Pensamiento variacional y trigonométrico

1. Paso 3-Profundizar y contextualizar
el conocimiento de la Unidad 2
Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica
Por: Levis Herney Manduca Dionisio
Ana Fabiola Cáceres Jaimes
Willian Javier Sánchez Moreno
Tutor: Karina Tello
Código: 551108_26
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Escuela Ciencias de la Educación ECEDU

2. Índice
 Razones trigonométricas
 Ley del seno y coseno
 Identidades trigonométricas
 Funciones trigonométricas

3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas de un ángulo 𝛼 son las razones obtenidas entre los
tres lados de un triangulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de
sus tres lados a, b y c.
𝛼
B A
C
b
c
a
• Seno.
Seno es Cateto opuesto entre
Hipotenusa.
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑎
𝑏
• Coseno.
Coseno es cateto adyacente entre
Hipotenusa.
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐
𝑏
• Tangente.
Tangente es Cateto opuesto entre
Cateto adyacente
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑎
𝑐

4. Ley del Seno
Los lados de un triangulo son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos.
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶
• El teorema del seno se utiliza cuando
conocemos una pareja y cualquier otro dato.
• Y solamente se usan 2 letras.

5. Ley del Coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triangulo con los otros dos y el
ángulo que forman estos.
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐶
El teorema del coseno se utiliza en los
triángulos cuando se conocen.
• Dos lados y el ángulo comprendido
entre ambos lados. LAL
• Tres lados. LLL

6. Identidades trigonométricas
 Ecuaciones: igualdad entre dos expresiones que contiene una o mas variables.
 Identidad: es una ecuación que es valida para todos los valores de las variables.
 Identidad Trigonométrica: es una identidad que contiene funciones
trigonométricas.
𝑆𝑒𝑛𝛼, 𝐶𝑜𝑠𝐴, 𝑇𝑎𝑛𝐵, 𝐶𝑜𝑡𝛳, 𝑆𝑒𝑐𝐶, 𝐶𝑠𝑐𝑋
Identidades Reciprocas.
1) 𝑠𝑒𝑛𝐴 =
1
𝑐𝑠𝑐𝐴
𝑐𝑠𝑐𝐴 =
1
𝑠𝑒𝑛𝐴
2) 𝑐𝑜𝑠𝐴 =
1
𝑠𝑒𝑐𝐴
𝑠𝑒𝑐𝐴 =
1
𝑐𝑜𝑠𝐴
3) 𝑡𝑎𝑛𝐴 =
1
𝑐𝑜𝑡𝐴
𝑐𝑜𝑡𝐴 =
1
𝑡𝑎𝑛𝐴
Razones entre Dos Funciones
1) 𝑡𝑎𝑛𝐴 =
𝑆𝑒𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑐𝑜𝑡 =
𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐴
Identidades Pitagóricas
1) 𝑠𝑒𝑛2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2𝐴 = 1
2) 𝑡𝑎𝑛2
𝐴 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝐴
3) 𝑐𝑜𝑡2
𝐴 + 1 = 𝑐𝑠𝑐2
𝐴

7. Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son funciones que podemos encontrar
describiendo la medición de ángulos de un triangulo rectángulo.
Seno
Coseno
Tangente
H= 10cm
7cm= Co
Ca = 6cm
𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
𝐶𝑜
ℎ
=
7𝑐𝑚
10𝑐𝑚
= 0.7
𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
𝐶𝑎
ℎ
=
6𝑐𝑚
10𝑐𝑚
= 0.6
𝑇𝑎𝑛 𝛼 =
𝐶𝑜
𝐶𝑎
=
7𝑐𝑚
6𝑐𝑚
= 1.16

8. Tarea 1. Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la ley del seno y coseno, Los triángulos se deben
graficar únicamente con el uso del programa GeoGebra, en su versión online o descargar el programa:
Ejercicio e. a= 40 m B= 65° c=10 m
Aplicar la ley del coseno y encontrar el lado b.
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑏2 = 402 + 102 − 2 40 10 cos 65
𝑏 = 402 + 102 − 2 40 10 cos 65
𝑏 = 36.90
Aplicar la ley de seno para encontrar el ángulo C.
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑐
𝑠𝑒𝑛 65
36.90
=
𝑠𝑒𝑛 𝐶
10
𝑠𝑒𝑛−1
10 ∗
𝑠𝑒𝑛 65
36.90
= 𝑠𝑒𝑛−1
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑠𝑒𝑛−1 10 ∗
𝑠𝑒𝑛 65
36.90
= 𝐶
13.12° = 𝐶

9. Restar 180° con los ángulos encontrados B y C, para encontrar el ángulo A.
A=180°-65°-13.12°
A=101.88°

10. Tarea 2. Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos agudos
(A y B) de cada triángulo rectángulo que aparecen abajo.
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
cos 𝖺 = Cos 𝖺 = = 𝐶𝑜𝑠−1Cos 𝖺 = 𝐶𝑜𝑠−1
4.5𝑐𝑚
4𝑐𝑚 4𝑐𝑚
4.5𝑐𝑚
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠
𝑎
𝖺 𝐸𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛽 𝑒𝑠 = 180 − 90 − 27 = 63°
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠
𝑎
4.5 𝑐𝑚
Tangente 𝖺 = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡
𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡
𝑒
Tan 27° =
2
= 0,5
4
LADO A 𝑆𝐸𝑁𝑂 𝖺
=
2
4,5
=0,4 Cos 𝖺 =
4
4,5
0,8 tag 𝖺 =
2
4
= 0,5
LADO B 𝑆𝐸𝑁𝑂 𝖺
=
4
4,5
=0,8 Cos 𝖺 =
2
4,5
0,4 tag 𝖺 = 4
2
= 2
4𝑐𝑚
𝖺 = 𝐶𝑜𝑠−1
.5𝑐𝑚
𝖺 = 27°
Establecer el valor del cateto opuesto 𝑆𝐸𝑁 𝖺 = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑆𝐸𝑁 27° = 𝑥
4.5cm ∗ 𝑆𝐸𝑁 27° = 𝑥 2𝑐𝑚 = 𝑥 𝐶𝑂

11. TAREA 3. REALIZAR LAS SIGUIENTES
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Primero deben identificar como se puede remplazar las identidades
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
1
1 𝐶𝑜𝑡 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
Remplazamos los valores
1
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
Simplificamos los valores
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
=
𝑐𝑜𝑠𝑥
Expresión simplificada
El enunciado es verdadero para cualquier valor de (X) ya que ambos miembros son idénticos

12. 1 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 + sen 𝑥 = 0
1 − 2𝑡2 + 𝑡 = 0
1
𝑡 = −
2
𝑡 = 1
Sen(x)= − 1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 1
2 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
2 − 2
𝑠
𝑒
𝑛 𝑥
+ 𝑠
𝑒
𝑛 𝑥 − 1 = 0
2 + sen 𝑥 − 1 = 0
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑟 2
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
2

13. 𝑎2 = 52 + 92 − 2 ∗ 5 ∗ 9 𝐶𝑜𝑠 137
a= 52 + 92 − 2 ∗ 5 ∗ 9 𝐶𝑜𝑠 137
TAREA 5. APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS.
a) Halla los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 10 cm y 18 cm respectivamente y
forman un ángulo de 43º.
𝑆𝐸𝑁 𝖺 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
137°
180- 43 =137°
𝑆𝐸𝑁 43° =
9 𝑐𝑚
= 𝑥
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝑎2 = 52 + 92 − 2 ∗ 5 ∗ 9 𝐶𝑜𝑠 137
Imagen realizada en GeoGebra
Willian Sánchez
9𝑐𝑚 ∗ 𝑆𝑒𝑛 43°
6 𝑐𝑚 = 𝑥
BD = 6cm
a= 13𝑐𝑚 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑌 = 13𝑐𝑚

14. AB =13cm
El valor de DC no es necesario
El valor de CA no es necesario
hallar el valor ya que es igual a asignado a AB Es decir 13cm
hallar el valor ya que es igual a asignado a BD Es decir 6 cm

15. Referencias Bibliográficas
 Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica.
Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas
237 - 265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
 Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para
estudiantes de ciencias. Bogotá, CO: Universidad del Norte. Páginas
153 – 171. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69943?page=159
 https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_senos
 https://www.neurochispas.com/wiki/identidades-trigonometricas-
fundamentales/