ANGULO TRIGOMETRICO

1. Dr Félix Aucallanchi Velásquez

2. Se considera a Hiparco (180 -125 a.C) como el padre de la
trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las
relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id347.htm
Hiparco de Nicea
Griego
(180-125 a.C)
matemático y astrónomo

3. TRIGONOMETRÍA
Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados
y sus tres ángulos.
Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la
resolución numérica (algebraica) de los triángulos.
Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos
uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a resolver el
triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos.
El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la
composición de las palabras griegas :
trigonon: triángulo
metron: medida
trigonometría: medida de los triángulos.

4. El ángulo trigonométrico es la figura formada por dos rayos
geométricos, de origen común, que se genera por la rotación de uno
de ellos, llamado rayo generador, alrededor de su origen, llamado
vértice del ángulo trigonométrico, desde una posición inicial, llamada
lado inicial, hasta una posición final, llamada lado final.
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
O A
B
Ángulo Trigonométrico
Positivo
Ángulo Trigonométrico
Negativo
O
P
Q
mRAOB = R +
mRPOQ = R -
 
Giro en sentido antihorario Giro en sentido horario

5. ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS BÁSICOS
a) ÁNGULO DE UNA VUELTA
Es el ángulo trigonométrico en el que, luego de
la rotación, coinciden por primera vez el lado
inicial (i) con el lado final (f). Se denota por: 1v.
Es el ángulo trigonométrico en el que el
rayo no ha experimentado rotación alguna.
Se denota por: 0v.
b) ÁNGULO NULO
Es el ángulo trigonométrico cuya medida es la
mitad del ángulo de una vuelta. Se denota por:
1/2v.
c) ÁNGULO LLANO

6. Es el ángulo cuya medida es la cuarta parte del
ángulo de una vuelta. Se denota por: 1/4v.
d) ÁNGULO RECTO
Según esta definición: 1v = 4 ángulos rectos.
O
La medida de un ángulo trigonométrico puede tener un valor
ilimitado, es decir, no tiene límite numérico lo cual se explica por
que el rayo que define la posición del lado final puede haber rotado
tanto como se desee y en cualquiera de los dos sentidos.
Observación:
Si  es la medida de un ángulo trigonométrico, entonces  R
O

>+2 v <-1,5 v


7. Se define como el proceso mediante el cual un ángulo trigonométrico
invierte el sentido de rotación del rayo generador, de modo que su
lado final, se intercambia por el lado inicial y viceversa, cambiando de
este modo el signo de su valor.
CAMBIO DE SIGNO
Ejemplo.- En cada uno de los siguientes casos se da un ángulo
trigonométrico y de lo que se trata es cambiar su signo original.
(a) (b)

8. SUMA DE ÁNGULOS
La suma de dos o más ángulos trigonométricos de un mismo sentido
se define como otro ángulo trigonométrico cuyo valor se obtiene
mediante la suma algebraica de las medidas de dichos ángulos.
Para realizar la suma de ángulos trigonométricos éstos deben tener
el mismo sentido el cual puede ser horario o antihorario.
Ejemplo.- Determinar la suma de los siguientes ángulos trigonométricos:
Todos en sentido
antihorario x = q- +w

9. SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
Es el sistema cuya unidad de medida es el grado sexagesimal (1º),
definida como la medida del ángulo central que subtiende un arco
equivalente a 1/360 de una vuelta o circunferencia..
SISTEMA SEXAGESIMAL
En (º) En (‘) En (‘‘)
Una vuelta (v) 360 21 600 1 296 000
Un grado (º) 1 60 3 600
Un minuto (‘) 1 60
Un segundo (‘‘) 1
1
60
1
3600
1
60
1’’ < 1‘ < 1º < 1 v

10. Si la medida de un ángulo contiene a grados, b minutos y c segundos
sexagesimales, estos se anotan así:
aº + b' + c'' = aº b’c’’
donde: b y c son menores que 60.
a) 32°=
Ejemplo 1.- Determinemos a cuántos (‘’) equivalen 32°.
Lo que haremos es calcular a cuántos (‘) equivalen los grados
dados y luego establecer a cuántos (‘’) equivale el resultado
obtenido. Veamos:
b)
1 920’
32(60‘)
1920’ = 115 200’’
32° =
= 1920(60’’)

11. Ejemplo 2.- Expresemos 12,26° en (°), (‘) y (’’).
En primer lugar separaremos la parte entera de la parte decimal:
12,26° = 12° + 0,26°
Ahora transformamos la parte decimal a (‘):
Finalmente transformamos la parte decimal que queda en (‘’):
12°15,6’ = 12° 15’ + 0,6’· 60''
1'
= 12°15’ 36’’
12,26° = 12° + 0,26°· 60'
1º = 12°15,6’

12. Es el sistema cuya unidad de medida es el grado centesimal (1g),
definida como la medida del ángulo central que subtiende un arco
equivalente a 1/400 de una vuelta o circunferencia.
SISTEMA CENTESIMAL
En (g) En (m) En (s)
Una vuelta (v) 400 40 000 4 000 000
Un grado (g) 1 100 10 000
Un minuto (m) 1 100
Un segundo (s) 1
1
100
1
10 000
1
100
1 s < 1m < 1g < 1 v

13. Si la medida de un ángulo contiene x grados, y minutos y z segundos
centesimales, estos se anotan así:
xg + ym + zs = xg ym zs
donde y y z son menores que 100.
a) 45g =
Ejemplo.-Determinemos a cuántos (s) equivalen 45g.
b)
4 500m
45(100m)
4500m = 450 000s
Lo que haremos es calcular a cuántos (m) equivalen los grados
dados, a continuación calcularemos a cuántos (s) equivale el
resultado obtenido. Veamos:
45g =
= 4500 (100s)

14. Es el sistema que tiene por unidad al radián, denotado por rad.
Para efectos de comparación con los otros sistemas de medidas
angulares diremos que el radián es la medida del ángulo central que
subtiende un arco equivalente a una vuelta dividida por 2p.

p
1
1
2
v
rad  1v = 2p rad donde: p 3,1416
SISTEMA RADIAL
En términos geométricos diremos que 1 rad, es la medida de un
ángulo central que subtiende un arco de igual longitud que el radio
de la circunferencia.

15. 2p rad = 360º
Ejemplo 1.- Determinemos a cuántos (º) equivale 1 rad.
Lo que haremos es comparar grados sexagesimales y radianes con
aquello que les es común: la vuelta. Así tenemos que:
2p rad = 1 v, y 1 v = 360º
Luego, por la ley transitiva de la igualdad, se tiene:
 
p
360º
1
2
rad  
1 57,296º
rad
Ejemplo 2.- Determinemos a cuántos (g) equivale 1 rad.
Procediendo de manera análoga al ejemplo anterior, tenemos que:
2p rad = 1 v, y 1v = 400g
2p rad = 400g
 
p
400
1
2
g
rad  
g
1 63,662
rad

16. Conversión entre grados sexagesimales y grados centesimales
Como: 1v = 360º = 400g 
CONVERSIÓN DE UNIDADES
9º = 10g
 
g
g
9º 10
1
9º
10
Factor de conversión:
El primer factor , se emplea para convertir
g
9º
10
El segundo factor , se emplea para convertir
g
10
9º
(g) a (º).
(o) a (g).
a) 80g a (°)
Ejemplos.- Convertir:
b) 54° a (g)
 80g · = 72°
g
9º
10
 54°. = 60g
g
10
9º

17. Cambiando el sentido del ángulo BOC, para luego sumarlo con el ángulo
AOB, tendremos:
x° + yg = 180° . . . (1)
Pero por condición: 4x° = yg . . . (2)
Reemplazando (2) en (1), tendremos:
x° + 4x° = 180°  5x° = 180°  x = 36
Finalmente :
 y = 160
Sustituyendo en (2): 4(36)º · = yg
g
10
9º
Prob. 10 (LIBRO)
Determina , sabiendo que: 4xº = yg.
Además se sabe que éstos son como se muestra en
la figura:
x+ y
36 160 14
x+ y  + 

18. Conversión entre grados sexagesimales y radianes
Como: 1v = 360º = 2p rad  180º = p rad
 
180º rad
1
rad 180º
p
p
Factor de conversión:
El primer factor , se emplea para convertir
p
180º
rad
El segundo factor , se emplea para convertir
p
180º
rad
(rad) a (º).
(o) a (rad).
Ejemplos.- Convertir:
b) 120° a (rad)
= 45°
 120°. =
p
180º
rad
a) rad a (°)
p
4
p
 
p
180º
rad
4 rad
p
2 rad
3

19. Conversión entre grados centesimales y radianes
Como: 1v = 400g = 2p rad  200g = p rad
 
rad
rad
g
g
200
1
200
p
p
Factor de conversión:
El primer factor , se emplea para convertir
p
g
200
rad
El segundo factor , se emplea para convertir
p
g
200
rad
(rad) a (g).
(g) a (rad).
Ejemplos.- Convertir:
b) 80g a (rad)
= 50g
a) rad a (g)
p
4
p
 
p
g
200
rad
rad
4
p
2 rad
5
p
    
g g
g
80 1 80
200
rad

20. Prob. 11 (LIBRO)
La suma de dos ángulos es 56° y la diferencia de los mismos es 60g.
Encontrar la medida del menor de dichos ángulos en radiantes.
Sean  y  los ángulos mayor y menor respectivamente, luego de las
condiciones dadas se debe cumplir que:
+ = 56°  –  = 60g
Puesto que la medida del ángulo se pide en radianes, convertimos los
segundos miembros a radianes, así:
p p
 
g
3
60
10
200
g rad rad
Estas mismas condiciones quedan así:
rad rad
56º
180º 15
p p
  
3
10
p
 - 
14
45
p
 +   
Resolviendo:
180
 
p

21. Llamamos así a la relación matemática mediante la cual la medida de
un ángulo, expresada en uno de los sistemas, puede expresarse en
cualquier otro sistema.
FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN
Si Sº; Cg y R rad representan la medida de un ángulo expresada en
cada uno de los tres sistemas, entonces se debe cumplir que:
Convirtiendo S y C a radianes tendremos:
Sº = Cg = R rad
p
p
   
g
g
Sº C R
180º 200
rad
rad rad
 
S C R
180 200 p
S = Número de grados sexagesimales.
C = Número de grados centesimales.
R = Número de radianes.





Donde:

22. Es un grupo importante de ejercicios en los que la medida de un ángulo
en un sistema está relacionada, de un modo específico, con su medida
en otro sistema.
TRANSFORMACIONES CONDICIONADAS
La clave de este proceso consiste en expresar la medida del ángulo
trigonométrico en los tres sistemas mediante un mismo parámetro.

p
S C R
= =
180 200
k
S = 180 C = 200 R =
S = 9 C = 10 R =
20
k k k
r
r r

   p


 

p

 


Y si hacemos = , setiene :
20
r
k
De la fórmula general despejamos y obtenemos:

23. Prob. 21 (LIBRO)
Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo, calcular el número de
radianes de dicho ángulo si se cumple que: S + C + R = 383,1416
Nos piden calcular «R»:
Recordando que: S = 180 k ; C = 200 k ; R = pk
180 k + 200 k + pk = 383,1416
Reemplazamos en la relación dada:
380 k + pk = 380 + 3,1416
k(380 + p) = 380 + p
k = 1
R = p
R = pk = p(1)