Modulo de matematica basica i

INSTITUCION EDUCATIVA
ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE
COROZAL
FORMACION COMPLEMENTARIA
MODALIDAD A DISTANCIA: RES: 17157. 11-27-13
MATEMATICA BASICA I
RECTOR: ARMANDO GANDARA CASTILLA.
COORDINADOR DEL PFC: VALMIRO RANGEL RANGEL
COMPILADORES: LIC: MANFREDO KLEBER, FERNANDO
FALCON, LUIS ALVAREZ, VICTOR CABRERA.
COROZAL
2014

MATEMATICA BASICA I 2
TABLA DE CONTENIDO
PRESENTACION……………………………………………………………..5, 6
INTRODUCCION……………………………………………………………...7
OBJETIVOS GENERALES………………………………………………….8
UNIDAD N° 1: PRINCIPIO DE LOGICA Y TEORIA DE CONJUNTO...9
1. Principios de la lógica…………………………………………………..10
1.1. Historia y clasificación…………………………………………………..10.
1.2 Clasificación de la lógica………………………………………………..10.
1.3. Conceptualización de la lógica…………………………………………11.
1. 4. Lógica y lingüística………………………………………………………11
1.5. Proposiciones……………………………………………………………..12
1.6. Clase de proposiciones………………………………………………….12
1.7. Representación simbólica de proposiciones………………………….13.
1.8. Conectivos lógicos……………………………………..13, 14, 15, 16, 17.
1.9. Tabla de verdad…………………………………………………………..17.
1.10. Construcción de la tabla de verdad……………………………...18, 19.
1.11. Tabla de verdad para los conectivos lógicos………………………..20.
1.12. Implicación directa, contrarias, recíproca y contra recíproca………21.
1.13. Leyes de lógica…………………………………………………21, 22, 23
EJERCICIOS……………………………………………………………...23, 24
1.2 Teoría de conjunto……………………………………………………...24
1.2.1. Introducción....................................................................................24
1.2.2. Noción de conjunto……………………………………………….24, 25
1.2.3. Clase de
conjuntos…………………………………………………………………….25, 26

1.2.3 Relaciones entre conjuntos…………………………………………......27, 28
1.2.4 Operaciones entre conjunto…………………………………..28, 29, 30, 31
1.2.5 Diagramas de Venn…………………………………………………............31
1.2.6. Cardinal de un conjunto………………………………………32, 33, 34, 35
EJERCICIOS…………………………………………………………………….36, 37
REFERENCIAS……………………………………………………………………...37
SITIO WEB……………………………………………………………………....37, 38.
UNIDAD N° 2. SISTEMA NUMERICO……………………………………………39
2.1 Sistema delos números naturales(N)…………………………………………40.
2.2 Operaciones……………………………………………………………………..40.
2.3. Potenciación…………………………………………………………...41, 42, 43
2.4. Radicación, propiedades……………………………………………….....43,44.
2.5. Logaritmación, propiedades………………………………………….44, 45, 46.
2.6. Divisores…………………………………………………………………………46.
2.7. Números primos…………………………………………………..46, 47, 48, 49.
2.8.Números compuestos…………………………………………………………..49
EJERCICIOS…………………………………………………………....49, 50, 51, 52.
REFERENCIAS………………………………………………………………………52.
SITIO WEB…………………………………………………………….,……………...52.
UNIDAD N°3. TEORIA DE EXPONENTE…………………………………………53.
Exponentes negativos……………………………………………………………54. 55
3.1. Leyes de los exponentes……………………………………………….55, 56, 57
3.2. Explicación de las leyes…………………………………………………57, 58,59.
3.3. Exponente fraccionario………………………………………………….59, 60, 61.
3.4. Exponente o…………………………………………………………………6,1, 62.
.

3.5. Potencia de exponente negativo………………………………62, 63,64,65, 66.
3.6. Exponente radical……………………………………………………....67, 68, 69.
EJERCICIOS……………………………………………………………………..69, 70.
REFERENCIAS………………………………………………………………………..70
SITIO WEB……………………………………………………………………………..70.
UNIDAD N° 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS………………………………….71
4. Expresiones algebraicas………………………………………………………72, 73.
4.1. Suma y resta de polinomios……………………………………………74, 75, 76.
4.2. Multiplicación de polinomios…………………………………………….....76, 77.
4.3. División de polinomios……………………………………………………..77. 78.
4.4. Producto cociente notable………………………………………………...79, 80.
4.5. Factorización…………………………………………………………..81, 82, 83.
EJERCICIOS………………………………………………………………..83, 84, 85.
REFERENCIAS……………………………………………………………………...85.
SITIO WEB…………………………………………………………………………..85.

PRESENTACION
La educación superior se ha convertido hoy día en prioridad para el gobierno Nacional y
para las universidades públicas, brindando oportunidades de superación y desarrollo
personal y social, sin que la población tenga que abandonar su región para merecer de
este servicio educativo; prueba de ello es el espíritu de las actuales políticas educativas
que se refleja en el proyecto de decreto Estándares de Calidad en Programas Académicos
de Educación Superior a Distancia de la Presidencia de la República, el cual define: “Que la
Educación Superior a Distancia es aquella que se caracteriza por diseñar ambientes de
aprendizaje en los cuales se hace uso de mediaciones pedagógicas que permiten crear
una ruptura espacio temporal en las relaciones inmediatas entre la institución de
Educación Superior y el estudiante, el profesor y el estudiante, y los estudiantes entre sí”.
La Educación Superior a Distancia ofrece esta cobertura y oportunidad educativa ya que
su modelo está pensado para satisfacer las necesidades de toda nuestra población, en
especial de los sectores menos favorecidos y para quienes las oportunidades se ven
disminuidas por su situación económica y social, con actividades flexibles acordes a las
posibilidades de los estudiantes.
La Institución Educativa Escuela Normal Superior de Corozal gestora de la educación y
promotora de llevar servicios con calidad a las diferentes regiones, y el Centro de
Educación Virtual, presentan los siguientes materiales de apoyo con los contenidos
esperados para cada programa y les saluda como parte integral de nuestra comunidad
Normalista e invita a su participación activa para trabajar en equipo en pro del
aseguramiento de la calidad de la educación superior y el fortalecimiento permanente de
nuestra Institución, para contribuir colectivamente a la construcción del país que
queremos; apuntando siempre hacia el cumplimiento de nuestra visión y misión como reza
en el nuevo Estatuto Orgánico:
Misión: La escuela Normal Superior de Corozal es una institución educativa que tiende la
formación inicial de maestros para desempeñarse en los diferentes contextos,
fundamentada en un currículo basado en el desarrollo del pensamiento, del lenguaje, la
pedagogía y la investigación, para el ejercicio de la docencia en el nivel de Preescolar y el
ciclo de Básica Primaria, desarrollando su proceso educativo fundamentado en la
pedagogía con orientación critico-social, para formar ciudadanos con sentido humanista,
critico, analítico, autónomo y reflexivo, que desempeñen con idoneidad su labor
profesional, protagonistas en el desarrollo de procesos educativos en la formación de
niñas niños, adolescentes, jóvenes y adultos de la poblaciones vulnerables sujetas de
exclusiones, pertinentes, de calidad, de calidad equitativos y con un enfoque intercultural,
como base para el desarrollo sostenible, integral y armónico de las personas en relación
con , la familia, la sociedad y su ambiente natural en un marco de convivencia
democrática.

Visión: La Escuela Normal Superior de Corozal, se consolidara como una institución
generadora de conocimientos, potenciadora de los valores culturales de la región y del
país, orientado su accionar pedagógico hacia la reflexión sobre su contexto para proponer
creativamente a la comunidad alternativas de desarrollo lo mismo que a impulsar procesos
de mejoramiento permanente de la educación en las áreas rurales y de población
vulnerables sujetas de exclusión, atreves de la investigación, la innovación y el
asesoramiento, para el fortalecimiento de capacidades locales y regionales.

INTRODUCCIÓN
La Educación Superior a Distancia supera las barreras del espacio físico a la distancia física
para acceder a la educación.
Parte como hecho básico de la separación entre el estudiante y el profesor para lograr con
su organización y gestión seguir un programa desde cualquier parte.
El Centro de Educación Virtual y a Distancia en cumplimiento de sus propósitos busca
llegar a usted apreciado estudiante, sin importar el lugar donde se encuentre. Esta
situación nos plantea la oportunidad de mantenerlos en un continuo proceso de
innovación y cambio en aras de la calidad y la cobertura educativa.
Este manual se constituye en un material de apoyo para estudio y análisis al iniciar
cualquier carrera de la modalidad a distancia que ofrece la Institución Educativa Escuela
Normal Superior de Corozal. Es una de las asignaturas que conforma el plan de estudios,
su duración es de un ciclo.
En la primera unidad se presenta los conceptos básicos de lógica y conectivos lógicos,
como también los conceptos básicos de la teoría de conjuntos y sus operaciones.
En la segunda unidad se facilitara la comprensión y aplicación de los conceptos en la
solución de situaciones problemas de la vida cotidiana para lo cual: debes reconocer los
elementos del sistema numérico
La tercera unidad sed estudiara la potenciación con exponentes Reales, propiedades y
aplicación; al igual la logaritmación y sus propiedades
La cuarta unidad encontrara elementos conceptuales de las expresiones algebraicas, sus
operaciones y nociones básicas de factorización
Estos elementos conceptuales que le ayudarán a identificarse en su autoestima y su ética,
su rol docente y/o profesional, que le plantean retos y la motivación suficiente para
emprender el camino que ha escogido.
Los Autores.

OBJETIVOS GENERALES
Establecer el valor de verdad de muchos de los enunciados lógicos utilizando las
leyes de la lógica y las de las inferencias, ya sea para determinar la consistencia
interna de un razonamiento.
Utilizar las diferentes leyes de la lógica con el fin de obtener precisión, claridad y
generalidad en diferentes razonamientos
Estudiar, analizar y profundizar los conceptos fundamentales de la teoría de
conjuntos, básicos para llegar a la comprensión de los conectivos lógicos y la
relación del lenguaje natural, a la vez que son aplicados en la solución de
problemas.
Utilizar las diferentes leyes de la lógica con el fin de obtener precisión, claridad y
generalidad en diferentes razonamientos
Estudiar, analizar y profundizar los conceptos fundamentales de la teoría de
conjuntos, básicos para llegar a la comprensión de los conectivos lógicos y la
relación del lenguaje natural, a la vez que son aplicados en la solución de
problemas.
Afianzar los procesos operacionales en el conjunto de los números reales
mediante la solución y comprensión de situaciones problemas planteadas en
contexto.
Estudiar, analizar y profundizar los conceptos fundamentales de la potenciación,
básicos para llegar a la comprensión de las propiedades y la relación con la
radicación y logaritmación, a la vez que su aplicación en la solución de problemas.
Mostrar que el álgebra, desde su nivel básico, es una herramienta útil e
indispensable para el estudio de otras áreas de la propia matemática, de otras
ciencias y prácticamente de cualquiera otra actividad.
Reconocer, clasificar y operar expresiones algebraicas e Interpretar y relacionar
los productos notables y la Factorización como procesos de doble vía.

UNIDAD N° 1: PRINCIPIOS DE LOGICA Y TEORIAS DE
CONJUNTOS
OBJETIVOS ESPECIFICOS
 .Identificar las relaciones entre conjuntos.
 Distinguir las diferentes clases de conjuntos
 Representar gráficamente los conjuntos.
 Realizar las diferentes operaciones entre conjuntos.
 Resolver problemas con conjuntos.
 Conocer la historia de la lógica y su clasificación.
 Establecer la relación entre lógica y lingüística.
 Aprender los conectivos lógicos: disyunción, conjunción, implicación o
entonces, equivalencia o si y solo sí.
 Elaborar la tabla de verdad de enunciados o expresiones lógicas
FRASES DE ENTRADA:” Si así fue así pudo ser; si así fuera así podía ser;
pero como no es, no es. Eso es lógico.
Lewis Carroll
SITUACION PROBLEMA: ¿Que conceptos, habilidades y actitudes relacionados con la
lógica y los conjuntos se requieren para desarrollar el pensamiento lógico.

1. PRINCIPIOS DE LA LOGICA
1.1. HISTORIA Y CLASIFICACIÓN: Etimológicamente la lógica es la ciencia del logos.
Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se definió la
lógica como la rama de la gramática que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje.
Como la palabra es la expresión, o manifestación del pensamiento y el pensamiento
racional es la base de Ja filosofía, puede decirse en general> que la lógica es la ciencia
del pensamiento racional; es de aclarar que la lógica no se ocupa del contenido de los
pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos.
En respuesta a la necesidad de construir argumentos> para defender o refutar
pensamientos de los demás, Aristóteles, considerado por los griegos. “El padre de la
lógica”, creo métodos sistemáticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo
cual desarrolló la lógica proposicional estableciendo procedimientos para determinar la
verdad o falsedad de proposiciones compuestas.
El gran matemático Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lógica
clásica, planteando que la dependencia lógica entre proposiciones es demostrada,
reduciendo argumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el
conocimiento, en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecánico y a
éste esquema (lógica simbólica) lo llamó una característica universal.
El proceso de la lógica continuó en el siglo XIX. En 1847 el matemático inglés George
Boole en compañía de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las
operaciones lógicas con las matemáticas, pues a partir de los operadores aritméticos de
adición, multiplicación y sustracción crearon los operadores lógicos equivalentes de unión,
intersección y negación; además formularon los principios del razonamiento simbólico y el
análisis lógico. A Boole se le atribuye la invención de las tablas de verdad para comprobar
la veracidad de proposiciones compuestas.
Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra
“Principio Matemático», quienes codificaron la lógica simbólica en su presente forma
definiéndola como la “Ciencia de todas las operaciones conceptuales posibles>’, por esta
razón la fundación de la lógica formal moderna se le atribuye a ellos.
1.2. CLASIFICACIÓN DE LA LÓGICA
La lógica se puede clasificar como:
1. Lógica tradicional o no formal.
2. Lógica simbólica o formal.
En la lógica tradicional se consideran los procesos psicobiológicos del pensamiento
lógico, y los métodos de inferencia que están relacionados con la destreza para interpretar
y distinguir el razonamiento correcto del incorrecto; se puede considerar que la lógica no

formal resume las experiencias humanas obtenidas del conocimiento y de la observación
del mundo circundante.
La lógica como ciencia constituye la lógica formal o simbólica, la cual se encarga de
investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de
la inferencia; es considerada como uno de los sistemas mediante el cual se llega a formas
puras y rigurosas. En el pensamiento simbólico, las palabras se manipulan, según las
reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido.
1.3. CONCEPTUALIZACIÓN
La lógica ofrece métodos que enseñan cómo formar proposiciones, evaluar sus valores de
verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de
proposiciones supuestas; además, la lógica es una ciencia -que se interesa por las
relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener precisión, claridad y
generalidad en los razonamientos.
La precisión la logra mediante el uso de símbolos, los cuales tienen como función
primordial eliminar las ambigüedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede
evitar con facilidad.
La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con
los elementos básicos de un argumento lógico, tanto en su representación simbólica como
en su significado para luego establecer un lenguaje simbólico artificial, que le permita
simplificar argumentos lógicos complicados; de ésta manera , el símbolo permite
concentración sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando la fiabilidad con que
se aplica el conocimiento.
1.4. LÓGICA Y LINGÜÍSTICA
Por su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos básicos de lenguajes: -
los lenguajes naturales y los lenguajes formales o artificiales.
Los lenguajes naturales no se establecieron a través de ninguna teoría, entre ellos están
el castellano, el francés y el inglés. Las teorías y gramáticas de lenguajes naturales,
fueron establecidas a posteriori, es decir después de que el lenguaje ya había madurado.
Los lenguajes formales como las matemáticas y la lógica, fueron desarrollados,
generalmente, a partir del establecimiento de una teoría, la cual da las bases para que a
través de dichos lenguajes se pueda desarrollar la misma teoría.
Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en común, en principio, se tiene la
existencia de un conjunto finito llamado alfabeto, el cual esta constituido de símbolos
simples llamados comúnmente letras. En los lenguajes naturales se tienen como ejemplos
los alfabetos: latino, griego y árabe-persa, entre otros. En los formales como la lógica se
tiene el léxico del cálculo proposicional y de predicados.
Mediante la concatenación de las letras del alfabeto se forman los monemas, fonemas o
palabras que se encuentran en el interior de un enunciado, de tal forma que un lenguaje

se considera como un conjunto infinito de oraciones -o enunciados que se forman con
palabras del diccionario.
En los sistemas formales los enunciados del lenguaje consisten en una lista de símbolos,
(lógicos o matemáticos) sujetos a diversas Interpretaciones. En un lenguaje formal, las
palabras y las oraciones están perfectamente definidas, una palabra mantiene el mismo
significado prescindiendo del contexto o de su uso. Los lenguajes formales son, por esto,
necesariamente exentos de cualquier componente semántico fuera de sus operadores y
relaciones, y es gracias a esta ausencia de significado especial, que los lenguajes
formales pueden ser usados para modelar una teoría de la ingeniería de sistemas,
mecánica, eléctrica, entre otras.
1.5. PROPOSICIONES
La lógica utilizada en un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin
toma como elemento básico de análisis a la proposición, que no es otra cosa que una
oración del lenguaje cotidiano con un significado mucho más limitado, en tales
condiciones, se puede considerar una proposición corno una excepción lingüística que
tiene la propiedad de ser verdadera o falsa, y para simplificar la escritura de argumentos
lógicos complicados; crea un lenguaje simbólico artificial, en donde establece un conjunto
de reglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigüedades del lenguaje
corriente.
Es importante tener en cuenta que las proposiciones presentan oraciones declarativas, las
cuales contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado
y una conjugación del verbo ser.
1.6. CLASE DE PROPOSICIONES.
En lógica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atómicas o simples
y moleculares o compuestas, veamos:
1.6.1. PROPOSICIONES SIMPLES: Se denominan proposiciones simples aquellas
oraciones que no utilizan conectivos lógicos.
Estos son algunos ejemplos:
La luna es un satélite de la tierra.
2 es el inverso multiplicativo de -.
El valor de verdad de una proposición simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no
los dos valores al mismo tiempo, pues dejaría de ser proposición.
1.6.2. PROPOSICIONES COMPUESTAS.
Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o más
proposiciones simples mediante términos de enlace.
EJEMPLO: Está lloviendo y el sol brilla

El sol es verde o 7 es un cuadrado.
La veracidad o falsedad de una proposición compuesta, depende del valor de verdad de
cada una de las proposiciones simples que la conforman y de la forma como estén
combinadas; para establecer este valor.
1.7. REPRESENTACION SIMBOLICA DE PROPOSICIONES: Las proposiciones se
representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto tales como
p, q, r, s,…, x, z, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicional, de esta
forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural.
Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden simbolizarías proposiciones:
p: Hoy es sábado.
q: Estudio ingeniería de sistema
r: New York es llamada la capital del mundo.
s: 1 no es un número primo.
x: 4+ 3 = 10.
Es decir se puede establecer una relación biunívoca entre el lenguaje natural y el
lenguaje formal. Estas proposiciones generalmente se llaman frases.
Éstas expresiones se denominan oraciones y para su formación se utilizaron las letras y,
o, no, si, entonces, si y solo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados.
1.8. CONECTIVOS LOGICOS
Estos términos de enlace reciben el nombre de Conectivos lógicos y al igual que a las
proposiciones, también se les asignan un lenguaje simbólico, así:
LENGUAJE NATURAL LENGUAJE FORMAL
y Λ
o ν
No ⌐
Si entonces →
Si y sólo sí ↔
Vemos varios ejemplos de notación simbólica de las proposiciones:
p: Las rosas son rojas
q: Las rosas tienen espinas.
p Λ q: Las rosas son rojas y tienen espinas.
x: Estudio lógica matemática

y : Seré un destacado ingeniero de sistemas
x → y: Si estudio lógica matemática seré un destacado ingeniero de sistemas..
Como ya se dijo en la sección anterior, los símbolos que sirven para enlazar dos o más
proposiciones simples, se llaman conectivos lógicos, estos son; la conjunción, la
disyunción, la negación, el condicional y el bicondicional.
1.8.1 LA CONJUNCIÓN: “٨”Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición
compuesta p y q simbolizada por “p Λ 4’, se denomina la conjunción de p y q.
Ejemplos de conjunción:
Ejemplo 1
La proposición compuesta: s : 6 es número par; r : entero positivo; Λ: y
6 es un número par y entero positivo.
s ʌ r
Para establecer el valor de verdad de la conjunción, surgen las siguientes posibilidades:
Que p y q sean verdaderas.
1. Que p y q sean verdaderas.
2. Que p sea verdadera y q sea falsa.
3. Que p sea falsa y q verdadera.
4. Que p y q sean falsas.
1.8.2. LA DISYUNCION: “٨”Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición
compuesta p y q simbolizada por “p ν 4’, se denomina la conjunción de p o q.
El operador “o” se puede usar de dos formas: como “o incluyente” o como “o excluyente”.
En el primer caso (“o” incluyente) hace que el valor de verdad de una de las dos
proposiciones simples repercuta en el valor verdadero de la proposición disyuntiva;
mientras que en la segunda forma (“o” excluyente) el valor de verdad de una proposición
excluye la veracidad de la otra proposición, esto hace que la proposición disyuntiva tome
el valor verdadero.
Ejemplo 1. Uso del “o” incluyente : p: Termino de escribir mi programa de computación
q : jugará tenis.
ν: o
Termino de escribir mi programa de computación o jugara tenis: (p ν q)
Ejemplo 2. Uso del “o” excluyente

x: Quieres helado.
v: O
y: Quieres gaseosa.
Quieres helado o quieres gaseosa: (x Wy)
1.8.3. LA NEGACION (⌐): Sea p una proposición simple. Se define la negación de p
mediante la preposición compuesta no p simbolizada por: “⌐ p”.
Ejemplo 1
P: 3 es un número entero primo.
⌐q: No es un número entero primo, también se puede leer. es falso que 3 es un
número entero primo.
1.8.4. EL CONDICIONAL “→ ”
Se dice que una proposición compuesta es proposiciones simples enlazadas por la
expresión condicional, si está formada por “si.. .Entonces”.
Si p y q representan dos proposiciones, la expresión “si p entonces q se simboliza así:
p → q y se lee p implica q.
La proposición precedida por la expresión “si”, se llama antecedente o hipótesis y la
proposición precedida por la expresión “entonces”, se llama consecuente o conclusión de
la implicación. En la expresión p → q, el antecedente es p y el consecuente es q.
Las proposiciones condicionales se pueden enunciar de diferentes maneras así:
 Si p entonces q:
 p sólo si q
 q si p.
 p es suficiente para q.
 q es necesaria para p.
Los siguientes ejemplos ilustran los anteriores enunciados:
 Si un entero es múltiplo de 4 entonces es divisible por 2.
 Apruebo el semestre sólo si estudio.
 El algoritmo está bien enunciado si el programa corre.
 Si dos rectas nunca se cortan necesariamente son paralelas.
Cuando una proposición condicional se escribe en una de. las anteriores: formas,
probablemente, en el lenguaje común habrá alguna que no se interprete como se desea,
pero como la lógica no permite ambigüedades, éstas se deben escribir según la definición
dada en la sección.

Existen varias formas de enunciar proposiciones condicionales así:
Implicación directa: p → q
Implicación contraria: q → p
Implicación recíproca: ⌐p → ⌐q
Implicación contrarrecíproca : q → p
Ejemplo 1
Dadas las proposiciones p: 2m es divisible por 4
q: m es par
Entonces:
La proposición directa es: p → q: Si 2m es divisible por 4 entonces m es par, la contraria
es: q → p: Si m es par entonces 2m es divisible por 4, la recíproca es: ⌐p → ⌐q si 2m
no es divisible por 4, entonces m no es par y la contra reciproca es: ⌐q → ⌐p : Si m no es
par, entonces 2m no es divisible por 4.
Ejemplo
Teniendo en cuenta la proposición directa: ⌐p → ⌐q construir las otras formas de la
implicación.
Contraria: q→ ⌐p
Recíproca: (⌐⌐⌐ p) → ⌐q
q→ ⌐p
Contrarrecíproca: ⌐q → (⌐ ⌐p) ⌐q
⌐q → p
Ejemplo 3.
Proposición directa: ⌐p → ⌐q
Contraria: ⌐q → ⌐p
Recíproca ⌐ (⌐p) → ⌐ (⌐q)
q → p
1.8.5. EL BICONDICIONAL “↔”: Se denomina bicondicional a la proposición formada por
dos proposiciones simples conectadas por la expresión “si y sólo sí”.
Simbólicamente si p y q son proposiciones simples, la doble implicación p ↔q constituye

un bicondícional, donde p recibe el nombre de primer miembro y q segundo miembro.
El bicondicional está formado por las implicaciones p → q y q →4 p, las cuales deben
tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en
consecuencia, se dice que la
La proposición bicondicional tiene varias formas de traducción más no de significación,
éstas son:
 p sí y sólo si q.
 q si y sólo si p.
 si p entonces q y recíprocamente.
 si q entonces q y recíprocamente.
 p es una condición necesaria y suficiente para q.
 q es una condición necesaria y suficiente para p.
Ejemplo
Dadas las proposiciones
p: Un triángulo es rectángulo.
q: Un triángulo tiene un ángulo recto.
El bicondicional p↔q se puede traducir de las siguientes formas:
 Un triángulo es rectángulo sí t sólo sí tiene un triángulo recto.
 Un triángulo tiene un ángulo recto y sí y sólo sí es un triángulo rectángulo.
 Si un triángulo es rectángulo entonces tiene un ángulo recto y si un triángulo tiene
un ángulo recto entonces es un triángulo rectángulo.
 Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo tenga un ángulo recto
es que sea un triángulo rectángulo.
 Un triánguloᴕ rectángulo es equivalente a un triángulo con un ángulo recto.
1.9. TABLAS DE VERDAD: Definición: Una tabla de verdad es una representación
esquemática de las relaciones entre proposiciones; sirve para determinar los valores de
verdad de proposiciones compuestas, las cuales dependen de los conectivos utilizados y
de los valores de verdad de sus proposiciones simples. En la elaboración de una tabla de
verdad los términos de enlace tales como la negación (“ ⌐”), la disyunción (“v”) y la
conjunción (“Λ”) se consideran conectivos fundamentales; por tal razón, sus valores de
verdad constituyen base para establecer bajo qué condiciones una proposición
compuesta es verdadera o falsa. p q ⌐p pΛq pvq p→q p↔q
V V F V V V V
V F F F V F F
F V V F V V F
F F V F F V V

Para simbolizar los valores de verdad de una proposición, se utiliza el sistema binario,
mediante el cual se le asigna 1 al valor verdadero y 0 al valor falso. La siguiente tabla
resume los valores de verdad de los conectivos lógicos.
1.10. CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD: Para determinar el valor de verdad
de una proposición compuesta es necesario elaborar la correspondiente tabla de verdad;
para tal fin y mediante el siguiente ejemplo se enuncian los pasos a seguir:
Ejemplo 1: Construir la tabla de verdad para la proposición ⌐ (p Λ q).
Paso 1: Se hace un recorrido de izquierda a derecha teniendo en cuenta los paréntesis.
Paso 2: Se identifica el conectivo que aparece dentro del paréntesis, en este ejemplo la
Conjunción.
Paso 3: Se precisa el término de enlace que precede al paréntesis, en el ejemplo la
negación.
Paso 4: Se elabora la tabla con el número de columnas determinado por:
 Proposiciones que intervienen
 Conectivos utilizados dentro del paréntesis
 Conectivo utilizado fuera del paréntesis.
La siguiente tabla ilustra el paso 4:
Paso 5.
Se fijan los valores dé verdad en las columnas de las proposiciones p y q. se ilustra en la
siguiente tabla.
p q ⌐p pΛq pvq p→q p↔q
1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 1
1
p q pΛq ⌐(pΛq)
p q pΛq ⌐(pΛq)
1 1
1 0
0 1
0 0

Paso 6.
Se completa Ia tabla por columnas, teniendo en cuenta el conectivo y el valor de verdad
de cada proposición simple. La finalización de la elaboración de la tabla de verdad es:
Ejemplo 2.
Elaborar la tabla de verdad de la proposición: (p v q) Λ (pΛq).
Al realizar el recorrido de izquierda a derecha se observa que la proposición está
conformada por dos paréntesis conectados por la disyunción y dentro de cada paréntesis
se identifica la disyunción y la conjunción respectivamente; después de éste análisis se
elabora la tabla.
Ejemplo 3
Elaborar la tabla de verdad para la doble negación, es decir, ⌐ (⌐p)
Este resultado permite concluir que la doble negación de una proposición es la misma
proposición.
1.11. TABLA DE VERDAD PARA LOS CONECTIVOS LOGICOS
1.11.1. LA CONJUNCION: Tabla No. 1 La Conjunción
p q pΛq ⌐(pΛq)
V V V F
V F F V
F V F V
F F F V
1
p q pΛq ⌐(pΛq)
1 1 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 1
1
p q pvq (pΛq) (pvq) Λ (pΛq)
1 1 1 1 1
1 0 1 0 0
0 1 1 0 0
0 0 0 0 0
1
p ⌐p ⌐ ( ⌐ p)
V F V
F V F
p p ⌐ ( ⌐ p)
1 1
0 1 0
p p pΛq
V V V
V F F
F V F
F F F

De la anterior tabla de verdad podemos concluir que la conjunción es verdadera
únicamente cuando las dos proposiciones simples son verdaderas, en cualquier otro caso
la proposición es falsa
.1.11.2. LA DISYUNCION: Tabla No. 2 La Disyunción
p q p W q
V V F
V F V
F V V
F F F
1.11.3. LA NEGACION
Tabla No. 3 La Negación
1.11.4. EL CONDICIONAL: Tabla No. 4 El Condicional
1.11.5. EL BICONDICIONAL
Tabla No. 5 El Bicondicional
1.12. IMPLICACIÓN DIRECTA, CONTRARIA, RECÍPROCA Y CONTRARECÍPROCA:
Tabla de verdad para las cuatro formas de la implicación
p p pvq
V V V
V F V
F V V
F F F
p p p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
p p p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
p q ⌐p ⌐q p→q
Directa
q→p
Indirecta
⌐p→⌐q
Recíproca
⌐q→⌐p
Contra recíproca
1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1
p ⌐p
V F
F V

Tabla No. 6: Formas de la Implicación. Esta tabla permite analizar que los valores de
verdad correspondientes a las columnas de la directa y la contra recíproca coinciden, al
igual que los de las columnas de la contraria y de la recíproca, por lo tanto estas
implicaciones son equivalentes, es decir: 1. (p→q) ↔ ( ⌐q→ ⌐p 2. (q→p) ↔ ( ⌐p→
⌐q
Se propone al estudiante construir la tabla de verdad para las anteriores equivalencias.
1.13. LEYES DE LA LOGICA
1.13.1. TAUTOLOGIA, CONTRADICCIONES, INDETERMINADOS
TAUTOLOGIA: Cuando sus valores son verdaderos.
CONTRADICCIONES: Cuando sus valores son falsos.
INDETERMINADOS: Cuando sus valores son verdaderos y falsos.
Ejemplo 1. Demostrar que la proposición (pvq) → ( ⌐q →p) es una tautología:
Demostrar que la proposición (p v q) → ( ⌐q →p) es una tautología::
Para verificar la validez de esta proposición es necesario realizar la tabla de verdad y
comprobar que en la última columna solamente aparecen valores verdaderos.(SISTEMA
BINARIO)
Tabla No. 7 Ejemplo 1
Una proposición compuesta, que es falsa en todos los casos independientemente de los
Ejemplo 2
¿ Es (p Λ ⌐q) Λ q una tautología Para responder la pregunta se hace necesario hacer la
tabla de verdad, así
p q p v q ⌐q ⌐q→p (pvq) → ( ⌐ q → p)
1 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1
0 0 0 1 0 1
p q p v q ⌐q ⌐q→p (pvq) → ( ⌐ q → p)
V V V F V V
V F V V V V
F V V F V V
F F F V F V

Por lo tanto esta proposición no es una tautología, es una contradicción
¿Es (p Λ ⌐q) Λ q una tautología, (Sistema binario)
Por lo tanto esta proposición no es una tautología, es una contradicción.
Dos proposiciones compuestas se consideran lógicamente equivalentes si tienen los
mismos valores de verdad para cada una de las opciones en la tabla de verdad.
Ejemplo 3: (⌐p ʌ q ) ν ( ⌐ p ʌ ⌐ q ), Demostrar que es un indeterminado.
p q ⌐p ⌐q (⌐p ʌ q ) (⌐p ʌ ⌐q ) (⌐p ʌ q ) ν (⌐p ʌ ⌐q )
V V F F F F F
V F F V F F F
F V V F V F V
F F V V F V V
Es un indeterminado Establecer si las proposiciones (p →q) y (⌐p v q) son lógicamente
equivalentes. Para esto hay que probar que (p →q) ↔ (⌐p v q), la tabla de verdad es:
(SISTEMA BINARIO)
equivalentes.Para esto hay que probar que (p →q) ↔ (⌐p v q), la tabla de verdad es:
p q ⌐q p Λ ⌐q (p Λ ⌐q) Λq
1 1 0 0 0
1 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
p q ⌐q p Λ ⌐q (p Λ ⌐q) Λq
V V F F F
V F V V F
F V F F F
F F V F F
p q p →q ⌐p ⌐pvq (p→q) ↔ ( ⌐ pv p)
1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1

Construir una tabla de verdad para las siguientes proposiciones:
p ʌ (q ν r)
p q r ( q ν r ) p ʌ ( q ν r )
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
EJERCICIOS
1. Determina la verdad o falsedad de los siguientes enunciados:
a. Si ~p es una proposición verdadera, entonces p es falsa. b. Si p es una proposición v y t es una
tautología, entonces p ˄ t es una tautología.
2. Si p, q, r, s son proposiciones f y p ‘, q ‘,r ‘, s ‘, t ‘, son proposiciones v, entonces determinar el
valor de verdad de las proposiciones siguientes :
A. {[(p → q) ˄ (r → s) ] ˅ [(r´ ˄ ~ s´) ↔ (t´ ˅ r)]} → [(q ˄ p´) ˅ (r → s) ].
B. {[(p ˄ p´) ˅ (t -> t´)] → (q ˄ ~q´)} ↔ [(r → r´) ↔ (s ˅ s´)].
3. De los siguientes esquemas proposicionales solo uno es tautología. Determínalos.
A. [(p → q) ˄ ~ q ] → ~p B. ~ ( ~ p ↔ q ) ↔ [(q ↔ p ) ˄ (p → q ) ]
C. [ (p → q ) ˄ q ] → p
4. De los siguientes esquemas proposicionales solo dos son contradicciones. Determinarlos.
A. (p ↔ q ) v (p ↔ ~ p) B.[(p → q) ˄ (p → ~q) ] → p
C. (~ p ˄ q) ↔ (~ p ˄ ~ q)
5. Hallar entre los siguientes esquemas proposicionales, aquellos que son indeterminados.
A. (p ˄ q) → (q ˅ p) B. [(P →q ) ↔ ~ ( p ˄ ~ q ) ] C. (~ P ˄ q) ˅ (~p ˄ ~q)
6. Determinar entre los siguientes esquemas proposicionales, aquellos que tienen la tabla de
verdad V F V F F V F V
a. ~ (p ↔ ~r ) ˄ [( p → q ) ˅ ( p → r ) ]

b. ( p ˄ q ˄ r ) ˅ ( p ˄ ~ q ˄ r ) ˅ (~p ˄ q ˄ ~r ) ˅ ( ~p ˄ ~q ˄ ~r )
c. [(p → q )→ r] → [ ( p ˄ q ) ˅ ~ r ]
1.2 TEORIA DE CONJUNTO
1.2.1 INTRODUCCIÓN: Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el padre de la
Teoría de Conjuntos, dio su primer tratamiento formal en 1870. El concepto de conjunto
es fundamental en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede
encontrar implícita o explícitamente, en las ramas de las matemáticas puras y aplicadas.
En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para
construir proposiciones matemáticas claras y precisas y para explicar conceptos
abstractos como el infinito. En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de
Cantor sobre la Teoría de conjuntos.
1.2.2. NOCIÓN DE CONJUNTO
Usualmente la palabra conjunto apunta hacia la idea de una colección de objetos que se
caracterizan por tener algo en algo común .En matemática tiene el mismo significado, sólo
que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto .La noción simple de
una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las
matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los
matemáticos a este respecto. No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto
en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse
lógicamente como un término no definido. Un conjunto es una colección bien definida de
objetos de cualquier clase. Con frecuencia se usaran letras mayúsculas para denominar o
llamar a los conjuntos y los elementos con letras minúsculas, separadas por comas y
encerradas entre llaves, como por ejemplo.
A  uoiea ,,,,  qponmB ,,,,
Hay dos formas de determinar conjuntos: por extensión y por comprensión.
Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando
se da una lista que comprende a los elementos del conjunto y sólo a ellos.
Ejemplos:
A = { a, e, i, o, u }
B = {0, 2, 4, 6, 8 }
En un conjunto determinado por extensión no se repite un elemento.
Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una
regla que permita escribir los elementos del conjunto.

Ejemplos:
A = {x/x es una vocal}
B = {x/x es un número par menor que 10}.
1.2.3. CLASES DE CONJUNTOS
Entre las principales clases de conjuntos se tienen:
1.2.3.1 CONJUNTO VACIO O NULO: Es aquel que carece de elementos, y se le
denota por el símbolo ø o { }. Por ejemplo el conjunto formado por las personas
que tengan una edad de 200 años es un conjunto vacío.
Otros ejemplos:
A = {Los perros que vuelan} A= { } o A = ø
B ={ x/x es un mes que tiene 53 días} B = { } o B = ø
1.2.3.2 CONJUNTO UNITARIO
Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.
Ejemplos:
A= {5}
B = {números pares entre 6 y 10} = {8}
C = {la capital del Perú} = {Lima}
D = {x / 2x = 6} = {3}
1.2.3.4 CONJUNTOS FINITOS
Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir
si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede
acabar.
Ejemplos:
M = {Colombia, Bolivia, Perú, Ecuador}
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
P = { x / x es un país de la tierra }

1.2.3.5. CONJUNTOS INFINITOS
Un conjunto es infinito si no se pueden contar sus elementos.
Ejemplos:
V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... }
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... }
1.2.3.5 CONJUNTO UNIVERSAL
Es cualquier conjunto que contenga los elementos de los conjuntos que se están
presentando en análisis dado, se representa con la letra U.
Sean los conjuntos:
A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es
U = {animales}
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
1.2.3.6 CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia
de M. Se le denota como  MP
Ejemplos:
a) M ={ 1,2} n(M) = 2 n(P(M))= 22
= 4 P(M)={{1},{2},{1,2},ø}
Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia  MP
tendrá 2n
elementos.

1.2.3.7 CONJUNTOS DISYUNTOS
Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son
disjuntos.
Ejemplos:
A={2,4,6}, B={1,2,3}
A Y B son disyuntos
1.2.4. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y ELEMENTOS
1.2.4.1. RELACION DE PERTENENCIA
Se utiliza la relación de pertenencia cuando se relaciona un elemento con un
conjunto dado y se simboliza por , que se lee “….pertenece a …..”
Ejemplo
Sea  edcbaA ,,,, , AdAcAbAa  ,,,
Cuando el elemento no pertenece al conjunto se emplea el símbolo .
1.2.4.1. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1.2.4.2. RELACION DE CONTENENCIA
Se utiliza la relación de contenencia cuando se relaciona un conjunto con otro
conjunto y se simboliza por  , que se lee: “….. es un subconjunto de ….”
Ejemplo
Consideremos los siguientes conjuntos:
 9,8,7,6,5,3,1M
 12,10,8,6,4,2N
 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Q
Se observa que todos los elementos del conjunto M están en Q. Se dice entonces
que M esta contenido en Q y se simboliza QM  .
1.2.5. OPERACIONES CON CONJUNTOS

En la teoría de conjuntos se tienen una serie de operaciones que se utilizan para
obtener otros conjuntos, a partir de unos conjuntos dados; las operaciones más
comunes son: la unión, la intersección, el complemento y la diferencia.
1.2.5.1. UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos
que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se
define como:
A U B = {x / x A o x B}
En forma gráfica:
Cuando no tienen Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
Ejemplo
1. Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 },
efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A U C b) B U C c) A U B
Solución: a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
A U C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
1.2.5.2: INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son
comunes a A y B. Se denota por A  B, que se lee: A intersección B. La
intersección de A y B también se puede definir:
A  B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:
Cuando tienen Cuando no tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
Ejemplo
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 },
efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
Solución:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }
b) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }
A B = { , }

1.2.5.3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los
elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se denota por: A - B
que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos
también como:
A - B = {x / x A y x B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:
Cundo no tiene Cuando tiene Cuando todos los elementos de un
Elementos comunes. Elementos comunes. conjunto pertenecen a otro
Conjunto.
Ejemplo:
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar
y construir los diagramas respectivos:
a) A – C b) B – C c) A –B
Solución:a) A = {a, b, c, d, e} y C = {d, f, g}
A – C= {a b, c, e}
b) B = {a, e} y C = {d, f, g}
A - B = {a, e}
A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }

A – B= {b, c, d}
1.2.5.4. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: Si un conjunto A es subconjunto
de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U
pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se
expresa:
A' = {x/x U y x A}
Ejemplo: Sean U= {m, a, r, t, e} y A={t, e}
Su complemento de A es A’= {m, a. t}
En forma de grafica
A'
1.2.6. DIAGRAMAS DE VENN
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada.
Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o
pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados,
para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una
poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.
A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas
igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por
el rayado múltiple).
El siguiente gráfico es la representación de la unión BA

El gráfico que sigue es la representación de la intersección BA
El gráfico que se muestra a continuación representa la diferencia BA
1.2.7. CARDINAL DE UN CONJUNTO.
Sea A un conjunto cualquiera, llamaremos “cardinal de A “al número de elementos
de A y lo notamos como n(A).
EJEMPLOS:
Si V = {x/x es estación del año}, entonces n (V) = 4.
Si P = {x/x es un primo par}, entonces n(P)= 1
Si L = {x/x es un par menor de 20}, entonces n(L) = 9
Conociendo el cardinal de ciertos conjuntos dadas, podemos obtener el cardinal
de otros conjuntos que son: unión, intersección, diferencia y complementos de los
conjuntos dados.
Si tenemos dos conjuntos A y B definimos el cardinal de la unión de estos
conjuntos de la siguiente forma:
n (AUB) = n(A) + n(B) – n (A∩B).
Si los conjuntos son disyuntos: (A∩B) =ø, entonces la relación anterior se reduce
a: n (AUB) = n(A) + n(B).
EJEMPLO 1: una farmacia rebajo el precio de una loción y el de una crema. La
contabilidad al final de un día índico que 66 personas habían comprado crema; 21,
loción y 12 personas ambos productos.

a) ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?
b) ¿Cuántas personas compraron solamente la loción?
c) ¿Cuántas personas compraron solamente crema?
C= {x/x compro crema}, entonces n (C) = 66
L= {x/x compro loción}, entonces n(L) = 21
n (A∩B) = 12.
a) ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?
n (LUC) = n(L) + n(C) – n (L∩C) =
n (LUC) = 66 + 21 – 12
n (LUC) = 75
b) ¿Cuántas personas compraron solamente la loción?
n (L) – n (L∩C) =
66- 12 = 54
c) ¿Cuántas personas compraron solamente crema?
n (C) - n (L∩C) =
21- 12 = 9

2. Una encuesta realizada a un grupo de empleados revelo que 277 tenían casa
propia; 233, automóvil; 405, televisor; 165 automóvil y televisor; 120, automóvil y
casa; 190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y televisor.
a) ¿Cuantas personas fueron encuestadas?
a) ¿Cuántas personas tienen solamente cas y televisor?
c) ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia?
n ( C ) = 233 n ( A ∩ TV ) = 165 n ( C ∩ A∩ TV ) = 105
n ( A ) = 233 n ( C ∩ A ) = 120
n ( TV ) = 405 n ( C ∩ TV ) = 120
n ( A ∩ TV ) - n ( C ∩ A∩ TV ) =
165 - 105 = 60
n ( A ∩ C ) - n ( C ∩ A∩ TV ) =
120 - 105 = 15
n ( C ∩ TV ) - n ( C ∩ A∩ TV ) =
190 - 105 = 85
n ( C ) - n ( A ∩ C ) + n ( C ∩ TV ) + n ( C ∩ A∩ TV ) =
277 - 15 + 85 + 105 =
277 - 205 = 72, tienen casa propia.
n ( A ) - n ( A ∩ TV ) + n ( A ∩ TV ) + n ( C ∩ A∩ TV ) =
233 - 15 + 60 + 105 =
233 - 180 = 53
n ( TV ) - n ( A ∩ TV ) + n ( C ∩ TV ) + n ( C ∩ A∩ TV ) =
405 - 60 + 85 + 105 =
405 - 250 = 155

a) Fueron encuestadas
n (C U A U TV ) = n ( C ) + n ( A ) + n ( TV ) - n ( C ∩ A ) - n ( C ∩ TV ) -
n ( A ∩ TV ) + + n ( C ∩ A∩ TV ) =
n (C U A U TV ) = 277 +233 +405 – 120 – 190 – 165 + 105
n (C U A U TV ) = 915 – 475 + 105
n (C U A U TV ) = 545
b) 85 personas tienen casa y televisor.
c) 72 personas tienen casa propia.
EJERCICIOS
1. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son iguales y entre cuales se
puede establecer una relación de contenencia:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 dígitounes/
10quemenorpositivonúmerounes/
,,
,,,
8,6,4,2
/
,,
,,
,,
xxJ
xxI
ingenieriaagricolaindustriaH
cebadatrigocafébananoG
F
icalatinoamerdeciudadunaesxxE
industriaD
LimaCaliQuitoC
ajonjolítrigocebadaB
agricolaindustriaingenieriaA










2. En el siguiente ejercicio escriba todos los subconjuntos del conjunto dado.
a)  9,2 c)  1,1,
b)   9,2
3. Dados: U= {1, 2, 3, 4, 5 ,6, 7, 8, 9, 10},, A={1, 3, 6, 8, 10}, B={2, 4, 6, 8}, C={1,
4, 6, 10} Halle: a) BA b) BA c)  
 BA d)  
CA e)
  CBA 
4. Realice: a)   dcba ,,, b)   4,3,2,1
4. Sea      2,1,,1,2,1, A
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y por qué?
a) A1 )b A2 c) d)
5. En cada caso encuentre P (M).
a)  5,3M b)  1,1,M
6. En una encuesta realizada a un grupo de deportistas: 115 practican básquet;
35 practican básquet y voleibol; 90 practican sólo voleibol y 105 no practican básquet.
¿A cuántosdeportistas se encuesto?
7. En una encuesta de mercado sobre el consumo de pescado y pollo se encontró
que de los 1000 encuestados: 200 no consumen ninguno de estos productos; 500
A2   A2

no consumen pollo; 600 no consumen pescado. ¿Cuántos consumen pescado y
pollo?
8. Un alumno efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes de la
educación a distancia de formación complementaria, acerca de los hábitos de
estudios y aporta los siguientes datos. 40 estudian Psicología, 55 Comprensión
lectora; 55 Matemática Básica; estudian Psicología y Comprensión lectora 15;
Psicología y Matemática Básica 20; Comprensión lectora y Matemática Básica 30;
estudian las tres asignatura10 y no estudian las tres asignaturas 5.
a) ¿Puede asegurarse que la encuesta fue correcta?
b) ¿Cuantas personas estudian Matemática Básica solamente?
c) ¿Cuántas personas estudian psicología y Comprensión lectora?
d) ¿Cuantas personas estudian solamente Comprensión lectora?
REFERENCIAS
 Allendoerfer C. B. MATEMATICAS UNIVERSITARIAS. Mc. Graw Hill
 Aurelio Baldor. Algebra Baldor
 Universidad de Antioquia. Simbolismo lógico
 SALAZAR, R. J.Iintroducción a la lógica deductiva y teoría de conjunto
 Libros & libros. Estrategias matemáticas. 5°
Sitios web donde se puede consultar el tema de conjuntos:
http://tareasplus.com
http://www.uanarino.edu.co/deans/dpto.matematicas/DISTANCIA/SISTEMAS-
MECANICA/TEORIA%20DE%20GRAFOS/GUIA2.pdf
http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/conjuntos.html
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjunto
Video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=r9fJfts3Ktk

UNIDAD N° 2: SISTEMA NUMERICO.
Reconocer los elementos de los sistemas numéricos.
Realizar operaciones con números reales.
Aplicar las propiedades de la adición y multiplicación de números reales en la
simplificación de 0peraciones.
. Resolver problemas aplicando las operaciones y propiedades de los números
reales.
Conceptos: Un sistema numérico consta de las siguientes partes: Un conjunto de
elemento, s Una o más operaciones., Una o más relaciones, Algunas reglas,
leyes que satisfacen los elementos del conjunto
FRASES DE ENTRADA: “La Matemática, vista correctamente, posee no
solamente verdad sino también extrema belleza, una belleza fría y
austera como la de una escultura, sin apelar a ninguna parte de
nuestra naturaleza más débil, sin los aspectos más hermosos de la
pintura o la música, pero sin embargo, sublimemente pura y
capaz de una perfección rígida como solo puede mostrar el arte
más grande”
Bertrand Rusell
SITUACION PROBLEMA: ¿Cómo tener una comprensión general sobre los
números y las operaciones junto con la habilidad y la disposición para usar
esta comprensión en formas flexibles al hacer unos juicios matemáticos y
para desarrollar estrategias útiles al resolver problemas?

2. SISTEMAS NUMERICOS
2.1 SISTEMA DE LOS NUMEROS NATURALES.
Los números naturales son los que sirven para contar y la idea de sucesor de un
número sirve para distinguir el orden natural de los números y podemos escribir el
conjunto de los números naturales como:
N = { 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 , …}
Los puntos suspensivos se leen: “ y así sucesivamente “ e indican que el conjunto
tiene infinitos puntos
2.1.1 Representación en la recta numérica.
Para representar en la recta numérica los números naturales se trazan unas
semirrectas, origen corresponde al punto cero. A cierta distancia arbitraria se
coloca el número 1 y a igual distancia, el 2, el 3, y así sucesivamente.
0 1 2 3 4 …2.2
OPERACIONES: El conjunto de los números naturales es cerrado para la suma y
la multiplicación, lo cual significa que para cualesquiera dos números naturales, la
adición y la multiplicación de ellos también es otro número natural. Mientras que
la sustracción y la división no son operaciones internas por que no siempre es
posible restar y dividir números naturales en este conjunto. Ejemplo:
2 + 3= 5 donde el 5 es un natural
2 x 3 =6 donde el 6 es un natural
2 – 3 = -1 donde el número -1 no es natural
3/2 = 1.5 donde el 1.5 no es un natural
2.2.1 Operaciones con números naturales utilizando la recta
numérica.
Adición: Es una operación binaria e interna por que siempre es posible realizarla
entre números naturales. Ejemplos: Realiza utilizando la recta numérica la sumas
a. 3+5= 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
b. 2+4=6 0 1 2 3 4 6 7 8 9

Sustracción: No siempre es posible realizar la sustracción de dos números
naturales, ejemplo: Realiza utilizando la recta numérica las sustracciones
a. 7-3 0 1 2 3 4 5 6 7 8
b. 3-5 0 1 2 3 4 5 6 7 8
No es posible realizar esta última sustracción en el conjunto de los números
naturales ¿Por qué? Además de la adición y la multiplicación entre los naturales,
también se dan otras operaciones como la potenciación, radicación y la
logaritmación
2.3 POTENCIACION
Se llama potencia a una expresión de la forma , donde a es la base y n es el
exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el
exponente.
2.3.1 EXPONENTE NATURAL
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a
multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a
otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo,
matrices cuadradas.

2.3.2. PTROPIEDADES DE LA POTENCIACION
 Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de
dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
1.
Ejemplos:
23
. 25
= 23+5
= 28
 Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo
exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican
los exponentes):
2. (an
)m
= an.m
Ejemplo: (23
)2
= 23.2
= 26
= 64
(53
)2
= 53.2
= 56
= 15625
 Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores
elevado al mismo exponente, es decir:
3.
Ejemplo: (5.3)2
= 52
. 32
= 25. 9 = 225
(4.3)3
= 43
. 33
= 64. 27 = 1728
Cociente de potencia de igual base
(an
)÷ (am
) = an-m
cuando n ˃ m

Ejemplo: (26
) ÷ (24
) = 26-4
= 22
= 4
(57
) ÷ (54
) = 57-4
= 53
= 125
Para todo numero natural a se cumple que a0
= 1
50
= 1
40
= 1
2.4 RADICACIÓN
La radicación es la función inversa a la potenciación. La radicación entre un
número natural a llamado radicando y otro número natural n llamado índice, es
igual a un número b llamado raíz, que elevado a la potencia n da como
resultado el número b, es decir.
a(1/n)
= b = √ es decir, que bn
= a
A partir de la definición anterior podemos decir que la radicación de un número
natural es
una función que a algunos pares ordenados de números naturales le hace
corresponder otro número natural llamado raíz.
Ejemplos.
√ =5 por que 52
= 25
√ = 4 por que 43
= 64
√ = 2 por que 25
= 32
2.4.1 PROPIEDADES
a. √ = √ . √
b. √ = √ ÷ √
c. √
n
= a
Ejemplos
√ = √ x √ = 5 x 4 = 20
√ = √ x √ = 4 x 5 = 20
√ = √ ÷ √ = 10 ÷ 5 = 2
√ = √ ÷ √ = 4 ÷ 2 = 2
√
2
= 3 √
7
= 8

√ 3
= 5 √
4
= 9
2.5 LOGARITMACIÓN
Definición: Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el
exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para
obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función
se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.
(Esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n;
si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x) Para que la definición sea válida,
no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y
distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n
puede ser cualquier número real (n ∈ R)
Así, en la expresión 102
= 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe
como log10 100 = 2.
2.5.1 Propiedades generales
Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de
propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre
1; logb b = 1 ya que b1
= b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la
base); logb 1=0 ya que b0
= 1.
Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de
los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,
2, 4, 8, 16, 32,64...etc. y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc. ya que 20
= 1, 21
= 2, 22
= 4, 23
= 8, y 24
= 16 etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y
log2 16 = 4 etc.
Propiedades logarítmicas
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de
realizar cálculos:
 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores.
 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el
logaritmo del denominador.

 El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el
logaritmo de la base de la potencia.
En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:
Ejemplos
Log2 (32x16) = log232 + log216 = log225
+ log224
= 5 + 4 = 9
Log3 (81/27) = log381 – log327 = log334
– log333
= 4 + 3= 7
Log5625 = log5625 = log554
= 4.log55 = 4
Introducción a las actividades
En esta secuencia se trabajará con el concepto de logaritmo, sus propiedades y
aplicaciones. En las actividades los alumnos podrán calcular diferentes
logaritmos aplicando su definición y propiedades. Para finalizar, realizarán una
investigación que les permita conocer la utilidad que tienen los logaritmos como
herramienta para otras disciplinas.
Objetivos pedagógicos
Actividad 1
La invención de los logaritmos, a principios del siglo XVII, trajo consigo un
significativo ahorro de tiempo. John Napier, o Neper en latín, presentó las
primeras tablas de logaritmos en 1614, pero como no estaban en el sistema
decimal, no fueron de utilidad. Más tarde Briggs las mejoró y las presentó en
forma decimal.
Los logaritmos fueron empleados durante muchos años en todas las ciencias,
pero la Astronomía fue la que más se benefició con ellos.
1) En grupos de dos o tres alumnos, realicen una investigación en páginas de
Internet u otras fuentes sobre la historia de los logaritmos. Indiquen quién fue
John Napier y con qué fin inventó los logaritmos.
2) Discutan con el docente las siguientes cuestiones:
a) ¿La base de un logaritmo puede ser negativa?
b) ¿Existe el logaritmo de un número negativo? ¿Y el logaritmo de cero?
Actividad 2

1) A partir de lo trabajado en la actividad anterior, realicen los siguientes
ejercicios:
a) Hallen el logaritmo de 1 en base a.
b) Hallen el logaritmo de 0 en base a.
c) Hallar el valor de log10 5.
d) Expresen el número 6 como un logaritmo en base 2.
e) Expresen el número 2 como un logaritmo en base 12.
2) Completen la siguiente tabla:
. Resuelvan las siguientes operaciones aplicando las propiedades trabajadas.
Utilicen la calculadora científica instalada en sus equipos para realizar los
cálculos.
En los naturales además delas operaciones, se cumplen algunas relaciones tales
como:
1. Relación “ser mayor que”
2. Relación “ser menor que”
3. Relación “ser múltiplo de”
4. Relación “ser divisor de”
Múltiplos: Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando el numero por el
conjunto de los números naturales. Ejemplo Para hallar los múltiplos de 5 se
multiplica a5 por cada elemento del conjunto natural, es decir, M5 =
{5,10,15,20,25,…}
M12= {12,24,36,48,60,72,…}
n 1 2 4 1/16
log2n 8 1/2 -2 -3
log1/2n

Se observa que el conjunto de los múltiplos de un número es infinito.
2.6 DIVISORES: Los divisores de un número son aquellos números que dividen
exactamente a dicho número. Ejemplo.
D35= {1, 5, 7,35}
D12= {1, 2, 3, 4, 6,12}
D20= {1, 2, 4, 5, 10,20}
El conjunto de los divisores de un número es finito
2.7 NUMEROS PRIMOS
Todo número que posea solamente dos divisores el 1 y él mismo se llama número
primo. Los números 2,3,5,7,11,13,17 son números primos, todos ellos se pueden
obtener atreves de una estrategia llamada “criba de Eratóstenes”
2.7.1 MINIMO COMUN MULTIPLO
El mínimo común múltiplo (M.C.M) de varios números es el menor de sus
múltiplos comunes.
Para calcularlo: factorizamos los números
Tomamos todos los factores (comunes y no comunes) elevados a los mayores
exponentes
El M.C.M es el producto de los factores anteriores
Ejemplo:
Los factores son: 2,3 y 5 elevados a los mayores exponentes (dentro de un
recuadro) serían: 23
, 32
y 5

Multiplicando los factores anteriores se obtiene el mcm
2.7.2 MÁXIMO COMÚN DIVISOR: El máximo común divisor
(M.C.D) de dos o más números es el mayor número que divide a
todos exactamente
EJEMPLO: Calcular el MCD entre 120 y 144
Primero descompongo (o "factorizo") los números en sus factores primos
120 | 2 144 | 2
60 | 2 72 | 2
30 | 2 36 | 2
15 | 3 18 | 2
5 | 5 9 | 3
1 | 1 3 | 3
1 | 1
120 = 23
.3.5 144 = 24
.32
Que es lo mismo que: Que es lo mismo que:
120 = 2.2.2.3.5 144 = 2.2.2.2.3.3
Luego, el MCD se calcula multiplicando todos los "factores" que tienen en "común"
ambos números (el 2 y el 3 en este caso), con el menor exponente con que
aparecen en alguno de los números
Los "factores" son los números que están en la columna derecha de la
descomposición: 2, 3, 5 y 1. Y para calcular el MCD hay que tomar solamente los
que están en los dos números ("repetidos" les dicen algunos), aquí remarcados en
color rojo.
Como el número 2 está tres veces en el 120, y cuatro veces en el 144, lo pongo
elevado a la tercera (porque es la menor cantidad de veces que aparece, o "menor
exponente"). Como el 3 está en ambos números, pero una sola vez en el 120 y
dos veces en el 144, lo pongo elevado a la uno (o sin elevar), porque es la menor
cantidad de veces que aparece. MCD = 23
.3 = 8.3 = 24
2.7.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Juanita compro un paquete de caramelos de chocolates y otro de 36, y para
repartirlos en su fiesta de cumpleaños debe empacarlos en bolsas pequeñas del
mismo tamaño que contengan igual cantidad de caramelos. ¿Cuál es los mayores
números de caramelos que puede empacar juanita en cada bolsa, si no debe
sobrar ni faltar ninguno y para cuantos invitados alcanzaran?
Solución.
Descomponemos los números simultáneamente.
24 36 2
12 18 2
6 9 3
2 3
De donde: m.c.d ( 24,36) = 22
x3 = 12. Por lo tanto el mayor número de caramelos
que puede empacar en cada bolsa es 12 y como 5x12 = 60 los caramelos
alcanzan solamente para 5 invitados.
2. Se quiere comprar ingredientes para preparar emparedados. El jamón viene en
paquetes de 12 tajadas, el pan vienen en bolsas de 12 unidades y el queso en
paquetes de 15 tajadas. ¿Cuántas unidades de cada ingredientes se deben
comprar, como mínimo para que los emparedados queden completos y cuantos
paquetes de cada ingredientes deben comprarse?
Solución: Procedemos a descomponer los números simultáneamente
12 15 18 2
6 15 9 2
3 15 9 3
1 5 3 3
1 5 1 5
1 1 1
Por lo tanto el m.c.m (12,15 y 18) = 22
x32
x5 = 180
15 paquetes de jamón por que 15 x 12 = 180
10 paquetes de pan por que 10 x 18 = 180
12 paquetes de queso por que 12 x 15 = 180

2.8 NUMEROS COMPUESTOS
Los números que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos.
Todo número compuesto se puede expresar como el producto de números primos
Ejemplo, el número 20 se puede expresar como 5 x 22
El número 60 se expresa como 22
x 3 x 5
El 360 = 23
x 32
x 5
EJERCICIOS
1 Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones:
a) 327 +....... = 1.208
b) ....... − 4.121 = 626
2 Busca el término desconocido en las siguientes operaciones:
a) 4 · (5 +...) = 36
b) (30 −...) ÷ 5 + 4 = 8
3 Calcular de dos modos distintos las siguientes operaciones:
a) 17 · 38 + 17 · 12 =
b) 6 · 59 + 4 · 59 =
4. Sacar factor común de:
a) 7 · 5 − 3 · 5 + 16 · 5 − 5 · 4 =
b) 6 · 4 − 4 · 3 + 4 · 9 − 5 · 4 =
5. Expresa en forma de potencias:
a) 150 000
b) 23 200

6. Escribe en forma de una sola potencia:
a) 33
· 34
· 3 =
b) 57
÷ 53
=
c) [(53
)4
]2
=
7. Utilizando potencias, haz la descomposición polinómica de estos números:
a) 3 257
b) 10 256
c) 125 368
8. Realiza las siguientes operaciones combinadas teniendo en cuenta su prioridad:
a) 27 + 3 · 5 − 16 =
b) 227 + 3 − 45 ÷ 5 + 16 =
c) 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
d) 2 {4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
PROBLEMAS
a). Augusto, emperador romano, nació en el año 63 a.C. y murió en el 14 d.C. ¿Cuántos años
vivió?
b) Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un
depósito situado a 28 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo?
c) ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de
conservación de las verduras, que se encuentra a 4 º C, a la del pescado congelado, que está
a −18 º C?
8. Escribe en forma de multiplicación cada una de las siguientes sumas y, luego, halla el
producto
CALCULA LAS SIGUIENTES OPERACIONES
a) - 6 − 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 − 5 + 13 − 4:8 − 9 ⋅ 3:2 – 1
b).- 2 − 3 [ −⋅ 2 + 10 − 4 ⋅ ( − 1 + )3:3 − 8 ]

c). - [ − 6 − ( − 2 + 4 ) − 5 ] − [ − 8 − ( 7 − 2 ) − 6 ]
OPERACIONES CON RACIONALES















1
5
6
2
11
6
5
c)
5
1
3
2
:
2
1
4
3
b)
125
124
25
3
25
3
5
1
a)
PROBLEMAS DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M. C. D.) y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.
c. m.)
a. En el grado cuarto hay 40 estudiantes y en el grado quinto hay 60 estudiantes.
El profesor de educación física quiere dividir cada grado en grupos del mismo
número de estudiantes. ¿Cuál es el máximo número de personas que puede elegir
para cada grupo?
b. En una canasta hay 36 rosas y en otra, 24 orquídeas; se quieren hacer arreglos
de igual número de flores y cada uno con solo tipo de flor. ¿Cuál es el mayor
número de flores que se pueden colocar en los floreros con esta condición?
c. Sara dispone de dos vasijas para guardar la leche. Una vasija tiene una
capacidad para 24 litros y otra para 18 litros. Sara quiere envasar la leche en
recipientes que tengan igual capacidad y utilizar el menor número posible de ellos.
¿Cuál debe ser la capacidad del recipiente?
REFERENCIAS
 Libros & libros. Estrategias en matemáticas. 5°
 Pabla Ardila de García, Norma Galvis Quiroga. ACIERTOS MATEMATICOS 7°.
 Sitios web donde se puede consultar el tema de sistema numérico
 http://tareasplus.com
 http://www.vitutor.com/di/e/a_10.html

UNIDAD N° 3: TEORIA DE LOS EXPONENTES
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Dar a conocer explícitamente las diversas propiedades de la potenciación con
exponente natural
Aplicar los exponentes enteros y fraccionarios en la solución de problemas.
Usar las propiedades de los exponentes Reales en la solución de ejercicios
FRASES DE ENTRADA: SI LA GENTE PIENSA QUE LAS MATEMATICAS SON
SIMPLES, ES SOLO PORQUE NO SE DAN CUENTA DENLO COMPLICADO
QUE ES LA VIDA,
SITUACION PROBLEMA: ¿Cómo comprender que la potenciación y radicación
son operaciones inversas y la relación que existe entre las propiedades de
cada una de ellas

3. EXPONENTES NEGATIVOS.
3.1. Exponentes positivos y negativos
A los exponentes también se los llama índices.
El exponente de un número nos dice cuántas veces
debemos usar ese número en una multiplicación.
En este ejemplo: 82
= 8 × 8 = 64
En palabras: 82
se podría llamar "8 elevado al 2" o
simplemente "8 al cuadrado".
Entonces, en general: an
te dice que multipliques a por si misma un numero n de
veces:
Pero esos son exponentes positivos, ¿qué pasa si tenemos algo como…?
8-2
, Este exponente es negativo... ¿qué quiere decir?
Exponentes Negativos
¿Negativo? ¿Qué puede ser lo opuesto a multiplicar? ¡Dividir!
La división es la inversa (opuesta) de la multiplicación.
Un exponente negativo nos indica cuántas veces dividir por ese número.
Por ejemplo: 8-1
= 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125 , o muchas divisiones:
Por ejemplo: 5-3
= 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008, Pero se puede hacer de una forma más
fácil:

5-3
, también podría calcularse así: 1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53
= 1/125 = 0,008
El último ejemplo nos mostró una forma más simple de manejar exponentes
negativos:
Calcula el exponente (an
), Luego utiliza su inverso 1/an
)
Para cambiar el signo (más a menos, o menos a más) de el exponente usa el
resiproco (es decir, 1/an
) Entonces, ¿cómo sería 8-2
?
Por ejemplo: 8-2
= 1 ÷ 8 ÷ 8 = 1/82
= 1/64 = 0,015625
Más ejemplos:
Exponente negativo Inversa de un exponente positivo Respuesta
4-2
= 1 / 42
= 1/16 = 0,0625
10-3
= 1 / 103
= 1/1.000 = 0,001
Todo Tiene Sentido
Mi método favorito es comenzar con “1” y luego multiplicar o dividir tantas veces
como el exponente me diga. Así obtendrás la respuesta correcta, por ejemplo:
Ejemplo: Exponentes de 5
.. etc..
52
1 × 5 × 5 25
51
1 × 5 5
50
1 1
5-1
1 ÷ 5 0,2
5-2
1 ÷ 5 ÷ 5 0,04
... etc...

Si miras esta tabla, verás que los exponentes positivos, el cero o los exponentes
negativos son parte del mismo modelo (bastante simple).
3.1 Leyes de los exponentes
Los exponentes también se llaman potencias o índices, El exponente de un
número dice cuántas veces se multiplica el número, En este ejemplo: 82
= 8 × 8 =
64
En palabras: 82
se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o
simplemente“al cuadrado
Todo lo que necesitas saber...
Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes")
vienen de tres ideas:
El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo
tantas veces
Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo
significa dividir
Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la
raíz n-ésima:
Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes! Y todas las reglas
que siguen se basan en esas ideas.
Aquí están las leyes (las explicaciones están después):
Ley Ejemplo
x1
= x 61
= 6
x0
= 1 70
= 1
x-1
= 1/x 4-1
= 1/4
xm
xn
= xm+n
x2
x3
= x2+3
= x5
xm
/xn
= xm-n
x4
/x2
= x4-2
= x2

(xm
)n
= xmn
(x2
)3
= x2×3
= x6
(xy)n
= xn
yn
(xy)3
= x3
y3
(x/y)n
= xn
/yn
(x/y)2
= x2
/ y2
x-n
= 1/xn
x-3
= 1/x3
3.2. Explicaciones de las leyes
Las tres primeras leyes (x1
= x, x0
= 1 y x-1
= 1/x) son sólo parte de la sucesión
natural de exponentes. Mira este ejemplo:
Ejemplo: potencia de 5
52
= 5x5= 25
51
= 5
50
= 1
5-1
= 1/5
5-2
= 1/52
= 1/25
verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un
mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente
crece (o disminuye).
La ley que dice que xm.
xn
= xm+n
En xm
xn
, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después
otras "n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2
x3
= (xx) × (xxx) = xxxxx = x5
Así que x2
x3
= x(2+3)
= x5
La ley que dice que xm
/xn
= xm-n
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m"
veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n"
veces.
Ejemplo: x4-2
= x4
/x2
= (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo
la línea" puedes cancelarlas.)
Esta ley también te muestra por qué x0
=1 :
Ejemplo: x2
/x2
= x2-2
= x0
=1
La ley que dice que (xm
)n
= xmn
Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en
total m×n veces.
Ejemplo: (x3
)4
= (xxx)4
= (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12
Así que (x3
)4
= x3×4
= x12
La ley que dice que (xy)n
= xn
yn
Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este
ejemplo:
Ejemplo: (xy)3
= (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3
y3
La ley que dice que (x/y)n
= xn
/yn
Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s
Ejemplo: (x/y)3
= (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3
/y3
La ley que dice que
Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):
Ejemplo:
Y eso es todo
Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto:
siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de
esta página.
Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?
Exponente positivo (n>0) 0n
= 0
Exponente negativo
(n<0)
¡No definido! (Porque dividimos entre
0)

Exponente = 0 Ummm ... ¡lee más abajo!
El extraño caso de 00
Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00
podría ser 1, o quizás 0,
así que alguna gente dice que es "indeterminado":
x0
= 1, así que ... 00
= 1
0n
= 0, así que ... 00
= 0
Cuando dudes... 00
= "indeterminado"
3.3 Exponentes fraccionarios
También se llaman "radicales", Exponentes fraccionarios: ½
En el ejemplo de arriba, el exponente es "2", ¿pero y si fuera "½"? ¿Cómo
funcionaría?
Pregunta: ¿Qué es x½
?
Respuesta: x½
= la raíz cuadrada de x (o sea x½
= √x)
¿Por qué?
Porque si calculas el cuadrado de x½
tienes: (x½
)2
= x1
= x
Para entenderlo, sigue esta explicación de dos pasos:
Primero, hay una regla general: ( xm
)n
= xm x n
Ejemplo: ( x2
)3
= x6
Probamos con otra fracción
Vamos a probar otra vez, pero con un exponente de un cuarto (1/4):
¿Qué es x¼
?
(x¼
)4
= x¼×4
= x1
= x
Entonces, ¿qué valor se puede multiplicar 4 veces para tener x? Respuesta: La
raíz cuarta de x.
Así que x¼
= la raíz cuarta de x
Regla general

De hecho podemos hacer una regla general:
Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la
raíz n-ésima:
Ejemplo: ¿Cuánto es 271/3
?
Respuesta: 271/3
= 27 = 3
¿Qué pasa con fracciones más complicadas?
Las fracciones más complicadas se pueden separar en dos partes:
 una parte con un número entero, y
 una parte con una fracción del tipo 1/n
Para entender eso, sólo recuerda que m/n = m × (1/n):
Así que tenemos esto:
Un exponente fraccionario como m/n significa haz la
potencia m-ésima, después haz la raíz n-ésima
Ejemplo: ¿Cuánto es 43/2
?
Respuesta: 43/2
= 43×(1/2)
= √(43
) = √(4×4×4) = √(64) = 8
Ahora... ¡Juega con el gráfico!
Mira cómo la curva cambia suavemente cuando juegas con las fracciones en esta
animación, esto te indica que la idea de exponentes fraccionarios funciona bien.
Cosas que probar:
 Empieza con m=1 y n=1, después aumenta la n poco a poco para que veas
1/2, 1/3 y 1/4
 Después prueba m=2 y mueve la n para ver fracciones como 2/3 etc.
 Ahora haz que el exponente sea -1

Finalmente prueba a hacer m más grande, después n más pequeño, después m
más pequeño, después n más grande: la curva debería dar vueltas Variables con
exponentes
Cómo multiplicarlas y dividirlas
Un exponente (como el 2 en x2
) dice cuántas veces se usa
la variable en una multiplicación.
Ejemplo: y2
= y. y
(esto es y multiplicado por y, porque en Álgebra poner dos letras juntas significa
multiplicarlas)
Igualmente z3
= z. z. z y x5
= x. x. x. x. x
Exponente 1
Si el exponente es 1, la variable está sola (por ejemplo x1
= x)
Normalmente no escribimos el "1", pero a veces ayuda recordar que x también es
x1
3.4 Exponente 0
Si el exponente es 0, entonces no estás multiplicando nada y la respuesta es sólo
"1" (por ejemplo y0
= 1)
Multiplicar variables con exponentes
Entonces, cómo multiplicas esto:
(y2
)(y3
)
Sabemos que y2
= yy, y y3
= yyy así que lo escribimos todo:
y2
y3
= yyyyy
Eso son 5 "y"s multiplicadas juntas, así que el nuevo exponente es 5:

y2
y3
= y5
¿Pero para qué contar las "y"s cuando los exponentes ya nos dicen cuántas hay?
Los exponentes nos dicen que hay dos "y"s multiplicadas por 3 "y"s que hacen un
total de 5 "y"s:
y2
y3
= y2+3
= y5
¡Así que el método más simple es sumar los exponentes! (Nota: esa es sólo una
de las Leyes de los Exponentes)
Variables mezcladas
Si tienes una mezcla de variables, sólo suma los exponentes de cada una, así
(pulsa el botón):
Exponentes negativos
Los exponentes negativos quieren decir dividir!
x-1
=
1
x-2
=
1
x-3
=
1
x x2
x3
¡Acostúmbrate a este idea, es muy importante y útil!
Dividir: y5
/ y3
= y5-3
= y2
3.5 POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO
Cuando tenemos un exponente negativo hay que INVERTIR LA BASE para
pasar a exponente positivo.
Por ejemplo: y
Ejercicio 6
Hallar a) y b)
Solución 6

Ahora con letras O bien:
Ejercicio 7
Hallar a) y b)
Solución 7
Pero atención a cuando la base también es negativa
Por ejemplo: o bien
Fíjate que el poner el inverso de la base no significa cambiar el signo de la misma.
Al final el signo del resultado dependerá de si el exponente es par o impar.
Con las fracciones ocurre lo mismo.
Así: o bien
Veamos qué fácil queda todo cuando la base es una fracción de numerador la
unidad.
Ejemplos: a) b)
Ejercicio 8
Hallar: a) b)
Solución 8

!!!AL HALLAR EL INVERSO PARA PASAR A EXPONENTE POSITIVO NO SE
CAMBIA EL SIGNO!!!
Al final, cuando efectuamos la potencia, se cambia o nó según sea el
exponente par o impar.
Ejercicio 9
Hallar: a) b)
Solución 9
Si te fijas, todos los números que están elevados a exponentes negativos, al
pasarlos a exponentes positivos pasan del numerador al denominador y viceversa.
Así que si queremos que en una expresión todos los exponentes sean positivos
haremos lo siguiente:
Pero si lo que pretendemos es que no quede nada en el denominador, todas las
potencias del denominador las podemos pasar al numerador cambiando el signo
del exponente:
Ejercicio 10
Con la siguiente expresión queremos
a) que no quede ningún exponente negativo
b) que no quede nada en el denominador.
Objetivo de Aprendizaje
Simplificar expresiones algebraicas con exponentes fraccionarios.
Introducción
Las raíces cuadradas a menudo se escriben usando un signo de radical: .
Pero hay otra forma de representar el cálculo de una raíz. Podemos usar
exponentes fraccionarios en lugar de un radical.
¿No te puedes imaginar cómo elevar un número a una potencia fraccionaria?
Puede que sea difícil acostumbrarse, pero los exponentes fraccionarios pueden
incluso ayudar a simplificar algunos problemas. Veamos cómo funcionan estos
exponentes fraccionarios que llamamos radiales racionales.

Fracciones en los Exponentes
Los radicales y los exponentes son operaciones inversas. Por lo que puede
sorprenderte un poco saber que un radial puede ser expresado como un número
exponencial. La tabla de abajo muestra algunos ejemplos de raíces cuadradas
comunes escritas como radicales, exponentes fraccionarios y enteros. Nota que el
denominador de un exponente fraccionario es el número 2.
Radical Exponente Entero
4
5
10
Veamos otros ejemplos, pero esta vez con raíces cúbicas. Recuerda, el cubo de
un número es el número elevado a la tercera potencia. Nota que en estos
ejemplos, el denominador del exponente fraccionario es el número 3.
Radical Exponente Entero
2
5
9
Estos ejemplos nos ayudan a modelar una relación entre los radicales y los
exponentes fraccionarios: a saber, que la enésima raíz de un número puede
escribirse ya sea como o .
Radical Exponente
… …

"La raíz quinta del número 243" puede escribirse como:
A)
B)
C)
D)
Más Allá de Fracciones Unitarias
Todos los numeradores de los exponentes fraccionarios en los ejemplos que
hemos visto eran 1. Podemos usar otro tipo de exponentes además de fracciones
unitarias, como se muestra abajo. ¿Notas algún patrón emergente en la tabla?
Radical Exponente
… …
Para escribir un radical como un exponente fraccionario, la potencia a la cual
elevamos la base se convierte en el numerador y la raíz se convierte en el
denominador.
Escribiendo Exponentes Fraccionarios
Cualquier radical en la forma pude escribirse como un exponente fraccionario en la forma .
Esto también tiene sentido para nuestros exponentes con fracciones unitarias
puede escribirse como , ya que cualquier número sigue siendo el mismo
si lo elevamos a la primera potencia. Ahora sabemos de dónde viene el numerador
de 1 en la forma equivalente de .

3.6. EXPRESIONES RADICALES: Para ver cómo. Aquí tenemos una expresión
radicar que necesita ser simplificada .
Un método para simplificar esta expresión es factorizar y sacar grupos de a3
,
como se muestra:
También podemos simplificar la expresión si pensamos en el radical como un
exponente fraccionario, y usamos el principio de que cualquier radical en la forma
puede escribirse como un exponente fraccionario en la forma:
=
Nota que los exponentes fraccionarios están sometidos a las mismas reglas que
los exponentes que aparecen en expresiones algebraicas.
Ambos métodos de simplificación nos dan el mismo resultado, a2
. Dependiendo
del contexto del problema, podría ser más fácil usar un método u el otro, por
ahora, notemos que fuimos capaces de simplificar esta expresión más rápido
usando exponentes fraccionarios que usando el método de "sacar".
Intentemos una expresión más complicada. Esta expresión tiene dos variables,
una fracción, y un radical. Es un poco intimidante. La tomaremos paso a paso para
ver si el usar exponentes fraccionarios nos puede ayudar a simplificarla.

Empezaremos por simplificar el denominador porque es en donde se localiza el
radical
Ejemplo
Problema
Simplificar
Separar los términos del denominador
Calcular la raíz de 8, que es 2
Reescribir el radical como un
exponente
Reescribir la fracción como una serie
de factores con el fin de cancelar
términos (ve el siguiente paso)
Simplificar la constante y términos c
Usar la regla de los exponentes
negativos,
n-x
= , para reescribir como
Combinar los términos b al sumar los
exponentes
Regresar el exponente a su forma
radical. Por convención, una
expresión no se considera
simplificada si tiene un exponente
fraccionario o un radical en el
denominador
Solución

Bueno, eso tomó un rato, pero lo logramos. Aplicamos lo que sabemos sobre
exponentes fraccionarios, exponentes negativos y las reglas de los exponentes
para simplificar la expresión.
Simplificar
A)
B)
C)
D)
Sumario
Un radical puede ser expresado como un valor con un exponente fraccionario
=
Siguiendo la convención Reescribir radiales como exponentes fraccionarios
puede ser útil para simplificar algunas expresiones radicales. Cuando trabajes con
Exponentes fraccionarios, recuerda que están sujetos a todas las reglas de los
otros exponentes que aparecen en expresiones algebraicas.
EJERCICIOS
1. Aplicar la potenciación
53
= 24
= (-4)2
=
2. Convertir un exponente negativo a positivo.
3 -2
= x -n
= x9
= x5
3. Simplifica y escribe utilizando exponentes positivos.
. x 6
=
x -10
6x4
y7
= (6x10
) (3x4
)2
= 4 X 10 -
12
=

6 X 10 4
12x5
y-8
=
REFERENCIAS
 Libros & libros. Estrategias matemáticas. 5°
 Pabla Ardila de García, Norma Galvis Quiroga. ACIERTOS MATEMATICOS 7°.
 Sitios web donde se puede consultar el tema de teorías de exponentes
 http://tareasplus.com
 http://www.vitutor.com/di/e/a_7.html
 http://www.youtube.com/watch?v=bCN4UAYp8lo

UNIDAD N° 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Clasificar los polígonos por sus características.
Nombrar las expresiones algebraicas como una combinación de símbolos
representativos reales de sus operaciones.
Señalar los elementos que integran el término en un polinomio.
Resolver operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de
polinomios.
Describir y reconocer productos notables.
Aplicar los productos notables más sencillos en la factorización de expresiones
algebraicas..
FRASES DE ENTRADA: E L RAZONAMIENTO MATEMATICO PUEDE
CONSIDERARSE MAS BIEN ESQUEMATICAMENTE COMO EL EJERCICIO
DE UNA COMBINACIONES DE DOS INSTALACIONES, QUE PODEMOS
LLAMAR LA INTUICION Y EL INGENIO.
A.TURING
SITUACION PROBLEMA: ¿Cómo comprender el álgebra como una
generalización de la aritmética conjuntamente con sus operaciones y
propiedades

4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales
relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas,
diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.
Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:
3
2
1
xy
x
y
 
  
 

o
3 6
5x x
x
 
Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma
axn
, en donde a es un número real y n es un entero no negativo. Un binomio es
la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma
de tres monomios que no se pueden simplificar.
monomio binomio trinomio
5x 5 2x  2
1x x 
Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos
términos y un trinomio tres términos.
4.1 Polinomios
Definición: Un polinomio en x es una suma de la forma:
an xn
+ an-1 xn-1
+ ··· + a2 x2
+ a1 x + a0
Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de x es un número real. Si an
es un numero diferente de cero, se dice que el polinomio es de grado n.
El coeficiente a de la mayor potencia de x es el coeficiente principal del
polinomio.
Ejemplos de polinomios:

Ejemplo Coeficiente principal Grado
4 3
3 5 ( 7) 4x x x    3 4
8 2
9 ( 2)x x x   1 8
2
5 1x  -5 2
8 8 0
7 2x  7 1
Ejemplos de expresiones que no son polinomios:
a)
1
3x
x

b) 2
5
2
x
x


c)
2
3 2x x 
En el primer ejemplo el exponente de xes negativo contradiciendo la definición
de polinomio, de igual forma en el ejemplo c donde el exponente de x no es
entero.
En el ejemplo b tenemos una expresión racional o fraccionaria con un polinomio
en el numerador y otro en el denominador. El criterio que utilizaremos es el
siguiente si el polinomio del denominador no es el constante o de grado cero, la
expresión no es un polinomio. Recuerde que los exponentes deben ser enteros
positivos.
Gráficas
Una fórmula polinómica tiene la forma
y = an xn
+ an-1 xn-1
+ ··· + a2 x2
+ a1 x + a0.
En la aplicación de abajo, que sigas los siguientes pasos:
1. Aprieta la caja que dice lineal para ver la gráfica de un polinomio de grado 1
(una fórmula lineal). Nota que la gráfica cruza el eje de x una vez. El valor

de x donde la gráfica cruza el eje de x se llama una raíz o cero de la
gráfica. ¿Cuál es la raíz inicial
2. de la gráfica? Juega con los botones para ver como la raíz cambia cuando
los coeficientes cambian. Después aprieta la caja que dice lineal de nuevo.
3. Aprieta la caja que dice cuadrática para ver la gráfica de un polinomio de
orden 2 (una fórmula cuadrática). Mover los botones para que a = 1b = 2 y c
= 0. Debes ver que la gráfica tiene dos raíces en x = -1 y x = 0. Mover el
botón para que c = 1 y la gráfica tiene solamente una raíz en x = -1. Mueve
el botón para que c = 2 y la gráfica no tiene ninguna raíz. Es decir que la
gráfica no cruza el eje de x. Un polinomio de orden 2 puede tener 0, 1 o 2
raíces. Juega con los botones para ver como la raíz cambia cuando los
coeficientes cambian. Después aprieta la caja que dice cuadrática de
nuevo.
4. Aprieta la caja que dice cúbica para ver la gráfica de un polinomio de orden
3 (una fórmula cúbica). Un polinomio de orden 3 puede tener 1,2 o 3 raíces.
Juega con los botones para ver si puede encontrar coeficientes para que
haya 1, 2 y 3 raíces de la gráfica. Después aprieta la caja que dice cúbica
de nuevo.
5. Aprieta la caja que dice cuartica para ver la gráfica de un polinomio de
orden 4 (una fórmula cuartica). Un polinomio de orden 4 puede tener 0, 1, 2,
3 o 4 raíces. Juega con los botones para ver si puede encontrar
coeficientes para que haya 0, 1, 2, 3 y 4 raíces de la gráfica. Después
aprieta la caja que dice cuartica de nuevo.
6. Aprieta la caja que dice quintica para ver la gráfica de un polinomio de
grado 5 (una fórmula quintica). Un polinomio de grado 5 puede tener 1, 2, 3,
4 o 5 raíces. Juega con los botones para ver si puedes encontrar
coeficientes para que haya 1, 2, 3, 4 y 5 raíces de la gráfica. Después
aprieta la caja que dice quintica de nuevo.
4.1. Suma y Resta de Polinomios:
Suma: Sumamos términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas
variables y exponentes sean iguales. Los pasos para hacer la suma son:
Paso 1: Elimine los paréntesis
Pasó 2. Agrupe términos semejantes
Pasó 3. Sume y reste los términos semejantes.
Ejemplo: Halla la suma de:
3 2 3 2
( 2 5 7) (4 5 3)x x x x x     

3 2 3 2
( 2 5 7) (4 5 3)x x x x x      =
3 2 3 2
2 5 7 4 5 3x x x x x     
=
3 23 2
(2( 54 ) ) 7 )5 ( 3x xx x x   
=
23
( ( 3 ) 5 0) 15 ( )x xx  
=
3 2
5 3 5 10x x x  
Resta: Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo
negativo antes de los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del
paréntesis.
Ejemplo: Resta los siguientes polinomios:
3 2 3 2
( 2 5 7) (4 5 3)x x x x x     
Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto un signo negativo, los signos dentro del
paréntesis se afectan. Los signos se cambian a su opuesto y el signo negativo
antepuesto al paréntesis pasa a ser positivo.
3 2 3 2
(4 5 3) ( 4 5 3)x x x x       
Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo sólo escriba los términos que están
dentro del paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + entre los
dos paréntesis.
Paso 3: Agrupe los términos semejantes; es decir los términos con iguales
variables e iguales exponentes.
Paso 4: Sume y reste los términos semejantes.
Así que aplicando este concepto a la expresión original tendríamos:

4.2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los
monomios que forman el polinomio.
EJEMPLOS
3x POR (2x3
− 3x2
+ 4x − 2) =
= 6x5
− 9x4
+ 12x3
− 6x2
Multiplicación de polinomios
Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas
distintas.
Mira la demostración con el siguiente ejemplo:
P(x) = 2x2
− 3 Q(x) = 2x3
− 3x2
+ 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los
elementos del segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2
− 3) · (2x3
− 3x2
+ 4x) =
= 4x5
− 6x4
+ 8x3
− 6x3
+ 9x2
− 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5
− 6x4
+ 2x3
+ 9x2
− 12x
3 2 3 2
( 2 5 7) (4 5 3)x x x x x      =
3 2 3 2
( 2 5 7) ( 4 5 3)x x x x x     =
=
3 2 3 2
2 5 7 4 5 3x x x x x      =
3 3 2 2
4 5 2 5 7 3x x x x x     =
3 2
3 7 5 4x x x   

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los
grados de los polinomios que se multiplican.
Grado del polinomio = Grado de P(x)
+ Grado de Q(x) = 2 + 3 =
4.3. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un
ejemplo práctico:
P(x) = x5
+ 2x3
− x − 8 Q(x) = x2
− 2x + 1
P(x) ÷ Q(x)
no es completo dejamos huecos en los lugares que
correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor. x5
÷ x2
= x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el
resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo
entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo
multiplicamos por el divisor y lo restamos al
dividendo. 2x4
/ x2
= 2 x2
Procedemos igual que ante 5x3
÷ x2
= 5 x
4.4. Productos y cocientes notables
En este artículo se tratara una rama muy importante del algebra, se aprenderá a
hacer reconocimiento por simple inspección de algunas expresiones algebraicas
especiales que se
conocen como producto y cociente notable.
Existen casos en los que se puede hacer la división o el producto de una
expresión algebraica ya está un monomio, un binomio o un polinomio; solo con
observarla.
Los productos y cocientes notables son los siguientes:
1. El cuadrado de un monomio.
2. El cuadrado de un binomio compuesto por la suma de sus términos.
3. El cuadrado de un binomio compuesto por la diferencia del primer término
menos el segundo.

4. El producto de un binomio compuesto por la suma de sus términos multiplicado
por el binomio compuesto por la diferencia del primer término menos el segundo.
5. El cubo de un binomio compuesto por la suma de sus términos.
6. El producto de dos binomios constituidos por la suma de sus términos, donde el
primer termino de los dos es igual y el segundo es diferente.
7. El cociente de un binomio donde el primer término esta elevado al cuadrado
menos el segundo término que también esta elevado al cuadrado, divido por el
binomio constituido por la suma de sus términos.
8. El cociente del binomio conformado por la suma de sus términos los cuales
están elevados al cubo dividido por el binomio compuesto por la suma de sus
términos.
9. El cociente del binomio conformado por la diferencia de sus términos los cuales
están elevados al cubo dividido por el binomio compuesto por la diferencia de del
primer término menos el segundo.
10. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales dividido entre la suma
o diferencia de las cantidades.

4.5. FACTORIZACION
4.5.1. Sacar factor común y factor común por
agrupación.
Consiste en aplicar la propiedad distributiva:
a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)
Ejemplos
Descomponer en factores sacando factor común
1. x3
+ x2
= x
2
(x + 1)
2x4
+ 4x2
= 2x
2
(x
2
+ 2)
x2
− ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x – b).
4.5.2. Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por
diferencia.
a2
− b2
= (a + b) · (a − b)
EJEMPLOS: Descomponer en factores y hallar las raíces
1. x2
− 4 = (x + 2) · (x − 2)
Las raíces son x = −2 y x = 2
2. x4
− 16 = (x2
+ 4) · (x2
− 4) = (x + 2) · (x − 2) · (x
2
+ 4)
4.5.3. Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio
al cuadrado.
a2
± 2 a b + b2
= (a ± b)2
Ejemplos
Descomponer en factores

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