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Investigue todo lo referente a longitud de curva y mostrando ejercicios resueltos y móntelos
en un slideshare. Envíe el URL para la evaluación
Longitud de una curva plana
Cuando queremos medir una curva, podemos dividir en segmentos cortos y midiendo y
sumando cada uno de estos segmentos obtendríamos una longitud muy aproximada de la
curva.
En la figura siguiente tracemos una curva y luego tratar de conseguir una expresión que nos
permita medir con mayor exactitud la longitud de una curva.
Sabemos lo que significa la longitud de un segmento recto. En particular, si tenemos dos
puntos del plano 𝐴 = ( 𝑎1, 𝑎2) 𝑦 𝐵 = ( 𝑏1, 𝑏2), la longitud del segmento AB es, según el
teorema de Pitágoras, √( 𝑏1 − 𝑎1)2 + ( 𝑏2 − 𝑎2)2 Análogamente, si 𝐴 = ( 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) 𝑦 𝐵 =
( 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) son puntos del espacio tridimensional, la longitud del segmento AB es,
ahora, √( 𝑏1 − 𝑎1)2 + ( 𝑏2 − 𝑎2)2 + ( 𝑏3 − 𝑎3)2
Sin embargo, no tenemos una noción precisa de la longitud de segmentos curvilíneos. Este
es el objetivo medir la longitud de un trozo de curva.
Comenzaremos con el caso más simple, la gráfica de una función 𝑦: 𝑥 ∈ [ 𝑎, 𝑏] ⊆ R → 𝑦 =
𝑦(𝑥) ∈ 𝑅 que es derivable y tiene derivada continua. Para calcular la longitud de la curva,
aproximamos ésta mediante la longitud de una línea poligonal cuyos vértices son puntos de
la curva C.
Si vemos más el detalle la partición la tomaríamos como el intervalo 𝑥0 = 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 <
⋯ < 𝑥 𝑛−1 < 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [ 𝑎, 𝑏] 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐿 ≈ ∑ 𝑙 𝑖
𝑛
𝑖=1 estableciendo la Definición](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 3. Si C es una curva dada por la grafica 𝑦: 𝑥 ∈ [ 𝑎, 𝑏] ⊆ R → 𝑦 = 𝑦(𝑥) ∈ 𝑅, que es derivable y tiene derivada continua, entonces la longitud de C está dada por la integral definida 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 ( 𝐶) = 𝐿 = ∫ √1 + ( 𝑓´(𝑥))2 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Hallar la longitud de arco de una circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑓( 𝑥) = − 𝑥 √𝑟2 − 𝑥2 (𝑓´( 𝑥)) 2 = 𝑥2 𝑟2 − 𝑥2 𝐿 = 4 ∫ √1 + (𝑓´( 𝑥)) 2 𝑟 0 𝑑𝑥 = 4 ∫ √1 + 𝑥2 𝑟2 − 𝑥2 𝑟 0 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 √𝑟2 − 𝑥2 𝑟 0 = 4𝑟[sin−1 𝑥 𝑟 ] 𝑟 0 = 4𝑟 𝜋 2 = 2𝜋𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠