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Teoría de la Complejidad Algorítmica
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Teoría de la Complejidad Algorítmica
1.
Capítulo 8
Teoría de la Complejidad Algorítmica Seguridad Informática y Criptografía Ultima actualización del archivo: 01/03/06 Este archivo tiene: 31 diapositivas Material Docente de Dr. Jorge Ramió Aguirre v 4.1 Libre Distribución Universidad Politécnica de Madrid Este archivo forma parte de un curso completo sobre Seguridad Informática y Criptografía. Se autoriza el uso, reproducción en computador y su impresión en papel, sólo con fines docentes y/o personales, respetando los créditos del autor. Queda prohibida su comercialización, excepto la edición en venta en el Departamento de Publicaciones de la Escuela Universitaria de Informática de la Universidad Politécnica de Madrid, España. Curso de Seguridad Informática y Criptografía © JRA
2.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 2 Introducción a la teoría de la complejidad La teoría de la complejidad de los algoritmos permitirá, entre otras cosas, conocer la fortaleza de un algoritmo y tener así una idea de su vulnerabilidad computacional. Complejidad Computacional Los algoritmos pueden clasificarse según su tiempo de ejecución, en función del tamaño u orden de la entrada. Hablamos así de complejidad: • Polinomial ⇒ comportamiento similar al lineal • Polinomial No Determinísta ⇒ comportamiento exponencial Esto dará lugar a “problemas fáciles” y “problemas difíciles” cuyo uso será muy interesante en la criptografía. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
3.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 3 Operaciones bit en la suma Si deseamos sumar dos números binarios n y m, ambos de k bits realizaremos k operaciones bit puesto que cada operación básica con los dígitos de una columna es una operación bit. • Recuerde que 0+0 = 0, 0+1=1, 1+0 = 1, 1+1 = 0 con bit 1 de acarreo. • Si un número tiene menos bits, se rellena con ceros por la izquierda. Ejemplo: encontrar el número de operaciones bit necesarias en la suma en binario de 13+7 ⇒ 1101 + 0111 (de k = 4 bits) 1 1 1 1 (bits de acarreo) 1 1 0 1 + 0 1 1 1 1 0 1 0 0 Cada operación básica que hacemos con una columna se conoce como operación bit, luego necesitamos k = 4 operaciones bit. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
4.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 4 Operaciones bit en la multiplicación Para la multiplicación de un número n de k bits por un número m de h bits, el número de operaciones bit será igual a 2∗k∗h. Suponemos que k ≥ h. • Recuerde que 0x0 = 0, 0x1=0, 1x0 = 0, 1x1 = 1. Ejemplo: encontrar el número de operaciones bit necesarias en la multiplicación en binario 10x5 ⇒ 1010 x 101 (4 y 3 bits) 1 0 1 0 x 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 + 1 0 1 0 (procedemos ahora a sumar) 1 1 0 0 1 0 Como cada operación básica entre dos bits es una operación bit, hemos realizado h∗k = 3∗4 multiplicaciones y luego k∗h = 4∗3 sumas, es decir en total 2∗k∗h = 24 operaciones bit. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
5.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 5 La función O(n) Las operaciones dependerán del tamaño de la entrada por lo que esta complejidad se expresará en términos del tiempo T necesario para el cálculo del algoritmo y del espacio S que utiliza en memoria, y se expresará mediante una función f (n), donde n es el tamaño de la entrada. Esta función será una aproximación pues el resultado exacto dependerá de la velocidad del procesador. f (n) = O(g(n)) Ejemplo Y se define así: f = O(n) ssi ∃ co,no / f(n) ≤ co∗g(n) http://www.mm.informatik.tu-darmstadt.de/courses/2002ws/ics/lectures/v14.pdf © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
6.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 6 Complejidad de una función f(n) Si f (n) = 4n2 + 2n + 5 ¿ f = O(n2)? ¿se cumple que co∗g(n) = co∗n2 ≥ f (n)? Sea co = 6 co no cono2 f (n) = 4n2 + 2n + 5 ¿co∗n2 ≥ f (n)? 6 1 6 11 No 6 2 24 25 No Se cumple 6 3 54 38 Sí siempre 6 4 96 77 Sí Luego, la complejidad de f (n) es exponencial. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
7.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 7 Tiempos de ejecución En la expresión O(n) aparecerá el término que domina al crecer el valor de n. • El tiempo de ejecución de un algoritmo T1 que realiza 2n+1 operaciones es de tipo O(n); uno T2 que realiza 3n2+n+3 operaciones será de tipo O(n2), etc. • Para realizar la suma de la diapositiva anterior necesitamos O(n) = O(log n) operaciones bit y para el caso de la multiplicación, éstas serán O(n∗m) = O(log n ∗ log m) operaciones bit. + Operación binaria: n+m (de k bits cada uno) ∗ Operación binaria: n∗m (de k y h bits respectivamente) © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
8.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 8 Algoritmos de complejidad polinomial • Un algoritmo se dice que tiene tiempo de ejecución polinomial (no confundir con lineal) si éste depende polinómicamente del tamaño de la entrada. • Si la entrada es de tamaño n y t es un entero, el número de operaciones bit será O(logt n). Ejemplos Si t = 1, el sistema es lineal Suma Si t = 2, el sistema es cuadrático Producto Máximo Común Si t = 3, el sistema es cúbico Divisor (Euclides) © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
9.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 9 Ejemplo de complejidad polinomial Pregunta: El tiempo de ejecución de un algoritmo es O(log3 n). Si doblamos el tamaño de la entrada, ¿en cuánto aumentará este tiempo? Solución: En el primer caso el tiempo es O(log3 n) y en el segundo O(log3 2n). Para este sistema polinomial, el tiempo se incrementará sólo en log3 2 operaciones bit. Estos son los denominados problemas fáciles y son los que involucrarán un proceso de cifra y descifrado (o firma) por parte del o de los usuarios autorizados. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
10.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 10 Algoritmos de complejidad no determinista • Un algoritmo se dice que tiene tiempo de ejecución polinomial no determinista (en este caso exponencial) si éste depende exponencialmente del tamaño de la entrada. • Si la entrada es de tamaño n y t es un entero, el número de operaciones bit será O(nt). Ejemplo Para t = 2, será exponencial de orden 2 n! Para t = 3, será exponencial de orden 3 © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
11.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 11 Ejemplo de complejidad no determinista Pregunta: El tiempo de ejecución de un algoritmo es O(n3). Si doblamos el tamaño de la entrada, ¿en cuánto aumentará este tiempo? Solución: En el primer caso el tiempo es O(n3) y en el segundo O((2n)3) = O(8n3). El tiempo para este sistema exponencial, se incrementará en 8 operaciones bit. Estos son los denominados problemas difíciles y son a los que deberá enfrentarse un criptoanalista o atacante que desea romper una cifra o la clave de un usuario. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
12.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 12 Comparativas de complejidad • Los algoritmos polinómicos y exponenciales se comparan por su complejidad O(nt). – Polinómico constante ⇒ O(1) – Polinómico lineal ⇒ O(n) – Polinómico cuadrático ⇒ O(n2) – Polinómico cúbico ⇒ O(n3) ... etc. – Exponencial ⇒ O(dh(n)) donde d es una constante y h(n) un polinomio Si suponemos un ordenador capaz de realizar 109 instrucciones por segundo obtenemos este cuadro: © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
13.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 13 Tabla comparativa de tiempos Entrada O(n) O(n2) O(n3) O(2n) n = 10 10-8 seg 10-7 seg 10-6 seg 10-6 seg n = 102 10-7 seg 10-5 seg 10-3 seg 4∗1013 años n = 103 10-6 seg 10-3 seg 1 seg Muy grande Incrementos de un Computacionalmente orden de magnitud imposible Entrada/109: Para n = 100 ⇒ O(n2) = 1002/109 = 10-5 seg © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
14.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 14 Problemas de tipo NP En criptografía nos interesan las funciones f(x) de un solo sentido, es decir: Fácil calcular f(x) pero muy difícil calcular f-1(x) salvo que conozcamos un secreto o trampa. Porque dan lugar a problemas de tipo NP, polinomiales no deterministas, computacionalmente difíciles de tratar: Problema de la mochila Definición del Problema de la factorización problema y Problema del logaritmo discreto ejemplos Problema logaritmo discreto en curvas elípticas Otros © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
15.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 15 El problema de la mochila • Es un problema de tipo NP en el que el algoritmo debe realizar en cada paso una selección iterativa entre diferentes opciones. Enunciado: Dada una mochila de determinadas dimensiones de alto, ancho y fondo, y un conjunto de elementos de distintos tamaños menores que ella y de cualquier dimensión, ... ¿es posible llenar la mochila (completa) con distintos elementos de ese conjunto sin repetir ninguno de ellos? http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
16.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 16 Ejemplo del problema de la mochila S = a1 + a2 + a3 A = {a1, a2, a3} Sea una mochila ¿Se incluye a1 en la suma S? a1 Los resultados son todos con 4 elementos Sí No distintos: una casualidad {2, 4, 9, 10} ¿Se incluye a2 en la suma? ¿Cuántas sumas a2 a2 Sí No Sí No posibles hay? ¿Se incluye a3? Solución: 24 = 16 a3 a3 a3 a3 ∅, 2, 4, 6, Sí No Sí No Sí No Sí No 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 19, 21, 23, 25. S1 = a1+a2+a3 S2 = a1+a2 S3 = a1+a3 S 4 = a1 Repítalo con {2, 4, 6, 10} S5 = a2+a3 S6 = a2 S7 = a3 S8 = ∅ Hemos tenido que evaluar 23 = 8 valores ⇒ (carácter exponencial) © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
17.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 17 Interés de las mochilas en criptografía ¿Por qué tiene interés este problema en criptografía? a) Es de tipo NP completo: su resolución por lo general implica una complejidad exponencial. Luego, será difícil de atacar o criptoanalizar. b) Existe un caso en el que su resolución es lineal y, si la solución existe, ésta será única. Este caso se dará cuando A = {a1, a2, a3, .., an} está ordenado de menor a mayor de forma que ai es mayor que la suma de los aj que le preceden: a2 > a1; a3 > a1 + a2; a4 > a1 + a2 + a3; etc. Esto dará lugar a los criptosistemas de mochila tramposa que veremos en un próximo capítulo. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
18.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 18 Problemas usados en criptografía asimétrica Los problemas más usados en la criptografía asimétrica o de clave pública actualmente son: - El problema de la factorización de números grandes PFNG - El problema del logaritmo discreto PLD En estos casos, cuando los números son del orden de mil bits (unos 310 dígitos) su cálculo se vuelve computacionalmente imposible debido al tiempo que deberíamos emplear. Si lo desea, puede comprobar los ejemplos de las siguientes diapositivas usando el software de prácticas Fortaleza de libre distribución y que puede descargarlo desde esta dirección. http://www.criptored.upm.es/software/sw_m001e.htm © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
19.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 19 El problema de la factorización PFNG Dado un número n que es el resultado del producto de dos o más primos, se pide encontrar estos factores. Por ejemplo, cuando el valor n = p∗q es muy grande, el Problema de la Factorización de Números Grandes PFNG se vuelve computacionalmente intratable. No obstante, el caso inverso, dado dos números primos p y q, encontrar el resultado p∗q = n, se trata de un problema de tipo polinomial. Este problema se usará en la generación del par de claves del sistema de cifra con clave pública RSA. http://home.netcom.com/~jrhowell/math/factor.htm © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
20.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 20 Compruebe lo que significa el PFNG Cálculo fácil o polinomial (función directa) Calcule “a mano” los siguientes productos de dos primos y tome el tiempo aproximado que tarda en la operación: a) 13∗31 b) 113∗131 c) 1.013∗1.031 calcule... No vale usar ¿Qué puede concluir calculadora... de estos cálculos? Cálculo difícil o no polinomial (función inversa) Usando la criba de Eratóstenes, factorice en dos primos los siguientes números y vuelva a tomar el tiempo empleado: a) 629 b) 17.399 c) 1.052.627 calcule... En el caso a) son primos de 2 dígitos, en b) de 3 y en c) de 4. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
21.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 21 Solución al ejemplo anterior Dificultad polinomial (rápido) a) 13∗31 = 403 b) 113∗131 = 14.803 c) 1013∗1031 = 1.044.403 A medida que aumenta el tamaño de la entrada, el tiempo de cálculo aumenta proporcionalmente con el número de dígitos. Dificultad no determinista (lento) Paciencia, un computador va a a) 629 b) 17.399 c) 1.052.627 sufrir lo mismo ... Da igual que el algoritmo sea éste muy elemental u otro más eficaz; aquí resulta evidente que el tiempo de cálculo aumenta mucho al incrementar en un dígito los números en cuestión. Es no lineal. Solución: Los resultados a), b) y c) son el producto de los números primos inmediatamente superiores a los que se usaron en el cálculo polinomial es decir 17*37; 127*137; 1019*1033. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
22.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 22 El problema del logaritmo discreto PLD Dado un par de enteros α y β que pertenecen al Campo de Galois GF(p), se pide encontrar un entero x de forma tal que x = logα β mod p. Si el valor p es muy grande, el Problema del Logaritmo Discreto PLD es computacionalmente intratable. No obstante, el caso inverso, dado dos números α y x, encontrar β = αx mod p es un problema polinomial. Este problema se usará, entre otros, en la creación de las claves del sistema de cifra con clave pública ElGamal y en el protocolo de intercambio de clave de Diffie y Hellman. http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_logarithm © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
23.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 23 El PLD en su función directa o fácil Cálculo fácil o polinomial (función directa) Calcule “a mano” las siguientes exponenciaciones mod p y tome el tiempo aproximado que tarda en la operación: a) 54 mod 7 b) 817 mod 41 c) 9211 mod 251 54 = 625 817 = 2.251.799.813.685.248 9211 = 3.996.373.778.857.415.671.808 Solución: Haciendo uso de la propiedad de reducibilidad 54 mod 7 = 2 vista en el apartado de matemáticas discretas, 817 mod 41 = 39 podrá bajar significativamente el tiempo de 9211 mod 251 = 217 cálculo. Este tiempo será de tipo polinomial según el tamaño de la entrada. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
24.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 24 El PLD y su función inversa o difícil Cálculo difícil o no determinista (función inversa) Aunque existen varios algoritmos para este tipo de cálculos (al igual que para la factorización) use la fuerza bruta que se explica a continuación para encontrar los siguientes valores y vuelva a tomar el tiempo empleado: a) log5 2 mod 7 b) log8 39 mod 41 c) log92 217 mod 251 Aplicando fuerza bruta en el 1er caso (la base elevada a todos los restos de p) al final se obtiene que log5 2 mod 7 = 4. Solución: 51 mod 7 = 5 52 mod 7 = 4 53 mod 7 = 6 log5 2 mod 7 = 4 54 mod 7 = 2 55 mod 7 = 3 56 mod 7 = 1 log8 39 mod 41 = 17 En término medio deberá recorrer la mitad del log92 217 mod 251 = 11 espacio de valores para encontrarlo ... © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
25.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 25 Logaritmo discreto con α generador En el cuerpo p = 13, el 2 es un generador, luego: log2 1 mod 13 = 0 log2 2 mod 13 = 1 log2 3 mod 13 = 4 log2 4 mod 13 = 2 log2 5 mod 13 = 9 log2 6 mod 13 = 5 log2 7 mod 13 = 11 log2 8 mod 13 = 3 log2 9 mod 13 = 8 log2 10 mod 13 = 10 log2 11 mod 13 = 7 log2 12 mod 13 = 6 21 mod 13 = 2 22 mod 13 = 4 23 mod 13 = 8 24 mod 13 = 3 25 mod 13 = 6 26 mod 13 = 12 Es 27 mod 13 = 11 28 mod 13 = 9 29 mod 13 = 5 decir 210 mod 13 = 10 211 mod 13 = 7 212 mod 13 = 1 Se cumplirá siempre que a0 mod p = ap-1 mod p = 1. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
26.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 26 Logaritmo discreto con α no generador En p=13 el 2 30 mod 13 = 1 31 mod 13 = 3 32 mod 13 = 9 era generador, pero no así el 33 mod 13 = 1 34 mod 13 = 3 35 mod 13 = 9 número 3... 36 mod 13 = 1 37 mod 13 = 3 38 mod 13 = 9 Luego 39 mod 13 = 1 310 mod 13 = 3 311 mod 13 = 9 log3 1 mod 13 = 0 log3 2 mod 13 = NE log3 3 mod 13 = 1 log3 4 mod 13 = NE log3 5 mod 13 = NE log3 6 mod 13 = NE log3 7 mod 13 = NE log3 8 mod 13 = NE log3 9 mod 13 = 2 log3 10 mod 13 = NE log3 11 mod 13 = NE log3 12 mod 13 = NE NE: no existe el logaritmo discreto en ese cuerpo © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
27.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 27 ¿Hay más funciones NP? Existen otros muchos problemas matemáticos que dan lugar a problemas del tipo NP, algunos de ellos basados en estas funciones unidireccionales one-way functions que tanto interesan en criptografía. Las dos últimas funciones vistas, la factorización de números grandes y el logaritmo discreto, son las que más uso tienen de momento en la criptografía actual. En la siguiente página Web encontrará una interesante lista con 88 problemas de tipo NP. http://www.csc.liv.ac.uk/~ped/teachadmin/COMP202/annotated_np.html Fin del capítulo © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
28.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 28 Cuestiones y ejercicios (1 de 2) • Deseamos sumar de forma binaria el número 15 (1111) y el número 10 (1010), ambos de k = 4 bits. Haga la suma binaria y verifique que el número de operaciones bit desarrolladas es k = 4. • Si multiplicamos en binario 1010∗11, donde k = 4 bits y h = 2 bits, compruebe que el número de operaciones bit realizadas es 2∗k∗h. • ¿Por qué son interesantes los problemas de tipo NP en criptografía? • Defina el problema de la mochila y su posible utilización en un sistema de cifra. • ¿Es siempre única la solución de una mochila? Piense sobre el particular y su trascendencia si las utilizamos sin ningún control en sistemas de cifra. • Factorice mentalmente el valor n = 143. Intente hacer lo mismo para n = 1.243. ¿Qué opina ahora del problema de la factorización? © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
29.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 29 Cuestiones y ejercicios (2 de 2) • ¿Se le ocurre alguna forma de utilizar este problema de un solo sentido para cifrar información? • A partir de la ecuación β = xα mod p, defina el problema del logaritmo discreto. • Calcule 713 mod 31 = C usando la propiedad de reducibilidad. Compruebe con Fortaleza que el exponente 13 = log7 C mod 31. • ¿Qué utilidad le encuentra a este problema en criptografía? • ¿Qué relación existe entre generadores de un cuerpo, el conjunto completo de restos y el cálculo del logaritmo discreto? • ¿Qué sucede si deseamos encontrar un logaritmo discreto que no existe, por ejemplo log5 19 mod 31? Nota: si usa el software Fortaleza, deberá detener la operación al no contemplarse en su código este hecho . © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
30.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 30 Prácticas del tema 8 (1/2) Software Fortaleza: http://www.criptored.upm.es/software/sw_m001e.htm 1. Encuentre el tiempo que tarda el programa en calcular los siguientes productos de primos: 23x61; 281x829; 3001x5477; 26317x63901. 2. Encuentre cuánto tarda el programa en realizar un producto de dos números de 300 dígitos cada uno. 3. Factorice por Pollard Rho los siguientes productos y encuentre el tiempo que tarda el programa: 1403; 232949; 16436477; 1681682617. 4. Factorice por Pollard Rho los números de 16 dígitos que se indican y observe el tiempo empleado: 3745667802664727; 4044773133465121; 3907781049017851; 41710432708253. Saque conclusiones. 5. ¿Cuánto tarda el programa en demostrar la primalidad de estos números 50000000000000000059; 500000000000000000000000000009; 5000000000000000000000000000000000000021; de 20, 30 y 40 dígitos? Compárelos con los tiempos de factorización y saque conclusiones. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
31.
Capítulo 8: Teoría
de la Complejidad Algorítmica Página 31 Prácticas del tema 8 (2/2) • Encuentre el tiempo que tarda el programa en calcular las siguientes potencias modulares: 351215 mod 3456; 782487652456 mod 34654783; 891278265367876254356758778234002462 mod 762488740981009687272345. • Si d = dígitos, ¿cuánto tiempo tarda el programa en calcular una potencia en los siguientes rangos de valores: 50d100d mod 100d; 50d100d mod 150d, 50d100d mod 200d, 50d100d mod 250d? Saque conclusiones. • Si d = dígitos, ¿cuánto tiempo tarda el programa en calcular una potencia en los siguientes rangos de valores: 50d25d mod 200d; 50d50d mod 200d, 50d75d mod 200d, 50d100d mod 200d? Saque conclusiones. • Compruebe las siguientes potencias y luego mediante los algoritmos de Búsqueda Exhaustiva, Paso Gigante - Paso Enano y Pohlig - Hellman, calcule el correspondiente logaritmo discreto. El módulo p es primo y α es un generador en p. Observe los tiempos de ejecución y saque conclusiones. - 401357 mod 87211 = 31211 ⇒ log401 31211 mod 87211 = 357. - 2468924 mod 384773 = 67350 ⇒ log246 67350 mod 384773 = 8924. © Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
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