Materiales

1. TEMA 2 : TRANSFORMACIONES
TRABAJO PRACTICO Nº 2

2. PROBLEMA N°1
Calcule el tamaño, expresado en centímetros, del radio crítico y el número de
átomos en el núcleo crítico, cuando se forma cobre sólido por nucleación
homogénea.
DATOS:
Tm = Temperatura de solidificación = 1.985 º F
 = Energía superficial = 177 x 10-7 J/cm2
Hf = Calor de fusión = 1628 J/cm3
Estructura cristalina = FCC
a = Constante reticular = 0,3615 nm.
Suponer T (subenfriamiento) = 0,17 Tm.
El tamaño crítico del núcleo se relaciona con el subenfriamiento (T) por la
siguiente ecuación:
T
H
T
r
f
m




2
*
r*
N° de CU/núcleo
neq
b)

3. PROBLEMA N°2
Suponga que se tiene una aleación de molibdeno que se encuentra
impurificada con niobio debido a que en forma intencional se procedió a
reemplazar sustitucionalmente una cierta cantidad de átomos de molibdeno por
átomos de niobio. Se pide calcular, para dicha aleación, cual es la fracción
porcentual de átomos de molibdeno que han sido reemplazados
sustitucionalmente por átomos de niobio.
DATOS:
Estructura cristalina de ambos metales: BCC
Considerar despreciables los defectos del material.
Considerar que se cumplen las reglas de Hume - Rothery
N Avogadro = 6,023 x 1023 átomos/mol
Constante de red de la aleación: 0,31782 nm
Densidad de la aleación: 9,8739 g/cm3
Pesos atómicos: Molibdeno = 95,94 g/mol
Niobio = 92,906 g/mol

































cu
cm
V
mol
at
N
mol
g
PM
cu
at
n
cm
g
CU
A
eq
3
3

SOLUCION SOLIDA SUSTITUCIONAL

4.  































cu
cm
V
mol
at
N
PM
f
PM
f
cu
at
n
cm
g
CU
A
Mo
Nb
Nb
Nb
eq
3
3
)
1
(

 
Mo
Nb
Nb
Nb
Aleación PM
f
PM
f
PM 



 )
1
(

5. PROBLEMA N°3
Se realiza una determinación de tamaño de grano ASTM mediante una
microfotografía de un metal que tiene una ampliación de x250. ¿Cuál es el
número ASTM de tamaño de grano del metal sabiendo que hay 450 granos por
pulgada cuadrada?
1
2
2
100








 n
A
N
N = Número de granos por pulgada cuadrada a 100x
A = Amplitud utilizada
n = Indice ASTM de tamaño de grano
1
2 
 n
N

6. PROBLEMA N°4
Calcular a) El número de vacantes en equilibrio por metro cúbico en la plata
pura a la temperatura de 700 ºC y b) la fracción de vacantes a la temperatura
de 900 º C también en plata pura. Considere que la constante preexponencial
es C = 1
DATOS:
Número de Avogadro = NA = 6,023 x 1023 átomos/mol
Peso atómico de la plata = M = 107,87 g/mol
Densidad de la plata = d = 10,50 g/cm3
Constante de Boltzman = k = 8,62 x 10-5 eV/ºK
Energía de activación = Ev = 1,10 eV







 
 T
k
E
v
v
e
C
N
n
nv = número de vacantes/m3.
N = número de sitios para átomos/m3

7. 

























mol
g
PM
m
g
mol
átomos
N
m
átomos
N
A 3
3
 






 
 T
k
E
v
v
e
C
N
n
a) El número de vacantes en equilibrio por metro cúbico en la plata pura a la
temperatura de 700 ºC
b) La fracción de vacantes a la temperatura de 900 º C también en plata pura.







 
 T
k
E
v
v
e
C
N
n
000
.
10
1
10
1 4


 
átomos
para
sitios
vacantes
Esto se interpreta de la siguiente forma: hay 1 vacante por cada diez mil
posiciones atómicas.

8. PROBLEMA N°5
Cuando se expone al aire una muestra de Si, en su superficie crece una capa
de SiO2. Las propiedades excepcionales de esta capa de óxido son una de las
principales razones del éxito del silicio en la industria de los semiconductores.
El mecanismo de crecimiento de óxido se correlaciona con la difusión.
Sabiendo que la difusión del óxido se duplica cuando la temperatura se eleva
de 1000 °C a 1090 °C. Se pide calcular la energía de activación de este
proceso.
D = Difusividad [m2/seg].
DO = Constante de proporcionalidad, independiente de la temperatura [m2/seg].
Q = Energía de activación de las especies en difusión [Joule/mol o cal/mol].
R = Constante molar de los gases = 8,314 Joule/mol K ó 1,987 cal/mol K
T = Temperatura absoluta, K.









 T
R
Q
e
D
D 0

9. 











1
0
1
T
R
Q
e
D
D 











2
0
2
T
R
Q
e
D
D
2
1
2
0
1
0
2
1
























T
R
Q
e
D
T
R
Q
e
D
D
D

10. PROBLEMA N°6
Una manera de fabricar transistores, que amplifican señales eléctricas, es la
difusión de átomos de impurezas en un material semiconductor como el silicio.
Imagine que una oblea de silicio de un espesor de 1 mm, que originalmente
contiene un átomo de fósforo por cada 107 de átomos de Si, es tratada de
forma que en su superficie existan 400 átomos de P por cada 107 átomos de
silicio. Se pide calcular el gradiente de concentración expresado en: a)
Porcentaje atómico/cm y b) átomos/cm3 · cm.
DATOS:
Constante reticular: ao = 0,54307 nm
Estructura cristalina Si: Cúbica de diamante (CD)
Número equivalente de átomos estructura CD = 8 átomos/celda

11. x
C
D
J




DIFUSIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO - PRIMERA LEY DE FICK
J = Flujo de los átomos [átomos/m2 · seg]
D = difusividad [m2/seg]
dC/dx = gradiente de concentración [átomos/m4]
0



 inicial
final C
C
C

12. Se pide calcular el gradiente de concentración expresado en: a) Porcentaje
atómico/cm
Si
de
at
x
Si
de
at
P
de
at
C erior
100
10
1 7
int
Si
de
at
x
Si
de
at
P
de
at
C erficial
100
10
400 7
sup









cm
P
de
átomos
x
C

13. Se pide calcular el gradiente de concentración expresado en: b) átomos/cm4
DATOS:
Constante reticular: ao = 0,54307 nm
Estructura cristalina Si: Cúbica de diamante (CD)
Número equivalente de átomos estructura CD = 8 átomos/celda




















3
3
1
cm
Si
de
at
CU
cm
V
CU
Si
de
at
neq














3
3
cm
P
de
at
f
cm
Si
de
at
P
 














4
3
sup
int
1
,
0 cm
P
de
at
cm
cm
P
de
at
C
C erficial
P
erior
P

14. PROBLEMA N°7
Considerar la difusión de impurezas de galio en una oblea de silicio. Si el galio
se difunde en una oblea de silicio que no tenía galio inicialmente, a una
temperatura de 1100 ºC durante 3 horas. Sabiendo que la concentración de
galio en la superficie es de 1024 átomos/m3. Se pide calcular cuál es la
profundidad por debajo de la superficie a la cual la concentración de galio es
de 1022 átomos/m3.
DATOS:
D1100 ºC = 7,0 x 10-17 m2/s
Partiendo de la ecuación de la segunda ley de Fick, ecuación (13) del apunte:
 
  









t
D
X
erf
C
C
C
C
s
x
s
2
0
Cs = Concentración superficial del elemento (%).
Co = Concentración inicial del elemento (%).
Cx = Concentración de elemento a la distancia x (%).
x = Distancia desde la superficie.
D = Difusividad del elemento que difunde.
t = Tiempo

15. Co= 0
Cs= 1024 átomos/m3
Cx= 1022 átomos/m3
t= 3 h
D1100 ºC = 7,0 x 10-17 m2/s
X=?
 
  









t
D
X
erf
C
C
C
C
s
x
s
2
0
 
 
N
C
C
C
C
s
x
s



0
Z erf (Z) Z erf (Z) Z erf (Z) Z erf (Z)
0 0 0,40 0,4284 0,85 0,7707 1,60 0,9763
0,025 0,0282 0,45 0,4755 0,90 0,7970 1,70 0,9838
0,05 0,0564 0,50 0,5205 0,95 0,8209 1,80 0,9891
0,10 0,1125 0,55 0,5633 1,00 0,8427 1,90 0,9928
0,15 0,1680 0,60 0,6039 1,10 0,8802 2,00 0,9953
0,20 0,2227 0,65 0,6420 1,20 0,9103 2,20 0,9981
0,25 0,2763 0,70 0,6778 1,30 0,9340 2,40 0,9993
0,30 0,3286 0,75 0,7112 1,40 0,9523 2,60 0,9998
0,35 0,3794 0,80 0,7421 1,50 0,9661 2,80 0,9999
Z
t
D
X


2 X