ETAP Cables Potencia: Régimen Permanente

Curso de Capacitacion
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Cables de Potencia: Régimen
Permanente
1
ETAP®12.0
Modelado de Cables de Potencia:
Régimen Permanente

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2
Diego Moitre, M. Sc.
Ingeniero Mecánico Electricista
Matricula Profesional Nº 10.333 - CIEC
Senior Member, PES – IEEE
RAIEN ARGENTINA S.A. Congreso 2171 – 6º Piso
Código Postal: C1428 BVE
Ciudad Autónoma de Buenos Aires, ARGENTINA
Fijo: (54) 11 4701-9316
Móvil: (54) 358-156000104
dmoitre@raien.com.ar
dmoitre@gmail.com

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Temario
 Cables de Potencia: introducción
 Cables en ETAP®12.0
 Transferencia de calor en sistemas
de cables
 Modelado térmico de cables
utilizando análogos de redes
eléctricas
 Cálculo del régimen permanente
 Evaluación de parámetros
 Editor de cables de ETAP®12.0

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Bibliografía
 George J. Anders Rating of Electric Power Cables: Ampacity
Computations for Transmission, Distribution, and Industrial
Applications. IEEE Press, 1997.
 IEEE Red Book (IEEE Std 141TM – 1993: Recommended Practice
for Electric Power Distribution for Industrial Plants).
 IEEE Brown Book (IEEE Std 399TM – 1997: Recommended
Practice for Industrial and Commercial Power Systems Analysis).
 IEEE Buff Book (IEEE Std 242TM - 2001: Recommended Practice
for Protection and Coordination of Industrial and Commercial Power
Systems).
 IEEE Violet Book (IEEE Std 551TM - 2006: Recommended Practice
for Calculating Short-Circuit Currents in Industrial and Commercial
Power Systems).
 IEEE Black Book (IEEE Std 835TM – 1994(R2006): Power Cable
Ampacity Tables).

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Bibliografía
 IEEE Std 848TM -1996 (IEEE Standard Procedure for the
Determination of the Ampacity Derating of Fire-Protected Cables).
 ANSI/IEEE Std 575TM -1988 (IEEE Guide for the Application of
Sheath-Bonding Methods for Single-Conductor Cables and the
Calculation of Induced Voltages and Currents in Cable Sheaths).
 IEEE Std 576TM -2000 (IEEE Recommended Practice for
Installation, Termination, and Testing of Insulated Power Cable as
Used in Industrial and Commercial Applications).
 Neher, J. H. ―Procedures for Calculating the Temperature Rise of
Pipe Cable and Buried Cables for Sinusoidal and Rectangular Loss
Cycles‖ AIEE Trans., Vol. 72, part 3, pp. 541-545, June 1953.
 Neher, J. H. ―A Simplified Mathematical Procedure for Determining
the Transient Temperature Rise of Cable Systems‖ AIEE Trans.,
Vol. 72, part 3, pp. 712-718, August 1953.

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Bibliografía
 Neher, J. H. and McGrath, M. H. ―The calculation of the temperature
rise and load capability of cable systems‖ AIEE Trans., Vol. 76, part
3, pp. 752-772, 1957.
 Neher, J. H. ―The Transient Temperature Rise of Buried Cable
Systems‖ IEEE Trans. Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-
83, pp. 102-114, February 1964.
 IEC 60364-5-52 Ed. 3.0 2.009-10. Low-voltage electrical
installations – Part 5-52: Selection and erection of electrical
equipment. Wiring systems.
 IEC 60287-1-1 Ed. 2.0 2.006-12. Electric Cables – Calculation of the
current rating – Part 1-1: Current rating equations (100% load factor)
and calculation of losses – General.
 IEC 60287-1-2 Ed. 1.0 1.993-11. Electric Cables – Calculation of
the current rating – Part 1: Current rating equations (100% load
factor) and calculation of losses – Section 2: Sheath eddy current
loss factors for two circuits in flat formation.

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Bibliografía
the current rating – Part 1-3: Current rating equations (100% load
factor) and calculation of losses – Current sharing between parallel
single-core cables and calculation of circulating current losses.
the current rating – Part 2-1: Thermal resistance – Calculation of
thermal resistance.
the current rating – Part 2: Thermal resistance – Section 2: A
method for calculating reduction factors for groups of cables in free
air, protected from solar radiation.
the current rating – Part 3.1: Sections on operating conditions –
Reference operating conditions and selection of cable type.
the current rating – Part 3: Sections on operating conditions –
Section 2: Economic optimization of power cable size.

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Bibliografía
the current rating – Part 3-3: Sections on operating conditions –
Cables crossing external heat sources.
 IEC 60853-1 Ed. 1.0 1.985-01. Calculation of the cyclic and
emergency current rating of cables – Part 1: Cyclic rating factor for
cables up to and including 18/30 (36) kV.
emergency current rating of cables – Part 2: Cyclic rating of cables
greater than 18/30 (36) kV and emergency ratings for cables of all
voltages .
emergency current rating of cables – Part 3: Cyclic rating factor for
cables of all voltages, with partial drying of the soil.
 IEC 60228 Ed. 3.0 2.004-11. Conductors of Insulated Cables

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Bibliografía
 Sellers, S. and Black, W. ―Refinements to the Neher-McGrath Model for
Calculating the Ampacity of Underground Cables‖ IEEE Trans. on
Power Delivery, Vol. 11, N° 1, pp. 12-30, January 1996.
 Anders, G. and El-Kady, M. ―Transient Ratings of Buried Power Cables.
Part 1: Historical Perspective and Mathematical Model‖ IEEE Trans. on
Power Delivery, Vol. 7, N° 4, pp. 1724-1734, October 1992.
 Anders, G.; Moshref, A.; Roiz, J. ―Advanced Computer Programs for
Power Cable Ampacity Calculations‖ IEEE Computer Applications in
Power, Vol. 3, N° 3, pp. 42-46, July 1990.
 Anders, G.; El-Kady, M.; Ganton, R.; Horrocks, D. and Motlis, J.
―Calculations of Power Cable Load Capability on a Desktop Computer: A
Review‖ IEE Proceedings, Vol. 133, Pt. C, N° 7, pp. 431-436, November
1986.
 ETAP®12.0 User Guide.

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Cables de Potencia: Introducción
El objetivo de este tema es el cálculo de la corriente admisible nominal
o de régimen de los cables de potencia (current-carrying capacities en la
literatura técnica inglesa; en 1951 W. A. Del Mar, de Phelps Dodge Wire
& Cable Company acuñó el termino ―ampacity”). En la literatura técnica
en castellano se suele utilizar el anglicanismo ―ampacidad‖.
Los estudios de corriente admisible nominal de cables de potencia
usualmente involucran el cálculo de la corriente admisible para una
temperatura máxima de operación especificada del conductor.
Esta corriente causa un incremento de la temperatura del cable, y el
limite de su capacidad de carga está determinado por la temperatura del
conductor.
Ocasionalmente, el valor de corriente esta fijado y los estudios
involucran el calculo de la distribución de temperatura dentro del cable y
en el medio circundante.

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El cable debe transportar corriente sin sobrecalentamiento y debe
mantener un perfil de tensión aceptable. El calentamiento del cable es el
principal problema asociado a instalaciones subterráneas. Mientras que
es relativamente fácil disipar el calor generado por el flujo de corriente a
través de conductores desnudos en líneas de transmisión aéreas, el
calor generado por pérdidas en sistemas de cables subterráneos debe
pasar a través de la aislación eléctrica y el suelo circundante y ambos
representan un obstáculo para la disipación de calor.
Debido a que la máxima temperatura a la cual un cable puede operar
esta limitada por el sistema de aislacion eléctrica del mismo y como este
sistema no es buen conductor del calor, el resultado es que se necesita
un conductor mayor que el que correspondería a una línea aérea de
igual potencia nominal.

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Un sistema de cables se diseña para abastecer la demanda en
condiciones normales (en régimen permanente) y también para soportar
sobrecargas debido a fallas del equipamiento y otras condiciones
anormales por periodos de tiempo limitados.
La operación a temperaturas superiores se permite en estos periodos y
la respuesta del sistema de cables a estas sobrecargas se determina a
partir del análisis térmico en régimen transitorio.
La ampacidad del sistema de cables depende tanto de su forma
constructiva así como del tipo de instalación. Existe una gran variedad
de ambas en uso en el mundo actualmente.
La AEIC (Association of Edison Iluminating Companies, USA,
http://www.aeic.org/ ) elabora especificaciones y guías para distintas
formas constructivas e instalaciones de sistemas de cables.

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Conocidas la tensión de servicio, tipo de cable y la carga la selección se
hace en base a:
Máxima corriente admisible para la condición dada de instalación
(ampacidad).
Solicitaciones térmicas producidas por cortocircuitos.
Caída máxima de tensión:
 A plena carga.
 Al arranque de motores.

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 Componentes de un cable
Todo cable de potencia esta compuesto por, al menos, dos componentes:
 Un conductor eléctrico
 Aislación del conductor para prevenir el contacto directo entre este y otros
objetos
La necesidad de proveer una adecuada aislación eléctrica que permita
que el calor sea conducido y disipado en sistemas de transmisión en alta
tensión plantea desafíos tecnológicos. El problema de la conducción del
calor se ve agravado por el hecho de que, en la gran mayoría de los
sistemas de cables de potencia, la aislación eléctrica primaria debe ser
protegida contra daño químico, electromecánico o mecánico. Esta
protección es provista por capas concéntricas adicionales sobre la
aislación eléctrica.

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La forma mas común es una vaina o pantalla metálica la cual a su vez
esta cubierta por un material no conductor denominado cubierta externa.
Algunos cables no tienen pantalla metálica sino solo la cubierta externa.
Otros cables tienen alambres de neutro concéntricos en lugar de
pantallas metálicas. Estos alambres sirven principalmente como una
trayectoria de retorno a la corriente de neutro o de cortocircuito.
Los cables submarinos y de propósito especial usualmente tienen una
capa metálica adicional denominada armadura, que puede o no estar
protegida por un recubrimiento externo.

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 Conductores
 cobre
 aluminio
 Aislación
 papel impregnado en aceite
sólido: polietilenos (XLPE)
gas comprimido (SF6)
 Pantalla metálica /conductor neutro
concéntrico
 Armadura
 Recubrimientos semiconductores

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Cables de alta tensión (132 kV)

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Con vaina de plomo De conformación en
segmentos

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Cables de media tensión

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Cables de baja tensión

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Conductores
 Materiales:
• Cobre (buenas propiedades mecánicas).
• Aluminio (la mayor relación conductividad/peso entre los materiales conductores).
 Conformado:
 Sólidos.
 Stranded = Múltiples hilos trenzado (para mayor flexibilidad) (Stranded).
• Bunched = trenzados en la misma dirección
• Concentric = capas trenzadas en distinta dirección.
• Rope lay-bunch stranded.
• Rope lay-concentric stranded.
• Compact round.
• Compressed round.
• Sector conductor.*
• Segmental conductor (cada sector levemente aislado del otro).*
• Annular conductor.*
• Filled Strand. * Actualmente de poco uso.
 Recubrimiento:
 Estaño o aleaciones

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En la práctica, los conductores no se fabrican con áreas especificadas,
más bien los fabricantes ajustan sus procesos para alcanzar un valor de
resistencia máxima especificada más que una sección transversal.
En general, mientras mayor sea la sección transversal del conductor,
mayor será la ampacidad del cable.
Para cables convencionales con enfriamiento natural, puede
afirmarse que, aproximadamente, para duplicar la ampacidad del
cable debe cuadruplicarse su sección transversal.
Por ejemplo, para incrementar de 300 MVA a 600 MVA en un circuito de
cables a 230 kV, se requiere cambiar la sección del conductor de 800
mm2 a 3.200 mm2 en cobre o 4.800 mm2 en aluminio.
Puesto que con la tecnología actual es prácticamente imposible fabricar
un cable con sección transversal mayor que 3.000 mm2, debe recurrirse
a sistemas de enfriamiento forzado, o varios cables por fase.

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 Refrigeracion forzada de sistemas de cables
a) Refrigeración natural
b) Refrigeración forzada con
cañerías de agua externas
a los cables
c) Refrigeración forzada con
agua en cañerías
conteniendo a los cables
Efecto de la refrigeración forzada sobre la corriente
admisible de régimen permanente, Cu 2.500 mm2

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Resistencia del conductor del cable
IEC 60228
Edition 3.0 2004-11
INTERNATIONAL
STANDARD
NORME
INTERNATIONALE
Conductors of insulated cables
Ames des câbles isolés

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-3
    322
104,25
4
kcmilAreammArea 



Conductor Size
(AWG/kcmil)
Stranding
(No. of Wires)
Diameter Over (inch)
Concentric
Neutral Wires
(No. x AWG)
Nominal
Jacket
Thickness
(inch)
Jacket
Diameter
(inch)
Cable
Weight
(lb/kft)Conductor Insulation
Insulation
Shield
2 7 0.283 0.785 0.865 10 x 14 0.050 1.11 555
1 19 0.322 0.820 0.900 13 x 14 0.050 1.14 625
1/0 19 0.362 0.860 0.940 16 x 14 0.050 1.18 700
2/0 19 0.405 0.905 0.985 13 x 12 0.050 1.26 835
3/0 19 0.456 0.955 1.035 16 x 12 0.050 1.31 950
4/0 19 0.512 1.010 1.090 13 x 10 0.050 1.41 1150
250 37 0.558 1.070 1.170 16 x 10 0.050 1.49 1340
300 37 0.611 1.120 1.220 18 x 10 0.050 1.54 1480
350 37 0.661 1.170 1.270 16 x 9 0.050 1.61 1650
American
Wire
Gauge
(AWG)

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Aislación y recubrimiento:
 Requerimientos que determinan el material:
• Espesor.
• Eléctricos (Capacitancia, resistencia, rigidez dieléctrica, etc).
• Físicos ( resistencia al corte y la abrasión, deformación).
• Resistencia a agentes químicos.
• Condiciones ambientales de instalación.
• Vida útil.
• Confiabilidad.
• Flexibilidad.
• Resistencia a la radiación.
• Generación de humos.
• Resistencia a la llama.

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 Materiales:
 Termoestables:
• Butilo.
• Estireno butadieno (SBR).
• Etileno-propileno (EPR, EPM, EPDM).
• Polietileno reticulado (XLP, XLPE, X-link PE).
• Polietileno clorado (CPE).
• Caucho siliconado.
• Caucho natural.
• Caucho poliisopreno.
• Poliuretano.
• Nitrilo-butadieno.
• Látex.
• Polietileno chlorosulfonated® (CP, CSM, CSPE).
• Policloropreno (Neopreno) (CR).

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 Materiales:
 Termoplásticos:
• Cloruro de polivinilo (PVC).
• Polietileno (PE).
• Polietileno cristalino/copolimero de estireno (Polietileno) (PP).
• Polietileno clorado.
• Polisulfona.
• Elastómero termoplástico.
• Poliuretano (PU).
• Poliimida (Kapton®).
• Poliamida (Nylon).
• Copolimero.
 Cintas de papel laminado.
 Cintas de tela barnizada.
 Granos sólidos de materiales dieléctricos (Oxido de magnesio).

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 Rangos de temperaturas nominales

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 Propósitos:
 Armadura:
• Protección mecánica.
• Rigidez mecánica.
• Impermeabilización.
 Pantallas:
• Protección contra sobrevoltaje.
• Reducción efecto corona.
• Camino de retorno ante fallas.
 Tipos y Materiales:
 Cables y cables trenzados. (Pantallas de Cobre. Armaduras de aluminio, bronce
o acero).
 Cintas metálicas helicoidales (Pantallas de cobre o aluminio, Armaduras de
bronce).
 Cintas laminadas metal-poliéster (Pantallas de aluminio o cobre).
 Cintas longitudinales corrugadas (Pantallas de cobre o aluminio. Armaduras de
cobre-acero inoxidable-cobre o acero soldado).
 Tiras longitudinales espaciadas( Pantallas de cobre. Armaduras de acero).

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 Esquemas de Instalación

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Cables en ductos

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Cables en banco de ductos

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Cables en cañerías

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En los sistemas trifásicos, las pantallas o neutros concéntricos de los
cables de potencia son fijados y puestos a tierra en al menos uno de los
extremos del circuito. Si la pantalla tiene forma de tubo metálico, circularán
por ella corrientes parásitas, produciendo calor adicional el que deberá
disiparse por la superficie del cable. Si las pantallas son fijadas en dos o
más puntos del circuito, circularán corrientes produciendo pérdidas
adicionales y reduciendo la ampacidad del cable. Esta corriente se
incrementa cuando aumenta la separación entre fases. Las pérdidas por
estas corrientes circulantes son usualmente mucho mayores que las
pérdidas inducidas por las corrientes parásitas.
Por lo tanto, desde el punto de vista de la ampacidad, se prefieren las
instalaciones de cables trifásicos fijas en un solo punto o aquellas que
empleen un sistema de fijación especial (fijación transversal).
 Uniones y puesta a tierra de pantallas metálicas

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En las instalaciones fijas en un solo punto, las pantallas del cable se fijan y
se ponen a tierra en un extremo del circuito, con el otro extremo puesto a
tierra a través de un dispositivo limitador de tensión. El circuito de cables
debe ser diseñado para limitar el aumento de tensión en las pantallas a
niveles localmente permitidos y estos valores determinan la longitud del
cable.
En los sistemas con fijación transversal el trayecto del cable es dividido en
grupos, cada uno consistente de tres secciones o tramos
aproximadamente de igual longitud. Las pantallas del cable se fijan
trasnversalmente de forma tal que las tensiones inducidas se cancelan y
son fijadas juntas al final de cada grupo de tres secciones. Adicionalmente,
los cables se trasponen para mejorar la cancelación de las tensiones
inducidas sobre las pantallas. Sin embargo, este es un procedimiento
costoso y es por lo tanto aplicado principalmente en aquellas instalaciones
en las que la sección del conductor es superior a los 500 mm2.

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ETAP
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ETAP
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Dependiendo del tipo de cable e instalación, existen fuentes de calor
dentro del mismo, las que se denominan pérdidas de calor.
pérdidas dependientes de la corriente
• pérdidas en el conductor
• pérdidas en vainas y pantallas metálicas
corrientes parásitas
corrientes circulantes
• pérdidas en armaduras y conductos
pérdidas dependientes de la tensión
• pérdidas en el dieléctrico
• pérdidas por corriente de carga
 Fuentes de calor en cables de potencia

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Cables en ETAP®12
Representación de Cables en ETAP
ETAP permite colocar cables en un diagrama
unifilar para conectar dos elementos (dos
barras, un motor a una barra, o una carga
estática a una barra) y poner el mismo cable
en una canalización de cables. Por otra
parte, se pueden representar cables en el
diagrama unifilar sin que ellos estén en una
canalización de cables y recíprocamente,
agregar cables en una canalización sin que
estén representados en el diagrama unifilar.
Para ello, ETAP clasifica los cables en los
cuatro tipos siguientes:

ETAP
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Cables en ETAP®12
 Cable unifilar:
Aparece como un elemento gráfico en el diagrama unifilar conectando
barras, pero NO ha sido previamente ruteado en ninguna canalización
de cables.
 Cable de equipo:
Aparece vinculado a equipos (cargas estáticas o motores), NO como
un elemento gráfico del diagrama unifilar.
 Cable de canalización subterránea:
Es usado SOLAMENTE dentro de canalizaciones subterráneas.
 Cable compuesto:
Aparece tanto en canalizaciones subterráneas como en el diagrama
unifilar, ya sea como un cable unifilar o de equipo.

ETAP
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Cables en ETAP®12
 Cable unifilar

ETAP
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Cables en ETAP®12
 Cable de equipo

ETAP
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Cables en ETAP®12
 Cable de canalización subterránea

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Transferencia de calor
 Modos de transferencia de calor en sistemas de cables
Las dos cuestiones principales en los cálculos de ampacidad son la
determinación de la temperatura del conductor para una demanda
especificada, o recíprocamente, la determinación de la corriente de carga
admisible para una temperatura del conductor especificada.
Para ello, debe calcularse el calor generado dentro del cable y su tasa de
disipación para un material conductor dado y una demanda especificada.
La habilidad del medio circundante al cable para disipar calor juega un papel
preponderante y varia dependiendo de factores como la composición del
suelo, su porcentaje de humedad, la temperatura ambiente y las condiciones
de viento.
El calor se transfiere a través del cable y del medio circundante de los modos
siguientes:

ETAP
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53
 Conducción (Ley de Fourier)
dx
dθ
ρ
1
q 
q: flujo de calor [W/m2] en la dirección x
θ (x): distribución de temperatura
ρ: resistividad térmica [K m/W]

ETAP
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 Convección (Ley de Newton)
• forzada (25 [W/m2 K] < h < 250 [W/m2 K] )
• natural (2 [W/m2 K] < h < 25 [W/m2 K] )
 ambshq 
q: flujo de calor [W/m2]
θs : temperatura de superficie
θamb: temperatura ambiente
h: coeficiente de transferencia convectivo [W/m2 K]

ETAP
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 Radiación (Ley de Stefan-Boltzmann)
 4
amb
4
sBq 
q: flujo de calor [W/m2]
θs : temperatura absoluta de superficie [K]
θamb: temperatura ambiente [K]
σB: constante de Stefan-Boltzmann 5,67 10-8 [W/m2 K4]
ε: emisividad (0 ≤ ε ≤ 1)

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Ecuación de balance energético
 Ley de conservación de la energía
stoutintent WWWW 
Went: tasa de transferencia de calor entrante [W/m]
Wint: tasa de transferencia de calor interna [W/m]
∆Wst: tasa de transferencia de energía almacenada dentro del cable
[W/m]
Wout: tasa de transferencia de energía disipada por conducción,
convección y radiación [W/m]

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57
Ecuaciones de transferencia de calor
 Cable subterráneo directamente enterrado
Consideremos un cable subterráneo en un medio homogéneo. El calor es disipado
por conducción a través de los componentes del cable y del suelo. Puesto que la
longitud del cable es mucho mayor que su diámetro, los efectos de los extremos se
desprecian y el problema se plantea en dos dimensiones

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 sB
t
cW
y
1
yx
1
x
int






















Esta ecuación se resuelve fijando condiciones de frontera, que pueden expresarse
de dos formas:
c: capacidad térmica
volumétrica del material
  0hq
n
1
amb 



θB(s) temperatura en la frontera función de la longitud s
El calor es transferido a través de la frontera por
convección y/o por un flujo q

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t
cW
1
r
1
r
r
rr
1
int2 





















Ocasionalmente, puede resultar ventajoso para aprovechar condiciones de simetría
expresar la ecuación de transferencia de calor en coordenadas cilíndricas. En este
caso obtenemos:

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Permanente
60
  aisl
aisl
aisl
c
aislc
r
r
ln
r
r
ln
r 

















Ejemplo 1: Calculemos la distribución de temperatura dentro de la aislación de un
cable con núcleo único. Supongamos que la temperatura del conductor es θc, y que
la temperatura de la superficie externa de la aislación es θaisl. El cable tiene un radio
rc del conductor y un radio raisl de la aislación. Supondremos condiciones de
régimen permanente y resistividad térmica constante.
0
r
r
rr
1











ETAP
Permanente
61
 Cable en aire
radconvsolt WWWW 
Wt: calor generado en el interior del cable [W/m]
Wsol: calor ganado por radiación solar [W/m]
Wconv: pérdida de calor por convección [W/m]
Wrad: pérdida de calor por radiación [W/m]

ETAP
Permanente
62
 Cable en aire
    0DhDHDW 4
amb
4
sBeambeeet 
θe : temperatura de la superficie del cable [K]
σ: coeficiente de absorción solar
H: intensidad de radiación solar [W/m2]
θamb: temperatura ambiente [K]
σB: constante de Stefan-Boltzmann 5,67 10-8 [W/m2 K4]
ε: emisividad de la cubierta exterior del cable
De: diámetro exterior del cable [m]

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Permanente
63
Las ecuaciones de transferencia de calor pueden ser resueltas analíticamente (con
algunas hipótesis simplificativas) o bien numéricamente.
En la práctica, los métodos analíticos han hallado una aplicación más amplia
que los métodos numéricos.
Hay varias razones para esta situación. Probablemente la mas importante sea de
naturaleza histórica: los ingenieros han estado usando soluciones analíticas
basadas en el formalismo de Neher-McGrath (1957) o en la norma IEC 60287
(1982) durante largo tiempo.
Los enfoques numéricos, por otra parte, requieren de cálculos empleando matrices
de grandes dimensiones, y solo se ha tornado posible con el advenimiento de
computadoras digitales.

ETAP
Permanente
64
Modelado térmico utilizando análogos
de redes eléctricas
Las soluciones analíticas de las ecuaciones de transferencia de calor están
disponibles solo para casos simples de sistemas de cables. Al intentar
resolver el problema de la disipación del calor en cables, los investigadores
observaron que existe una analogía entre el flujo de calor debido a una
diferencia de temperatura entre el conductor y su medio circundante, y el
flujo de una corriente eléctrica causado por una diferencia de potencial
(Pashkis, V. and Baker, H. ―A Method for determining the unsteady-state
heat transfer by means of an electrical analogy‖, ASME Trans., Vol 104, pp.
105-110, 1942 ).
El método consiste en dividir el objeto físico en un cierto numero de
volúmenes, cada uno de los cuales es representado por una resistencia
térmica y una capacitancia térmica.
La resistencia térmica se define como la habilidad del material para impedir
el flujo de calor.

ETAP
Permanente
65
El circuito térmico se modela por su análogo eléctrico, en el cual las
tensiones son equivalentes a las temperaturas y las corrientes a los flujos
de calor.
En el circuito térmico las cargas corresponden al calor; así, la Ley de Ohm
es análoga a la Ley de Fourier.
Puesto que la representación de parámetros concentrados de una red
térmica ofrece un método simple para analizar sistemas de cables
complejos, ha sido ampliamente utilizada para tal fin.
Como una representación de esta naturaleza es bastante precisa para la
mayoría de las aplicaciones practicas, se adoptó como un estándar
internacional.

ETAP
Permanente
66
  ext
ext
ext
int
extint
r
r
ln
r
r
ln
r 

















 
r
1
r
r
ln
dr
rd
ext
int
extint











Consideremos una capa cilíndrica de material no conductor con una resistividad
térmica constante ρth de radios internos y externos rint y rext, respectivamente. (La
aislación del cable es un buen ejemplo de esta capa). La distribución de
temperatura dentro de esta capa esta dada por (ver ejemplo 1):
 Resistencia térmica
Ley de Fourier
 extint
int
ext
th
ext
int
extint
thth
r
r
r
ln
2
r
1
r
r
ln
r2
r
S
W 




























ETAP
Permanente
67











int
extth
cond
r
r
ln
2
T
S
L
T thcond 
Definimos la resistencia térmica Tcond para conducción de una capa cilíndrica por
unidad de longitud:
La resistencia térmica T para conducción de una placa rectangular por unidad de
longitud es:
T
W

El equivalente térmico de la ley de Ohm es:

ETAP
Permanente
68
 ambssconv AhW 
Definimos la resistencia térmica Tconv por convección de una superficie por unidad de
longitud. De la Ley de Newton
La resistencia térmica T por convección por unidad de longitud es:
 
sconv
ambs
conv
Ah
1
W
T 


donde AS [m2] es el área de convección por unidad de longitud.

ETAP
Permanente
69
Definimos la resistencia térmica Trad por radiación de una superficie por unidad de
longitud.
 
srrrad
gass
rad
Ah
1
W
T 


θs : temperatura absoluta de superficie del cable [K]
θgas: temperatura del aire circundante al cable [K]
hr: coeficiente de transferencia por radiación
Asr : área de radiación por unidad de longitud [m2].

ETAP
Permanente
70
 
   
 gasssrr
2
gas
2
sgassgasssrB
4
gas
4
ssrBrad
Ah
A
AW



De la Ley de Stefan-Boltzmann, resulta:
  2
gas
2
sgassBrh 
En consecuencia:

ETAP
Permanente
71
 
t
ambs
W
T


 ambstet hDW 
tehD
1
T


Ejemplo 2: Calculemos la resistencia térmica externa para un cable en aire. El
diámetro externo del cable es De.
donde la perdida total de calor por unidad de longitud es
rconvt hhh 
En consecuencia:
El coeficiente de transferencia de calor total es
☺

ETAP
Permanente
72
Ejemplo 3: Calculemos el circuito
equivalente térmico para el cilindro
compuesto que se muestra en la figura:
La tasa de transferencia de calor puede
determinarse considerando separadamente
cada elemento en la red:
       
hr2
1
r
r
ln
2
r
r
ln
2
r
r
ln
2
W
4
amb4
43
3
4
C
32
2
3
B
21
1
2
A 
































ETAP
Permanente
73
 
tot
amb1
T
W


En términos de la diferencia de temperatura total θ1-θamb y de la resistencia térmica
total Ttot, la tasa de transferencia de calor puede expresarse como:
Debido a que las resistencias de conducción y convención están en serie, las
mismas se suman:
☺
hr2
1
r
r
ln
2r
r
ln
2r
r
ln
2
T
43
4C
2
3B
1
2A
tot





























ETAP
Permanente
74
Cálculo del régimen permanente
La corriente admisible nominal o de régimen permanente de los cables de potencia
dependerá de varios factores. Los más importantes son:
 numero y tipo de cables
 construcción y materiales de los cables
 medio en que los cables se instalan
 localización de los cables entre si y con respecto a la superficie
 tipo de uniones y puesta a tierra
 para algunos tipos de cables la tensión de operación

ETAP
Permanente
75
 Cables enterrados (sin migración de humedad del suelo)
Los cálculos de capacidad nominal en régimen permanente involucran resolver las
ecuaciones resultantes de los análogos eléctricos sin considerar las capacitancias
térmicas, como se muestra en la figura:
cable monofásico
cable trifásico

ETAP
Permanente
76
donde:
T1: resistencia térmica por unidad de longitud del cable entre conductor y
recubrimiento.
T2: resistencia térmica por unidad de longitud del cable entre
recubrimiento y armadura.
T3: resistencia térmica por unidad de longitud del cable del recubrimiento
externo.
T4: resistencia térmica por unidad de longitud del cable entre
recubrimiento externo y el medio circundante.

ETAP
Permanente
77
La incógnita es la corriente I del conductor o bien su temperatura de operación θc.
En el primer caso, la temperatura máxima de operación está fijada; en el segundo
caso es la corriente que transporta el conductor lo que está especificado.
Puesto que las pérdidas ocurren en distintas posiciones del sistema de cables
(para este modelo de parámetros concentrados) el flujo de calor en el circuito
térmico se incrementa por pasos:
 21cascTotal 1WWWWW 
Wc: tasa de transferencia de calor del cable [W/m]
Ws: tasa de transferencia de calor del recubrimiento W/m]
Wa: tasa de transferencia de calor de la armadura [W/m]
λ1: factor de perdidas del recubrimiento
λ2: factor de perdidas de armadura

ETAP
Permanente
78
La diferencia de temperatura del conductor con respecto a la temperatura
ambiente será:
       43d21c2d1c1dc TTnW1WnTW1WTW
2
1
W 






Wd: tasa de transferencia de calor del dieléctrico
T1: resistencia térmica entre un conductor y recubrimiento interno
T2: resistencia térmica entre recubrimiento y armadura
T3: resistencia térmica del recubrimiento externo
T4: resistencia térmica entre superficie externa y el medio ambiente
n: número de conductores en el cable.

ETAP
Permanente
79
RIW 2
c 
Puesto que:
R: resistencia por unidad de longitud del conductor a la máxima
temperatura de operación
  
    
2
1
4321211
4321d
TT1nRT1RnTR
TTTnT5,0W
I 








La corriente admisible en el conductor será:

ETAP
Permanente
80
   
32
1
d
32121
1
TT
n2
T
T
T1T1
n
T
T


En la ecuación de la diferencia de temperatura del conductor con respecto a la
temperatura ambiente a menudo se puede distinguir entre la transferencia de calor
interna y externa en el cable. Denotando:
 dd4tc
TWTWTWn 
La ecuación de la diferencia de temperatura del conductor con respecto a la
temperatura ambiente a menudo se reescribe:

ETAP
Permanente
81
Donde Wt representa las perdidas totales en el cable:
T es una resistencia térmica interna equivalente, la cual depende de la
construcción del cable.
La resistencia externa dependerá de las propiedades del medio circundante así
como del diámetro externo del cable.
  d21cdIt
W1WWWW 

ETAP
Permanente
82
 Cables enterrados (con migración de humedad del suelo)
La ampacidad de los cables de potencia enterrados depende en gran
medida de la conductividad térmica del suelo circundante.
De hecho, los resultados informados (El-Kady, M. ―Calculation of the Sensitivity
of Power Cable Ampacity to Variations of Desing and Environmental
Parameters‖, IEEE Trans. Power App. Syst., Vol. PAS-103, N° 8, Aug. 1985,
pp.2043-2050) indican que la sensibilidad de la temperatura del cable a la
variación de la conductividad térmica del medio circundante es, al menos, un
orden de magnitud mayor que la sensibilidad a la variación de otros
parámetros tales como temperatura ambiente, coeficiente de convección, o la
corriente circulante por el cable.
La conductividad térmica del suelo no es constante sino que es altamente
dependiente del contenido de humedad (Mochlinsky, K. ―Assessment of the
influence of soil thermal resistivity on the ratings of distribution cables‖, Proc.
IEE, Vol. 123, N° 1, 1976, pp. 60-72).

ETAP
Permanente
83
Bajo condiciones desfavorables, el flujo de calor entre el cable y el suelo
circundante puede causar una significativa migración de la humedad en el
suelo alrededor del cable. Una zona seca puede desarrollarse alrededor del
cable, en la cual la conductividad térmica se reduce, con el consiguiente
aumento de temperatura en el sistema de cables, lo que puede originar daños
en la aislación.
Este problema ha sido estudiado y los modelos resultantes son muy
complicados (Arman, A. et. al. ―Influence of Soil Moisture Migration on Power
rating of Cables in H. V. Transmision‖, Proc. IEE, Vol 111, 1964, pp. 1000-
1016), (Black, W. et. al. ―Thermal Stability of Soils Adjacent to Underground
Transmission Power Cables‖, Final Report EPRI, Project 7883, Sept. 1982),
(Groeneveld, G. et. al. ―Improved Method to Calculate the Critical Conditions
for Drying out Sandy Soils around Power Cables‖, Proc. IEE, Vol 131, part C,
N° 2, Mar. 1984, pp. 42-53 ).

ETAP
Permanente
84
Sin embargo, la práctica de la ingeniería adoptada por la mayoría de las
empresas de distribución de energía eléctrica consiste en dimensionar los
sistemas de cables sobre la base (entre otras) de la conductividad térmica del
medio circundante a los mismos. Con el objeto de proveer de alguna
indicación sobre el efecto de la migración de humedad en el suelo sobre los
valores nominales del sistema de cables, CIGRE propuso en 1986 un modelo
simple de dos capas o zonas para el suelo circundante al sistema de cables
subterráneos (―Current Ratings of Cables Buried in Partially Dried Out Soil.
Part 1: Simplified Method that can be used with minimal Soil Information and
100% Load Factor‖, Electra, N° 104, 1986, pp. 11-22).
Subsecuentemente, este modelo fue adoptado por IEC en 1993 como un
estándar internacional. (―Amendment 3 to IEC Publication 287: Calculation of
the Continuous Current Rating of Cables 100% Load Factor‖)

ETAP
Permanente
85
El concepto sobre el cual se basa el método propuesto por CIGRE puede
resumirse en lo siguiente: se supone que el suelo húmedo tiene una
resistividad térmica uniforme pero si el calor disipado por el cable y su
temperatura superficial se incrementan por encima de ciertos limites críticos el
suelo se secará, produciendo una zona la que se supone con una resistividad
térmica uniforme mayor que la original. Las condiciones críticas dependen del
tipo de suelo, su contenido de humedad original y su temperatura.
Dadas las condiciones apropiadas, se supone que, cuando la superficie del
cable excede un incremento de temperatura crítico con respecto a la
temperatura ambiente, se forma una zona seca en torno al cable, delimitada
por una isoterma relacionada a un incremento particular de temperatura .

ETAP
Permanente
86
Zona seca dentro de una isoterma en torno al cable

ETAP
Permanente
87
ambxx 
    
    
2
1
4321211
x4321d
TT1nRT1RnTR
1TTTnT5,0W
I 








1
2



Donde:
incremento de temperatura crítico de la frontera
entre la zona seca y la húmeda con respecto a
la temperatura ambiente
La determinación de ha sido investigada (Donnazi, F.;
Occhini, E. and Seppi, A. ―Soil thermal and hydrological
characteristics in designing underground cables‖ Proc. IEE, vol.
126, no. 6. 1979). En la práctica, se emplean valores entre 35°C
a 50°C para la temperatura de la isoterma critica.
x

ETAP
Permanente
88
  
    
2
1
*
4321211
*
4e
*
4321d
TT1nRT1RnTR
THDTTTnT5,0W
I











 Cables en aire
donde
Cuando los cables se instalan al aire libre, la resistencia térmica externa debe
considerar las pérdidas de calor por radiación y convección. Para cables expuestos
a radiación solar, existe un incremento adicional de temperatura causado por el
calor absorbido por el cubrimiento externo del cable.
σ: coeficiente de absorción de radiación solar
H: intensidad de radiación solar (~ 1000 W/m2)
T4
*: resistencia térmica externa ajustada para tener en cuenta la
radiación solar

ETAP
Permanente
89
Evaluación de Parámetros
Resistencia térmica
Consideraremos el cálculo de la resistencia térmica asociada con los componentes
y medio ambiente del sistema de cables de potencia. Sin pérdida de precisión,
consideraremos que estos parámetros son constantes e independientes de la
temperatura de los componentes. Cuando existan capas de vainas o pantallas,
también supondremos para los cálculos térmicos que las vainas metálicas son parte
del conductor, mientras que las capas semiconductoras son parte de la aislación.
Recordemos que la ampacidad de un cable de potencia es función de las
resistencias térmicas siguientes:
 T1= resistencia térmica entre conductor y pantalla [K/W por metro].
 T2= resistencia térmica entre pantalla y armadura [K/W por metro].
 T3= resistencia térmica del recubrimiento externo [K/W por metro].
 T4= resistencia térmica del medio ambiente externo al cable [K/W por metro].

ETAP
Permanente
90
La resistencia térmica de la aislación y del medio ambiente externo de un cable
tienen gran influencia en su ampacidad.
De hecho, para la mayoría de los cables enterrados, la resistencia térmica externa
da cuenta de más del 70% del aumento de temperatura del conductor.
Para cables en aire, la resistencia térmica externa tiene un efecto mucho menor .
IEC 60287-2-1
Edition 1.2 2006-05
Electric cables – Calculation of the current rating –
Part 2-1: Thermal resistance – Calculation of
thermal resistance
Las unidades de la resistencia térmica
son K/W para un longitud especificada.
Puesto que la unidad de longitud
considerada es un metro, las unidades
serán K/W por metro, lo cual a menudo
se expresa como K.m/W.

ETAP
Permanente
91

ETAP
Permanente
92
Resistencia térmica entre un conductor y pantalla T1
Cables unipolares










c
1
1
d
t2
1ln
2
T
donde:
ρ = resistividad térmica de la aislación [K.m/W]
dc = diámetro del conductor [mm]
t1 = espesor de la aislación entre conductor y pantalla [mm]
T1 = resistencia térmica de la aislación [K.m/W]
Factor geométrico

ETAP
Permanente
93
Cables tripolares
G
2
T1



El cálculo de T1 para un cable tripolar es más complicado que para el caso
unipolar. Aunque no se pueden determinar formulas exactas a partir de un enfoque
analítico, es factible ajustar vía regresión los datos experimentales. El método
general de calculo emplea el factor geométrico G:
Distintos métodos para calcular tales factores han sido desarrollados. El primer
artículo sobre el tema data de 1905 (Mie, G. ―Uber die Warmeleitung in Einem
Verseilten Kable‖, Electrotechnische Zeitschrift, pp. 137).

ETAP
Permanente
94
Cables tripolares
El trabajo posterior para determinar T1 para distintos tipos de cables tripolares fue
hecho por:
• Russel, A. ―Theory of Alternating Currents‖, Cambridge University Press, 1914.
•Simmons, D. ―Cable Geometry and the Calculation of current-carrying capacity ‖, Trans.
AIEE, Vol. 42, 1923, pp. 600-615.
•Atkinson, R. ―Dielectric Field in an Electric Power Cable‖, Trans. AIEE, Vol. 43, 1924, pp.
966-988.
•Simmons, D. ―Calculation of the Electrical Problems of Underground Cables ‖, Elec. J., Vol.
29, N° 9, 1932, pp. 395-426.
Los valores del factor geométrico publicados en IEC 287 estaban basados en
investigaciones empíricas desarrolladas por ERA Technology Ltd. (Electrical
Research Association), en Inglaterra durante 1930.

ETAP
Permanente
95
Cables tripolares
La dificultad para resolver analíticamente el problema de cables tripolares fue
superada vía métodos numéricos: ecuaciones integrales, simulación por filamentos
de fuentes de calor, elementos finitos.
• King, S. and Halfter, N. ―Underground Power Cables‖, Longman, 1982.
• Van Geertruyden, A. ―Internal Thermal Resistance of Extruded Cables‖, Laborelec Report N°
SMI-RD-94-002/AVG., 1994.
• Anders, G., Napieralsky, A., and Zamojski, W. ―Internal Thermal Resistance of 3-cores
Cables with Fillers‖, Elec. J., Vol., N° , 1997, pp. Xxx-xxx.
A continuación revisaremos los valores del factor geométrico para distintas
disposiciones de cables tripolares estandarizados en la IEC 287—2-1.

ETAP
Permanente
96
Cables tripolares con pantalla y conductores circulares

ETAP
Permanente
97
Cables tripolares con pantalla y conductores circulares y ovales

ETAP
Permanente
98
Cables tripolares con pantalla y conductores circulares y ovales
King y Halfter (1982) desarrollaron las
siguientes formulas empiricas
resolviendo ecuaciones integrales:
Los cables con conductores ovales
son tratados como cables con un
conductor circulares equivalentes con
un diametro:
 mmddd cmcMc

donde:
dcM= diametro mayor del conductor oval
dcm= diametro menor del conductor oval

ETAP
Permanente
99
Cables tripolares con conductores circulares y aislación extruída
Los estándares modernos están basados en el trabajo de Simmon (1932), y en:
•Whitehead, S. and Hutchings, E. ―Current Ratings of Cables for Transmission and
Distribution‖, J. IEE, Vol. 38, 1938, pp. 517-557.
Mas de setenta años han transcurrido desde que fueron desarrollados los métodos
de cálculo de T1 usados en los estándares modernos. Desde entonces, han
aparecido muchos nuevos materiales aislantes utilizados en la fabricación de cables
tripolares, en particular polietilenos (XLPE). Todos los cables trifásicos requieren de
material de relleno para rellenar el espacio entre los conductores aislados y la
pantalla o el recubrimiento externo. La resistividad térmica del relleno puede tener
una influencia significativa sobre el valor total de T1.

ETAP
Permanente
100
Cables tripolares con conductores circulares y aislación extruída
Del trabajo de Anders et. al. (1997):
  









c
1
if
ifiller
1
d
t67,0
exp031,0G
2
T
donde:
ρf= resistividad térmica del relleno
ρi= resistividad térmica de la aislación

ETAP
Permanente
101
Cables con sección transversal del conductor conformada
El uso de conductores conformados reduce la
resistencia térmica del cable; el efecto preciso
depende de la configuración del conductor.
Los primeros resultados de pruebas
experimentales fueron publicados por
Atkinson (1924).
Pruebas posteriores fueron desarrolladas por
ERA. Los resultados son usados en los
estándares actuales.

ETAP
Permanente
102
Cables bipolares con vaina y sección transversal del conductor conformada
El factor geométrico está dado por:
  













1
a
F
x
r2
d
ln
ttd2
t4,4
2G
1
  
donde:
da= diámetro externo de la vaina aislante [mm]
r1= radio de la circunferencia que circunscribe a los conductores [mm]
dx= diámetro de un conductor circular equivalente al conformado [mm]
t = espesor de la aislación entre conductores [mm]

ETAP
Permanente
103
Cables tripolares con vaina y sección transversal del conductor conformada
El factor geométrico está dado por:
  













1
a
F
x
r2
d
ln
ttd2
t9
3G
1
  
King y Halfter (1982) desarrollaron las
ecuaciones para el factor geométrico
usando el método de simulación por
filamentos de fuentes de calor :

ETAP
Permanente
104
Cables tripolares con pantallas metálicas alrededor de cada conductor circular u
oval
G
2
KT1



Las pantallas reducen la resistencia térmica del cable
suministrando trayectorias adicionales para la
transferencia de calor a lo largo del material de las
pantallas, de elevada conductividad térmica, en
paralelo con la trayectoria a través del dieléctrico. La
resistencia térmica de la aislación se obtiene en dos
pasos. Primero, los cables de este tipo se consideran
como cables con vaina con t1/t=0,5. Luego el resultado
se multiplica por un ―factor de apantallamiento‖ K
Entonces:

ETAP
Permanente
105
Cables tripolares con pantallas metálicas alrededor de cada conductor circular u
oval
El ―factor de apantallamiento‖ K fue obtenido experimentalmente por Whitehead &
Hutchings (1938).
Los cables con conductores ovales
son tratados como cables con un
conductor circulares equivalentes con
un diametro:
 mmddd cmcMc

donde:
dcM= diametro mayor del conductor oval
dcm= diametro menor del conductor oval

ETAP
Permanente
106
Cables tripolares con pantallas metálicas alrededor de cada conductor conformado
Para estos cables, T1 se calcula de la misma
forma que para cables tripolares con vaina y
sección transversal del conductor conformada,
pero da se toma como el diámetro de una
circunferencia que circunscribe el conductor
conformado. El resultado se multiplica por el
―factor de apantallamiento‖ K.

ETAP
Permanente
107
Cables tripolares con pantallas metálicas alrededor de cada conductor conformado

ETAP
Permanente
108
Cables tripolares con pantallas de papel metalizado alrededor de cada conductor
circular y conductos con aceite entre conductores








ic
i
1
t2d
t2
358,0T
La resistencia térmica entre un conductor y pantalla ha sido obtenida
experimentalmente:
donde ti [mm] es el espesor de la aislación de un conductor. Se supone que el
espacio ocupado por el aceite y sus conductos metálicos poseen una muy alta
conductancia térmica comparada con la aislación.

ETAP
Permanente
109
Cables tripolares con pantallas metálicas alrededor de cada conductor circular y
conductos con aceite entre conductores








ic
i
1
t2d
t2
923,035,0T
La resistencia térmica entre un conductor y pantalla
está dada por:
donde ti [mm] es el espesor de la aislación de
un conductor.

ETAP
Permanente
110
Resistencia térmica entre un pantalla y armadura T2
Cables monopolares, bipolares y tripolares con una pantalla metálica común










S
2
2
D
t2
1ln
2
T
La resistencia térmica entre pantalla y armadura está dada por:
donde:
ρ = resistividad térmica del lecho de la armadura [K.m/W]
DS= diámetro externo de la pantalla [mm]
t2 = espesor del lecho de la armadura [mm]

ETAP
Permanente
111
Resistencia térmica entre un pantalla y armadura T2
Cables armados con cada conductor en una vaina de plomo separada (tipo SL)
G
6
T2


La resistencia térmica está dada por:

ETAP
Permanente
112
Resistencia térmica del recubrimiento externo T3









 '
a
3
3
D
t2
1ln
2
T
El recubrimiento externo generalmente tiene la forma de capas concéntricas, y la
resistencia térmica está dada por:
donde:
ρ = resistividad térmica del recubrimiento externo [K.m/W]
Da
’ = diámetro externo de la armadura [mm]; para cables sin armadura es el del
componente inmediatamente debajo del recubrimiento (vaina, pantalla)
t3 = espesor del recubrimiento externo [mm]

ETAP
Permanente
113
Resistencias térmicas de cables en cañerias










C
1
1
d
t2
1ln
2
T
Para cables tripolares se aplica el
procedimiento siguiente:
 La resistencia térmica T1 de la aislación
de cada conductor entre conductor y
pantalla se calcula por:
 La resistencia térmica T2 consta de dos
partes:
a) La resistencia térmica de cualquier
recubrimiento externo sobre la
pantalla o vaina de cada conductor

ETAP
Permanente
114










S
2
2
D
t2
1ln
2
T
Resistencias térmicas de cables en cañerias
El valor de la resistencia térmica T2 por
conductor se calcula por:
b) La resistencia térmica del gas o liquido
entre la superficie de los conductores y
la cañería.
 La resistencia térmica T3 de cualquier
cubrimiento externo sobre la cañería se
calcula por:









 '
a
3
3
D
t2
1ln
2
T
La resistencia térmica de la cañería
metálica en si misma es despreciable.

ETAP
Permanente
115
Resistencia térmica del medio ambiente externo
Consideremos un cable unipolar directamente enterrado en un suelo uniforme. Esto
significa que suponemos que la resistividad térmica del suelo es constante (no
depende de la temperatura). Bajo esta suposición, es aplicable el principio de
superposición, esto es, los cambios de temperatura en cualquier punto del campo
de calor se obtienen a partir de la suma de los cambios de temperatura producidos
en dicho punto por el resto del campo de calor. Si el diámetro del cable es pequeño
comparado con la profundidad del enterramiento, es razonable representar al cable
como un filamento de una fuente de calor en un medio infinito:
Cable unipolar enterrado
t
cW
1
r
1
r
r
rr
1
int2 






















ETAP
Permanente
116
0W
r2dr
d
t
S





En condiciones de régimen permanente:
El cambio de temperatura en cualquier punto M a una distancia d del centro del
cable se obtiene integrando la ecuación anterior:
dlnW
2
drW
r2
t
S
d
t
S








ETAP
Permanente
117
Para evitar la hipótesis de un medio
uniforme infinito, la reemplazamos
por la hipótesis de Kennelly, la que
supone que la superficie de la tierra
es una isoterma. Bajo esta hipótesis,
la variación de temperatura en
cualquier punto M del suelo es, en
todo instante, la suma de la variación
de temperatura causada por la fuente
de calor Wt y por su imagen ficticia
ubicada simétricamente con respecto
a la superficie de la tierra - Wt

ETAP
Permanente
118
d
d
lnW
2
dlnW
2
dlnW
2
'
t
S'
t
S
t
S









En consecuencia:
e
t
S
D
L4
lnW
2


Si el punto M se encuentra en la superficie del cable:
donde:
ρs= resistividad térmica del suelo [K.m/W]
De= diámetro externo del cable [mm]
L = profundidad de enterramiento del centro del cable [mm]
Wt = pérdidas totales dentro del cable [W/m]

ETAP
Permanente
119

















 1
D
L2
D
L2
lnW
2
2
ee
t
S
En esta ecuación se supone que las líneas de flujo de calor emergen del centro
geométrico del cable. Hablando estrictamente, terminan a una distancia vertical
sobre el centro geométrico de la fuente de calor dada por:
En consecuencia:














 1
D
L2
D
L2
2
D
e
2
ee
e

ETAP
Permanente
120

















 1
D
L2
D
L2
ln
2
T
2
ee
S
4
La resistencia térmica del medio ambiente externo está dada por:
Si la profundidad de enterramiento es mayor que el diámetro del cable:









e
S
4
D
L4
ln
2
T

ETAP
Permanente
121
• Cables desigualmente cargados
La variación de temperatura en la superficie del
cable p producido por la potencia Wk [W/unidad
de longitud] disipada en el cable k :
Grupos de cables enterrados (sin tocarse)
El caso de varios cables enterrados se trata como campos de calor superpuestos.
El principio de superposición es aplicable si suponemos que cada cable actúa como
un filamento de una fuente de calor y no distorsiona el campo de calor de los otros
cables. Por lo tanto, consideraremos primero el caso en que los cables están
suficientemente distanciados de manera que esta hipótesis sea válida.
pk
'
pk
k
S
kp
d
d
lnW
2



ETAP
Permanente
122





























q
pk
1k
pk
'
pk
k
p
2
ee
Sp
4
d
d
lnW
W
1
1
D
L2
D
L2
ln
2
T
La resistencia térmica del medio ambiente externo para el p-ésimo cable está dada
por:
La variación de temperatura ∆θp por encima de la temperatura ambiente en la
superficie del p-ésimo cable causada por la potencia disipada por los otros q-1
cables del grupo, está dada por:
qpkpp2p1p
...... 
con el termino ∆θpp excluido de la suma.

ETAP
Permanente
123





























q
pk
1k
pk
'
pk
2
ee
S
4
d
d
1
D
L2
D
L2
ln
2
T
La resistencia térmica del medio ambiente externo está dada por:
Cuando se considera un grupo de cables idénticos igualmente cargados los
cálculos se simplifican. En este tipo de agrupamiento, la ampacidad del grupo es
determinada por la ampacidad del cable de mayor temperatura. Usualmente es
posible decidir de la configuración de la instalación que cable es el mas caliente.
• Cables idénticos igualmente cargados

ETAP
Permanente
124
Grupos de cables enterrados (tocándose) igualmente cargados
Cuando los cables se tocan o están próximos, el campo de calor de un cable
distorsiona el campo de calor de los otros cables próximos. El principio de
superposición no es aplicable. Se ha demostrado que es aplicable si la separación
axial mínima entre cables es mayor a dos diámetros.
• Goldenberg, H. ―External Thermal Resistance of two buried cables. Restricted application of
superposition‖, Proc. IEE, Vol. 116, N° 5,1969, pp. 822-826.
•Goldenberg, H. ―External Thermal Resistance of three buried cables in trefoil touching
formation. Restricted application of superposition‖, Proc. IEE, Vol. 116, N° 11,1969, pp. 1885-
1890.
•Symm, G. ―External Thermal Resistance of buried cables and troughs‖, Proc. IEE, Vol. 166,
N° 10,1969, pp. 1696-1698.
•Van Geertruyden, A. ―External Thermal Resistance of three buried single-core cables in flat
and in trefoil formation‖, Laborelec Report N° DMO-RD-92-003/AVG., 1992.
•Van Geertruyden, A. ―External Thermal Resistance of two buried single-core cables in flat
formation‖, Laborelec Report N° DMO-RD-93-002/AVG., 1993.

ETAP
Permanente
125
• Dos cables unipolares (tocándose) en formación plana
La resistencia térmica del medio ambiente externo está dada por (Goldenberg,
1969):
5
D
L2
si
L24
D
D
L8
lnT
L8
D
cothlnT
e
e
e
S
4
eS
4






 















 




ETAP
Permanente
126
• Dos cables unipolares (tocándose) en formación plana
Usando elementos finitos, Van Geertruyden desarrolló las formulas siguientes
para la resistencia térmica del medio ambiente externo:






























295,0
D
L4
lnT
451,0
D
L4
lnT
e
S
4
e
S
4
Para cables con vaina metálica, con la
vaina con suficiente conductancia térmica
para que la superficie externa del cable
sea una isoterma
Para cables cuya superficie externa no
sea una isoterma

ETAP
Permanente
127
• Tres cables unipolares (tocándose) en formación plana
La resistencia térmica del medio ambiente externo está dada por (Symm, 1969):
5
D
L2
si346,0
D
L4
ln475,0T
ee
S4














ETAP
Permanente
128
4
D
L2
si630,0
D
L4
ln
5,1
T
ee
S
4















• Tres cables unipolares (tocándose) en tresbolillo
La resistencia térmica del medio ambiente externo está dada por (Goldenberg,
1969), (Symm, 1969):
Esta fórmula es valida supuesto que la superficie
externa de los cables es una isoterma. En el caso no
isotérmico





















ee
S
4
D
L2
ln2
D
L4
ln
2
T

ETAP
Permanente
129
Si despreciamos el efecto de conducción de calor en las capas metálicas de los
cables que se tocan, la resistencia térmica de la aislación y del recubrimiento
externo se incrementan debido a la obstrucción a la disipación de calor.













 
e
c
3
*
31
*
1
D2
d
arcsen
18066
fTfTTfT
fφ representa la fracción de la circunferencia del
cable obstruida por los otros cables. Para
dimensiones estándar de cables 1,27 ≤ fφ ≤ 1,42.

ETAP
Permanente
130
Cables en conductos y cañerías
Los cables en conductos completamente rellenos con un material (aire o líquido)
que tenga una resistividad térmica que no exceda la del suelo circundante, pueden
tratarse como cables directamente enterrados.
La resistencia térmica del medio ambiente externo de un cable en un conducto o
cañería se compone de tres partes:
• la resistencia térmica del aire o líquido entre la superficie del cable y la superficie
interna del conducto, T4
’
•la resistencia térmica del conducto en si mismo, T4
’’. La resistencia térmica de una
cañería de metal es despreciable.
•la resistencia térmica externa del conducto, T4
’’’.
El valor de la resistencia térmica del medio ambiente externo surge de:
T4 = T4
’ + T4
’’ + T4
’’’

ETAP
Permanente
131
Resistencia térmica entre la superficie del cable y la superficie interna del conducto
(o cañería), T4
’
Supondremos que la superficie interna del conducto o cañería es isotérmica. Esta
hipótesis es usualmente valida para conductos metálicos. Para conductos de
materiales con malas propiedades de transferencia de calor, consideraremos una
temperatura promedio en el interior del conducto.
Considerando a la superficie externa de la cubierta exterior del cable en
condiciones de régimen permanente, la ecuación de balance de energía es:
ws,radconds,convt
WWWW 

donde:
Wt = energía total por unidad de longitud generada dentro del cable [W/m]
Wconv,s = tasa de transferencia de calor por convección natural entre la superficie
externa del cable y el medio circundante, por unidad de longitud [W/m]

ETAP
Permanente
132
  swsss,conv
AhW 
Wcond = tasa de transferencia de calor por conducción en el medio circundante [W/m]
Wrad,s-w = tasa de transferencia de calor por radiación entre la superficie
interna del conducto ( o cañería) y la superficie externa del cable, por
unidad de longitud [W/m]
La tasa de transferencia de calor por convección natural entre la superficie externa
del cable y el medio circundante, por unidad de longitud:
hs = coeficiente de convección natural en la superficie del cable [W / K m2]
θs = temperatura promedio de la superficie externa del cable [°C]
θw = temperatura de la superficie interna del conducto (cañería) [°C]
As = área efectiva para transferencia de calor convectiva por unidad de longitud del
cable [m2]

ETAP
Permanente
133








*
e
*
d
s
D
D
ln
2
A
El valor de As refleja la conexión en serie de dos resistencias térmicas
correspondientes a la superficie exterior del cable y a la superficie interna de la pared
del conducto:
El coeficiente hs representa en este caso la conductividad térmica efectiva del fluido.
La correlación empírica esta dada por:
  4
1
4
1
s
Ra
Pr861,0
Pr1
386,0h 








ETAP
Permanente
134
    
 















 
p
2
ws
5
5
3
*
e
5
3
*
d
4
*
e
*
d
a
cdg
DD
D
D
ln
R
donde:
Ra = numero de Rayleigh
β = coeficiente de expansión térmica volumétrica [K-1]
cp = calor especifico a presión constante [J/kg.K]
d= densidad [kg/m3]
g = aceleración gravitatoria [mm/s2]
μ = viscosidad [kg/s.m]
ρ = resistividad térmica del fluido [K.m/W]
Pr = numero de Prandtl
Dd
* = diámetro interno del conducto [m]
De
* = diámetro externo del cable [m]

ETAP
Permanente
135
Cuando esta fórmula es usada para un grupo de cables en un conducto, De
* es un
diámetro equivalente del grupo:
 dos cables: De
* = 1,65 el diámetro exterior de un cable [m]
 tres cables: De
 cuatro cables: De
Esta ecuación puede usarse para 102 ≤ Ra ≤ 107. Para Ra < 100, hs=1/ρ.
   
     efectivodiametroDDD
cdg
D
Pr861,0
Pr
386,02W
3
5
5
3
*
e
5
3
*
d
*
f
4
5
ws
4
1
3
p
2
4
3
*
f
4
1
s,conv




















ETAP
Permanente
136
Si el medio entre el cable y la pared del conducto es aire a presión atmosférica, lo
cual es usualmente el caso en conductos, las constantes físicas son:

ETAP
Permanente
137
La tasa de transferencia de calor por conducción en el medio circundante:
 









*
e
*
d
ws
cond
D
D
ln
2
W

ETAP
Permanente
138
donde:
σB = 5,67 10-8 [W/m2 K4] constante de Stefan-Boltzmann
Fs,w = factor de forma para radiación térmica
As,r = área efectiva de la superficie del cable para radiación térmica [m2], por unidad
de longitud del cable.
    4*
w
4*
sBw,ssrws,rad
FAW 
La tasa de transferencia de calor por radiación entre la superficie interna del
conducto ( o cañería) y la superficie externa del cable está dada por:
Esta ecuación es aplicable al caso de conductos ( o cañerías) con gas. El factor de
forma depende de la geometría del sistema.

ETAP
Permanente
139
La resistencia térmica entre la superficie del cable y la superficie interna del
conducto (o cañería), T4
’ , se obtiene dividiendo la caída de temperatura a través
del conducto (cañería) por el calor total emanado desde la superficie del cable.
ws,radconds,conv
ws
t
ws'
4
WWWW
T






Cuando se hicieron los primeros intentos para determinar la resistencia térmica
entre la superficie del cable y la superficie interna del conducto (o cañería), T4
’ :
•Whitehead, S. and Hutchings, E. ―Current Ratings of Cables for Transmission and
Distribution‖, J. IEE, Vol. 38, 1938, pp. 517-557.
•Buller, F. and Neher, J. ―The thermal resistance between cables and a surrounding pipe or
duct wall‖, AIEE Trans., Vol. 69, part 1, 1950, pp. 342-349.

ETAP
Permanente
140
la solución de esta ecuación aparecía como una tarea formidable. El valor de T4
’
dependía de las temperaturas (no conocidas) de la superficie del cable y de la
pared interna del conducto; además los parámetros de los materiales dependían
de la temperatura promedio del medio. Se requería un proceso iterativo para
calcular T4
’ . En ausencia de equipos de computación digital, era necesario hacer
simplificaciones. El enfoque propuesto por Buller y Neher (1950) proveyó de tales
simplificaciones.
La primera aproximación esta relacionada con la geometría del cable/conducto.
   
*
d
*
e
4
3
*
e4
3
*
f
D
D
39,1
D
D



ETAP
Permanente
141
Se hicieron además las suposiciones siguientes:
1. En el caso de gas inerte, las propiedades físicas del medio se supusieron
sustancialmente independientes de la temperatura sobre el rango de trabajo,
pero se considero a la densidad como una función directa de la presión P [atm.]
   
wssw
4
1
sw
2
1
*
d
*
e
4
3
*
e
sw
s,conv
P
D
D
39,1
D
744,4gas
W






ETAP
Permanente
142
2. En el caso de aceite mineral, las propiedades físicas del medio se supusieron
sustancialmente independientes de la presión sobre el rango de trabajo, con la
excepción de la viscosidad la cual, por el tipo de aceite comúnmente empleado,
puede considerarse que varía inversamente con el cubo de la temperatura.
   
wssw
4
1
sw
4
3
m
*
d
*
e
4
3
*
e
sw
s,conv
D
D
39,1
D
733,2aceite
W





donde θm es la temperatura media del aceite en °C.

ETAP
Permanente
143
3. La componente de radiación con gas inerte como medio circundante a los
cables en el conducto (o cañería) está dada por:
   ms
*
e
sw
ws,rad
0167,01D21,13gas
W



donde εs es la emisividad de la superficie exterior del cable.
La componente de radiación con aceite mineral como medio circundante a los
cables en el conducto (o cañería) se desprecia.

ETAP
Permanente
144
En consecuencia resulta:
   
   
  
radiacion
ms
*
e
conduccion
*
d
*
e
conveccion
4
1
sw
2
1
*
d
*
e
4
3
*
e
'
4
0167,01D21,13
D
D
ln
5279,0
P
D
D
39,1
D
744,4gas
T
1











ETAP
Permanente
145
y:
   
  
conduccion
*
d
*
e
conveccion
4
1
sw
4
3
m
*
d
*
e
4
3
*
e
'
4
D
D
ln
8763,0
D
D
39,1
D
733,2aceite
T
1









Buller y Neher (1950) propusieron linealizar estas dos últimas ecuaciones. En
primer lugar, supusieron que el segundo término en ambas ecuaciones y el término
de radiación en la primera eran constantes.

ETAP
Permanente
146
En esta ecuación, el término de conducción constituye aproximadamente el 14%
del total en el caso de un cable típico en un conducto y un 8% para cañería con gas
a 200 psi. Los valores correspondientes del término de radiación son 63% y 43%,
respectivamente.
   
   
  
radiacion
ms
*
e
conduccion
*
d
*
e
conveccion
4
1
sw
2
1
*
d
*
e
4
3
*
e
'
4
0167,01D21,13
D
D
ln
5279,0
P
D
D
39,1
D
744,4gas
T
1











ETAP
Permanente
147
La variación normal del cociente De/Dd puede producir una variación considerable
en el término de conducción, pero el efecto total es pequeño debido a que la
conducción es una pequeña parte del flujo total de calor. Adicionalmente, la
variación de este cociente tiene efectos opuestos sobre los términos de convección
y conducción. Buller y Neher concluyeron entonces que solo se incurre en un
pequeño error cuando el término de conducción es considerado constante si el
denominador del término de convección también es considerado constante.
La variación de θm puede afectar el termino de radiación, a lo sumo un 20% sobre
un rango de operación suficientemente amplio; sin embargo, cuando se calcula la
ampacidad con la temperatura fija en el orden de los 70°C a 80°C, el rango de
variación de esta variable es muy pequeño y debe esperarse un error en el rango
del 3% al 5%.

ETAP
Permanente
148
   
  
conduccion
*
d
*
e
conveccion
4
1
sw
4
3
m
*
d
*
e
4
3
*
e
'
4
D
D
ln
8763,0
D
D
39,1
D
733,2aceite
T
1









En esta ecuación, el término de conducción constituye aproximadamente el 24%
del total en el caso de un cable típico en cañería. La variación de θm es mas
importante que en el caso de cables en cañerías con gas a presión, no obstante el
error se mantiene dentro de márgenes tolerables.

ETAP
Permanente
149
 
 
  183,0D120,0
1
aceiteT
cb
D
P
aD
1
gasT
4
1
sw
3
m
3*
e
'
4
m
4
1
*
e
2
sw*
e
'
4















 

Bajo estas hipótesis, podemos escribir (Neher, J. H. and McGrath, M. H. ―The
calculation of the temperature rise and load capability of cable systems‖ AIEE
Trans., Vol. 76, part 3, pp. 752-772, 1957.)

ETAP
Permanente
150
Todas las constantes han sido establecidas empíricamente
•Buller, F. and Neher, J. ―The thermal resistance between cables and a surrounding pipe or duct
wall‖, AIEE Trans., Vol. 69, part 1, 1950, pp. 342-349.
•Greebler, P. and Barnett, G. ―Heat transfer study on power cable ducts and duct assemblies‖,
AIEE Trans., Vol. 69, part 1, 1950, pp. 357-367.

ETAP
Permanente
151
  em
'
4
DYV1,01
U
T


Si se restringe ∆θsw = 20 °C para cables en conductos y ∆θsw = 10 °C para cables en
cañerías con gas inerte, y si se restringe el rango de De a 25-100 mm para cables
en conductos y a 75-125 mm para cables tripolares en cañerías, la primera
ecuación se reduce a:
En el caso de cables en cañerías con aceite, si se supone un valor promedio ∆θsw =
7 °C, y un rango para Deθm de 3.810-8.890 mm, la segunda ecuación también
reduce a esta.

ETAP
Permanente
152
Resistencia térmica del conducto (o cañería) en si mismo, T4’’









d
0"
4
D
D
ln
2
T
donde D0 [mm] es el diámetro exterior del conducto, y ρ es la resistividad térmica
del material.

ETAP
Permanente
153
Resistencia térmica externa del conducto (o cañería), T4’’’
Para conductos no empotrados en hormigón, esta resistencia térmica se calcula de
la misma forma que las ya vistas para cables, usando las formulas apropiadas con
el radio externo del conducto o cañería incluyendo cualquier cubierta protectora, en
reemplazo del radio externo del cable.
La resistencia térmica externa de cañerías enterradas para cables en cañería se
calcula como en el caso de cables ordinarios:
Donde L se mide al centro de la cañería y De es el diámetro exterior de la cañería,
incluyendo el recubrimiento anticorrosión.

















 1
D
L2
D
L2
ln
2
T
2
ee
S"'
4

ETAP
Permanente
154
Cables en relleno térmico y bancos de conductos
En las ciudades, los cables de media y
de baja tensión, a menudo se localizan
en bancos de conductos con el objeto de
permitir un gran numero de circuitos en
un mismo tendido. Los conductos se
instalan en capas con relleno térmico
compactado alrededor. El hormigón, es
el material mas usado. Los cables de alta
tensión a menudo son instalados en un
material conductor de calor para mejorar
su disipación.
Ambos métodos de instalación tienen en común la presencia de material con una
resistividad térmica diferente de la del suelo circundante.

ETAP
Permanente
155
Los primeros intentos de modelar la presencia de bancos de conductos o de relleno
térmico fueron presentados por Neher y McGrath (1957), los que fueron adoptados
en el año 1982 por la IEC 287. En trabajos posteriores:
•El-Kady, M. and Horrocks, D. ―Extended values of geometric factor of external thermal
resistance of cables in duct banks‖, IEEE Trans. Power App. Syst., Vol. PAS-104, 1985, pp.
1958-1962.
•El-Kady, M.; Anders, G.; Horrocks, D. and Motlis, J. ―Modified values for geometric factor of
external thermal resistance of cables in ducts‖, IEEE Trans. Power Delivery, Vol. 3, N° 4, 1988,
pp. 1303-1309.
•Tarasiewicz, E.; El-Kady, M. and Anders, G. ―Generalized coefficients of external thermal
resistance for ampacity evaluation of underground multiple cable systems‖, IEEE Trans. Power
Delivery, Vol. PWRD-2, N° 1, 1987, pp. 15-20.

ETAP
Permanente
156
•Sellers, S. and Black, W. ―Refinements to the Neher-McGrath model for calculating the
ampacity of underground cables‖, IEEE Trans. Power Delivery, Vol. 11, N° 1, January 1996,
pp. 12-30.
el método básico de Neher y McGrath se extendió para tener en cuenta bancos de
ductos de forma rectangular y para eliminar la hipótesis de que el perímetro externo
del rectángulo es una isoterma. En estos trabajos no se consideró el efecto de la
migración de la humedad en la vecindad de los bancos de ductos.

ETAP
Permanente
157
El enfoque de Neher-McGrath
Cuando el sistema de cables está contenido dentro de una envolvente de
resistividad térmica ρc, el efecto de la diferente resistividad térmica del hormigón o
del relleno térmico en relación a la resistividad térmica ρe del suelo circundante se
considera a través de un factor de corrección algebraico.
 
















 1
r
L
r
L
ln
2
N
T
2
b
G
b
G
ce
corr
4
N = numero de cables (cargados) en la envolvente.
LG = profundidad al centro del banco de ductos o relleno térmico [mm].
rb = radio equivalente de la envolvente [mm].

ETAP
Permanente
158
El radio equivalente de la envolvente térmica se obtiene de la forma siguiente:
considerando que la superficie del banco de ductos es un circunferencia isotérmica
de radio rb, la resistencia térmica entre el banco de ductos y la superficie de la tierra
será una función logarítmica de LG y de rb. Con el objeto de evaluar rb en términos
de las dimensiones x e y (x ≤ y) de una envolvente térmica rectangular,
consideramos dos circunferencias, una interior y una exterior a la envolvente de
radios r1 y r2, respectivamente dados por:
22
21
yx
2
1
r
2
x
r 

ETAP
Permanente
159
 
 
3
x
ysi;
2
x
ln
x
y
1ln
y
x4
y
x
2
1
expr
r
r
ln
rr
xyr
r
r
ln
,bieno
r
r
ln
rr
rxy
r
r
ln
2
2
b
1
2
2
1
2
2
2
2
b
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
b































































Suponemos que r1 < rb < r2, y que la magnitud de rb es tal que divide la resistencia
térmica entre r1 y r2 en la relación de las partes del campo de calor entre r1 y r2
ocupado o desocupado por la envolvente.
Así:

ETAP
Permanente
160
Valores extendidos del factor geométrico
bG
G
b
b
G
b
e
L2
r
r
L2
lnG 






La aproximación anterior es válida si 1/3 < y/x < 3. Para levantar esta restricción
El-Kady y Horrocks (1985) usaron el método de elementos finitos para calcular
factores del factor geométrico sobre un rango extendido. Los valores de Gb se
presentan en la tabla siguiente, en términos de las relaciones alto/ancho (h/w) y
profundidad/alto (LG/h).
El radio equivalente se calcula de:

ETAP
Permanente
161

ETAP
Permanente
162
Cables tendidos en materiales que tienen resistencias térmicas distintas
El enfoque para el cálculo de la resistencia térmica externa discutido hasta ahora
supone que la trayectoria para la disipación del calor entre el cable y la tierra
circundante esta compuesta por una región que tiene una resistividad térmica
uniforme. En la práctica, pueden presentarse diferentes capas con distintas
resistividades térmicas entre la superficie del cable y la interfase tierra/aire. Para
tratar este tema, el CIGRE WG 02 propuso un método basado en transformación
conforme en el plano complejo (CIGRE, 1985). Comenzamos explicitando la
variación de temperatura de un cable i en un grupo de N cables:


N
1k
tkiki
WR
Wtk = potencia de pérdida total por unidad de longitud
del cable k [W/m]
Rii = resistencia térmica propia del cable i [K.m/W]
Rik = resistencia térmica mutua entre el cable i y el
cable k, [K.m/W] i≠k

ETAP
Permanente
163
Cables tendidos en materiales que tienen resistencias térmicas distintas
Φ
  








1
1
yjz
yjz
lnzw

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