10. LEY DE COSENOS
◦ En un tramo de la carretera al Llano, se debe construir un túnel a
través de una montaña. Para determinar la longitud del túnel, un
topógrafo, desde un punto a 118m de un extremo de lo que sería el
túnel, mide un ángulo de 82,6° hasta avistar el otro extremo. Siguiendo
esa línea de visión, mide una distancia de 64,6m. ¿Cuál es la longitud
del túnel?
11. Los datos que tenemos del triángulo no son adecuados para usar la Ley de senos,
pues no obtendríamos una proporción con tres datos conocidos.
Por esta razón, debemos estudiar otra fórmula conocida como la Ley de cosenos
Ley de cosenos
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐶
La ley de cosenos la podemos usar cuando conocemos las longitudes de los tres
lados del triángulo o dos lados y el ángulo incluido, vamos a resolver el problema
planteado al principio.
12. En el problema preguntan por la longitud del túnel que es el lado a
𝑎2
= (64,6)2
+(118)2
−2 64,6 118 𝑐𝑜𝑠82,6°
Cuando un número tiene un exponente 2 quiere decir que se tiene que multiplicar
dos veces por el mismo.
𝑎2
= 4173,16 + 13924 − (15245,6)(0,1287), los paréntesis indican multiplicación
𝑎2
= 4173,16 + 13924 − 1962, 108, se suma y se resta las cantidades
𝑎2 = 16135,052
𝑎 = 16135,052 = 127,02, por último, se extrae raíz cuadrada para quitarle el
cuadrado a la 𝑎. El túnel medirá alrededor de 127m.
13. Calcular la medida del lado b del siguiente triangulo utilizando
la ley de cosenos.
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑏 = (13)2+(19)2−2 13 19 𝑐𝑜𝑠55°
𝑏 = 15,70
La medida del lado b es igual a 15,70cm.
