introducción a los fractales

1. Cuando la
Geografía se
transforma en
Geometría

2. ¿Cuánto mide la costa de
Bretaña?
En el siglo pasado un matemático se preguntó
de qué manera podría medir la costa de Gran
Bretaña lo más exactamente posible. Si no
recordás bien la costa de Gran Bretaña, no hay
problema, será cuestión de imaginar cualquier
otra Costa... por ejemplo la de Argentina..

3. Siempre que dibujamos, aunque sea en un
boceto, un mapa de nuestro país, hacemos sus
bordes en forma irregular tratando de imitar su
accidentada geografía.
Algunas personas recuerdan los
golfos, cabos, bahías y
penínsulas más importantes y
logran hacer un pequeño
dibujo que se asemeja mucho
a los mapas impresos.

4. Pero nadie que conozcamos logra
reproducir de memoria la costa en
manera casi perfecta, porque cuando
vemos un mapa impreso observamos
que, además de esos conocidos y
acentuados golfos, cabos, bahías y
penínsulas, existen otros más pequeños.

5. Si quisiéramos copiar la costa en un
dibujo más grande, notaríamos que
aquellas regiones que parecen ser una
recta o un arco de circunferencia, es
decir, en donde la costa parece lisa, no
lo es tanto.
Al agrandar la imagen van apareciendo
nuevas rugosidades y nos encontramos
con que un pequeño segmento de la
costa es tan difícil de reproducir como
la costa en su totalidad.

9. Pensemos ahora lo que sucede si deseamos
medir esa costa. Lo primero es tomar un
compás y copiar la escala que aparece en el
espacio inferior, generalmente a la derecha
del
mapa.

10. Luego, sin cambiar esa longitud, debemos
desplazarla a lo largo de la costa e ir
contando llas veces que cabe para llegar a
unaaproximación de la longitud de la costa
completa... ¡Exacto! ¡Una aproximación!,
notarás que la imprecisión de la longitud final
depende de la longitud inicial que tenga el
compás (la que copiamos de la escala de
nuestro mapa).

11. Supongamos un compás con una abertura
determinada “x”. Si repetimos esta longitud en
el mapa, de principio a fin de la costa que
deseamos medir contando el número de
pasos
que esto nos toma y luego los multiplicamos
por la longitud inicial, obtendremos una
longitud
final L(x)

12. Observemos que, mientras menor sea la
longitud x, mayor será la L(x). Entonces, si
empequeñecemos infinitamente esa medida
x,que lo podemos considerar posible, la
longitudL(x) será infinita.

13. Aquel problema de la medición de la costa de
Gran Bretaña derivó en que el matemático
polaco Benoît Mandelbrot (1927-2010)
descubriera que la geometría euclidiana no se
dedica a estudiar curvas naturales, porque en
ella las figuras tienen longitudes finitas y las
superficies son lisas y perfectas. Mandelbrot
comenzó así el desarrollo de una nueva
geometría: La geometría fractal.

14. ¿Qué es un fractal?
Son figuras virtuales compuestas por una
curva infinita contenida en una superficie
finita, y por lo tanto con un número
fraccionario de dimensiones, que pueden ser
representadas con ayuda de ordenadores
siguiendo los algoritmos o sucesión de
instrucciones que la definen.

15. Otra de las características fundamentales de los
fractales es su recursividad, término que expresa la
iteración o repetición al infinito de un mismo
proceso. Esta propiedad provoca que las figuras
fractales
contengan
infinitas copias
de sí mismas,
a una escala
cada vez menor