Transformada de Fourier

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”
SAN CRISTÓBAL - ESTADO TÁCHIRA
Realizado por:
Mantilla Garcia Glendis Vanessa
Matemática IV
Transformada de
Fourier

2. Concepto:
La buena transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es
una transformación matemática empleada para transformar señales entre
el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene
muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de
transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se
refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una
función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que
recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas
frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va
percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo,
la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante
el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un
sólo espectro de frecuencias para toda la función.

3. Propiedades de la Transformada de Fourier:
 a) Propiedad de linealidad.
Si F1(w) = F[f1(t)] y F2(w) = F[f2(t)], además a1 y a2 son dos
constantes arbitrarias, entonces:
F [a1 f1(t) + a2 f2(t)] = a1 F1(w) + a2 F2(w)
 b) Propiedad de escalamiento.
Si a es una constante real y F(w) = F[f(t)] entonces:
F[f(at)]=
1
∣𝑎∣
f(
𝑤
𝑎
)
Si a es positiva y mayor que uno, f(at) es una versión
comprimida de f(t) y su densidad espectral se expande en
frecuencia por 1/a.
Si a es positiva y menor que uno, f(at) se expande y su
densidad espectral se comprime.
c) Si F[f(t)] = F(w) entonces:
F [f(- t)] = F(- w)

4. d) Propiedad de desplazamiento en el tiempo.
Si F(w) = F[f(t)] entonces:
𝐹 𝑓 𝑡 − 𝑡 𝑜 = 𝑓 𝑤 . 𝑒−𝑓𝑤𝑡𝑜
e) Propiedad de desplazamiento en la frecuencia.
Si w0 es una constante real y F(w) = F[f(t)] entonces:
𝐹 𝑓 𝑡 . 𝑒−𝑓𝑤𝑡𝑜 = 𝐹(𝑤 − 𝑤 𝑜)
f) Propiedad de simetría.
Si F(w) = F[f(t)] entonces:
𝐹 𝑓 𝑡 = 2𝛑𝑓(−𝑤)

5. g) Propiedad de derivación en el tiempo.
Si F[f(t)] = F(w) y f(t)  0 cuando t  , entonces:
𝐹 𝑓 𝑡 = 𝑗𝑤 𝐹 𝑤 = 𝑗𝑤𝐹 𝑓 𝑡
𝐹
−∞
𝑡
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑗𝑤
𝐹 𝑤 =
1
𝑗𝑤
= 𝐹[𝑓(𝑡)]
i) Teorema de convolución en el tiempo.
Si F[f1(t)] = F1(w) y F[f2(t)] = F2(w), entonces:
F[ f1(t) * f2(t) ] = F1(w) F2(w)
De acuerdo con este resultado se concluye que la
convolución en el tiempo equivale al producto en la
frecuencia.

6. j) Teorema de convolución en la frecuencia.
Si F-1[F1(w)] = f1(t) y F-1[F2(w)] = f2(t), entonces:
F-1[ F1(w) * F2(w) ] = 2  f1(t) f2(t)
𝐹 𝑓1(𝑡)𝑓2(𝑡) =
1
2𝜋
[ 𝐹1 𝑤 ∗

7. Calcular la transformada de Fourier para la siguiente
función f(t) no Periódica:
𝑓 𝑡 = cos 20𝑡
𝐹 𝑤 = cos 20𝑡 𝑑𝑡
−𝜋
5
𝜋
5
𝑒−𝑖𝑤𝑡 𝑑𝑡 =
𝑒−𝑖𝑤𝑡
−𝑖𝑤
𝜋
5
−𝜋
5
=
𝑒
𝑖𝑤𝜋
5
−𝑖𝑤
+
𝑒
−𝑖𝑤𝜋
5
𝑖𝑤
=

8. =
𝑒
𝑖𝑤𝜋
5 − 𝑒
−𝑖𝑤𝜋
5
𝑖𝑤
=
2𝜋sin(𝑤
𝜋
5
)
5
= 𝑠𝑎(𝑤
𝜋
5
)
𝐹 cos 20𝑡 =
𝑠𝑎 𝑤
𝜋
5
− 20 + 𝑠𝑎(𝑤
𝜋
5
+ 20)
2
Este seria el resultado final.