La transformada de Fourier transforma señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, teniendo muchas aplicaciones en física e ingeniería. Permite transformar funciones periódicas en el tiempo a un conjunto de coeficientes de frecuencia, representando el espectro de frecuencia de la señal original. Básicamente mapea una función de valores complejos en otra función que contiene su espectro de frecuencias.

1. Transformada de Fourier
La buena transformada de Fourier (pr. fʊrieɪ), denominada así por Joseph
Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar señales
entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene
muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de
transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere
tanto a la operación de transformación como a la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical
continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede
simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas,
llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de
frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una
función de valores complejos y definida en la recta, con otra
función definida de la manera siguiente:
Definición
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una
función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe
una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias
(que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas
frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier
contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir,
en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para
toda la función.
Pulso rectangular
Sea un pulso rectangular tal que f(t) es cero excepto en el intervalo [-a,a] que
vale A, tal como se muestra en la figura

2. Pulso triangular
f(t)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪1+ta −a≤t<01−ta 0≤t<a0 otros tf(t)={1+ta −a≤t<01−ta 0≤t<a0
otros t
La transformada de Fourier es
F(ω)=∫−∞∞f(t)exp(−iωt)dt=∫−a0(1+ta)exp(−iωt)dt+∫0a(1−ta)exp(−iωt)dt=4sin2(ωa/2)aω2

7. EJERCICIOS