Circunferencia, mod 3

Universidad Católica del Norte
PROFESOR: LUIS RAMIREZ CORTEZ Página 1
Lectura Obligatoria 2
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia dentro el espectro geométrico, cobra vida en varios elementos
de la vida diaria.
DEFINICION: La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un
mismo plano y a igual distancia de otro fijo que se llama centro.
Se llama CÍRCULO al conjunto de los puntos interiores de la circunferencia.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
RADIO: Es el trazo que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.
CUERDA: Es el trazo que une dos puntos de la circunferencia.
DIAMETRO: Es la mayor cuerda o bien el trazo que une dos puntos de la
circunferencia y pasa por su centro.
ARCO: Es una parte de la circunferencia.
SEMI CIRCUNFERENCIA: Es un arco igual a la mitad de la circunferencia.
SECANTE: Es cualquier línea recta que corta a la circunferencia en dos puntos L2.
TANGENTE: Es cualquier línea recta que toca a la circunferencia en un solo
punto, que se denomina “punto de tangencia” L1.

La figura a continuación muestra estos elementos.
ANGULO CENTRAL:
El ángulo central es el formado por dos radios, en la figura el  O es el ángulo del
centro, o bien,  ROS
L1
L2

ANGULO INSCRITO:
El ángulo inscrito es el ángulo cuyo vértice esta en la circunferencia y sus lados
son dos cuerdas, o bien una cuerda y una tangente, a este ultimo se le llama
“ángulo semi inscrito”.
De los elementos anteriores se desprenden los siguientes TEOREMAS.
TEOREMA
Todo ángulo central es igual a la medida del arco que subtiende, es decir:
m AOB = m (arco AB) = 
A
B
C
A
B
C
O
A
B


EJEMPLO:
En este caso, la medida del ángulo central AOB =  es igual a 80º, ya que, todo
ángulo central es igual al arco que subtiende.
TEOREMA
Todo ángulo inscrito o semi inscrito es igual a la mitad del arco que subtiende, es
decir:
Medida del ángulo ACB =  = (1/2) MEDIDA DEL ARCO AB
O
A
B
80º

A
B
C

EJEMPLO:
En el ejemplo, podemos apreciar que el arco mide 50º, por lo que el ángulo
inscrito  mide 25º, pues es la mitad del arco que mide 50º.
TEOREMA
Todo ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que subtiende el mismo
arco, es decir:
m  inscrito  = (1/2) m  central AOB = (1/2) 

50º
A
B
C

 O
A
B

EJEMPLO:
En la figura el ángulo inscrito es el ángulo , como 70º es la medida del ángulo
central, aplicando el TEOREMA.
Medida del ángulo  = (1/2)*70º = 35º
TEOREMA
Toda tangente a la circunferencia es perpendicular al radio.
TEOREMA
Una recta es tangente a una circunferencia si es perpendicular al radio.
TEOREMA
Dos circunferencias son iguales si tienen el mismo centro y el mismo radio (o
diámetro).
Estudiaremos ahora algunos ángulos exteriores.
70º
O


TEOREMA
El ángulo que forman:
a) Dos secantes que se cortan fuera de la circunferencia.
b) Una tangente y una secante que se cortan fuera de la circunferencia.
c) Dos tangentes que se cortan fuera de la circunferencia.
Tienen por medida la semi diferencia de los arcos que subtienden, es decir,
medida  E = (1/2) (  A -  B)
Nota: la semi diferencia del arco mayor menos el arco menor.
a) dos secantes
b) Tangente y secante
E
Aº
Bº
Eº
Aº
Bº

c) dos tangentes
EJEMPLOS:
Hallar las incógnitas.
En este caso se trata
de un ángulo exterior,
formado por dos
secantes.
 x =(1/2)(80-50)=
= (1/2)(30) = 15º
Este problema esta
formado por una
tangente y una
secante, pero x es la
medida de un arco.
30º = (1/2)(X-20)
== > 60º = (X-20)
== > 60º+20º = X
== > 80º = X
Eº
Aº
Bº
X
80º
50º
30ºX 20º

En este ejercicio la
incógnita x, es el arco
menor, pero se aplica
la formula igual.
20º = (1/2)(70-x)
== > 40º= (70-x)
== > 40-70=-x
== > -30º = -x
== > 30º = x
DEFINICION: Se llama circunferencia CIRCUNSCRITA a la que pasa por los
vértices de un polígono.
O sea la circunferencia circunscribe al polígono.
DEFINICION: Se llama circunferencia INSCRITA a la que es tangente a los
lados de un polígono.
X
70º
20º

O sea la circunferencia esta dentro del polígono.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dos circunferencias pueden tener las siguientes posiciones.
1) Circunferencias Concéntricas: Son aquellas que tienen un mismo centro.
2) Circunferencias tangentes: Son aquellas que tienen solamente un punto en
común; pueden ser tangentes interiormente o exteriormente.
Las primeras son tangentes interiormente, las segundas son tangentes
exteriormente.
3) Circunferencias secantes: Son aquellas circunferencias que tienen dos
puntos en común.
O

A continuación veremos otros TEOREMAS DE IMPORTANCIA para las
circunferencias
TEOREMA
Todo ángulo interior que se forma por dos cuerdas, es igual a la semi suma de los
arcos que subtiende.
Medida ángulo  = (1/2)(Aº + Bº)
Ejemplo:
Supongamos que el arco Aº = 30º y
el arco Bº = 50º, luego el ángulo 
debe ser igual a 40º, pues:
 = (1/2)(30+50)=(1/2)(80)=40º
TEOREMA
Todo triangulo inscrito en una circunferencia, donde un lado es el diámetro de
ella, es un triangulo rectángulo.

Aº
Bº
O

TEOREMA
Todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, tiene sus ángulos opuestos
suplementarios.
Es decir:
 +  = 180º
 +  = 180º
TEOREMA
En una circunferencia los ángulos inscritos que subtienden arcos iguales, son
iguales.
Si arco AB = arco BC < == >  = 
TEOREMA
Ángulos inscritos que subtienden un mismo arco, son iguales entre si.
Si
 = (1/2) arco AB
 = (1/2) arco AB
 = (1/2) arco AB
Entonces:  =  = 



 
A
B
C
A
B




TEOREMA
En una circunferencia, rectas paralelas determinan arcos iguales.
Siendo L1 y L2 paralelas, entonces arco AC = arco BD
Los teoremas que vienen a continuación, están relacionados con la proporción de
trazos en una circunferencia.
TEOREMA
Por un punto exterior a una circunferencia, se trazan una secante y una recta
tangente, entonces la medida del segmento tangente elevado al cuadrado, es
igual al producto entre la medida del segmento externo y el segmento secante
PT
2
= PA  PB
A este teorema se le conoce como PUNTO POTENCIA.
A B
C D
L1
L2
P
T
AB

EJEMPLO:
X
2
= 4 (4+5)
X
2
= 4 9 = 36
X = 6
TEOREMA
Dada una circunferencia y un punto externo a ella, se trazan dos secantes que
pasan por dicho punto, entonces tenemos que el producto entre la medida del
segmento exterior y la medida del segmento secante de la primera recta, va a ser
igual al producto entre la medida del segmento exterior y la medida del
segmento secante de la segunda recta.
PA  PB = PC  PD
EJEMPLO
4  (4 + X) = 3  (3+5)
4  (4 + X) = 3  8 =24
16 + 4X = 24
4X = 24 – 16 = 8
X = 2
P
T
AB
X
4
5
P
A
B
CD
P
A
B
CD
X
4
35

TEOREMA
Dadas dos cuerdas internas, las cuales al intersectarse forman trazos
proporcionales, es decir:
AE  EB = DE  EC
EJEMPLO:
X  12 = 4  9
X  12 = 36
X = 36/12
X = 3
TEOREMA
Dada una circunferencia y un punto externo a ella, se trazan dos tangentes que
pasan por dicho punto, entonces la medida del segmento tangencial de la primera
recta es de igual medida que el segmento tangencial de la segunda recta.
Es decir: PA = PB
A
E
C
D
B
4
9
12
X
P
A
B

50º
X 40º
X
70º
X
40º
X
EJERCICIOS
En cada uno de estas circunferencias están el ángulo central y el ángulo inscrito.
1 2 3
4
SOLUCION:
1. Como x es ángulo central, vale el doble que el ángulo inscrito, o sea, x
= 80º
2.-Como x es ángulo central, vale el doble que el ángulo inscrito, o sea, x
= 100º
3.- Como x es ángulo inscrito vale la mitad del ángulo central, o sea, x
=20
4.- Como x es ángulo inscrito vale la mitad del ángulo central, o sea, x
=35
5.- Si el arco AB = 100º, hallar el ángulo ABC.(AD diámetro)
A
B
C
D

SOLUCION:
Como el arco AB = 100º, por lo tanto,  ADB = 50º (por ser ángulo inscrito),
además el  ABD = 90º (triangulo inscrito en una semicircunferencia), por lo
tanto el  DAB = 40º, lo que significa que el arco BD = 80º y el  ACB =
(1/2)(100-80)=10
Como todo triangulo debe sumar 180º, entonces:
 ACB +  DAB +  ABC = 180º, reemplazando
10 + 40 +  ABC = 180º === >  ABC = 180 – 50 = 130º.
6.- Hallar  BAC
SOLUCION
En este caso  BAC Mide la mitad del
ángulo Central , o sea,  BAC = 23
7.-  BOA = 112º  ABO = ?
SOLUCION
BO = AO =RADIOS
Por lo que:
ABO = BAO = 34
8.-  x = 75 y =
x
B
C
O 46º
A
x
C
B
y
x
A
O
x
C
B
O
A
D
x
60º
y

SOLUCION:
EL  ABC = x =75 = (1/2)(60+y) == > 150 = 60 + y
== > 150-60 = y == > 90 = y
9.- x =
y =
SOLUCION
El cuadrilátero ABCD es un deltoide, por lo que las cuerdas AD y DC son iguales,
por consiguiente son iguales los arcos, es decir x = 65º
Además el  DBC = 32,5, por ser ángulo inscrito. Y el ángulo DCB = 90º, por ser
DB diámetro, por lo tanto el  y = 57,5
10.-  = 72º
x =
y =
x
C
B
O
A
D
x 65º
y
x
C
B
O
x
A
y


SOLUCION
El triangulo ABC es recto en A , por tener un lado en el diámetro de la
circunferencia, es decir, x = 90º.
Además “y” es el arco que subtiende al ángulo alfa, cuyo valor es 72º, es decir, y
= 144º.
11.- y = 140º
 BDC =
SOLUCION
De acuerdo a la figura el triangulo ABC es isósceles, teniendo como base al lado
BD, como el arco y vale 140º, entonces el  ADB = 70º, lo mismo que el  ABD
= 70º, por lo que el  BAD = 40º.
Es decir el arco BD mide 80º, como el  BDC es semi inscrito y subtiende este
arco, vale 40º.
12.-  x = 61º,
y =
SOLUCION
Podemos dibujar dos triángulos
Rectángulos, AOB y BCO, BO es
Bisectriz del ABC, es decir,
ABO=30,5 y OAB=90º, recta tangente
Por lo tanto, AOB=59,5, como es  central,
El arco mide lo mismo, repitiéndose el procedimiento con el triangulo BOC, se
obtiene que el ARCO AC = y = 59,5+59,5 = 119º
y
x
C
B
O
D
A
x
y
O
x
A
C
B

13.- x =
y =
SOLUCION
Como el ángulo 25º es exterior, se aplica la propiedad.
25º = (1/2)(y – x) == > 50 = y – x (1)
Además 70º es un ángulo interior entre las cuerdas, aplicando la propiedad de
estas, se tiene:
70º = (1/2)(y+x) == > 140 = y+x (2)
Haciendo un sistema de ecuaciones entre (1) y (2), se tiene:
50 = y - x
140 = y + x === > sumando == > 190 = 2y == > 95º = y, lo que significa
que x = 45º
14.- x =
y =
SOLUCION
Sabemos que la circunferencia completa vale 360º, y como todos los arcos tienen
valores en función de x, se pueden despejar:
X + 2x+ 3x +3x+6=360 = > 9x+6=360 => 9x = 354 = > x = 39,33333
“y” es un ángulo exterior, aplicando la propiedad.
“y” = (1/2)(3x-x) = (1/2)2x = x = 39,33333
x
D
C
O
x
A
B
E
y
70º
25º
x
D
C
O
x
A
B
E
y
3x
2x
3x+6

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