducen al éxito. Estos son los hechos y lemas básicos de la teoría que se hacen fácilmente accesibles en una primera fami- liarización con los problemas sencillos del campo. Una exploración más profunda de un juego con una larga historia proporciona el conoci- miento de los caminos peculiares de proceder de los que han sido los grandes maestros en el campo. Estas son las estrategias de un nivel más profundo y complejo que han requerido una intuición especial, puesto que se encuentran a veces bien alejadas de los elementos iniciales del juego. Esto corresponde en matemáticas a la fase en la que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamente suyos los grandes teoremas y métodos que han sido creados a través de la historia. Son los procesos de las mentes más creativas que están ahora a su disposición para que él haga uso de ellas en las situaciones más confusas y delicadas. Más tarde, en los juegos más sofisticados, donde la reserva de problemas nunca se agota, el jugador experto trata de resolver de forma original situaciones del juego que nunca antes han sido exploradas. Esto corresponde al enfrentamiento en matemáticas con los problemas abier- tos de la teoría. Finalmente, hay unos pocos que son capaces de crear nuevos juegos, ricos en ideas intere- santes y en situaciones capaces de motivar estrategias y formas innovadoras de jugar. Esto es paralelo a la creación de nuevas teorías matemáticas, fértiles en ideas y problemas, posible- mente con aplicaciones para resolver otros problemas abiertos en matemáticas y para revelar niveles de la realidad más profundos que hasta ahora habían permanecido en la penumbra. La matemática y los juegos han entreverado sus caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente en la historia de las matemáticas la aparición de una observación inge- niosa, hecha de forma lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento. En la anti- güedad se puede citar el I Ching como origen del pensamiento combinatorio, y de tiempos más modernos se puede citar en este contexto a Fibonacci, Cardano, Fermat, Pascal, Leibniz, Euler, Daniel Bernoulli... Del valor de los juegos para despertar el interés de los estudiantes se ha expresado muy cer- teramente Martin Gardner, el gran experto de nuestro tiempo en la presentación lúcida, inte- resante y profunda de multitud de juegos por muchos años en sus columnas de la revista ame- ricana Scientific American: "Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de mata, chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemática o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburri- dos tienden a evitar porque parecen frívolas" (Carnaval Matemático, Prólogo). El matemático experto comienza su aproximación a cualquier cuestión de su campo con el mismo espíritu explorador con el que un niño comienza a investigar un juguete recién estre- nado, abierto a la sorpresa, con profunda curiosidad ante el misterio que poco a poco espera iluminar, con el placentero esfuerzo del descubrimiento. ¿Por qué no usar este mismo espíritu en nuestra aproximación pedagógica a las matemáticas? A mi parecer, el gran beneficio de este acercamiento lúdico consiste en su potencia para trans- mitir al estudiante la forma correcta de colocarse en su enfrentamiento con problemas mate- máticos. La matemática es un grande y sofisticado juego que, además, resulta ser al mismo tiempo una obra de arte intelectual, que proporciona una intensa luz en la exploración del universo y tiene grandes repercusiones prácticas. En su aprendizaje se puede utilizar con gran prove- cho, como hemos visto anteriormente, sus aplicaciones, su historia, las biografías de los SIGMA Nº 1918 Miguel de Guzmán Ozámiz
- 19. matemáticos más interesantes,sus relaciones con la filosofía o con otros aspectos de la mente humana, pero posiblemente ningún otro camino puede transmitir cuál es el espíritu correcto para hacer matemáticas como un juego bien escogido. Sobre juegos y sobre el papel que los juegos pueden desempeñar en la enseñanza de la mate- mática se puede acudir a: Cuentos con cuentas, Mirar y ver, Juegos matemáticos en la ense- ñanza, ICM, Kyoto, 1990, The role of games. Importancia actual de la motivación y presentación Nuestros alumnos se encuentran intensamente bombardeados por técnicas de comunicación muy poderosas y atrayentes. Es una fuerte competencia con la que nos enfrentamos en la ense- ñanza cuando tratamos de captar una parte sustancial de su atención. Es necesario que lo ten- gamos en cuenta constantemente y que nuestro sistema educativo trate de aprovechar a fondo tales herramientas como el vídeo, la televisión, la radio, el periódico, el cómic, la viñeta, la participación directa... Pienso que estamos aun muy lejos de saber aprovechar para nuestra enseñanza las posibili- dades abiertas a través de los medios técnicos de los que ya disponemos actualmente. Una pequeña sugerencia práctica puede servir de ejemplo. En nuestro entorno tenemos profesores excelentemente preparados para servir de ejemplos sobre cómo realizar con eficacia la ense- ñanza de diversas materias que resultan para la mayoría un verdadero rompecabezas, por ejemplo, la probabilidad, o sobre cómo introducir y motivar adecuadamente temas específi- cos del cálculo o de la geometría a diferentes niveles. Estos profesores se encuentran a menudo llamados a muchos lugares diferentes para que repitan las mismas ideas sobre el tema. ¿No sería mucho más efectivo y menos costoso que algún organismo que no tuviera que ir en busca del provecho económico produjera una serie de vídeos con estas experiencias y las hiciera asequibles a un mayor número de personas? En algunas regiones de nuestro país, los profesores de los diferentes niveles se han percatado de la importancia que puede tener un cambio efectivo que se puede realizar paulatinamente en la sociedad a través de los medios de comunicación actuales en la percepción de lo que la matemática es en realidad. Las experiencias son altamente satisfactorias, consiguiéndose en muchos casos a través de interesantes problemas, mediante la difusión de parcelas de la his- toria de la matemática o de sus aplicaciones, la involucración de familias y poblaciones ente- ras en actividades que en principio tal vez fueron planeadas para los estudiantes. Fomento del gusto por la matemática La actividad física es un placer para una persona sana. La actividad intelectual también lo es. La matemática orientada como saber hacer autónomo, bajo una guía adecuada, es un ejerci- cio atrayente. De hecho, una gran parte de los niños más jóvenes pueden ser introducidos de forma agradable en actividades y manipulaciones que constituyen el inicio razonable de un conocimiento matemático. Lo que suele suceder es que un poco más adelante nuestro sistema no ha sabido mantener este interés y ahoga en abstracciones inmotivadas y a destiempo el desarrollo matemático del niño. El gusto por el descubrimiento en matemáticas es posible y fuertemente motivador para superar otros aspectos rutinarios necesarios de su aprendizaje, por los que por supuesto hay que pasar. La apreciación de las posibles aplicaciones del pensa- miento matemático en las ciencias y en las tecnologías actuales puede llenar de asombro y placer a muchas personas más orientadas hacia la práctica. Otros se sentirán más movidos ante la contemplación de los impactos que la matemática ha ejercido sobre la historia y filo- sofía del hombre, o ante la biografía de tal o cual matemático famoso. Septiembre 2001 • Iraila 2001 19 Tendencias actuales de la Educación Matemática
- 20. Es necesario romper,con todos los medios, la idea preconcebida, y fuertemente arraigada en nuestra sociedad, proveniente con probabilidad de bloqueos iniciales en la niñez de muchos, de que la matemática es necesariamente aburrida, abstrusa, inútil, inhumana y muy dificil. TENDENCIAS EN LOS CONTENIDOS Las mismas tendencias generales apuntadas en ]a sección 3 sugieren de forma natural unas cuantas reformas en los contenidos de los programas que, con más o menos empuje, y en algunos casos de forma experimental y tentativo, se van introduciendo. ¿Un desplazamiento hacia la matemática discreta? La matemática del siglo XIX y la del XX ha sido predominantemente la matemática del conti- nuo en la que el análisis, por su potencia y repercusión en las aplicaciones técnicas, ha jugado un papel predominante. El advenimiento de los ordenadores, con su inmensa capacidad de cálculo, con su enorme rapidez, versatilidad, potencia de representación gráfica, posibilidades para la modelización sin pasar por la formulación matemática de corte clásico... ha abierto multitud de campos diversos, con origen no ya en la física, como los desarrollos de siglos anteriores, sino en otras muchas ciencias, tales como la economía, las ciencias de la organización, biología... cuyos problemas resultaban opacos, en parte por las enormes masas de información que había que tratar hasta llegar a dar con las intuiciones matemáticas valiosas que pudieran conducir a pro- cesos de resolución de los difíciles problemas propuestos en estos campos. Por otra parte, el acento en los algoritmos discretos, usados en las ciencias de la computación, en la informática, así como en la modelización de diversos fenómenos mediante el ordena- dor, ha dado lugar a un traslado de énfasis en la matemática actual hacia la matemática dis- creta. Ciertas porciones de ella son suficientemente elementales como para poder formar parte con éxito de un programa inicial de matemática. La combinatoria clásica, así como los aspec- tos modernos de ella, tales como la teoría de grafos o la geometría combinatoria, podrían ser considerados como candidatos adecuados. La teoría elemental de números, que nunca llegó a desaparecerde los programas en algunos países, podría ser otro. Se han realizado intentos por introducir estos elementos y otros semejantes pertenecientes a la matemática discreta en la enseñanza matemática inicial. Sucede que esto parece ser sólo posible a expensas de otras porciones de la matemática con más raigambre, de las que no se ve bien cómo se puede prescindir. Aunque parece bastante obvio que el sabor de la matemá- tica del futuro será bastante diferente del actual por razón de la presencia del ordenador, aún no se ve bien claro cómo esto va a plasmarse en los contenidos de la enseñanza primaria y secundaria. Impactos en los contenidos de los métodos modernos de cálculo Hasta hace no mucho tiempo era frecuente en nuestras escuelas elementales dedicar una gran energía y largo tiempo a rutinas tales como la división de un número de seis cifras por otro de cuatro. O a la extracción a mano de la raíz cuadrada de un número de seis cifras con tres cifras decimales exactas. O, en cursos superiores, al manejo con destreza y rapidez de las tablas de logaritmos con su intrincado laberinto de interpolaciones. Hoy la presencia de la calculadora de bolsillo ha conseguido que casi todos estemos de acuerdo en que esa energía y ese tiempo están mejor empleados en otros menesteres. Tales operaciones son muy interesantes como algoritmos inteligentes y profundos pero como destrezas rutinarias son superfluos. SIGMA Nº 1920 Miguel de Guzmán Ozámiz
- 21. En la actualidad,en nuestra segunda enseñanza, así como en los primeros años de nuestra enseñanza universitaria, dedicamos gran energía y largo tiempo a fin de que nuestros alum- nos adquieran destreza y agilidad en el cálculo de derivadas, antiderivadas, resolución de sis- temas lineales, multiplicación de matrices, representación gráfica de funciones, cálculo de la desviación típica... destrezas todas ellas que están incorporadas con muchas más y mucho más sofosticadas en nuestros actuales programas de cálculo simbólico. Siendo así las cosas, es claro que nuestra enseñanza del cálculo, del álgebra, de la probabili- dad y estadística, ha de transcurrir en el futuro por otros senderos distintos de los que hoy seguimos. Habrá que poner el acento en la comprensión e interpretación de lo que se está haciendo, pero será superflua la energía dedicada a adquirir agilidad en las rutinas que la máquina realiza con mucha mayor rapidez y seguridad. En la programación de nuestra ense- ñanza habremos de preguntarnos constantemente dónde vale la pena que apliquemos nues- tro esfuerzo inteligente y cuáles son las rutinas que podemos confiar a nuestras máquinas. El progreso de la inteligencia humana consiste en ir convirtiendo en rutinarias aquellas opera- ciones que en un principio han representado un verdadero desafio para nuestra mente y, si es posible, entregar la realización de tales rutinas a nuestras máquinas. Con ello podemos libe- rar lo mejor de nuestra capacidad mental a la resolución de los problemas que todavía son demasiado profundos para las herramientas de que disponemos. No temamos que tales pro- blemas vayan escaseando. Hacia una recuperación del pensamiento geométrico y de la intuición espacial Como reacción a un abandono injustificado de la geometría intuitiva en nuestros programas, del que fue culpable la corriente hacia la matemática moderna, hoy se considera una necesi- dad ineludible, desde un punto de vista didáctico, científico, histórico, volver a recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la matemática, no ya sólo en lo que se refiere a la geo- metría. Es evidente que desde hace unos cuarenta años el pensamiento geométrico viene pasando por una profunda depresión en nuestra enseñanza matemática inicial, primaria y secundaria. Y al hablar del pensamiento geométrico no me refiero a la enseñanza de la geometría más o menos fundamentada en los Elementos de Euclides, sino a algo mucho más básico y profundo, que es el cultivo de aquellas porciones de la matemática que provienen de y tratan de estimular la capacidad del hombre para explorar racionalmente el espacio físico en que vive, la figura, la forma fisica. Esta situación, que se hace patente sin más que ojear nuestros libros de texto y los programas de nuestra educación primaria y secundaria, no es exclusiva de nuestro entorno. En realidad, es un fenómeno universal que, a mi parecer, se debe en buena medida a la evolución misma de la matemática desde comienzos de siglo, más o menos. La crisis de los fundamentos de principio de siglo empujó al matemático hacia el formalismo, hacia el énfasis sobre el rigor, a una cierta huida de la intuición en la construcción de su cien- cia. Lo que fue bueno para la fundamentación fue considerado por muchos bueno también para la transmisión de conocimientos. Las consecuencias para la enseñanza de las matemáti- cas en general fueron malas, pero especialmente nefastas resultaron para el pensamiento geo- métrico. En esa idea de ir a los fundamentos, tal vez juntamente con una mala interpretación de los análisis de algunos psicopedagogos sobre la estructura evolutiva del conocimiento del niño, se basa el énfasis sobre la teoría de conjuntos y la búsqueda de rigor. La geometría, a nivel elemental, es difícil de formalizar adecuadamente y así, en este intento, se nos fue por el mismo agujero el pensamiento geométrico, la intuición espacial y la fuente más importante que por muchos siglos ha tenido la matemática de verdaderos problemas y resultados intere- santes abordables con un número pequeño de herramientas fácilmente asimilables. Septiembre 2001 • Iraila 2001 21 Tendencias actuales de la Educación Matemática
- 22. El siglo XIXfue el siglo de oro del desarrollo de la geometría elemental, del tipo de geometría al que tradicionalmente se dedicaba la enseñanza inicial de la matemática, que vivía a la som- bra de creaciones muy interesantes y muy de moda de la matemática superior, tales como la geometría descriptiva, geometría proyectiva, geometría sintética, geometrías no euclídeas... El mismo sentido geométrico que estimuló los desarrollos espectaculares del siglo XIX sigue vivo también hoy en campos tales como la teoría de grafos, teoría de cuerpos convexos, geometría combinatoria, algunos capítulos de la teoría de optimización, de la topología... Como rasgos comunes a todos estos desarrollos se pueden señalar: una fuerte relación con la intuición espa- cial, una cierta componente lúdica y tal vez un rechazo tácito de desarrollos analíticos excesi- vos. De estas materias, cuya profundidad se va manifestando cada vez más claramente, no se ha hecho eco en absoluto la enseñanza elemental. Solamente son tenidas en cuenta a nivel supe- rior y a nivel de matemática recreativa. Pero esta matemática recreativa, en nuestro país, no ha encontrado aún el camino hacia la escuela. Paradójicamente, no permitimos jugar a quien más le gusta y a quien más se beneficiaria con el juego matemático. La necesidad de una vuelta del espíritu geométrico a la enseñanza matemática es algo en lo que ya todo el mundo parece estar de acuerdo. Sin embargo, aún no es muy claro cómo se debe llevar a cabo. Es necesario evitar llegar a los extremos en que se incurrió, por ejemplo, con la geometría del triángulo, tan en boga a finales del siglo XIX. También hay que evitar una introducción rigurosamente sostenida de una geometría axiomática. Posiblemente una orien- tación sana podría consistir en el establecimiento de una base de operaciones a través de unos cuantos principios intuitivamente obvios sobre los que se podrían levantar desarrollos locales interesantes de la geometría métrica clásica, elegidos por su belleza y profundidad. Las obras elementales de Coxeter pueden ser tal vez un ejemplo a seguir en este terreno. Para más información sobre este tema se puede acudir a: Experimentos de geometría, Geometría con Derive, El rincón de la pizarra, Yaglom. Auge del pensamiento aleatorio. Probabilidad y estadística La probabilidad y la estadística son componentes muy importantes en nuestra cultura y en muchas de nuestras ciencias especificas. Deberían constituir una parte importante del bagaje cultural básico del ciudadano de nuestra sociedad. Es éste un punto en el que todos los siste- mas educativos parecen concordar. Y, efectivamente, son muchos los países que incluyen en sus programas de enseñanza secundaria estas materias, pero en pocos esta enseñanza se lleva a cabo con la eficacia deseada. En España, este fenómeno, a mi parecer, se debe por una parte a la dificultad misma de las materias en cuestión y a una cierta carencia de preparación ade- cuada de los profesores para esta tarea. Tal vez nos falten buenos modelos de enseñanza de ellas. ¿COMPLEJIDAD DE LA TAREA? Más bien se debería hablar de complejidad de la descripción de la tarea. Pero se pueden encontrar tareas clave que puedan iluminar, sustentar y enfocar todas las demás tareas. La idea de la inculturación es una de las claves de esa apariencia de complejidad. Y la clave funda- mental, por supuesto: la disponibilidad de docentes bien preparados para esta misión. La educación matemática se debe concebir como un proceso de inmersión en las formas pro- pias de proceder del ambiente matemático, a la manera como el aprendiz de artista va siendo imbuido, como por ósmosis, en la forma peculiar de ver las cosas característica de la escuela en la que se entronca. Esta idea tiene profundas repercusiones en la manera de enfocar la SIGMA Nº 1922 Miguel de Guzmán Ozámiz
- 23. enseñanza y aprendizajede la matemática, pero para su realización es absolutamente nece- sario que los profesores en contacto directo con los alumnos estén capacitados para llevarla a buen término. DESIDERATA A continuación quisiera presentar muy someramente unas pocas sugerencias sobre algunos proyectos a los que, en mi opinión, nuestra comunidad matemática podría y debería prestar una particular atención. Hacia una recuperación de la capacidad del quehacer matemático para el estímulo de los valores éticos La matemática de hoy, la que fue iniciada en el siglo VI a. de C. por los pitagóricos y ha lle- vado a nuestra ciencia y a nuestra cultura occidental a cimas tan altas, surgió en el seno de lo que con razón llamó Van der Waerden, comunidad científica y hermandad religiosa. Durante muchos siglos se mantuvo vigente la impronta del pitagorismo impregnando nuestra cultura con muchos de sus aspectos profundamente éticos. Pienso que hoy día hemos convertido en buena parte nuestra ciencia en una pura técnica y que no somos suficientemente conscientes de las posibilidades del quehacer matemático en todos los niveles de estimular los valores éti- cos. En mi opinión sería necesario que los matemáticos tratáramos de imbuirnos y de impreg- nar a otros, especialmente a los más jóvenes, de estos valores sin los que nuestra civilización no puede perdurar. Sobre estos aspectos he presentado mis propias reflexiones más largamente en diferentes ocasiones. Quien se interese por el tema puede acudir a: Lecciones pitagóricas para el siglo 21, Ethical aspects in the mathematical activity (3ECM, Third European Congress of Mathematicians, 2000) . Atención a la formación inicial y permanente de los profesores de matemáticas En 1908, Félix Klein escribía en la introducción de sus lecciones sobre Matemática elemental desde un punto de vista superior: ...durante mucho tiempo la gente de la universidad se pre- ocupaba exclusivamente de sus ciencias, sin conceder atención alguna a las necesidades de las escuelas, sin cuidarse en absoluto de establecer conexión alguna con la matemática de la escuela. ¿Cuál era el resultado de esta práctica? El joven estudiante de la universidad se encontraba a sí mismo, al principio, enfrentado con problemas que no le recordaban en abso- luto las cosas que le habían ocupado en la escuela. Naturalmente olvidaba estas cosas rápida y totalmente. Cuando, después de acabar su carrera, se convertía en profesor de enseñanza media se encontraba de repente en una situación en la que se suponía que debía enseñar las matemáticas elementales tradicionales en el viejo modo pedante; y puesto que, sin ayuda, apenas era capaz de percibir conexión alguna entre su tarea y sus matemáticas universitarias, pronto recurría a la forma de enseñanza garantizada por el tiempo y sus estudios universita- rios quedaban solamente como una memoria más o menos placentera que no tenía influen- cia alguna sobre su enseñanza. Ha pasado cerca de un siglo y, al menos en lo que respecta a la formación inicial que nues- tros licenciados reciben no creo que se pueda decir que en nuestro entorno la situación difiere mucho de estas circunstancias indeseables que Klein describe. Lo que la sociedad tiene derecho a esperar de la universidad en lo que respecta a la forma- ción inicial de aquellas personas a las que les va a confiar la educación matemática de los más jóvenes se podría concretar en: Septiembre 2001 • Iraila 2001 23 Tendencias actuales de la Educación Matemática
- 24. • una componentecientífica adecuada para su tarea específica; • un conocimiento práctico de los medios adecuados de transmisión de las actitudes y sabe- res que la actividad matemática comporta; • un conocimiento integrado de las repercusiones culturales del propio saber específico. Cualquiera que estudie atentamente los programas de estudio de la mayor parte de nuestras universidades podrá apreciar sus importantes carencias en los aspectos que podrían conducir a esta formación adecuada de nuestros enseñantes. A mi parecer, ni los cursos complementarios añadidos al final de los estudios de Licenciatura, con el objeto de proporcionar una formación pedagógica razonable ni los cursillos de forma- ción permanente pueden sustituir razonablemente la formación intensa que se debería real- mente estimular durante los años de permanencia en la universidad, años en los que el alumno está mucho más abierto para recibirla. Pienso que son raras entre nosotros las universidades que no descuidan abiertamente esta seria obligación con respecto a la sociedad y que urge poner manos a la obra a fin de remediar esta situación rápidamente. Atención a la investigación en educación matemática Como hemos tenido ocasión de ver, la educación matemática es una actividad interdiscipli- nar extraordinariamente compleja, que ha de abarcar saberes relativos a las ciencias mate- máticas y a otras ciencias básicas que hacen uso de ella, a la psicología, a las ciencias de la educación... Sólo en tiempos muy recientes se ha ido consolidando como un campo, con tareas de investigación propias, difíciles y de repercusiones profundas en su vertiente práctica. Se puede afirmar que en el sistema universitario un tanto inerte de nuestro pais la educación matemática aún no ha llegado a encontrar una situación adecuada por muy diversos motivos, a pesar de que ya van formándose grupos de trabajo en los que se producen resultados impor- tantes. A mi parecer, es muy necesario, por lo que a la sociedad le va en ello, que se formen en nues- tras universidades buenos equipos de investigación en educación matemática que ayuden a resolver los muchos problemas que se presentan en el camino para una enseñanza matemá- tica más eficaz. Atención a la educación matemática de la sociedad. Popularización de la matemática La sociedad española se encuentra, por tradición de siglos, con una cultura fuertemente esco- rada hacia sus componentes humanísticas. En España, cultura parece ser sinónimo de litera- tura, pintura, música, ... Muchas de nuestras personas ilustradas no tienen empacho alguno en confesar abiertamente su profunda ignorancia respecto de los elementos más básicos de la matemática y de la ciencia y hasta parecen jactarse de ello sin pesar ninguno. Las páginas de la mayor parte de nuestros periódicos aún no se han percatado de que las ciencias, y en particular las matemáticas, constituyen ya en nuestros días uno de los pilares básicos de la cultura humana. Es más, parece claro que, como afirma Whitehead, si la civilización conti- núa avanzando, en los próximos dos mil años, la novedad predominante en el pensamiento humano será el señorío de la intelección matemática. Sería muy deseable que todos los miembros de la comunidad matemática y científica nos esforzáramos muy intensamente por hacer patente ante la sociedad la presencia influyente de la matemática y de la ciencia en la cultura. Una sociedad con el conocimiento cabal de lo SIGMA Nº 1924 Miguel de Guzmán Ozámiz
- 25. que la cienciarepresenta para su desarrollo se hará colectivamente más sensible ante los pro- blemas que la educación de los más jóvenes en este sentido representa. En la comunidad matemática internacional se viene prestando recientemente una gran aten- ción a los medios convenientes para lograr abrir los ojos de amplios sectores de la sociedad hacia los beneficios de todos los órdenes que puede reportar una cultura que integre, del modo debido, ciencia y matemática. Atención al talento precoz en matemáticas Es seguro que en nuestras comunidades escolares existe un cierto número de estudiantes con una dotación intelectual para las matemáticas verdaderamente excepcional. Son talentos que pasarán a veces más o menos inadvertidos y más bien desatendidos por la imposibilidad de que los profesores dediquen la atención personal que se necesitaría. Son personas que, en un principio ilusionadas con la escuela, pasan a un estado de aburrimiento, frustración y desin- terés que les conducirá probablemente al adocenamiento y a la apatía, tras un periodo esco- lar de posible gran sufrimiento. Por otra parte, son talentos que podrían rendir frutos excepcionales para el bien común de nuestra sociedad, si no se malograran, mediante su aporte extraordinario al desarrollo cultu- ral, científico y tecnológico del país. Constituye una gran responsabilidad social la indudable pérdida de talento que causa su desatención. En la actualidad ningún organismo, ni público ni privado, presta atención continuada a la tarea de detectar, estimular y orientar el talento extraordinario y precoz en matemáticas, así como tampoco en ninguna otra de las ciencias. Existe, y con mucha justificación, una atención, apoyo y cuidado especiales con respecto a la enseñanza del infradotado, pero pienso que apenas se ha prestado atención alguna a los pro- blemas propios de los talentos precoces en nuestros paises. Se puede pensar con cierto fundamento que el talento precoz en matemáticas es más fácil de detectar y estimular que en otras ciencias. De hecho, existen desde hace mucho tiempo pro- yectos realizados con éxito en un buen número de países. Hay diversos caminos para encau- zar el problema y entre ellos los hay que no son de un coste excesivo, especialmente si se tiene en cuenta el rendimiento a largo plazo de una actuación bien llevada. Es posible, a juz- gar por el efecto que en paises de nuestro ámbito cultural iberoamericano ha tenido la emer- gencia de unas pocas personalidades de extraordinario talento en el desarrollo matemático del país, que una acción sostenida de detección y estimulo del talento matemático precoz podría colocar nuestro país en tiempo razonable a una altura matemática y científica mucho más ele- vada. Sobre los esfuerzos que la Real Academia de Ciencias viene realizando desde hace varios años en esta dirección se puede consultar la sección correspondiente de mi página en la red y en particular un resumen de las posibles formas de actuar con esta orientación. Todas las referencias se pueden encontrar en mi página personal que tiene por dirección: www.mdeguzman.net. Septiembre 2001 • Iraila 2001 25 Tendencias actuales de la Educación Matemática
- 26. Septiembre 2001 •Iraila 2001 27 Algunas reflexiones sobre el Año Mundial de las Matemáticas ALGUNAS REFLEXIONES SOBRE EL AÑO MUNDIAL DE LAS MATEMÁTICAS(1) D. José Luis Fernández Pérez (*) Así que hemos tenido un Año(2) de las Matemáticas,(3) en España y en todo el mundo. 1. La Unión Matemática Internacional tuvo la idea. Le preocupaba que la sociedad no apre- ciara las Matemáticas en su justa medida y pensó que tanto a los matemáticos como a la socie- dad les convenía cambiar esta situación. Los matemáticos creen que la ciencia que investigan, que enseñan, que usan, y con la que tanto disfrutan, es importante, es útil, es formativa, es ele- gante,..., y que, sin embargo, la sociedad no lo ve así. La UMI tomó la decisión (en 1992) de declarar el año 2000 como Año Mundial de las Matemáticas. La UNESCO, más tarde, apoyó la resolución de UMI, perfilando sus objetivos, insistiendo en los aspectos educativos de las Matemáticas. Brevemente, el objetivo no era otro sino el de acercar las Matemáticas a la sociedad, demos- trando su enorme utilidad en todo tipo de actividades profesionales, empresariales, industria- les y tecnológicas, explicando su importancia como logro intelectual de la humanidad, exhi- biendo su enorme belleza y riqueza, exponiendo su versatilidad como lenguaje y forma de pensar, y recalcando su valor formativo y educacional. No conozco mejor descripción de estos objetivos que la exposición de motivos de la proposi- ción no de ley del 9 de Febrero de 1999 del Congreso de los Diputados de España de apoyo al Año Mundial de las Matemáticas y que fue promovida, fundamentalmente, por dos mate- máticos y diputados: Antonio Martinón y Teresa Riera, y cuya lectura recomendamos encare- cidamente. En España hay muchas sociedades matemáticas que entienden de distintos aspectos de las Matemáticas. Para lograr los objetivos de este Año Mundial estas sociedades decidieron cola- borar creando un comité conjunto, CEAMM2000, que tenía el objetivo fundamental de divul- gar los objetivos del Año Matemático y también de recabar y coordinar iniciativas. 2. Matemáticas significa muchas cosas y bien distintas para cada persona. Y tengo para mí que ésta es una de las razones (entre muchas otras) de la dificultad de asirlas, de saber que son en realidad.(4) Para mucha gente las Matemáticas son fundamentalmente la escuela; un recuerdo, que como es bien sabido, no es, en general, particularmente grato. Y ahí se acaban. No se sabe que la Matemática es algo vivo: una ciencia en continuo desarrollo, no se conoce su belleza pro- funda, ni se percibe su utilidad y relevancia en el mundo moderno. Ian Stewart, con justicia el más afamado divulgador matemático del momento, en un prólogo reciente, comenta con amargura: Es ahora, tras tantos años, que me doy cuenta de que toda mi vida ha estado dedicada ha luchar contra la ecuación "matemáticas=escuela." La Matemática es una ciencia. Una afortunada definición de Hersch afirma que: La Matemática es la ciencia que estudia los objetos virtuales con propiedades reproducibles. (5) * Universidad Autónoma de Madrid. Presidente del Comité Español del Año Mundial de las Matemáticas.
- 27. Esta afirmación nose acepta universalmente; la Matemática, se dice, no es una ciencia expe- rimental, sus hipótesis de trabajo no son refutables, y los objetos de los que trata no existen, en realidad. Pero, no, la investigación matemática de esos objetos virtuales de los que trata la Matemática es en todo análoga a la de las ciencias experimentales. Hay conjeturas, callejo- nes sin salida, experimentos virtuales. Aunque, por supuesto, lo que se logra con todo esto, sí que es bien distinto: es inevitable e irrefutable.(6) La Matemática requiere un rigor definitivo, un engarce sin fisuras en el edificio del conocimiento matemático. La Matemática es además el lenguaje de la ciencia. La ciencia, en sentencia provocativa, es conocimiento expresado en matemáticas; eso decía Kant, por ejemplo. Una exageración, de acuerdo, pero de una verdad. Un lenguaje que permite un rigor en el análisis de indudable eficacia.(7) Y es el lenguaje de la tecnología y las comunicaciones. Un lenguaje indispensable en el mundo moderno, en este mundo que se está dando en llamar la era de la información y/o de la comunicación. Steiner, uno de los grandes críticos literarios anglosajones, de esos que se atreven a proponer un canon literario universal, comentaba recientemente (en una visita a España) que un 90% de la comunicación actual usa lenguaje matemático y que es necesario, indispensable, supe- rar la tradicional barrera que separa los lenguajes literario, digamos, y científico (es decir, matemático). Amén. Días después, Molina Foix, se hacía eco de esas declaraciones de Steiner, y contraponía el lenguaje matemático al lenguaje articulado (¿?), de lo que cabría deducir que el lenguaje matemático es inarticulado o desarticulado. Una de cal y otra de arena. Y, finalmente (¿?), los matemáticos gustan de considerar su actividad como un arte. Y no les falta razón. Oscar Tusquets, el famoso arquitecto catalán, en su magnífico Dios lo ve lo plan- tea así: ¡Qué cercano está el proceso de creación científica del artístico! Artistas y científicos comparti- mos no sólo el proceso sino también muchas ambiciones: la ambición de universalidad, de belleza, de coherencia, de rigor, de alcanzar la elegancia y concisión de una fórmula matemá- tica [...] Nos sentimos muy cercanos, pero mientras los científicos generan certezas perecede- ras, los artistas intentamos comunicar [...] dudas eternas.(8) 3. Así que la Matemática es muchas cosas. Una ciencia, un arte, un lenguaje,(9) y por ende, una forma de pensar. Demasiadas cosas. Una realidad confusa. Y creo que es importante insistir en la necesidad de respetar todas esas realidades. Cada cuál pondrá el énfasis en lo que más le atraiga o le interese, pero sin excluir otros puntos de vista, porque todos son enriquecedores. Los que gusten del uso de las matemáticas como lenguaje para describir el mundo y entender no deben olvidar que los modelos son falsificaciones de la realidad (como afirmaba Turing) o que: La realidad no es una metáfora que construimos a partir de las matemáticas, las matemáticas son una de las metáforas que usamos para referirnos a la realidad.(10) Ni los amantes de la matemática especulativa o pura encaramarse a la Torre de Marfil como pedía Weil:(11) El matemático seguirá su camino en la seguridad de que podrá saciar su sed en las mismas fuen- tes del conocimiento, convencido de que éstas no cesarán de fluir, puras y abundantes, mien- tras que los demás habrán de recurrir a las aguas cenagosas de una sórdida realidad. Si se le reprochase al matemático la soberbia de su actitud, si se le reclamase su colaboración, si se le demandase porque se recluye en los altos glaciares a los que nadie, salvo los de su clase, le pue- den seguir, él contestará, con Jacobi: Por el honor del espíritu humano. SIGMA Nº 1928 José Luis Fernández Pérez
- 28. Al fin yal cabo, como dice el matemático J. Kemeny:(12) Es hora ya de que aprendamos como parte de nuestra educación básica que las matemáticas son simplemente un lenguaje, que se distingue por su capacidad para clarificar, y particularmente adaptado para desarrollar argumentos lógicos. El poder de las Matemáticas no es ni más ni menos que el poder de la pura razón. 4. La situación actual de las Matemáticas en el mundo, y en España, podría tildarse de esqui- zofrénica. La necesidad de competencia matemática en este mundo de la información y la comunica- ción que ya está aquí es, o debiera ser, evidente. La demanda de matemáticos como profe- sionales en la empresa, en la industria, en el comercio, no cesa de crecer. Los retos de investigación siguen siendo fascinantes: estamos en una verdadera edad dorada de las Matemáticas, en la que grandes problemas cuya solución se buscaba durante mucho tiempo han sido resueltos, generando una entusiasta confianza sobre la potencia de la Matemática actual.(13) Las enormes capacidades computacionales de que disponemos (o de que dispondremos) y la propia tecnología de la información y de la comunicación (en la que podríamos incluir el estudio del cerebro o del genoma humano) demandan nuevas ideas mate- máticas para avanzar. Los sistemas complejos, sean biológicos, económicos y financieros, del clima o de turbulencia, requieren más y mejores matemáticas. Y la propia complejidad de nuestros sistemas de comunicaciones, de servicios, y comerciales, exigen, para su eficaz fun- cionamiento, algoritmos y estrategias profundamente matemáticas. Pero, las Matemáticas, al igual que las otras ciencias (salvo la Biología) han perdido atractivo para la sociedad. Ser físico, matemático, o químico, científico que sabe de su ciencia, la trans- mite y/o la hace avanzar cautiva a muy pocos. Quienes acceden a la Universidad, lo hacen, hoy en día, buscando una formación con un perfil profesional preciso, esperan de la Universidad una preparación específica para ejercer una profesión imbricada en el tejido pro- ductivo.(14) 5. La matemática, como ya hemos comentado, desempeña una variopinta gama de papeles en la sociedad. Las Matemáticas aparecen en todos los cursos de la primaria y la secundaria. Para todo el mundo aquí se fragua su relación con las Matemáticas. Y en gran medida aquí se genera el tradicional y conocido rechazo hacia las Matemáticas, como un arcano impenetrable, tedioso y hasta odioso. Grave problema, ¡qué gran perdida! No es un problema sólo de España, es universal. Pero en España, hay un ingrediente especial que apunta negativamente hacia el futuro, y es la cada vez menor presencia de las Matemáticas en la formación de los profeso- res de primaria, de los maestros. El engarce de la educación matemática en secundaria con la enseñanza universitaria es muy deficiente. Los enseñantes en la universidad no somos, en general, conscientes(15) de que el nivel de conocimientos y destrezas esperables de los alumnos cuando entran en la universi- dad no se corresponde con el de nuestra época de estudiantes. Las Matemáticas tiene una presencia destacada en la formación básica de muchas carreras y enseñanzas profesionales. Es muy habitual que quienes explicamos Matemáticas en esas licen- ciaturas universitarias no prestemos la debida atención a perfilar qué matemáticas les pueden ser útiles, realmente útiles, y no adaptemos el tono de la enseñanza a futuros profesionales a quienes nunca aprovechara haber tenido un entrenamiento superficial sobre como probar esto o aquello, o sutilezas que sólo interesan a quienes se forman para ser matemáticos. Septiembre 2001 • Iraila 2001 29 Algunas reflexiones sobre el Año Mundial de las Matemáticas
- 29. Y esa esotra. La formación de matemáticos en la Universidad tradicionalmente sólo contem- pla un objetivo, digamos que académico, y no atiende a las múltiples salidas profesionales no docentes e investigadoras. La realidad actual es que son muy pocos los jóvenes que eligen la carrera de Matemáticas, en España y en el mundo. La investigación en Matemáticas en España parece pasar por muy buenos momentos. El por- centaje de artículos de Matemáticas publicados en revistas científicas de todo el mundo y fir- mados por autores españoles ha crecido paulatinamente en los últimos años hasta alcanzar un respetable 4% que coloca a España en el décimo puesto mundial en este aspecto. Sin embargo, las expectativas de futuro no son muy buenas, si tenemos en cuenta cómo ha decre- cido el apoyo a la investigación básica y que cada vez son menos los licenciados que deci- den iniciar una carrera como investigadores. Además, hay poca investigación realmente apli- cada, poca interacción con las otras ciencias y con los desarrollos tecnológicos, lo que de no corregirse supondrá un retraso indudable. 6. Habida cuenta de que los propios aficionados y usuarios entienden por Matemáticas tantas cosas distintas, no debe sorprender que la sociedad se sienta confundida. Pero, cierta confu- sión sería el menor de los males, la realidad es que, en términos generales, la sociedad per- cibe a las Matemáticas como un saber estático, de poca utilidad, y antipático, por un rigor innecesario e inútil. Y además, como hemos visto, la realidad actual de las Matemáticas vista con un cierto cono- cimiento de causa tiene su buena dosis de sombra. 7. ¿De qué ha servido este año mundial? Y, ¿a partir de ahora qué? Lo primero que uno detecta entre los matemáticos que han prestado atención a este Año Matemático es una cierta insatisfacción. Los grandiosos objetivos iniciales no se han cum- plido, los problemas siguen ahí, y poco han cambiado las cosas. Cada uno piensa en el aspecto de las Matemáticas y ve que no ha avanzado en la dirección que propone. No. Los matemáticos son particularmente exigentes y rigurosos en sus análisis, pendientes en gran medida de los detalles(16) . Y una cierta distancia es necesaria. La verdad es que el obje- tivo del Año Mundial de las Matemáticas era iniciar un camino (o es que alguien pensaba otra cosa) y a fe que para eso sí que ha servido. Durante este año los matemáticos han hablado de los que les preocupa, se han comunicado sus experiencias y propuestas y han puesto sobre la mesa sus variados puntos de vista sobre educación o sobre investigación. Son, con frecuencia, puntos de vista que de no dialogados se han vuelto en apariencia irreconciliables. Y han colaborado en numerosas actividades. Me refiero a colaboraciones que iban más allá de las habituales y restringidas parcelas de interés. Y uno cree que con ello se ha cimentado la posibilidad de mayor colaboración futura para lograr metas que son comunes. Lo que no es poco. Pero el Año no era un año para los matemáticos. El Año se ha dirigido fundamentalmente a celebrar y a exhibir Matemáticas, a que la sociedad las viera y las apreciara. Hay que divul- gar Matemáticas entre los investigadores, muy encerrados en sus especialidades, entre los otros científicos, oblivios en demasía de la utilidad instrumental y conceptual de las Matemáticas,(17) entre todos nosotros, para ser conscientes de la magnificencia del edificio inte- lectual que son las Matemáticas, entre nuestros alumnos de primaria, de secundaria y de uni- versidad, porque son el futuro, y entre la sociedad, en general, porque es bueno. Durante este año se ha hecho divulgación en todos estos campos, unos con más éxito que otros. Desde el principio se tuvo claro que malo hubiera sido que el Año Matemático se dedicara sólo a con- ferencias, congresos, mesas redondas, actos multitudinarios. Las actividades foquistas(18) con SIGMA Nº 1930 José Luis Fernández Pérez
- 30. alumnos, con colegas,de pequeña escala, en la que la gente se involucrara directamente eran el objetivo; y mucho y bueno de esto ha habido. La divulgación de las Matemáticas como función social sólo tiene sentido si es sostenida. Y requiere contar con profesionales de la comunicación, al tiempo que se dedican recursos de las sociedades matemáticas a ello, y, de nuevo, colaborando, siquiera por cuestiones de eco- nomía de escala. Hay que decir que la comunidad matemática española es dinámica, entusiasta, consciente de su papel social y preocupada por cumplirlo lo más acertadamente. Conviene recordar, por ejemplo, el extraordinario avance, mencionado más arriba, de la calidad y de la relevancia de la investigación matemática española, la dedicación sostenida de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas,(19) y de los profesores de secundaria en general, a la mejora de la calidad de la enseñanza de las Matemáticas, la presidencia del ICMI durante ocho años de Miguel de Guzmán, la organización del Tercer Congreso Europeo de Matemáticas en Barcelona este año pasado(20) . Datos como éstos abundan. Durante este año la comunidad matemática ha mostrado creatividad, ingenio, entusiasmo y cultivada dedicación, al diseñar y llevar adelante todo tipo de actos y actividades llenos de contenido. El Año Matemático ha hecho aflorar, o mejor, ha exhibido ante todos esa dedicada creatividad. Cuando más arriba describíamos un panorama de los problemas que aquejan y de las cues- tiones que interesan a la comunidad matemática lo hacíamos con crudeza y sin afeites. Pero en ese panorama enseguida destaca que se trata de cuestiones que afectan a una comunidad, no a individuos. Las soluciones, el camino para mejorar, pasa por la acción colectiva. Tenemos muchas sociedades matemáticas, una multiplicidad que es fruto de una historia de encuentros y desencuentros, pero sobre todo de la diversidad de enfoques cara a las Matemáticas. Hay que apoyar a estas sociedades, participar en ellas, encauzar actividades a través suyo, y procurar que estas sociedades colaboren dentro del más absoluto respeto(21) . Más síntesis y menos análisis, y colaboración inteligente y coordinada de las sociedades. El Año Matemático debiera ser el comienzo de un camino de colaboración entre los matemá- ticos para lograr una mejor cultura matemática, una mejor educación en matemáticas, una mejor investigación en matemáticas y una mejor preparación de los profesionales matemáticos. Teniendo siempre presente que estos objetivos son bienes sociales en los que todos creemos y que no son un empeño corporativista de defender unos intereses. Septiembre 2001 • Iraila 2001 31 Algunas reflexiones sobre el Año Mundial de las Matemáticas José Luis Fernández en plena conferencia
- 31. Notas 1 Este textorecoge la conferencia impartida en el I Congreso de Matemáticas en la Educación, Palacio Euskalduna, Bilbao, 14 de Diciembre de 2000. Mi agradecimiento a los organizadores por la cariñosa invitación y por el excelente ambiente que propicia- ron. 2 Un colega español, con cierta sorna, me hizo notar a comienzos de año, que lo habitual es tener un día, el Día del Inmigrante, el Día sin coches, el Día de...; así que el estado de salud de las Matemáticas debía ser bastante regular para necesitar todo un año de atención 3 Otro colega, esta vez alemán, me afirmo sin ánimo jocoso alguno que él creía que este era el año Mundial de ... la Física. 4 En las postrimerías de la dictadura de Franco apareció una colección de opúsculos (a imagen de la conocida colección francesa) explicando Qué son los anticonceptivos, Qué es la democracia, etc. En los años cuarenta Courant y Robbins publicaron su cono- cido Qué son las Matemáticas, y, recientemente, Hersch ha publicado What is Mathematics, really. 5 En esta línea, Bertrand Russell definió la matemática como la ciencia en la que nunca se sabe de qué se habla ni si lo quese dice es verdad. 6 En este punto basta remitir al clásico Pruebas y refutaciones de Imre Lakatos. 7 Wigner: The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. 8 Los matemáticos quizás generan certezas eternas, y gustan de creer (Hilbert) que sus dudas son perecederas. 9 Además, en alarde de autoreferencia, como ciencia que es y como lenguaje de cualquier ciencia, la matemática es lenguaje de sí misma. 10 Cita de N. Mosley, que proviene además de un artículo de Joaquín Estefanía e n EL PAIS. 11 La cita proviene de un artículo de Weil de 1950, El porvenir de las Matemáticas, que rezuma amargura y desilusión tras la Segunda Guerra Mundial. 12 Creador del lenguaje de programación BASIC. 13 La fundación Clay, una fundación privada estadounidense, ha dotado premios de un millón de dólares a la resolución de cada uno de siete problemas matemáticos que un comité de expertos ha seleccionado 14 Aunque ahora ya es claro que la formación va a ser continua, que la formación específica deja de tener valor en poco tiempo, y que es necesario volver a formarse repetidamente. 15 Quizás lo sean algunos a título particular por al experiencia de sus hijos, pero no se admite este cambio como colectivo. 16 Las demostraciones o son completas y verdaderas o no. Blanco o negro, sin gama de grises. 17 Como el personaje de Moliere, hablan en Matemáticas sin saberlo. 18 En terminología política ya pretérita. 19 Una Federación que, con la sociedad Thales, fue capaz de organizar el ICME, el más importante congreso mundial de Educación Matemática en Sevilla en el año 1996. 20 El más importante, pero uno más, de los múltiples congreso y reuniones matemáticas 21 La principal conclusión de un reciente estudio sobre el estado de la enseñanza de las matemáticas en las universidades nortea- mericanas y sobre la estructura de sus departamentos universitarios de matemáticas contenía, como una de sus principales con- clusiones, la recomendación de que hay que respetarse más, de que las distintas actividades de un departamento de matemáti- cas: administración, relación con los alumnos, investigación, docencia, etc., son todas importantes y han de ser respetadas. SIGMA Nº 1932 José Luis Fernández Pérez
- 32. MATHEMA. Año 2.000 D.Rafael Pérez Gómez (*) Nota: Esta es la transcripción de la conferencia impartida por el Profesor D. Rafael Pérez Gómez el día 15 de Diciembre de 2.000 en Bilbao. La impartió utilizando PowerPoint , lo que dificulta el trasladar a un texto escrito el mensaje y espíritu de la misma. Somos conscientes que la transcripción de lo acontecido no refleja en toda su extensión el contenido de la conferencia. El texto que se presenta se ha realizado a par- tir de las notas tomadas durante la conferencia , la grabación de una cinta de audio, las notas aportadas por el conferenciante y una copia del CD con el montaje utilizado en PowerPoint. 1. Mathema Hoy vamos a hablar de un tema, en el que todos estamos enfrascados hasta el fondo, cuyo ori- gen tiene como soporte un conocimiento que se iniciara hace muchísimos siglos atrás. Entre los siglos VII y VI a.C. surge una ciencia que, en transcripción latina, se denominó Mathema - la evolución final de dicha palabra es la de Matemáticas -. Mathema significa "conoci- miento", "comprensión", porque, en sus orígenes , esta nueva ciencia lo que realmente pre- tendía era suministrar herramientas para entender al mundo que rodeaba a aquellos sabios griegos de entonces. ¿Qué es hoy , en el 2.000 , Mathema? ¿En qué se ha convertido aquella herramienta para entender el mundo? Desgraciadamente, la visión que la inmensa mayoría de la ciudadanía tiene de las matemáti- cas está bastante distorsionada respecto a lo que supuso el punto de partida de las mismas. Su enseñanza ha derivado en la transmisión de conocimientos que en nada tienen que ver con problemas relativos al mundo. Hagamos un poco de memoria y recordemos situaciones que han padecido la inmensa mayoría de las personas en una u otra parte de nuestra geografía. Son las 9 horas de una mañana, un día y una ciudad cualquiera. En clase de Matemáticas el profesor inicia el monólogo con aquello de: ¡Hoy hay problemas! Veamos -comienza a escri- bir en la negrísima pizarra- . Si un tren sale de Madrid hacia Bilbao a las 7.32 horas, a 90 km/h, y otro tren sale de Bilbao hacia Madrid 3 minutos antes, y a la misma velocidad, teniendo en cuenta que el primero hace 183 paradas de 10 minu- tos y el otro no, ¿a qué hora se encontrarán? La pizarra, ¿desde cuando está casi como único recurso didáctico en las clases? ¿Acaso cree alguien que actualmente puede hacerse una clase participativa explicando de espaldas al alumnado? Además, ¿no resulta maravillosamente inútil el tiempo que se dedique a un pro- blema de este tipo? Es más grave aún. Como tampoco su solución es "trivial", hay una gran cantidad de estudiantes que analizando la relación "calidad/precio" -es decir, mucho esfuerzo para ningún resultado de interés- abandonan y ¡se nos hacen de "letras"! Ésta podría ser la his- toria de cualquier persona que, fracasando en Matemáticas, huye de las ciencias, en general. (*) Profesor de la Universidad de Granada. Septiembre 2001 • Iraila 2001 33 MATHEMA Año 2000
- 33. ¿Recuerdan el conocidoanuncio de la tónica en el que se decía que si aún no te gusta, es que no has insistido lo suficiente? Pues, en nuestro caso, no podemos achacarles falta de perseve- rancia ya que abandonan después de sufrir con las Matemáticas durante, al menos, 10 cursos. Es claro que hemos estado dedicando mucho tiempo a enseñar destrezas de supervivencia escolar , pero no a hacer matemáticas de verdad . Por esta razón reivindico en estos momen- tos el sentido clásico del término Mathema: una herramienta para comprender e interpretar el mundo, la sociedad .... en definitiva una herramienta imprescindible en la formación de las personas. ¿Qué podemos analizar hoy en nuestro mundo? ¿Cuál sería la necesaria transposición didáctica de las soluciones encontradas a los pro- blemas investigados? ¿Qué puede ser hoy Mathema? En aquellos siglos pasados era un logro importante inventar una figura -modelo totalmente abstracto-, que permitiera representar planetas -por ejemplo, mediante una esfera- o lugares geométricos para dibujar las órbitas seguidas por aquellos -por ejemplo, con las cónicas- y así poder entender porqué detrás de un día venía una noche, y porqué se producían determina- dos ciclos. Con aquella herramienta empezaron a "echar cálculos", en el sentido primitivo de la palabra, y calcular tiempos y distancias, áreas y volúmenes, etc. Mas, todo ello, tenía la finalidad de mejorar la vida de las personas y el desarrollo de la inteligencia humana. Pero ... el tren de nuestro ejemplo pretende cosas bien distintas. Por tanto, creo que hemos de pre- guntarnos: ¿Qué aspectos, y cómo, hay que abordar desde las Matemáticas para la Educación a las puertas del siglo XXI? Sería interesante retomar concepciones de aquella matemática griega que se "veía" con su Geometría y también se "oía" con la Música construida desde el estudio de proporciones geo- métricas también desarrollado por ellos . Este descubrimiento les resultó tan fascinante que quisieron verlo unido en la armonía del Universo y, para ello, crearon términos como Música de las Esferas, hecho que fue ampliamente estudiado por los pitagóricos, para describir la belleza del modelo celeste desde la proporcionalidad que, según ellos, existía entre las dis- tancia de unos astros respecto de otros y que coincidía con las proporciones de la escala musi- cal. Curiosamente, ese término vuelve a ser utilizado en la actualidad por Jhon Robinson, escultor australiano dedicado a la escultura geométrica, quien ha asignado dicho nombre a una de sus obras ( ver foto “Toro de torsión”), y que además esta figura enlaza con la cultura andalusí ya que su sección transversal es una "pajarita", uno de los alicatado que decoran las paredes de ese calidoscopio de color que se llama Alhambra. SIGMA Nº 1934 Rafael Pérez Gómez Toro de Torsión
- 34. Como vemos, hoypueden buscarse situaciones con una raíz cultural de entonces. Lógicamente, se siguen hablando de las mismas cosas con distintos enfoques y perspectivas. En este caso, desde el mundo del Arte se evoca aquél conocimiento desde el uso de unas for- mas que han evolucionado en el tiempo hasta convertirse en un objeto matemático actual: una superficie tórica. ¿Podemos indagar en la Historia de las Matemáticas, como estrategia educativa, desde hechos de rabiosa actualidad que expliquen aspectos de nuestra sociedad? Es más, con nuestras Matemáticas, las que hemos desarrollado hasta hoy, ¿podríamos actuar por analogía y reproducir una situación equivalente? Por ejemplo, la geometría euclídea -con la que se interpretó y reprodujo la belleza del Mundo- ha dado paso a otras geometrías como la fractal que modeliza mejor que ninguna otra la Naturaleza. ¿Cómo puede verse y oírse esta nueva geometría? El músico canario Gustavo Díez pone a disposición de cualquier persona en su página web un editor de música fractal - llamado fractalmuss- creado por él mismo. La música se obtiene en base a algoritmos -que son la base de la geometría fractal- obtenidos mediante cálculos realizados con un ordenador. Para componer esa geometría no nos sirven la escuadra y el compás euclídeos, es necesario recurrir a escuadras y compases modernos como son los ordenadores electrónicos. (Aquí se presentan una serie de experiencias y diapositivas reforzando la idea de la geometría que se puede ver y oir. Dice Rafael que con sus alumnos de Arquitectura , han llegado a hacer que esa música fractal no sólo se oiga sino que también se vea. En la experiencia se trabaja con una música seriada -a diferencia de la música tonal- , se elige el algoritmo 3n+1, tomando un valor inicial de n aparece, sustituyendo, un primer elemento, que puede ser un número par o impar, si es par se divide por dos, obteniendo así un segundo elemento de la serie, si es par se vuelve a dividir por dos , cuando sea impar le aplicamos el algoritmo 3n+1, la convergen- cia a 1 es una conjetura que se puede probar (¿) , hay números que dan series larguísimas como el 27, otros dan series cortas, por ejemplo el 7 , para este último número la serie obte- nida es 7,22, 11,34, 17, 52, 26, 13, 40, 20,10, 5, 16, 8, 4, 2 y 1, resulta que eligiendo esos parámetros, tenemos una seriación de tiempos, y eligiendo convenientemente las notas pro- ducen armonía. De igual modo que con otras series numéricas más conocidas, como la de Fibonacci,- como ya sabemos- podemos construir series de rectángulos que se han utilizado en la Arquitectura a lo largo de la Historia, también con las series de estas melodías podemos construir series de rectángulos con los que crear espacios arquitectónicos. Cada pieza que interviene, sea piano, violín, flauta, etc forman una serie, y la armonía de la composición crea un espacio arquitectónico, simplemente ensamblando esa serie de rectángulos.) Sigamos analizando nuestro Mundo. Para ello, hoy día dis- ponemos de tecnologías que han servido para desarrollar con éxito diferentes investigaciones. Unas veces los resulta- dos son fáciles de analizar desde las Matemáticas, otras no. Por ejemplo, para entender mejor nuestro planeta Tierra no está mal saber todo lo que ya sabían los clásicos (que no era poco ), pero también hay que estar al día con los nuevos descubrimientos cosa que podemos hacer leyendo los periódicos. Así, en una noticia publicada en abril de éste año en el periódico IDEAL de Granada se dice que : de acuerdo a los últimos cálculos, la Tierra pesa 8.000 billones de toneladas métricas menos de lo que los libros reflejaban hasta ahora. Septiembre 2001 • Iraila 2001 35 MATHEMA Año 2000 Rafael Pérez al inicio de su conferencia
- 35. ¿No parece unacifra exagerada?, ¿cuánto dicen los libros que realmente pesaba?, ¿cómo se hace el cálculo?, ¿qué estrategia seguir para asimilar la representación numérica de cantida- des tan grandes?, ... Desde luego, siempre hay realizar un análisis critico de todas y cada una de las noticias que se publican, pero como profesores de Matemáticas no podemos dejar pasar situaciones como esta para introducir el estudio del Mundo en nuestras clases. El ver cómo evoluciona nuestro planeta, puede ser objeto de estudio interesante. Pero la Tierra forma parte de otro mundo mucho mayor que se llama Universo. ¿Cómo mode- lizar el Universo? ¿Puede hacerse desde el conocimiento matemático actual? En un libro recientemente aparecido (Fotografiando las Matemáticas, Ed. Carrogio) el Profesor Alfonso Romero Sarabia, de la Universidad de Granada, explica que tiene la forma de una patata frita ondulada (que, entre otras cosas, pone de manifiesto la afirmación actual de que es plano). Pero si nos preguntamos acerca de su origen, ¿quién no ha oído hablar del big-ban? ¿Puede explicar el big-ban desde un modelo matemático? La respuesta es afirmativa. Freedman explica que el Universo es una hiperesfera de tipo S4. Como toda superficie, se puede mallar o teselar (¡resulta que estudiar en niveles elementales cómo pueden hacerse mosaicos planos, como los de la Alhambra, sirve para algo!). La manera de teselar se puede ver fácilmente en un modelo de esfera corriente, del tipo S2, que presenta 2 polos. El número de polos de una superficie viene dado por la característica de Euler-Poincaré de dicha superficie. Una esfera S2 tiene como característica 2, una esfera de tipo S3 tiene característica 0, una esfera de tipo S4 vuelve a tener por característica 2. Por lo tanto, una hiperfera como la que plantea Freedman para el punto inicial del Universo, tendría necesariamente dos polos, un polo será el big-ban y el otro el ¿antibig-ban? Si tenemos modelos matemáticos para interpretar espacios infinitamente grandes como el Universo, ¿disponemos de modelos matemáticos para interpretar las cosas muy pequeñas? La tecnología ha permitido crear una herramienta para ver lo que el ojo humano no puede dis- tinguir: el microscopio. De ésta manera podemos seguir trabajando con formas geométricas que hace pocos años no estaban al alcance de nuestra vista. Por ejemplo, la estructura ató- mica de las sustancias. A veces, como en el Atomium de Bruxelas, la Arquitectura se encarga de hacer un homenaje al descubrimiento científico es el modelo atómico asociado a un sal sódica, basado en la estructura cúbica. O con los llamados fullerenos, en honor al arquitecto canadiense Fuller, que realizó la primera cúpula geodésica para la Exposición Universal de Montreal, y que se basa en la estructura molecular del carbono. ¿Pueden construirse estruc- turas simplificadas tipo "fullereno" o "atomium" en clase de Matemáticas? ¿Daríamos mayor credibilidad a las Matemáticas explicando cómo son utilizadas por diferentes profesionales de nuestra sociedad? Estoy convencido de que la respuesta es afirmativa. Desde una estructura tipo "atomium" podemos llegar fácilmente al estudio de poliedros con los que explicar la arquitectura de un panal de abejas. Desde el del icosaedro, a la construcción de "fullerenos" sencillos. Como ejercicio interesante propongo el siguiente problema : "Tomar tres rectángulos aúreos, colocarlos de tal manera que tengamos un triedro trirrectán- gulo. Como cada rectángulo tiene 4 vértices, el número total de vértices serán 12, que coin- ciden con los 12 vértices de un icosaedro, además el lado menor de cada rectángulo serán las aristas el icosaedro. A partir de la situación anterior se pueden asociar coordenadas a los vértices usando el número de oro, calcular el radio de la esfera circunscrita así como las distancias entre los vér- tices del icosaedro y los puntos sobre la esfera que resultan de proyectar los centro de las caras sobre ella. De este modo, se obtienen 20 vértices más sobre la esfera. Siguiendo este proce- dimiento, se consigue un poliedro, no regular, que va tomando la forma de una esfera: un fullereno". SIGMA Nº 1936 Rafael Pérez Gómez
- 36. Los problemas quelas Matemáticas han abordado han tenido distintas soluciones a lo largo de la Historia. Si bien es cierto que las soluciones han sido cada vez "más finas", no lo es menos que han dependido mucho de las herramientas que la tecnología ha suministrado. En la actualidad, disponemos del ordenador -llamado por algunos "macroscopio"-. Es una herra- mienta esencial y fantástica para investigar en Matemáticas. Ya hemos hablado antes algo sobre Geometría Fractal. Desde luego la geometría de Euclides permite hacer fantásticos edificios, pero con la geo- metría euclidea no se puede "construir" un árbol, o dibujar una línea natural, pongamos por caso. Nos faltaba la herramienta adecuada para hacer el modelo. Una vez desarrollada, la sociedad la utiliza para explicar la evolución de poblaciones, predecir el tiempo, ... y, como siempre, para homenaje de sus descubridores la Arquitectura crea espacio de gran belleza con ella. Un ejemplo impresionante de lo que digo se encuentra en el Jardín Botánico de Barcelona. Se han marcado las líneas naturales del terreno sobre el que se ha construido a partir del análisis por ordenador del mismo. Es, por tanto, una realidad de esa geometría frac- tal. Pero, resulta que esta geometría no sólo puede verse y oírse como ya hemos puesto de manifiesto, sino que también puede leerse. El Premio Nobel de Literatura D. José Saramago en el su libro " Todos los Nombres"(1997) describe en el capítulo titulado El Cementerio General, el siguiente texto: " Un cementerio que observado desde el aire, ... parece un árbol tumbado, enorme, con un tronco corto y grueso, constituido por el núcleo central de sepulturas, de donde arrancan cuatro poderosas ramas, conti- guas en su nacimiento pero que después, en bifurcaciones sucesivas se extienden hasta perderse de vista, formando ... una frondosa copa en la que la vida y la muerte se confunden". El conservador del cementerio tiene la tarea de ordenar n elementos formando un recinto con geometría euclídea. Cuando los elementos se le suministran lentamente, dispone de tiempo para ordenarlos. A medida que la velocidad del suministro aumenta, el trabajo se complica y llegará a sobrepasarle. Los elementos se irán colocando en la posición donde llegan y modelarán una estructura que escapa a la organización del conservador. Resulta que lo que está describiendo Saramago no es ni más ni menos que una dendrita, forma natural que puede modelizarse con una figura fractal. Hasta aquí, he hecho especial hincapié en analizar con las Matemáticas de hoy los problemas de siempre relativos a la comprensión del Mundo físico y natural. Volviendo al mundo que nos rodea, hay un sin fin de aplicaciones de las Matemáticas que facilitan el trabajo diario de miles de personas. Dígitos de control para las cuentas de ahorro construidos mediante algo- ritmos aritméticos elementales; tarjetas de crédito basadas en rectángulos áureos (objetos construidos desde una estética de las proporciones basada en el número de oro, estética que asume el ojo humano de forma inconsciente, y, por tanto, difícilmente rechazables) al igual que hicieran pintores actuales como Salvador Dalí o, en el Barroco, Velázquez; electrodo- mésticos inteligentes -como pueden ser las lavadoras actuales- basados en lógica Fucssy; fir- mas electrónicas suministradas por la Fábrica Nacional de Moneda y Timbre a través de su página web (www.fnmt.es) que se basan en el uso de números primos (sistemas de clave pública, RSA)(1) ; etc. Se presentan diapositivas mediante las cuales pueden verse los hechos antes dichos (libretas de ahorro, tar- jetas de crédito, publicidad de lavadoras, cuadros de Dalí y de Velazquez). Creo que explicando éstas, y otras, claves propias de nuestro tiempo, volveríamos al espíritu de Mathema. Ayudaríamos a la formación de futuros ciudadanos y ciudadanas de nuestro tiempo. Y, sobre todo, el profesorado de Matemáticas ganaría en autoestima y reconocimiento social. Septiembre 2001 • Iraila 2001 37 MATHEMA Año 2000
- 37. Estamos en lallamada Tercera Cultura, en la que el aprendizaje de las Matemáticas se hace imprescindi- ble para el desarrollo integral de la persona. Por tanto, si fue siempre importante la labor del profesorado de Matemáticas, ahora lo es más que nunca. En la actualidad, caminamos hacia una cultura global, la tercera cultura, un puente entre la primera y segunda culturas(2) , en la que no cabe la diferenciación entre ciencias y letras. "Ya no se puede ser culto sólo desde las Humanidades, las Letras y las Artes, o desde el cono- cimiento científico enciclopédico. La realidad es compleja y exige ser analizada desde un conocimiento caleidoscópico o multidisciplinar." Una persona culta, es aquella persona integrada en la sociedad, con capacidad de crítica, con capacidad de análisis "fino", con libertad para decidir, con capacidad para moverse en el mundo tan complejo que nos ha tocado vivir, no sólo que el que ha leído a tal o cual libro o estudiado un determinado estilo artístico, etc. La emergencia de la tercera cultura es una nueva filosofía natural, fundada en la comprensión de la importancia de la complejidad, de la evolución (John Brockman). Una característica de los nuevos intelectuales consiste en pensar que si uno no puede hablar en términos generales sobre temas científicos igual que sobre los no científicos, entonces no puede considerarse una persona civilizada (Steve Jones). Un intelectual de la tercera cultura es un sintetizador, un comunicador. Una de las razones del desarrollo de esta cultura está motivada por la convergencia de tres tecnologías: la audiovisual, la de las telecomunicaciones y la informática. Esto ha propiciado un acceso a la información vertiginoso, la difusión de noticias en tiempo casi real y la divul- gación basada en imágenes atractivas. La ciencia es lo único noticiable, dice Stewart Brand, ya que cuando leemos un periódico o revista todos los contenidos son previsibles en general; la naturaleza humana no cambia demasiado, la ciencia sí. Desde este punto de vista, entre las personas, que reciben gran cantidad de información y que les afecta directamente. En la Tercera Cultura, obviamente, existe una gran separación entre los que se desenvuelven bien con las Matemáticas y los que no. (Martín Rees) Hago esta reflexión porque creo que la institución escolar es la designada por la sociedad para que en ella se aprendan cuantas claves sean necesarias de modo que se haga posible la incorporación de las personas a ella en la categoría de ciudadano o ciudadana. Es decir, no educamos en el conocimiento de una ciencia tan antigua como la Humanidad, las Matemáticas. Educamos en las claves que la sociedad utiliza y que son interpretadas o forman parte de destrezas que han de ser desarrolladas desde las Matemáticas. Educamos en valores necesarios para que la convivencia entre semejantes transcurra en paz y progreso, general e individual, educamos para que las personas se desarrollen con dignidad dentro de una socie- dad. A éste respecto, un periodista le preguntó al ilustre educador matemático holandés Freudenthal: - ¿Qué matemáticas cree usted que son imprescindibles para cualquier persona? - La respuesta fue la siguiente: “Hay que enseñarle todas las matemáticas que sean necesa- rias para que pueda vivir con dignidad como persona”. ¿Qué hay de esta visión cultural de la sociedad en la institución escolar o académica? Prácticamente, nada. Colegios, institutos y universidades viven casi de espaldas a esta reali- dad. Seguimos modelos de tiempos pasados aplicados a un alumnado de hoy. Seguimos SIGMA Nº 1938 Rafael Pérez Gómez
- 38. haciéndoles leer alos clásicos cuando todos hemos aprendido de su lectura en nuestra madu- rez. Seguimos transmitiéndoles un conocimiento tan pulido como falto de realidad. Seguimos hablando de espaldas a la clase, desde la pizarra, en monólogos interminables. 2. LA ACTUACIÓN EN EL AULA DEL PROFESORADO DE MATEMÁTICAS HOY En lo que nos toca, como profesores o profesoras de matemáticas, hemos de armarnos de nue- vas estrategias y deshacernos de otras. Lo de llenar pizarras enteras de tiza ya no puede ser. Realmente, no se trata de enseñar muchisimas Matemáticas, sino de que chicos y chicas aprendan desde las Matemáticas las diferentes claves que nuestra sociedad, su sociedad, uti- liza. Para ello, además de elegir convenientemente las actividades, hay que adoptar nuevos estilos para trabajar en el aula. Quizá que lo primero sea adoptar un punto de vista como el que sugiere el gran matemático inglés G.H. Hardy: Quienes nos dedicamos a la Educación Matemática,como quienes lo hacen a la pintura o poesía, somos constructores de diseños.. Los diseños para la clase de Matemáticas, como en pintura o poesía han de ser bellos; las ideas, como los colores o las palabras, deben relacio- narse de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba n o hay lugar permanente en el mundo para una clase de Matemáticas feas. "Apología de un matemático" .G.H. Hardy . Ed. Nivola.(2.000) Hay que dar entrada en nuestras aulas a pizarras llenas de color, llenas de vida, llenas de interés. ¡fuera las pizarras negras! !fuera los problemas sin interés! • En nuestra faceta de comunicadores, hemos de aprender de personas que están dedicando su vida a COMUNICAR, a establecer puentes de comunicación entre los demás. Investiguemos en cineastas, artistas, literatos, ... en personas que continuamente están pro- vocando comunicación, y aprendamos algo de ellos. Como anécdota, no está mal seguir los consejos del cineasta americano W. Wilder para comunicar: “Los ocho primeros mandamientos son: no aburrirás al prójimo. El noveno: no sermonearás, y el décimo: nunca harás una película (un libro) en la (el) que tengas un procentaje de los beneficios, porque nunca ganarás un duro. Si se recuerdan estos diez mandamientos es imposible equivocarse”. W. Wilder •Tenemos que SEDUCIR y podemos seducir desde las Matemáticas. Desde los intereses de los chicos y las chicas por ciertas cosas podemos seducirlos. Las nuevas tecnologías, videos, TV, etc., nos pueden ayudar a la introducción de determinados temas que de otra forma no tie- nen cabida en el aula. • Hay que introducir elementos desde LA VIDA COTIDIANA. Por ejemplo, todo el mundo habla de móviles, de antenas parabólicas y, para nuestros estudiantes las parábolas se redu- cen al estudio de la función del tipo y = x2 . • Hay que buscar LA COMPLICIDAD con en el que aprende. Si hacemos una excursión solos, evidentemente, nosotros disfrutamos pero los demás no. La excursión hay que hacerla de la mano de todos los que están en el aula, y hay que buscar su complicidad. La complicidad se busca, casi siempre, en relación a los intereses de los alum- nos y alumnas: estudio de loterías, probabilidad de aciertos, etc. Septiembre 2001 • Iraila 2001 39 MATHEMA Año 2000
- 39. • Procurar queEL INTERÉS no decaiga. LA SORPRESA debe ser una exigencia. El alumnado debe estar pendiente de nosotros constantemente. ¿Qué nos sacará hoy éste de la chistera?, ¿cuál será su siguiente sorpresa?, deben ser preguntas que nuestros estudiantes deben hacerse constantemente. • Trabajar la VISUALIZACIÓN. Estamos en un mundo eminentemente audiovisual, no se puede ir contra corriente de manera continuada, por tanto aprovechemos esta tendencia, hagamos actividades de visualización.Hay un libro muy recomendable, de Roger Nielsen, que se llama "Demostraciones sin palabras", está el fondo bibliográfico de la AMS, hay demostraciones tan bonitas como las siguientes : 13 + 23 + 33 + ........+ n3 = (1+2+3+... n)2 Los siguientes dibujos son suficientemente ilustrativos ¿ Puede considerarse lo anterior como una demostración? Algunas personas pensarán: Si ya lo veo, no hace falta más. • También hay que introducir ELEMENTOS PRÓXIMOS a quien aprende. Estas situaciones pueden ser motivadoras para estudiar con más interés. Hay elementos sencillos de Etnomatemáticas que claramente podemos incorporar en nuestras clases. Otros son más complicados. Hemos de elegir en cada momento y en cada nivel cómo y qué contenidos presentamos a nuestros alumnos y alumnas. SIGMA Nº 1940 Rafael Pérez Gómez Descomponer Reordenar Agrupar Numeración de los molineros del Valle de Arratia
- 40. • Desde luegono hay que olvidarnos del corazón de las Matemáticas: LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Creo que debe ser el motor de la actividad en cualquier aula. Hay que resol- ver problemas en todos los niveles, no sólo ejercicios. Problemas interesantes, sugerentes y apropiados. Un ejemplo de lo que digo lo podemos tener en el conocido problema de los isoperímetros (ver referencia de dicho problema en la revista SUMA). Hay que tener pre- sente que las Matemáticas han avanzado resolviendo problemas. • Introducir LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS en el aula. Ya se ha dicho que muchos problemas se han resuelto en función de las herramientas disponibles. Cuando la herramienta no ha dado de sí, ha habido que crear una nueva teoría para saltarse la herramienta. Con nuevas herramientas se pueden retomar viejas teorías. Un ejemplo muy interesante es el de Geometría hiperbólica, sobre ésta geometría se ha escrito mucho y muy bien, pero llegó un momento en el que se para, porque no existe una regla y un compás adecuados a tal geo- metría; sin embargo con los ordenadores y paquetes gráficos adecuados se vuelve a retomar dicha geometría. • Estar muy atentos a las corrientes DIDÁCTICAS relativas a la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas. Por ejemplo, son muy interesantes las tesis didácticas del matrimonio Van Hiele desde las que se ha creado una metodología para trabajar en el aula, fundamental- mente sobre temas geométricos. Los trabajos en varias tesis sobre didáctica de las Matemáticas, publicadas últimamente, demuestran que los conocimientos de matemáticas están muy unidos a los conocimientos previos de cada cual. La educación, desde este punto de vista, se basa en pasar del nivel "n", en el que se encuentra una persona frente una acti- vidad, al siguiente, el "n+1". Hay que conocer las técnicas para que se produzca el apren- dizaje. Simplificando mucho, en la teoría de Van Hiele, hay unos niveles (5) dónde cada persona se encuentra frente a cualquier situación de conocimiento matemático. El asunto es llevar a la persona que se pone en situación de aprender de un nivel al siguiente, hay un diagnóstico para determinar el nivel, posteriormente una orientación dirigida, una explici- tación, una orientación libre y una integración. • No hay que olvidar la CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO. Procurar que cada per- sona vaya descubriendo aquello que quiero que aprenda, es una tendencia innegable de que el conocimiento para que se aprenda hay que construirlo. Construir el conocimiento es la consigna actual que se desprende de las modernas teorías sobre enseñanza y aprendizaje. Ante esta visión de la educación desde las Matemáticas, la lección magistral está malherida. Y no es sólo porque los tiempos que corren no son propicios a púlpitos o a sillones de cátedra, que no lo son, sino porque en la clase-relato se presenta el conocimiento como si al final de cada sesión debiera estar la narración lista para ser revisada por la Academia. La aventura se oculta y el pensamiento queda maniatado. No a la comuni- cación de las Matemáticas al alumnado mediante la enseñanza paso a paso que evita razo- namientos equivocados, incertidumbres y conflictos y, sobre todo, no procura aprendizajes significativos. Estamos muy lejos de interesar con nuestras explicaciones a un alumnado que no somos capa- ces de motivar, en general, por distar de sus intereses y necesidades. 3. PARA FINALIZAR A estas alturas de mi discurso, ha debido quedar claro que pienso que enseñar es un oficio tan antiguo como difícil, tal vez despiadado. "Pero lo mejor de nuestra enseñanza -y principal de los recursos didácticos- es, a fin de cuentas, la humanidad que haya en nosotros. Si no pone- mos en ella nada humano, nuestro papel es irrisorio” (W.Servais, Rennes 1976). Septiembre 2001 • Iraila 2001 41 MATHEMA Año 2000
- 41. Notas (1) El sistemase basa en tener dos números primos -de más de cien dígitos-, multiplicarlos y el producto aunque es conocido, los ordenadores actuales no pueden hacer la descomposición en factores en un tiempo razonable para “piratear” el mensaje u usarlo. Para la descodificación del mensaje se utiliza la función de Euler. Resulta curioso observar cómo aquellos teoremas que en su momento era sólo un “juego” matemático sin aplicación alguna, siglos después han sido retomados y sirven para hacer firmas digitales con las que proteger las comunicaciones electrónicas. (2) El humanismo, actitud que hace hincapié en la dignidad y el valor de la persona, dio paso a la llamada primera cultura, predo- minante desde el Renacimiento. Uno de sus principios básicos es que las personas son seres racionales que poseen en sí mismas capacidad para hallar la verdad y practicar el bien. El término humanismo se usa con gran frecuencia para describir el movimiento literario y cultural que se extendió por Europa durante los siglos XIV y XV. Este renacimiento de los estudios griego y romanos subrayaba el valos que tiene lo clásico por sí mismo. La segunda cultura, desarrollada y mimada desde el llamado Siglo de las luces o Ilustración, terminó utilizado para describir las tendencias en el pensamiento y la literatura en Europa y en toda América durante el siglo XVIII previas a la Revolución Francesa. La frase fue empleada con mucha frecuencia por los propios escritores de este periodo, convencidos de que emergían de siglos de oscuridad e ignorancia a una nueva edad iluminada por la razón, la ciencia y el respeto a la Humanidad. SIGMA Nº 1942 Rafael Pérez Gómez
- 42. Septiembre 2001 •Iraila 2001 43 Matemáticas cotidianas MATEMÁTICAS COTIDIANAS D. Fernando Corbalán (*) INTRODUCCION Vamos a hablar hoy de matemáticas cotidianas, es decir de esas matemáticas que uno encuen- tra y sobre todo de las maneras en que se pueden transmitir. Porque lo interesante no es sólo que las veamos nosotros, sino sobre todo nuestros alumnos/as, que van a ser los futuros ciu- dadanos. Supongo que sabéis todos que el signo igual se utiliza desde el siglo XVI más o menos; y fue un matemático inglés, Recorde, el primero que lo utilizó porque él pensó que los dos objetos más iguales que había en matemáticas eran dos rectas paralelas. Y en ese sentido, yo creo que, con bastante frecuencia, las matemáticas escolares y la vida de nuestros alumnos son tam- bién iguales, es decir dos rectas paralelas que no se encuentran casi nunca. Y por eso pienso que uno de los objetivos fundamentales de la enseñanza de las matemáticas tendría que ser tender puentes entre esas dos rectas paralelas. Y de lo que yo quería hablar hoy es de cómo podemos tender esos puentes, de cuál es el sentido de los mismos, y procuraré, además, fun- damentalmente aportar ejemplos. Y lo haré en tres partes o métodos para tender puentes: I.- APROVECHAR LA ACTUALIDAD II.- GRADUAR SUS 'GAFAS MATEMÁTICAS' III.- MATEMATICAS PARA LEER Y VER I.- APROVECHAR LA ACTUALIDAD Considero que tiene que ser una preocupación cotidiana, una tendencia general en todas las materias, que se hará normalmente por intermedio de los Medios de Comunicación, de una importancia creciente en nuestra sociedad, pero que puede hacerse también de forma directa. Hay que utilizar los temas de comentario habitual para hacer ver que las matemáticas también aportan elementos para ampliar y enriquecer la perspectiva de la realidad. Pienso que no es cuestión de forzar las noticias para mostrar las matemáticas, pero desde luego no hay que dejar pasar ni una oportunidad para hacer visible esa presencia. Y prácticamente en cada uno de los temas de nuestras clases podemos utilizar elementos de los Medios, que estén de actualidad: solo hace falta tener las antenas dispuestas a captarlas. (*) Profesor de Secundaria del IES “Grande Covián” (Zaragoza),
- 43. Algunos ejemplos utilizadoseste curso (desde septiembre por tanto) por mí (en 3º y 4º de ESO que son los cursos que imparto) son los siguientes: En el inicio de curso tratamos con problemas las diferentes estrategias de Resolución de Problemas. En el contexto de recuentos de situaciones posibles estudiamos el número de posi- bles apuestas diferentes en las Quinielas y la Lotería Primitiva (no hay que olvidar que somos primera potencia mundial en juegos de azar), que además permiten aplicar estrategias tan úti- les como: Elige primero los casos más simples (o con otra formulación Busca un caso parti- cular más sencillo). • Vuelta Ciclista a España (en su apogeo en septiembre): para desarrollos (52X13 u otras), velocidades(según el número de pedaladas), pendientes (qué es un 10% ó un 15%) y repre- sentaciones gráficas (sobre todo de las etapas de montaña, en las que las escalas horizonta- les y verticales son completamente distintas). Estos temas nos permiten relacionar las mate- máticas y la Tecnología. • Inundaciones y grandes lluvias, como las que sufrimos a finales de octubre: tratado en el contexto del manejo de grandes números y que sirve para introducir modelos que expli- quen las situaciones de catástrofes. Permite introducir la modelización como un instrumento para entender la realidad. Algunos tipos de situaciones son las que aparecen en el siguiente problema, que fue utilizado en una prueba escrita (pero se hicieron otros más complejos previamente): SIGMA Nº 1944 Fernando Corbalán • Recuento de todos los casos posibles. • Buscar un caso particular más sencillo. – QUINIELAS Y LOTERIA PRIMITIVA – • Desarrollos. • Velocidades. • Pendientes. • Representaciones gráficas. – VUELTA CICLISTA A ESPAÑA – • Altura que alcanza el agua con H litros/m2 . • Modelo de inundaciones. • Evacuación de una gran cantidad de agua. – GRANDES LLUVIAS E INUNDACIONES –
- 44. PROBLEMA.- En unadeterminada zona han caído 50 litros por metro cuadrado de agua de forma uniforme. a) En un almacén rectangular de 20x30 metros se ha quedado todo el agua en la terraza superior del mismo. Calcula el peso y el volumen del agua caída, así como la altura que alcanzará la misma. b) En el parking de un centro comercial que tiene forma rectangular de 300x400 metros se recoge todo el agua en un estanque cuadrado de 20 metros de lado y 10 metros de profundidad. ¿Habrá espacio suficiente? Si falta, ¿qué cantidad de agua se desbordará? c) El estanque, una vez lleno, se desagua por un tubo redondo de 20 cm. de radio, por el que el agua sale a 5 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse? • IPC (muy elevado este año: un 4% hasta finales de octubre): para aplicación de porcenta- jes. Utilizando la lista de subidas del IPC en los 25 o 30 últimos años (que aparecen en los medios de comunicación o en sus libros de otras asignaturas) podemos contestar a pregun- tas o comentarios sobre si ha subido el precio de las viviendas o de los coches, a cuánto vender en pesetas constantes, o aquello que dicen los abuelos: "qué caro es todo, esto a mí me costaba 2 pts.". Por ejemplo, hace 30 años el periódico costaba 1.80 pts., ¿era más caro o más barato que ahora? II.- GRADUAR SUS "GAFAS MATEMÁTICAS" En este apartado con un título peculiar queremos referirnos a que una de nuestras tareas fun- damentales que tenemos que realizar en la enseñanza es lograr una graduación personalizada para cada uno de nuestros alumn@s de unas 'gafas' invisibles y alojadas en el cerebro que les permitan percibir las matemáticas que hay a su alrededor y actuar en consecuencia. • Una primera actividad que yo realizo de forma recurrente durante bastantes años es pedir- les que imaginen un mundo sin números y que lo plasmen por escrito. Algunas respuestas son: "Un mundo sin números sería una locura continua [...] No se sabrían las dosis de algunos medicamentos y no se sabría cada cuántas horas hay que tomarlo. No se sabría la tensión de cada uno ni los latidos de tu corazón. No tendríamos ni DNI y la cartilla de la Seguridad Social [...] Sería todo un caos". "Este apartado es un poco difícil, ya que nosotros, los humanos, utilizamos los números para casi todo, casi que sin ellos no podemos vivir [...]Un día sin números sería como vivir en la Prehistoria [...] Sin los núme- ros no existiría ninguno de los inventos que tenemos: teléfono, ordenadores, televisores, coches,... No ima- gino un mundo así" "Un mundo sin números sería como un mundo sin letras. ¿Con qué pagaríamos?, ¿Cómo sabríamos la hora?, ¿Y cuándo nacimos? Esos son algunos de los problemas que acarrearía un mundo sin números. (...) Así que no sé lo que podría ser un mundo sin números; ¡ sería la ruina total!". Estas son algunas de las redacciones. Pero es interesante destacar que el conjunto de las mis- mas muestran algunas características destacadas: Septiembre 2001 • Iraila 2001 45 Matemáticas cotidianas • Actualización de precios de años atrás. – INDICE DE PRECIOS AL CONSUMO –
- 45. • una visiónapocalíptica de lo que sería un mundo sin números, lo que nos permitiría dedu- cir (y procurar inducirlo de forma explícita) que las matemáticas son importantes. • una cierta confusión sobre lo que son los números y lo que es la representación de los mis- mos (cuando dicen que si no hubiera números - es decir, los símbolos actuales -, se repre- sentarían con letras - otro símbolo pero el mismo concepto -). • observar de los números solo su presencia directa - calles, teléfonos, horarios, ...-, pero pocas veces su importancia en la matematización de la realidad y por tanto en el avance de las ciencias. Es una actividad que a partir de las respuestas del alumnado permite hacerles ver la impor- tancia de las matemáticas en la vida. Y es también una buena oportunidad para tratar de las funciones fundamentales que los números proporcionan en nuestra sociedad, que pueden reducirse a tres: MEDICIÓN - ORDENAMIENTO - CODIFICACION Logotipos geométricos y Publicidad Podríamos ver otras muchas cosas, pero solo nos vamos a referir a la aparición de anagramas matemáticos: ( Mitsubishi, Toyota, Mercedes, Vips, Samsonite, NewMan, Banco Zaragozano, Gamesa,...). También los anagramas de mi tierra: Ayuntamiento de Zaragoza, Diputación Provincial de Zaragoza,.... Hay muchísimas, es la primera imagen de una empresa, cuesta mucho dinero su diseño y su cambio: las figuras geométricas llegan con facilidad a la mente y se recuerdan. Luego la geometría es importante en publicidad. Por otra parte, cuando las matemáticas aparecen en los anuncios suelen ir dirigidos a gente importante y con capacidad de decisión. Para los publicistas la gente que sabe matemáticas son dirigentes de las empresas: algo que nuestros alumnos valoran. Así pues su presencia en los negocios y en la comunicación permiten mostrar con hechos y no con palabras que LAS MATEMÁTICAS NO SOLO TIENEN IMPORTANCIA EN LOS INSTI- TUTOS Y COLEGIOS. SON TAMBIEN IMPORTANTES EN LA VIDA DIARIA. Arte y matemáticas Hay muchos ejemplos destacados de esas relaciones (Escher, Mondrian, Carvajal,...) Pero mucho más cercano es un recorrido artístico por la localidad en que cada uno viva. Yo pre- sento unas bonitas fotos de Pilar Moreno de Zaragoza, pero en todos los sitios hay algo pare- cido. Y también hay mucha geometría en el diseño de los edificios (Como este palacio Euskalduna o el Museo Guggenheim; no son solo matemáticas pero también lo son). SIGMA Nº 1946 Fernando Corbalán
- 46. • También lasmatemáticas están presentes en sus aficiones, como por ejemplo en los Deportes. Algunos ejemplos son: Clasificación final de la Liga de Fútbol Medallas de las últimas Olimpiadas PAÍS MEDALLAS 1. Estados Unidos 97 2. Rusia 88 3. China 59 4. Australia 58 5. Alemania 57 25. España 11 PAÍS MILES HABITANTES/MEDALLA 1. Australia (4º -58) 327 2. Cuba (9º -29) 379 3. Noruega (19º -10) 400 4. Hungría (13º -17) 588 5. Estados Unidos 2783 25. España 3545 Septiembre 2001 • Iraila 2001 47 Matemáticas cotidianas – Al llegar el verano: Fútbol – – Al llegar el verano: Fútbol. Sist. antiguo – EQUIPO G E P PUNTOS Deportivo 21 6 11 69 Barcelona 19 7 12 64 Valencia 18 10 10 64 Zaragoza 16 15 7 63 Real Madrid 16 14 8 62 Alavés 17 10 11 61 EQUIPO G E P PUNTOS Deportivo(1) 21 6 11 48 Zaragoza(4) 16 15 7 47 Valencia(3) 18 10 10 46 Real Madrid(5) 16 14 8 46 Barcelona(2) 19 7 12 45 Alavés(6) 17 10 11 44 – Al llegar el otoño: Las Olimpiadas – – Al llegar el otoño: Las Olimpiadas –
- 47. • otros aspectosmatemáticos que hay en los deportes III.- MATEMATICAS PARA LEER Y VER Hay a nuestro alcance toda una serie de lecturas y visiones que tengan que ver con las mate- máticas. * Se puede hacer una lista de libros, de videos y de películas como la que aparece a conti- nuación. * Respecto a la utilización de la imagen en la enseñanza de las matemáticas, hay a continua- ción dos citas bien antiguas (de 1957) de Gategno y del CEIEAEM que pronostican un por- venir que por desgracia no ha llegado todavía: SIGMA Nº 1948 Fernando Corbalán NOVELAS • “El tío Petro y el teorema de Goldbach”. • “El teorema del loro”. CUENTOS • Borges: “El aleph”, “Tigres azules”. • Colección “La matemática en sus personajes”: Las matemáticas y sus cultivadores están insertos en la cultura y la vida social de su tiempo. L@s matem@ticas son gente de carne y hueso. • “Galois: matemáticas y revolución”. VIDEOS • “Donald en el país de las matemágicas”. • “El poder del diez”. • “Escher”. PELICULAS • “Contact”. • “B (PI)”. • “Cube”. • Forma de instrumentos. • Forma de campos de juego. • Medidas de campos. • Números negativos y fraccionarios. • Maneras de puntuar. • Formas de clasificar. • Probabilidad. • Mejores ángulos de tiro. • Tiempo, velocidad y espacio. • Ciclismo. • El dinero del deporte.
- 48. "Nuestro deseo deesclarecer algunos aspectos de la pedagogía matemática por el filme se debe (...) a que creemos firmemente que en la dinamización de la enseñanza hay un lugar para este material que rendirá inmensos servicios" (Caleb Gategno, 'La enseñanza por el filme matemático', en 'El material para la enseñanza de las matemáticas', CIEAEM, Aguilar, Madrid, 67) "Lo esencial parece ser que los filmes matemáticos desempeñarán una misión importante en la pedagogía futura: la de educar el poder creador en el alumno y sintetizar las teorías mate- máticas presentables en forma de filme. Gracias a este es posible entrever un porvenir en el que la enseñanza presentará un aspecto muy distinto del actual, y en donde el alumno se pon- drá en contacto en breves minutos con todo un campo matemático y serán capaces de captar no solo lo que se les haya querido enseñar, sino lo que puedan percibir por sí mismos. Además, los nuevos hábitos de pensar, que no paralizan la intuición, harán de nuestros alum- nos contempladores de situaciones matemáticas, ya que podrán concentrarse en una serie de imágenes, en lugar de seres que esperan haber vivido mucho para permitirse agrupar algunos teoremas que son una sola y misma idea" (Comisión del CIEAEM, 'El material para la ense- ñanza de las matemáticas', CIEAEM, Aguilar, Madrid, 67) * Por supuesto también hay que leer y mirar los MCS. Se encuentran muchas cosas interesan- tes, como la cita de Jackson que aparece en la trasparencia. * Y las matemáticas para leer y ver en contacto con la realidad tienen también que ver con que se les presenten en un medio actual: los CD. En los que no solo hay que ver sino inte- ractuar. Que l@s propi@s alumn@s sean un poco agentes activos de su propio aprendizaje. Eso es lo que hemos hecho en el CD de 'Rutas matemáticas' (que editará próximamente 'Cuadernos de Pedagogía') y que os presento ahora a continuación. En él (junto con David Barba, Jordi Deulofeu y Antón Aubanell, y con la revisión de Claudi Alsina) hemos intentado juntar dos de las ideas fundamentales que intento transmitiros: las matemáticas de la reali- dad y un instrumento cotidiano. Cómo encontrar matemáticas en nuestra vida diaria, servido en un envoltorio actual como es el CD. No está dirigido directamente a los alumnos, sino indirectamente por medio de profesores, pero pensamos que este es el camino apropiado. Y que CDs como este servirán en el futuro de mañana mismo para tratar la diversidad. Final También es conexión con la realidad la utilización de los medios que les gustan (en la línea de lo que decían los de CIEAEM): como CDs, Internet y otros. Pero no solo por novedad, sino porque así se potencia la búsqueda y utilización responsable y rentable que les ilumine en los recorridos por la Red y por la Tecnología. Para un elevado porcentaje de los ciudadan@s (y desde luego la mayoría de nuestros alumn@s) sus problemas con las matemáticas es verlas (lo que requiere graduar esas gafas que decimos), integrarlas en su vida, tener algún sentido matemático (cita de Gabriel Jackson) y aplicarlos cuando surja la oportunidad. Su problema no es alcanzar el famoso 'nivel' del que se habla para poder llegar a la Universidad No pensemos que todo lo anterior es una tarea fácil, incluso de venderla: a la altura de la ESO nuestros alumn@s ya tienen asumida una especie de equivalencia: "Matemáticas = números = algoritmos de operación" que poco tiene que ver con la estructuración del pensamiento o la resolución de problemas (con esa pregunta terrible "¿lo resuelvo por mates o por lógica?" tan frecuente en clase) y quie- ren seguir con ese tipo de tareas INCLUSO AUNQUE NO HAYAN TENIDO MUCHO EXITO EN LAS MISMAS. Septiembre 2001 • Iraila 2001 49 Matemáticas cotidianas
- 49. Lo mismo quepasa con los Profesores, en los que coexiste la queja por el fracaso de sus alum- nos con su insistencia en seguir por los mismos caminos; TREMENDO PODER DE LA INER- CIA, impresa con fuego en el código genético. Me viene a la memoria el siguiente cuento de Carriére (J-C Carriére, 'El círculo de los menti- rosos. Cuentos filosóficos del mundo entero', Lumen, Barcelona, 2000), titulado LA LAMPARA DEL MAESTRO: "Un maestro zen y su discípulo andaban por un camino en plena noche. El maestro sostenía una linterna. - Maestro - preguntó el discípulo -, ¿es verdad que puedes ver en la oscuridad? - Sí, es verdad. - Entonces, ¿para qué llevas esa linterna? - Para que los otros no choquen conmigo" Nosotros suponemos que, como el maestro del cuento, vemos las matemáticas. Pero tendre- mos que seguir con la lámpara para que las vean los demás. Esa es la grandeza y la miseria de nuestro oficio: hacer que cada vez más gente pueda dejar la lámpara en casa. Seguro que dentro de poco en nuestras clases funcionamos en la oscuridad: sin lámpara. Gracias. SIGMA Nº 1950 Fernando Corbalán Fernando Corbalán en plena conferencia
- 50. Septiembre 2001 •Iraila 2001 51 Tendencias actuales de la resolución de problemas "TENDENCIAS ACTUALES DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS" (*) D. Claude Gaulin (1) Kaixo!. Gracias de nuevo por haberme invitado y un saludo a todos los colegas que trabajan en la edu- cación matemática. Espero que esta conferencia sea una oportunidad para reflexionar sobre el tema de la resolu- ción de problemas. Lo que diré no son cosas muy avanzadas, pero creo que es importante tener conciencia de ello porque, en la educación matemática en la que trabajamos todos, la resolución de problemas tiene un papel muy importante y hay que mejorar las cosas en este sentido y, me gustaría, reflexionar con ustedes sobre maneras de mejorarla. Aunque el título de la conferencia es "Tendencias actuales en la Resolución de Problemas", no será solamente sobre tendencias sino que serán observaciones sobre el tema de la resolución de problemas. El plan de la presentación, si hay tiempo, es pasar a través de las tres etapas. En la primera parte hablaré del tema de que la resolución de problemas sigue siendo un tema muy actual y de gran importancia en la educación matemática. En la segunda parte hablaré de las dificultades mayores que se encuentran en la de la resolución de problemas en el ámbito escolar. Hablaré a partir de mi experiencia..., lo que he observado..., he leído... En la tercera parte daré ejemplos de lo que podemos hacer para mejorar las cosas en el futuro sobre el mismo tema. Antes de empezar hay que mencionar una cosa importante: cuando hablamos de resolución de problemas, la palabra "problema" tiene varios sentidos dependiendo de la persona que habla y, para evitar malentendidos, tengo que insistir en que, en esta conferencia, cuando hablo de problemas o situaciones problema, yo no hablo de ejercicios..., de cosas rutinarias para practicar sino que hablo de situaciones donde hay que reflexionar, hay que buscar, hay que investigar..., donde para responder hay que pensar mucho. De esta manera lo que estoy excluyendo es lo que llamamos ejercicios, aunque hay personas que, cuando hablan de problemas, incluyen todo esto. Por tanto, cuando hablo de tendencias en la resolución de problemas, me estoy limitando al caso de esas situaciones donde los alum- nos van a trabajar mucho, donde no será suficiente aplicar un algoritmo o una fórmula. Tendrán que pensar y definir una estrategia, de manera que, a veces, necesitarán mucho tiempo. No habrá, por tanto, una respuesta automática y rápida cuando hay un problema. La primera parte que yo anuncié, sigue siendo un tema muy actual y de gran importancia en educación matemática. Esto depende de los países, hay países en los que sobre este tema se habla desde hace treinta años, hay otros en los que es bastante novedoso. Esto depende del contexto y del país pero, lo que importa es saber que es un tema viejo (antiguo) y, sin embargo, en los currículos es un tema reciente. (*) Conferencia pronunciada el día 15/12/2000 en el Palacio Euskalduna (Bilbao). Es una transcripción de la conferencia pronunciada. 1 Profesor de la Universidad de Laval (Québec - Canadá)
- 51. Por ejemplo, ellibro de Polya, "Cómo plantear y resolver problemas" de 1945, fue traducido y publicado en otros idiomas en los años 60/70 y, en algún caso, en los 80 y, sin embargo, está publicado en 1945, ¡hace ya 50 años!... y, cuando se habla de resolución de problemas, hay que mencionar el nombre del gran matemático George Polya, que era húngaro y terminó su vida en los EEUU, y que en ese libro ya insistía mucho sobre una cosa, que yo llamo el pos- tulado de Polya, aunque él no lo citaba así. Polya dice: "Hacer Matemáticas es resolver problemas", y para dar una buena idea a los alumnos de lo que es hacer Matemáticas, hay que darles problemas para resolver, problemas. , no ejercicios...,¡¡problemas!!, para buscar, reflexionar, buscar mucho, investigar... Esa publicación y las que publicó posteriormente, tuvieron una cierta influencia sobre los matemáticos profesionales, pero tardó más en tener influencia en la educación en el ámbito escolar. Poco a poco la gente, que trabajaba en educación matemática, se interesó en el tema, porque el mismo Polya publicaba mucho..., muchos artículos, daba conferencias y otras per- sonas, que escuchaban al Polya, dijeron que eran muy buenas ideas para intentar aplicarlas en la educación. La idea de Polya era que es esencial que, en la escuela, en lugar de enseñar algoritmos y dar ejercicios repetitivos, se den a los alumnos muchos más problemas para resolver y, a través de esa actividad, tendrán una mejor idea de lo que es hacer matemáticas. Para Polya resolver pro- blemas incluye no solamente buscar soluciones sino que, al final, incluye justificar y, a veces, hacer una demostración. Esto último está también incluido para él. Voy a dar un ejemplo. En 1966 el ICMI, que es el organismo internacional sobre la educación matemática, organizó una encuesta, escribiendo a varios países, pidiéndoles que realizaran un informe sobre el tema del "Papel de los problemas en la actividad matemática con aplicación en el ámbito escolar". En Inglaterra, por ejemplo, en 1966, se publicó un pequeño libro con muchos artículos de mucha gente sobre este tema. Lo que significa que el tema de la resolu- ción de problemas no es tan nuevo pero, en esta época, era un tema de reflexión, no era parte de los currículos y la polaca Anna Krikowska publicó un resumen de todo esto en el año 1966. Después, en los años 70 y 80, hubo un gran número de investigaciones, personas como Kilpatrick, Lester, Goulding y muchos otros en EEUU; también en Europa hubo algunos inves- tigadores, que empezaron a investigar el tema de la resolución de problemas para el nivel preuniversitario como tema de investigación didáctica. Por ejemplo en 1975, hace 25 años, hubo un taller (workshop) en los EEUU, con especialistas en este tema que discutieron cómo hacer investigaciones sobre resolución de problemas, que realizaron un extenso trabajo sobre SIGMA Nº 1952 Claude Gaulin Claude Gaulin en la conferencia
- 52. las diversas variablesque hay que tener en cuenta en las investigaciones...., y, poco a poco, el tema se introdujo... y fue conocido por los especialistas de la educación matemática. Pero seguía sin ser parte de los currículos. En 1980, en el IV-ICMI celebrado en Berkeley, que fue el gran congreso internacional, hubo un gran grupo de trabajo sobre el tema de la resolución de problemas. La idea era la de inte- resar al público (profesorado) de todos los países del mundo, para que el tema fuera más tenido en cuenta en los currículos. Ese workshop (taller) fue dirigido por personas de Inglaterra, con la ayuda de personas de varios países. En el siguiente ICMI, en Australia-84, hubo de nuevo un working-group (grupo de trabajo) muy importante, de manera que, a través de todo el mundo, se habló de este tema como un tema de interés para el nivel escolar...., porque anteriormente, al inicio, cuando Polya escribía sus traba- jos, sólo era escuchado por los matemáticos y esas ideas se aplicaban a nivel universitario. Ahora, poco a poco, está llegando a su introducción a nivel escolar. En) 1980, -tomaré el ejemplo más conocido aunque no es el único-, el NCTM (National Council of Teachers of Mathematics), que es una gran organización de profesores de Matemática de EEUU, publicó algo muy importante, que se llama "Agenda for Action", un plan para actuar en educación matemática, con recomendaciones para la matemática escolar de los años 80. La primera recomendación que apareció, creo que la primera de seis, era que "la resolución de problemas debe ser el objetivo principal, en inglés "focus, de la enseñanza de la Matemática en la década de los 80"; entonces, hace veinte años ya se hablaba como objetivo principal de "introducir ese tema en los currículos", al menos, en América del Norte. Al mismo tiempo también existían trabajos en Europa, en Inglaterra había mucha gente traba- jando sobre este tema, en Francia, estaba Glaiser, bien conocido, que trabajaba sobre el tema. En España tabién hay gente trabajando, aunque debe ser un poco más tarde, en los años 80. Por lo tanto, se puede observar que el movimiento crece y, a nivel internacional, se habla más del tema. Al final, en los EEUU, porque estoy tomando mis ejemplos en 1989, aparecieron los "Standards........", creo que muchos de ustedes conocen la traducción al español que fue hecha por la sociedad Thales, "Estándares curriculares.....". Ahora tendrán que recomenzar porque hay una nueva edición, pero [la edición traducida] es la de 1989. De nuevo no son un programa, son estándares (modelos). Estándares significa "normas de cali- dad de un currículo" y, entonces, ese documento proponía normas de calidad de un currículo de Matemáticas. Había temas como: Números, Algebra, Geometría, etc. y estaba el tema de resolución de problemas, como yo digo..... un "supertema". La idea era que en el documento se presenta la resolución de problemas como un supertema que viene a integrar todo. Es la línea roja que pasa alrededor, y a través, de los temas de Aritmética, Algebra, Geometría, Análisis de datos, etc. Es un tema que se encuentra en cualquier lugar del currículo y sirve para unificar. Esta era la idea y, la misma idea, se encuentra ahora en los programas de otros países del mundo. Podemos ver entonces, que la resolución de problemas no es nueva e incluso, a nivel escolar, hace más o menos veinte años que se habla de esto y lo curioso es que tenemos la impresión que, en realidad, en las escuelas, es un tema poco implantado..., que hay mucho más que hacer sobre este tema. Desde el punto de vista teórico, la gente está de acuerdo en que, resolver problemas, es una buena actividad, pero hay algo que falta para que esté bien implantado..., lo vamos a ver más tarde. Ahora, para terminar esta sección, lo que yo pretendo señalar es que hay nuevos Septiembre 2001 • Iraila 2001 53 Tendencias actuales de la resolución de problemas
- 53. factores que vienena reforzar la actualidad e importancia de este tema que, en lugar de dis- minuir, está aumentando cada día. Estoy dando solamente cuatro razones, pero hay muchas más..., será suficiente, eso espero, para convencerles. En la actualidad está muy en vigor la perspectiva socio-constructivista. En muchos países del mundo, en congresos de investigadores, ahora se habla de socio-constructivismo; anterior- mente se hablaba [sólo] de constructivismo. La idea es que cada persona construye sus cono- cimientos, constructivismo en un cierto sentido. El socio-constructivismo insiste sobre el hecho que, cuando se aprenden cosas, no sólo hay actividad cognitiva sino que también la interacción con otras personas ayuda mucho, es un factor de ayuda y que acelera el apren- dizaje. La discusión con otra gente, el trabajo en equipo, la interacción social, son factores importantes. Se habla de Vigostsky, se habla de varios autores. Tomando esta tendencia actual en cuenta, una de las consecuencias es que la resolución de problemas tomará más importancia porque, cuando los alumnos van a resolver problemas, será una gran oportuni- dad para trabajar en equipos (grupos), para descubrir o resolver problemas juntos, será una oportunidad de oro para aplicar esa idea, mucho mejor que cuando hacen ejercicios indivi- duales de Algebra, por ejemplo. En la parte de resolución de problemas es donde todo esto se puede ver más fácilmente. Una segunda razón, para decir que la resolución de problemas tiene una importancia cada vez más grande, es que es un objetivo para la educación en el nuevo milenio. Al comienzo de esta semana, en Auckland (Nueva Zelanda), asistí a una conferencia en la que tres de los conferenciantes hablaron del siguiente tema: pasamos a un nuevo milenio con mucha nueva tecnología...etc,etc, ¿cuáles serán los conocimientos y habilidades de base en educación?, ¿cuáles son las habilidades que un alumno, que va a vivir en el nuevo siglo, va a tener?.....Y tres personas diferentes de tres países distintos hablaron de ese tema y todos decían, más o menos, la misma idea: "que vamos hacia un mundo más y más complejo y cada joven, que es estudiante hoy en día, va a vivir en un mundo donde se va a enfrentar a situaciones más y más complejas, incluso con la tecnología. La tecnología estará a su servicio pero tendrán que resolver muchos problemas en el sentido propio" , y todos insistían que, en la formación que vamos a dar a nuestros alumnos para que puedan vivir bien en el próximo milenio, la resolu- ción de problemas será un instrumento magnífico para darles oportunidades de desarrollar habilidades intelectuales, habilidades de autonomía, de pensamiento, estrategias,... para que aprendan a enfrentarse a situaciones complejas, como las que tendrán en el mundo que viene. Profundizando en este aspecto se puede también ver que intensificar la resolución de problemas vale la pena porque, a través de ella, podemos hacer mucho más para cumplir los objetivos de la educación matemática del próximo siglo. Otro motivo - no sé si esto vale en España o en esta parte, porque supongo que tienen sus currículos locales aquí -, es que hay muchos países en este momento donde están redefi- niendo los currículos escolares. Es el caso de Quebec. No estamos contentos porque el minis- tro va a imponernos un currículo de inmediato...., dice que es urgente y no se puede esperar más, los profesores no están listos pero no importa...., hay que empezar,... etc., etc. La nueva moda es la moda de las competencias y, anteriormente, nuestros currículos estaban definidos de manera tradicional con conocimientos, habilidades, actividades a desarrollar; ahora hay que hacer todo con competencias pero competencias definidas de una cierta manera. Nosotros utilizamos una definición francesa, pero hay muchas otras...., más o menos la idea es la siguiente: hay que definir el currículo con una lista de competencias. Una competencia significa una capacidad, Los expertos dicen de movilizar recursos cognitivos (conocimientos, habilidades, cosas que hemos aprendido) y aplicarlas en un contexto real. La idea es que, a través de esas competencias, el gobierno quiere asegurarse que, no solamente los alumnos aprenden cosas, sino que pueden aplicarlas en situaciones reales y, de esta manera, insisten SIGMA Nº 1954 Claude Gaulin
- 54. en hablar decompetencias. No es nuevo, anteriormente hablábamos de objetivos un poco específicos y de objetivos a largo plazo. Entre estos últimos están las competencias, insistimos mucho más en la idea de aprender para que sea aplicable y para que, además, lo sea en diver- sos contextos. Es la idea de resolución de problemas: aprender a resolver problemas es apren- der a enfrentarse a situaciones nuevas, donde no se sabe como resolver el problema, hay que pensar y hay que utilizar estrategias diversas para resolverlo. Es análogo..... y, a través de ese argumento, se puede, yo no voy a hacerlo, llegar a la idea que, gracias a enfatizar más la reso- lución de problemas, podemos probablemente llegar más fácilmente a la adquisición de las competencias. El cuarto argumento que cito es que los estándares americanos: la edición del 89 fue revi- sada, hubo una consulta durante 2 ó 3 años. Mucha gente fue consultada, profesores, padres, matemáticos, didactas, pedagogos, etc. y, poco a poco decidieron cómo modificar los están- dares [los que fueron traducidos al castellano]. En abril del 2000 han publicado una nueva edición que ahora se llama "Principles and Standards for School Mathematics" y es accesible en la web [es la web del NCTM: www. nctm.org]. Es un documento con posibilidad de ir, de viajar a través de una red de información. Ya pueden pensar que el futuro en muchos países tendremos, probablemente, currículos de Matemáticas definidos (elaborados y presentados) por hipermedia. Esto significa que no solamente habrá texto, imágenes, vídeos, etc. Por ejem- plo, si se habla de socio-constructivismo en el texto, haciendo un "clic", se obtienen expli- caciones. Si queremos ver una aplicación en el aula, "clic", y aparecerá un pequeño vídeo y se observa [en] el vídeo como el profesor está tratando de aplicar las cosas. O se quieren obtener ejemplos de problemas para estimular tal habilidad, "clic", se obtienen ejem- plos,....etc,etc. Es por lo que vale la pena consultar [la página web del NCTM] para darnos una idea de los currículos que tendremos en el futuro. De todas maneras aquí tenemos los nuevos estándares [libro], es un resumen, porque el documento en papel es enorme. La edición electrónica es mucho más fácil de consultar. Lo que importa ahora es que, en lugar de muchos documentos, hay un solo documento y hay seis principios, por ejemplo, un principio que se llama de "Tecnología", el de "Evaluación", el de "Igualdad", etc..., hay principios y hay diez estándares. Antes había nueve, incluso la "Resolución de Problemas". Antes teníamos: Números, Álgebra, Geometría, Análisis de Datos, Medida, Resolución de Problemas, Conexiones, Comunicación, Razonamiento,..., había nueve. Ahora distinguen dos tipos de estándares: ESTÁNDARES DE CONTENIDO y ESTÁNDARES DE PROCESOS. Y la resolución de problemas aparece en los estándares de procesos, lo que tiene mucho sentido, y entonces la resolución de problemas aparece aquí, Razonamiento y Prueba (Demostración)..., ahora hay mucho más sobre pruebas (demostraciones), lo que faltaba en la edición anterior, Comunicación, Conexiones....., y hay un nuevo estandar que se llama "Representación", el uso de varios tipos de representaciones en Matemáticas. ¿Cuál es la idea?, Hay una idea estratégica de mostrar que el contenido es importante, pero los procesos también, más o menos igual. Habían pensado incluir un nuevo contenido, "Matemática Discreta", hubo mucha discusión y hasta el último momento se pensaba que habría seis estándares de contenido con el de Matemática Discreta, (un poco sobre grafos, combinatoria,...etc). Al final decidieron no incluir Matemática Discreta, sino hubiera habido un desequilibrio 6 contra 5 y, por motivos estratégicos, un poco políticos, decidieron poner 5/5, para mostrar que las normas de calidad, hay cinco sobre procesos y cinco sobre conte- nidos, y el mensaje es que, en los currículos que vamos a construir a partir de eso, hay que observar ese equilibrio. Septiembre 2001 • Iraila 2001 55 Tendencias actuales de la resolución de problemas
- 55. La conclusión deesta primera parte es que el tema de resolución de problemas en Matemáticas no es nuevo, incluso en la educación en el ámbito escolar ha aparecido hace 20- 30 años, dependiendo del país. Hubo países que esperaron hasta los años 90, antes de hablar de eso en los currículos y, ahora, parece que hay varios factores que estimulan la continua- ción de la popularidad de este tema. No solamente porque es popular, sino porque, gracias a la resolución de problemas, se piensa que se van a alcanzar muchos objetivos importantes para el siglo que viene mucho más fácilmente que sin resolución de problemas. A continuación, voy a mencionar las dificultades encontradas. He trabajado mucho en mi país, en mi provincia, Quebec. He trabajado para el gobierno durante muchos años, para el Ministerio de Educación y teníamos el problema de cómo implementar esas ideas. Sobre el papel está bien, es fácil hablar...., resolver problemas es bueno.... pero, el profesor, que no ha sido formado para eso tiene dificultades y no basta con dar órdenes al profesor: "ahora tú vas a cambiar todo... y tú vas a enseñar a resolver problemas"..., no es tan fácil y no hay cambio en educación si los profesores no hacen el cambio, es claro, solamente el profesor puede ser el instrumento para un cambio real. En mi Provincia, el Ministerio publicó en 1988 un pequeño libro para ayudar a los profeso- res, para explicar las ideas de la resolución de problemas, en términos muy sencillos, con ejemplos para facilitar el trabajo de la implementación. Asociaciones de profesores tenían congresos, organizaron muchos talleres, conferencias, publicaciones, artículos, etc., para popularizar el tema, para dar ideas a la gente y facilitar las cosas. Las universidades organizaron cursos, mejoraron la formación inicial de los docen- tes y su perfeccionamiento. Las editoriales intentaron mejorar un poco sus textos pero ellos no quieren cambiar las cosas rápidamente, porque no van a vender sus libros si el texto es demasiado avanzado respecto a la formación de los docentes,.. claro!.. Entonces hubo muchos esfuerzos durante 15/20 años y, realmente, hubo algún progreso, pero no tanto como se esperaba y, eso, nos preocupaba mucho: progresos lentos y limitados. La gente que recibía cursos de perfeccionamiento mejoraba un poco su enseñanza, poco a poco, los que no recibían los cursos no cambiaban su enseñanza, continuaban enseñando de la manera tradicional: las dificultades de cómo implementar esas buenas ideas como la reso- lución de problemas continuaban. Muchos de ustedes conocerán que hubo una encuesta internacional que se llamaba TIMSS, la tercera encuesta internacional sobre rendimiento esco- lar en Matemáticas y Ciencias. Creo que España participó..., Canadá no participó pero sí alguna de sus provincias y, en esta encuesta enorme, se intentaba ver lo que los alumnos aprenden en los diversos países, lo que los profesores dicen, es decir, la opinión de los profe- sores en los diferentes países sobre su formación, sobre las dificultades que encuentran, sobre los métodos que utilizan para enseñar, etc. y, también, había una evaluación de los currículos oficiales en muchos países para compararlos. Un resultado, que aparece en las conclusiones, es que, la mayoría de los profesores de la mayoría de los países, dicen que no se sienten capacitados en la resolución de problemas y que no están cómodos con ese tema. No saben muy bien como implementar esas ideas que circulan sobre la resolución de problemas. Esto es otra señal de que, aunque es una idea bonita, muy buena, es de difícil implementación en la práctica. Yo creo que estoy dando expli- caciones, no como crítica al profesorado, sino para intentar ver de que manera se podrían mejorar las cosas, porque hay que diagnosticar donde están las dificultades para intentar mejorar las cosas. Voy a explicar el que, a mi entender, y en opinión también de otros investigadores es el pri- mer factor de estas dificultades. El experto en resolución de problemas, Jeremy Kilpatrick, publicó un texto muy famoso donde él hablaba en inglés del "bang bangle", la moda de la SIGMA Nº 1956 Claude Gaulin
- 56. resolución de problemas,que la gente quería seguir la moda sin saber lo que significaba y que, mucha gente, decía que seguía la moda, pero hablaban de varias cosas, no sabían en que con- sistía la moda. Entonces, yo había dado una conferencia en Tenerife, en el 85 ó 86, y alguien preparó un resumen que fue publicado en la revista "Números". Voy a repetir algunas ideas que mencioné ya entonces, y vamos a ver algunas interpretaciones que se encontraban en América y en otros países sobre la resolución de problemas. Recuerden lo que dije antes...., que en el año 80 en América del Norte hubo un documento, en el que la primera recomen- dación era que la resolución de problemas debe ser el objetivo principal de la próxima década en la enseñanza de la matemática escolar. ¿Cómo era interpretado esto? Yo investigué ese tema en el 82-83 y había encontrado al menos seis interpretaciones, muy comunes. Por ejemplo, había gente que decía: Ah!,... sí! .., sí! , yo enseño Aritmética, Álgebra, yo doy la teoría y, al final del capítulo, hay algo que se llama pro- blemas. Entonces lo que quieren decir es que ahora vamos a dar más importancia a esa sec- ción al final del capítulo. Sección que contenía principalmente ejercicios, no problemas genuinos. Este fue el modo como el mensaje fue entendido por ciertas personas, ya que el mensaje no era claro y es fácil consultar los textos de la época y ver que, yo creo de una manera intencional, eran escritos de manera vaga y un poco ambigua, para que toda la gente se sintiera capaz de aplicarlos. Otros profesores, y había muchos, decían: sí, sí,.... yo entiendo....., citaban a Polya..... Entonces la idea es que ahora, cuando voy a enseñar, de vez en cuando, yo tendré que dar a mis alumnos problemas genuinos, yo utilizo muchos ejercicios...., demasiados..., yo voy a introducir algunos problemas de vez en cuando.. y eso es lo que significa dar más importancia a la resolución de problemas. Antes había muy pocos problemas y ahora habrá más. Es fácil verificar que había gente escribiendo artículos o cartas y explicando que eso era la interpretación de la recomendación. Otros, en Quebec había muchos, que decían.... sí.... sí, enfatizar la resolución de problemas ahora..., ahora significa que, al final, en lugar de dar problemas abstractos vamos a dar muchos más problemas reales, realistas, de la realidad de la vida de cada día. Y entendieron la recomendación en este sentido. Al final nos dice el NCTM, terminar [con] los problemas abstractos, muchos más de la vida cotidiana, entendieron la recomendación de esta manera y para ellos esto era lo esencial olvidando el resto. Toda esa gente tenía un objetivo común: "es que enseñar para la resolución de problemas significa que hay que enseñar la manera que nuestros alumnos, al final, sean capaces de resolver problemas, problemas genuinos, no importa que sean matemáticos o de la vida real o problemas del final del capítulo...., que son más o menos problemas verbales, en inglés word-problems, que son ejercicios muchas veces o problemas reales". Otras personas, que habían escuchado a investigadores o habían leído a Polya, interpretaron la misma recomendación de otra manera diciendo: "enfatizar la resolución de problemas en nuestra enseñanza significa ahora que vamos a enseñar estrategias de resolución de proble- mas, porque sin estrategias los alumnos no saben como resolver problemas, entonces, como hay varias estrategias, vamos a enseñarlas con muchos ejemplos. Eso era muy popular, hay libros enteros en el mercado que circulan ahora también, todos son libros donde el contenido es "Cómo aprender tal estrategia", tal otra, etc. y el énfasis está, casi completamente en este tema y, claro, que la persona que piensa así, piensa que es una manera evidente de mejorar la enseñanza de la Matemática y de aplicar la recomendación de enfatizar la resolución de problemas. Hay otros que, también, conocían el modelo de Polya. No sé si hay mucha gente que conoce el famoso modelo de Polya.... Cuatro etapas al enfrentarse a un problema: Septiembre 2001 • Iraila 2001 57 Tendencias actuales de la resolución de problemas
- 57. 1ª Etapa: Hayque entender el problema, hay que leer, leer.... y entenderlo. 2ª Etapa: Definir una estrategia, definir un plan de resolución.... Tiene mucho sentido. 3ª Etapa: Aplicar el plan. También tiene mucho sentido. 4ª Etapa: Revisar si todo está bien. Es más o menos la idea, hay variaciones..., todo es muy lógico. Polya en sus artículos en vídeos presentaba ese modelo diciendo a la gente: "es un modelo muy fácil, pueden apli- carlo". Hay gente, hay profesores, que interpretaron la recomendación de hacer más resolu- ción de problemas, como que "ahora vamos a enseñar el modelo de Polya a nuestros alum- nos, porque así, en lugar de no saber lo que hacer enfrente de un problema, tendrán un plan, un instrumento. Si siguen todo el plan todo irá bien"; pero esto no es verdad. La gente que pensaba así, interpretaban la recomendación "que hay que enseñar a los alumnos algo sobre el proceso de resolución de problemas", "lo que significa que hay que darles instrumentos para que sean mejores en la resolución de problemas". Pueden ser estrategias de resolución, se llaman también procesos heurísticos en el libro de Polya, o pueden ser modelos o pueden ser otras cosas. Había otra categoría de pedagogos, especialmente los más ambiciosos, que decían: "lo impor- tante para realmente enfatizar la resolución de problemas, no es resolver más problemas o aplicarlos en la vida cotidiana, lo importante es utilizar la resolución de problemas como el mejor vehículo para enseñar todo, enseñar a través de resolver problemas". Hay pedagogos que dicen que eso es la solución para enseñar mejor, que son capaces de hacerlo porque es difícil. Enseñar las Matemáticas a través de problemas, incluso la teoría, en lugar de exponer la teoría y dar ejercicios, partir de los problemas, y poco a poco, surge la teoría, cristalizar un poco la teoría, dar nuevos problemas para aplicar y consolidar. Es una perspectiva que tiene mucho sentido, pero es difícil de aplicar , y hay docentes que interpretaron la recomendación de esta manera. Es decir, cuando decía que hay una falta de consenso y una cierta confusión sobre lo que sig- nifica enfatizar la resolución de problemas, quiero decir que existen personas que piensan e interpretan de diferentes maneras. No es muy grave...., lo importante es mejorar las cosas pero, si un gobierno o una asociación quieren proponer un mensaje, difundirlo e implemen- tar esas ideas, se necesita un mínimo de coherencia y, en este caso, falta la coherencia. Este es el problema. Resumiendo, podemos apreciar que estoy distinguiendo entre: 1º Enseñar "PARA" la resolución de problemas 2º Enseñar "SOBRE" la resolución de problemas 3º Enseñar "A TRAVÉS" de la resolución de problemas Son tres perspectivas y, en realidad, las tres son importantes. En los dos primeros casos la reso- lución de problemas está considerada como un objetivo y, en el tercer caso, como vehículo para enseñar o desarrollar otras cosas. Mi opinión es que esta falta de coherencia es el primer motivo por el que hay dificultades de implementación de estas buenas ideas sobre la resolu- ción de problemas. Yo presento un segundo factor que, en mi opinión, explica porque es tan difícil tratar de mejo- rar las cosas. Este segundo factor es que hay una falta de visión sistémica de la resolución de problemas, o un énfasis exagerado de un aspecto particular. Por ejemplo, si se observan los tres apartados anteriores, en realidad, todos son importantes. Hay personas que dicen que para SIGMA Nº 1958 Claude Gaulin
- 58. mejorar, para implementarlas recomendaciones hay que hacer solo una de las cosas, el resto no importa. Es lo que llamo una insistencia exagerada en un aspecto. En realidad habría que hacer un poco de todo esto, enseñar un poco sobre estrategias o modelos, también hacer que los alumnos sean capaces de hacer más problemas reales o enseñar a través de resolver pro- blemas. Tener una visión sistémica o global para mí significa, tener en cuenta todo eso simultánea- mente... y es complicado porque, primero, hay que entender los detalles y hay que pensar cómo integrar todo eso... y cómo enseñar en la realidad teniendo todo eso en cuenta...., es complicado........ El tema de la resolución de problemas es complejo, tiene muchos aspectos y, aquí, pretendo señalar algunos más. El gran investigador Schoenfeld, que es uno de los que ha investigado mucho sobre la resolu- ción de problemas en Matemáticas en los años 80, había intentado aplicar las ideas de Polya y se encontró con obstáculos. Al final publicó mucho sobre lo que llamó aspectos metacog- nitivos. Su idea era la siguiente: para que un alumno aprenda a resolver problemas matemá- ticos, de una manera correcta, no es suficiente que resuelva más y más problemas, no es sufi- ciente conocer más y más estrategias. Tener estrategias es como un obrero que tiene una caja de instrumentos, por ejemplo, un carpintero que, cuando tiene que hacer un trabajo utiliza un instrumento u otro y, a veces, no sabe si utilizar uno u otro, no sabe si irá bien o no. Para una persona que resuelve problemas, conocer dos, tres,..... diez estrategias, es tener estra- tegias en una caja a su disposición. Frente a un nuevo problema puede utilizar tal estrategia, y si no funciona, probar con otra, como el carpintero. Y la persona que no conoce ninguna estrategia, tiene una caja vacía, con lo que no es fácil que llegue a resolver el problema; por el contrario, si tiene, si conoce estrategias, si tiene métodos de resolución de problemas, conoce el modelo, conoce varias cosas, entonces sabe algo de cómo enfrentarse a los pro- blemas y sabe que alternativas puede utilizar para resolver un problema. Schoenfeld, en sus investigaciones, descubrió que eso no es suficiente, incluso la persona que tiene una gran caja, con muchos instrumentos, muchas estrategias...., no es suficiente. Se necesitan otras cosas para ser un buen resolutor de problemas. La idea de Schoenfeld es que hay que tener, digamos, un control ejecutivo, hay que contro- lar la actividad de la resolución de problemas. Si se toma una estrategia, un instrumento de la caja, y se usa para intentar resolver un problema, hay que controlar lo que pasa y, en cierto momento, decir: basta!, no va bien con este instrumento y vamos a intentar utilizar otro. La decisión de tomar tal estrategia en lugar de tal otra, la decisión de continuar la investigación con tal estrategia en lugar de cambiarla, o la decisión de parar el trabajo y de cambiar de ruta para resolver todo esto es metacognitivo. Es una parte de lo que se llama metacognición, con- tiene una parte que sirve para controlar, para supervisar el trabajo y también para evaluar. Pero la metacognición también contiene otra cosa que son las "creencias". Las creencias influ- yen sobre la actividad de la resolución de problemas. Por ejemplo, una persona que tiene experiencia en la resolución de problemas, tiene que aprender que, a veces, en un problema se necesita mucho tiempo, que hay que parar y continuar otro día, o hay que esperar que durante la noche el cerebro trabaje un poco; se aprende que no hay que ser demasiado impul- sivo y hay que ser paciente; que, a veces, hay un camino para resolver un problema que parece muy bonito y que, al final, no funciona y hay que recomenzar en otra dirección. Entonces hay actitudes, creencias sobre esta actividad que hay que desarrollar y que van a ayudar a un buen resolutor de problemas. Schoenfeld explica en un artículo que su idea anterior, según Polya, de aprender estrategias, de aprender un modelo y aplicarlo no era suficiente. Ahora sabemos, porque se hicieron Septiembre 2001 • Iraila 2001 59 Tendencias actuales de la resolución de problemas
- 59. muchos más trabajosde investigación, que hay una componente metacognitiva muy impor- tante. Esto significa que, cuando enseñamos a nuestros alumnos, de vez en cuando, enfrente de la clase hay que simular (explicar) lo que pasa: Ah!.... sí! sí!..., hemos intentado ese método......., hum!... vamos a continuar o cambiar de método.....,¿qué piensan ustedes?, para que los alumnos puedan ver que es normal tomar ese tipo de decisiones y que, a veces, es normal también conservar su paciencia y todo eso La componente metacognitiva, entonces, hay que añadirla y, cuando digo una visión sistémica de la resolución de problemas, se debe incluir esto y, esta parte, es muy difícil. Una vez, dando yo cursos de resolución de problemas en mi universidad, un profesor me decía: muy bien...., está bien....... pero ahora en mi aula, ¿qué voy a hacer para asegurar que estarán bien cuidados esos aspectos?. Yo no tengo una solución mágica porque hay que tener en cuenta la metacognición y, al mismo tiempo, otras muchas cosas. Es como un director de orquesta que tiene que controlar varias cosas y no hay un algoritmo para eso. Es solamente después de ser consciente de la complejidad del proceso, de las diversas variables que hay que controlar un poco, cuando cada uno aprende su camino. Vayamos ahora a revisar otro aspecto interesante: los aspectos afectivos. Hay trabajos recientes de Goulding sobre la afectividad en la resolución de problemas. Son muy importantes la afectividad positiva y la negativa. La afectividad positiva, por ejemplo, cuando hemos resuelto un problema estamos muy contentos realmente......lo he conse- guido!...., estamos contentos y, a veces, durante el proceso tenemos algunos estados de excitación positiva, pero hay también una afinidad negativa, a veces, no funciona nada, no sabemos como continuar, parece que nunca vamos a encontrar una solución. O, a veces, tenemos una solución que, en el último momento, no va y hay (aparece) una afectividad negativa. Goulding ha desarrollado un modelo muy interesante para explicar todo eso y ver la relación entre la afectividad y el aspecto cognitivo y metacognitivo. Habla de representación de tipo afectivo. Es otro aspecto a añadir en la visión sistémica de la resolución de problemas: significa también tener en cuenta la afectividad, porque no es ver- dad que se pueda hablar de resolución de problemas sin tener en cuenta la afectividad. Si un alumno no tiene motivación no va a resolver un problema, no va a realizar esfuerzos,...., entonces, hay que saber cómo estimular la afectividad y cómo controlarle un poco, cómo comprender las consecuencias de varios tipos de emociones que se encuentran en la activi- dad de la resolución de problemas. Otro ejemplo, que mencionaré aquí, para tener una visión sistémica que también hay que tener en cuenta, es el caso de cuando resolvemos problemas verbales, un problema con una historia, con frases, que se refieren a un contexto, problemas de enunciados. En este caso hay una complicación añadida: la comprensión del texto y la creación de un modelo mental de lo que significa el enunciado, para poder tener una representación mental correcta de la solu- ción y del proceso de resolución. Y también existen trabajos para aprender sobre eso. Yo digo que muchas veces es lamentable, pero es la realidad: observé en mi provincia y en otros lugares que, muchas personas, muchos docentes, tienen una idea muy reducida de la resolución de problemas. Insisten en unos aspectos olvidando el resto y, eso, tiene por conse- cuencia que no hay un progreso notable porque se olvidan de aspectos esenciales. Tener una visión sistémica es esencial pero es muy difícil cómo dar una visión de este tipo a los profe- sores. Un tercer factor es la tendencia a tratar la resolución de problemas como un contenido a enseñar, y la dificultad de integrar la resolución de problemas con el resto de las Matemáticas o la creencia que los problemas deben venir después de la teoría. Lo que habitualmente SIGMA Nº 1960 Claude Gaulin
- 60. observamos es que,con mucha buena voluntad, hay profesores que quieren aplicar esas bue- nas ideas de la resolución de problemas, pero siguen pensando en resolución de problemas como un contenido. Hay Álgebra, hay Medida, hay Geometría, y hay Resolución de Pro- blemas, y a veces, van a enseñar a tener horas de trabajo sobre este tema. Horas separadas del resto, pero eso no ayuda porque el objetivo final es integrar la resolución de problemas con toda la Matemática que se enseña. No es fácil porque no es contenido sino que es un proceso. Y, ayudar a los alumnos para que sean mejores en resolución de problemas, no es enseñarles algo como enseñar un algoritmo, es ayudarles a desarrollar habilidades intelec- tuales, procesos de varios tipos, actitudes, etc. La creencia, que los problemas deben venir después de la teoría, proviene también de nues- tra concepción tradicional de la enseñanza. Tradicionalmente hacemos la teoría y luego la aplicamos y, al final del capítulo, hay los problemas o ejercicios para aplicar. Tenemos esa idea tradicional de un problema como la de un ejercicio que debe venir al final. Lo que no entendemos bien sin una formación o preparación es que es posible partir de un problema para abordar una nueva idea o una nueva teoría. Comenzar con un problema, o a veces utilizar un problema, mientras los alumnos están aprendiendo algo que no controlan bien. Un problema no sólo sirve para aplicarlo al final, puede servir para explorar una nueva idea, consolidar un problema, puede venir antes, durante o después de la "teoría". Tenemos esa dificultad, se debe eliminar esa idea de que pri- mero es la teoría y luego habrá problemas. Eso va bien con los ejercicios, porque un ejercicio tiene como papel ejercitarse, entonces, se aprende algo y luego se ejercita, es normal, pero un problema tiene objetivos mayores. Otra dificultad, - cuarto factor - que explica que no tengamos mucho éxito en la implemen- tación de la resolución de problemas es que hay personas que piensan hacerlo y plantean: yo quiero enseñar estrategias a mis alumnos. Está bien!; por ejemplo, una estrategia sería, ante el enunciado lingüístico de un problema, dibujar una figura o hacer una ilustración (boceto) de la situación, hacer una representación gráfica o un dibujo. Es una manera de ayudarme y puede ser que me ayudara a continuar, se llama una estrategia..., al hacer un dibujo de la situación representada en el problema. Hay personas que dicen: muy bien!, voy a enseñar esa estrategia, voy a tomar 3, 4 ó 5 pro- blemas que pueden usar esta estrategia y vamos a hacer una secuencia de problemas, todos con la misma estrategia. Hacen de una estrategia un contenido a enseñar a través de ejerci- cios; pero la experiencia muestra que no es así como se aprende mejor, sino que hay que aprender varias estrategias simultáneamente y, en un cierto momento, cuando los alumnos conocen un poco sobre el tema, se cristalizan las cosas con definiciones, con descripciones, etc..., lo mismo con el modelo. He llegado a ver personas que preparaban una ficha, una hoja con cuatro casillas, las cuatro etapas del modelo de Polya. Había una parte para el enunciado del problema, luego una parte de la hoja reservada para la primera etapa (fase del problema), para la segunda, tercera y cuarta. Los alumnos tenían la obligación de completar cada casilla y de seguir las cuatro eta- pas en este orden. No tenían la posibilidad de volver, de regresar a otra etapa anterior, etc. Esto es una exageración y, tratar el modelo como un contenido que se enseña como un algo- ritmo u otra cosa también lo es. Una dificultad muy importante - quinto factor - que nuestros docentes nos mencionan es la evaluación. Dicen: "estoy de acuerdo en enfatizar la resolución de problemas pero no sé cómo evaluar". Es un problema real y hay, al menos, dos tipos de evaluación. Primero, cuando enfatizamos en la resolución de problemas, estamos interesados en ver los progresos de cada Septiembre 2001 • Iraila 2001 61 Tendencias actuales de la resolución de problemas
- 61. alumno en elsentido que puedan resolver problemas y, en el sentido que conozcan más y más estrategias y que sean más y más capaces de hacer ciertas cosas. Por esto se necesitan méto- dos, instrumentos,... para observar a los alumnos y comprobar el progreso, a través de las semanas, el progreso de cada alumno. Esos instrumentos existen pero muchos docentes no los conocen. La segunda cuestión en la evaluación es que, si pretendemos que en la resolución de proble- mas no solamente sea importante la respuesta sino que también lo sean el proceso y el método, habrá que considerar esa perspectiva. Cuando vamos a dar notas al alumno que resuelve el problema, habrá que dar notas para el proceso, no sólo para la respuesta. Hay maneras de hacer eso...., hay varias maneras...., pero hay que practicar....., hay que apren- der...., pero hay profesores que nunca han aprendido. Esto significa que necesitan más forma- ción en este sentido. Hay que ser coherente. Enfatizar en la resolución de problemas significa poner más énfasis en el proceso, en el método de resolver y no solamente en el resultado..., en el producto. Para ser coherentes como pedagogos tenemos que evaluar de manera coherente, entonces, evaluar el proceso y no sólo el resultado. Esto es, en mi opinión, otra cosa que explica que haya problemas de implementación. Y mencionaré como sexto factor, la falta de formación de los docentes y la falta de recursos adecuados. Por ejemplo, a veces, recuerdo cuando empezamos a trabajar en este tema en el 88, de los textos que existían en el mercado, la mayoría eran tradicionales, se podía ver, al abrir un texto, que no había casi ningún problema, muy pocos....., casi todos eran ejercicios. Por tanto, con tales instrumentos es difícil...., el profesor tiene que construir su propio banco de problemas, porque no hay bastantes en el libro o hay que consultar otros textos. Estos son factores que explican las dificultades. Es decir, como conclusión de esta segunda parte: la resolución de problemas permanece importante y, en mi opinión, será cada vez importante en el nuevo siglo; pero hay dificulta- des que explican que los últimos veinte años no hayamos progresado mucho. La única manera, en mi opinión, es que hay que comenzar a trabajar en la formación de los docentes. Por ejemplo, yo soy director de varios programas y hemos decidido desarrollar cursos sobre resolución de problemas para profesores de primaria, de preescolar a 6º ó 7º grado. Hace siete años que funcionan y tenemos resultados muy interesantes. Hemos creado dos cursos para ellos y, en estos cursos, intentamos tener en cuenta todo lo que se necesita y, además, en esos cursos hay que actuar de manera que, al final, los docentes ten- gan una visión sistémica de la resolución de problemas: que sepan como evaluar, que sepan cómo construir un banco de problemas para tener más recursos y, también, que estén sensi- bilizados con los diferentes aspectos, para que los docentes entiendan bien el proceso de resolución de problemas, de manera intencionada. Pasamos el primer tercio del curso, que es mucho tiempo, pidiéndoles que resuelvan problemas como alumnos. Decidimos no discutir qué hacer en el aula; primero van a resolver problemas y van a discutir de su experiencia, y cada uno va a explicar su método de resolución. Vamos a hacerlo como en el aula, como luego ustedes van a hacerlo con los alumnos. Recoger varios métodos de resolver un mismo problema, comparar los métodos y otra vez hacer lo mismo, y otra vez, y constatar que el mismo método, la misma estrategia aparece de vez en cuando, hacer todo eso. Primero observar a personas que resuelven problemas; por ejemplo, ponemos a los profesores en grupos de dos: uno resuelve el problema y habla en voz alta de lo que piensa cuando lo está resolviendo. El otro observa y toma notas, después se cambia el rol y, al final, se discuten los procesos que cada uno ha seguido, de lo que el otro observó, etc. SIGMA Nº 1962 Claude Gaulin
- 62. Para que puedancomprender mejor lo que ocurre cuando se resuelven problemas y, después de resolver muchos problemas y de encontrar varias estrategias, poco a poco, empezamos a discutir que hacer con los alumnos, y de la dificultad para que tengan una visión sistémica. Después de esto, que tendrán que preparar actividades para tres semanas sobre lo que tienen que enseñar: van a comprobar su preparación, como explicar eso....., Señalamos una etapa de 3, 4 ó 5 semanas con lo que tienen que enseñar, y van a planificar todo de manera que integren la resolución de problemas en toda la etapa. Significa que tendrán que pensar en muchas cosas variadas: ¿Cuáles van a ser los problemas que van a introducir en la etapa para que esos problemas permitan el aprendizaje de los contenidos de la etapa? Por ejemplo, si enseñan fracciones, si están enseñando fracciones, deberán integrar la resolución de proble- mas en esta etapa, para que esos problemas contribuyan al aprendizaje de las fracciones. Van a seleccionar los problemas, van a analizar ceda uno de estos problemas para pensar que van a desarrollar en el alumno esos problemas, qué habilidad, qué conocimiento, para que puedan comprender bien cual es el papel de cada problema en la etapa. También van a tener en cuenta la evaluación de los alumnos... Como conclusión general, me gustaría destacar que la resolución de problemas es importante y hay que hacer mucho más en el futuro. Hay dificultades, soy consciente de que esas difi- cultades que he mencionado se encuentran en muchos países, y es fácil entender porque lo son, podemos prever esas dificultades. Para mejorar las cosas no basta publicar nuevos libros, es importante ayudar a los docentes de diferentes maneras y, las asociaciones y grupos de profesores que organizan congresos como éste, tienen un papel importante para ayudar al proceso, para esto y para otras cosas y, entonces, hay que facilitar las cosas a los docentes, a través de talleres, cursos, materiales.. y hay que proponerles no sólo ideas y problemas...., hay que proponerles estrategias para implementar eso. Se puede empezar de manera muy modesta, utilizar un problema de vez en cuando en el aula, pero utilizarlo de manera máxima y, por ejemplo, provocar muchas soluciones, provo- car la discusión de los alumnos sobre las soluciones; hacerlo una vez por semana o cada dos semanas como primer paso y, cuando estén acostumbrados, podrán pensar en hacer mucho más, significa integrar la resolución de problemas en muchos lugares. La cuestión es ponerse en el camino ... Hay más cosas, pero el tiempo se acaba. Muchas gracias. Septiembre 2001 • Iraila 2001 63 Tendencias actuales de la resolución de problemas
- 63. Septiembre 2001 •Iraila 2001 65 Geometría para ciudadanos tridimensionales GEOMETRIA PARA CIUDADANOS TRIDIMENSIONALES D. Claudi ALSINA (*) Esta es la conferencia impartida por el Profesor D. Claudi Alsina en Bilbao el día 16 de Diciembre de 2.000. El texto que aquí se presenta es una transcripción de dicha conferencia y se ha realizado en base a la grabación realizada por una cinta de audio. La conferencia tiene cuatro apartados. I. Enrique en Planilandia II. El Síndrome de la Planitud III. La Cultura Espacial IV. Tres Dimensiones o más I. ENRIQUE EN PLANILANDIA Esta es la triste historia de Enrique, un niño tridimensional y hermoso, que habiendo nacido en el planeta Tierra, llegó a ser un habitante emblemático de Planilandia. Enrique vivió unos primeros años de vida, donde progresivamente vigilado y querido por sus padres, fue descubriendo un mundo maravilloso que iba a ser el suyo. Enrique fue siempre muy vital, primero descubriendo sus manos, sus brazos, sus pies, sus pier- nas, su cuerpo, y luego adquiriendo una agilidad creciente. Gracias a ella, tras pertinaz entreno Enrique, logró una enorme facilidad de gateo, con lo cual logró realizar enormes reco- rridos por su casa, descubriendo lugares insólitos bajo ciertos muebles y escondites que ponían a prueba las capacidades guturales de sus papás. La primera ley de la naturaleza que Enrique descubrió empíricamente fue que la velocidad de gateo era directamente proporcional a los choques dolorosos de su cabeza contra afilados bor- des de muebles, sintiéndose más seguro con su chichonera en la frente; pronto Enrique pasó de arrastrarse a intentar sus primeras proezas en 3D, primero agarrándose a barrotes de las camas propias de la época, luego ayudado por sus papás y abuelitos, y finalmente, con mucho tesón y no pocos desplomes empezó a andar de forma precipitada pero segura. Aparecieron entonces nuevos escondites: las escaleras, escalofriantes ventanas,...Lo que obligó a que sus papás dejaran de ser acompañantes enfermeros para convertirse en guardias de seguridad. Enrique, al andar ya con confianza, empezó a descubrir todo tipo de direcciones: arriba, abajo, en frente, detrás; y a experimentar todo tipo de transformaciones: abrir, cerrar, bailar, mirarse en el espejo, y acudiendo todos los días a un estupendo jardín de infancia aún tuvo ocasión de acumular más y más experiencias en éste mundo encantador y tridimensional que lo rodeaba. (*) Profesor de Matemáticas de la Politécnica de Barcelona.
- 64. Pero el díaque Enrique entró en su escuela primaria las cosas empezaron a cambiar dramáti- camente: los divertidos rincones pasaron a ser mesas y sillas, los juegos pasaron a ser lápices y papeles y todos sus éxitos de movimiento pasaron a ser largas horas de pupitre obligatorio. Antes, aquellos bonitos aplausos recibidos tras sus gracias tridimensionales eran acompaña- das de elogios: ¡Que bien que anda mi niño!, ¡Muévete, muévete¡. Pero ahora surgieron terri- bles reprimendas: ¡No se levante! ¡Es que no puede estarse quieto! ¡Este niño es un revoltoso!. Fue así como Enrique fue descubriendo que la escuela estaba dedicada a desarrollar una extraña bidimensionalidad bicolor : escribir en negro en hojas blancas y escribir en blanco sobre pizarras negras, moverse era ahora una asignatura de educación física evaluable y cro- nometrada; por si esto fuera poco, al llegar a casa la T.V. y el ordenador le ofrecían imágenes dinámicas pero absolutamente metidas en pantallas planas. El día que a Enrique le explicaron que haría geometría fue un gran momento, Geometría era la parte de las Matemáticas que estudiaba las figuras y el espacio. Esta definición le creó expectativas, pero poco a poco fue viendo que el espacio prometido era plano, Enrique no se dejaba llevar por el pesimismo, y a menudo preguntaba a cada maestra: -¿Y el espacio?, ¿cuándo estudiaremos el espacio? Pregunta que normalmente tenía la siguiente respuesta: - ¡Uf el espacio, ... no creo que tengamos tiempo!. A lo que Enrique replicaba: -" Pero señorita, yo no pregunto por el tiempo sino por la tercera dimensión". Y el diálogo acababa siempre con la famosa frase de la maestra: -" Esto lo verán cuando sean mayores, primero deben conocer el plano" A lo que Enrique añadía: -"¿ Acaso la tercera dimensión tiene que ver con la sexualidad?" Pregunta que nunca gustó a las señoritas y a la que replicaban con rotundidad: -¡No!., ¡El espacio no tiene que ver con el sexo!. Y esto a Enrique le creó enormes confusiones mentales, pues durante muchos años creyó que el sexo era algo del plano. El paso de primaria a secundaria, no supuso para Enrique ningún progreso espacial sino al contrario, pues cada vez en lugar de ir profundizando iban aplanándose más y más, pero un día hacia finales de secundaria ocurrió algo prometedor, el profesor anunció a bombo y pla- tillo: ¡Hoy trabajaremos el espacio!. Y Enrique no pudo controlarse y se levantó bailando en el aula, lo que le acarreó una seria advertencia, fue entonces cuando apareció la siguiente decepción de Enrique: El espacio - apunten bien - es R3 , o sea, el producto cartesiano ternario de la recta real consigo misma. No pudo reprimirse. Enrique gritó. "¡No puede ser!. "El espacio es esto, señalando a la clase, el espacio es la escuela, y las calles y las montañas y el cielo." -"Venga, Enrique," le susurró su compañero de pupitre," tú apunta lo de R3 y no discutas." -"Compórtese Enrique"- inquirió el profesor-" usted se refiere al espacio vulgar pero aquí conocerán el verdadero espacio matemático" SIGMA Nº 1966 Claudi Alsina
- 65. A Enrique lecayeron diversas lágrimas, sus espacios, sus bellos parajes terrenales, nada tenían que ver con aquellos garabatos ordenados : paréntesis , X, Y, Z, paréntesis. Arriesgándo mucho Enrique preguntó de nuevo: -"¿Profesor no exploraremos muchas cosas del espacio?" -"Claro que sí Enrique, mañana calcularemos el producto escalar entre Vectores" Y el tiempo pasó, y Enrique como buen estudiante se concentró obediente en el cálculo para vectores siempre situados en la libreta o en la pizarra , nunca los vectores R3 estaban fuera de R2 , y fue brillante y decidió estudiar matemáticas con la esperanza de que ahora sí conocería de verdad el espacio. Matriculado en cuantos cursos de geometría pudo elegir, Enrique fue descubriendo que R3 es una caso particular de Rn . Que R2 y R3 eran lugares patológicos y que R12 era de lo más nor- mal y así de curso en curso , por sus libretas y sus pizarras desfilaron tantos espacios como catedráticos. Enrique se convirtió en un consumidor de espacios afines, euclideos, proyectivos, topológicos y descubrió que en aquella Facultad, salvo el laboratorio de computación con pantallas pla- nas , no tenían ningún otro laboratorio, y pudo ver como el catedrático de topología no sabía realizar el lazo de sus zapatos, y el de proyectiva no sabía orientarse con un mapa, quizás fue esta la razón, por la cual, según cuentas las crónicas de aquel lugar: el día que Enrique se gra- duó, y le entregaron su diploma plano, Enrique salió del lugar gateando con manos y rodillas como cuando era niño, parece ser que nunca más dejó de gatear en sus horas libres, y sólo se puso de pie para impartir sus clases de matemáticas sobre R3 . II. El Síndrome de la Planitud El llamado síndrome de la planitud es epidémico, ha ido creciendo. Guttemberg y otras per- sonas han contribuido a que este síndrome tenga enormes efectos en la totalidad de la pobla- ción. El Carácter epidémico y exponencial reciente del fenómeno exige seguramente alguna actuación. ¿Tienen Uds. El síndrome de la Planitud?. Afortunadamente hay un test. Asignen verdad o falso a las siguientes afirmaciones: a) No pueden explicar nada del espacio si no saben todo lo del plano. b) Las figuras más interesantes del espacio, son los poliedros. c) Explicando en Rn , ya enseño, a la vez, el caso n=2 y n=3. d) Hay más pintores que escultores, luego el plano es más creativo. e) Si a mí me enseñaron el plano, por algo será. f) Qué figuras espaciales sabría montar con el desarrollo plano de un cubo en forma de cruz. Septiembre 2001 • Iraila 2001 67 Geometría para ciudadanos tridimensionales
- 66. El test lopueden realizar mentalmente, si asignaron cinco veces verdad, son irrecuperables, si asignaron cinco veces falso: no hay problema. En situaciones intermedias se puede intentar salir del apuro. Por lo que afecta al test propuesto es sintomático que la mayoría de los pro- fesores ( respecto a el apartado f) , monta un cubo, sin embargo se puede montar una silla para vacaciones, la mayoría de las personas así lo hace. ¿Qué hacer con las personas que tienen este sídrome?. La mayoría de las personas que tienen este síndrome, se refugian en él, y llegan a escoger oficios que les permiten estar utilizando el plano: periodistas, escritores, etc.. Hay personas que necesitan un periódico o algo similar que les reconforte en el síndrome de la Planitud para esconderse, y optan por mantener su tridimensionalidad en un sentido total- mente estático, afortunadamente la técnica progresa, y para ayudarles surge la ortopedia espa- cial, por ejemplo: abanicos para no moverse y poderse abanicar. Sin perder la verticalidad , ..... La cuestión es mantener la verticalidad. "De acuerdo con los datos internacionales hay buenas oportunidades de aprendizaje en arit- mética, álgebra, y en medida, pero no en geometría, estadística y probabilidades". Además en geometría parece no haber relación entre oportunidad de aprender y resultados alcanzados, parece que en muchos países están confundidos sobre los contenidos y métodos de enseñanza en geometría, por tanto el problema es internacional. "En un estudio realizado este año 2.000, se preguntaba a los alumnos que estimaran el volu- men de una piscina olímpica, el margen permitido de error entre: 1.000 y 7500 m3 . Entre las respuestas obtenidas el 18% Bien. Resultados frecuentes: 6.000cm3, 100 litros , (a x b)3 , y · · R3 ¡Todo Vale!. Estimar el volumen del cuerpo de un persona. Entre las respuestas obtenidas el 17% Bien. Resultados frecuentes : p.h. Si se duplican las aristas de un cubo. ¿Qué le ocurre al volumen?. No entienden la pregunta, algunos piensan en un número doble de aristas. ¿Qué se puede hacer ante este tema?. Veamos ahora las 23 ( 8 ) principios para intentar dar una cultura espacial a los estudiantes. SIGMA Nº 1968 Claudi Alsina 4 3 D. Claudi Alsina y Dna Margarita Miñón al inicio de la Conferencia.
- 67. III. La CulturaEspacial. Algunos Principios: ( Nota : Cada uno de los principios aquí enunciados están suficientemente ejemplificados, sin embargo no es fácil reproducir en un formato escrito los ejemplos propuestos.) 1) El pensamiento visual en tres dimensiones, clave en la cultura espacial, debe ser esti- mulado en todos los niveles. 2) El sentido común espacial debe ser cultivado, ya que no es un capacidad innata. 3) La cultura espacial requiere romper la cadena 1,2; 1,2,3, . Y superar dificultades téc- nicas para poder conocer el espacio de forma adecuada en cada nivel. 4) La cultura espacial, debe basarse en la realidad, explorando sus posibilidades y resol- viendo problemas reales. 5) La cultura espacial se enriquece con el uso de diversas lenguas, tecnologías y mode- los. 6) La cultura espacial debe favorecer conexiones entre aspectos ambientales, históricos, artísticos y fomentando la interdisciplinidad. 7) La cultura espacial permite promover el espíritu de la investigación en las clases de matemáticas. 8) La cultura espacial debe proveer a los futuros ciudadanos, instrumentos para desa- rrollar las habilidades espaciales y la creatividad. IV. Tres dimensiones o más (Reflexión final): Será del espacio y un poco más allá. El espacio forma parte de nuestro objetivo como docentes, pero en el espacio hay otros temas, para mí esta es la última conferencia del año 2.000. Me gustaría compartir un men- saje que he llevado a muchos lugares. Es un mensaje, no solo del espacio, sino de nuestra propia profesión. Son unas palabras de un profesor recientemente jubilado y decía: “Hay algo que nunca explicamos a los futuros profesores, dice: explica- mos trucos, explicaciones didácticas específicas de todo tipo, estamos con- tando con posibilidades formidables para enseñar mejor, y no les contamos otras cosas como las siguientes: Ustedes son figuras importantes en la vida de los chicos y las chicas, ustedes son figuras que serán recordadas, la gente se acor- dará esencialmente de ustedes, muchí- simo más de lo que ustedes han ense- ñado. Los chicos y chicas son a veces crueles y difíciles, ustedes quieren a la gente y es el amor a ellos el que las mueve, pero no es el amor de sus padres, es otro tipo de amor, poca gente apreciará el tiempo y los esfuerzos que Septiembre 2001 • Iraila 2001 69 Geometría para ciudadanos tridimensionales Claudi Alsina en plena conferencia
- 68. dediquen a éstaprofesión cansada y peligrosa. Ustedes han de cuidar también su salud física y mental, enseñar no es producir una reacción química, sino que es como crear un pintura, plantar un jardín o escribir una carta. Los avances más significativos de la humanidad han sido el resultado del trabajo de los maestros, enseñar es un auto de fe en la promesa del futuro, enseñar es una manera de vivir y ustedes son modelos y agentes del cambio”; y creo que estas palabras son muy bonitas. Por encima de los temas, somos - los enseñantes - modelos de cambio, esto nos abre la gran dimensión de nuestro oficio y realmente el tema era dimensión 3, pero sin embargo estamos en la dimensión 6, éste es el gran secreto de la conferencia. Señores y señoras, el espacio está muy bien, háganlo por favor, lleven objetos, hagan vivir en directo la dimensión 3, pero por encima de todo, deben darse cuenta de que el problema será siempre la dimensión 6. El largo, ancho y alto, no es suficiente. Somos personas que debemos acudir a clase con tres dimensiones más: la confianza en la educación, el interés por los chi- cos y chicas, la pasión por las matemáticas. El resultado final es que el futuro del siglo XXI se edifica sobre la educación; el resultado de estas seis componentes es un vector, y el vector se llama Fuerza del cariño. SIGMA Nº 1970 Claudi Alsina
- 69.
- 70. Septiembre 2001 •Iraila 2001 73 El mundo de las cajas EL MUNDO DE LAS CAJAS Dna . Inés Sanz Lerma (*) Analizo la idea de contexto geométrico siguiendo a Hans Freudenthal y propongo apoyar en ella una propuesta didáctica para Educación Primaria, diferenciada por ciclos, tomando como universo de referencia el mundo de las cajas. Se presta especial atención a la motivación y a la representación manipulativa, verbal y gráfica de los conceptos espaciales y de medida que se trabajan. Dedico este trabajo a la memoria de Hans Freudenthal, a quien sólo tuve ocasión de escuchar una vez en las III Jornadas de Enseñanza-Aprendizaje de las Matemáticas (Zaragoza, 1983), pero cuyos trabajos han constituido para mí una fuente inagotable de ideas para la Educación Matemática. ¿Qué es un contexto geométrico? Voy a empezar recogiendo las opiniones de Hans Freudenthal sobre lo que es un contexto geo- métrico, tal como aparecen publicadas en el libro Didactical Phenomenology of Mathematical Structures (Freudenthal, 1983) ya que serán la base teórica del modelo didáctico que voy a proponer para Educación Primaria. Freudenthal se propone analizar qué es eso que Piaget llama "la representación del espacio en el niño" (Freudenthal, 1983, Capítulo 8) y afirma que, cualquiera que sea el concepto que los adultos actuales tengamos de espacio, en los niños esa idea no tiene influencia en la constitu- ción de los objetos mentales geométricos habituales. Antes de llegar al espacio o espacios como objetos mentales hay que manejar los objetos mentales que entendemos como objetos geométricos. Como tales objetos geométricos serán colocados posteriormente en un espacio, pero como objetos mentales están ante todo situados en un contexto, el llamado contexto geo- métrico. Reclama el contexto original en el que se constituyó la geometría: el de la medida de la tierra y los usos prácticos. No quiere entrar a discutir lo que pueda ser el objeto mental geo- métrico pero indica que es algo ligado a la representación mental o, más habitualmente, a la gráfico-mental. Estos objetos mentales geométricos son de largo alcance en el proceso de for- mación de conceptos geométricos y hasta puede decirse que no se puede construir la geome- tría sin ellos, lo cual está relacionado con que las imágenes y la imaginación son más eficien- tes representando figuras que números. Por ejemplo, cualquier ejemplar dibujado o imaginado de triángulo es un buen paradigma de triángulo, con todas sus propiedades. Según Freudenthal la educación geométrica comienza muy temprano debido sin duda a que el contexto geométrico resulta cómodo y placentero. Primero se da la rectiliniaridad, ejem- plificada en el entorno natural en la postura erguida, los miembros extendidos, los troncos de los árboles, el caminar recto como camino más corto, y los múltiples instrumentos y acciones (palos, bordes, cortes, ...). (*) Profesrora del Departamento de Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias Experimentales. Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibersitatea
- 71. La planitud esaun más frecuente y está sugerida fuertemente por los suelos y pavimentos, paredes, mesas, cajas, ... Junto a ellas aparece el paralelismo (bordes de objetos, carreteras, puertas, filas de casas, ...) y los ángulos rectos de casas, habitaciones y objetos. En el entorno natural también se comienza a adquirir la simetría especular, la simetría poligonal y la sime- tría axial. Las secciones de árboles, el sol y la luna llena, ... sugieren círculos y las pelotas y otros objetos sugieren esferas y hasta cilindros y conos. Finalmente destaca como caso impor- tante la congruencia y similaridad sugerida especialmente a los niños por los juguetes que imi- tan el mundo de los adultos. Según estas ideas de Freudenthal podemos concluir que el contexto geométrico designa un mundo de objetos y acciones, accesible a la experiencia de las personas, en el que destacan las características geométricas euclídeas para los niveles de Educación Primaria. Sin forzar este planteamiento, estimo que se puede interpretar el contexto geométrico como perteneciente al mundo de la vida corriente, por ejemplo si elegimos dar un paseo por el barrio para estudiar la dirección y sentido de las calles o ángulos de cruce, o a un mundo más simplificado que haga destacar estas características geométricas, como el mundo de las cajas o incluso los cuerpos geométricos o un geoplano. En los niveles de preescolar el mundo del juego será muy relevante pero estimo que en los niveles de Educación Primaria nos ocupamos de observar y analizar el mundo natural y social que nos rodea, y ahí podemos encontrar un sinfín de contextos geométricos. Por mi parte estoy también dispuesta a incluir como contex- tos geométricos propios de la enseñanza escolar los correspondientes a materiales sofisticados que permiten acciones con ellos: espejos, varillas, construcciones, ... En todos estos mundos se pueden construir esos objetos mentales geométricos de que nos habla Freudenthal y tienen la ventaja de que eliminan gran parte del ruido (información no geométrica) que se encuen- tra en el mundo natural y permiten construcciones más sistemáticas que pueden ser conve- nientes a medida que avanza la instrucción escolar. Por las ideas que Freudenthal expone en otros lugares, entiendo que esos mundos no se explo- ran solos sino en compañía de profesores y otros alumnos, utilizando todas las capacidades de acción y expresión. Esos mundos aparecen como externos a la persona pero hay que tener en cuenta que lo dado son las cosas no las relaciones entre ellas y cada persona elabora a par- tir de ellas los objetos mentales geométricos bajo la influencia de sus capacidades, expectati- vas, etc. En ese proceso se elaboran significados compartidos que tienden a la construcción de los conceptos geométricos de la cultura escolar. Quiero hacer dos aclaraciones. La primera respecto a lo que es construir conocimiento geo- métrico, matemático o de otro tipo, algo que está omnipresente en las propuestas curriculares y que tiene interpretaciones muy variadas. La noción de construcción de conocimiento suele aparecer ligada a lo que entendemos por significado de algo (concepto, problema, actividad, ...) y puede analizarse desde un punto de vista personal o institucional, como hace Godino (Godino, 2000). Una pequeña discusión sobre el tema de construcción del conocimiento puede verse en Giménez (Giménez, J. 2000). Mi propia posición está próxima a las teorías que propugnan la construcción cultural de los conocimientos según las hipótesis de Vigotsky. Una exposición detallada de un modelo en esta línea es la que da Lerman (Lerman, 1996). La segunda aclaración es relativa a la noción de contexto, que en este trabajo se ceñirá a los con- textos geométricos tal como los entiende Freudenthal, con la posible extensión a contextos geométricos intraescolares. No entraremos en las múltiples interpretaciones que de contexto pueden darse, aún ciñéndonos al aprendizaje de matemáticas (Gómez Chacón, I.M., 1998), ni en la problemática que engendra la transferencia de significado de situaciones extraescola- res a la construcción de significado en la actividad matemática escolar (ver por ejemplo Meira, L. 2000). SIGMA Nº 1974 Inés Sanz Lerma
- 72. Para terminar esteapartado diremos que el contexto de la geometría euclídea es, según Freudenthal, "la geometría de los cuerpos rígidos, reproducibles congruentemente y similar- mente". Como ejemplo de contexto propone el mundo de las cajas, reduciendo el significado del tér- mino caja a objetos cuya estructura tiene ocho vértices y doce aristas y sus caras son rectán- gulos. Indica como las variaciones de longitud permiten generar contextos variados de con- gruencia y similaridad (a diferencia de cubos o esferas que todos son similares entre sí). Freudenthal se limita a hacer un análisis estrictamente matemático de las posibilidades de deformación de un rectángulo. A partir de este punto voy a elaborar una propuesta didáctica, en parte interdisciplinar, basada en el mundo de las cajas, desglosada en los tres niveles de Educación Primaria y siguiendo el planteamiento que he realizado con los alumnos de Didáctica de la Matemática este curso. Preparación de la unidad didáctica por los maestros. Se trata de organizar los conceptos que uno tiene sobre el tema y decidir cuál es la estructura más adecuada en base al nivel de desarrollo evolutivo y a los conocimientos previos de los alumnos. Hay que secuenciar actividades, temporalizar y decidir qué material vamos a usar, tratando de recubrir los procedimientos de obtención de datos, elaboración, presentación de resultados y evaluación. Todo esto no garantiza una buena enseñanza-aprendizaje, pero sin una buena preparación es seguro que irá mal, así que estimo que el aspecto técnico de pre- paración de las clases debe ser un esfuerzo continuo del profesor de cualquier nivel. Yo soy muy partidaria de usar libros como base de la enseñanza, además de calculadoras, ordena- dores y todo tipo de material, pues es simplemente imposible que cada maestro prepare y diseñe cada unidad didáctica que, como mínimo, sería tarea de todo un equipo en cada cen- tro. Los libros nos ofrecen propuestas de expertos, públicas y probadas en la tradición de ense- ñanza de muchos centros; aprender a estudiar en libros es para mi un objetivo general de la Educación Primaria, base de la autonomía de una persona, y el amor a los libros debe irse inculcando a medida que se desarrollan las capacidades lectoras. Pero un maestro puede querer introducir variantes en una propuesta o desarrollar algún pro- yecto especial y su capacidad profesional le debe proporcionar los recursos para ello. Por eso voy a presentar en primer lugar cómo se planificó el tema en mi clase de Didáctica de la Matemática. Acudí a clase con una bolsa de cartón, llena de objetos que no se veían. Ante la primera pre- gunta ¿qué es una caja? los alumnos de Magisterio contestaron de forma casi unánime que es un objeto de forma de paralepípedo que podía estar hecho de cartón, madera o metal. La materia o el color no parecía relevante, pero sí la forma. Ante el objeto que había encima de la mesa, de forma ostensiblemente paralepipédica indicaron que eso era una bolsa pero no una caja, por lo que acordaron "que tener una tapa" parecía una característica esencial. Además añadieron que tenía que tener un "hueco", no valía un paralepípedo macizo. Finalmente añadieron como característica común a todas las cajas "que servían para guardar cosas". El paso siguiente fue sacar de la bolsa varios objetos de cartón, de metal, de madera y de plás- tico del tipo de los representados en la figura 1, todos ellos huecos, con tapa y que servían para guardar cosas. Septiembre 2001 • Iraila 2001 75 El mundo de las cajas
- 73. Figura 1.- Objetos. Inmediatamenteacordaron que a), b) y f) eran cajas, pero también c) a pesar de tener forma cilíndrica, pues había muchas cajas de esa forma, como las de caramelos o bombones. En cambio d) era un bote y e) una botella. Decidimos hacer unas listas de palabras que designa- ran objetos relacionados con cajas y obtuvimos lo que llamamos la familia de las cajas. Comentamos cómo el concepto de caja era una clase difusa, como muchos de los conceptos naturales, a diferencia de los conceptos matemáticos, ya que si decimos paralepípedo quedan delimitadas perfectamente las figuras geométricas que pertenecen a esa clase y cuáles no, cosa que no ocurre con el concepto caja. Nos propusimos completar individualmente la TABLA I y hacer una red conceptual con todos los términos que incluyéramos en ella. FAMILIA de las cajas. TABLA I GRUPO PARIENTES BASE en 1er grado en 2º grado remotos o metafóricos caja arca armario casa cajita arcón bote TV cajetilla maleta estuche banco o caja de ahorro cajón baul contenedor cajero automático cajonera cápsula – libro – ataud – – SIGMA Nº 1976 Inés Sanz Lerma a) b) f) e) d) c)
- 74. Finalmente una consultaal diccionario de la Real Academia de la Lengua sirvió para que todos aceptáramos la siguiente definición: CAJA: Recipiente de tamaño y forma variables, que cubierto con una tapa suelta o unida a la parte principal sirve para guardar o transportar en él alguna cosa. Esta definición justificaba bien el colocar como parientes de primer grado las maletas y simi- lares y eliminaba otros objetos, como las cazuelas, cuyo uso básico no es guardar o transpor- tar. Los botes parecían constituir un dominio especializado por su forma y se situaron más ale- jados, aunque quedó claro que la definición no acotaba la forma y era más una cuestión de uso. También se eliminaron las botellas y otros recipientes especializados en guardar o trans- portar líquidos. Esta revisión nos sirvió para investigar los personajes que habitaban en el mundo de las cajas y así tener recursos ante la posible pregunta de los niños ¿y ésto es una caja?. Además mos- traba la necesidad de decidir qué tipo de cajas íbamos a utilizar en nuestra propuesta didác- tica con el fin de crear un contexto geométrico preciso. Acordamos que para la propuesta que íbamos a elaborar serían cajas de forma ortoédrica, de cartón principalmente. Guiados por las etapas de desarrollo evolutivo y por el modelo de Van Hiele de aprendizaje de la Geometría propondríamos para Primer Ciclo actividades de observación y manipulación así como de expresión verbal y de dibujo libre, a fin de que los niños fueran reconociendo la forma geométrica de ortoedro, común a todas las cajas con que trabajamos. Podía comenzarse la fase de análisis de los elementos constituyentes de caja (exterior, interior, forma de las caras, cuántas tiene, ...). Para Segundo Ciclo se potenciarían los aspectos operativos (construcción de cajas con cartulina o cartón) además de seguir desarrollando la fase de análisis (formas geo- métricas de las caras, comparación entre cajas, ...). Para Tercer Ciclo se daría prioridad a la medida tanto de áreas como a la distinción volumen-capacidad de una caja. También podría iniciarse la estimación de volúmenes. Como motivación se propondría un cuento para todos los niveles. Se recomendó visitar la Biblioteca para consultar libros de Matemáticas de los diferentes cursos además de libros del profesor o guías didácticas y tratar de encontrar algún cuento que hiciese referencia al mundo de las cajas. Las propuestas didácticas que siguen han sido en parte sugeridas por el trabajo con los alum- nos, pero tienen otro enfoque. Ellos trataron en primer lugar de contentar al profesor, inter- pretando lo que se les pedía en base a sus recursos como aprendices de maestros, y siguieron un esquema formal de diseño de una programación, indicando objetivos y contenidos con- ceptuales, procedimentales y actitudinales, además de una propuesta de evaluación, tal como sugieren los materiales curriculares. Yo me voy a centrar en una secuencia didáctica de acti- vidades posibles. Una dificultad que hallaron los alumnos de Magisterio, que yo tampoco he resuelto, ha sido la de inventar un buen cuento que conecte con las actividades propuestas. Tampoco ha sido fácil hallar cuentos sobre "cajas". Propuesta didáctica para Primer Ciclo. Los regalos de París Aquel domingo mamá volvía de París, de una feria de muestras sobre objetos de decoración y artesanía. Su marido y sus dos niños la esperaban impacientes. Cuando llegó traía una gran bolsa de lona además de su maleta. Al abrirla vieron que contenía una caja de bombones y otras seis cajas de diferentes tamaños, forradas de papeles de colores. Septiembre 2001 • Iraila 2001 77 El mundo de las cajas
- 75. - La cajade bombones será para el que acierte, al menos, cual es uno de sus regalos, dijo la mamá. Todos empezaron a decir: - Un jarrón de cristal. - Un cuadro. - Una estatua de la torre Eiffel. Pero la madre dijo que no habían acertado, que tenían que pensar en lo que ellos querían tener. Así que la caja de bombones se la comieron entre todos después de abrir los regalos. Los regalos eran una prenda de ropa para cada uno, discos de música para el padre, un juego de pelotas de tenis para la hija y un juego de ordenador para el niño. Todos agradecieron a la madre el trabajo que se había tomado para buscar esos regalos especiales. 1ª actividad. - Lectura del cuento. Comentarios sobre las contestaciones que dieron los hijos y por qué. Cuántas cajas trajo en total y por qué. Hacer un dibujo libre de la bolsa de regalos y de las cajas. 2ª actividad. - La maestra presentará varias cajas y entre todos comentarán de qué material están hechas y que cosas podríamos guardar en ellas. Luego observarán una a una las cajas, cogiéndolas y manipulándolas, para distinguir: la tapa, el interior y el exterior. Separar las cajas de forma típica con caras planas, de las que tienen otra forma. Dibujarlas siguiendo un modelo grá- fico. Cajas típicas Otras cajas - Manipular individualmente las cajas típicas y contar cuantas caras vértices (picos) y aristas (bordes) tienen. Comprobar que todas tienen igual: 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. - Sacar el cubo de la caja de cuerpos geométricos, comparar su forma con la de las cajas y escribir la frase: "Muchas cajas se parecen al cubo pero sus caras tienen distintos tamaños". 3ª actividad. - Cada niño comenta cuál es la caja mayor que han visto y cuál es la más pequeña. Cómo se llama una caja pequeña, una caja de cigarrillos y una caja grande. SIGMA Nº 1978 Inés Sanz Lerma
- 76. Escribir y dibujaruna familia de cajas: caja – cajita – cajetilla – cajón Preguntar si han visto en su casa una cajonera y aclarar el significado de este término. - Hacer torres, puentes, etc. utilizando cajas, cajitas y cajetillas y comentar los resultados. - Rellenar una caja con cajetillas y luego con pelotas. Comentar el resultado en cuanto a cómo rellenar un espacio sin dejar huecos, de ahí la ventaja de la forma de caja. - Poner marcas de colores en las caras de una caja, con cuidado de marcar con el mismo color las caras iguales. Calcar sobre papel esas caras (rebordeando la caja), colorear las figuras obtenidas del mismo color que la cara calcada, recortar y comprobar la igualdad de caras prevista. Propuesta didáctica para Segundo Ciclo. Las cosas que más valen La casa donde vivían Xabier y Ana no era muy grande pero estaba limpia y ordenada. Todos tenían cuidado de no dejar las cosas tiradas en cualquier parte. Así que ponían los libros en las estanterías y las ropas que no estaban usando en los armarios. Todo estaba abierto menos un cajón de la cómoda que estaba en la habitación de los padres. Cuando Xabier y Ana eran de vuestra edad tenían una enorme curiosidad por ese cajón y les preguntaban a sus padres que había en él. - Cajas, no hay mas que cajas, dijo el padre. - Bueno, dijo la madre, hay cajas pero no están vacías. En cada una de ellas guardamos cosas muy apreciadas por nosotros. Los niños pensaron al principio que serían cosas que valdrían mucho dinero; pero sabían que su madre guardaba sus escasas joyas en un joyero de madera muy bonito que tenía una lla- vecita y estaba encima de esa misma cómoda. Al fin decidieron volver a preguntar y sus padres abrieron el cajón y las cajas y cajitas que contenía. Su sorpresa fue grande al ver que una guardaba fotos de sus abuelos y otras una flor ya seca, una muñeca de trapo, un viejo reloj, y así hasta doce cajas de diferentes tamaños. Hablando con sus padres comprendieron que esas cajas eran importantes porque las cosas que guardaban eran recuerdos. 1ª actividad. - Lectura y comentario entre todos del cuento y sobre lo que ellos o sus familiares guardan en cajas. Comentar si han observado cajas en las tiendas y para qué las usan. - Describir qué forma tiene una caja y dibujar tres cajas de diferentes tamaños. - Entregar a cada grupo de niños una caja para manipularla y señalar sus partes: tapa, caja abierta, caja cerrada, superficie exterior de la caja y superficie interior. - Comentar cómo muchas de las cajas que hoy utilizamos son de cartón y se utilizan para guardar o transportar cosas y luego se tiran (poner ejemplos). Pero también hay cajas de madera o de metal: cajas de caramelos, joyeros, cajas de pastas, ... - Elegir una caja típica con todas sus caras planas y contar entre todos las caras, vértices y aristas. Septiembre 2001 • Iraila 2001 79 El mundo de las cajas
- 77. 2ª actividad. - Suministrara cada grupo de niños una caja de cartón que sea fácilmente desmontable (no todas iguales). Desmontarla y volverla a montar. - Idear cada grupo un procedimiento para construir una caja de cartulina. - Revisar la construcción y comparar los resultados de los demás grupos, tratando de estable- cer la relación entre el tamaño de la caja y el tamaño de sus caras. Comprobar que las caras son iguales dos a dos (calcando y superponiendo). 3ª actividad. - Construir otra caja que mida el doble de alto y la mitad de largo. Dibujar en primer lugar los rectángulos que formarían las caras de esa caja en una cartulina, recortarlos y utilizarlos como patrón para construir el modelo que han de recortar para construir la caja. Montar la caja y pintarla o decorarla para poder guardar en ella un regalo que queramos hacer. Propuesta didáctica para Tercer Ciclo. Ningún regalo en caja cerrada La familia de Luisa iba a comer el domingo con sus tíos y primos, pues era el cumpleaños de su tía Miren. Todos llevarían algún regalito y ella decidió comprar una caja de bombones. En el supermercado encontró varios tipos de cajas, pero casi todas valían más de 1000 pesetas y ella sólo tenía 700. Por fin halló una que valía 650 pesetas. Además era de un bonito color azul con dibujos. Llegó tan contenta con su regalo y tía Miren decidió abrirla a los postres para que todos pro- baran los bombones de Luisa. ¡Cuál sería su sorpresa cuando hallaron sólo seis bombones en la caja y en la mesa eran diez personas!. La caja tenía unas gruesas paredes y una especie de bandeja dorada en la cual destacaban los seis bombones, uno en cada hueco de la bandeja. Su tía restó importancia al asunto diciendo que los bombones eran muy grandes y los parti- rían por la mitad para que pudieran probarlos todos. Pero Luisa pasó mucha vergüenza y se empezó a preguntar cuál sería el motivo de usar una caja tan grande para sólo seis bombo- nes. 1ª actividad. - Lectura del cuento y comentarios sobre el mismo: si han pasado alguna vez por una situa- ción parecida, por qué harán esto los comerciantes, qué tipos de productos se guardan en cajas demasiado grandes para el tamaño del objeto que contienen, etc. - Dibujar la caja de bombones cerrada y luego abierta, como se la imaginen. - Observar otras cajas en que también se produzca una situación parecida (por ejemplo de perfumes, ...) - Establecer las nociones de volumen exterior de una caja y volumen interior o capacidad. - Sacar de la caja de cuerpos geométricos las figuras que tienen "forma de caja" y el "cubo" y comprobar las analogías y diferencias entre ellos. Observar en todos los casos el paralelismo y la perpendicularidad entre caras. Introducir el nombre ortoedro y escribir: SIGMA Nº 1980 Inés Sanz Lerma
- 78. - Muchas cajastienen forma de ortoedro. Se parecen al cubo pero sus caras pueden ser de diferentes tamaños. - Las caras de un cubo son cuadrados. - Las caras de un ortoedro son cuadrados o rectángulos. - Las caras de las cajas son paralelas dos a dos. - Los ángulos de las cajas son rectos porque las caras se cortan perpendicularmente. 2ª actividad. - Comparar (en grupos) cajas de forma ortoédrica suministradas por la maestra y hacer esti- maciones a ojo de su volumen y capacidad a fin de decidir qué cajas tienen igual volumen y ordenarlas de mayor a menor. - Comparar los resultados intergrupos y construir una hilera de cajas ordenadas de mayor a menor volumen. Las cajas que se hayan estimado de volumen igual se pondrán una encima de otra. - Reflexionar entre todos sobre el resultado y escribir las siguientes frases: - Dos cajas pueden tener igual volumen aunque sus dimensiones largo, alto y ancho sean diferentes. Lo que cuenta es el conjunto de las tres. - Una caja puede ser más alta que otra y tener menor volumen, si su base es pequeña. Para saber cual es la mayor de dos cajas tenemos que mirar todas sus dimensiones. - Para saber la capacidad de una caja tenemos que mirar lo que mide por dentro. Si las pare- des de la caja son delgadas la capacidad y el volumen exterior serán casi iguales. Pero si las paredes son gruesas la capacidad será menor que el volumen. - Completar frases del tipo: - Si dos cajas tienen igual base tendrá más volumen la que tenga mayor - Si dos cajas son iguales de largas y altas será menor la que tenga menor 3ª actividad. - Rellenar una caja con cubos de 1 cm3 y comprobar que el número de cubos que caben en ella es igual al número de cubos que caben de alto por el número de cubos que caben de ancho por los que caben de alto. Obtener expresiones del tipo: Capacidad = volumen interior = 4 x 5 x 8 cm3 - Tomar las dimensiones interiores de la caja con una regla y establecer la equivalencia de esta operación con la anteriormente realizada. - Medir las aristas exteriores y proponer como expresión para el volumen de la caja: Volumen = (a x b x c) cm3 siendo las dimensiones de la caja: a cm. de largo, b cm. de ancho y c cm. de alto. - Reflexionar sobre las posibles diferencias entre volumen y capacidad de una caja depen- diendo del grosor de sus paredes. - Repetir las mediciones de cajas pequeñas en mm. para obtener resultados en mm3 y propo- ner algún problema en diferentes unidades. Septiembre 2001 • Iraila 2001 81 El mundo de las cajas
- 79. 4ª actividad. - Cálculode la superficie exterior y del volumen de una caja dada a partir de las medidas de sus bordes. - Coger de la caja de cuerpos geométricos un cubo y dos ortoedros y calcular su superficie exterior y su volumen. - Hacer una puesta en común y reflexionar sobre los resultados, analizando si existe relación entre la superficie total de una caja y su volumen. Nota: Se estima que cada una de las actividades propuestas se pueden desarrollar en una sesión de clase en el horario de cualquier nivel, con lo que el conjunto ocuparía aproxima- damente una semana. La separación entre actividades no es rígida. Objetivos y evaluación. El objetivo general de esta propuesta didáctica podría formularse así: - Desarrollo del interés por los objetos de uso común, sus formas y propiedades. No soy partidaria de formular muy detalladamente los objetivos, pues el trabajo de clase va mucho más allá de la propuesta minuciosa de éstos, pero es importante saber qué nos propo- nemos y cómo lo evaluamos. Supuesto que hacemos evaluación continua y que disponemos de una tabla de doble entrada, alumnos/items a evaluar, propongo de forma orientativa cinco items compatibles con las actividades y coordinados con los objetivos, como aparecen en las tablas II, III y IV. Primer Ciclo . Tabla II OBJETIVOS EVALUACIÓN SIGMA Nº 1982 Inés Sanz Lerma 1. Interés por la forma caja a través de la com- prensión y discusión de un cuento. 2. Uso preciso del lenguaje oral y escrito para designar diferentes clases de objetos. 3. Reconocimiento de la forma típica de caja, las formas que la limitan y sus elementos. 4. Desarrollar la imaginación a través del di- bujo y expresión manipulativa. 5. Interés por explorar a partir de la forma caja, rellenando huecos y haciendo construccio- nes. 1. Comprensión del cuento. Expresión verbal, oral y escrita. 2. Reconocimiento de la forma caja y sus ele- mentos. 3. Dibujo y expresión gráfica. 4. Distinciones entre caja - cajita - cajetilla - cajón - cajonera. 5. Expresión manipulativa: relleno de huecos y construcciones.
- 80. 1. Interés porel uso social de las cajas a través de la comprensión y discusión de un cuento. 2. Distinción entre la capacidad y el volumen de una caja y su relación con las dimensio- nes internas y externas. 3. Estimación de la capacidad y volumen de cajas. Clasificación y ordenación de cajas por esas propiedades. 4. Medición de la capacidad y volumen de una caja por procedimientos directos e indi- rectos. 5. Relación de la forma caja con el cuerpo geométrico ortoedro. Reconocer las relacio- nes de paralelismo y perpendicularidad entre sus caras. 1. Comprensión del cuento. Expresión verbal. 2. Comprensión de las relaciones entre las di- ferentes medidas de longitud, superficie y volumen de una caja. 3. Estimaciones de capacidad y volumen. 4. Medidas de capacidad y volumen. 5. Reconocimiento de la forma geométrica or- toedro y las relaciones de paralelismo y per- pendicularidad entre sus caras. 1. Interés por las cajas y su uso, a través de la comprensión y discusión de un cuento. 2. Desarrollo de la expresión verbal y gráfica para que sepan describir una forma y repre- sentarla. 3. Mejora de las habilidades manipulativas, montando y desmontando cajas. 4. Desarrollo de la creatividad, ideando un esquema gráfico que permita construir una caja. 5. Comprensión y análisis de las formas geo- métricas que constituyen la superficie de una caja. 1. Comprensión del cuento. Expresión verbal. 2. Reconocimiento de la forma caja, sus ele- mentos y relaciones entre ellos. 3. Expresión gráfica. Plantillas de cajas. 4. Expresión manipulativa: montaje de una caja. 5. Creatividad. Septiembre 2001 • Iraila 2001 83 El mundo de las cajas Segundo Ciclo . Tabla III OBJETIVOS EVALUACIÓN Tercer Ciclo. Tabla IV OBJETIVOS EVALUACIÓN
- 81. Para registrar laevaluación se puede usar una clave simple del tipo: # no realiza el trabajo, no participa, no comprende. / regular, insuficiente, se esfuerza poco. x aceptable, se esfuerza, respuestas bastante completas. l bien, completa correctamente, buenas formas expresivas. m casos especiales de creatividad o comportamiento muy bueno. Obtendremos así un mapeado de la clase por alumnos y por items que permite detectar los puntos fuertes y débiles y que sirve tanto para ayudar a los alumnos en los aspectos que mues- tren deficiencias como para revisar aquellos items que sistemáticamente aparezcan dema- siado bien o demasiado mal evaluados. En resumen, lo que se debe pretender, en mi opinión, es detectar la marcha general del trabajo, si éste está adaptado a los alumnos y si cada uno de ellos progresa y se esfuerza en aprender según sus capacidades. Además de los items específicos de cada unidad, la plantilla de recogida de datos para la eva- luación convendría que dispusiera de alguna casilla más que recogiera items a evaluar conec- tados con objetivos más generales pero que hay que evaluar en cada tarea, como la partici- pación en el trabajo en grupo, e incluso alguna casilla en blanco en la que el maestro pueda especificar aspectos sugeridos por la marcha de la clase. Observaciones finales. Esta unidad didáctica es adecuada para presentarla globalizada, especialmente entre las áreas Lenguaje - Matemáticas - Sociales. La lectura e interpretación del cuento es una actividad básica, así como otras actividades lingüísticas de expresión verbal y escrita propuestas, y pue- den idearse muchas más. También puede conectarse fácilmente con la problemática del reci- claje de residuos y el uso de recursos naturales, planteando en Primer Ciclo qué hacemos con las cajas usadas y, en los otros dos, de dónde sale la materia con que se fabrican, a fin de con- cienciarnos con el uso y abuso de las cajas. No aparecen explícitos los contenidos que cubre esta unidad en las diversas áreas, pero estimo que es fácil deducirlos de las actividades y objetivos propuestos. Respecto a la inclu- sión del volumen, que no es un contenido mínimo para la Educación Primaria, opino que la palabra volumen seguramente pertenece al vocabulario usual de niños de Tercer Ciclo por lo que no estarán fuera de lugar las actividades elementales propuestas, como actividades de grupo y apoyadas por el maestro, a fin de ir adquiriendo, en el contexto geométrico del mundo de las cajas, el objeto mental geométrico que se llama volumen y cómo se puede medir en un objeto de forma simple esa propiedad de tener volumen. Bibliografía. Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Reidel. Giménez, J. (2000). ¿Construir o no construir? Esa no es la cuestión. Uno, 25, 5-7. Godino, J. (2000). Significado y comprensión de los conceptos matemáticos. Uno, 25, 77-87. Gómez Chacón, I.M. (1998). Matemáticas y contexto. Apuntes I.E.P.S. nº 64, Narcea. Madrid Lerman, S. (1996). Intersubjectivity in matehematics learning: a challenge to the radical constructivist paradigm? Journal for Research in Mathematics Education, 27, 2, 133-150. Meira, L. (2000). Lo real, lo cotidiano y el contexto en la enseñanza de las matemáticas. Uno, 25, 59-74. SIGMA Nº 1984 Inés Sanz Lerma
- 82. Septiembre 2001 •Iraila 2001 85 Fotografía y Matemáticas FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS IES de Fadura (Getxo) * El Departamento de Matemáticas del Instituto Fadura lleva organizando, anualmente, desde el curso 94/95 concursos de fotografía matemática en los cuales participa el alumnado de los modelos lingüísticos A y D de los siguientes niveles educativos: Primer ciclo E.S.O. (12-14 años). Segundo ciclo E.S.O. (14-16 años). 1º y 2º de Bachillerato Científico (16-18 años). 1º y 2º de Bachillerato Tecnológico (16-18 años). El objetivo de estos concursos ha sido resaltar la presencia de las Matemáticas en nuestra vida cotidiana y poner de manifiesto su utilidad en la actividad personal y social, es decir, que el alumnado aprenda a interpretar el mundo que le rodea desde el punto de vista matemático, que aprecie su valor práctico e incorpore a su lenguaje habitual la precisión que le aporta este lenguaje científico. La fotografía matemática fomenta la capacidad de observación del alumnado pues le obliga a reflexionar sobre aspectos matemáticos de todo lo que le rodea y además estimula su creati- vidad. Las fotografías de cada concurso se exponen desde Mayo a Febrero en los pasillos y escale- ras del Instituto. Estas sirven de apoyo didáctico para explicar ciertos conceptos. A modo de ejemplo y sin querer ser exhaustivos podemos citar algunos: - Algunas fotografías resaltan la rigidez y esbeltez del triángulo y del arco, razones de su amplio uso en la construcción. - En otras se observa la estética o armonía del rectángulo áureo, tan útil en diseño, relacionado con los números irracionales. - También podemos utilizar otras fotos para asociar gráficas diversas con sus ecuaciones correspondientes. La idea de convocar estos concursos surgió cuando una profesora de nuestro Departamento, Josefina Galan, se enteró de la existencia de un concurso organizado por la Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas (S.M.P.M.) de la Universidad Complutense "Emma Castelnuovo", y animamos a 16 alumnos/as para que participasen, siendo seleccionada , la fotografía presentada por las alumnas Sonia del Alamo e Idoia Campo. de titulo "Teorema de Thales" . Autoras: Sonia del Alamo González e Idoia Campo Sanz. Curso: 2º REM. IFP Fadura (Getxo). Contenidos matemáticos: Geometría. Semejanza de triángulos: teorema de Thales. Aplicación didáctica: En el primer curso del primer ciclo de REM, se imparte la unidad temá- tica: “Teorema de Thales, semejanza y escalas”. En ella se intenta acer- car al alumnado a la calle con el pretexto de encontrar y aplicar las Matemáticas de formas distintas: tomando medidas, calculando dis- tancias, ángulos... – Nº 10: TEOREMA DE THALES –
- 83. Es importante resaltarque el interés mostrado por el alumnado ha ido creciendo, y prueba de ello es que la participación ha ido aumentado considerablemente en las sucesivas convoca- torias. De 16 fotografías presentadas en el curso 94/95 hemos pasado a 87 en el curso 99/00. Las fotografías que han ganado los concursos en las diferentes convocatorias, han sido las siguientes: SIGMA Nº 1986 IES de Fadura IZENBURUA / TÍTULO ESTATISTIKA EGUNEROKO BIZITZAN ESTADÍSTICA EN LA VIDA COTIDIANA IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Iniesta Sáez de Ugarte IKASTALDEA / NIVEL 3.º Sanitaria / Osasun arloko 3. maila MATEMATIKA-EDUKINAK Adierzpide grafikoak estatistikan. Barra-diagrama CONTENIDOS MATEMÁTICOS Representaciones gráficas en estadística. Diagrama de baras. –– II CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9944//9955 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Algortako geltokiaren metrorako lanetan egindako argazkia honek gogora ekari dizkit estatistikan erabiltzen ditugu adierazpide grafikoak. Esta fotografía sacada en las obras de la estación del metro de Algorta me ha hecho recordar las representaciones gráficas que utilizamos en estadística. PPrreemmiioo SSaarriiaa 1Nº 5. Zb.
- 84. Septiembre 2001 •Iraila 2001 87 Fotografía y Matemáticas Otra de las actividades que se planteó fue que los visitantes de la exposición votasen tres de la fotografías expuestas. Votaron 625 personas y las elegidas fueron: IZENBURUA / TÍTULO ERRALDOIAREN ARMADURA LA ARMADURA DEL GIGANTE IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Nerea Lorente del Río IKASTALDEA / NIVEL E.S.O. 1º D / D.B.H. 1.D –– VV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9999//0000–– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Argazkian Kubo, trapezio eta hiruriak daude. Indarra eta sendotasuna adieratzen digu. Bakarrik, urak egiten dituen zuzenek, sendotasun hori apurtzen du. En la fotografía podemos observar cubos, trapecios y triángulos hechos de un material que refleja (cristal, metal ... ?) y da una imagen de gran fortaleza y robustez. La imagen queda rota por líneas “rectas” que hace el agua. PPrreemmiioo SSaarriiaa 1Nº 13. Zb.
- 85. SIGMA Nº 1988 IESde Fadura IZENBURUA / TÍTULO ERROMATARREK. ERE, GEOMETRIAZALEAK LOS ROMANOS AFICIONADOS A LA GEOMETRIA IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Ander Ganzedo IKASTALDEA / NIVEL E.S.O. 3º B / D.B.H. 3.B –– VV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9999//0000–– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Erromatarrek ondo ezagutzen zuten geometria, eta helburu desberdinekin egindako erikuntzetan aplikatzen zuten. Argazki honetako elipsea “Colisseum” ari dagokio. Los romanos conocían muy bien la geometría y la aplicaban a sus construcciones como puede verse en esta elipse correspondiente al “Coliseo”. PPrreemmiioo SSaarriiaa 2Nº 20. Zb.
- 86. Septiembre 2001 •Iraila 2001 89 Fotografía y Matemáticas IZENBURUA / TÍTULO ERRONBOETAKO TUNELA TÚNEL DE ROMBOS IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Nerea Lorente del Río IKASTALDEA / NIVEL E.S.O. 1º D / D.B.H. 1.D –– VV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9999//0000–– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Argazkian paralelogramo asko ikus ditzakegu (erronbo eta karratuak batez ere); haien artean tunel amaituezina egiten dute. En la fotografía podemos observar infinidad de paralelogramos, sobre todo rombos y cuadrados, que parecen formar un túnel en el que no se adivina el final. PPrreemmiioo SSaarriiaa 3Nº 14. Zb.
- 87. La exposición hasido un éxito en cuanto al número de visitantes, se ha estimado en 800 per- sonas, según datos aportados por el aula de cultura de Getxo. El profesorado de nuestro Instituto realizó con el alumnado de 2º y 3º de la E.S.O. la siguiente actividad: Se les propuso que, en grupos de dos, buscaran en las fotografías expuestas ciertos concep- tos matemáticos planteados con anterioridad en una ficha que recogía los datos más relevan- tes de las mismas: año de presentación, nº y título El VI concurso ya se ha convocado, el plazo de presentación ha acabado el 10 de Febrero. (*) Profesorado del Departamento de Matemáticas del IES de Fadura. - Josefina Galán Olloqui. - Marian Bermeosolo Urrea. - Josu Capetillo González. - Joseba García Meiro. - Isaac Fernández Zárraga. - Arantza Iturriaga Pardo. - Conchi Quintana Abajo. Colaborador - Alfonso Olaskoaga Fullaondo. SIGMA Nº 1990 IES de Fadura (*) Conceptos: , circunferencia, series, simetrías, círculos, triángulos, rombos, pirámides, ortoedros, asíntotas, fracciones. Concepto
- 88. ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONESDIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Argazkien segidan matematika-kontzeptu bi agertzen dira: alde batetik uhinen segida eta bestetik, infinitua adieratzen duen zeruertzak. En la serie de fotos aparecen dos conceptos matemáticos: por un lado una serie de olas y, por otra, el infinito repre- sentado por el horizonte. Septiembre 2001 • Iraila 2001 91 Fotografía y Matemáticas IZENBURUA / TÍTULO SEGIDAK / SUCESIONES IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Daniel Antón Domínguez IKASTALDEA / NIVEL 3.º B.T.I. MATEMATIKA-EDUKINAK Vox-populi, errepikapen bat duen edo zerbaitetaz jarraituta doan orori segida deritzogu. Baina matematikak badu berezko definizioa: zenbaki errealen segida zenbaki ordenatuen multzoa da. Multzo ordenatua dio- gunean esan nahi dugu zenbaki bakoitza kokapen zehaztuta duela. CONTENIDOS MATEMÁTICOS Conocemos como sucesión a todo aquello que tiene una repetición o todo aquello que va seguido de algo. Pero las matemáticas tienen su propia definición. Una sucesión de números reales es un conjunto de números ordenados. Al decir conjunto ordenado queremos decir que cada número ocupa un lugar determinado. –– II CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9944//9955 –– PPrreemmiioo SSaarriiaa 2Nº 4. Zb. IZENBURUA / TÍTULO 2. MAILAKO POLINOMIKOAK POLINÓMICAS DE 2º GRADO IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Iñigo Fuertes Maguregui IKASTALDEA / NIVEL 3.º M F.P. II –– IIIIII CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9966//9977 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Irakasgaiaren helburuetatik bat funtzioaren adierazpen matematikoa eta adierazpen grafikoa erlazionatzea da. Oraingo honetan argazkiak oso garbi erakusten du ikaslea hori egiteko gai izan dela. Uno de los objetivos de la asignatura es tratar que el alumnado consiga relacionar la expresión gráfica con la expre- sión matemática de la función. En esta fotografía el alumno ha sido capaz de ver esta relación. PPrreemmiioo SSaarriiaa 1Nº 29. Zb.
- 89. SIGMA Nº 1992 IESde Fadura IZENBURUA / TÍTULO PARALELOEN ARTEAN BIZITZEN VIVIENDO ENTRE PARALELAS IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Ibon Asensio eta Jon Díez IKASTALDEA / NIVEL 2.º R.E.M. MATEMATIKA-EDUKINAK CONTENIDOS MATEMÁTICOS Geometria arkitekturan / La Geometría en la arquitectura. –– IIII CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9955//9966 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Ikasle hauek R.E.M. eko. I. Zikloan matrikulatuta daude. Maila honetan, Geometriako edukin-multzoaren barruan, urrezko zenbakia irakasten da. Ikasleak, kasu honetan, argazkian agertzen diren laukizuzenetatik zein den urrezkoa saiatu dira antzematen. Estos alumnos se encuentran cursando el primer ciclo de R.E.M., donde se imparte el bloque temático Geometría en el que se trata la existencia del número de oro. En esta fotografía han intentado reconocer si alguno de los rec- tángulos es el rectángulo áureo. PPrreemmiioo SSaarriiaa 2Nº 15. Zb. IZENBURUA / TÍTULO ANTZEKO TRIANGELUAK TRIÁNGULOS SEMEJANTES IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Eduardo Mazarrasa IKASTALDEA / NIVEL 2.º R.E.M. MATEMATIKA-EDUKINAK CONTENIDOS MATEMÁTICOS Triangeluak / Triángulos. –– IIII CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9955//9966 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Erreparatu eraikuntzan, triangeluaren zurruntasunaren propietateei, bere edertasuna eta bilatu perspektibaz (antzeko triangeluak) errealitatean ez dena. Observar en la construcción las propiedades de la rigidez del triángulo, su belleza y buscar con la perspectiva (trián- gulos semejantes) lo que no es en la realidad. PPrreemmiioo SSaarriiaa 1Nº 16. Zb.
- 90. Septiembre 2001 •Iraila 2001 93 Fotografía y Matemáticas IZENBURUA / TÍTULO 2,7182818459045235360287471353 IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Naroa Martínez IKASTALDEA / NIVEL 2.º R.E.M. MATEMATIKA-EDUKINAK CONTENIDOS MATEMÁTICOS Matematika-idazkera. –– IIII CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9955//9966 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA R.E.M.eko lehen zikoan zehar, FUNTZIOAK gaiaz gain, LOGARITMO eta ESPONENTZIALA edukin-multzoak landu ditugu. Argazkian “e” zenbakiaren idazkera errusiar mendiarekin identifikatu da. Baita ere hiru dimentsioko funtzioak eta dituzten minimoak, maximoak, gorapena ... Durante el primer ciclo de R.E.M. se ha trabajado el bloque temático LOGARITMO y EXPONENCIAL, además de FUNCIONES. En la fotografía se ha identificado la notación del número “e” con las formas de la montaña rusa. También hay funciones de tres dimensiones, con sus máximos, mínimos, crecimiento ... PPrreemmiioo SSaarriiaa 3Nº 20. Zb. IZENBURUA / TÍTULO KONBERGENTZIA INFINITUAN CONVERGENCIA EN EL INFINITO IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Carlos Vallejo Azumendi IKASTALDEA / NIVEL 3.º M F.P. II –– IIIIII CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9966//9977 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Argazkian infinituan burututako segiden konbergentziaren ideia intuitiboa somatzen dugu. Eskilararen erdian kokatu- tako argi-fokoak infinitua adierazten du oraingo honetan. En la fotografía se capta la idea intuitiva de convergencia de sucesiones en el infinito; este último representado por un pequeño foco de luz en el centro de la escalera. PPrreemmiioo SSaarriiaa 2Nº 31. Zb.
- 91. SIGMA Nº 1994 IESde Fadura IZENBURUA / TÍTULO ANGELU ZENTRALA / ÁNGULO CENTRAL IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Alberto Jaspe IKASTALDEA / NIVEL 4.º E F.P. II –– IIIIII CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9966//9977 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Zirkunferentzia honetan, erpina beraren zentroan duen angelu orok angelu zentrala du izena. Gurdien gurpilek, argazkiarena bezalakoa, adibidez, zirkunferentzia baten angelu zentralen ideia erakusten dute. Horrez gain, argaz- kian lerro paraleloak, elkartzutak eta zilindroa eta kono-emborra bezalako biraketa-gorputzak ikusten ditugu. En esta circunferencia, todo ángulo que tenga su vértice en el centro de la misma recibirá el nombre de ángulo cen- tral. Las antiguas ruedas de los carros, como las de éste de 1954, muestran la idea de ángulo central de una cir- cunferencia. Además en la fotografía se pueden apreciar líneas paralelas, perpendiculares y cuerpos de revolución como son el cilindro y los troncos de cono. PPrreemmiioo SSaarriiaa 3Nº 33. Zb. IZENBURUA / TÍTULO GEOMETRIA INFINITURANZ GEOMETRÍA HACIA EL INFINITO IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Raúl Pérez Pozo IKASTALDEA / NIVEL B.I.B. 1 –– IIVV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9988//9999 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Hainbat irudi geometrikoak puntu batera hurbilkorrak direla argazkiak ariedazten du. En la fotografía se aprecian varias figuras geométricas, triángulos, rombos, trapecios ... que convergen en un punto. PPrreemmiioo SSaarriiaa 1Nº 38. Zb.
- 92. Septiembre 2001 •Iraila 2001 95 Fotografía y Matemáticas IZENBURUA / TÍTULO KONBERGENTZIA CONVERGENCIA IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Zurine Brea IKASTALDEA / NIVEL L.H.2 5.S / F.P. 2 5º S –– IIVV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9988//9999 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Laukizuzenen multzoa puntu batera hurbilkorra dela argazkiak adierazten du. La impresión que produce la fotografía es la de un conjunto de rectánculos convergentes en un punto. PPrreemmiioo SSaarriiaa 2Nº 39. Zb. IZENBURUA / TÍTULO ZENBAKIA ALA LETRA? ¿NÚMERO O LETRA? IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Daniel Jambrina IKASTALDEA / NIVEL 2º C - E.S.O. / D.B.H.ko 2.A maila –– IIVV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9988//9999 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Zenbaki bat adierazten duen letra greko hau formula askotan agertzen da: zirkunferentziaren luzera kalkulatzeko for- mulan, zirkuluaren azalerakoan, besteak beste. Esta letra griega( ) que representa un número (3,14...) nos aparece en muchas fórmulas: longitud de la circunferen- cia, área del círculo, entre otras. PPrreemmiioo SSaarriiaa 3Nº 11. Zb.
- 93. SIGMA Nº 1996 IESde Fadura IZENBURUA / TÍTULO TRIANGELUAREN ZURRUNTASUNA LA RIGIDEZ DEL TRIÁNGULO IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Maitane Torre IKASTALDEA / NIVEL E.S.O. 4º B / D.B.H. 4.B –– IIVV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9988//9999 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Argazkian etxe bat iksten da, non agertzen diren hainbat triangelu. Triangeluak zurrunak dira, hau da, triangelua defor- matzeko bere aldeak tolestu egin beharko genituzke. Hori es da beste poligonoetan gertatzen. Triangeluen “zurrunta- sun” honegatik eraikuntzan (zubi, etxe, dorre eta abarretan) sarritan ikusten dira triangeluak. En la fotografía se puede apreciar una construcción donde aparecen varios triángulos. Los triángulos son rígidos, es decir, para deformar un triángulo tendríamos que doblar sus lados, esto no ocurre con otras figuras poligonales. Esta rigidez es la responsable de que aparezcan en multitud de construcciones y estructuras (edificios, puentes, torres, grúas...). PPrreemmiioo SSaarriiaa 4Nº 41. Zb. IZENBURUA / TÍTULO KABLEAREN HARIEN BANAKETA GEOMETRIKOA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA DE LOS HILOS DE UN CABLE IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Saioa San Vicente IKASTALDEA / NIVEL E.S.O. 4º C / D.B.H. 4.C –– IIVV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9988//9999 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Geometria; zirkuloak eta ukitzeak industrian. Geometría: círculos y tangencias en la industria. PPrreemmiioo SSaarriiaa 5Nº 8. Zb.
- 94. Septiembre 2001 •Iraila 2001 97 Fotografía y Matemáticas IZENBURUA / TÍTULO EL ÁBACO DE CRISTAL IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Saioa San Vicente Montalbán IKASTALDEA / NIVEL 1º BC –– VV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9999//0000 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA En la fotografía se muestra una disposición ordenada en varios niveles de frascos de Laboratorio. Ello podría dar pie a la asociación de cada uno de los niveles con una diferente asignación de valor como sucede en el ábaco. ¿No veis el 44305?. PPrreemmiioo SSaarriiaa 1Nº 72. Zb. IZENBURUA / TÍTULO SUCESIÓN DE CIRCUNFERENCIAS IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Elene Aranberri Petralanda IKASTALDEA / NIVEL 1º BC –– VV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9999//0000 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA CIrcunferencias, sucesiones, palabras matemáticas que pueden abrirnos los ojos a otras percepciones, también mate- máticas, como tangencias, posición interior... PPrreemmiioo SSaarriiaa 2Nº 75. Zb.
- 95. SIGMA Nº 1998 IESde Fadura IZENBURUA / TÍTULO SIMETRIA ISLADATUA SIMETRÍA REFLEJADA IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Cristina Ruiz IKASTALDEA / NIVEL E.S.O. 1º A / D.B.H. 1.A –– VV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9999//0000 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Argazki honetan aintzinako zubi bat ikusten dugu. Isladatzen denez, barruan sortzen dira elipse paralela asko eragin optiko batez. En esta fotografía observamos un puente antiguo con arcos, en forma de semicírculos, que se refleja en el agua, haciéndonos ver una estructura compacta con elipses paralelas que no existen en la realidad, sino que son producto de un efecto óptico. PPrreemmiioo SSaarriiaa 3Nº 8. Zb. IZENBURUA / TÍTULO GEOMETRIA AMAITUEZINA GEOMETRÍA INFINITA IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Nerea Lorente del Río IKASTALDEA / NIVEL E.S.O. 1º D / D.B.H. 1.D –– VV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9999//0000 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Argazkian paralelogramo asko daude; ispiluak direnez, haien arteko islapen eta itzalek figura amaituezinak sortzen dituzte. En la fotografía podemos observar paralelogramos múltiples que, al ser espejos, se reflejan entre sí y hacen surgir nue- vas figuras de ese reflejo y de las sombras que produce el edificio. PPrreemmiioo SSaarriiaa 4Nº 12. Zb.
- 96. Septiembre 2001 •Iraila 2001 99 Fotografía y Matemáticas IZENBURUA / TÍTULO ARDATZ KARTESIARRAK EJES CARTESIANOS IKASLEAREN IZENA NOMBRE DEL ALUMNO Haizea de la Vega IKASTALDEA / NIVEL E.S.O. 4º B / D.B.H. 4.B –– VV CCOONNCCUURRSSOO,, CCUURRSSOO EESSCCOOLLAARR 9999//0000 –– ARGAZKIAREN APLIKAZIO DIDAKTIKOAK APLICACIONES DIDÁCTICAS DE LA FOTOGRAFÍA Erlojuak planoa zatitzeko ardatz kartesiarrak erabiltzen du... El reloj para poder dividir el plano utiliza el eje de coordenadas cartesianas. PPrreemmiioo SSaarriiaa 5Nº 68. Zb. Con todas las fotografías presentadas a lo largo de estos años, se organizó una exposición en el aula de cultura de Getxo desde el 16 al 27 de Enero de 2001. Las fotografías expuestas, mas de 200, reflejan contenidos matemáticos variados. Predominan fotografías sobre Geometría, Aritmética, Números irracionales , e, ø, Análisis de funciones, Estadística... ø
- 97. La exposición seplanteó para que el alumnado viera la importancia y trascendencia que tenía su trabajo, ya que se potenció que el profesorado de Matemáticas de otros centros escolares de Getxo y municipios de alrededor visitasen nuestra exposición con sus grupos de alum- nos/as. Para que estas visitas se realizarán activamente se les propuso la siguiente actividad: SIGMA Nº 19100 IES de Fadura El profesorado de los Centros escolares que visitó la exposición resaltó las posibilidades didác- ticas que tenía esta idea y la creatividad e imaginación que mostraban, en muchos casos, las fotografías expuestas. Además durante la exposición se invitaba a todos los visitantes que indicaran su opinión sobre esta. Las opiniones reflejadas se transmitieron a todo el alumnado del Instituto, lo cual, fue muy motivador para ellos y ellas. "Es la 1ª exposición de fotografía matemática realizada por alumnos que visito con un grupo de alum- nos de 1º ESO. Desde luego sorprende como nuestros alumnos utilizan sus habilidades e ingenio para relacionar un mundo tan "hermético y cuadrado" para ellos con la vida cotidiana. Me parece estupenda la idea de la exposición y os animo a que continuéis con ella en adelante..." "Es una exposición muy interesante ya que demuestra el ingenio que tienen muchos alumnos para rela- cionar el "raro mundo de la Matemática con el del día a día" "Nire ustez horrelako erakusketa errepikatu beharko genuke. Oso interesgarria eta baliogarria" "Oso oso interesgarria iruditu zait, ikasleek sarritan egiten duten galderari (zertarako balio du Matematika?) ondo erantzuten dio. Zorionak egindako lanagatik eta eskerrik asko. Hurrengo baten interesgarria izango litzateke agertzea argazkia non dagoen eginda" "Me parece una idea brillante el buscar la expresión fotográfica de los conceptos matemáticos. Algunos de los resultados me parecen realmente buenos, aunque otros se quedan muy en la superficie. Quizás habría que seleccionar mas cuidadosamente las fotografías" "Enhorabuena por esta magnifica exposición,. Aquí la matemática toca el cielo" 1. ariketa / 1ª actividad. Erakusketa, eskolako mailaren arabera dago sailkaturik. Proposatzen duguna, zuen ikasleak beste izenburu bat ematen saia daitezela da, ondorengo fitxa erabiliz. La exposición está clasificada por curso escolar, estando las fotografías numeradas. La pro- puesta es que vuestr@s alumn@s intenten dar otro título a alguna de las fotografías, utili- zando la ficha que se adjunta. Adimena Zorroztu! ¡Agudiza tu ingenio! Argazkiak matematikarekin zerikusirik daukan beste izenburu, ideia, edo sentzazio ekart- zen badizu gogora, ahal duzun modurik laburrenean idazten gonbidatzen zaitugu. Si las fotografías te sugieren otros títulos, otras ideas o sensaciones matemáticas, te invita- mos a que nos las cuentes indicándolo de la forma más abreviada posible. Kurtsoa / Curso: Zenb./Nº Izenburu / Título 1 2
- 98. Septiembre 2001 •Iraila 2001 101 El Mus “Txiki” y otros juegos con la Baraja Numérica EL MUS "TXIKI" Y OTROS JUEGOS CON LA BARAJA NUMERICA: UNA PROPUESTA INTERDISCIPLINAR PARA TRABAJAR LOS NUMEROS EN EL SEGUNDO CICLO DE PRIMARIA. D. Modesto Arrieta (*) RESUMEN El recurso del juego ha sido valorado y recomendado por reconocidos autores por sus propie- dades lúdicas, motivadoras y enriquecedoras en el quehacer de los alumnos más pequeños. El juego que se propone tiene como objetivo trabajar desde tres áreas diferentes distintos aspectos de los números naturales basándonos en una versión simplificada del juego del mus tan habitual en nuestro entorno. Para ello proponemos, en primer lugar, la confección de una baraja numérica que se puede presentar como trabajo en el área de Plástica. A continuación se presenta el juego del mus "txiki", variante simplificada del juego clásico sin el aliciente del "engaño" tan propio del mus pero con la ventaja de incluir el cero en la composición de núme- ros de cuatro cifras. Se trabajan diferentes aspectos relacionados con los números como com- posición, descomposición, comparación, valor posicional, cálculo mental,... así como otras de tipo estrátegico, probabilístico,.... Se completa el trabajo con la presentación de otros juegos como "el número misterioso" que permite trabajar aspectos más lógicos. Además estos juegos disponen de un lenguaje específico que permite la inclusión de actividades propias del área de Lenguaje. INTRODUCCION Existe un interés creciente en Didáctica de la Matemática para disponer de actividades y recur- sos que saliéndose de las corrientes que se presentan en los libros de texto aporten un punto motivador y enriquecedor a los procesos de enseñanza-aprendizaje de los tópicos habituales de la Matemática escolar. El recurso del juego ha sido muchas veces valorado y recomendado por reconocidos autores por sus propiedades lúdicas, motivadoras y enriquecedoras en el quehacer, especialmente, de los alumnos más pequeños. Decroly (1961) en sus aportaciones renovadoras considera al alumno el eje de la educación cuya finalidad es preparar al niño para la vida en su vertiente tanto individual como social. Diferencia el juego y el trabajo concediendo al juego didáctico la función de puente entre la acción y el trabajo organizado. (*) Profesor del Departamento de Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias Experimentales. Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibersitatea
- 99. Para Vygotski (1979)el juego no es el elemento predominante en el desarrollo del niño ya que en el juego la acción está subordinada al sentido mientras en la vida real la acción domina sobre el sentido. Considera el juego como el desencadenante del desarrollo pues la sumisión a las reglas le hace actuar de acuerdo a la razón estando por encima de su habi- tual comportamiento cotidiano y próximo a su zona de desarrollo potencial. Para Vygotski el juego es una fuente de desarrollo pues crea un área de desarrollo potencial en el niño, produciendo en él cambios en las aptitudes. En el juego el niño aprende a ser consciente de las propias acciones, a ser consciente de que cualquier objeto tiene significado y donde la creación de una situación menos espontánea desde el punto de vista del desarrollo puede considerarse como el camino hacia el desarrollo del pensamiento abstracto. En el informe Cockcroft (1986) ya se reconoce que los juegos estimulan el pensamiento lógico y contribuyen al incremento de la confianza y de la comprensión por su unión entre actividad y aprendizaje. El niño aprende de su actividad y para que pueda ser capaz de construir su pen- samiento tiene que apoyarse en sus propias experiencias. Además el juego contribuye a esti- mular relaciones personales entre los alumnos y a impulsar actitudes como el hábito al uso de reglas, aprender a ganar y perder con naturalidad, ... El propio Guzmán (1987) propone cuatro condiciones que ha de cumplir un juego didáctico para ser apropiado: - Que sea atractivo y motivador. - Que sea sencillo. - Que sea adecuado al nivel. - Que tenga asignada una finalidad específica. Bishop (1998) también señala que: "En todas partes del mundo se juega, pero cuando quere- mos aprovechar los juegos con objetivos educativos la cosa cambia. Es verdad que siguen siendo juegos, pero se practican con un objetivo concreto, es decir, para aprender algo. Quizás se trate de aprender un concepto o de adquirir vocabulario nuevo, o de aprender a tra- bajar en grupo, o de competir. Los educadores en matemáticas han descubierto mediante su experiencia, que han apoyado con investigaciones teóricas, que jugar puede ser una parte integrante del aprendizaje. Ello ha hecho del acto de jugar y de la idea de juego una activi- dad de enseñanza y aprendizaje mucho más extendida de lo que había sido anteriormente" (p. 11) El juego que proponemos en este trabajo tiene como objetivo trabajar diferentes aspectos de los números naturales basándonos en una versión simplificada del juego del mus tan habitual en nuestro entorno. Para ello proponemos, en primer lugar, la confección de una baraja numérica que se puede presentar como trabajo en el área de Plástica. CONFECCION DE LA BARAJA • Material necesario: - Cartulina blanca o de color claro que contraste con los colores elegidos. - Rotuladores de 5 colores: amarillo, azul, verde, rojo y negro. - Tijera. - Lápiz. - Regla. - Compás. SIGMA Nº 19102 Modesto Arrieta
- 100. Anverso Reverso Se puedetrabajar en grupos de 4 alumnos. Cada alumno elabora un "palo" de la baraja, 10 cartas del 0 al 9 en el mismo color: amarillo, azul, verde o rojo. El marco y las figuras geo- métricas que pueden variar a gusto del grupo siempre que sea la misma para las cuarenta car- tas, en negro. Si se quiere evitar repetir el dibujo del reverso se puede hacer uno, hacer foto- copias sobre la propia cartulina o pegar sobre ella. Una vez confeccionada la baraja plastifi- car. EL MUS "TXIKI" Se basa en el clásico juego del mus pero sin el aliciente del engaño ni las señas tan propios del juego. Si hubiera alumnos que saben jugar al mus pueden hacerlo como se juega habi- tualmente. Se necesitan 40 piedras, alubias, txapas...... para contar los tantos. • Normas de juego: 1. Nº de jugadores: 4. Una pareja juega contra otra. Los componentes de la pareja se colocan en la mesa en diagonal. 2. Se reparten según el sistema usual una carta a cada jugador hasta completar cuatro para cada jugador. 3. Una vez repartidas las cartas cada pareja considera si sus cartas son lo suficientemente buenas para no dar mus o son mejorables (mus). Basta que una pareja decida que no hay mus para que comience el juego. Si las dos parejas deciden mus, cada jugador se descarta de las cartas que no considera aceptables, 1, 2, 3 o 4 y pide otras que completen las cua- tro. Se repite al proceso hasta que por lo menos una pareja diga que no hay mus. 4. Se enseñan las cartas y se cuentan los tantos que gana cada pareja: La grande: Cada jugador compone con sus 4 cartas el número más grande posible. Gana el jugador que consigue el mayor número. El mayor posible es el 9999. En caso de empate gana el de mano. La pareja ganadora coge 1 tanto. Septiembre 2001 • Iraila 2001 103 El Mus “Txiki” y otros juegos con la Baraja Numérica
- 101. La pequeña (lachica): Cada jugador compone con sus 4 cartas el número más pequeño posible. El menor posible es el 0000. Un mismo jugador puede, a veces, componer el mayor y el menor número con sus 4 cartas. La pareja ganadora coge 1 tanto. Los pares: Los duples (dobles parejas: 4 seises, 2 cuatros y 2 sietes,...) ganan a las medias (tres cartas iguales) y estas a su vez ganan a los pares simples (parejas, 2 cartas iguales). A igualdad de tipo de pares gana los compuestos con números mayores ( 2 sietes y 2 tre- ses ganan a 4 seises, 3 cincos ganan a 3 doses, 2 ochos ganan a 2 sietes,..). El jugador que gana con duples coge 3 tantos, el que gana con medias coge 2 tantos y el que gana con pareja coge 1 tanto. El juego: Se tiene juego cuando al sumar las 4 cartas se suma 31 o más. Gana el que se aproxima más a 31. Ganar con 31 supone 3 tantos, ganar con 32 o más 2 tantos. 5. Si ningún jugador suma 31 o más se juega al punto y gana quien más se aproxime a 30 en la suma. Ganar con 30 supone 2 tantos, ganar con menos supone 1 tanto. 6. Al terminar cada partida se suman los tantos ganados por cada pareja. Se sigue jugando hasta que una pareja llegue a los 20 tantos. 7. Conviene tener en cuenta que un mismo jugador puede ganar las cuatro modalidades de grande, chica, pares y juego. El número máximo que puede ganar una pareja en un juego es de 8 tantos: 1 a la grande, 1 a la chica, 3 con duples y 3 con 31. Ello supone que, por lo menos, para ganar la partida hay que jugar 3 juegos. 8. Cada pareja al inicio de cada juego tiene que valorar si con sus cartas va a sacar más tan- tos que la pareja rival para cortar el mus. En todos los casos de empate gana el que está de mano, es decir, el que está más a la derecha del que reparte. Se reparte a turnos empezando por el que saca la carta más alta. OBJETIVOS DIDACTICOS Aparte de los objetivos que son comunes a todos los juegos y que hemos citado en la intro- ducción, en el juego que nos ocupa nos interesa sobre todo el trabajo con los números de 4 cifras: - Componer el mayor número posible con 4 cifras dadas. - Componer el menor número posible de 4 cifras dadas. - Comprobar que con cuatro cifras dadas se puede componer el mayor y el menor número. - Comparar números de 4 cifras. - Practicar el cálculo mental. - ............................ Se puede confeccionar un listado de palabras específicamente usado en el lenguaje del juego de cartas: mano, chica, paso, mus, palo, duples, punto,..... y proponer o buscar definiciones en el diccionario que describan el significado de cada palabra en el juego de cartas. Así por ejemplo: MANO: Dícese del jugador que está a la derecha del que reparte las cartas. Es el que empieza el juego y gana las jugadas en caso de empate.Ejemplos: Mikel está de mano. Mikel es la mano. La mano gana. SIGMA Nº 19104 Modesto Arrieta
- 102. OTROS JUEGOS Con labaraja numérica se puede jugar a otros juegos clásicos sin necesidad de cambiar las reglas del juego. Entre los juegos clásicos destacan "la escoba" que se considera ideal para practicar el cálculo mental y "los seises" que necesitan un punto de estrategia. Aunque es evi- dente que una vez acostumbrados a estos juegos lo mejor es pasar a la baraja clásica espa- ñola de 4 palos, oros, copas, espadas y bastos, con diez cartas en cada palo, del 1 al 7, sota, caballo y rey. De todas formas, la baraja numérica tiene la ventaja de contar con el cero que es importante a la hora de componer números por su valor posicional. También se pueden proponer variantes en el juego como componer con cuatro cartas el mayor o menor número par, el mayor o menor número impar, el mayor o menor múltiplo de dos, de tres o de cinco (no necesariamente posibles), etc... Otro juego interesante, aparte de los clásicos solitarios, es el del "número misterioso". Se juega por parejas y por turnos, cada pareja piensa y decide una secuencia de números y lo pone encima de la mesa. Por ejemplo: 1 - 3 - 2 - .... y la pareja contraria tiene que adivinar el siguiente número de la secuencia. En caso de varias soluciones posibles se puede primar a la pareja que pone la secuencia haciendo valer sólo el número pensado por ellos o se puede primar a la pareja que acierta una solución que no es la pensada pero justifica su pro- puesta con otra ley. Vamos a suponer que sólo vale la solución pensada por la pareja que pone la secuencia. Si adivinan que es el 4, ganan 5 puntos y les toca pensar otra secuencia. Si no aciertan que es el 4, piden otro número. La pareja que ha pensado la secuencia coge un tanto y pone el 4 y esperan que la otra pareja diga el 3. Si aciertan ganan 4 puntos, si no, cogen otro tanto y ponen el 3,... hasta que la pareja acierte o agote la posibilidad de ganar por lo menos 1 punto de los 5 en juego. Si la pareja acierta le toca pensar la nueva secuencia, si no, la misma pareja vuelve a poner otra secuencia y vuelve a comenzar el juego. El juego se termina cuando una de las parejas llega a 20 puntos. Al principio conviene empezar jugando teniendo sólo en cuenta el valor del número sin tener en cuenta el color del palo correspondiente. Más adelante en la elaboración de las secuencias de números se puede tener en cuenta el color del número en la carta lo que dificulta el acierto porque obliga a manejar simultáneamente dos criterios. Evidentemente este juego permite trabajar la capacidad lógica de los alumnos que con la capacidad numérica y la capacidad espacial forman la triada de capacidades que va a per- mitir ir encarando con ciertas garantías la resolución de problemas en Matemáticas, segura- mente, último objetivo específico en los procesos de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Septiembre 2001 • Iraila 2001 105 El Mus “Txiki” y otros juegos con la Baraja Numérica
- 103. REFERENCIAS BISHOP, A. (1998).El papel de los juegos en educación matemática. Uno, 18, 9-19. COCKCROFT, W.H. (1986). Las matemáticas sí cuentan. Madrid: M.E.C. DECROLY, O. (1961). Introducción al método Decroly. Buenos Aires: Losada. GUZMAN, M. de (1987). Cuentas con cuentos. Barcelona: Labor. VYGOTSKI, L.S. (1979). El juego y su función en el desarrollo psíquico del niño. Cuadernos de Pedagogía, 85, 39-48. BIBLIOGRAFIA SOBRE JUEGOS Y MATEMATICAS ALVAREZ FONTENLA, F. (1988). Jugando con números. Operaciones divertidas. Cuadernos de Pedagogía, 166, 12-17. CORBALAN, F.; GAIRIN, J.M. (1988). Juegos en clase de Matemáticas. Cuadernos de Pedagogía, 160, 50-51. EDO, M. (1998). Juegos y matemáticas. Una experiencia en el ciclo inicial de primaria. Uno, 18, 21-37. FERNANDEZ, J.; RODRIGUEZ VELA, J. (1989). Juegos y pasatiempos para la enseñanza de la Matemática elemental. Madrid: Síntesis. FERRERO, L. (1998). ¡Hagan juego!. Juegos matemáticos para la educación primaria. Uno, 18, 39-46. GAIRIN, J.M. (1989). Recursos para la clase de Matemáticas: el juego. Suma, 3, 65-66. GARDNER, M. (1984). Nuevos pasatiempos matemáticos. Madrid: Alianza. GARCIA AZCARATE, A. (1998). Los juegos de conocimiento: un recurso para enseñar matemáticas. Uno, 18, 47-57. GUZMAN, M. de (1986). Aventuras matemáticas. Barcelona: Labor. MORENO, A. (1992). Juegos y actitud crítica. Suma, 10, 68-74. PAZOS, M. (1998). Bibliografía comentada de matemática recreativa. Uno, 18, 73-92. PERELMAN, Y. (1965). Matemáticas recreativas. Moscú: Mir. RODRIGUEZ VIDAL, R. (1987). Diversiones matemáticas. Barcelona: Reverté. SOLE, M. de Borja (1983) Bibliográfia comentada de libros sobre el juego. Cuadernos de Pedagogía, 99, 27-29. SIGMA Nº 19106 Modesto Arrieta
- 104. Septiembre 2001 •Iraila 2001 107 Todo sobre TODO LO QUE SIEMPRE QUISISTE SABER SOBRE D. Julián Aguirre (*) 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 5923078164062862089986280348253421170679821480865i3282306647 093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559 644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165 271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360 011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953 092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724 891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737 190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901 224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960 864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951 059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035 261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532 171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863 278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891 249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855 889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012 858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379 774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104 752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263 914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030 286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955 321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426 542527862551818417574672890977772793800081647060016145249192 173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468 438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184 272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383 827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896 084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945 047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645 995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620 522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203 496252451749399651431429809190659250937221696461515709858387 410597885959772975498930I61753928468138268683868942774155991 855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222 ... (*) Profesor de la UPV. Departamento de Matemáticas.
- 105. INTRODUCCIÓN Una mirada superficiala la historia del pensamiento humano revela que determinados asun- tos han merecido la atención de los pensadores, filósofos e intelectuales desde el nacimiento de la humanidad hasta nuestros días. En general se trata de cuestiones que no han recibido una respuesta satisfactoria a gusto de todos. Sirvan como ejemplo las preguntas ¿quienes somos?, ¿de dónde venimos? y ¿a dónde vamos? Si esta realidad es descorazonadora, pode- mos consolarnos volviendo nuestra mirada hacia otros problemas que, si bien de naturaleza distinta, han ocupado mentes sapientísimas durante siglos y han sido completamente resuel- tos. Uno de esos problemas es el de la cuadratura del círculo. Consiste en construir un cuadrado con un area igual a la de un círculo dado. Junto con la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, es uno de los tres problemas clásicos planteados por los matemáticos de la Grecia antigua. Es importante comprender que el término construir debe entenderse en el sentido de construir usando exclusivamente regla y compás. Aunque hoy nos pueda parecer un poco extraña esa insistencia en el uso exclusivo de la regla y del compás, debe tenerse en cuenta que para los griegos los números eran razones entre magnitudes que se representaban mediante segmentos, áreas o volúmenes. La historia de la cuadratura del círculo como pro- blema científico se extiende en su totalidad ante nosotros. Podemos rastrear sus orígenes en la antiguedad y seguir el desarrollo de los métodos e ideas para resolverlo hasta llegar por fín a su completa solución. Podemos ver también como el progreso hacia la solución se ha visto afectado por la labor de algunos de los más grandes matemáticos que ha dado la humanidad, como Arquímedes, Huyghens, Euler y Hermite entre otros. No solo los científicos muestran interés por estas cuestiones. La Poetisa Wislawa Szymborska, Premio Nobel de literatura de 1996, escribió un poema titulado El número , que puede leerse el diario El País del 4 de octubre de 1996 (1) . 1. DEFINICIÓN DE El número se define como la razón de la longitud de la circunferencia al diámetro. Esta definición plantea dos preguntas: 1. ¿Como se define la longitud de una línea curva? 2. ¿Como sabemos que esa razón es la misma para todas las posibles circunferencias? Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es la longitud de una línea, pero dar una definición matemática precisa es un problema distinto. La identificación del conjunto R de los números reales con la recta real nos permite definir la longitud de un segmento rectilíneo. Para una línea curva, se define por aproximación mediante líneas quebradas inscritas. Este proceso puede lle- varse a cabo para las llamadas curvas rectificables, de las que la circunferencia es un ejemplo. De hecho en este caso, lo usual es definir su longitud como el límite del perímetro de polígo- nos regulares inscritos o circunscritos cuando el numero de sus lados tiende a infinito. SIGMA Nº 50108 Julián Aguirre
- 106. Esta definición nosdá también la respuesta a la segunda pregunta. Por el teorema de Tales, si en un triángulo duplicamos dos de los lados y unimos los extremos de los lados duplicados, resulta un triángulo semejante al inicial, y el tercer lado también se ha doblado. Eviden- temente lo mismo es cierto para cualquier otra razón de semejanza. Supongamos ahora que tenemos una circunferencia dada y duplicamos el radio. Por lo anterior, vemos que el perí- metro de los polígonos regulares inscritos se duplica, y pasando al límite resulta que la longi- tud de la circunferencia se multiplica por dos. El número también aparece en la fórmula para el área del círculo de radio r, que viene dada por r 2 . Podemos llegar a esta fórmula a través de la aproximación del círculo por polígonos regulares. Si pn es el perímetro del polígono regular inscrito (o circunscrito) y an su apotema, entonces su área es pnan /2. Haciendo n tender a infinito se tiene que pn converge a la longi- tud de la circunferencia, es decir a 2r, y an al radio, de donde resulta la fórmula del área. Para llevar a cabo este proceso he dado por supuesto que el área está bien definida como límite del área de polígonos inscritos. El problema de definir el concepto de área para regio- nes del plano llevó sucesivamente a la definición de la integral y la teoría de la medida. 2. HISTORIA DEL CÁLCULO DE El calcular cifras de es un ejercicio que ha atraído desde siempre a matemáticos y científi- cos en general. La razón primera es de tipo práctico, ya que el valor de es necesario para poder calcular con precisión áreas de círculos y volúmenes de cuerpos cilíndricos (por ejem- plo almacenes de grano). Sin embargo la aplicación más sofisticada necesita no más allá de 30 cifras decimales, que ya fueron calculadas Ludolph van Leuden (1540-1610). ¿Por qué entonces ese ansia de calcular más y más cifras? Por una parte está la satisfacción personal que una persona puede alcanzar al batir un nuevo récord de cifras calculadas (como otras dis- frutan haciendo "puenting" o subiendo al Everest por una ruta nueva). Pero la razón funda- mental es en mi opinión el estudio de las propiedades estadísticas de la distribución de los dígitos 0, 1, ..., 9 en el desarrollo decimal de , claro que también cabe preguntarse para qué quiere uno llevar a cabo ese estudio. Finalmente, en los últimos años el cálculo de unos cuan- tos millones de cifras de se ha convertido en una prueba estándar para comprobar el "hard- ware" de los ordenadores. 2.1. La antiguedad. 2.1.1. Egipto. El valor de documentado más antiguo, y también el más preciso hasta el advenimiento de Arquímedes, es el que se deduce del método usado por los antiguos egipcios para calcular el área de un círculo y que está explicado en un papiro conocido por el nombre del anticuario que lo compró en 1858. El papiro Rhind fue encontrado a mediados del siglo pasado en las ruinas de un pequeño edificio contiguo al templo funerario de Ramsés II, y se encuentra en la actualidad en el Museo Británico en Londres (salvo pequeños fragmentos que se hallan en el Museo de Brooklyn). Septiembre 2001 • Iraila 2001 109 Todo sobre
- 107. Fue escrito porel escriba Ahmes alrededor del año 1950 A.C. (más exactamente en el cuarto mes de la estación de inundaciones en el año 33 del reinado del Rey Apophis). Consta de una serie de tablas matemáticas y problemas junto con su método de resolu- ción. En los problemas 41-43 se calcula el volumen de un granero cilíndrico. En los pro- blemas 48 y 50 se trata de áreas de terrenos circulares. El número 48 va acompañado de un pequeño diagrama. La regla para calcular el área de un círculo es la siguiente: 1. tomar el diámetro del círculo 2. restarle una novena parte 3. elevar al cuadrado Esto equivale a asignar a un valor 4·( ) 2 = = 3,1604938..., y representa un error del 0,6% en el cálculo del área de un círculo. Cómo llegaron a este valor tan preciso es un misterio sobre el que solo cabe especular. 2.1.2. Babilonia. Los babilonios usaban la aproximación menos precisa = 3, con un error en el cálculo del área de un círculo del 4,46%. Este valor está probablemente rela- cionado con su descubrimiento de que el lado de un hexágono regular inscrito en un cír- culo es igual a su radio. 2.1.3. La Biblia. El valor = 3 aparece también de manera implícita en la Biblia. En el libro primero de los Reyes, capítulo 7, versículo 23 y en el libro segundo de las Crónicas, capítulo 4, versículo 2, puede leerse la descripción de un depósito de agua para el pala- cio del Rey Salomón: “Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde. Era enteramente redondo y de cinco codos de altura; un cordón de 30 codos medía su contorno”. Estas líneas han supuesto no pocos quebraderos de cabeza a los fundamentalistas que creen en la Biblia de manera literal. 2.2. Grecia. Los griegos demuestran un gran interés en el número y en el problema de la cuadratura del círculo, cuya solución llegaría dos mil años más tarde. 2.2.1. Los primeros matemáticos griegos. Debemos a los matemáticos griegos, los crea- dores de la geometría como ciencia abstracta, el primer tratamiento sistemático de la cuadratura y rectificación del círculo. Los más antiguos matemáticos griegos —Tales de Mileto (640-548 A. C. y Pitágoras de Samos (580-500 A.C.)— introdujeron la geometría egipcia en Grecia, pero se desconoce si trataron la cuadratura del círculo. Según Plutarco, Anaxágoras (500-428 A.C.) se entre- tuvo en prisión cuadrando el círculo. Alrededor del 420 A.C., Hippias inventó una curva (la cuadratriz) que permite la cons- trucción de . Desgraciadamente (o afortunadamente), la curva es tan difícil de construir como el propio número . SIGMA Nº 50110 Julián Aguirre 8 9 256 81
- 108. Los sofistas consideraronel problema, pero los primeros avances se deben a Antífonas y Bryson, contemporáneos de Sócrates, y que con sideraron por primera vez polígonos ins- critos y circunscritos en la circunferencia. Hipócrates, que vivió en Atenas en la segunda mitad del siglo V A.C., estudió formas geométricas curvilíneas que admiten cuadratura exacta. Intentó reducir el problema de la cuadratura del círculo a la de ciertas lúnulas (regiones entre dos circunferencias). 2.2.2. Arquímedes. El primer hito en la búsqueda de cifras de , y el primer tratamiento del problema verdaderamente científico, lo pone Arquímedes (287-212 A.C.). Considerando polígonos inscritos y circunscritos de 96 lados, obtiene la aproximación 3,140845 = 3 < < 3 = 3,142857. . . El método puede usarse en principio para calcular con cualquier número de cifras. Variaciones de este método son las que se usan en los siguientes 1.800 años para calcu- lar , culminando con el trabajo de Ludolph van Leuden (1540-1610) que calculó 34 cifras correctas. Las limitaciones del método son una convergencia lenta y la necesidad de calcular raíces cuadradas. 2.2.3. Los últimos matemáticos griegos. Con posterioridad a Arquímedes, Hiparco (180- 125 A.C.) calcula la primera tabla de cuerdas de un círculo, fundando la trigonometría. La mayor contribución en esa dirección se debe a Ptolomeo (87-165 D.C.), cuyas tablas de cuerdas estuvieron en vigor durante 1.000 años. Fue además el primero en obtener una aproximación de mejor que la de Arquímedes: = 3°8'30" = 3+ + = 3,14166... 2.3. Oriente. 2.3.1. India. Áryabhatta (alrededor del año 500 D.C.) conocía el valor = = 3,1416. El mismo valor en la forma 3.927 1.250 fue dado por Bhâskara (nacido en el 1114 D.C.), quien lo describe como exacto, en con- traste con el valor inexacto 3 = . Obtuvo este resultado como Arquímedes, calculando los perímetros de polígonos regu- lares inscritos en una circunferencia de 12, 24, 48, 96, 192 y 348 lados. Brahmagupta (nacido en el 598 D.C.) da como exacto el valor =͌10 = 3,1622... Septiembre 2001 • Iraila 2001 111 Todo sobre 1 7 10 71 8 60 30 3.600 62.832 20.000 1 7 22 7
- 109. 2.3.2. China. Losmatemáticos chinos más antiguos, de la época de ChouKong (siglo 12 A.C.) usaban la aproximación = 3. Hasta el siglo tercero de nuestra época hay varios "cuadradores del círculo" que determinan diversos valores para , entre los que se encuentran ͌10 (Chang Hing, muerto en el año 139 D.C.), = 3,1555. . . (Wang Fau) y = 3,14 (Liu Hui, 263 D.C.) La más interesante de todas las determinaciones es la del astrónomo Tsu Ch'ung-Chih (nacido en el año 430 D.C.), quien prueba que 3,1415926 < < 3,1415927 y encuentra los dos valores y = 3,1415926. . . El primero de ellos es el valor dado por Arquímedes, pero el segundo, de gran precisión, no fue hallado ni por los indios ni los griegos, y fue redescubierto en Europa más de mil años después por Adriaen Anthonisz (1527-1607). 2.3.3. Los árabes. En la Edad Media los árabes introducen las matemáticas griegas e indias en Europa, principalmente a través de traducciones de las obras de Euclides, Ptolomeo y Arquímedes. En el siglo noveno Al Warizmi da para el valor griego 3 y los indios y ͌10. 2.4. El renacimiento. 2.4.1. Leonardo Pisano, alias Fibonacci. Vivió en Pisa a finales del siglo XII. Mejora los resultados de Arquímedes con las aproximaciones < < Toma la media de la estimación superior e inferior para obtener = = 3,1418... En este período no hay prácticamente avances. Algunos autores posteriores creen que 3 es el valor exacto de . George Purbach (1423-1461) conoce los valores de Arquíme- des y los matemáticos indios, y duda de que exista un valor exacto. 2.4.2. Nicolás de Cusa. El Cardenal Nicolás de Cusa (1401-1464) obtuvo el valor = 3,1423 que creía exacto, lo que le valió el sobrenombre de "cuadrador del círculo". Por cierto que Aristófanes utiliza en su obra "Los pájaros" el mismo término "cuadrador del círculo" para referirse a quien dedica su vida a una tarea imposible. En cualquier caso, gran parte del desarrollo de las matemáticas entre los griegos se produce como consecuencia de intentar resolver problemas imposibles. SIGMA Nº 50112 Julián Aguirre 142 45 157 50 22 7 355 113 1 7 62.832 2.000 1.440 458 4 9 1.440 458 1 5 1.440 458 1 3 1 7
- 110. 2.5. Los siglosXVI y XVII. Copérnico y Kepler entre otros introducen grandes avances en la tri- gonometría, que servirán como base para los desarrollos analíticos del siguiente período. Leonardo da Vinci y Alberto Durero, ambos grandes artistas, dedicaron parte de su tiempo a la cuadratura del círculo sin ningún logro reseñable. Andrea Anthonisz (1527-1607) redescubre el valor chino . 2.5.1. La fórmula de Vieta. Francisco Vieta (1540-1603) da la primera expresión explícita de en forma de producto infinito: La obtiene por métodos todavía geométricos. También calcula , usando polígonos de 6 · 216 = 393.216 lados, con 9 cifras decimales. 2.5.2. Ludolf van Ceulen (Colonia, 1539-1610). Realiza el último cálculo con el método de Arquímedes, llegando hasta 34 cifras, que ordenó esculpir en su tumba. En Alemania se conoce aún hoy a como número de Ludolph. 2.5.3. Snelliuss y Huyghens. Willebord Snellius y Christian Huyghens llevan hasta el límite el método geométrico. A través de una serie de 16 teoremas, Huyghens obtiene a partir de el triángulo los valores para los que antes eran necesarios polígonos de 96 lados, y con el hexágono obtiene 9 cifras decimales exactas, mientras que el método de Arquímedes proporciona 3 < < 3,464. 2.5.4. Descartes. Modifica el método de Arquímedes, expresándolo como una iteración para dos sucesiones, en una manera que se asemeja al algoritmo de la media aritmético- geométrica de Gauss. 2.6. La irrupción del cálculo. Uno de los efectos del nuevo cálculo diferencial e integral desa- rrollado por Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716) fue el de reemplazar los métodos geométricos para el cálculo de por métodos analíticos. 2.6.1. Fórmula de Wallis. John Wallis (1616-1703), mediante un cálculo complicado que precisa de una prodigiosa intuición numérica, encuentra el producto infinito Tiene la ventaJa sobre la fórmula de Vieta de que solo necesita operaciones racionales. 2.6.2. La fracción continua de Lord Brounker. Unos años rnás tarde Lord Brounker (1620- 1686), primer presidente de la Royal Society, lo reescribe como una fracción continua: = ͌ ͌ + ͌ ͌ + ͌ + ͌ ...... Septiembre 2001 • Iraila 2001 113 Todo sobre 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = 2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · 8 · 8 ... 2 1 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 9 ... 355 113
- 111. (1) El método másutilizado en la práctica para el cálculo de (al menos hasta la década de los 80) lo establece el matemático escocés James Gregory (1638-1671) al obtener el desarrollo en serie de potencias de la función arctan: arctan x = ⌺ x2n+1 = x – + – + . . . válido para –1≤ x ≤ 1. Poniendo x = 1 se obtiene = 1 – + – + ..., conocida como serie de Leibniz, quien la descubrió en 1674 y la publicó en 1682. Sin embargo ya era conocida por Gregory y Newton. En cualquier caso no es muy útil como método práctico de cálculo debido a lo lento de su convergencia. Si sumamos 500.000 términos obtenemos solo 5 cifras decimales correctas. Sin embargo tenemos el siguiente fenómeno. En la suma de esos 500.000 primeros calculada con 40 cifras decimales, se tiene 4 ⌺ = 3,14159 0 6535897932 4 04626433832 6 9502884197, y las únicas cifras incorrectas son las recuadradas. Es claro que cuanto más pequeño sea x más rápidamente convergerá la serie. A princi- pios del siglo XVII, Abraham Sharp, bajo la dirección del astrónomo E. Halley, obtuvo 71 cifras usando la serie del arctan con x =1/ ͌3, que corresponde a , y con x = 2 – ͌3 = , que corresponde a El mismo Isaac Newton calculó 15 cifras de mediante la fórmula = +24( – + – – ... ), confesando sentirse avergonzado por ello. 2.7. Leonard Euler (1707-1783). Euler ha sido uno de los más grandes analistas (y cien- tíficos) de todos los tiempos. Presentamos algunos de sus resultados más relevantes en relación con el número . La forma moderna de la trigonometría es debida a Euler. El introduce las funciones sen, cos y tan como razones de los lados de un triángulo rectángulo y por tanto como fun- ciones de una magnitud angular. La costumbre de usar los símbolos (introducido por William Jones en 1706) y e es debida a él. Esta forma de considerar las funciones trigo- nométricas como funciones analíticas del ángulo, llevó a Euler a uno de sus grandes ϱ x3 3 4 6 1 3 1 5 1 7 12 x5 5 x7 7 (-1)n 2n + 1 1 n = 0 1 2 + ͌3 499.999 (-1)n 2n + 1n = 0 12 1 5·25 1 28·27 1 72·29 SIGMA Nº 50114 Julián Aguirre 4 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 +... 1 9 25 49 3 ͌3 4
- 112. descubrimientos, la relaciónentre las funciones trigonométricas y la función exponen- cial. Fruto de ella es la siguiente identidad, en la que figuran los números más impor- tantes: ei +1 =0. También calculó cifras de , y demostró varias fórmulas en las que interviene el número . En 1775 obtuvo una nueva serie para arctan: (2) arctan x = {1 + S + S2 + S3 + . . . }, donde S = . Esta serie es más eficiente computacionalmente que la de Gregory por ser de términos positivos y porque S < x2 . En conjunción con la fórmula = 20 arctan + 8 arctan le permitió calcular 20 cifras de en menos de una hora. Encontró varias fórmulas notables en las que aparece , entre las que merece la pena destacar las siguientes series, cuya suma Bernoulli no pudo lograr: ⌺ = y ⌺ = 2.7.1. La fórmula de Machin. John Machin (1680-1752) halla en 1706 la fórmula que lleva su nombre: = 4 arctan – arctan , Junto con la serie para el arctan proporciona un método eficiente de cálculo. La segunda serie converge rápidamente, mientras que la primera puede reducirse a cálculos con denominadores potencias de 10. Machin calculó así 100 cifras en el año 1706. En los siguientes 200 años hay pocos cambios en los métodos de cálculo de , que se basan fundamentalmente en variaciones de la fórmula de Machin. Por ejemplo, en 1884 Johann Dase usó la fórmula = arctan + arctan + arctan para calcular 200 cifras de . Dase podía calcular en la cabeza productos de números de 100 cifras en un tiempo de unas 8 horas. A recomendación de Gauss, la Academia de Ciencias de Hamburgo pagó a Dase para factorizar los enteros entre 7.000.000 y 10.000.000. Como dice Beckmann en su libro sobre la historia de : Parece que Gauss, quién ha sido el primero en obtener resultados en muchas ramas de las matemáticas, fue también el primero en pagar por tiempo de CPU. El zenit de los cálculos a mano se alcanza con Wiliam Shanks (1812-1882), quien publica primero 607 cifras (1853) y más tarde 707. Sin embargo comete un error en la cifra 528, error que pasó desapercibido hasta que en 1945 D.F. Ferguson, en una de los últimos cálculos hechos a mano, halla 530 cifras. En 1947, usando una calculadora de mesa, calcula 808 mediante la fórmula: Septiembre 2001 • Iraila 2001 115 Todo sobre 2 6 4 90 4 2 3 1 5 4 1 2 1 5 1 8 1 7 3 79 ϱ n = 0 x 1 + x2 x2 1 + x2 2·4 3·5 1 239 1 n2 ϱ n = 0 1 n4 2·4·6 3·5·7
- 113. = 3 arctan+ arctan + arctan . 2.8. La época moderna. Con la aparición de los ordenadores el cálculo de cifras de cobra una nueva dimensión. Los récords van cayendo uno tras otro. Los primeros cálculos utilizan todavía la fórmula de Machin o similares. • En Junio de 1949, Metropolis, Reitweiser y von Neumann calcularon y analizaron 2.037 cifras de con el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer) mediante la fórmula de Machin. El cálculo duró 70 horas. • En 1959 se calculan 16.167 cifras en un IBM 704 en 100 minutos. • En 1961, con una fórmula tipo Machin, D. Shanks y Wrench pasan la barrera de las 100.000 cifras en un IBM 7090 en un tiempo de 9 horas. • El millón de cifras lo sobrepasan Guilloud y Bouyer en 1973 en un CDC 7600, toda- vía con una fórmula tipo Machin. A partir de aquí se introducen nuevos algoritmos basados unos en la media aritmético-geo- métrica de Gauss y otros otros en la teoría de transformaciones de integrales elípticas descu- bierta por S. Ramanujan. Los hitos son los siguientes: • Kanada, Tamura, Yoshino y Ushiro (1983), 16.000.000 de cifras en un HITAC M-280H en menos de 30 horas, usando un algoritmo basado en la media aritmético-geométrica de Gauss y multiplicación rápida basada en FFT (Fast Fourier Transform, transformada de Fourier rápida). • W. Gosper (1985), 17.000.000 usando la fracción continua de y la siguiente fór- mula debida a Ramanujan y que se basa en una identidad modular de orden 58: = ⌺ . El cálculo detectó ligeros errores de diseño del hardware en el ordenador (un Symbolics 3670) que habían pasado desapercibidos en cálculos a menor escala. De hecho en la actualidad el cálculo de unos cuantos millones de cifras de se usa para comprobar el estado del hardware de un ordenador. • En Enero de 1986 D. H. Bailey calcula 29.360.000 cifras de en el CRAY-2 del Centro de Investigación Ames de la NASA. Utiliza 12 iteraciones de un algoritmo debido a Borwein & Borwein de orden 4 para 1/, usando como comprobación 24 iteraciones de un algoritmo de orden 2 descubierto también por los Borwein. • En septiembre de 1986 Kanada recupera el récord al calcular 225 = 33.954.432 cifras, reduciendo el tiempo de cálculo a una quinceava parte del utilizado en 1983. Utiliza para ello un algoritmo de orden 2, debido a Gauss pero hecho explícito por Brent y Salamin. En enero de 1987 extiende el cálculo hasta 227 cifras, superando la marca de los 100 millones. En enero de 1988 calcula 201.326.000 cifras en un supercomputa- dor Hitachi S-820. SIGMA Nº 50116 Julián Aguirre 1 4 1 4 1 20 1 1.985 ϱ n = 0 (4n)! (n!)4 ͌8 9.801 1.103 + 26.390 n 3964n
- 114. • La últimahazaña de la que tengo noticia es el cálculo por los hermanos Chudnovsky de más de dos mil millones de cifras. Utilizan para ello la siguiente fórmula tipo Ramanujan, que no fue descubierta por él: = ⌺ (-1)n donde k1 = 13.591.409, k2 = 545.140.134, k3 = 1.001.000.025 y k4 = 327.843.840. El ordenador fue diseñado especialmente para el cálculo. 3. MÉTODOS DE CÁLCULO DE 3.1. Dos métodos experimentales para aproximar . No se conoce en muchos casos la manera en que se llegó a los diversos valores de usados en la antiguedad. Yo voy a proponer dos posi- bles métodos, que no necesitan más conocimiento matemático que el de medir, dividir y con- tar. Ambas son experimentales, y se basan en la relación de con la longitud de la circunfe- rencia y el área del círculo. La primera consiste simplemente en medir la longitud de una circunferencia, medir el diáme- tro y calcular su cociente. El resultado será evidentemente aproximado debido a los errores de medición y a la imposibilidad de construir una circunferencia perfecta. La relación de con el área del círculo proporciona el segundo método para su cálculo. Tomamos una hoja de papel cuadriculado y trazamos con un compás un cuadrante de cir- cunferencia de radio por ejemplo 10 cuadrados. El área del cuadrante será de 100/4 = 25 cuadrados. El número de cuadrados totalmente contenidos dentro del cuadrante dividido por 100 será una aproximación (por debajo) de , y el número de cuadrados que tienen intersec- ción no vacía con el cuadrante dividido por 100 será otra aproximación, esta vez por arriba. FIGURA 1. Método elemental de aproximar Contando cuadros en la figura 1, resulta que hay 69 dentro y 86 que tocan. Por lo tanto 2,76 = < < = 3,44 Podemos mejorar esta aproximación de dos maneras: 1. aumentando el número de cuadrados; 2. calculando a ojo qué fracción de los cuadrados que tocan la circun ferencia cae den- tro del círculo. Septiembre 2001 • Iraila 2001 117 Todo sobre 1 ϱ n = 0 1 53.360͌640.320 (k1 + nk2 ) (6n)! (n!)3 (3n)! (8 · k3 · k4)n 69 25 86 25
- 115. 3.2. Métodos geométricos.Son métodos que utilizan la definición de la longitud de la cir- cunferencia como límite del perímetro de polígonos inscritos o circunscritos. Su convergencia es lenta y precisan del cálculo de raíces cuadradas. 3.2.1. El método de Arquímedes. Sea Pn un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio 1 y sea ln la longitud de su lado. El perímetro será entonces nln y podremos aproximar por n = . La idea de Arquímedes es partir de un polígono cuyo lado es conocido e intentar calcu- lar a partir de él el lado del polígono con el doble número de lados. Su método está ínti- mamente unido al método de exhaución, que le permite demostrar (con un rigor homo- logable al exigido actualmente) que la longitud de la circunferencia puede aproximarse tanto como se quiera por el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos. Obtiene además una estimación inferior y otra superior para el valor de . En todo momento es consciente de que no obtiene el valor exacto de , sino aproximaciones. La figura 2 representa los polígonos regulares de n y 2n lados inscritos en una circunferencia de cen- tro O y radio 1. En ella OA = OB = 1, AB = l2n y AC = ln. FIGURA 2. El método de Arquímedes Calculamos el área del triángulo OAB de dos formas distintas. Por un lado, la longitud del lado OB es 1, y la altura sobre ese lado es ln /2, de donde resulta área de OAB = ln. Por otro, el triángulo es isósceles, siendo la longitud de sus lados iguales 1 y la del otro lado l2n. La longitud de la altura, por el Teorema de Pitágoras es ͌1 - (l2n /2)2 , y por tanto área de OAB = 2 ͌1 – ( )2 = ͌4 – (l2n)2 Igualando las dos expresiones y despejando l2n, queda l2n = ͌2 – ͌4 – (l2n)2 1 4 SIGMA Nº 50118 Julián Aguirre nln 2 l2n1 2 2 l2n 2
- 116. lo que permitecalcular por recurrencia el perímetro del polígono de 2k n lados conocido el del polígono de n lados. Arquímedes comenzó con el hexágono P6, para el que l6 = 1 y 6 = 3. Tenemos entonces: 12 = 6 ͌2 – ͌3 = 3,105828 24 = 12 ͌2 – ͌2 + ͌3 = 3,132629 48 = 24 ͌2 – ͌2 + ͌2 + ͌3 = 3,139350 96 = 48 ͌2 – ͌2 + ͌2 + ͌2 + ͌3 = 3,141032 En realidad no obtuvo estos valores, sino que evita el cálculo de raíces cuadradas utili- zando desigualdades, para obtener 3 < < 3 . Descartes considera polígonos regulares de n lados (n ≥ 3) y de perímetro fijo 2. Llamando r y R a los radios de los correspondientes círculos inscritos y circunscritos tene- mos 2r < 2 < 2R ˛ < < . Como en el método de Arquímedes, en primer lugar obtendremos los radios de los cír- culos inscrito y circunscrito del polígono regular con el doble número de lados y tam- bién perímetro 2, que llamamos r* y R*. Se tiene entonces r* = (r + R) y R* = ͌Rr* . Fijemos ahora como polígono inicial un hexágono, para el que r = y R = . Construimos las sucesiones {rn} y {Rn} de manera recurrente por las fórmulas Entonces < < , y las sucesiones { } y { } convergen a . Además – ≤ ( – ). Septiembre 2001 • Iraila 2001 119 Todo sobre 10 71 1 7 1 R 1 2 1 r r0 = rn+1 = (rn +Rn) ͌ 3 6 1 3 1 2 R0 = Rn+1 = ͌Rn rn+1 { { n ≥ 0. 1 3 ͌3 6 1 rn 1 Rn 1 rn+1 1 Rn+1 Rn 4 1 Rn 1 rn 1 Rn 1 rn
- 117. Puesto que <1 el método converge linealmente, y (asintóticamente) en cada iteración el error se divide por 4. 3.3. Métodos analíticos. Con el nacimiento del cálculo infinitesimal surgen nuevas herra- mientas para el cálculo de . La fórmula de Wallis (como la de Vieta) si bien dan una expre- sión cerrada para , no son muy útiles para su cálculo. El primer avance serio se produce con el descubrimiento por James Gregory de la serie de potencias para la función arctan: arctan x = x – + – + ..., ͉x͉ < 1. La serie converge absolutamente para ͉x͉ < 1, y condicionalmente para x = ±1. Dando valo- res particulares a x podemos obtener fórmulas para . La convergencia de la serie será más rápida cuanto más pequeño sea x. Abraham Sharp calculó 71 cifras usando x = 2 – ͌3 = 0, 267949. Hay toda una colección de fórmulas que permiten aproximar mediante la serie de Gregory usando valores pequeños de x, lo que acelera la convergencia del método. Algunas de ellas se han usado para calcular millones de cifras de . A continuación presento las más eficien- tes para el cálculo. Con el fin de simplificar la escritura, usaremos la notación [x] = arctan . = [2] + [3] Euler = [2] + [5] + [8] Daze = 2 [3] + [7] Clausen = 4 [5] - [239] Machin = 8 [10] - [239] + 4 [515] Klingestierra = 12 [18] + 8 [57] - 5 [239] Gauss Son conocidas como fórmulas tipo Machin. La más sencilla es la de Euler (3) = arctan 1 = arctan + arctan . Hay dos maneras de probarla. Una analítica usando la fórmula para la tangente de una suma, y otra geométrica, que se expone a continuación. En la siguiente figura, el triángulo ABC es rectángulo en B e isósceles. Por lo tanto el ángulo A mide /4 radianes, mientras que ␣ = arctan y  = arctan . Las fórmulas más eficientes, en función del número de términos que se debe evaluar son la de Machin, la de Klingestierra y la de Gauss. En la práctica es habitual realizar los cálculos con dos de ellas como comprobación. Las de Machin y Klingestierra tienen la ventaja de que las series [5] y [10] Rn 4 1 x 4 1 2 1 2 1 3 1 3 4 x3 3 x5 5 x7 7 SIGMA Nº 50120 Julián Aguirre
- 118. FIGURA 3. Demostracióngeométrica de la igualdad (3) son de cálculo casi inmediato en base decimal. Sin embargo la de Gauss, cuando se utiliza junto con la serie de Euler (2), es más eficiente, pues x = ˛ S = = y x = ˛ S = = Desde un punto de vista práctico, esto quiere decir que basta con calcular los términos de la serie [18], ya que los de la serie [57] se obtienen multiplicando por potencias negativas de 10 (lo que implica un desplazamiento a la derecha de las cifras decimales). Los términos de la serie se calculan de manera sucesiva de forma recurrente: a1 = 1, a2 = S a1 , a3 = S a2 ,..., an+1 = S an ,... 3.4. La media aritmético-geométrica de Gauss. La media aritméticogeométrica fue descu- bierta por Lagrange, y redescubierta por Gauss a la edad de 14 años. Nueve años más tarde publicó un artículo exponiendo muchas de sus propiedades. Sean a > b números reales. Las medias aritmética y geométrica son respectivamente , ͌ab. Geométricamente, si a y b son los lados de un rectángulo, la media aritmética de a y b es el lado de un cuadrado con el mismo perímetro que el rectángulo original, mientras que la geo- métrica es el lado de un cuadrado con la misma área. Llamamos a1 a la media aritmética de a y b y b1 a su media geométrica. Definimos de manera recurrente una sucesión an+1 = , bn+1 = ͌an bn . Es fácil comprobar que {an} es una sucesión decreciente, {bn} creciente y que ambas conver- gen a un mismo límite, la media aritmético-geométrica de a y b, que denotamos por M(a, b). La convergencia de las sucesiones es además cuadrática. Definimos cn 2 = an 2 – bn 2 . Septiembre 2001 • Iraila 2001 121 Todo sobre 1 18 x2 1 + x2 2 3 4 5 1 325 1 57 x2 1 + x2 1 3.250 a + b 2 an + bn 2 2n 2n + 1
- 119. 13.591.409 53.360͌640.320 Se comprueba fácilmenteque cn+1 ≤ c2 n . La media aritmético-geométrica está íntimamente relacionada con las funciones elípticas. Una de las relaciones (debida a Gauss) que tiene que ver con el problema que nos ocupa es 2 M (a,b) = Esta fórmula y otra debida a Legendre permiten obtener la siguiente fórmula para : = donde a = 1, b = 1/ ͌2 y cn se define como antes. En 1976 Salamin redescubrió la fórmula, estableciendo un algoritmo cuadrático para el cálculo de . Debe compararse el algoritmo de la media aritmético-geométrica con el de Descartes, muy parecidos formalmente, pero uno de convergencia cuadrática y el otro lineal. La media aritmético-geométrica puede utilizarse también para el cálculo de numerosas fun- ciones especiales. 3.5. Identidades modulares. Existe una íntima relación, que yo no dudaría en llamar bella, entre la teoría de transformación de funcion es elípticas, las funciones theta, ecuaciones modulares y la aproximación de . El primero en hacerla explícita fue el matemático indio Ramanujan, quien en 1914 publicó un artículo en el que entre otras aparece la siguiente fór- mula: = ⌺ El primer término de la serie proporciona ≈ = 3,14159273001 ... La convergencia de la serie es muy rápida. Una serie similar descubierta por los hermanos Chudnovsky es = ⌺ (-1)n donde k1 = 13.591.409, k2 = 545.140.134, k3 = 1.001.000.025 y k4 = 327.843.840. El primer término da = = 3,14159265359 ... Cada nuevo término añade 14 decimales correctos. El interés de Ramanujan era el de obtener aproximaciones al gebraicas de . J.M. y P.M. Borwein construyen algoritmos iterativos, íntimamente relacionados con el análisis de Ramanujan. David H. Bailey calculó en 1988, 29.360.000 decimales de mediante el siguiente algoritmo: ͐ SIGMA Nº 50122 Julián Aguirre 1 4M(a,b) dx ͌a2 cos2 x + b2 sen2 x /2 0 4M2 (1,1/͌2) 1 – ⌺ 2n+1 c2 n ͌8 9.801 ϱ n=0 1.103 + 26.390n 3964n (4n)! (n!)4 ϱ n = 0 1 1 53.360͌640.320 (k1 + nk2) (6n)! (n!)3 (3n)! (8·k3·k4)n ϱ n = 0 1 9.801 1.103͌8
- 120. Sean ␣0 =6 – 4 ͌2 e y0 = ͌2 – 1. Se definen de manera recurrente yn+1 = y ␣n+1 = (1 + yn+1)4 ␣n – 22n+3 yn+1 (1 + yn+1 + yn+1 2 ) Entonces ␣n converge con orden 4 a y 0 < ␣n – < 164n e–2··4 n Cada iteración cuadruplica el número de decimales correctos. Además el método es autoco- rrector. Esto tiene la ventaja de que no es necesario hacer todas las operaciones con la preci- sión deseada al final. Basta realizar cada iteración con una precisión igual a los decimales correctos que van a obtenerse. 3.6. Multiplicación rápida. El cálculo de tantas cifras decimales hace necesario tener rutinas altamente eficientes para aritmética de precisión. La mayoría de los compiladores actuales son capaces de trabajar en precisión cuádruple (unas 32 cifras decimales), lo que es suficiente en casi todos los casos. Sin embargo estamos tratando con problemas que exigen multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de números de varios millones de cifras. Las dos últimas ope- raciones citadas pueden llevarse a cabo mediante multiplicaciones y un algoritmo iterativo. Los mejores algoritmos de multiplicación en multi-precisión utilizan versiones de FFT (trans- formada rápida de Fourier). 3.7. Fracciones continuas. Lord Brounker dio el primer desarrollo de como fracción conti- nua (ecuación (1)) alrededor de 1659. El desarrollo en fracción continua regular (o sea, con todos los numeradores iguales a 1) es (1) No hay ninguna regularidad en la sucesión de denominadores, y la única manera de calcu- larlos es a partir del desarrollo decimal de . Otros desarrollos (no regulares) pero con regu- laridad en los numeradores y denominadores son: Septiembre 2001 • Iraila 2001 123 Todo sobre = 3 + 7 + 15 + 1 + 1 +... 1 1 1 1 = 4 + 1 + 3 + 5 + 7 +... 1 12 22 32 1 – (1 – y4 n)1/4 1 + (1 – y4 n)1/4 1 1
- 121. y Este último esdebido a L.J. Lange en 1999. 3.8. La última fórmula. En 1995 D. Bailey, P. Borwein y S. Plouffe descubrieron la siguiente fórmula: = ⌺ ( – – – ). Lo más chocante de esta fórmula es que permite calcular la n-ésima cifra de en base 16 sin necesidad de calcular las anteriores. En todos los métodos mencionados anteriormente, se cal- culan de golpe todas las cifras desde la primera a la n-ésima. Desafortunadamente no se conoce ninguna fórmula similar que permita hacer lo mismo en base 10. 4. LA CUADRATURA DEL CÍRCULO El problema de la cuadratura del círculo consiste en construir un cuadrado con un área igual a la de un círculo dado. Era bien sabido ya por los griegos que es un problema equivalente a la rectificación de la circunferencia. La solución debe dar los vértices del cuadrado mediante un número finito de las operaciones que pueden realizarse con regla y compás para determi- nar un punto. Llevadas estas a la práctica darán una solución física del problema, que será inexacta debido a la imperfección de los instrumentos, el grosor de las líneas dibujadas, etcé- tera. Es probablemente este error de la solución física lo que llevó a muchos cuadradores del círculo a creer que habían resuelto un problema que hoy sabemos que no tiene solución. Además de la historia científica del problema, tiene una historia de otro tipo, debido al hecho de que en todo tiempo, pasado y presente, ha atraído la atención de personas que, sin los conocimientos necesarios para comprender la naturaleza del problema, se dedican a su reso- lución con devoción y entusiasmo. Como norma general man tienen la validez de su solución pese a los esfuerzos de de genuinos matemáticos para sacarlos de su error. El tipo de solucio- nes que propugnan los "cuadradores del círculo" va desde los intentos más fútiles que traslu- cen una total falta de capacidad para el razonamiento lógico hasta aproximaciones ingenio- sas que demuestran una gran inventiva. Las sociedades científicas y las secciones de cartas al director de los periódicos reciben con frecuencia escritos de estos aficionados, generalmente acompañadas de quejas de incomprensión y conspiración en su contra. Ya en tiempos de los griegos el término ␣␥ (el que se ocupa en la cuadratura) se utilizaba para designar a quien se dedica a tareas imposibles (por ejemplo, en la obra "Los pájaros", de Aristofanes). En el año 1775 la Academia de París se vio obligada a aprobar una resolución por la que no SIGMA Nº 50124 Julián Aguirre = 3 + 6 + 6 + 6 + 6 +... 12 32 52 72 1 16k 4 8k + 1 2 8k + 4 1 8k + 5 1 8k + 6 ϱ n = 0
- 122. se examinarían mássoluciones de la duplicación del cubo, trisección del ángulo o cuadratura del círculo, y lo mismo se aplicaría a máquinas de movimiento continuo. Es curiosa la segu- ridad de los matemáticos de la época en la imposibilidad de esas construcciones, cuya prueba tardó todavía 100 años en llegar. 4.1. Thomas Hobbes. De entre los innumerables cuadradores del círculo destaca el filósofo inglés Thomas Hobbes (1588-1679). Un punto clave en el desarrollo de su pensamiento filo- sófico se produce alrededor de 1629, cuando lee los Elementos de Euclides. Queda tan impre- sionado por el método deductivo que le parece el único posible para el avance de la ciencia y la filosofía. Esto le enfrenta a los que abogan por el método inductivo-experimental, entre los que se encuentran Roger Bacon, el astrónomo Seth Ward y el matemático John Wallis. La publicación de "De Corpore", en la que influenciado por Galileo pretende explicar todos los fenómenos físicos en términos de movimiento y en el que incluye un método para cuadrar el círculo, da pie a Wallis para refutar sus matemáticas, y de paso ridiculizar sus teorías filo- sóficas y políticas. Hobbes replica traduciendo su libro al inglés y añadiendo un epílogo de título "Seis lecciones a los Profesores de Matemáticas de Oxford". La polémica continúa por ambas partes con algunas interrupciones hasta la muerte de Hobbes a los 90 años. Entre tanto publica "De la Cuadratura del Círculo, la Duplicación del Cubo y la Trisección del Ángulo". 4.2. El valor legal de . Otro insigne cuadrador fue Edward Jonhston Goodwin (1828?-1902), médico de Solitude, Indiana. En 1892 publica "Desigualdad Universal es la Ley de Toda la Creación", en la que incluye el comentario: En la primera semana de Marzo, 1988, el autor fue enseñado de forma sobrenatural la medida exacta del círculo ... ninguna autoridad en la ciencia de los números puede decir como fue descubierta Patentó sus resultados en U.S.A., Inglaterra, Alemania, Bélgica, Francia Austria y España. En 1984, primer año de existencia del American Mathematical Monthly, publica "Cuadratura del Círculo", con la nota "Publicado a petición del autor". El Dr. Goodwin convenció a su repre- sentante en el Parlamento de Indiana para que presentase una proposición de ley cuyo texto era casi idéntico al del artículo del Monthly. Comienza así: Una proposición de ley introduciendo una nueva verdad matemática ofrecida como contri- bución a la educación y para uso exclusivo del estado de Indiana libre de todo costo, siem- pre que sea aceptada y adoptada por la legislatura de 1887. ARTICULO 1. Se legisla por la Asamblea General del estado de Indiana que ha sido hallado que un área circular es al cua- drado de lado igual al cuadrante de la circunferencia como el área de un rectángulo equilá- tero es a uno de sus lados.... Esto parece querer decir que D2 /4 = ( D/4)2 , de donde = 4. Septiembre 2001 • Iraila 2001 125 Todo sobre
- 123. ARTICULO 2. Además,ha revelado la razón de la cuerda y arco de 90°, que es como siete a ocho, y también la razón de la diagonal y el lado de un cuadrado, que es como 10 a 7. Según esto ͌2R : R/2 = 7: 8, de donde = 16͌2/7 = 3,232488..., y ͌2 = 10/7 = 1,428571... La ley estuvo a punto de ser aprobada. Y si no lo fue no es porque se esgrimieran argumentos científicos, sino porque la materia de la que trataba no era susceptible de legislación. 4.3. Ejemplos más cercanos. Como ejemplos más cercanos citaré tres casos de este siglo y en España, para terminar con una anécdota reciente del examen de selectividad. El primero es el de un maestro de Alcantarilla (Murcia) de nombre Férez, que publicó un libro en la Editorial Nacional en el que entre un sinfín de disparates probaba por un razonamiento ontológico que es racional. El segundo es un personaje cuyo nombre no recuerdo, y que a raíz de una visita del mate- mático soviético Nikolski a la UPV/EHU, publicó una carta en el periódico El Correo Español y el Pueblo Vasco en la que decía haber cuadrado el círculo y apostaba un millón de pesetas a que ni Nikolski ni ningún otro matemático eran capaces de refutar su prueba. El último es un "escrito" enviado por Imanol y Juan Aizpurua al Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y titulado Método operativo simplificado en la resolución de ciertos proble- mas sobre cuerpos geométricos. Y breve comentario sobre la cuadratura del círculo. En el se dicen cosas como que según para que se use, puede valer una cosa u otra. Para terminar este apartado quiero relatar el susto que me llevé cuando en la prueba de selec- tividad de 1993 vi con horror que uno de los problemas de dibujo pedía rectificar la circun- ferencia. El profesor de la disciplina me tranquilizó diciendo que se pedía una construcción geométrica basada en la siguiente aproximación de : = ͌3 + ͌2 = 3,1462... Si la circunferencia tiene radio 1, entonces los lados del triángulo equilátero y cuadrado ins- critos tienen longitud ͌3 y ͌2 respectivamente. 4.4. La solución del problema. El primer paso en la demostración de la imposibilidad de la cuadratura del círculo lo dio J. H. Lambert (1728-1777). En un artículo publicado en 1768 prueba que y e son irracionales. Una demostración accesible a quienes han hecho el curso de Análisis I se encuentra en el libro Calculus de M. Spivak. Esto no dice nada en cuanto a la constructibilidad de , pues muchos irracionales son cons- tructibles, como descubrieron con gran sorpresa los griegos. De hecho, los números cons- tructibles son aquellos que pueden obtenerse mediante un número finito de operaciones racionales y raíces cuadradas. Charles Hermite da en 1873 una nueva prueba de la irracionalidad de y 2 , de interés por ser el germen de la demostración de la transcendencia de . Números transcendentes son aquellos que no son raíz de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. Si bien casi todos los números son transcendentes, el primer ejemplo explícito se debe a Liouville en SIGMA Nº 50126 Julián Aguirre
- 124. 1840. En 1873Hermite prueba que e es transcendente, y en 1882 Lindemann enuncia su teo- rema del que se deduce que es transcendente, y por tanto la cuadratura del círculo imposi- ble. Se sabe que e = (–1)-i es transcendente, así como + log 2 + ͌2 log 3. Sin embargo no se sabe si + e, /e o log son irracionales. Otros números famosos sobre los que se sabe poco son la constante de Euler-Mascheroni ␥ = lim (1 + + ... + – log n) y los valores de la función de Riemann: (x) = ⌺ , x > 1. Se sabe calcular (2n), que es un múltiplo racional de 2n . Se sabe que (3) es irracional, pero no si es transcendente. No se sabe nada de (2n + 1) para n ≥ 2. 5. Y EL AZAR El número tiene una extraña tendencia a aparecer por lugares insospechados, como en diversos problemas de probabilidad. Uno de los más conocidos es 5.1. La aguja de Buffon. En 1733, Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon, planteó el siguiente problema: dada una aguja de longitud l y una rejilla infinita de rectas paralelas a una distancia común d, hallar la probabilidad p de que la aguja, arrojada de forma aleatoria, corte a una de las rectas. Si l ≥ d, se calcula fácilmente que p = Esto permite calcular de manera experimental, dibujando las líneas en el suelo y arrojando una aguja un número suficientemente grande de veces. 5.2. Un método probabilístico de calcular . Junto con el método experimental de tirar una aguja al suelo, este es el más irracional de los métodos para calcular . Partimos de un cua- drado de lado 1 en el que está inscrito un cuarto de círculo de radio también 1. Si tiramos N_TOTAL dardos a esa diana de manera aleatoria y N_ACIERTO caen en el círculo, entonces Ϸ = . Si el número de lanzamientos es muy grande, entonces podremos aproximar Ϸ 4 · . Naturalmente no podemos tirar 100.000 dardos a la diana. Por eso se hace una simulación mediante números aleatorios. Los resultados de un experimento de 20.000 lanzamientos usando Mathematica son: Septiembre 2001 • Iraila 2001 127 Todo sobre 2l d 1 2 1 n 1 kx n’ ϱ 4 N_ACIERTO N_TOTAL área del cuadrado área del círculo ϱ k = 0 N_ACIERTO N_TOTAL
- 125. N ACIERTOS 2.0001.568 3,136 4.000 3.154 3,154 6.000 4.727 3,15133 8.000 6.303 3,1515 10.000 7.897 3,1588 12.000 9.450 3,15 14.000 10.993 3,14086 16.000 12.588 3,1395 18.000 14.098 3,13289 20.000 15.673 3,1346 5.3. ¿Es normal? Un número real x se dice que es normal en base b si en su representación decimal en base b todos los dígitos 0, 1,..., b – 1 aparecen asintóticamente el mismo número de veces. Además, para cada n, las bn combinaciones de n dígitos deben aparecer asintótica- mente con la misma frecuencia. Un número que es normal en todas las bases se dice que es normal. Casi todos los números son normales, pero no se conoce explícitamente ninguno que lo sea. El número 0,123456789101112131415161718192021... es normal en base 10 (D. Champernowne). La aparente aleatoriedad de las cifras de plantea la cuestión de si es normal o no. Lo único que podemos hacer en esta dirección es un análisis estadístico de las cifras decimales cono- cidas de . Esto fue realizado por David H. Bailey con 29.3600.000 cifras. En la siguiente tabla se ve la distribución de los dígitos del 0 al 9. La tercera columna se ha obtenido divi- diendo la desviación de la media por la desviación estándar, y como cabría esperar de una sucesión aleatoria de dígitos, está distribuida normalmente con media cero y varianza 1. DÍGITO FRECUENCIA Z-score 0 2.935.072 -0,5709 1 2.936.516 0,3714 2 2.936.843 0,5186 3 2.935.205 -0,4891 4 2.938.787 1,7145 5 2.936.197 0,1212 6 2.935.504 -0,3051 7 2.934.083 -0,1793 8 2.935.698 -0,1858 9 2.936.095 0,0584 SIGMA Nº 50128 Julián Aguirre
- 126. Lo mismo sucedecon las 100 posibles combinaciones de dos dígitos (del 00 al 99), las mil de tres dígitos, etcétera. Esto no quiere decir nada, pues la uniformidad puede romperse por ejemplo a partir de la cifra un trillón. De hecho, no sabemos si en el desarrollo decimal de aparecen los dígitos del O al 9 infinitas veces. La sucesión de dígitos de pasa todos los tests de aleatoriedad. Por ejemplo, si contamos el número de veces que cada uno de los dígitos aparece de una tacada n veces seguidas, se tiene el siguiente resultado: TACADA DE Dígito 5 6 7 8 9 0 308 29 3 0 0 1 281 21 1 0 0 2 272 23 0 0 0 3 266 26 5 0 0 4 296 40 6 1 0 5 292 30 4 0 0 6 316 33 3 0 0 7 315 37 6 2 1 8 295 36 3 0 0 9 306 40 7 0 0 Las frecuencias caen dentro de los límites de la aleatoriedad. Llama la atención la tacada de 9 sietes seguidos. Sin embargo, la probabilidad de que un dígito aparezca nueve veces segui- das en 29.360.000 dígitos aleatorios es del 29%, por lo que tampoco es de extrañar. Septiembre 2001 • Iraila 2001 129 Todo sobre
- 127. El Número PI Elnúmero Pi es digno de admiración tres coma uno cuatro uno todas sus cifras siguientes también son iniciales cinco nueve dos, porque nunca se termina. No permite abarcarlo con la mirada seis cinco tres cinco con un cálculo ocho nueve con la imaginación siete nueve o en broma, tres dos tres, es decir, por comparación cuatro seis con cualquier otra cosa dos seis cuatro tres en el mundo. La más larga serpiente después de varios metros se interrumpe Igualmente, aunque un poco más tarde, hacen las serpientes fabulosas. El cortejo de cifras que forman el número Pi No se detiene en el margen de un folio, es capaz de prolongarse por la mesa, a través del aire, a través del muro, de una hoja, del nido de un pájaro, de las nubes, directamente al cielo a través de la total hinchazón e inmensidad del cielo. ¡Oh, qué corta es la cola del cometa, como la de un ratón! ¡Qué frágil el rayo de la estrella que se encorva en cualquier espacio! Pero aquí dos tres quince trescientos noventa mi número de teléfono la talla de tu camisa año mil novecientos setenta y tres sexto piso número de habitantes sesenta y cinco céntimos la medida de la cadera dos dedos la charada y el código en la que mi ruiseñor vuela y canta y pide un comportamiento tranquilo también transcurren la tierra y el cielo pero no el número Pi, este no, él es todavía un buen cinco no es un ocho cualquiera ni el último siete metiendo prisa, oh, metiendo prisa a la perezosa eternidad para la permanencia. Autora: Wislawa Szymborska (Premio Nobel de Literatura, 1996). Traducción: Fernando Presa González. (Extraído del diario EL PAÍS con fecha 4/10/96). SIGMA Nº 50130 Julián Aguirre
- 128.
- 129. Septiembre 2001 •Iraila 2001 133 V Concurso de Primavera de Matemáticas V CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS (de la Comunidad de Madrid) Comité Organizador (*) Acaba de salir a la luz un pequeñó librito titulado “V Concurso de Primavera de Matemáticas” patrocinado por la Consejería de Educación de la Comunidad de Madrid. El objetivo del Concurso es “motivar y estimular a una gran mayoría de estudiantes haciéndo- les ver que es posible disfrutar pensando, haciendo y aprendiendo Matemáticas”. El Concurso está dirigido a estudiantes de 5º y 6º de Primaria, alumnos de ESO y de Bachillerato LOGSE o equivalentes. Hay cuatro niveles: 1º nivel: Alumnado de 5º y 6º de Primaria. 2º nivel: Alumnado de 1º y 2º de ESO. 3º nivel: Alumnado de 3º y 4º de ESO. 4º nivel: Alumnado de Bachillerato LOGSE o equivalente. El Concurso se desarrollará en dos fases: 1ª Fase: Se celebrará en cada centro, habrá pruebas por niveles, y el Centro seleccionará hasta 4 alum- nos por nivel. 2ª Fase: Consistirá en una prueba de cada nivel, de cuestiones de elección múltiple, a desarrollar indi- vidualmente. Algunos problemas de entrenamiento para afrontar el Concurso 1er Nivel 1. ¿Qué forma no aparece en la figura? A) Cuadrado B) Círculo C) Triángulo rectángulo D) Triángulo isósceles E) Triángulo equilátero 2. Si sustituimos por 8 y por 7, ¿cuánto vale x ( + )? A) 105 B) 15 C) 56 D) 63 E) 120 3. El desarrollo plano de un cubo es el de la figura. ¿Cuál es la cara opuesta a la cara F? A) A B) B C) C D) D E) E
- 130. 4. Juan tieneel doble de hermanos que hermanas y su hermana Ana tiene cinco veces más hermanos que hermanas. ¿Cuántos niños hay en esta familia? A) 4 chicos y 2 chicas B) 2 chicos y 5 chicas C) 5 chicos y 2 chicas D) 2 chicos y 4 chicas E) 3 chicos y 1 chica 5. Con 95 cubitos de un centímetro de arista construimos el mayor cubo posible. ¿Cuántos cubitos nos sobraron? A)68 B)31 C) 14 D) 11 E)5 6. En un segmento TE, de longitud 12 cm, colocarnos los puntos A, R e I de forma que TA = TE, TR = TE y AI = TE. ¿Cuál es, de izquierda a derecha, el orden en el que están escritos? A) TIARE B) TAIRE C) TARIE D) TRAIE E) Nada de lo anterior 7. Las dimensiones del largo, ancho y alto de un paquete son 10, 4 y 3 cm respectivamente, y lo puedo atar de 3 formas, tal como se in dica en la siguiente figura: si f1, f2 y f3 representan las longitudes de la cuerda utilizada en cada caso, ¿qué desigual- dad es verdadera? A) f3<f1<f2 B) f1<f2<f3 C) f3<f2<f1 D) f2<f1<f3 E) f1<f3<f2 8. ABCD es un trapecio y M es el punto medio de la diagonal BD. De las igualdades siguien- tes, ¿cuál es la que no es siempre verdadera? A) área AMB = área AMD B) área MBC = área MDC C) área ABD = área ABC D) área ADC = área BDC E) área AMD = área MBC 9. Juan construye cuadrados con palillos aña- diendo cuadraditos a los que ya tiene cons- truidos según el esquema de la derecha ¿Cuántos tiene que añadirle al 30° para construir el 31º? A) 124 B) 148 C) 61 D) 254 E) 120 10. En una granja hay conejos y gallinas. Si hay 72 cabezas y 200 patas, ¿cuántos conejos hay? A) 44 B) 36 C) 28 D) 20 E) 56 1 4 SIGMA Nº 19134 Comunidad de Madrid 7 8 3 6 T E 3 4 10
- 131. 11. En lafigura adjunta, el área de la región en blanco mide 6 cm2 . ¿Cuánto mide, en cm2 , el área de la región sombreada? A) 3 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12 12. El perímetro de un cuadrado es siempre más pequeño que: A) La suma de las longitudes de dos lados. B) La suma de las longitudes de tres lados. C) La suma de las longitudes de las dos diagonales D) La longitud de la circunferencia circunscrita E) La longitud de la circunferencia inscrita 13. Dos trenes circulan en sentido inverso a velocidades de 72 Km/h y 90 Km/h. Un pasajero del segundo tren (el más rápido) observa que el primer tren tarda exactamente 3 segun- dos en pasar completamente delante de él. ¿,Qué longitud tiene el primer tren? A) 72m B) 90m C) 120m D) 135m E) 216m 14. Un triángulo rectángulo isósceles está dividido en tres trozos como se muestra en la figura de la derecha. ¿Cuál de las cinco figuras siguientes no puede formarse con esos tres trozos? A) B) C) D) E) 15. ¿En cuál de los siguientes casos está sombreado un cuarto del disco? A) B) C) D) E) Septiembre 2001 • Iraila 2001 135 V Concurso de Primavera de Matemáticas
- 132. 16. Para cadasegundo de dibujos animados hacen falta 24 dibujos. ¿Cuántos dibujos habrá que hacer para cubrir una secuencia de 1 m 40 s? A) 24 B) 800 C) 2400 D) 3200 E) 3360 17. En la primera semana de Navidad, Alicia tuvo que leer un libro como uno de los debe- res. El primer día, entre el prólogo y paginas de lectura, leyó 15 páginas. Cada uno de los seis días restantes leyó 8 páginas más que el día anterior y acabó de leer el libro en esa semana. ¿Cuántas páginas, sin contar el prólogo, tenía como máximo el libro? A) 260 B) 266 C) 258 D) 270 E) Nada de lo anterior 18. A partir de un rectángulo de área 1, obtenemos el paralelogramo de la figura prolongando cada lado del rectángulo una longitud igual a su medida. ¿Cuál es el área del paralelo- gramo obtenido? A)3 B)4 C)5 D) 6 E) No se dan suficientes datos 19. Juntando cuatro de las cinco piezas siguientes, se puede construir un cuadrado. ¿Qué pieza queda fuera? A) B) C) D) E) 20. Colocamos los números enteros desde 0 hasta 2000 unidos por segmentos como se indica en la figura: ¿Que forma tiene la sucesión de segmentos que va desde 1997 al 2000? A) B) C) A) E) SIGMA Nº 19136 Comunidad de Madrid
- 133. Algunos problemas deentrenamiento para afrontar el Concurso 2o Nivel 1. Transformamos un rectángulo de 50 cm de largo y 10 cm de ancho en un cuadrado de igual perímetro. ¿En cuántos cm2 aumenta el área? A) 0 B) 200 C) 120 D) 400 E) Nada de lo anterior 2. Alicia, Beatriz, Carlos, Dani y Emilio tienen diferentes cantidades de monedas cada uno. Ni Alicia ni Dani tienen tantas como Carlos. Tanto Alicia como Beatriz tienen más que Emilio. Dani tiene más que Emilio pero menos que Alicia. ¿Quién es quien menos tiene? A) Alicia B) Beatriz C) Carlos D) Dani E) Emilio 3. La tercera salida de una autopista está situada en el kilómetro 40 y la décima en el kiló- metro 160. A tres cuartos de la distancia entre la tercera y la décima salida hay un restau- rante. En qué punto kilométrico crees que está situado el restaurante? A) 90 B) 100 C) 110 D) 120 E) 130 4. En una playa delimitamos las zonas A, B y C que se muestran en la figura. En la zona A hay 500 personas, 400 en la B y 300 en la C. En la zona común a las zonas A y B hay 50 personas mientras que en la zona común a las zonas A y C hay 100 personas. ¿Cuántas personas hay en total? A) 850 B) 1000 C) 1150 D) 1300 E) 1450 5. Colocamos los números 1, 4, 7, 10 y 13 en los cuadrados de la figura de forma que los tres situados en horizontal sumen lo mismo que los tres situados en vertical. ¿Cuál es el mayor valor posible de esa suma horizontal o vertical? A) 20 B) 21 C) 22 D) 24 E) 30 6. En el trapecio ABCD, los lados AB y CD son iguales. ¿Cuál es el perímetro de dicho tra- pecio? A) 27 B) 30 C) 32 D) 34 E) 38 7. En una lejana isla, 3 pescados pueden cambiarse por dos barras de pan y una barra de pan por cuatro bolsas de arroz ¿Cuántas bolsas de arroz te darían por 24 pescados? A) 9 B) 12 C) 18 D) 64 E) 80 Septiembre 2001 • Iraila 2001 137 V Concurso de Primavera de Matemáticas
- 134. 8. Si tedicen que sumes, sin utilizar la calculadora, los números enteros del 1 al 1000, res- pondes: A) 1.000.001 B) 500.500 C) 500.000 D) Necesito muchísimo tiempo E) Nada de lo anterior 9. Entre estos dibujos, uno solo no representa el desarrollo de un cubo. ¿Cuál? 10. En un torneo de ajedrez hay 6 participantes. Cada uno juega 3 partidas con cada uno de los otros. ¿Cuántas partidas se han jugado durante este torneo? A) 18 B) 9 C) 36 D) 6 D) 45 11. Se quieren disponer tres peones sobre la cuadrícula adjunta, un peón en cada columna de forma que dos peones no pueden estar sobre la misma fila ¿Cuántas disposiciones posibles hay? A) 12 B) 100 C) 120 D) 180 E) 216 12. Un montañero sale de excursión desde un camping a una velocidad de 5 Km/h. Una hora y 40 minutos más tarde sale un ciclista de dicho camping y lo alcanza 50 minutos más tarde. ¿A qué velocidad media iba el ciclista? A) 15 Km/h B) 12,5 Km/h C) 13,5 Km/h D) 18 Km/h E) 25 Km/h 13. Plegando 5 veces en sentido longitudinal y 5 en anchura una hoja de papel, se ha obte- nido un cuadrado. El perímetro de la hoja no plegada era de 378 cm. ¿Cuál era, en cm, la longitud de la hoja? A) 120 B) 105 C) 95 D) 84 E) 78 14. El área del cuadrado ABCD mide 1 m ¿Cuál es el área del cuadrado AKPC? A) 1 m2 B) 1'5 m2 C) 2 m2 D)2,5 m2 E)3 m2 15. Si divido 0'25 por obtengo A) 1 B) 0'125 C) 1/16 D) 0'01 E) 0'75 16. El número (100 + 1)2 es igual a A) 202 B) 1001 C) 10201 D)12001 E) 2021 SIGMA Nº 19138 Comunidad de Madrid 1 4 A) B) C) D) E)
- 135. 17. Dos cuerdascon un extremo común dividen a una circunferencia en tres arcos de la misma longitud. ¿Cuánto vale el ángulo comprendido entre esas cuerdas? A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 90° 18. Un grifo mal cerrado deja caer una gota de agua cada dos segundos. Si 15 gotas equiva- len a 1 centilitro, ¿cuánta agua se malgasta en 1 minuto? A) 0'5 cl B) 1 cl C) 1'5 cl D) 2 cl E) 3 cl 19. La cruz del dibujo está formada por 6 cuadrados iguales. El perímetro de la cruz vale 7 cm. ¿Cuánto vale su área? A) 0,25 cm2 B) 1'5 cm2 C) 6 cm2 D) 7 cm2 E) 42 cm2 20. Un estudiante ha tenido 31 exámenes durante 5 años. Cada año ha tenido más exáme- nes que el anterior. El número de exámenes que ha tenido el quinto año es el triple de los que tuvo el primero. ¿Cuántos exámenes tuvo el cuarto año? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 Septiembre 2001 • Iraila 2001 139 V Concurso de Primavera de Matemáticas
- 136. Algunos problemas deentrenamiento para afrontar el Concurso 3er Nivel 1. He comprado por 2000 ptas un disco que estaba rebajado un 20%. ¿Cuál era el precio sin rebajar? A) 2400 ptas B) 2360 ptas C) 2000 ptas D) 2600 ptas E) Nada de lo anterior 2. El diámetro de un bote de melocotón es el doble que el de un bote de zumo pero su pro- fundidad es la mitad. ¿Cuál es el cociente entre el volumen del bote de melocotón y el de zumo? A)4 B)8 C)0'5 D) 1/4 E)l 3. El número de alumnos de un Instituto está comprendido entre 500 y 1000. Si se les agrupa por 18, o por 20, o por 24, siempre sobran 9. ¿Cuántos hay? A) 609 B) 849 C) 809 D) 729 E) 709 4. El volumen en metros cúbicos de un cilindro de 3m de altura es igual a su superficie total en metros cuadrados. ¿Cuánto vale su radio? A) 2 m B) 6 m C) 4 m D) 2 m E) Nada de lo anterior 5. Un rombo tiene por lado x y uno de sus ángulos mide 60°. Un cilindro recto, de altura 3x, tiene por base el círculo inscrito en este rombo. ¿Cuál es el volumen del cilindro? A) B) 3͌3x3 C) D) E) ( )3 x3 6. A finales de 1994, Juan tenía la mitad de años que su abuela. Si la suma de los años en que nacieron es 3838, ¿qué edad tenía Juan a finales del año 1999? A) 48 B) 49 C) 53 D) 55 E) 101 7. ¿Cuál es el mayor número de ángulos agudos que puede tener un hexágono convexo? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8. El diámetro de un círculo se divide en dos partes de longitudes a y b. Se trazan dos semicírculos sobre a y b respectivamente. ¿Cuál es el cociente entre el área de la región sombreada y la no sombreada? A) b) C) D) E) 9. El punto de coordenadas (-2, 4) es el punto medio del segmento PQ, siendo P el punto de coordenadas (2, -2). ¿Cuales son las coordenadas de Q? A) (0,1) B) (-6,6) C) (6,-6) D) (-2,6) E) (-6, 10) 10. La distancia entre dos ciudades A y B es igual a 150 Km En un mapa, esta distancia vale 30 cm. ¿A qué escala está hecho este mapa? A) 1:5 B) 1:500 C) 1:5.000 D) 1:50.000 E) 1: 500.000 SIGMA Nº 19140 Comunidad de Madrid 9x3 16 27x3 16 x3 ͌3 4 3 a2 b2 ͌a ͌b a b 2a + b 2b + a ͌a + b ͌a – b
- 137. 11. Las ecuacionessiguientes determinan cuatro rectas paralelas y una que no es paralela a las otras cuatro. ¿Cuál es esta última? A) x-2y=0 B) y=2x+7 C) -3x+6y=2 D) 5x=5+10y E) 3y=1'5x-4 12. ABCD es un cuadrado de lado 2. I es el punto medio de AD y L el punto medio de DC. ¿Cual es el área de cuadrilátero IJDK? A) B) C) D) E) 13. El cuadrilátero PQRS es un rectángulo y M es un punto de la diagonal. ¿Qué se puede decir de las superficies sombreadas? A) La de arriba es la más grande. B) La de abajo es la mas grande. C) Tienen la misma superficie. D) Las superficies son iguales sólo en el caso de que M sea el punto medio de QS E) No hay suficientes datos para resolver el problema. 14. El 40% de los alumnos de una clase tienen problemas visuales. De ellos, el 70% usa gafas y el 30° restante, lentillas. En la clase hay 21 alumnos que usan gafas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A) 45 alumnos tienen problemas visuales. B) 30 alumnos tienen buena vista. C) Hay 100 alumnos en la clase. D) 10 alumnos usan lentillas. E)Nada de lo anterior 15. ¿Cuál es el mínimo número de cuadrados que hay que sombrear para que la figura resultante tenga centro de simetría? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 16. El otro día compré 44 piezas de fruta entre manzanas, peras, plátanos y naranjas. El número de manzanas superó en 2 al de peras; este superó en 8 al de plátanos y había 2 plátanos más que naranjas. ¿Cuántas peras compré? A) 12 B) 14 C) 15 D)16 E) 18 17. En la circunferencia de la figura de radio 3 cm, se inscribe un rectángulo ABCD. Los pun- tos medios de sus lados forman un rombo. ¿Cuál es el perímetro de dicho rombo? A) 6 B) 9 C) 12 D) 4͌3 E) Faltan datos 18. La bandera de la figura se usa en los barcos. Los lados del rectán gulo están divididos en tres partes iguales. ¿Cuál es el cociente en tre las áreas de la parte blanca y la parte som- breada? A) 1 B) C) D) E) Septiembre 2001 • Iraila 2001 141 V Concurso de Primavera de Matemáticas 1 2 1 3 1 4 2 3 A B C D 1 3 7 15 2 5 3 5 8 15
- 138. 19. ¿Cuántas cifrastiene el número 212 · 58 ? A) 20 B) 12 C) 10 D) 96 E) Nada de lo anterior 20. El cubo de la mitad del triple de un número, ¿es igual al triple de la mitad del cubo de ese número? A) Sí, para cualquier número B) Solamente para el 0 C) Solamente para el 1 D) Solamente para el 0 y el 1 E) No; para ningún número SIGMA Nº 19142 Comunidad de Madrid
- 139. Algunos problemas deentrenamiento para afrontar el Concurso 4o Nivel 1. El número que está justamente entre y es A) B) C) D) E) 2. Halla la suma de todos los primos comprendidos entre 1 y 100 que verifiquen ser múlti- plos de 4 más 1 y múltiplos de 5 menos 1. A) 118 B) 137 C) 158 D) 187 E) 245 3. ¿Cuántas veces corta al eje horizontal la función f (x) = cos (log x) en el intervalo (0,1)? A) 0 B) 1 C) 2 D) 10 E) Infinitas 4. ¿Cuál es el radio de un círculo inscrito en un rombo de diagonales 10 y 24? A) 4 B) C) D) 5 E) 6 5. Las gráficas de y = -|x -a|+b e y = |x -c|+ d se Intersecan en los puntos (2, 5) y (8,3). ¿Cuánto vale a + c ? A) 7 B) 8 C) 10 D) 13 E) 18 6. Se busca un conjunto S de puntos P de un triángulo equilátero tal es que la suma de las distancias a los tres lados sea la más pequeña posible. El conjunto S está constituido por: A) Los tres vértices. B) Los tres puntos medios de los lados. C) Todos los puntos del triángulo D) EI conjunto vacío. E) El centro del triángulo 7. El inverso de la mitad del cuadrado de 3 es: A) B) C) D) E) 1 8. La ecuación In(7 + x) = In 7 + In x (x real) A) No tiene solución. B) Se verifica para todo x>0. C) Tiene solución única D) Tiene dos soluciones. E) Nada de lo anterior. 9. La figura representa la gráfica de la función: A) f (x) = |x| + l B) f (x) = |x| - l C) f (x) = |x - ll D) f (x) = |x + l| E) f (x) = l - |x| 10. ¿Cual de las siguientes funciones está acotada en [6,ϱ)? A) y = x senx B) y = x + C) y = 5 – x2 D) y = E) y = 1 + |x| Septiembre 2001 • Iraila 2001 143 V Concurso de Primavera de Matemáticas 1 8 1 10 1 9 1 80 1 40 1 18 9 80 58 13 58 13 1 x 2 9 9 2 9 4 4 9 x + 5 x – 5
- 140. 11. En uncubo, la mayor distancia entre dos de sus vértices es 1 m. ¿Cuál es, en m3 , el volumen de ese cubo? A) B) 1 C) D) E) Nada de lo anterior 12. ¿Para qué valor del ángulo ␣ estas dos figuras tienen el mismo perímetro y la misma área? A) 1 radián B) 2 radianes C) 3 radianes D) 4 radianes E) No existe el tal a con esas propiedades 13. Los lados AB, BC, CD y DA del cuadrilátero ABCD de la figura miden, respectivamente, 3, 4, 12 y 13 cm siendo el ángulo B recto. El área de dicho cuadrilátero en cm2 es: A) 32 B) 36 C) 39 D) 42 E) 48 14. ¿Para cuántos enteros n, es ͌1 – (n + 2)2 un numero real ? A ) O B) 1 C) 2 D), 3 E) Infinitos 15. En el triángulo ABC las medianas que parten de B y C son perpendiculares. Entonces, b2 + c2 es igual a A) a2 B) 2a2 C) 3a2 D) 4a2 E) 5a2 16. La sucesión a1, a2 ... verifica que a1 = 19 a9 = 99 y para n ≥ 3 an es la media aritmética de los n - 1 primero términos. ¿Cuánto vale a2 ? A) 29 B) 59 C) 79 D) 99 E) 179 17. El polinomio (x + y)9 se desarrolla y ordena en potencias decrecientes de x. El segundo y tercer término del desarrollo, tienen el mismo valor para x = p e y = q siendo p y q números positivos cuya suma vale 1. ¿Cuánto vale p? A) B) C) D) E) 18. Un tren está compuesto de 5 vagones A, B, C, D, E. ¿De cuántas maneras puede compo- nerse de modo que el vagón A esté más cerca de la máquina que el B? A) 120 B) 30 C) 60 D) 48 E) 10 19. Si 1 + ͌2 anula la función f (x) = x2 + px + q con p y q enteros, entonces p + q vale A) -5 B) -1 C) 1 D) -3 E) -5 20. Si se desarrolla (2x – 1)2001 según las potencias decrecientes de x, ¿cuánto vale la suma de todos los coeficientes de desarrollo? A) 0 B) 1 C) 2001 D) -1 E) 2 SIGMA Nº 19144 Comunidad de Madrid ͌3 9 1 3 ͌2 4 1 5 4 5 1 4 3 4 8 9
- 141. Septiembre 2001 •Iraila 2001 145 V Concurso de Primavera de Matemáticas (*) Comité Organizador del V Concurso de Primavera Juan Jesús Donaire Moreno Luis Ferrero de Pablo Jesús García Gual María Gaspar Alonso-Vega Joaquín Hernández Gómez Francisco López Álvarez Fernando Moya Molina Merche Sánchez Benito Víctor Manuel Sánchez González Javier Soler Areta José M.ª Sordo Juanena
- 142.
- 143. BALITEKE MATEMATIKARIK GABEKOGIZARTE KULTOA? 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia Javier Duoandikoetxea Doktore (*) 2000. urtea, urte berezia da, mende amaiera guztiek duten mugarri itxura horrekin, milurte amaiera direnean areagotua. Baina ez dago berezia egiten duen arrazoi naturalik, geuk egin dugun jatorriaren aukerak eta kontatzeko erak -hau da, zenbakien sistemak- ematen diotenaz aparte. Zenbakiek egiten dutelako desberdin agian, Matematikaren urtea munduan ospatzeko aukeratu zuten. Matematikaren Nazioarteko Elkarteak egin zuen ospakizunerako deia 1992an eta hiru helburu jarri zizkion: - XXI. mendeko erronka nagusiak zehaztu, - matematika garapenerako gakotzat aldarrikatu, eta - matematikak informazioaren gizartean duen irudia hobetu. 1997an UNESCOren Biltzar Nagusiak izendapena lagundu eta babestu egin zuen eta, besteak beste, hezkuntza sistemaren maila guztietan trebakuntza matematikoak duen oinarrizko zere- gina nabarmendu zuen. Kongresu eta bilerak, hitzaldi zikloak, erakusketak, liburuak, artikuluak eta komunikabideetan ohikoa den baino agerpen handiagoa dira urteko ekitaldien erakusle, gure inguruan ere isla- tuta gelditu denez. Eskerrak eman gura dizkiet Errektoreari eta bere taldeari Matematikaren urtearen ospakizuna kontuan hartu eta hasierako hitzaldia berari eskaintzeagatik. Ohorea eta ardura da niretzat hi- tzaldia emateko aukeratua izatea, aldi berean unibertsitateko matematika irakasleen ordezkari ere sentitzen naizelako nolabait, esango dudanaren erantzunkizuna neure gain bakarrik gel- ditzen den arren. (*) Analisi Matematikoko Katedraduna SIGMA Nº 19148 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia
- 144. Septiembre 2001 •Iraila 2001 149 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 ¿ES POSIBLE UNA SOCIEDAD CULTA SIN MATEMÁTICAS? Lección Inaugural del curso académico 2000-2001 D. Javier Duoandikoetxea (*) (Agradecemos al Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco el habernos cedido este material, publicado en su servicio editorial). El año 2000 es un año especial, con ese aspecto fronterizo que tienen los finales de siglo y más aún si lo son de milenio. Pero no hay ninguna razón natural para ello, es una característica que se debe solamente a nuestra elección de un origen y una manera de contar, es decir, a un sistema de numeración. Quizá porque son los números los que lo hacen diferente, fue elegido para celebrar el Año Mundial de las matemáticas. La convocatoria fue hecha por la Unión Matemática Internacional en 1992 y se propusieron tres objetivos: - fijar los retos principales del siglo XXI, - proclamar la matemática como clave del desarrollo, y - mejorar la imagen de las matemáticas en la sociedad de la información. En 1997, la Conferencia General de la UNESCO dio su apoyo y patrocinio a esta celebración haciendo notar, entre otras cosas, el papel fundamental de la formación matemática en todos los niveles de la enseñanza. Congresos y reuniones, ciclos de conferencias, exposiciones, libros, artículos y una presencia en los medios de comunicación más abundante de lo habitual están marcando la actividad de este año, como también se ha visto reflejado en nuestro entorno. Quisiera agradecer al Rector y a su equipo que hayan tenido en cuenta la celebración del Año mundial de las matemáticas y decidido dedicarle esta lección inaugural. Es para mí un honor el haber sido elegido para impartirla, y a la vez una responsabilidad porque de algún modo me siento representante de mis compañeros profesores de matemáticas. En todo caso, soy el único responsable de las opiniones que pudiera expresar. (*) Profesor de la UPV. Departamento de Matemáticas
- 145. Zergatik uste dugumatematika garrantzizkoa dela? Duela laurehun urte baino gehiago Pedro Simón Abril humanistak idatziriko hitz batzuk era- biliko ditut erantzuteko. Berrogei urtez irakasle ari izan eta gero, 1589. urtean, txosten bat zuzendu zion errege Felipe II.ari, hezkuntzan nabaritu zituen kalteak zuzentzeko asmoz. Txostenaren izenburua Apuntamientos de cómo se deben reformar las doctrinas(1) da (ikas- keta plangintzak esango genuke gaur) eta hona hemen matematikaz zer zioen*: Matematiketako okerrei buruz Matematiketan ezin izan da ustelkeriarik gertatu, benetako frogapen etan oinarritzen diren doktrinak izanik, zentzuaren eta eskarmentuaren arabera eginak, eta iritzi eta usteen aniz- tasunerako ezgauza direnak. Baina honen tamainako beste zorigaizto bat etorri zaie gai- nera, handiagoa ez bada; ez izanik dirua irabazteko doktrinak eta bai adimena goratzeko, ikasten dutenak, interesari begiratzen diotelarik benetako doktrinari baino gehiago, eurak ukitu gabe pasatzen dira. Eta hortik kalte handia datorkio errepublikari eta, bereziki, Berorren Maiestatearen zerbitzuari, matematika ez ikastetik baitator eskas izatea gerraren gauzetarako ingeniariak, nabigazioetarako pilotuak, eta eraikuntza eta gotorlekuetarako arkitektoak, hau guztia errepublikaren kalte handirako eta erregearen maiestatearen dezerbitzurako eta nazio osoaren irainerako baita, ingenioen kontuetan beti nazio arro- tzetara joan behar baitu bila, ogasun publikoari galera larria ekarriz. Matematikek ez balituzte ere beren baitan -eta badituzte- hainbeste onura eta probetxu eta hain handiak, ez balute beste onik egingo ez bada gizonen adimenak ohitu gauzetan egia sendo eta seguruak bilatzen, iritzien aldakortasunagatik kulunka ibiltzen utzi gabe, honek suntsitzen baititu gehien doktrinak, onura honegatik bakarrik ez litzaieke gizonei utzi behar ezein zientzia motatara pasatzen aurretik doktrina matematikoak ikasi gabe; horrela sentitu baitzuen Platonek bere akademiaren sarreran txartel bat ipini zuenean, matematikarik ez zekienari ez sartzeko esanaz. Eta horrela sentitu zuen Aristotelesek ere, beste zientzietan matematiken adibideak baitakartza, eta ez zuen hau egin ez bada aurretik onartuta mutikoek jakingai matematikoak ikasi behar dituztela beste gauza guz- tien aurretik. Kalte larri hau erraz konponduko du Berorren Maiestateak matematikak herri hizkuntzan irakats ditzatela aginduz, Gortean horretarako duen eskolan ezarrita duen bezala, eta dekretatuz unibertsitate eta eskola publikoetan ez dezaten inor onartu ezein gradu motatara ez badu lehenago erakusten ondo ikasi dituela jakingai matematikoak". Gaur egun berbak aldatuko genituzke, estiloa ere bai, baina mamia ez. Argi dioenez Simón Abrilek arrazoi bi daude matematikaren garrantzia bermatzeko: formazio orokorrerako balioa, batetik, eta hainbat ofiziotan ezinbestekoa izatea, bestetik. 1. Matematika kultura da Ez gara eztabaidatzen hasiko ea matematika, edo zientzia orokorrean , kultura den ala ez, ez baitu inork ukatuko, hala uste dut behintzat. Baina unibertsitate-errektore batek (ez gureak) "matematikaz ezer ere ez dakiela" esanez kongresu bat zabaltzen duenean, kulturatzat eta kultura beharrezkotzat zer hartzen den aldea dagoela onartuko didazue behintzat. Beste zein gaitaz aldarrika daiteke ezer ez jakitea eta hala ere 'kultoa" izaten jarraitu? Dirudienez, batzuentzat matematika albo batera geldi daitekeen kulturaren parte da. (Ez dut esan barik SIGMA Nº 19150 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia
- 146. Septiembre 2001 •Iraila 2001 151 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 ¿Por qué creemos que la matemática es importante? Responderé con las palabras que escribió hace más de cuatrocientos años el humanista Pedro Simón Abril. Tras cuarenta años de docencia, en 1589, dirigió al rey Felipe II un informe titu- lado Apuntamientos de cómo se deben reformar las doctrinas(1) (hoy diríamos planes de estu- dio) con la intención de corregir los defectos que había observado en la educación. Esto es lo que decía de las matemáticas: De los errores en las matemáticas “ En las matemáticas no ha podido caber depravación por ser doctrinas que consisten en verdadera demostración, hecha al sentido y experiencia, y no capaces de diversidad de opiniones y de pareceres. Pero hales caído otra desventura tan grande como ésta, si ya no es mayor, que por ser doctrinas que no son para ganar dinero, sino para ennoblecer el entendimiento, como los que estudian tienen más ojo al interés que a la verdadera doctrina, pásanse sin tocar en ellas. De donde viene gran daño a la república y particu- larmente al servicio de V. M., pues de no aprenderse matemáticas viene a haber gran falta de ingenieros para las cosas de la guerra, de pilotos para las navegaciones y de arquitectos para los edificios y fortificaciones, lo cual es en gran perjuicio de la república y deservicio de la majestad real y afrenta de toda la nación, pues en materia de ingenios ha de ir siempre a buscarlos a las extrañas naciones, con daño grave del bien público. Aunque las Matemáticas no tuvieran en sí, como los tienen, tantos y tan grandes bienes y provechos, no hicieran otro bien sino habituar los entendimientos de los hombres en buscar en las cosas la verdad firme y segura y no dejarse bambolear de la inconstancia de las opiniones, que es lo que más destruye las doctrinas, sólo por este bien no se les había de permitir a los hombres pasar a ningún género de ciencia sin que aprendiesen primero las doctrinas matemáticas, que así lo sintió Platón cuando puso un rótulo en la puerta de su academia diciendo que no entrase allí el que no supiese matemáticas. Y así también lo sintió Aristóteles, pues en las demás ciencias trae ejemplos de las matemáti- cas, lo cual él no hiciera sino presuponiendo que los mancebos deben aprender ante todas las cosas las disciplinas matemáticas. Este daño tan grave remediará fácilmente Vuestra Majestad mandando que las matemá- ticas se enseñen en lengua vulgar, como ya lo tiene dispuesto en la escuela que en su corte tiene hecha para ello, y haciendo decreto que en las universidades y escuelas públicas ninguno sea admitido a ningún género de grado sin hacer primero demostra- ción de cómo ha estudiado muy bien las disciplinas matemáticas". Hoy cambiaríamos las palabras y el estilo, pero no lo esencial de su contenido. Como muy bien dice Simón Abril, hay dos razones que avalan la importancia de las matemáticas: su valor formativo, por un lado, y el ser imprescindible en algunos oficios, por otro. 1. La matemática es cultura No vamos a discutir si la matemática, o la ciencia en general, es cultura o no, porque creo que nadie lo va a negar. Pero cuando un rector de Universidad (no de ésta) inaugura un con- greso diciendo que "no sabe nada de matemáticas", estarán de acuerdo conmigo en que hay alguna diferencia entre lo que se considera cultura y lo que se considera cultura necesaria. ¿De qué otros temas puede uno proclamar su ignorancia y pretender seguir siendo "culto"? Parece que la matemática pertenece para algunos a esa parte de la cultura de la que se puede
- 147. utziko ifrentzua erebaduela jarrera honek.) Kontua da urteak joan, urteak etorri, oraindik ere zientzien eta letren mundua, "kultura biak", behar baino urrunago daudela. 1862. urtean argitaratu zen Victor Hugoren Les Misérables izeneko eleberri ospetsua. Zortzi liburukik osatzen dute lehen zatia eta hirugarrena 1817. urtean deitzen da. Urte horren des- kribapena egiterakoan honela dio pasarte batek: "Zientzi Akademian Fourier ospetsu bat zegoen, etorkizunak ahaztu duena, eta auskalo zein ganbaratan Fourier ilun bat, geroak gogoratuko duena". Lehena, Jean Baptiste Joseph Fourier, matematikari eta fisikaria, beroaren hedapenaren gai- nean egindako lanengatik da ezaguna; bigarrena, Charles Fourier, soziologo eta filosofoa, Batasun unibertsalaren Teoria baten egilea. Hugoren lanaren komentatzaile batek ehun urte geroago hauxe idatzi zuen: "ez dago zalantzarik geroak hobeto gogoratzen duela Charles Fourier, Joseph Fourier baino"(2) . Ez nago ados. Ez dago zalantzarik Charles Fourier pertsonaia ospetsua dela gizarte zientzietan, baina zientzilari eta teknikarien artean Fourier oso izen famatua da , Josephi esker. Egoera horrek gogora ekartzen dit Umberto Eco idazleak Foucaulten pendulua eleberria argi- taratu zuenean egunkari ezagun bateko kritika hasten zela azaltzen izenburuko Foucault hura ez zela Michel Foucault filosofo eta historialaria, irakurleak uste zezakeen moduan, baizik eta XVIII. mendeko fisikari frantziar bat, Léon Foucault, Lurraren errotazioa frogatzeko Pariseko Panteoian pendulu bat eskegi zuena. Formazio zientifikoko irakurlearentzat oso argi zegoen izen burua, baina onartzen dut jende askorentzat abisua egokia eta beharrezkoa izan zitekeela. Izenkidetasuna oinarri duten adibide bitxi hauek ekarri ditut kultur arazoetan sarritan alde bakarrera begiratzen dugula erakusteko balio dutelakoan. Matematika kultura da baina askok ikusten du emaitza eta teknika multzo bat bezala, pertso- nen partehartze barik. Irakaskuntzak ere bere errua du; baldintzak, teoremak eta frogapenak kateatzen ditugu eta ematen du ez dagoela aukerarik, hain dela dena perfektua non ezin den gizakiaren obra izan. Baina ez da horrela. Beste edozein giza jardueraren moduan sortu, hazi, aldatu, berritu eta eztabaidatu egin da, ez da beti berdina izan. Mendez mende garatu da eta bere historia du, eta historian aro desberdinak, zein bere ezaugarriekin. Interesgarria izango delakoan, ibilbidearen laburpena egingo dut. SIGMA Nº 19152 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia Euclides (siglo V a.C.) Euklides (K.a. V mendea)
- 148. Septiembre 2001 •Iraila 2001 153 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 prescindir. (No dejaré sin señalar que también existe la otra cara de la moneda.) El caso es que los años pasan y el mundo de las ciencias y el de las letras, las "dos culturas', siguen más ale- jados de lo que deberían. En 1862 se publicó la conocida novela de Victor Hugo Les Miserables. La primera parte consta de ocho libros de los que el tercero lleva por título “En el año 1817”. Dice uno de los párra- fos en los que describe dicho año: "Había en la Academia de Ciencias un Fourier célebre a quien la posteridad ha olvidado y en no se qué desván un Fourier oscuro de quien el futuro se acordará". El primero, Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático y físico, es conocido por sus trabajos sobre la propagación del calor; el segundo, Charles Fourier, sociólogo y filósofo, fue el autor de una Teoria de la unidad universal. Un comentarista de la obra de Hugo escribía cien años después: "no hay duda de que la posteridad recuerda mejor a Charles Fourier que a Joseph Fourier"(2) . Pues no estoy de acuerdo. No hay duda de que Charles Fourier es un personaje famoso en las ciencias sociales, pero para los científicos y técnicos el nombre de Fourier es muy popular, gracias a Joseph. Es una situación que me recuerda a cuando el escritor Umberto Eco publicó su novela El pén- dulo de Foucault y la crítica de un conocido periódico comenzaba aclarando que el Foucault del título no era el filósofo e historiador Michel Foucault, como posiblemente el lector había pensado, sino un físico francés del siglo XVIII, Léon Foucault, que colgó un péndulo en el Panteón de París para probar la rotación de la Tierra. Para un lector con formación científica el título estaba muy claro, aunque reconozco que para mucha gente el aviso podía ser útil y necesario. Traigo estos curiosos ejemplos basados en la homonimia de los personajes simplemente como muestra de que en cuestiones de cultura muchas veces miramos a un solo lado. La matemática es cultura, pero mucha gente tiene la impresión de que es un conjunto de resul- tados y técnicas sin intervención de personas. La enseñanza también tiene su culpa; encade- namos condiciones, teoremas y demostraciones como si no hubiera elección y queda todo tan perfecto que no puede ser obra humana. Pero no es así. Como cualquier otra actividad humana ha nacido, crecido, cambiado, se ha renovado y discutido, no siempre ha sido igual. Se ha desarrollado a lo largo de los siglos, tiene una historia con sus distintas edades, cada una con sus propias características. Creo que puede ser interesante hacer un resumen de su recorrido. Arquímedes (siglo III a.C. Arkimedes (K.a. III mendea)
- 149. Greziar kulturaren aurrekozibilizazioetan aurki daitezke matematikaren lehen zantzuak. Haien ezagutza heldu zaizkigun hondarrekin saiatu behar dugu zehazten, arkeologoen ant- zera. Historiaurrea da nahiz gizakiaren aro historikoan gertatu. Matematikaren Antzin Aroa grekoekin hasi zen. Miletoko Tales, Greziako zazpi jakintsuetako bat, izen ezaguna duen lehen matematikaritzat hartzen da; Kristo aurreko VI. mendean bizi zen. Mende bat geroago Samosko Pitagoras aurkitzen dugu, batzuk "teorema" hitzari ezinbes- tean lotzen dioten izena. Badakigu Crotonen (Calabria) eskola izan zuela eta pitagorikoek emaitza sakonak lortzeko gauza izan zirela, zenbaki arrazionalak (zenbaki osoen zatikiak) luzera guztiak adierazteko nahikoa ez direla, esate baterako. Filosofiaren garapenak eraginda, greziar matematikak gaur egun harrigarri izaten jarraitzen duen heldutasun maila lortu zuen eta Alexandriako Euklidesek Kristo aurreko N. mendean idatzitako Elementuak dira horren erakusle. Garaiko ezaguera matematikoa sistematikoki bildu eta era logiko-deduktiboan aurkeztu zuen, gaur egun egiten dugun moduan. Sirakusan (Sizilia) mende bat geroago Arkimedes bizi izan zen, Antzinateko zientifikorik handientzat hartzen dena. Hurrengo mendeetan oraindik puntako matematikari batzuk aurki daitezke gre- ziar kulturan, baina erromatarren nagusitasuna zabaldu ahala egoera aldatzen hasi zen. Kultura erromatarrak ez zuen matematikarako interes handirik erakutsi. Areago, zuzenbide erromatarrak matematika kondenatu eta debekatu egiten zuen (ars mathe-matica damnabilis et interdicta est) . Inperio erromatarra erori aurretik ere, matematika bere Erdi Aro luze eta ilu- nean sartu zen. Bertan San Agustinen moduko iritzi negatiboak gainditu beharko zituen; honek matematikari eta profeten aurrean adi egoteko ohartzen zuen jendea "arriskua baitago dea- bruarekin lotuta egon daitezen eta horregatik izpirituak aztoratu eta gizakiak infernuan hon- dora ditzaten"(3) . Matematikaren historia liburuetan Indian, Pertsian eta Arabian egindako ekarpenek betetzen dute aldi honen zatirik handiena. Arabiarrekin hain zuzen heldu ziren Mendebaldeko Europara orain erabiltzen ditugun zenbakiak, greziarrenak eta erromatarrenak baino egokiagoak kalku- latzeko orduan. Baina horretaz gain, matematikari greziarren lanak ekarri zituzten itzulita eta, une batetik aurrera, liburutegietan Euklidesen Elementuak ere gordetzen ziren garaiko jakin- tzaren artean. Unibertsitateak sortu eta liburu hori ikasgai bihurtu ahala, grekoen matematik bikain hura berreskuratzea eta, denbora emanez, gainditzea pentsa zitekeen. Konstantinoplaren erortzeak eta Amerikaren aurkikuntzak munduaren historiari aro aldaketa ekarri zioten matematika bere Erdi Arotik irten gabe. Laster hasi zen Errenazimendua behar zen aldaketa bultzatzen baina XVII. mendeko azken herenera arte itxaron behar dugu Aro Modernoa hasten dela baieztatzeko. Hau Isaac Newton eta Gottfried Leibnizek sorturiko kalkulu SIGMA Nº 19154 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia Los “Elementos” de Euclides en latín
- 150. Septiembre 2001 •Iraila 2001 155 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 Los primeros signos de la matemática aparecen en civilizaciones anteriores a la griega. Su conocimiento se reconstruye a partir de los restos que nos han llegado igual que en arqueo- logía. Es el periodo prehistórico aunque se sitúa en la época histórica de la humanidad. La Edad Antigua en matemáticas empieza con los griegos. Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia, que vivió en el siglo VI antes de Cristo, es considerado como el primer mate- mático de nombre conocido. Un siglo después encontramos a Pitágoras de Samos, cuyo nom- bre muchos asocian inevitablemente a la palabra "teorema". Sabemos que tuvo una escuela en Crotona (Calabria) y que los pitagóricos fueron capaces de obtener resultados profundos como la imposibilidad de expresar todas las longitudes con sólo números racionales (fraccio- nes de números enteros). Influida por el desarrollo de la filosofía, la matemática griega alcanzó rápidamente un nivel de madurez que hoy nos sigue asombrando. Así lo muestran los Elementos de Euclides de Alejandría, compuestos en el siglo IV antes de Cristo. Recogen sistemáticamente el conocimiento matemático de la época y lo presentan al modo lógico-deductivo, similar al actual. En Siracusa (Sicilia) vivió un siglo más tarde Arquímedes, considerado el científico más grande de la Antiguedad. Todavía en los siglos posteriores podemos encontrar destacados matemáticos en la cultura griega pero el panorama fue cambiando a medida que los romanos imponían su dominio. La cultura romana no mostró gran interés por la matemática. Más bien al contrario, el Derecho Romano la condenaba y prohibía (ars mathematica damnabilis et interdicta est). Antes de la caída del imperio romano la matemática ya había entrado en su oscura y larga Edad Media, en la que tuvo que enfrentarse a opiniones negativas como la de San Agustín que prevenía contra matemáticos y profetas "porque hay peligro de que estén relacionados con el diablo y, por esa razón, turben los espíritus y hundan a los hombres en el infierno"(3) . En los libros de historia de la matemática la mayor parte de este periodo se cubre con apor- taciones de India, Persia y Arabia. Fueron precisamente los árabes quienes trajeron a Europa Occidental los números que ahora utilizamos, más adecuados para el cálculo que los de grie- gos y romanos. Pero además trajeron las obras de los matemáticos griegos en sus traduccio- nes y los Elementos de Euclides acabaron por ocupar un lugar en las bibliotecas entre el saber de la época. A medida que se creaban universidades y este libro se convertía en materia de estudio, se podía por fin pensar en recuperar la excelente matemática griega y, con el tiempo, superarla. La caída de Constantinopla y el descubrimiento de América marcaron un cambio de época en la historia del mundo sin que las matemáticas saliesen de su Edad Media. Pronto el Renacimiento empezó a dar impulso al cambio, aunque habrá que esperar hasta el último Euklidesen “Elementuak” latinez
- 151. infinitesimalarekin gertatu zen.Shakespeare eta Cervantes berrogeita hamar urte lehenagotik hilda zeuden eta Axularren Gero, euskal literatura berantiarraren erreferentziako liburua, hogei urte baino gehiagokoa zen. XVII. mendean izen nabarmenak aurkitzen ditugu: Keplerek planeten higiduraren legeak utzi zizkigun (aurreko mendearen erdialdera Kopernikok Eguzkiaren inguruan biraka "ipini" bai- tzituen), Descartesek ekuazio algebraikoak kurbei lotu zizkien eta Fermatek zenbakien teoria modernoa sortu zuen, kalkuluaren aitzindari izateaz gain. Baina denen artean Newtonek merezi du aipamen berezia. Zientzilari aparta izan behar da higiduraren oinarrizko legea formulatzeko, indarra = masa x azelerazioa, grabitate-indarraren adierazpena emateko eta lortzen den ekuazio diferentziala ebaztea posible egiten duen kalkulu infinitesimala sortzeko. Hori guztia egin zuen Newtonek 1666ko annus mirabilis hartan eta 1687an argitaratu zuen Philosophiae Naturalis Principia Mathematica liburuan, inoiz literatura zientifikoan egon den lanik gorenetakoa(4) . Kepleren legeak behaketen ondorio izatetik ekuazioetatik ateratzera pasatu ziren. Kalkulu infinitesima- laren arrakasta itzela izan zen eta fisikaren beste arlo batzuetara zabaldu zen; honenbestez, matematika fisikaren hizkera bihurtu zen betiko eta arrazoi eman zien hainbat bider entzun ditugun Galileoren hitzei "unibertsoaren liburua hizkera matematikoz idatzita dago"(5) . Hemen jartzen dute batzuk "kultura bien" arteko betiko banantzea, filosofia naturalak -hau da, fisikak- aurrerantzean hartu zuen itxura teknikoak filosofoak gainditu zituelakoan. Gainera aldatu egin zuen matematikaren eginkizuna aplikazioetan, orain prozesu baten bilakaera aztertzeko ere balio baitzuen, hau da, igartzeko eta ez bakarrik deskribatzeko, ordura arte izan zen moduan. Baliteke San Agustin zuzen egotea matematikariak eta igarleak nahastuz. SIGMA Nº 19156 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia Pierre de Fermat (1601-1665) “Philosophiae naturalis. Principia mathematica” Isaac Newton
- 152. Septiembre 2001 •Iraila 2001 157 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 tercio del siglo XVII para poder afirmar que comienza la Edad Moderna con el descubrimiento del cálculo infinitesimal por Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Shakespeare y Cervantes habían muerto cincuenta años antes y hasta el Gero de Axular, obra de referencia de la tardía literatura vasca, tenía ya más de veinte años. En el siglo XVII hay ya nombres destacables como Kepler con sus leyes del movimiento de los planetas (que Copérnico había "puesto" girando alrededor del Sol a mediados del siglo ante- rior), Descartes ligando ecuaciones algebraicas a las curvas y Fermat, creador de la moderna teoría de números y pionero del cálculo, pero entre todos ellos es Newton quien merece una mención especial. Hay que ser un cientifico excepcional para formular la ley fundamental de la dinámica, fuerza = masa x aceleración, dar la expresión de la fuerza gravitatoria, y producir el instrumento matemático capaz de resolver la ecuación diferencial resultante. Todo esto lo hizo Newton en su annus mirabilis de 1666 y lo publicó en 1687 en su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, una de las obras cumbre de la literatura científica de todos los tiempos(4) . Las leyes de Kepler pasaron de ser consecuencia de la observación a deducirse de las ecuaciones. El éxito del cálculo infinitesimal fue enorme y se extendió a nuevas áreas de la física con lo que la matemática se convertía en el lenguaje de ésta para siempre dando la razón a las tan a menudo repetidas palabras de Galileo "el libro del universo está escrito en lenguaje mate- mático"(5) . Algunos señalan este punto como la separación definitiva de las "dos culturas" al sentirse los filósofos desbordados por el aspecto técnico que la filosofía natural, o sea, la física, adquirió en adelante. Además cambió el papel de la matemática en sus aplicaciones, ya que ahora tam- bién servía para estudiar la evolución de un proceso, es decir, para predecir, y no sólo para describir como hasta entonces. Quizá San Agustín tenía razón juntando a matemáticos y pro- fetas. Isaac Newton (1613-1727) “Filosofía Natural. Principios matemáticos” Isaac Newton
- 153. Historiak eman dituenmatematikari garrantzi eta eragin handienetako bi elkarren atzetik datoz. Leonhard Euler eta Carl Friedrich Gauss. Lehena, Basileako suitzarra, San Petersburgo eta Berlingo Akademietan ari izan zen lanean bizitza osoan eta Argien Mendeko matematika- ririk nabarmenena izan zen. Eulerek, matematika hutsari eskaini zion lan ikaragarriaz gain, mekanika newtondarra kalkulu infinitesimalaren hizkeran idatzi zuen, eta solidoen eta flui- doen higidura deskribatzen duten ekuazioak formulatu zituen. Gaussen jarduerak XIX. men- deko lehen erdia bete zuen eta haren lanek matematikaren arlo askotan gailurra jo zuten, horregatik jarri zioten "matematikarien printzea" goitizena. Gainera haren errigorea matemati- kak laster hartuko zituen bide berriekin ondo bateratu zen. Bitartean klasiko bihurtu diren liburuak argitaratu ziren Frantzian: Lagrangeren Mécanique analytique (1788), lehenengoz mekanika baliabide geometriko barik aurkezten duen lana, Laplaceren Mécanique céleste (1799-1819) eta Théorie analytique des probabilités (1812), eta Fourieren Théorie analytique de la chaleur (1822). 1789an Iraultza Frantsesa gertatu zen eta historiaren bilakaera berriro aldatu zen. Laster sortu ziren Parisen École Polytechnique (1794) "gerrako gauzetarako ingeniariak" prestatzeko, Simón Abrilek zioen moduan, eta École Normale (1795), irakasleen formaziorako. Matematikaren irakaskuntza antolaturako eredu izan ziren eta bertako ikastaroetan oinarritu- riko testuliburuak idatzi ziren. Cours d'Analyse de l'École Polytechnique (1821) delakoan, Augustin Cauchyk analisi matematikoari artean ez zeukan errigorea emateko lana hartu zuen bere gain. XIX. mendean zehar matematikariek errigorearen itzulera hau onartu egin zuten eta behinbetikoa gertatu da. Aro Garaikidea da. Matematikaren garapena XIX. mendean izugarria izan zen, kantitatez eta kalitatez. Hogei mende baino gehiago pasatu ondoren Euklidesen bosgarren postulatuaren independentzia fro- gatu zen Nikolai Lobatxevski eta János Bolyairen lanekin (Gaussek ez baitzuen gai honetaz egin zuen lana argitaratu); fisika modernorako hain garrantzizkoak diren geometria ez eukli- dearrak sortzeko bidea zabaldu zuten, honenbestez. Teoria orokor baten bultzatzaileetako bat Bernhard Riemann bikaina izan zen; honek, gazterik hil arren, gaur arte matematikaren zen- bait arlotan garapen iturri izan diren lanak utzi zizkigun. Erregela eta konpasa bakarrik erabiliz eraiketa bana eskatzen zuten hiru problema klasiko, zir- kulua koadratzea, kuboa bikoiztea eta angelua hirutan zatitzea, ebatzi barik heldu ziren gre- koen matematikatik XIX. mendera arte eta hirurak ezezko erantzuna hartu zuten mende horre- tan (zirkuluaren koadratura ezinezkoa da, beraz, “zale” batzuk oraindik lortzeko ahaleginean ari badira ere). Ekuazio algebraikoen erradikalen bidezko ebazpenarekin erlazionaturik daude; teoria hau burutu zutenen artean, oso gazterik hil ziren Niels Henrik Abel eta Evariste Galois aipatu behar ditugu. Azken honen lanetan aurkitzen dira, hain zuzen ere, taldeen teoria modernoaren hastapenak. SIGMA Nº 19158 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia Leonhard Euler (1707-1783)
- 154. Septiembre 2001 •Iraila 2001 159 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 Dos de los más grandes e influyentes matemáticos de la historia se sucedieron en el tiempo: Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss. El primero, suizo de Basilea, pasó su vida en las Academias de San Petersburgo y Berlín y fue la figura matemática del Siglo de las Luces. Además de una inmensa labor puramente matemática, Euler puso la mecánica newtoniana en el lenguaje del cálculo infinitesimal y formuló las ecuaciones del movimiento de un sólido y de un fluido. Gauss, cuya actividad matemática llena toda la primera mitad del siglo XIX, fue reconocido en su tiempo como "príncipe de los matemáticos" por sus trabajos en los que se situó en la cumbre de muchas áreas de las matemáticas. Además su rigor se adaptó a los nue- vos rumbos por los que pronto se desenvolvió la matemática. Entretanto en Francia se publicaron libros que se convertirían en grandes clásicos: la Mécanique analytique de Lagrange (1788), que presentó por primera vez la mecánica sin recursos geométricos; la Mécanique céleste (1799-1819) y la Théorie analytique des probabi- lités (1812) de Laplace; y la Théorie analytique de la chaleur de Fourier (1822). En 1789 tiene lugar la Revolución Francesa, que cambió de nuevo el curso de la historia. Poco después se crearon en París la École Polytechnique (1794) para preparar ingenieros "para las cosas de la guerra" que decía Simón Abril, y la École Normale (1795) para la formación de maestros. Fueron un modelo para la enseñanza organizada de las matemáticas y se escribie- ron libros de texto basados en sus cursos. En el Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique (1821) Augustin Cauchy se impuso la tarea de dar al análisis matemático el rigor que aún no había conseguido. Los matemáticos asumieron a lo largo del siglo XIX esta vuelta al rigor, que ha resultado definitiva. Es la Edad Contemporánea. El desarrollo de la matemática en el siglo XIX fue enorme, tanto en cantidad como en calidad. Después de más de veinte siglos, se puso de manifiesto la independencia del quinto postulado de Euclides por Nikolai Lobatchevsky y János Bolyai (Gauss nunca publicó sus trabajos sobre este tema), que así abrieron el camino a la creación de las geometrías no euclídeas, tan impor- tantes para la física moderna. Uno de los impulsores de una teoría general fue el genial Bernhard Riemann quien, a pesar de su temprana muerte, dejó publicados varios trabajos que han sido fuente de inspiración desde entonces en diversas áreas de la matemática. Cuadratura del círculo, duplicación del cubo y trisección del ángulo eran los tres problemas clásicos de construcción con regla y compás que procedentes de la matemática griega llega- ron al siglo XIX sin solución; los tres encontraron respuesta negativa en ese siglo (en particu- lar, la cuadratura del círculo es imposible, aunque algunos "aficionados" sigan empeñados en conseguirla). Están relacionados con la resolución de ecuaciones algebraicas por radicales en cuya teoría intervinieron dos matemáticos que murieron muy jóvenes, Niels Henrik Abel y Évariste Galois. En los trabajos de éste aparecen los inicios de la moderna teoría de grupos. Carl Friederich Gauss (1777-1855)
- 155. Karl Weierstrassek eraginhandia izan zuen Berlingo katedratik eta orain aurkezten dugun moduko itxura zehatza eman zion analisi matematikoari; gainera, XIX. mendean funtzio kon- plexuen analisia eratu zuten hiru ikuspuntu osagarrietako bat zor diogu (beste biak Cauchy eta Riemannen eskutik heldu ziren). Aipagarria da, halaber, Georg Cantor, sakon aztertu baitzi- tuen puntuen multzoak eta infinitua objektu matematiko bezala ulertzeko aurrerapenak utzi baitzizkigun. Sortze lanarekin batera ahalegin handia egin zen matematika argitu eta euskarri sendoetan fin- katzeko eta, honen ondorioz, matematikaren oinarrien azterketa sakona bideratu zen. Gaurko matematikaren edukiak eta ibilbidea ulertzeko, XIX. mendea funtsezkoa gertatu zen. Izen bi ditugu XX. mendeko sarreran beste izen handi askoren ordezkari: Henri Poincaré frant- ziarra eta David Hilbert alemana. Biak ziren sortzaile handiak eta mende honetan matemati- kak ibili dituen bideetan eragin handikoak suertatu dira. 1900. urtean Parisen egiri zen Matematikarien Nazioarteko Kongresuan hitzaldi bat eman zuen Hilbertek; bertan, hastear zegoen mendean bere iritziz matematikaren ildoa markatuko zuten hogeita hiru problemak formulatu zituen. Göttingen hiri txikia munduko gune matematikorik garrantzitsuena izan zen E. mendeko lehen laurdenean Hilberti esker. Ez da harritzekoa Göttingenek mekanika kuantikoaren formulazio matematikoan izan zuen garrantzia. Hilbert arlo askotan nabarmendu zen baina matematika- ren eraiketa formalerako proposatu zuen programa, matematikako galdera guztiek axiomen sistemaren barruan erantzuna dutelako ideia, okerra zen: Kurt Godelek 1931n argitaratu zuen osotasunik ezaren teoremak dioenez, edozein axioma sistema finituk proposizio erabakiezi- nak ditu, hau da, proposizio batzuk egia ala gezurra diren erabakitzea ezinezkoa da sistema- ren barruan. Esan ohi da Hilbert eta Poincaré izan zirela matematikaren arlo guztiak ezagutzen azkenak. Esaldia hitzez hitz hartu zein ez, egia da E. mendeko matematikak espezializazio handiko bidea hartu zuela eta arlo bakoitza sakonago aztertzera eroan duen arren, norberarenak ez diren arlo gehienetatik urruntzea ere ekarri duela. Horregatik matematikaren historia oroko- rrak Bigarren Mundu Gerrara heldu baino lehen amaitzen dute kontakizuna eta lan berezien esku uzten dute jarraipena. Bigarren Mundu Gerrak historiaren bilakaera aldatu egin zuen eta matematikaren gainean ere eragin zuen. Ordura arteko nagusitasuna Frantzia eta Alemaniaren artean banatu bazen, Europaren erdialdeko zientifikoen emigrazioak Estatu Batuetara eraman zuen lehen aldiz era- gin gunea, eta politikan bezala matematikan ere Soviet Batasunarekin batera indar nagusiak izan ziren. Azken honen desagerpenak matematikarien beste emigrazio uhin bat ekarri du SIGMA Nº 19160 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia Agustin-Louis Cauchy (1789-1857) Bernhard Riemann (1826-1866)
- 156. Septiembre 2001 •Iraila 2001 161 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 Karl Weierstrass desde su influyente cátedra de Berlín dio al análisis matemático la forma rigu- rosa en que hoy lo presentamos; es, además, responsable de uno de los tres puntos de vista complementarios (los otros dos son debidos a Cauchy y Riemann) que formaron en el siglo XIX el análisis de funciones complejas. También es digno de mención Georg Cantor, que estu- dió en profundidad los conjuntos de puntos y avanzó en la comprensión del infinito como objeto matemático. El trabajo de creación llevó aparejado un amplio esfuerzo que, con objeto de clarificar y dar bases firmes a la matemática, condujo a un estudio profundo de sus fundamentos. El siglo XIX resulta crucial para entender la matemática de hoy, tanto en sus contenidos como en su tra- yectoria. La entrada al siglo XX viene representada por dos nombres que sobresalen entre otros gran- des: el francés Henri Poincaré y el alemán David Hilbert. Ambos fueron grandes creadores e influyeron fuertemente en los caminos de la matemática de este siglo. En 1900, Hilbert pro- nunció una conferencia en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París en la que propuso los que a su juicio eran los veintitrés problemas que iban a marcar el interés de la matemática en el siglo que entraba. La pequeña ciudad alemana de Gotinga se convirtió, gracias a Hilbert, en el principal centro matemático del mundo del primer cuarto del siglo XX. No es de extrañar que Gotinga tuviese un importante papel en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Hilbert destacó en muchos aspectos, pero su programa de construcción formal de la matemática, su idea de que todo problema matemático tiene una respuesta dentro del sistema axiomático, resultó no ser acertada: el teorema de incompletitud que Kurt Godel publicó en 1931 afirma que en todo sistema finito de axiomas existen proposiciones indecidibles, es decir, proposiciones cuya validez o refutación no se pueden decidir dentro del sistema. Se suele decir que Poincaré y Hilbert fueron los últimos en conocer todas las ramas de la mate- mática. Tomada la frase en sentido literal o no, lo cierto es que la matemática del siglo XX entró en un proceso de fuerte especialización que ha llevado a estudiar cada área con mayor profundidad pero también a alejar a los matemáticos de la mayor parte de las áreas ajenas. Es por ello que las historias generales de la matemática terminan su relato antes de la Segunda Guerra Mundial y suelen dejar a trabajos especializados la continuación. La Segunda Guerra Mundial cambió el curso de la historia y tuvo sus efectos sobre la matemá- tica. Si hasta entonces la hegemonía se la repartían entre Francia y Alemania, la emigración de científicos centroeuropeos trasladó por primera vez el centro de acción a Estados Unidos, que junto con la Unión Soviética se convirtieron en los países poderosos también en matemáticas. La desaparición de esta última ha traído recientemente una nueva ola de emigración de Henri Poincaré (1854-1912) David Hilbert (1862-1943)
- 157. oraintsu. Dena dela,"globalizazio" egoera batean gaude, orain esaten den moduan, eta komu- nikatzeko erraztasunak matematika munduko ia edozein lekutan burutzea ahalbidetzen du. Beste alde batetik, ordenadoreek garrantzi handiko egitekoa izan dute mendearen bigarren zatiko jarduera matematikoan. Eraikitzeko behar izan zen ikerketa "gerraren gauzek" bultzatu zuten baina azken ean bizitzaren alde guztietara sartu zaizkigu. Ordenadoreek posible egin dute kalkulu izugarri luzeak denbora errealean ematea, matematikaren aplikazio praktikoen eremua asko handituz; eurekin dakartzaten zenbakizko metodoen azterketa helburu duten matematikaren arloak ezinbestean garatu dira. Cervantes, Shakespeare, Molière, Goethe, Proust, Joyce edo García Lorca literaturarako, eta Vivaldi, Bach, Mozart, Beethoven edo Wagner musikarako direnaren parekoak dira aipatu ditudan pertsonaiak. Haien izenak behintzat, zenbat pertsona kultok ezagutzen ditu? 2. Matematika erabilgarria da Askorentzat matematikariak lan gogor batean ari dira, helburua lortzeko ahalegin handia eskatzen duena eta helburu honek, azken batean, ez du ezertarako balio. Antzeko zerbait nabarituko zuen Lionel Terray frantziar alpinista ezagunak eskaladak egin eta gero, hiruro- geiko hamarkadan Ies conquérants de l'inutile (Alferrikakoaren konkistatzaileak) izeneko libu- rua idatzi zuenean. Beti pentsatu dut matematikariei buruzko liburua izan behar zuela. Matematikaren baliagarritasuna defenditzeko Simón Abrilen hitzetara joan gintezke berriro eta esan matematikak benetan burua formatzeko eta antolatzeko balio badu, erabilgarritasun nahikoa duela. Izan ere, Platonentzat ezagutzea zen zientziaren benetako balioa eta arrunta iruditzen zitzaion "merkataritzako helburuak" zituena. "Naturaren azterketa sakona da aurki- kuntza matematikoen iturri nagusia"(6) idatzi zuen Fourierek XIX. mendean, zehaztugabeko galderak alboan utzi eta funtsezko elementuak erakusten dituelakoan. Abel eta Jacobi kritikatu egin zituen beroaren hedapena aztertzeari ez ekitearren eta Jacobik iritzi horrekiko bere desa- dostasuna adierazi zuen Legendreri idatzitako eskutitz batean (1830)(7) : “Egia da M. Fourierek uste zuela matematikaren helburu nagusia erabilera publikoa eta naturaren fenomenoen azalpena dela, baina bera zen moduko filosofo batek jakin beharko zuen zientziaren helburu bakarra giza izpirituaren ohorea dela eta, honen ize- nean, zen bakiei buruzko kontu batek munduaren sistemari buruzko beste batek adina balio duela". Ez du inolako zentzurik matematika hutsa eta matematika aplikatua entitate bananduak baili- ran aurkeztea -ez baitaude bananduta- eta aurkako interesak bailituzten. Armand Borelek era- biltzen duen irudiarekin gelditzen naiz: matematika iceberg baten modukoa da, uretik kanpo ikusgai dagoen zatia aplikazioen matematika da eta murgilduta dagoena, ikustezina gehie- nentzat, matematika teorikoa; hau kenduz gero, bestea desagertu egiten da8 . Matematika erabilgarria da eta bera barik ezinezkoa izango zen bizi garen mundu teknologi- koaren garapena eta ulermena. Ez du honek esan gura, hala ere, rnatematika osoak duela era- bilera praktikoa, ez eta matematikan (edo beste zientzietan) egiten den oinarrizko ikerketaren helburu bakarra aplikatu bihurtzean datzala, lortu arte porrota izango bailitzan. Edozein modutan, atal honetarako dudan helburua ez da matematika teorikoaren defentsa egi- tea, icebergaren kanpoaldeko alderdi batzuk erakustea baizik, matematikak mundu errealean dituen zenbait apl ikazio aurkeztuz. SIGMA Nº 19162 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia
- 158. Septiembre 2001 •Iraila 2001 163 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 matemáticos. Con todo, asistimos en este momento a un fenómeno de "globalización", como ahora se dice, en el que la facilidad de comunicación permite desarrollar la actividad mate- mática en casi cualquier lugar del mundo. Por otra parte, los ordenadores han tenido un papel importante en el trabajo matemático de la segunda mitad del siglo. También "las cosas de la guerra" impulsaron la investigación nece- saria para su construcción pero han acabado por estar presentes en todos los aspectos de nues- tra vida. Los ordenadores han hecho posible realizar enormes cálculos en tiempo real, a- briendo un gran campo de aplicaciones prácticas para las matemáticas, lo que ha traído con- sigo el desarrollo de las áreas de éstas destinadas al estudio de los métodos numéricos aso- ciados. Los personajes que he citado son lo que Cervantes, Shakespeare, Molière, Goethe, Proust, Joyce o García Lorca son para la literatura, lo que Vivaldi, Bach, Mozart, Beethoven o Wagner son para la música; ¿cuántas personas cultas conocen al menos sus nombres? 2. La matemática es útil Mucha gente ve a los matemáticos como personas dedicadas a una actividad dura, que requiere un gran esfuerzo para conseguir un objetivo que, en realidad, no sirve para nada. Algo así debió de percibir tras sus escaladas Lionel Terray, famoso alpinista francés, que escri- bió en los años sesenta un libro titulado Ies conquérants de l'inutile (Ios conquistadores de lo inútil). Yo siempre pensé que ese libro tenía que tratar sobre matemáticos. Para defender la utilidad de las matemáticas podríamos recurrir de nuevo a las palabras de Simón Abril y decir que si realmente sirven para una mejor formación y organización de la mente, ya es suficiente utilidad. De hecho, para Platón el conocimiento era el auténtico valor de la ciencia y consideraba vulgar a la que tenía "fines mercantiles". En el siglo XIX encontra- mos a Fourier diciendo que "el estudio profundo de la Naturaleza es la fuente más fecunda de los descubrimientos matemáticos"(6) porque permite excluir las cuestiones vagas y descubrir los elementos esenciales; habiendo criticado a Abel y a Jacobi por no dedicarse a estudiar la pro- pagación del calor, éste último mostró su desacuerdo en una carta a Legendre (1830)(7) : "Es verdad que M. Fourier opinaba que el objeto principal de las matemáticas era la uti- lidad pública y la explicación de los fenómenos naturales, pero un filósofo como él debería haber sabido que el fin único de la ciencia es el honor del espíritu humano y que, por este motivo, una cuestión de números vale tanto como una cuestión sobre el sistema del mundo". No tiene sentido presentar a la matemática pura y la matemática aplicada como entidades separadas -que no lo están- y con intereses en frentados. Me quedo con la imagen que utiliza Armand Borel al decir que la matemática es como un iceberg, cuya parte emergida y visible es la matemática de las aplicaciones y cuya parte sumergida, oculta para la mayoría, es la matemática teórica; si prescindimos de ésta, la otra desaparece(8) . La matemática es útil y sin ella no sería posible ni el desarrollo ni la comprensión del mundo tecnológico en que vivimos. Pero esto no quiere decir que toda la matemática tenga una uti- lidad práctica ni mucho menos, ni tampoco que el único objeto de la investigación básica en matemáticas (o en otras ciencias) sea el de convertirse en aplicada, de modo que es una acti- vidad fracasada hasta que lo consiga. Pero en realidad mi objetivo en esta parte no es tanto defender la matemática teórica como hablar de algunos aspectos de la parte emergente del iceberg, de las aplicaciones de la mate- mática al mundo real.
- 159. Matematika hasieratik dagomunduaren azalpen bati lotuta. Dela zeruen deskripabena dela Lurrarena, biak izan ziren antzinako zibil izazioen helburu eta zenbakiak eta geometria arazo praktikoetarako erabili ziren. Kalkulu infinitesimalaren sorrerak ate ugari ireki zituen, feno- meno naturalez arduratzen diren zientzietan matematizazio handia eraginez. Benetan harri- garria da errealitate konplexua abstrakzio mota erraz samar batera bideratu izana eta kalku- luak aurresaten duena errealitatearekin bat etortzea hain modu zehatzean. Eugene Wigner fisi- kariak oso ezagun egin den artikulu bat argitaratu zuen 1960an, Matematikaren arrazoitu ezi- neko eraginkortasuna naturaren zientzietan(9) izenburupean, eta hau irakur daiteke bertan: “matematikaren izugarrizko erabilgarritasuna naturaren zientzietan [fisika barne, jakina] mis- terioaren mugan dago eta ez du azalpen arrazionalik" eta "matematikaren hizkera fisikaren legeen formulazioetara egokitzearen miraria opari liluragarria da, ez dugu ulertzen eta ez dugu merezi". Baina hor dago, badakigu zelan erabili eta zer egin dezakegun berarekin, arra- kastaren zergatia magikoa dirudien arren. Gutxi-asko, denek onartzen diote matematikari aipatu berri dudan erabilera hori. Baina eza- gutzen ez dutenek uste izaten dute, eguneroko bizitzan matematika elementalak duen prakti- kotasuna alde batera utzita, aplikazio interesgarri bakarrak naturaren zientzietako eredu horiek direla. Horregatik bestelako erabilerak aukeratu ditut aurkezpen honetarako: medi- kuntzaren irudiak eta finantzen mundua. Esaten da hitzaldi matematiko guztietan teorema bat sartu behar dela. Ez dut hutsik egingo eta teorema bat erakutsiko dizuet. Ez da oso teorema ezaguna, baina neuri ederra iruditzen zait, matematikan ere edertasunaren inguruko iritziak beti pertsonalak direla onartuta, jakina. Bohemian jaio eta Vienan lan egin zuen Johann Radon matematikariari zor diogu, 1917an argitaratu zen, eta honela dio: planoan definiturikofuntzio bat lerrozuzen guztien gainean egindako integralen bitartez erabat berreskuratzen da. Matematikariok dugun berbaera berezi honek jokoz kanpo utziko zuen bat baino gehiago, esandakoa ulertu ezinik. Adibide erraz bat emango dut jarraipena ulertzeko nahikoa izango delakoan. Demagun multzo bat dugula planoan eta zenbait zulo dituela barrual dean, irudian ikusten den bezala. Egin dezagun lerro zuzen bat eta neur dezagun multzoa ebakitzean ematen duen luzera; gero gauza bera egingo dugu beste zuzen guztiekin. Radonen teoremaren bertsio berezi baten arabera luzera holien guztien zerrenda ematen badizkigute barruko zuloen forma eta kokalekua erabat zehaz dezakegu. Emaitza teoriko polit bat dugu, baina zertarako balio lezake? Allan Cormack fisikari hegoafri- karrak, 1963 eta 1964an argitaratu zituen lan batzuetan, ikustezina ikusteko erabiltzea propo- satu zuen, giza gorputzaren barruko irudiak lortzeko, alegia. Gorputzaren sekzio batek aipa- turiko multzoaren antza du baina konplikatuagoa da. X izpiak lerro zuzenetan hedatzen direla kontuan hartuz batetik, eta intentsitate-galera ibilitako bidearen luzeraren eta medioaren den- tsitatearen proportzionala dela bestetik, kalkulu matematiko batek erakusten du norabide batean sarrerako eta irteerako intentsitateak neurtuz, norabide horren gaineko dentsitatearen integrala neurtuta dugula. Irudiko adibidearen kasuan dentsitatearen balio bi bakarrik hartu ditugu, bat multzoan eta bestea zuloetan, horregatik zen nahikoa luzera ezagutzea. Giza gor- putzaren ebaketarako dentsitatea aldakorra da, baina Cormacken metodoa erabilita Radonen teoremak dentsitatearen funtziorako eskatzen dituen integralak lor daitezke gorputza ebaki eta barruan "sartu" gabe. Ematen du Radonen inbertsio formula ezartzea baino ez dugula behar dentsitatearen funtzioa berregiteko, hau da, gorputzaren barrualdea "ikusteko". Baina mundu errealeko matematikak ezaugarri berezia du: kalkulagarria izan behar du. Oztopo bat dugu Radonen teorema erabiltzeko, ezin ditugula lerro guztien gaineko neurriak SIGMA Nº 19164 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia
- 160. Septiembre 2001 •Iraila 2001 165 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 Desde el principio la matemática aparece ligada a una explicación del mundo, tanto la des- cripción de los cielos como la de la Tierra son objetivo de las civilizaciones antiguas y los números y la geometría se usan con fines prácticos. La creación del cálculo infinitesimal abrió muchas puertas y las ciencias que se ocupan de los fenómenos naturales sufrieron una fuerte matematización. Resulta ciertamente sorprendente que una realidad compleja se haya podido reducir a una forma de abstracción relativamente sencilla y que las predicciones de ésta se ajusten tan bien a la realidad. El físico Eugene Wigner publicó en 1960 un artículo que se ha hecho famoso, titulado La irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales(9) , en el que se puede leer: "la enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales [incluyendo la física, por supuesto] es algo que bordea lo misterioso y para la que no hay explicación racional" y "el milagro de la adecuación del lenguaje de las matemáticas a la for- mulación de las leyes de la física es un maravilloso regalo que ni entendemos ni merecemos". Pero ciertamente está ahí, sabemos cómo usarla y qué podemos hacer con ella, aunque la razón de su éxito parezca mágica. De un modo u otro, todos parecen aceptar esta aplicación de la matemática. Pero quienes no la conocen tienden a creer que, dejando aparte el uso de la matemática elemental en la vida cotidiana, todas las aplicaciones interesantes se reducen a estos modelos para las ciencias de la naturaleza. Por ello he elegido otro tipo de aplicaciones para esta presentación: las imáge- nes médicas y el mundo de las finanzas. Solemos decir que en todas las charlas matemáticas debe presentarse un teorema y voy a apro- vechar la ocasión. No es un teorema muy conocido, aunque a mí me parece precioso, lo que no deja de ser un apreciación personal, como todo lo que se refiere a cuestiones de belleza, también en matemáticas. El resultado se debe a Johann Radon, un matemático nacido en Bohemia y que trabajó en Viena. Se publicó en 1917 y dice que una función del plano se puede recuperar a partir de sus integrales sobre todas las rectas. Me temo que hemos entrado en uno de los peligros de la matemática: su lenguaje. Algunos, quizá muchos, de los oyentes no comprenderán el significado de los términos utilizados. Voy a dar una versión más senci- lla que nos servirá para entender lo suficiente para seguir adelante. Supongamos que tenemos un conjunto plano con algunos agujeros en su interior como en la figura (ver página siguiente). Dibujamos una línea recta y medimos la longitud de su corte con el conjunto y hacemos lo mismo con todas las rectas. Una versión particular del teorema de Radon diría que si nos dan la lista de todas esas longitudes podemos reconstruir exactamente la forma y situación precisa de los agujeros. Tenemos un bonito resultado teórico, ¿para qué podría servir? El físico sudafricano Allan Cormack publicó en 1963 y 1964 sendos trabajos en los que proponía usarlo para ver lo invi- sible, imágenes internas del cuerpo humano. Una sección del cuerpo se parece al conjunto mencionado pero es más complicada. Teniendo en cuenta que los rayos X se propagan en línea recta y pierden intensidad proporcionalmente al camino recorrido y a la densidad del medio, una cuenta matemática muestra que midiendo la intensidad de entrada y salida en una dirección podemos calcular la integral de la densidad en esa dirección. En el ejemplo de la figura hemos considerado sólo dos densidades, la del conjunto y la de los agujeros, por eso bastaba saber la longitud de corte. Para la sección del cuerpo humano la densidad es varia- ble, pero con el método de Cormack podemos conseguir los datos que el teorema de Radon necesita para la función de densidad sin cortar ni "entrar" dentro del cuerpo. Parece que sólo haría falta aplicar la fórmula de inversión de Radon para recomponer esa función de densi- dad, es decir, para "ver" el interior del cuerpo. Pero las matemáticas del mundo real tienen características especiales, necesitan ser calcula- bles. Tenemos un inconveniente para utilizar el teorema de Radon: no podemos medir a lo
- 161. hartu, guztiak matematikankopuru infinitua delako. Teorema teorikoak oinarria ipintzen du baina matematikariek ez dute horrekin lana amaitzen, analisi numerikoa landu behar dute, hau da, hurbilketa egoki bat proposatu, lerro nahikoa aukeratu, egokiak, eta irudi fidagarri bat emateko adina (irudia behar da, medikuari zenbaki zerrenda luze batek ez lioke lagunduko). Ekuazio sistema oso handiak ebatzi behar dira eta konputazioaren aurrerapenak gertatu ez baziren ezinezkoa izango zen eurekin lan egitea. EMI (Electrical and Musical Instruments) etxeko Godfrey Hounsfield ingeniariak irudia berreskuratzeko bere bidea asmatu eta 1968an ordenadore bidezko tomografia axiala ("eskanerra" esaten dioguna) egiteko gauza zen lehen makinaren patentea aurkeztu zuen; 1971ean EMIk eraiki zuen makina hori. Gaur egun oso erabilera handiko teknika da, eta ez bakarrik medikuntzan, eta oinarrian 1917ko Radonen emaitza dago. Cormack eta Hounsfieldek 1979ko Fisiologia eta Medikuntzako Nobel saria eskuratu zuten aurkikuntza horri esker(10) . Erabilera biomedikorako irudiak lortzea garapen eta interes handiko ikerketa arloa da eta matematika eta fisika oso garrantzizkoak dira bertan. Adibide modura esango dut Estatu Batuetako Zientzia eta Ingeniaritza Akademiek eta Medikuntza Institutuak elkarren arteko ba- tzorde bat sortu zutela 1993an irudi biomedikoen matematika eta fisikaren azterketaz ardu- ratzeko. Ekonomia eta finantzetan dugu matematikaren beste aplikazio moderno bat. William Jevonsek 1862an bere General Theory of Political Economy liburuan hauxe utzi zigun: "argi dago eko- nomia benetan zientzia izango bada, zientzia matematikoa izan behar duela". 1970ean, ehun bat urte geroago, Nobel sarien banaketan, Ekonomiako Nobel sariaren irabazle Paul Samuelsonen aurkezpenean, Lindbeck irakasleak honela zioen: "azken hamarkadetako eko- nomiaren garapen aren alderdi nabarienetako bat analisirako tekniken gero eta formal izazio maila handiagoan datza, metodo matematikoen bitartez burututa neurri batean''(11) . Bankuan hartzen den mailegu batengatik ordaindu beharrekoa kalkul atzeko behar den mate- matika elementala da, aspalditik ezaguna, eta irakaskuntzaren maila ertainetan irakasten da. Duela gutxi arte bankuko eragiketa gehienek ez zuten progresio aritmetikoen baturetatik gora- goko zailtasunik. Baina gaur egun finantza produktu konplikatuagoak daude. Hona hemen adibide bat. Demagun hiru hilabete barru dirua behar dugula eta akzioak ditugula saltzeko; gaur saldu eta dirua seguru gorde beharrean tentazioa izan dezakegu gorde eta azken momen- tuan saltzeko. Honek, ordea, arriskua du: ez dakigu hiru hilabete barru gaur baino gehiago ala gutxiago balioko duten. Ordain keta segurtatzeko ondo letorkiguke bankuak hiru hilabete barru akzioak gaurko prezioan erosteko konpromezua hartuko balu eta gain era, gaur baino garestiago egonez gero, geuk zuzenean merkatuan saltzeko posibilitatea gorde. Gure arriskua bankuak har dezan eskatzen ari gara. Baina ez banku ez prestatzaile altruistarik aurkituko ez dugunez, onartzekotan prima bat eskatuko digute. Zelan kalkulatu prima hori merkatuaren etorkizun eko bilakaera inork ez dakienean? Hortxe sartzen da matematika. Berriro ere eredu matematiko bat prestatzen da baina ez aurresateko, ez baitu balio burtsak zer egingo duen jakiteko, baloratzeko baizik. SIGMA Nº 19166 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia Johann Radon (1887-1956)
- 162. Septiembre 2001 •Iraila 2001 167 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 largo de todas las líneas porque todas en matemáticas es una cantidad infinita. El teorema teó- rico pone la base, pero los matemáticos no terminan ahí su trabajo, tienen que elaborar el aná- lisis numérico que permita escoger un número suficiente de líneas, que sean adecuadas, y que sirvan para recuperar una imagen fiable (imagen, porque al médico no le sirve la larga lista de números). Hay que resolver grandes sistemas de ecuaciones que sin los avances de la com- putación hubieran sido imposibles de manejar. El ingeniero inglés de la EMI (Electrical and Musical Instruments) Godfrey Hounsfield desarrolló su propio método de reconstrucción y presentó en 1968 la patente de una máquina capaz de realizar la tomografía axial compute- rizada (lo que popularmente llamamos "escáner"), que la EMI construyó en 1971. Hoy es una técnica extensamente utilizada, no sólo en medicina, cuyo fundamento es el resultado teórico de Radon de 1917. Cormack y Hounsfield recibieron en 1979 el Premio Nobel de Fisiología y Medicina por su descubrimiento(10) . La obtención de imágenes para uso biomédico es un área de gran desarrollo e interés en la que las matemáticas y la física juegan un papel muy importante. Una muestra de ello es que las Academias de Ciencias e Ingeniería y el Instituto de Medicina de Estados Unidos constitu- yeron en 1993 una comisión conjunta para el estudio de las matemáticas y la física de las imá- genes biomédicas. Otra moderna aplicación de las matemáticas se sitúa en el terreno de la economía y las finan- zas. En 1862, William Jevons escribió en su libro General Theory of Political Economy que "está claro que si la economía ha de ser realmente una ciencia, tiene que ser una ciencia mate- mática". Poco más de cien años después, en 1970, el profesor Lindbeck presentaba en la cere- monia de entrega de los Premios Nobel a Paul Samuelson, ganador del de Economía, con un discurso que comenzaba diciendo: "uno de los aspectos destacados del desarrollo de la eco- nomía durante las últimas décadas es el creciente nivel de formalización de las técnicas ana- líticas, llevado a cabo en parte con ayuda de métodos matemáticos''(11) . Las matemáticas necesarias para calcular los pagos por un préstamo pedido al banco son ele- mentales, conocidas desde antiguo y enseñadas en los niveles secundarios. Hasta no hace mucho tiempo las operaciones bancarias no tenían mayor complicación matemática que la de sumar progresiones geométricas. Pero ahora existen productos financieros más complicados. Por ejemplo, si necesitamos dinero dentro de tres meses y disponemos de acciones podemos estar interesados en conservarlas hasta entonces, pero corremos un riesgo: no sabemos si en ese momento valdrán más o menos que ahora. Para asegurar el pago nos vendría bien que el banco se comprometiese a pagarnos dentro de tres meses el precio que hoy tienen y, además, reservarnos la posibilidad de venderlas en el mercado en caso de que suban. Pero como no vamos a encontrar bancos ni prestamistas altruistas, a cambio de asumir nuestro riesgo nos cobrarán una prima. ¿Cómo se calcula la prima sin saber la evolución futura del mercado? Ahí interviene la matemática. El modelo en que se basa no es predictivo, no sirve para saber qué va a hacer la Bolsa, pero sirve para valorar. Johann Radon (1887-1956)
- 163. Balorazioen teoria egokibat bilatzeko saioak mende hasieratik aurkitzen baditugu ere, MITn (Massachusetts Institute of Technology) eta bere inguruan gertatu ziren erabateko aurrerapenak hirurogeita hamarreko hamarkadan. 1973an argitaratu zen ekonomilarien artean hain ezagun egin den Black-Scholesen formula. Urte berean hasi zen lanean Chicagon finantzetako deri- batuen lehen merkatua eta laster erabili zituzten teknika lortu berriak. 1997ko Ekonomiaren Nobel sariaren irabazleak Robert Merton eta Myron Scholes izan ziren "deribatuen balioa kal- kulatzeko metodo berri bat garatzeagatik''(12) . Fischer Black urte bi lehenago hil zen. Hirurek formazio matematiko sakona zuten eta Black bera matematika aplikatuan doktorea zen. Matematikari, fisikari, ingeniari, informatikari eta ekonomilarien arteko elkarlana ekonomiak ateratzen dituen produktu berrien azterketan goraka doa eta erabiltzen duten matematika ez da elementala: aldikako serieak, integral estokastikoak, Markoven prozesuak, higidura brown- darra, difusio-ekuazioak, martingalen teoria, dira baliatzen dituzten objektuetako batzuk. Adibide gehiago atera ditzakegu: GPS batek berehala ematen dizkigu geure kokapenaren koordenatu zehatzak algebra lineala eta seinaleak iragazteko metodo baten bidez (erabat txundituta geldituko lirateke XVIII. mendean longitudearen problema ebazten saiatu zirenak, hau da, itsasoan dabiltzan untzien kokapena zehazteko metodo baten bila); erroreak zuzen- tzeko algoritmo matematikoek disko konpaktoak entzungarri bihurtzen dituzte; ibilgailuen eraikuntza eta diseinua probatzeko ordenadore bidezko simulazioa prestatzen da eta ez dira prototipoak egin eta hondatu behar; gas naturaleko boltsak non egon daitezkeen jakiteko sei- naleen analisi matematikoa egiten da aurretik; eguraldia geroz eta hobeto iragartzen da (beti sinesten ez badugu ere) bitarte matematiko eta teknikoak hobetu direlako, eta matematikak berak esaten du zelan hasierako errore saihestezinek eboluzio oso desberdina eman dezake- ten eta epe luzerako iragarpena horregatik ez dela fidagarria; eta abar. Matematika hainbat lekutan badago zergatik ez dugu ikusten? Esango nuke arrazoietako bat elkarlanetik datorrela, hain zuzen ere, kontraesana dirudien arren. Erabilpen praktikoa beti dago matematika ez den beste atal bati lotuta, areago, askotan matematikaren erabiltzaile den fisikaria, ingeniaria, biologoa edo ekonomilaria bera da matematika zuzenean aplikatzen eta lantzen duena eta ez titulazioz matematikari den batek. Matematika hor dago, baina osten- duta, ez agerian. Ez dut halere esan nahi matematika dela gauza guztien konponbidea. Batzutan matematiza- zioak seriotasuna eta zientifikotasuna ematen duelakoan era desegokian sartzen da. Iruzur intelektuala eta zientifikoa da (jakinaren gainean egin edo ez) eta horren aurrean zintzotasun zientifikoa praktikatzea beste erremediorik ez dugu. SIGMA Nº 19168 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia Allan Cormark (1924-1998)
- 164. Septiembre 2001 •Iraila 2001 169 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 Aunque los intentos por buscar una teoría satisfactoria de la valoración ya empezaron a pri- meros de siglo, fue en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) y su entorno donde en los años setenta se produjeron avances decisivos. En 1973 se publicó la fórmula de Black- Scholes, que tan famosa se ha hecho entre los economistas. El mismo año empezó a funcio- nar en Chicago el primer mercado de derivados financieros, que pronto utilizó las técnicas ahí desarrolladas. El premio Nobel de Economía de 1997 fue otorgado a Robert Merton y Mvron Scholes por "haber desarrollado un nuevo método para calcular el valor de los derivados''12 . Fischer Black había muerto dos años antes. Los tres tenían una fuerte formación matemática; de hecho, Black era doctor en matemática aplicada. La colaboración de matemáticos, físicos, ingenieros, informáticos y economistas en los nue- vos productos de la economía va en aumento y las matemáticas utilizadas ya no son elemen- tales: series temporales, integrales estocásticas, procesos de Markov, movimiento browniano, ecuaciones de difusión, teoría de martingalas, son algunos de los objetos en uso. Podríamos poner más ejemplos y mencionar que el GPS es capaz de darnos en un momento y exactamente las coordenadas de nuestra posición con álgebra lineal y un método de filtrado de señales (lo que dejaría enormemente sorprendidos a quienes en el siglo XVIII se dedicaron al problema de la longitud, el de determinar la situación exacta de los barcos en el mar); que algoritmos matemáticos de corrección hacen audible un disco compacto; que las pruebas para la construcción y diseño de vehículos se hacen por medio de la simulación en un ordenador, sin estropear prototipos; que la búsqueda de bolsas de gas natural se hace después de un aná- lisis por medio de señales; que el tiempo se predice cada vez mejor (aunque no siempre lo creamos) porque se han mejorado los métodos matemáticos y técnicos, y que, además, las propias matemáticas son las que prueban que pequeños e inevitables errores en las medicio- nes originales pueden provocar evoluciones tan diversas que hacen la predicción a largo plazo poco fiable; etc. ¿Por qué si las matemáticas están presentes en tantos sitios seguimos sin verlas? Creo que una de las razones es precisamente la colaboración, aunque parezca contradictorio. El uso prác- tico siempre está ligado a otra disciplina que no es la matemática, más aún, muchas veces el físico, ingeniero, biólogo o economista usuario de la matemática es quien directamente la aplica y la trabaja, sin intervención de un titulado matemático. La matemática está ahí, pero está oculta, no se reconoce. Tampoco quisiera dejar la impresión de que la matemática es la solución a todo. A veces se utiliza impropiamente para aparentar una seriedad y un carácter científico que no existe. Son situaciones de impostura intelectual y científica (consciente o inconsciente) ante las que no hay más remedio que practicar la honradez científica. Godfrey Hounsfield (1919)
- 165. Unibertsitateko ikasle askokhartu behar ditu matematikako eskolak karreren tresna bezala era- biltzeko. Ikasketa plangintzen erreformak eduki matematikoen murrizpena ekarri du askotan, hainbeste behar ez zelakoan. Hau dela eta, Pedro Puig Adamen berba batzuk ekarriko ditut; Puig Adam oso irakasle ezaguna zen eta haren matematikako liburuek oraindik ere harrera ona dute ingeniaritza eskoletan. 1944-45 promozioko industri ingeniariei tituluak emateko Madrilen egin dako ekitaldian irakurri zuen hitzalditik hartu ditut; hitzaldiaren izenburua Alferrikakotasunaren apologia(13) zen eta hau da aukeratu dudan pasartea: "Ez dago betirako alferrikakoa izatera kondenatu daitekeen ezagupenik. Ez ditugun eza- gupenak dira sekula aplikatzen ez direnak. Gero eta ezagupen gehiago hartu, tresna gehiago aurkituko ditugu geure tailer intelektualean, eta geure lana errazteko eta labur- tzeko posibilitate handiagoak izango ditugu unean uneko tresnarik egokiena aukeratuz" 3. lltatematika bizi da Matematika zertarako den galdetzeaz gain, sarri egiten zaigun beste galdera bat da ea mate- matikan gauza berririk aurkitzeko gelditzen den. Matematikaren ibilbide historikoa gaur arte heldu dela azaitzen saiatu naiz, azken urteotan pilpilean dauden aplikazioak jarri ditut eta, hala ere, jendea sinesgogor dugu, historia amaitu dela uste du eta matematikariok gordetzen dugun altxorra kutxa batean -kutxa handi batean agian- kabitzen dela eta ez dagoela gehiago bertan sartzeko, ez behintzat zentzuzko gauzarik. Goldbachen aierua, Riemannen hipotesia, Poincaréren aierua edo Navier-Stokesen ekuazioen ebazpenaren bakartasuna entzutean mito bihurtu diren problemak etortzen zaizkigu gogora. Denbora luzez egon dira erantzunaren zain eta hor diraute. Bieberbachen aierua, esferen paketatzea edo denetan ezagunena, Fermaten azken teorema, zerren da bereko parte izango ziren duela gutxi arte baina heldu zaie frogapena, azkenaren kasuan oihartzun handia lortuz komun ikabideetan. Hala ere, problema ospetsu hauek guztiak erakusleihoa besterik ez dira, publizitaterako apro- posak. Batzuk ebazteagatik milloidun sariak eskaintzen diren arren(14) , munduan gutxi dira horiek ebazteko ahaleginean ari diren matematikariak eta ez dut uste sariok ofizioko mate- matikarien lanen helburuak aldatzeko gauza izango direnik. Asko dira, asko gara, geure lan alorreko problemak, handiak edo txikiak, ebazten saiatzen garenok. Matematikariok beste edozein esparrutako ikerlariekin berdintzen gaituen printzipio bat dago: galderak egiteko ahal- mena dugun bitartean, lana dugu. Non daude galderak? Ikus ditzagun adibide batzuk. SIGMA Nº 19170 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia Myron S. Scholes (1941)
- 166. Septiembre 2001 •Iraila 2001 171 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 Muchos de los estudiantes de la universidad tienen que estudiar matemáticas como instru- mento para sus carreras. Las reformas de los planes de estudio han traído consigo una reduc- ción general de los contenidos matemáticos con la idea de que no son necesarios tantos. Ante esto, me limitaré a reproducir unas palabras de Pedro Puig Adam, que fue un conocido pro- fesor cuyos libros de matemáticas siguen siendo apreciados en las escuelas de ingenieros. Están tomadas del discurso que leyó en Madrid en la entrega de títulos a los ingenieros indus- triales de la promoción de 1944-45. El título del discurso era Apologia de la inutilidad (13) y éste es el párrafo elegido: "Ningún conocimiento puede ser condenado a inutilidad perpetua. Los únicos conoci- mientos que jamás se aplican son los que no se tienen. Cuantos más conocimientos se adquieran, mayor riqueza de útiles hallaremos en nuestro taller intelectual, mayores posibilidades tendremos de simplificar y abreviar nuestra tarea echando mano del útil adecuado en cada caso". 3. La matemática está viva Además de para qué sirve la matemática, la otra pregunta que se nos hace frecuentemente es si queda algo por descubrir en matemáticas. He tratado de mostrar que el recorrido histórico de la matemática llega hasta ahora mismo y he dado ejemplos de aplicaciones de la mate- mática que están de actualidad, pero, aun así, la gente es difícil de convencer y cree que la historia ha terminado y que el tesoro que guardamos los matemáticos cabe en un arca -posi- blemente grande- pero que ya no hay necesidad de meter más cosas en ella, al menos cosas razonables. Conjetura de Goldbach, hipótesis de Riemann, conjetura de Poincaré o unicidad de solución en las ecuaciones de Navier-Stokes evocan problemas que se han convertido en mitos. Llevan mucho tiempo a la espera de una respuesta y en esa lista estuvieron hasta hace poco tiempo la conjetura de Bieberbach, el empaquetamiento de esferas o el más famoso de todos, el último teorema de Fermat, a los que por fin les llegó la solución, y en este último caso con gran repercusión en los medios de comunicación. Pero todos estos famosos problemas no son sino el escaparate, la muestra publicitaria. A pesar de que algunos tienen premios millonarios por su resolución(14) es una minoría de matemáti- cos la que se dedica directamente a ellos y dudo mucho que el premio ofrecido consiga cam- biar la dirección de los trabajos de los matemáticos profesionales. Son, somos muchos los matemáticos que nos dedicamos a buscar la solución de problemas, pequeños o grandes, de nuestras áreas de trabajo. Porque hay algo en lo que no somos distintos a los investigadores de cualquier otra disciplina: mientras podamos hacernos preguntas, tenemos trabajo. ¿Dónde se encuentran las preguntas? Veamos algunas situaciones. Robert C. Merton (1944)
- 167. Honela zioen SalomonBochnerek Gaussi buruz ari zela(15) : "Matematikan XIX. mendea [1801 bainoJ apur bat beranduago heldu zen, koefiziente konplexuak dituen polinomio batek erro konplexu bat gutxienez duela dioen baieztape- nerako Gaussek lau frogapen desberdin ematera "bultzatuta" ikusi zuenean bere burua, hain zuzen ere. Esaten denez, Lagrange agurea harrituta gelditu zen jarrera honengatik, bere XVIII. mendeko ikuspuntutik frogapen bat ematea izango zen egokiena, gogobete- koa, eta aurrerantzean gauza desberdin bati ekitea". Zein zen Gaussen arrazoia horrelako jarrera hartzeko? Ulertzeko beharra eta gogoa, ez beste- rik. Ulertzea baita matematikariak eta beste zientzilariak lanean jartzen dituen arrazoietako bat. Ulertzea eta jakitea ez dira gauza bera, eta jakitetik ulertzera dagoen aldeak aztergaiak eskaintzen ditu. Emaitza bat ezagutu arren, frogapen berri batek hobeto ulertaraz dezake, erla- zio berriak erakutsi, eta frogapena bera argibidea izan daiteke beste kasu batzuetan. Inoiz ez dago esaterik gai bat guztiz itxita dagoela eta ez zaiola etekin gehiagorik aterako. Hona hemen lanerako lehen iturria. Goldbachek susmatu zuen edozein zenbaki oso hiru zenbaki lehenen batura modura idatz zitekeela (gogora ekarriko dut zenbaki bat "lehena" deitzen dugula, zenbakia bera eta unita- tea beste zatitzailerik ez duenean) eta, beraz, bi lehenen baturak nahikoa zirela zenbaki bikoi- tiak lortzeko. Frogatzen saiatu zen baina ez zuen lortu. 1742an idatzitako gutun batean Euleri proposatu zion problema hori eta gaur arte inor ez da frogatzeko gauza izan. Gorago aipatu ditudan problema ireki ospetsu horietako bat da. Formulazio erraza du eta ez dira kontzeptu zailak erabili behar azaltzeko, baina adituen artean problema ireki ugari dabiltza, matemati- karen alor guztietakoak. Egunero asmatzen dira problema berriak, bere buruari galderak egi- ten dizkion edonoren aurrera datoz. Batzutan erantzuna berehala lortzen da eta problematzat hartzeko arrazoirik ere ez da egongo, beste batzutan lan handia egin behar da erantzuteko, eta inoiz, artikulu, liburu edo hitzaldi batean azalduko da galdera eta beste matematikari ba- tzuentzako aztergai bihurtuko da. Ikus dezagun hirugarren egoera bat. Fourieren transformatua aplikazio potentzial asko dituen objektua da, baina oztopo bat du, ezin da zehazki kalkulatu. Beti egiten den bezala, lehen urratsa aldaera diskretu bat proposatzea izan zen eta honetan integralen kalkuluaren ordez ekuazio linealen sistemak ebatzi behar ziren (hauek eragiketa elementalez egiten dira). Baina oraindik ere oztopo bat zegoen, sistemak hain ziren handiak non ordenadoreak ere ez ziren gauza denbora errealean erantzuteko. 1965ean J. Cooley eta J. Tukeyren eskutik Fourıeren transformatu arinaren algoritmoa etorri zen eta "gauetik goizera industria osoak motelak iza- tetik arinak izatera pasatu ziren". Aergatik ez zen lehenago asmatu? Matematikaren erabilera SIGMA Nº 19172 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia La carta de Goldbach a Euler
- 168. Septiembre 2001 •Iraila 2001 173 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 Dice Salomon Bochner a propósito de Gauss15 : "En matemáticas, el siglo XIX llegó en realidad algo más tarde [de 1801], cuando Gauss se vio 'motivado" a suministrar cuatro demostraciones diferentes para el aserto de que cualquier polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Se cuenta que el anciano Lagrange quedó sorprendido por esta actitud; desde su punto de vista siglo XVIII, lo adecuado era proponer una sola prueba, que fuera satisfactoria, y a partir de ahí seguir con algo diferente". ¿Cuál era el motivo de Gauss para semejante actitud? Simplemente la necesidad de entender, que es una de las razones que mueve a los matemáticos y a los demás científicos. No es lo mismo saber que entender y en esta diferencia se encuentran temas de estudio. Aunque un resultado se conozca, encontrando una nueva prueba se puede entender mejor, se le pueden descubrir nuevas relaciones y la propia prueba puede dar luz para tratar otros casos. Nunca se puede afirmar que una cuestión está cerrada del todo y no va a servir para producir más. Es una primera fuente de trabajo. Goldbach observó que todo número entero parecía poderse escribir siempre como suma de tres números primos (recuerdo que llamamos "primo" al número que no tiene más divisores que él mismo y la unidad) y, por tanto, dos deberían bastar para conseguir los números pares. Trató de demostrarlo pero no pudo. En una carta a Euler de 1742 le propuso el problema y hasta hoy nadie ha sido capaz de dar una prueba. Es uno de los famosos problemas abiertos que he mencionado antes. Éste permite una formulación sencilla, que se comprende sin com- plicados conceptos matemáticos, pero circulan entre los especialistas otros muchos problemas abiertos en todos los campos de la matemática. Se inventan problemas nuevos cada día, apa- recen ante cualquiera que se haga preguntas. La respuesta puede a veces llegar tan rápida- mente que ni siquiera merecerá ser mencionado como problema, otras veces vendrá después de mucho trabajo, y en algunas ocasiones acabará proponiéndose la pregunta en un artículo, un libro o una conferencia, y otros matemáticos tendrán un nuevo tema para pensar. Veamos una tercera situación. La transformada de Fourier es un objeto con muchas aplica- ciones potenciales, pero tiene un inconveniente, no es calculable. Como habitualmente se hace, un primer paso fue proponer una versión discreta en la que el cálculo de integrales se reemplaza por la resolución de sistemas lineales (que sólo requiere operaciones elementales). Pero seguía habiendo un inconveniente, los sistemas eran tan grandes que incluso los orde- nadores no podían ofrecer respuestas en tiempo real. En 1965, J. Cooley y J. Tukey presen- taron el algoritmo de la transformada rápida de Fourier, que 'hizo pasar a industrias enteras de lentas a rápidas de la noche a la mañana". ¿Por qué no se descubrió antes? Porque es un Goldbacheck Euleri bidalitako eskutitza
- 169. errealak ekarri zuenproblema zelako, lehenago ez zegoen arrazoirik bila ibiltzeko. Adibide honek, beste askok bezala, erakusten du aplikazioen alorrean matematikak ez duela bakarrik ematen, hartu ere egiten duela. Lan egiteko behin eta berriro problemak zelan agertzen diren erakusteko adibideak izan dira. Ez da historia amaitu eta, noizean behin harresi handi bat botatzen den arren, Fermaten teo- rema esate baterako, ez du inoiz amaitzeko itxurarik. Ikuspegi pertsonaletik esango dut zorionekoa izan naizela garai hon etan egokitu zaidalako matematikari izatea hemen. 70eko hamarkadan, orduko Universidad Autónoma de Bilbao hartan matematika ikasle izan ginenok unibertsitate gazte eta eginbakoa aurkitu genuen. Irakasleak, gu baino apur bat zaharragoak, ez zuten ezagutzen egunean eguneko matemati- karen bilakaera. Baina norbaitek pentsatu zuen prestakuntzarik onena jakintsuak zeuden lekuan hartuko genuela eta kanpora joateko aholkua eta laguntza aurkitu gen uen. Honela, batzuk kanpoko bidea hartu genuen eta gure lehen harridura matematika bizi zela jakitea izan zen. Mintegiak eta bilerak ezagutu genituen eta matematikaren aurrerapenen egileak geure begiz ikusi genituen, hezur-haragizko pertsonak ziren eta ez erretratu zaharren galeria bateko argazkiak. Hurrengo urrats aipagarria geu ere aurrerapenen egile izan gintezkeela konturatzea izan zen, ekarpen txikiekin bazen ere. Eta sarean harrapatu gintuen. Hogei urte geroko Euskal Herriko Unibertsitatea ordukoa baino askoz ere helduagoa da. Kanpora joandako batzuk itzuli egin ginen, beste batzuk guregana etorri ziren gelditzeko, eta hemen hezitakoak ere prestakuntza hobea hartu zuten. Gaur egun, hemen ere senti daiteke matematikaren bizitz a eta aspaldi haretan pentsaezina zena gertatzen da , hona ere etortzen baitira mundu guztiko matematikariak, bertan egonaldiak egitera, mintegiak ematera edo kon- gresuetan parte hartzera. Duela urte bi geometrilari handi bat, Alfred Gray, Bilbon hil zen gure sailean urte sabatiko batekin zegoela. Orain dela aste bi haren oroimenez unibertsitate hone- tan egin den kongresu batean mundu guztitik etorritako berrehun aditu baino gehiago elkartu dira. Joan den uztailean jokoen teoriari buruzko kongresu bat egin zen Bilbon eta bertan bos- tehun partehartzaile baino gehiago izan ziren, Ekonomiako hiru Nobel saridun barne. Dena dela, ez lukete gure ikasleek pentsatu behar dagoeneko hemen dena egitea posible dela eta ez dela kanpora joan behar. Oraindik ere asko dago ikusteko eta ikasteko gehiago dakite- nen albora joanez gero, eta hau da aldatzeko eta aurreratzeko dugun bide bakarra. Unibertsitate honetako matematika asko hobetu da eta orain ingurukoen mailarekin bat dator gurea ere, baina beste erronka bat dugu aurretik. Matematikaren irakaskuntza unibertsitate espainiarretan irakasle eta ikertzaileen formaziorako bideratu da, beharrak eskatzen zuelako edo besterik egiten ez genekielako. Mende berriak matematikari berriak eskatuko ditu, inguru akademikotik kanpo ezagutza erabiltzeko eta mundu errealeko proiektuetan beste arlo ba- tzuetako profesionalekin elkarlanean aritzeko gauza. Ez beste ofiziokoen ordezkari, osagarri baizik. Geure ardura da behar diren al daketak prestatzea. Eta amaituko dut. Beste urte batez bete barik geldituko da Pedro Simón Abrilen nahia, "ez dezatela inor onartu ezein gradu motatara ez badu lehenago erakusten ondo ikasi dituela jakingai matematikoak", baina oraingoan gutxienez lehen ikasgaia matematikaren gainean izan da. Beti bezala irakaslea gustora geldituko litzateke ikasleek, entzuleek oraingoan, gauza berriren bat ikasi badute, baina, batez ere, gehiago jakiteko gogoa atera badute. Horrela bada, bila ezazue liburu bat, interneteko orri bat, irakasle baten aholkua; ez zaizue damutuko. Matematikaren mundua lil uragarria da. SIGMA Nº 19174 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia
- 170. Septiembre 2001 •Iraila 2001 175 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 problema que surge por las necesidades de utilización real de la matemática y antes nadie tuvo un motivo para pensar en ello. Es un ejemplo como tantos otros de que las aplicaciones son un terreno en el que la matemática no sólo da, sino también recoge. Son algunas muestras de cómo pueden surgir continuamente problemas en los que trabajar. La historia no ha terminado y, aunque a veces cae un muro grande como el teorema de Fermat, no tiene visos de que vaya a terminar nunca. Voy a hablar desde una experiencia personal para decir que he tenido mucha suerte con el momento en que me ha tocado ser matemático aquí. Los que fuimos estudiantes de la Universidad Autónoma de Bilbao en los años setenta, encontramos una universidad joven y en formación. Los profesores, poco mayores que nosotros, no estaban al día en el desarrollo de la matemática de la época. Pero hubo quien pensó que la mejor manera de prepararnos era que fuésemos a los lugares donde estaban los que sabían, nos aconsejaron salir y nos ayu- daron a conseguirlo. Algunos fuimos a otros centros y nuestra primera sorpresa fue la de des- cubrir que la matemática estaba viva. Conocimos seminarios y reuniones científicas y vimos con nuestros ojos a los autores, que eran de carne y hueso y no fotos de una galería de viejos retratos. Un segundo paso notable se producía cuando nos dábamos cuenta de que nosotros mismos podíamos participar en los avances de la matemática, aunque fuese con pequeñas aportacion es. Quedamos atrapados en su red. Veinte años después la Universidad del País Vasco está mucho más madura. Algunos de los que salimos fuera volvimos, otros vinieron para quedarse y también los que se quedaron mejo- raron su formación. Hoy día, aquí mismo, se puede sentir que la matemática está viva y lo que entonces era impensable es una realidad, matemáticos de todo el mundo vienen a hacer estancias, dar seminarios o participar en congresos. Un gran geómetra, Alfred Gray, falleció en Bilbao hace dos años mientras disfrutaba de un sabático en nuestro departamento. Hace dos semanas un congreso de geometría diferencial celebrado en su memoria en esta universi- dad ha reunido a más de doscientos especialistas de todo el mundo. A finales de julio pasado se celebró en Bilbao un congreso de teoría de juegos con más de quinientos participantes, entre ellos tres premios Nobel de Economía. Con todo, no deberían pensar nuestros estudiantes que todo se puede hacer aquí y va no es necesario salir fuera. Sigue habiendo mucho que ver y mucho que aprender yendo cerca de los que saben más y es la única manera de que podamos cambiar y avanzar. Hemos mejorado lo suficiente la matemática en esta universidad como para tener un nivel homologado con los de nuestro entorno, pero tenemos un nuevo reto por delante. La ense- ñanza de la matemática se ha dirigido en las universidades españolas a formar docentes e investigadores, porque había una necesidad o porque no se sabía hacer de otro modo. El nuevo siglo nos va a pedir matemáticos nuevos, capaces de utilizar sus conocimientos fuera del ámbito académico y de trabajar junto a profesionales de otras ramas en proyectos conjun tos del mundo real. No para sustituirlos sino para complementarlos. También es nuestra res- ponsabilidad preparar los cambios para ello. Llego al final. Otro año más quedará sin cumplir el deseo de Pedro Simón Abril de que "nadie sea admitido a ningún género de grado sin haber hecho demostración de haber estudiado bien las disciplinas matemáticas", pero al menos esta vez la primera lección ha sido sobre mate- máticas. Como siempre al profesor le gustaría que sus alumnos, sus oyentes en este caso, hubieran aprendido algo nuevo, pero sobre todo le gustaría que se hubieran quedado con las ganas de saber más. Si es así, busquen un libro, una página en internet, un profesor que les asesore, no se arrepentirán. El mundo de la matemática es apasionante.
- 171. notak 1 Izenburu osoahau da: Apuntamientos de cómo se deben reformar las doctrinas y la manera de enseñarlas para reducirlas a su antigua entereza y perfección; de que con la malicia del tiempo y con el demasiado deseo de llegar los hombres presto a tomar las insignias de ellas han caido, hechos al Rey Nuestro Señor por el doctor Pedro Simón Abril. Testua berriro argitaratu da hemen: P Simón Abril, Textos de Humanismo y Didáctica, Clásicos Albacetenses, 6, Diputación de Albacete, 1988. * Alboan dagoen erdarazko jatorrizko testuan euskal itzulpen honek ez duen zahar kutsua aurkituko du irakurleak. 2 Victor Hugo, Les Misérables, Maurice Allem-en edizio kritikoa, Gallimard, Paris, 1951. 3 Aipu Biak L. A. Santaló-ren La matemática: una filosofía y una técnica (Ariel, Madrid, 1994) liburutik hartu ditut. 4 Newtonen ekarpena handia izanda ere, beste batzuk hasitako bidearen burutzea bezala ulertu behar da haren lana; Newtonen berak Hookeri eskutitz batean esan ziona gogoratuko dugu: “beste batzuk baino urrunago ikusteko gauza izan banaiz, erral- doien bizkarretan oinarritu naizelako izan da”. 5 Galileoren hitzak hauek dira: “Filosofia, gure begien aurrean etengabe zabaltzen den liburu honetan dago idatzita (unibertsoaz ari naiz); ezin da ulertu, ordea, aurretik haren hizkuntza ikasi eta idatzita dagoen alfabetoa ezagutzen ez bada. Eta matemati- karen hizkeran dago idatzita, karaktereak triangeluak, zirkuluak eta beste irudi geometrikoak izanik, eurak barik berba bat bera ere ulertzea ezinezkoa gertatzen da; eurak barik labirinto ilun batetik noraezean ibiltzea baino ez da lortzen” (Il Saggiatore, 1623) 6 J Fourier-en Théorie Analytique de la chaleur liburuko Discours préliminairetik hartua; edizio faksimilea dago: Jacques Gabay, Paris, 1988. 7 Jacobik Legendreri idatzitako gutunak Jacobiren lan guztien bildumako lehen tomoan datoz. Biduma Chelsea Publishing Company etxeak berrargitaratu zuen (Gesammelte Werke, New York, 1969). 8 Armand Borelen konparazio hau P. A. Griffiths-ek dakar: Mathematics -from servant to partner, Institute for Advance Study dela- koan emandako diskurtsoa, Princeton, 1993. 9 E. Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Comm. Pure Appl. Math. 13 (1960), 1-14; berriro agertu zen Symmetries and reflections; scientific essays of Eugene P Wigner (MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1967) liburuan eta bere lan guztien bilduman (Springer, 1992). 10 Interneteko www.nobel.se/medicine/laureates/1979/index.html orrial informazio gehiago dakar sariaz eta sarituez. 11 A. Lindbeck-en hitzaldia www.nobel.se/economics/laureates/1970/press.html helbidean dago. 12 Nobel sari honen informazioa www.nobel.se/economics/laureates/1997/index.html helbidean aurki daiteke. 13 Hitzaldi osoa www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/ppuigadam/ppa001245.html helbidean aurki daiteke. 14 Clay Mathematics Institute (Cambridge, Massachusetts) delakoak joan den maiatzaren 24an adierazi zuenez, milioi bana dola- rreko zazpi sari emango ditu, beste hainbeste problema matematikoren ebazpenengatik. (Ikus vvww.claymath.org//prize_problems/index.htm.) 15 S. Bochner, El papel de la matemática en el desarrollo de la ciencia, Alianza, Madrid, 1990; jatorrizkoa ingelesez, Princeton University Press, 1966. SIGMA Nº 19176 2000-2001 ikasturteari hasiera emateko hitzaldia
- 172. Septiembre 2001 •Iraila 2001 177 Lección inaugural del curso académico 2000-2001 notas 1 El título completo es Apuntamientos de cómo se deben reformar las doctrinas y la manera de enseñarlas para reducirlas a su antigua entereza y perfección; de que con la malicia del tiempo y con el demasiado deseo de llegar los hombres presto a tomar las insignias de ellas han caido, hechos al Rey Nuestro Señor por el doctor Pedro Simón Abril. Se reproduce en P. Simón Abril, Textos de Humanismo y Didáctica, Clásicos Albacetenses, 6, Diputación de Albacete, 1988. 2 Victor Hugo, Les Misérables, edición crítica de Maurice Allem, Gallimard, París, 1951. 3 Ambas citas están tomadas de L. A. Santaló, La matemática: una filosofía y una técnica, Ariel, Madrid, 1994. 4 A pesar de la gran aportación de Newton, su labor hay que verla como la culminación de un camino que otros habían empe- zado; recordemos lo que él mismo escribió en una carta a Hooke: “si he sido capaz de ver más lejos que otros, ha sido sólo por- que me he apoyado en hombros de gigantes”. 5 La cita completa es la siguiente: "La filosofia está escrita en este vasto libro que continuamente se abre ante nuestros ojos (me refiero al universo), que, sin embargo, no se puede entender si antes no se ha aprendido a entender su lengua y a conocer el alfabeto en el que está escrito. Y está escrito en el lenguaje de las matemáticas, siendo sus caracteres triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra; sin ellos sólo se conseguirá vagar por un oscuro laberinto" (Il Saggiatore, 1623). 6 J Fourier en el Discours préliminaire de su Théorie Analytique de la chaleur; hay una edición facsímil de Jacques Gabay, París, 1988. 7 Las cartas de Jacobi a Legendre se reproducen en el tomo primero de las obras completas de Jacobi, Gesammelte Werke, ree- ditadas por Chelsea Publishing Company, Nueva York, 1969. 8 La comparación de Armand Borel está tomada de P. A. Griffiths, Mathematics -from servant to partner, discurso en el Institute for Advance Study, Princeton, 1993. 9 E. Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Comm. Pure Appl. Math. 13 (1960), 1-14; reproducido en Symmetries and reflections; scientific essays of Eugene P. Wigner, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1967, y en sus obras completas, Springer, 1992. 10 La página de internet www.nobel.se/medicine/laureates/1979/index.html contiene más información sobre el premio y los pre- miados. 11 El discurso de A. Lindbeck está en www.nobel.se/economics/íaureates/1970/press.html. 12 La dirección www.nobel.se/economics/laureates/1997/index.html contiene información sobre este premio Nobel. 13 Reproducido en www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/ppuigadam/ppa001245.html. 14 El Clay Mathematics Institute de Cambridge (Massachussets) anunció el 24 de mayo pasado la concesión de siete premios de un millón de dólares cada uno por la solución de otros tantos problemas matemáticos. (Véase www.claymath.org/prize_ problems/index.htm. ) 15 S Bochner, EI papel de la matemática en el desarrollo de la ciencia, Alianza, Madrid, 1991; original en inglés de Princeton University Press, 1966.